第七章弹塑性断裂力学简介

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Linear elastic fracture mechanics predicts infinite stresses at the crack tip. In real materials, however, stress at the crack tip are finite because the crack tip radius must be finite. Inelastic material deformation, such as plasticity in metal , leads to further relaxation of the crack tip stress.
第七章
弹塑性断裂力学简介
线弹性断裂力学 (LEFM ) 用线弹性材料物理模型，按照弹性力学方法，研究 含裂纹弹性体内的应力分布，给出描述裂纹尖端应 力场强弱的应力强度因子K，并由此建立裂纹扩展 的临界条件, 处理工程问题。 线弹性断裂力学给出的裂纹尖端附近的应力趋于 无穷大。然而，事实上任何实际工程材料，都不 可能承受无穷大的应力作用。因此，裂尖附近的 材料必然要进入塑性，发生屈服。
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为满足静力平衡条件，由于AB部分材料屈服而少 承担的应力需转移到附近的弹性材料部分，其结果将 使更多材料进入屈服。因此，塑性区尺寸需要修正。
设修正后的屈服区尺寸为R； 假定线弹性解答在屈服区外仍然 适用，BK平移至CD，为满足静 力平衡条件，修正后ABCD曲线 下的面积应与线弹性解HBK曲线 下的面积相等。
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考虑Irwin塑性修正后，裂尖应力强度因子K为： K1= s p (a + r p )
(7-5)
sy
裂纹线上(=0)的应力sy为： s y = s ys K1 sy= 2p r’ K1 = 2p (r - rp) r2rp；
H A
sys B C
r r' o o' rp rp
D
K x
r2rp；
(7-4)
上式指出： 裂纹尖端的塑性区尺寸R 与(K1/sys)成正比； 平面应变时的裂尖塑性区尺寸约为平面应力 情况的1/3。
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Most of the classical solution in fracture 一般地说，裂纹前的条件既不是平面
mechanics reduce the problem to two dimensions.
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[ sin sin3 ] a s s cos = 1裂尖附近 线弹 x 一点 2 2 2r 2 性断 任一点处 的应 a 3 ] + [ sin = cos sin s 1 s y 2 的 2 2 sy 裂力 r sx、 2 力状 学 态3 a cos xy ， cos sin xy=s r 2 2 2 2
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考虑塑性修正后有： K 1 =l K 1 ；
s 2 1/ 2 1 l =[1+ ( ) ] 2a s ys
l>1，故考虑塑性修正后应力强度因子增大。
K K1 = l -1 1 二者的相对误差为： = K1 对于平面应力情况，a=1；若(s/sys)=0.2，=1%； 若(s/sys)=0.5，=6%；当(s/sys)=0.8时，达15%。 对于平面应变情况，a3，二者相差要小一些。 可见， (s/sys)越大，裂尖塑性区尺寸越大，
线弹性分析给出的应力强度因子误差越大。
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3. 小范围屈服时表面裂纹的K修正
无限大体中半椭圆表面裂纹最深处的应力强度因子为：
M f s p a 前表面修正系数通常取为Mf=1.1； K1 = E(k)是第二类完全椭圆积分。 E(k)
考虑裂尖屈服，按Irwin塑性修正， 1.1 s p (a + rp) 用a+ rp代替原裂纹尺寸a，故有： K1 = E(k) 无限大体中半椭圆表面裂纹最深处处于平面应变状 态，故由(7-4)式知： K1 2 1 rp = ( ) 4 2p s ys
sy
H
sys
B C
A
D K
o rp a R x
由于曲线CD与BK下的面积是相等的，故只须AC下 的面积等于曲线HB下的面积即可。
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于是得到：
R s ys = s y ( x)dx
0
sy
H BC A D K
rp
sys
注意到式中：sy=K1 / 2p r ,
K1 2 1 平面应力时：r p = p ( s ) 2 ys
1) s=500MPa时的临界裂纹深ac。 (设a/c=0.5)
计 算 主 应 力
s
屈 服 准 则
sy xy 裂纹尖 y sx dy 端屈服 r dx 区域的 (5-1) 2a x 形状与 尺寸 s
这里仅简单讨论沿裂纹线上屈服区域的大小。 在裂纹线上(=0)，注意到 K = s p a ，有； sx = s y = s
K1 a ； xy = 0 = 2r 2p r
s
sx=s a cos[1 - sin sin3 ] 2 2 2r 2 a cos [1+ sin sin3 ] = s (5-1) sy 2 2 2 2r a sin cos cos3 xy=s r 2 2 2 2
sy xy y sx dy r dx 2a x s
当r0时，s ，必然要发生屈服。 因此，有必要了解裂尖的屈服及其对K的影响。
(平面应力) (平面应变) (7-3)
式中，sys为材料的屈服应力，为泊松比。 对于金属材料，0.3，这表明平面应变情况下裂 尖塑性区比平面应力时小得多。
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当=0时(在x轴上)，裂纹附近区域的应力分布及裂 纹线上的塑性区尺寸如图。 虚线为弹性解，r0，sy。
sy
由于sy>sys，裂尖处材料屈服，
利用E(k)的近似表达，Q可写为：
1.64 = + Q [1 1.47(a / c) - 0.212( s / s ys ) 2]1/ 2
s / s ys 越大， Q越小，K越大，裂尖屈服区越大。
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例7.2 某大尺寸厚板含一表面裂纹，受远场拉应力s 作用。材料的屈服应力为sys=600MPa, 断裂韧 性K1c=50MPam1/2，试估计：
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利用E(k)式的近似表达，可将形状参数Q写为：
代入整理后即得：
s pa 1 . 1 K1= (7-8) Q 2 = {[ ) ] E( k - 0.212 (s s ys ) 2 }1/ 2 形状参数 Q 可见，小范围屈服时，表面裂纹的 K计算只须用 形状参数Q代替第二类完全椭圆积分E(k)即可。
R为：
o rp R a
x
积分后得到，平面应力情况下裂尖的塑性区尺寸
K 1 R= p ( s 1 ) 2 = 2 r p ys
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依据上述分析，并考虑到平面应变时三轴应力作 用的影响，Irwin给出的塑性区尺寸R为： K1 2 1 1 R=2 rp = ap ( ) a = s ys 2 2 (平面应力) (平面应变)
That is at least one of the principal stresses or
plane strain respectively). 或者至少提供了一个很好的近似。
应力，也不是平面应变，而是三维的。然
而，在极限情况下，二维假设是正确的， strains is assumed to equal zero (plane stress and
sy
H B A D K
sys
o rp a
x
The region ABH represents forces that would be 上述简单分析是以裂纹尖端弹性解为基础的，故 present in an elastic material but cannot be carried 并非严格正确的。屈服发生后，应力必需重分布， in the elastic-plastic material because the stress 以满足平衡条件。 cannot exceed yield. The plastic zone must increase in size in order to carry these forces.
a
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例7.1 无限宽中心裂纹板，受远场拉应力s作用， 试讨论塑性修正对应力强度因子的影响。
解：由线弹性断裂力学给出无限宽中心裂纹板的 应力强度因子为： K1= s p a
考虑塑性修正时，由(7-5)式有： K 1 = s p (a + rp ) 将(7-4)式给出的rp代入上式，得到： s p a 2 1/2 1 1 s 2 1/ 2 ]} p { = s + = s + [ K a ( ) {[ 1 ( ) ]} p a 1 ap s 2 2a s ys ys 或写为： K 1 =l K 1 ； s 2 1/ 2 1 l =[1 + ( ) ] 2a s ys
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2. 考虑裂尖屈服后的应力强度因子
对于理想塑性材料，考虑裂纹 尖端的屈服后，裂尖附近的应 力分布应为图中ACD曲线。
曲线CD与线弹性解BK相同。 假想裂纹尺寸由a增大到a+ rp, 则裂纹尖端的线弹性解恰好就 是曲线CD。
sy
H
sys B C
A
r r' o o' rp rp D K x
a
a+rp称为有效裂纹长度，用a+ rp代替a，由原来的 线弹性断裂力学结果可直接给出考虑Irwin塑性修 正的解答。即有： K1= s p (a + r p ) (7-5)
线弹性断裂力学预测裂纹尖端应力无穷大。然而 在实际材料中，由于裂尖半径必定为有限值，故 裂尖应力也是有限的。非弹性的材料变形，如金 属的塑性，将使裂尖应力进一步松弛。
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7.1 裂纹尖端的小范围屈服
1. 裂尖屈服区Leabharlann Baidu
无限大板中裂纹尖端附近任一点 (r,)处的正应力 sx、sy和剪应力xy的线弹性解为：
塑性力学中，von Mises屈服条件为：
2 (s 1 - s 2 ) 2 + ( s 2 - s 3 )2 + ( s 3 - s 1) 2=2 sys
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将各主应力代入Mises屈服条件，得到： (平面应力) K1 / 2p rp = s ys (1- 2) K1 / 2 p rp = s ys 故塑性屈服区尺寸rp为： rp = 1 ( K1 )2 2p s ys K rp = 1 ( 1 )2(1-2 )2 2p s ys (平面应变)
In general, the conditions ahead of a crack are 断裂力学中的大部分经典解都将问题减化为 neither plane stress nor plane strain, but are 二维的。即主应力或主应变中至少有一个被假设 three-dimensional. There are, however, limiting 为零，分别为平面应力或平面应变 。 cases where a two dimensional assumption is valid, or at least provides a good approximation.
塑性区尺寸为rp。 假定材料为弹性-理想塑性， 屈服区内应力恒为sys，应力分 布应由实线AB与虚线BK表示。
sys
H
B
A
D K
o rp
x
a
与原线弹性解(虚线HK) 相比较，少了HB部分大 于sys的应力。
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ABH 区域表示弹性材料中存在 The simple analysis as above is 的力，但因为应力不能超过屈 not strictly correct because it was based on an elastic crack tip 服，在弹塑性材料中却不能承 solution. When yielding occurs, 受。为了承受这些力，塑性区 stress must redistribute in order 尺寸必需增大。 to satisfy equilibrium.
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K1 a sx = s y = s ； xy = 0 = 2r 2p r 对于平面问题，还有： yz=zx=0； sz=0 sz=(sx+sy) 则裂纹线上任一点的主应力为：
平面应力 平面应变
平面应力 0 K1 s1 =s 2 = ； s 3= 2p r 2 K1/ 2p r 平面应变