初等数论 第一章 整除5-7
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§5 算术基本定理
整数分解唯一性定理也称算术基本定理, 在给 出并证明该定理前, 先介绍预备定理.
定理 若p为素数, 则a不能被p整除当且仅当: (p,a)=1
2020/5/16
00:38
定理1
设a1,a2,…,an都是正整数,且p是素数. 若p|a1a2…an, 则至少有一个ar, 使得p|ar, 其中1≤r≤n. 证明 假设 ai不能被p整除, 1≤i≤n. 从p是一素数 和定理得到(p,a1)=(p,a2)=…＝(p,an)=1. 所以由定 理5推论得到(p,a1a2…an)=1, 这与题设p|a1a2…an 矛盾, 故必有一ar, 使得p|ar, 其中1≤r≤n.
00:38
推论3
使用式(2)中的记号，有
(ⅰ) d 是a的正因数的充要条件是
d=
p e1 1
p e2 2
L
p es s
(3)
eiZ，0 ≤ ei ≤ i，1 ≤ i ≤ s；
(ⅱ) n的正倍数m必有形式
m
=
p 1 1
p2 2
L
ps s
M，MN，iN，
i i，1 ≤ i ≤ s。
2020/5/16
，a
p 1 1
p 1 2
L
ps s
其中i ，i（1 ≤ i ≤ s）都是非负整数。显然
min{i , i} = 0， i i = k i ，1 ≤ i ≤ s，
因此，对于每个i（1 ≤ i ≤ s），等式
i = ki ，i = 0与i = 0，i = ki有且只有一个成立。
这就证明了推论。证毕。
2020/5/16
其中p1, p2, , ps 是互不相同的素数，i，i
（1 ≤ i ≤ k）都是非负整数，则
(a, b)
p1 1
p1 2
L
pss， i min{i , i}， 1 i s，
[a, b]
p 1 1
p 1 2
L
pss， i max{i , i}， 1 i s。
2020/5/16
00:38
推论5
2020/5/16
00:38
于是p1| q1q2…ql , 根据定理1知必有一qi, , 使得 p1|qi，不妨令i=1, 即p1|q1, 显然p1=q1. 令a’=a/p1, 则a’=p2p3…pk, a’＝q2q2…ql. 若a’=1, 则a= p1=q1, 即a’的分解式唯一. 若a’＞1, 注意到a’<a, 从而 由归纳假设知, a’的分解式是唯一的. 因此k=l, 并且 p1=q1,…,pk=qk, 再由p1=ql, 知a分解式也是 唯一的.
p1 1
ps 1 j1 p j 1
(
p1 1
)...
(
ps
s
)
2020/5/16
00:38
例1 证明：（a,[b,c])=[(a,b),(a,c)]
例2 求 (180) ， (180)
1
例3 求 d|a d
(d 0)
2020/5/16
00:38
§7 函数[x]与{x} , n!的分解式
2020/5/16
00:38
定义1 设x是实数，以[x]表示不超过x的最大整数， 称它为x的整数部分，即[x]是一个整数且满足
[x] ≤ x <[x]+1.
又称{x} = x [x]为x的小数部分。
2020/5/16
00:38
定理1 设x与y是实数，则
(ⅰ) x ≤ y [x] ≤ [y]； (ⅱ) 若x=m+v, m是整数， 0 ≤ v< 1, 则m= [x], v={x}， 特别地，若0 ≤ x < 1，则[x] = 0，x ={x} ； (ⅲ) 若m是整数，则[m x] = m [x]；
2020/5/16
00:38
推论
设p1,p2,…,pn和p都是素数, n≥2. 若p|p1p2…pn, 则至少有一个pr, 使得p=pr. 证明 由p| p1p2…pn和定理1知, 至少存在一个pr, 使得p|pr. 由于pr是素数, 故它只有二个正因数1 和pr. 由p≠1和p| pr, 所以: p= pr.
设a，b，c，k是正整数，ab = ck ，(a, b) = 1，则存在正整数
u，v，使得a = uk，b = vk，c = uv，(u, v) = 1。
证明
设c
p1 1
p2 2
...
pss，其中p1,
p2,
, ps 是互不相同的素
数， i （1 ≤ i ≤ s）是正整数。又设
b
p1 1
p2 2
L
p s s
00:38
推论 设正整数a与b的标准分解式是
a
p1 1
L
pk k
q1 1
L
ql l
b
p 1 1
L
pk k
r 1
1
L
rs s
其中pi (1 ≤ i ≤ k)，qi (1 ≤ i ≤ l)与ri (1 ≤ i ≤ s)
是两两不相同的素数, i , i (1 ≤ i ≤ k),
i(1 ≤ i ≤ l)与i（1 ≤ i ≤ s）都是非负整数，则
00:38
推论6
设a是正整数， (a)表示a的所有正因数的个数.若a有
标准素因数分解式(2)，则
(a) (1 1)L
( s
1)
(
p1 1
)...
(
ຫໍສະໝຸດ Baidups s
)
推论7 设a是正整数， (a)表示a的所有正因数的之和.
若a有标准素因数分解式(2)，则
(a)
p1 1 1
1L
ps 1
1
1
s
p1 j 1 1
2020/5/16
00:38
定理2 (整数分解唯一性定理)
每个大于1的正整数a均可分解成有限个素数 之积, 并且若不计素因数的次序, 其分解是唯 一的. 证明 先证分解式的存在性. 唯一性. 当a=2时, 分解式显然是唯一的. 现设 比a小的正整数其分解式均是唯一的. 考虑正 整数 a, 假设 a有两个分解式 a=plp2…pk和 a=q1q2…ql, 其中pl,p2,…,pk和q1,q2,…,ql都是素 数.
2020/5/16
00:38
若将a的分解式中相同素因数合并为它的幂
数, 则任意大于1的整数a只能分解成一种形
式:
a
p1 1
p2 2
...
ps s
(2)
p1 < p2 < … < ps n≥1, 其中p1,p2,…,ps是互不相同的素数, ,1 ,…, s 是正整数. 并称其是 a的标准分解式.
2020/5/16
(a, b) =
p11
p
，k
k
i
=
min{i,
i},
1 ≤ i ≤ k，
[a, b] = p11
p
k
k
q11
q
l
l
r1
1，
rs s
i = max{i, i}，1 ≤ i ≤ k。
2020/5/16
00:38
推论4
设正整数a与b的分解式是
a
p1 1
p2 2
L
ps s
，b
p 1 1
p 1 2
L
ps s
整数分解唯一性定理也称算术基本定理, 在给 出并证明该定理前, 先介绍预备定理.
定理 若p为素数, 则a不能被p整除当且仅当: (p,a)=1
2020/5/16
00:38
定理1
设a1,a2,…,an都是正整数,且p是素数. 若p|a1a2…an, 则至少有一个ar, 使得p|ar, 其中1≤r≤n. 证明 假设 ai不能被p整除, 1≤i≤n. 从p是一素数 和定理得到(p,a1)=(p,a2)=…＝(p,an)=1. 所以由定 理5推论得到(p,a1a2…an)=1, 这与题设p|a1a2…an 矛盾, 故必有一ar, 使得p|ar, 其中1≤r≤n.
00:38
推论3
使用式(2)中的记号，有
(ⅰ) d 是a的正因数的充要条件是
d=
p e1 1
p e2 2
L
p es s
(3)
eiZ，0 ≤ ei ≤ i，1 ≤ i ≤ s；
(ⅱ) n的正倍数m必有形式
m
=
p 1 1
p2 2
L
ps s
M，MN，iN，
i i，1 ≤ i ≤ s。
2020/5/16
，a
p 1 1
p 1 2
L
ps s
其中i ，i（1 ≤ i ≤ s）都是非负整数。显然
min{i , i} = 0， i i = k i ，1 ≤ i ≤ s，
因此，对于每个i（1 ≤ i ≤ s），等式
i = ki ，i = 0与i = 0，i = ki有且只有一个成立。
这就证明了推论。证毕。
2020/5/16
其中p1, p2, , ps 是互不相同的素数，i，i
（1 ≤ i ≤ k）都是非负整数，则
(a, b)
p1 1
p1 2
L
pss， i min{i , i}， 1 i s，
[a, b]
p 1 1
p 1 2
L
pss， i max{i , i}， 1 i s。
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00:38
推论5
2020/5/16
00:38
于是p1| q1q2…ql , 根据定理1知必有一qi, , 使得 p1|qi，不妨令i=1, 即p1|q1, 显然p1=q1. 令a’=a/p1, 则a’=p2p3…pk, a’＝q2q2…ql. 若a’=1, 则a= p1=q1, 即a’的分解式唯一. 若a’＞1, 注意到a’<a, 从而 由归纳假设知, a’的分解式是唯一的. 因此k=l, 并且 p1=q1,…,pk=qk, 再由p1=ql, 知a分解式也是 唯一的.
p1 1
ps 1 j1 p j 1
(
p1 1
)...
(
ps
s
)
2020/5/16
00:38
例1 证明：（a,[b,c])=[(a,b),(a,c)]
例2 求 (180) ， (180)
1
例3 求 d|a d
(d 0)
2020/5/16
00:38
§7 函数[x]与{x} , n!的分解式
2020/5/16
00:38
定义1 设x是实数，以[x]表示不超过x的最大整数， 称它为x的整数部分，即[x]是一个整数且满足
[x] ≤ x <[x]+1.
又称{x} = x [x]为x的小数部分。
2020/5/16
00:38
定理1 设x与y是实数，则
(ⅰ) x ≤ y [x] ≤ [y]； (ⅱ) 若x=m+v, m是整数， 0 ≤ v< 1, 则m= [x], v={x}， 特别地，若0 ≤ x < 1，则[x] = 0，x ={x} ； (ⅲ) 若m是整数，则[m x] = m [x]；
2020/5/16
00:38
推论
设p1,p2,…,pn和p都是素数, n≥2. 若p|p1p2…pn, 则至少有一个pr, 使得p=pr. 证明 由p| p1p2…pn和定理1知, 至少存在一个pr, 使得p|pr. 由于pr是素数, 故它只有二个正因数1 和pr. 由p≠1和p| pr, 所以: p= pr.
设a，b，c，k是正整数，ab = ck ，(a, b) = 1，则存在正整数
u，v，使得a = uk，b = vk，c = uv，(u, v) = 1。
证明
设c
p1 1
p2 2
...
pss，其中p1,
p2,
, ps 是互不相同的素
数， i （1 ≤ i ≤ s）是正整数。又设
b
p1 1
p2 2
L
p s s
00:38
推论 设正整数a与b的标准分解式是
a
p1 1
L
pk k
q1 1
L
ql l
b
p 1 1
L
pk k
r 1
1
L
rs s
其中pi (1 ≤ i ≤ k)，qi (1 ≤ i ≤ l)与ri (1 ≤ i ≤ s)
是两两不相同的素数, i , i (1 ≤ i ≤ k),
i(1 ≤ i ≤ l)与i（1 ≤ i ≤ s）都是非负整数，则
00:38
推论6
设a是正整数， (a)表示a的所有正因数的个数.若a有
标准素因数分解式(2)，则
(a) (1 1)L
( s
1)
(
p1 1
)...
(
ຫໍສະໝຸດ Baidups s
)
推论7 设a是正整数， (a)表示a的所有正因数的之和.
若a有标准素因数分解式(2)，则
(a)
p1 1 1
1L
ps 1
1
1
s
p1 j 1 1
2020/5/16
00:38
定理2 (整数分解唯一性定理)
每个大于1的正整数a均可分解成有限个素数 之积, 并且若不计素因数的次序, 其分解是唯 一的. 证明 先证分解式的存在性. 唯一性. 当a=2时, 分解式显然是唯一的. 现设 比a小的正整数其分解式均是唯一的. 考虑正 整数 a, 假设 a有两个分解式 a=plp2…pk和 a=q1q2…ql, 其中pl,p2,…,pk和q1,q2,…,ql都是素 数.
2020/5/16
00:38
若将a的分解式中相同素因数合并为它的幂
数, 则任意大于1的整数a只能分解成一种形
式:
a
p1 1
p2 2
...
ps s
(2)
p1 < p2 < … < ps n≥1, 其中p1,p2,…,ps是互不相同的素数, ,1 ,…, s 是正整数. 并称其是 a的标准分解式.
2020/5/16
(a, b) =
p11
p
，k
k
i
=
min{i,
i},
1 ≤ i ≤ k，
[a, b] = p11
p
k
k
q11
q
l
l
r1
1，
rs s
i = max{i, i}，1 ≤ i ≤ k。
2020/5/16
00:38
推论4
设正整数a与b的分解式是
a
p1 1
p2 2
L
ps s
，b
p 1 1
p 1 2
L
ps s