第2章 张量分析(清华大学张量分析,你值得拥有)
【张量分析ppt课件】张量分析课件第二章2 矢量函数PPT共47页
【张量分析ppt课件】张量分析课件第 二章2 矢量函数
16、自己选择的路、跪着也要把它走 完。 17、一般情况下)不想三年以后的事， 只想现 在的事 。现在 有成就 ，以后 才能更 辉煌。
18、敢于向黑暗宣战的人，心里必须 充满光 明。 19、学习的关键--重复。
20、懦弱的人只会裹足不前，莽撞的 人只能 引为烧 身，只 有真正 勇敢的 人才能 所向披 靡。
谢谢你的阅路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
张量基础知识
张量基础知识
一、坐标变换 如图所示，设有直角坐标
系OX1X2X3，其三个方向的单
张量基础知识
此处σ不再是一个数，而是9个数构成一个方阵，称为电导率
张量，这是一个二阶张量。于是，各向异性晶体中的欧姆定
律可表示为
JE
11 12 13
21
22
23
31 32 33
张量的定义：一般来说，在物理学中，有一些量需要用9个分 量来描述，这种物理量就是二阶张量。
张量基础知识
2.2 张量的数学定义
张量基础知识
2.3 张量的运算
一、张量的加法
若 Ai,jBi(ji,j1,2,3)皆为二阶张量，则
C i j A i jB ij(i,j 1 ,2 ,3 )也为二阶张量，于是我们定义 Cij
为 Aij, Bij 之和。这就是二阶张量的加法，并表为C=A+B。
以此类推，若A,B为两个同阶张量，则A,B相应分量之和构成 新的同阶张量C，记作C=A+B。
同 样 x x1 2 ： 1 2''1 1 1 2''2 2 x x1 2'' i'jT x x1 2''
由（ ）式得
xx12i'
j1xx12''
比较 : i'jTi'j1
[ i ' j ] 为张量正基础交知识矩阵
引用指标符号：
【张量分析ppt课件】张量分析课件第二章 矢量代数与矢量分析
（2.1-3）
在矢量的加法和减法运算中定义单位元素为：
o 0 i1 0 i2 0 i3
同时长度为1的矢量称为单位矢量。 应当注意单位矢量元素和单位矢量的区别。
例2 ： 图 2－4 所示具有坐标系的矢空间 V 中 矢量a、 b。试求 2a +1.5b在{o；i1， i2 }中的表示。 a (3 1) i 1 (1 0) i 2 2 i 1 i 2 解：
a b ( ai i i ) (b j i j ) ai b j ij ai bi b a ; a , b V
（2.1-4） （2.1-5）
1 ; i j i i i j ij 0 ; i j
其中δij称为Kronecker符号。 定义矢量积
例6 ：
证明e—δ恒等式： eijk eimn jm kn jn km 证： 由（2.1-12）式有：i j ik e jkiii eijkii
im in emne ie eemn ie
eijkeemn ii ie (i j ik ) (im in ) (eijkii ) (eemnie ) (i j ik ) (im in ) eijkeemn ie (i j ik ) (im in )
X2
x2
x r2 o r1 x1 (a ) X1
x2 i2 x i1 x1 X1
X2
(b )
图2－3
设V的坐标系为{o；i1，i2，i3}，V中矢量的加法和矢量与 数量的标量积按（1.1-3）和（1.1-4）定义，即对x，y ∈ V；α，β ∈F有 x y xi yi
i i i i
( xi yi ) ii
张量分析及其应用
2.10 协变导数，逆变导数
在曲线坐标系下，哈密顿算子定义为
grr
2.10.1协变导数
设 T 为任意张量，则 T 构成新的张量，称为 T 的梯度。例如 T T ij k gi g j gk ，则
T grr (T ij k gi g j gk ) gr[rTij k gi g j gk T ij k (r gi g j gk r gi g j gk r gi g j g k )]
r i
ai
p ri
r p
rar
ai
r ri
r ri
i (log
g ) r (log
g)
div a rar arr (log
g)
1( g
gar ),r
2.10.3旋度
设 T T ij k gi g j gk
curlT T grr (T ij kgig jgk ) gr gir (T ij kg jgk )
自习： （二）曲率张量
1）曲率张量的定义 2）曲率张量的性质（推导）
gil g r
glr
(T
ij
k
g
jgk
)
gil
gs
srl rLeabharlann (Tijk
g
jgk
)
gil srlrT ij k gs g j g k
srl rTl
j k
gs
j
k
srirTi j k gs j k
若 T a ai gi ，则 curla grr (ai gi ) gr r (ai gi )
张量分析清华大学张量分析你值得拥有
g是正实数（右手系）
斜角直线坐标系旳基矢量与矢量分量
➢ 三维空间中旳斜角直线坐标系和基矢量
定义逆变基矢量 g j，满足对偶条件：
g j gi ij (i, j = 1, 2,3)
问题：已知 gi，怎样求 g j ？
※ 根据几何图形直接拟定
由对偶条件可知， g1与 g2 、g3 均正交，所以正交于 g2与 g3所
第1章 矢量与张量
2023年12月12日
张量旳两种体现形式
实体形式
分量形式
几何形式 定义式
代数形式 计算式
概念旳内涵和外 延（定量）
怎样计算？
主要内容
➢ 矢量及其代数运算 ➢ 斜角直线坐标系旳基矢量与矢量分量 ➢ 曲线坐标系及坐标转换关系 ➢ 并矢与并矢式 ➢ 张量旳基本概念 ➢ 张量旳代数运算 ➢ 张量旳矢积
g1 1
g2 x1(cos x2 cos x3i cos x2 sin x3 j sin x2k) g2 x1
g3 x1注sin:x2(()s式in 只x3i对 c正os交x3曲j) 线坐标系成立，g3 x1 sin x2
☆正交曲可作线为坐求标正系交与系L中am度é量常张数量旳一种措施。
y
※平面极坐标系
(x, y) (x1, x2)
r
g gr
(r, ) (x1, x2 )
矢径：
r x1i x2 j
j
x1
x2
(x1)2 (x2)2
arctan
x2 x1
x1
x1
cos
x2
x2 x1 sin x2
i
x
平面极坐标系
xi' = xi' xi
r g1 i cos x2 j sin x2
第二章 张量(清华大学弹塑性力学)
xi aij x j
其中 j 是哑指标，i 是自由指标。
19
Appendix A.1
张量基本概念
★ 在表达式或方程中自由指标可以出现多次，但不得
在同项内出现两次，若在同项内出现两次则是哑指 标。例：
若i为自由指标
ji , j fi 0
ji , j fii 0
个独立的自由指标，其取值范围是1～n，则这个方
程代表了nk 个分量方程。在方程的某项中若同时出 现m对取值范围为1～n的哑指标，则此项含相互迭
加的nm个项。
27
Appendix A.1
张量分析初步
矢量和张量的记法，求和约定 符号ij与erst 坐标与坐标转换 张量的分量转换规律，张量方程 张量代数，商判则
3. 换标符号，具有换标作用。例如：
d s2 ij d xi d x j d xi d xi d x j d x j
即：如果符号的两个指标中，有一个和同项中其它 因子的指标相重，则可以把该因子的那个重指标换成 的另一个指标，而自动消失。
30
Appendix A.2
符号ij与erst
Appendix A.1
张量基本概念
★ 指标符号也适用于微分和导数表达式。例如，三维
空间中线元长度 ds 和其分量 dxi 之间的关系
d s d x1 d x2 d x3
2 2 2
2
2 可简写成： d s d xi d xi
场函数 f(x1, x2, x3) 的全微分：
21n1 22n2 23n3 T2
31n1 32n2 33n3 T3
18
第4章-张量分析(清华大学张量分析-你值得拥有)
ij,k ilj glk glk ilj
定义式：
ij ,k
g j xi
gk
性质： ij,k ji,k
比较：
ikj
g j xi
gk
Christoffel符号仅有定义式是不够的，必须有计算式！
基矢量的导数，Christoffel符号
➢ 基矢量的导数与Christoffel符号
Christoffel的计算式：用gij来计算 gij gi g j
F;
i j
F,
i j
张量分量对坐标的协变导数
★张量场函数的梯度
T
T ij gi g j
Ti j gi g j
T
i j
gi
g
j
Tij gi g j
右梯度：
T
T xk
gk
T
ij ; k
gi
g
j
g
k
Ti
j ;k
g
i
g
j
g
k
T
i j;k
gi
g
j
g
k
Tij;k gi g j gk
左梯度：
T
gk
T xk
dxi
f xi
gi g jdx j
其中， f xi
gi定义为f (r)的梯度f
；g jdx j 即 dr
。
因此， df f dr
f
f xk
gk
gk
f xk
梯度的几何意义！
取弧元ds，有方向导数：
df f dr f t t f
ds
ds
张量场函数对矢径的导数、梯度
张（矢）量场函数T(r)的梯度，借助有限微分，得
张量分析——初学者必看精选全文
§ A-1 指标符号 三、Kronecker-符号和置换符号(Ricci符号)
Ricci符号定义
偶次置换
1 若i, j, k 1,2,3, 2,3,1, 3,1,2 eijk 1 若i, j, k 3,2,1, 2,1,3, 1,3,2
0 若有两个或三个指标相等
e123 e231 e312 1 e213 e132 e321 1 e111 e112 e113 0
§A-4 张量的代数运算 三、矢量与张量的叉积
A 张量分析
右叉乘
T a (Tijeie j ) (akek ) Tij akeie jkrer e T jkr ij akeier B
§A-4 张量的代数运算
A 张量分析
四、两个张量的点积
两个张量点积的结果仍为张量。新张量的阶数是 原两个张量的阶数之和减 2
坐标变换式 xi ii xi xi ii xi
ii cos(xi, xi ) ii cos(xi , xi )
§A-3 坐标变换与张量的定义 A 张量分析
[ii ], [ii ]
互逆、正交矩阵
ii ii
ij
1 0
0 1
基矢量变换式
ei iiei ei iiei
坐标变换系数
v 任意向量变换式 i vii i vii i
ip iq ir eijk epqr jp jq jr
kp kq kr
pk
eijk ekqr
iq jq
ir jr
iq jr ir jq
a11 a12 a13 A a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31
a31 a32 a33 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 eijk a1ia2 j a3k eijk ai1a j2ak3
第2章 张量分析(6.8)
第2章 张量分析§2.1矢量空间、基、基矢1．线性矢量空间设有n 个矢量,1,2,,i i n =a ，它们构成一个集合R ，其中每个矢量i a 称为R 的一个元素。
如()i j i j +≠a a 唯一地确定R 的另一个元素，及i k a （k 为标量）也给定R 内唯一确定的元素，则称R 为线性（矢量）空间。
R 中的零元素记为O ，且具有i ⋅=O a O .2．空间的维数设i α为m 个标量，若能选取i α，使得10mi ii =α=∑a且i α不合为零，则称此m 个矢量线性相关，否则，称为线性无关。
例1 位于同一平面内的两个矢量1a 和2a （如图）是线性无关的，即11220α+α≠a a 若1α和2α为任意值，且不全为零。
例2 位于同一平面内的三个矢量1a ，2a ，3a 是线性相关的，则恒可找到1α,2α,3α（不全为零）使1122330α+α+α=a a a 如图： 21133''=α+αa a a集合R 内线性无关元素的最大个数称为集合或空间的维数。
设R 的维数为n ，则记为n R ，欧氏空间为3R 。
3．空间的基和基元素n R 中任意n 个线性无关元素的全体称为n R 的一个基。
基的每个元素称为基元素，由于n R 的n 确良基元素是线性无关的。
于是n R 内任一个元素r 可表示成基元素的线性组合。
设(1,2,,)i i n =a 为n R 的任选的基，则有：10ni ii ='α≠∑a，i α'为任意的不全为零的标量但总可选取00≠α及i α不全等于零，使得010ni i i =α=α=∑r a或者2a1a21x2x3xi i x =r e110()nnii i i i i ==α=-=ξα∑∑r a a①i αα,00≠ 不全等于零，所以i ξ不全等于零，且为有限值。
② n R 内有无限个基，但只有一个基是独立的，因为n R 内至少只有n 个元素是线性无关的。
张量分析
张量分析研一 熊焕君 2017.9.281.引论：我们对标量和矢量都非常熟悉。
标量是在空间中没有方向的量，其基本特征是只需要一个数就可以表示，且当坐标系发生转动时这个数保持不变，因此也称其为不变量。
而矢量是个有方向的量，三维空间中矢量需要一组三个数（分量）来表示，其基本特征是当坐标系发生转动时，这三个数按一定规律而变化。
然而在数学物理问题中，还常出现一些更为复杂的量，如描述连续体中一点的应力状态或一个微元体的变形特征等，仅用标量和矢量不足以刻画出他们的性质。
要描述这些量则有必要将标量和矢量的概念加以引申和扩充，即引入新的量——张量。
在概念上，张量和矢量有许多类同之处。
一方面张量也表示某一客观存在的几何量或物理量，显然张量作为一个整体是与描述它所选取的坐标系无关，可像矢量代数那样，用抽象法进行描述；另一方面也可像矢量一样采用坐标法进行描述，此时张量包含有若干个分量元素，各个分量的取值与具体的坐标系相关联。
张量的主要特征是，在坐标系发生变化时，其分量取值遵守着一定的转化定律。
张量方法的核心内容是研究一个复杂的量集坐标转换规律。
我们知道，一个物理定律如果是正确的，就必须不依赖于用来描述它的任何坐标系，张量方法就是既采用坐标系，而又摆脱具体坐标系的影响的不变方法。
于是我们可以在简单的直角坐标系中建立描述某一运动法则的支配方程，如果需要可以用张量方法将其转换到任意一个曲线坐标系中去。
例如对于很大一类边值问题，若选用恰当的曲线坐标系，其边界条件可以简化的表达，那么我们就可以将支配方程用张量方法转化到所采用的坐标系中来，从而使问题的求解容易处理。
2.记号与约定张量是包含有大量分量元素的复杂量集，必须使用适当的记号和约定，才能使其表达形式简化紧凑，从而使分析和讨论有序地进行。
从某种意义上讲，可以说张量是对记号的研究。
所以我们必须熟悉各种约定记号，才能对张量这个工具运用自如。
在张量方法中对一个量的标记采用字母标号法。
02张量分析
grada a
于是，在卡氏直角坐标系下，其分量形式为
(2.2.07)
ei ei i x i
于是的梯度 gradf 定义为
grada a e i i a j e j
(2.2.01)
a j x i
eie j
gradf f
或写成下列形式：
(2.2.02) 其中
dT dr T T dr
(2.2.21) (2.2.22)
grada a
在卡氏直角坐标系下
可以证明 一般地
grada a ai e i e j j
(2.2.13)
T T
类似地，可以定义更高阶张量的梯度。
aij e i e j
矢量a的微分可写为
(2.2.10)
da aP dP a(P)
a j a dx i dx i e j x i x i
a j e k dxk x e i e j i dP a 类似地，矢量a的右梯度 grada 定义为
其中
a i e i e j ai, j e i e j x j
2.3
散
度
a ij
写成矩阵形式就是
a i x j
a1 x 2 a 2 x 2 a 3 x 2 a1 x 3 a 2 x 3 a 3 x 3
(2.2.14) 1.矢量场的散度 设 a aP 是一矢量场，则矢量场的左散度 diva 定义为 (2.2.15)
ij
设 为标量，a为矢量，则有 事实上，
aT
a
a a a
【张量分析ppt课件】张量分析课件第二章2 矢量函数
θ= π/4 1
π /4 r x -1 图2－14 o 1
1
当r =2时：
x 2 (r , ) 2 sin
o
1
2
结果如图图2－13所示 。
2.4 矢量函数分析
在实变函数理论中。一旦函数给定，对函数可进行极 限运算、连续性及微分积分的分析。对矢量函数，当 引入极限的定义后，同样可以进行极限运算、连续性 及微积分的分析。以下主要讨论单参数矢量函数的极 限运算、连续性及微分积分的分析。并且对连续的矢 量函数，单参数矢量函数的分析结论很容易推广到多 个参数的矢量函数分析中。
(0.5sin 0.25sin cos ) i2
;
0 /2
图2－10
以上各 φ值对应的v，将起点移至（按平行性）o点所得 矢端曲线如图所示。
给定的标准正交坐标系{o；i1，i2，i3}： 位置矢量r处的自由矢量x在A点基底i1，i2上的坐标与将x 平移至o点的矢量的坐标相同。 当x是某一参数t的矢量函数时，对任意给定的t值，x(t)就 是{o；i1，i2，i3}坐标系中的确定自由矢量。且： x(t ) x (t )i x (t )i x (t )i x (t )i （2.3-2） 式中 x1(t), x2(t), x3(t)是参数t取给定值时 x(t)自由矢量在基 底i1，i2，i3上的坐标。图2－11给出二维矢量空间的示意。 （2.3-2）式中的x1(t), x2(t), x3(t)称为矢量 x (t)的参数方程。参数方程在{o；i1，i2， i3}中描绘的曲线正是矢端曲线。 对依赖多个参数变化的矢量，类似式（2.3-1） 和（2.3-2）可定义多参数变量的矢量函数。设 矢量x依赖参数 t , , t 。则： x x(t , , t ) （2.3-3）
第二章 张量分析
P P x1' , x 2' , x 3' P x i'
这种坐标系记为 xi。' 这两组变量
x1 , 和x 2 , x 3 表示x同1' 一, x空2' , x 3'
间点的位置。两者由下列坐标变换联系起来：
xi xi xi'
aigi a jg j aia j gi g j
aiaj 0
令
gij gi g j
g ij g i g j
gi j gi g j g j gi
它们分别称为协变度量张量、逆变度量张量和混合度量张量
考虑到矢量a的任意性 g ji gi g j i j
可知：基矢量 g与i 是g i 正交的，它们称为互逆基矢量 互逆基矢量间具有下列关系：
gig j g k gi g j g k gig j g k eijk
这两个量定义为爱丁顿(Eddington)张量并分别记为 和ijk 。ijk
由此定义可知
123 g1g 2g3
123 g1g 2g3
对于矢量 a 0 ，则有
a 2 a a a i g i a j g j a i a j g i g j ai gi a j g j ai a j gi g j
(ii) x 2' (常 数 C)为2 通过z轴的平面； (iii) x3' (常z 数 C)3为垂直于z轴的平面；
和坐标曲线：
(i) x1' 和r C1 x的2' 交线 (zC线2 )是直线； (ii) x 2' 和 C2 的x3'交线z (r线C3)是直线；
(完整版)《张量分析》报告
一 爱因斯坦求和约定1.1指标变量的集合：n n y y y x x x ,...,,,...,,2121表示为：n j y n i x j i ...,3,2,1,,...,3,2,1,==写在字符右下角的 指标，例如xi 中的i 称为下标。
写在字符右上角的指标，例如yj 中的j 称为上标；使用上标或下标的涵义是不同的。
用作下标或上标的拉丁字母或希腊字母，除非作了说明，一般取从1到n 的所有整数，其中n 称为指标的范围。
1.2求和约定若在一项中，同一个指标字母在上标和下标中重复出现，则表示要对这个指标遍历其范围1，2，3，…n 求和。
这是一个约定，称为求和约定。
例如：333323213123232221211313212111bx A x A x A b x A x A x A bx A x A x A =++=++=++筒写为：ijijbx A =ｊ——哑指标ｉ——自由指标，在每一项中只出现一次，一个公式中必须相同遍历指标的范围求和的重复指标称为“哑标”或“伪标”。
不求和的指标称为自由指标。
1.3 Kronecker-δ符号（克罗内克符号）和置换符号Kronecker-δ符号定义j i ji ij ji ≠=⎩⎨⎧==当当01δδ置换符号ijkijk e e =定义为:⎪⎩⎪⎨⎧-==的任意二个指标任意k j,i,当021)(213,132,3的奇置换3，2，1是k j,i,当112)(123,231,3的偶置换3，2，1是k j,i,当1ijk ijke ei,j,k 的这些排列分别叫做循环排列、逆循环排列和非循环排列。
置换符号主要可用来展开三阶行列式：231231331221233211231231133221332211333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++==因此有：ijmjimii i i jijAA aa a a a ==++=δδδδδ332211kijjkiijkkjiikjjikijkee e e e e e ==-=-=-=同时有：ijjijij iiiijijijkj ikilkljkijjjiiijijijkjikiie e aa aa a a a aa δδδδδδδδδδδδδδδδδδδ=⋅=++=========++=332211332211331001010100131211232221333231321333222111321321321-=====δδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδe e k j i k j i k j i k k k j j j i i i ijk333222111321321321r q p r q p r q p k k k j j j i i i pqr ijke e δδδδδδδδδδδδδδδδδδ⋅=ipp i p i p i p i δδδδδδδδδ==++11332211krkqkpjrjqjpiriqippqrijke e δδδδδδδδδ=jqirjriqjrjqiriqkqrijke e kp δδδδδδδδ-===321321322311332112312213322113312312332211333231232221131211k j i ijkkjiijkaa a e a a a e aa a a a a a a a a a a a a a a a a aaaa a aaa a A ==---++==Kronecker-δ和置换符号符号的关系为：itjsjtiskstkije e δδδδ-=二 张量代数2.1张量的加法(减法)两个同阶、同变异(结构) 的张量可以相加(或相减)。
张量分析02
I.2 符号ij δ与rst e符号ij δ称为“Kronecker delta ”，它的定义是：⎩⎨⎧=01ij δ时当时当j i j i ≠= ()n ,,2,1j ,i = (I.14)定义表明它对指标i 和j 是对称的，即ji ij δδ= (I.15)ij δ的分量集合对应于单位矩阵。
例如，在三维空间中：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10010001333231232221131211δδδδδδδδδ (I.16) 利用ij δ可以把线元长度平方的公式(I.6)改写成j i ij dx dx dsδ=2(I.17)这里ij δ起了换标的作用，即：如果ij δ符号的两个指标中，有一个和同项中其他因子的指标相重，则可以把该因子的那个重指标替换成ij δ的另一个指标，而ij δ自动消失。
这样：i i jj ji ij dx dx dxdx dxdx ds===δ2类似地有ik jk ij a a =δ；jk ik ij a a =δki kj ij a a =δ；kj ki ij a a =δ (I.18)以及ik jkij δδδ=；il kl jk ij δδδδ= (I.19)所以，ij δ也称为换标符号。
符号rst e 的定义是：⎪⎩⎪⎨⎧-=011rste 个以上指标值相同时中有当为逆序排列时当为正序排列时当2t ,s ,r t ,s ,r t ,s ,r (I.20a) 或)r t )(t s )(s r (21e rst ---=()3,2,1t ,s ,r = (I.20b)其中，正序排列是指（l , 2 . 3 ）及其轮流换位得到的（2 . 3 , l ）和（3 , 1 , 2 ），逆序排列是指（3 , 2 ,l ）及其轮流换位得到的（2 , l , 3 ）和（l , 3 , 2 ）。
rst e 称为排列符号或置换符号。
它共有27 个元素，其中只有3个元素为1，3个元素为－1 ，其余的元素都是0。
张量分析(本科)
'
x1 11 ' 同样： x 2 21 '
T x ' 1 i ' j ' x ' 22 2 12
'
x ' 1 x ' 2
由（ ）式得
2、梯度
1
标量场
( x1 , x 2 , x 3 ) grad , i e i
为一阶张量－－矢量
2
张量场
A Aijei e j
（1）左梯度
A e i i A jk e j e k A jk , i e i e j e k
（2）右梯度
A i A jk e j e k e i A jk , i e j e k e i 高一阶的张量场
第一节
指标符号
第二节
第三节
张量的定义和代数运算
张量分析
自然法则与坐标无关。 坐标系的引入方便了问题的分析，但也掩 盖了物理本质；并且相关表达式冗长。
引入张量方法
§A－1 指标符号
x1 , x 2 x n
记作
x i ( i 1, 2 , n )
下标符号 i 称为指标；n 为维数
指标 i 可以是下标，如 xi
xi i j' x j'
由 x i ' x ' ' i j j ij 又
j 'k
xk
x i ik x k
ij
'
j 'k
ik
说明
1
基矢量具有与坐标分量相同的变换规律
第4章 张量分析(清华大学张量分析,你值得拥有)
x2
A
• •
b
a
dF ( x) dx F (a ) F (b) dx
微分阶次降了一阶 域内转换到边界
l
x1
向二维扩展：Green定理
X 1 ( x1 , x 2 ) 1 2 1 2 1 dx dx X 1 ( x , x )dx 2 x A l X 2 ( x , x ) 1 2 dx dx 1 x A
gi ( x j ) gi ( x j x j )
gi gi ( x , x , x )
1 2 3
O
是坐标的非线性函数
基矢量的导数，Christoffel符号
基矢量的导数与Christoffel符号 协变基矢量的导数与第二类Christoffel符号 g j g j k k k ij gk ij i g 定义式 i x x
m Tim m T i j k
i i m T m T j mk m jk
四者之间满足指标升降关系。
张量分量对坐标的协变导数
★张量场函数的梯度 特殊张量1：度量张量G
g ij;k 0 G G 0
两个张量的并AB的协变导数
1 ij gg i j x g x
2
张量场函数的散度和旋度
因此，Laplace算子的计算式：
1 ij ( ) ( ) gg i j x g x
2
Euclid空间，只有一个最基本的一阶矢量微分算子， 即梯度算子。 Euclid空间，只有一个最基本的二阶标量微分算子， 即Laplace算子。
从而可得右梯度和左梯度：
T i T T (r ) i g x
张量分析第二讲精品PPT课件
爱因斯坦求和约定
Sa 1x1a2x2anxn
n
n
S aixi ajxj
i1
j1
约定 Saixi ajxj
用拉丁字母表示3维，希腊字母表2
维
求和指
标与所用 的字母无
关
指标重
复只能一 次
指标范
围
33
Aij xi y j
i1 j1
双重求和
Aij xi yj A11x1y1A12x1y2 A13x1y3
i——自由指标，在每一项中只出现一次，一个公式 中必须相同
置换符号与克罗尼克尔记号
1 若i, j,k1,2,3,2,3,1,3,1,2 eijkeijk1 若i, j,k3,2,1,2,1,3,1,3,2
0 若有两个或三个等指
j i
1 0
当i j 当i j
ijaj i1a1i2a2i3a3ai imAmj i1A1j i2A2j i3A3j Aij
i
i
1 1
2 2
3 3
3
k
i
j
k
j i
j
i
i
j
i i
j j
3
j
i
k j
l k
l i
• 2. 张量相关的概念
P•g1(P1g1P2g2)•g1P1 P•g2(P1g1P2g2)•g2P2 P•g1(P1g1P2g2)•g1P1 P•g2(P1g1P2g2)•g2P2
gi gijgj
g i
gijg j
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
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( Nij ij )a j 0 det( Nij ij ) 0
利用指标升降关系 a为非0矢量 利用主不变量
N ( ) 3 J1N 2 J 2 J3N 0
二阶张量的标准形: 张量最简单的形式
非对称二阶张量
•
请研究以下领域的同学关注。 1、应变梯度理论，偶应力理论 2、电流场，电磁流变（有旋场）
x
x
椭圆曲线的坐标变换
正交变换可使椭圆曲线的方程由以下一般形式
ax bxy cy d 0
任意二阶张量将一线性相关的矢量集映射为线性相 关的矢量集：
(i)u(i) 0
i 1
l
l l 0 T (i)u(i) (i)(T u(i)) i 1 i 1
正则与退化的二阶张量
•
3D空间中任意二阶张量T将任意矢量组u，v，w映射 为另一矢量组，满足：
N S
1 p
S S1e1e1 S2e2e2 S3e3e3
Si N i
1 p
几种特殊的二阶张量
正张量的对数
N N1e1e1 N2e2e2 N3e3e3
ln N ln N1 e1e1 ln N2 e2e2 ln N3 e3e3
Nij N ji Ni j Nij Nij N ji N ij N ji
N 1 NT 1
( ) , ( ) , ( ) ,
N T 1 N 2 N T 3 N 3 N T 2 N 4
NT 4
N T ( 4 )
反对称张量与其转置张量分量及二者所对应的矩阵
二阶张量的行列式
det(1 ) g det( 2 ) g det( 3 ) g 2 det( 4 )
通常定义 3 的行列式为张量T的行列式
T
T i T det T det( 3 ) T det T j
由于两个互为转置的矩阵的行列式相等，所以
T det( ) det( ), det( ) det( 4 ) T 1 T det( ) det( ), det( ) det( 2 ) T 3 TT 2 TT 3 TT 1 TT 4
两个二阶张量的点积 3 矩阵时，才与矩阵乘法相对应。 只有取 2 ， 二阶张量的某些运算没有对应的矩阵运算 例如，并乘运算。
正则与退化的二阶张量
行列式值不为零的二阶张量T称为正则的，否则称 为退化的。 二阶张量将整个矢量空间中的任意矢量映射为矢量。
• •
任意二阶张量将零矢量映射为零矢量：T 0 0来自二阶张量的矩阵
二阶张量的代数运算与矩阵的代数运算
张量的加法和乘法运算与矩阵运算一一对应。 求迹运算，即缩并，对应于求 3 矩阵的对角线元 素之和。 二阶张量与矢量的点积，即线性变换。例如：
w T u
该运算具有线性性质：
T ( u v ) T u T v
二阶张量的标准形: 张量最简单的形式
实对称二阶张量的标准形
存在以下等式：
N g1 N1 1 g1 N g2 N2 2 g2
N a a
特征方程，λ即N的特征
值，a即N的特征向量。 N g3 N3 g 3 3 特征值为什么是三个？ 分量形式 Nij a j ai
ω e3
e1 e2
几何意义！
e2 e1
倍
e1 , e2
整体绕轴旋转90度，扩大
几种特殊的二阶张量
•
正交张量Q：对应着标架的刚性旋转
最简单的坐标变换
y
y
x cos y sin
•
sin x cos y
几种特殊的二阶张量
正张量：N>0的对称二阶张量 非负张量：N≥0的对称二阶张量
u N u 0 u N u 0
对称二阶张量总可以化为：
N N1e1e1 N2e2e2 N3e3e3
对称二阶张量为正张量的充要条件：
N1 0 N1 0
N2 0
N3 0 N3 0
几种特殊的二阶张量
零二阶张量O
Oij 0
Ou 0
度量张量G
G g1 g1 g2 g 2 g3 g3 gi gi
G u u G T T
几种特殊的二阶张量
•
二阶张量的幂
正整数次幂
T 2 T T
T 3 T T T
T m T T T T
WHY?
T Tji g g Ti g g j T gi g T gi g j
二阶张量的矩阵
二阶张量的转置张量所对应的矩阵
TT 1
( )
T T 1
TT 2
( )
T T 3
TT 3
( )
T T 2
TT 4
T T ( 4 )
对称张量与其转置张量分量及二者所对应的矩阵
对称二阶张量为非负张量的充要条件：
N2 0
几种特殊的二阶张量
非负张量的方根
N N1e1e1 N2e2e2 N3e3e3
N M2
可证明：
N M
M M1e1e1 M 2e2e2 M 3e3e3
M1 N1
M 2 N2
p
M 3 N3
非负张量的任意次方根
NS
1
二阶张量的不变量（代数）
二阶张量T与三个线性无关矢量间的线性变换
T T u v w u T v w u v T w J 1 u v w
T T u T v w u T v T w T u v T w J 2 u v w
第2章 二阶张量
2015年4月18日
主要内容
二阶张量的矩阵 正则与退化的二阶张量 二阶张量的不变量 二阶张量的标准型 几种特殊的二阶张量 二阶张量的分解
正交相似二阶张量
二阶张量的矩阵
二阶张量的分量包含协变、逆变和两种混变形式
T Tij g g Ti g g j T gi g T gi g j
T u
T T v T w J3 u v w
正则二阶张量，有Nanson公式
T u T v J
T 3
T u v
T 1
二阶张量的标准形: 张量最简单的形式
实对称二阶张量的标准形
•
简单的例子
复杂应力状态分析中的主应力 σ 1e1e1 2e2e2 3e3e3 σ ij ei e j
反对称二阶张量Ω
ΩT Ω
0
1 2
ij i j
1 3 32
1 3 2 0 1 3 32
只有3个独立分量
J3 0
0
主不变量：
J1 0，
1 2 1 2 J2 (2 ) (3 ) (32 )2 2 1 :Ω 反偶矢量： ω Ω ω 2 线性变换： Ω u u Ω 蝌 u : u u
非负张量的构造：任意二阶张量T
X T T T 0 Y T T T 0 Y T T T > 0
正张量的构造：正则二阶张量T
X T T T > 0
几种特殊的二阶张量
反对称二阶张量Ω 二阶张量T可加法分解为对称张量N和反对称张量Ω
T N Ω
几种特殊的二阶张量
i j i i j j ij
j
以上四种分量形式对应着张量的四种矩阵形式
j i ij 1 T T T T 2 4 ij i 3 j
3 矩阵是最重要的张量矩阵。 其中，
二阶张量的转置张量
T i j j i i j j ji
以及
J1 J 1 2 J2 ( J ) J 1 2 2 1 3 1 1 J 3 ( J1 ) J1 J 2 J 3 6 2 3 J J1
J2 ( J1 )2 2J 2 J3 ( J1 )3 3J1J 2 3J3 1
几种特殊的二阶张量
反对称二阶张量Ω的标准形
3 J2 0
→
3 2 0
e3
0 0 0 0 0
只有一个实根 3 0 实数标准形
对应特征方向，轴向，零向
0 0
e1e2 e2e1
可证：
e3 0
i l l i i i
二阶张量T的矩：
J1 tr (T ) Tii i j J 2 tr (T T ) T jTi J3 tr (T T T ) T ijTkjTik
二阶张量的不变量（代数）
二阶张量T的三个主不变量与各阶矩之间的关系
ijk j k TliTm Tn C3
二阶张量的不变量（代数）
二阶张量T的三个主不变量：
J1 G : T T T 1 ij l m 1 i l J 2 lmTi T j (Ti Tl TliTil ) 2! 2 1 ijk l m n J 3 lmnTi T j Tk det(T ) 3!
• •
uv
满射性。若 T u w，则存在唯一的逆变换 T 1 w u