广西省梧州市2019-2020学年高考数学教学质量调研试卷含解析

广西省梧州市2019-2020学年高考数学教学质量调研试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若函数32()2()f x x mx x m R =-+∈在1x =处有极值，则()f x 在区间[0,2]上的最大值为（ ） A ．

1427

B ．2

C ．1

D ．3

【答案】B 【解析】 【分析】

根据极值点处的导数为零先求出m 的值，然后再按照求函数在连续的闭区间上最值的求法计算即可. 【详解】

解：由已知得2

()322f x x mx '

=-+，(1)3220f m '

∴=-+=，5

2

m ∴=

，经检验满足题意. 32

5()22f x x x x ∴=-

+，2()352f x x x '=-+. 由()0f x '<得213x <<；由()0f x '>得2

3x <或1x >.

所以函数()f x 在20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，在2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦

上递减，在[1,2]上递增.

则214

()327

f x f ⎛⎫==

⎪⎝⎭

极大值，(2)2f =， 由于(2)()f f x >极大值，所以()f x 在区间[0,2]上的最大值为2. 故选：B. 【点睛】

本题考查了导数极值的性质以及利用导数求函数在连续的闭区间上的最值问题的基本思路，属于中档题．

2．已知实数x ，y 满足约束条件20

2201

x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩

，则目标函数2

1y z x -=+的最小值为

A ．23-

B ．54-

C ．43

-

D ．12

-

【答案】B 【解析】 【分析】

作出不等式组对应的平面区域，目标函数2

1

y z x -=+的几何意义为动点(),M x y 到定点()1,2D -的斜率，利用数形结合即可得到z 的最小值．

【详解】

解：作出不等式组对应的平面区域如图： 目标函数2

1

y z x -=

+的几何意义为动点(),M x y 到定点()1,2D -的斜率， 当M 位于11,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，此时DA 的斜率最小，此时12

52114

min z --==-+． 故选B ． 【点睛】

本题主要考查线性规划的应用以及两点之间的斜率公式的计算，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．

3．已知抛物线2()20C x py p ：＝＞的焦点为1(0)F ，

，若抛物线C 上的点A 关于直线22l y x +：＝对称的点B 恰好在射线()113y x ≤＝

上，则直线AF 被C 截得的弦长为（ ） A ．

91

9

B ．

100

9

C ．

118

9

D ．

127

9

【答案】B 【解析】 【分析】

由焦点得抛物线方程，设A 点的坐标为2

()14

m m ，，根据对称可求出点A 的坐标，写出直线AF 方程，联立抛物线求交点，计算弦长即可. 【详解】

抛物线2

()20C x py p ：＝＞的焦点为1(0)F ，

， 则12

p

＝，即2p ＝， 设A 点的坐标为2

()14

m m ，，B 点的坐标为()113n n ≤，

，， 如图：

∴22

111142111422

22m n m m m n ⎧-⎪=-⎪⎪-⎨⎪++⎪=⨯+⎪⎩

， 解得62m n =⎧⎨=⎩，或343

35

9m n ⎧

=-⎪⎪⎨

⎪=⎪⎩(舍去)， ∴9(6)A ，

∴直线AF 的方程为4

13

y x +＝

， 设直线AF 与抛物线的另一个交点为D ，

由2413

4y x x y ⎧

=+⎪⎨⎪=⎩，解得69x y =⎧⎨=⎩或23

19x y ⎧

=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

， ∴21,39D ⎛⎫

-

⎪⎝

⎭， ∴2

2

21100||69399AD ⎛⎫⎛⎫=++-= ⎪ ⎪⎝

⎭⎝⎭，

故直线AF 被C 截得的弦长为100

9

． 故选：B ． 【点睛】

本题主要考查了抛物线的标准方程，简单几何性质，点关于直线对称，属于中档题.

4．已知数列{}n a 是公比为2的正项等比数列，若m a 、n a 满足21024n m n a a a <<，则()2

1m n -+的最

小值为（ ）

A ．3

B ．5

C ．6

D ．10

【答案】B 【解析】 【分析】

利用等比数列的通项公式和指数幂的运算法则、指数函数的单调性求得110m n <-<再根据此范围求

()

2

1m n -+的最小值．

【详解】

Q 数列{}n a 是公比为2的正项等比数列，m a 、n a 满足21024n m n a a a <<，

由等比数列的通项公式得1

1111122

210242n m n a a a ---⋅<⋅<⋅，即19222n m n -+<<，

10222m n -∴<<，可得110m n <-<，且m 、n 都是正整数，

求()2

1m n -+的最小值即求在110m n <-<，且m 、n 都是正整数范围下求1m -最小值和n 的最小值，讨论m 、n 取值.

∴当3m =且1n =时，()21m n -+的最小值为()2

3115-+=.

故选：B ． 【点睛】

本题考查等比数列的通项公式和指数幂的运算法则、指数函数性质等基础知识，考查数学运算求解能力和分类讨论思想，是中等题．

5．在棱长为2的正方体ABCD−A 1B 1C 1D 1中，P 为A 1D 1的中点，若三棱锥P−ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ） A ．12π B ．

21π

2

C ．

41π

4

D ．10π

【答案】C 【解析】 【分析】

取B 1C 1的中点Q ，连接PQ ，BQ ，CQ ，PD ，则三棱柱BCQ−ADP 为直三棱柱，此直三棱柱和三棱锥P−ABC 有相同的外接球，求出等腰三角形QBC 的外接圆半径，然后利用勾股定理可求出外接球的半径 【详解】

如图，取B 1C 1的中点Q ，连接PQ ，BQ ，CQ ，PD ，则三棱柱BCQ−ADP 为直三棱柱，所以该直三棱柱的六个顶点都在球O 的球面上，QBC ∆的外接圆直径为5

2sin 2

QB r QCB ==∠，球O 的半径R 满足

22241(

)216AB R r =+=，所以球O 的表面积S=4πR 2=41π

4

， 故选：C.