等差数列的定义及性质

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等差数列的定义:

一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做公差,用符号语言表示为an+1-an=d。

等差数列的性质:

(1)若公差d>0,则为递增等差数列;若公差d<0,则为递减等差数列;若公差d =0,则为常数列;

(2)有穷等差数列中,与首末两端“等距离”的两项和相等,并且等于首末两项之和;

(3)m,n∈N*,则am=an+(m-n)d;

(4)若s,t,p,q∈N*,且s+t=p+q,则as+at=ap+aq,其中as,at,ap,aq是数列中的项,特别地,当s+t=2p时,有as+at=2ap;

(5)若数列{an},{bn}均是等差数列,则数列{man+kbn}仍为等差数列,其中m,k均为常数。

(6)

(7)从第二项开始起,每一项是与它相邻两项的等差中项,也是与它等距离的前后两项的等差中项,即

(8)仍为等差数列,公差为

对等差数列定义的理解:

①如果一个数列不是从第2项起,而是从第3项或某一项起,每一项与它前一项的差是同一个常数,那么此数列不是等差数列,但可以说从第2项或某项开始是等差数列.

②求公差d时,因为d是这个数列的后一项与前一项的差,故有

还有

③公差d∈R,当d=0时,数列为常数列(也是等差数列);当d>0时,数列为递增数列;当d<0时,数列为递减数列;

④是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据;

⑤证明一个数列是等差数列,只需证明a n+1-a n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法:

(1)学会运用函数与方程思想解题;

(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键;

(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量:a1,d,n,a n,S n,知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’).

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