积分第二中值定理的证明
积分中值定理及定积分极限
第十二专题讲座-----积分中值定理及定积分极限题型2009智 轩一、完整的积分中值定理包含下列全部内容1．函数平均值 []()1ba M f f x dxb a=-⎰ 2．第一中值定理()1如果函数在积分区间[],a b 上连续，则()()()ba ab f x dx f b a ξξ∃≤≤⇒=-⎰。
（教材上的描述） ()2如果函数()(), f x x ϕ在积分区间[],a b 上连续，且当a x b <<时，()x ϕ不变号，则则()()()()b baaa b f x x dx f x dx ξϕξϕ∃≤≤⇒=⎰⎰。
3． 第二中值定理（★超纲内容，仅仅作为理解用）()1若函数()(), f x x ϕ在积分区间[],a b 上有界并可积，当且当a x b <<时，()x ϕ单调，则()()()()()()00bbaaf x x dx a a f x dx b f d b x x ξξϕξϕϕ∃≤-≤=++⇒⎰⎰⎰。
()2若函数()(), f x x ϕ在积分区间[],a b 上有界并可积，当且当a x b <<时，()x ϕ单调递减（广义上），且为非负数，则()()()()0b aaa b f x x dx a f x dx ξξϕϕ∃≤≤⇒=+⎰⎰。
()3若函数()(), f x x ϕ在积分区间[],a b 上有界并可积，当且当a x b <<时，()x ϕ单调递增（广义上），且为非负数，则()()()()0b baa b f x x dx b f x dx ξξϕϕ∃≤≤⇒=-⎰⎰。
二、与积分有关的求极限问题【例1】求极限110lim 1nn x I dx x→∞=+⎰ 解：110011010100111lim 01n n nn n n x x x x dx x dx x x n xI dx x→∞≤≤⇒≤≤⇒≤≤=+++⇒==+⎰⎰⎰ 【例2】求极限220lim sin n n I xdx π→∞=⎰解：对任意给定的0ε>，且设2πε<，则22202200sin sin sin 22sin 1lim sin 02220, sin 220sin 2lim sin 0nnn n n n n n n xdx xdx N n N xdx I xdx ππεππππεεεεπππεεεππεεεε-→∞→∞⎛⎫⎛⎫≤≤+≤--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<⇒--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⇔∃>>--< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⇒≤≤⇒==⎰⎰⎰⎰当时， 有【例3】求极限()3sin lim 0n pnn xI dx p x+→∞=>⎰ 解：当n x n p ≤≤+，有3sin 1sin sin lim 0n pn p nn n x x px dx I dx x nx n x++→∞≤⇒≤⇒==⎰⎰【例4】求极限14200lim 1dxI x εε→+=+⎰ 解：()())114220000100lim lim111arctanlim arctan|lim1ddxIxεεεεε→+→+→+→+==++===⎰⎰【例5】求极限()5lim baf xI dxxεεε→+=⎰，已知()[]0,1, 0, 0f x C a b∈>>。
证明二重积分中值定理
证明二重积分中值定理
《证明二重积分中值定理》
二重积分中值定理是数学中的重要定理，它指出：若f(x,y)在定义域D内连续，则在D内：
∫∫Df(x,y)dxdy=∫∫Df(x,y)dydx
证明二重积分中值定理，首先要证明它在定义域D内连续。
假设D是一个二维闭区间[a,b]×[c,d]，令x=x(t)，y=y(s)，则有：
∫∫Df(x,y)dxdy=∫bac∫dcsf(x(t),y(s))∥(x'(t),y'(s))∥dtds
由于x(t)和y(s)在[a,b]和[c,d]上连续，而f(x,y)在D内连续，所以f(x(t),y(s))在[a,b]×[c,d]上
连续，故可以把f(x(t),y(s))改写为f(t,s)，有：
∫∫Df(x,y)dxdy=∫bac∫dcsf(t,s)∥(x'(t),y'(s))∥dtds
同理，有：
∫∫Df(x,y)dydx=∫dca∫bdsf(t,s)∥(y'(s),x'(t))∥dsdt
由上面的两式可知：
∫∫Df(x,y)dxdy=∫∫Df(x,y)dydx
即证明了二重积分中值定理。
综上所述，证明了二重积分中值定理，即若f(x,y)在定义域D内连续，则在D内：
∫∫Df(x,y)dxdy=∫∫Df(x,y)dydx。
积分中值定理的推论
积分中值定理的推论
1、积分第一中值定理：若f在[a,b]上连续,则至少存在一点c属于[a,b],使得在[a,b]上的积分值等于f(c)(b-a)
推广：若f与g都在[a,b]上连续,且g在[a,b]上不变号,则至少存在一点c属于[a,b],使得f乘以g在[a,b]上的积分等于f(c)乘以g在[a,b]上的积分.
2、积分第二中值定理：设函数f在[a,b]上可积,1：若函数g在[a,b]上递减,且g大于等于0,则存在一点c属于[a,b],使得(f乘以g)在[a,b]上的积分等于g(a)乘以（f在[a,c]上的积分）.2：若函数g在[a,b]上递增,且g大于等于0,则存在一点d属于[a,b],使得(f乘以g)在[a,b]上的积分等于g(b)乘以（f在[d,b]上的积分）.
推广：设函数f在[a,b]上可积.若g为单调函数,则存在一点c属于[a,b],使得(f 乘以g)的积分等于g(a)乘以(f在[a,c]上的积分)加上g(b)乘以(f在[c,b]上的积分)
扩展资料：
积分第二中值定理可以用来证明Dirichlet-Abel
反常Rieman 积分判别法。
内容：
若f,g在[a,b]上黎曼可积且f(x)在[a,b]上单调，则存在[a,b]上的点ξ使
退化态的几何意义
令g(x)=1，则原公式可化为：
进而导出：。
积分第二中值定理证明_139202166
xi xi 1
[
g
(
xi
)
g(
xi 1 )]dx
K
lim[U
|T |0
(g,T
)
L(g,T
)]
0
,
其中 K sup | f (x) | .再结合（3）式，若在等式（2）中令 | T | 0 ，可得
a xbΒιβλιοθήκη bmg(b) a f (x)g( x)dx Mg(b) .
由于 M 与 m 分别是 F (x) 在a,b 上的最大值与最小值，根据连续函数的介值定
理， [a, b] 使得
b
b
a f ( x)g(x)dx g(b)F ( ) g(b) f (x)dx .
(4)
2. 设 g 在a,b 上单调递增, 则 g(x) g(a) 在a,b 上非负且单调递增,若在
等式(4)中用 g(x) g(a) 代替 g(x) ,可得
n1
A(T ) m{g(x1) [g(xi1) g(xi )]} mg(b) i1
即对于区间a,b 的任何分割T ,
mg(b) A(T ) Mg(b) .
另一方面,由 f Ra, b 可得,
（3）
n
lim B(T ) lim K
|T |0
|T |0 i1
积分第二中值定理： 设 f Ra, b ， g 在a,b 上单调，则存在 [a,b]使得
b
a
f
( x)g(x)dx
g
a
a
f
( x )dx
g
b
b
积分第二中值定理
积分第二中值定理
积分中值定理的证明：设f(x)在[a，b]上连续，且最大值为m,最小值为m，最大值和最小值可相等。
由估值定理及连续函数的介值定理可证明积分中值定理。
积分中值定理在应用中所起到的重要作用是可以使积分号去掉，或者使复杂的被积函
数化为相对简单的被积函数，从而使问题简化。
因此，对于证明有关题设中含有某个函数
积分的等式或不等式，或者要证的结论中含有定积分，或者所求的极限式中含有定积分时，一般应考虑使用积分中值定理，去掉积分号，或者化简被积函数。
不等式证明
积分不等式是指不等式中含有两个以上积分的不等式,当积分区间相同时,先合并同一
积分区间上的不同积分,根据被积函数所满足的条件,灵灵活运用积分中值定理,以达到证
明不等式成立的目的。
在证明的定分数不等式时, 常常考量运用分数中值定理, 以便换成分数符号, 如果被
内积函数就是两个函数之积时, 可以考量用分数第一或者第二中值定理。
对于某些不等式
的证明, 运用原分数中值定理就可以获得“≥”的结论, 或者不等式显然无法获得证明。
而运用改良了的分数中值定理之后, 则可以获得“\ue”的结论, 或者顺利的解决问题。
积分中值定理的推广及应用
㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２２ ３１积分中值定理的推广及应用积分中值定理的推广及应用Һ丁建华㊀（甘肃有色冶金职业技术学院教育系，甘肃㊀金昌㊀７３７１００）㊀㊀ʌ摘要ɔ本文首先对积分中值定理的几何特征进行详细介绍，并对该定理中ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上恒为常数㊁ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上不为常数函数做出一定的补充，并证明此结论也是成立的；其次，对第一积分中值定理和第二积分中值定理进行了推广，并进一步证明了结论的准确性；最后，通过不等式的证明㊁极限的求值进一步验证了改进结论的正确性．ʌ关键词ɔ中值定理；连续性；不等式一㊁积分中值定理的几何特征与补充积分中值定理的几何意义可以理解为：若函数ｆ（ｘ）在闭区间［ａ，ｂ］上非负连续时，定积分ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ在几何上可以表示为ｙ＝ｆ（ｘ），ｘ＝ａ，ｘ＝ｂ及ｘ轴所围成的曲边梯形面积（如图１，定积分ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ表示曲边梯形ＡａｂＢ的面积）．根据闭区间上连续函数的性质，ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上存在最大值Ｍ和最小值ｍ，即∀ｘɪ［ａ，ｂ］，有ｍɤｆ（ｘ）ɤＭ，从而ｍ（ｂ－ａ）ɤʏｂａｆ（ｘ）ｄｘɤＭ（ｂ－ａ）．它可以化为ｍɤ１ｂ－ａʏｂａｆ（ｘ）ｄｘɤＭ．由连续函数的介值定理，则至少有这样的一个点ξɪ［ａ，ｂ］，使得ｆ（ξ）＝１ｂ－ａʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ，则ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）（ｂ－ａ）．根据上面知识点，我们可以获得数学分析中常用的重要积分学性质和定理．积分中值定理㊀若函数ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续，则在［ａ，ｂ］上至少存在一点ξ，使得ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）（ｂ－ａ）（ａɤξɤｂ）．这里要求函数ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续即可，对函数没有严格要求．进一步地，我们可将ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续的这一条件更改为ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上可积，其结论仍然成立．当ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续且非负时，积分公式ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）（ｂ－ａ）有着明显的几何意义，即ｙ＝ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上的曲边梯形面积等于以图１所示的ｆ（ξ）为高㊁［ａ，ｂ］为底的矩形面积，即以ｆ（ξ）为高的矩形ＡａｂＤ的面积．㊀图１通过对上面图１进一步分析，我们可以发现定理中的ξɪ［ａ，ｂ］可以改为ξɪ（ａ，ｂ），事实上，若ξ仅取在［ａ，ｂ］的端点上，不妨设ξ＝ａ，则可从图２中看出，曲边梯形ＡａｂＢ的面积ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ与矩形ＡａｂＤ的面积不可能相等．㊀图２本文给出如下两种证明．证法一：若函数ｆ（ｘ）在闭区间［ａ，ｂ］上恒为常数，则ξ取（ａ，ｂ）内任意一点，结论都是成立的．若ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上为一个变量函数，设Ｍ，ｍ分别为ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上的最大值与最小值，则存在ｘ０ɪ（ａ，ｂ），使得ｍɤｆ（ｘ０）ɤＭ．事实上，若这样的ｘ０不存在，则在［ａ，ｂ］上必存在一点ｘ１，使得ｆ（ｘ）在ａ，ｘ１[]上恒有ｆ（ｘ）＝ｍ或ｆ（ｘ）＝Ｍ()，在［ｘ１，ｂ］上恒有ｆ（ｘ）＝Ｍ（或ｆ（ｘ）＝ｍ）．这样一来，ｘ１是间断点，与ｆ（ｘ）在区间［ａ，ｂ］上连续矛盾．又ｆ（ｘ）在ｘ０连续，则存在δ＞０，ｘ０－δ，ｘ０＋δ()⊂［ａ，ｂ］，当ｘ－ｘ０＜δ时，有ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ０）＜Ｍ－ｆ（ｘ０）２和ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ０）＜ｆ（ｘ０）－ｍ２，从而Ｍ－ｆ（ｘ０）＞Ｍ－ｆ（ｘ０）２＞０，ｆ（ｘ０）－ｍ＞ｆ（ｘ０）－ｍ２＞０，于是ʏｘ０＋δｘ０－δ［Ｍ－ｆ（ｘ）］ｄｘȡʏｘ０＋δｘ０－δＭ－ｆ（ｘ０）２éëêùûúｄｘ，即ʏｘ０＋δｘ０－δｆ（ｘ）ｄｘɤＭ－ｆ（ｘ０）２ʏｘ０＋δｘ０－δｄｘ，又ｆ（ｘ０）＜Ｍ，ʏｘ０＋δｘ０－δｆ（ｘ）ｄｘ＜Ｍʏｘ０＋δｘ０－δｄｘ，同理有ʏｘ０＋δｘ０－δｆ（ｘ）ｄｘ＞ｍʏｘ０＋δｘ０－δｄｘ，于是ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ＝ʏｘ０－δａｆ（ｘ）ｄｘ＋ʏｘ０＋δｘ０－δｆ（ｘ）ｄｘ＋ʏｂｘ０＋δｆ（ｘ）ｄｘ＜Ｍʏｘ０－δａｄｘ＋Ｍʏｘ０＋δｘ０－δｄｘ＋Ｍʏｂｘ０＋δｄｘ＝Ｍ（ｂ－ａ）．同理可得ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ＞ｍ（ｂ－ａ），㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２２ ３１因此ｍ（ｂ－ａ）＜ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ＜Ｍ（ｂ－ａ），即ｍ＜１ｂ－ａʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ＜Ｍ．由介值定理，存在ξɪ（ａ，ｂ），使得ｆ（ξ）＝１ｂ－ａʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ，即ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）（ｂ－ａ），其中ξɪ（ａ，ｂ）．证法二：作辅助函数Ｆ（ｘ）＝ʏｘａｆ（ｔ）ｄｔ，ｘɪ［ａ，ｂ］，则Ｆ（ｘ）是［ａ，ｂ］上的可微函数，且Ｆᶄ（ｘ）＝ｆ（ｘ），由微分中值定理，至少存在一点ξɪ（ａ，ｂ），使得Ｆ（ａ）－Ｆ（ｂ）＝Ｆᶄ（ξ）（ｂ－ａ）．注意到，Ｆ（ｂ）＝ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ，Ｆ（ａ）＝０，则有ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）（ｂ－ａ），ξɪ（ａ，ｂ）．于是，我们可以进一步将积分中值定理进行推广．设ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续，ｇ（ｘ）在［ａ，ｂ］上不能等于零，同时符号不会改变，在这样特殊的情形下，可以得到如下的结论，ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）ʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ，ξɪ（ａ，ｂ）．令Ｆ（ｘ）＝ʏｘａｆ（ｔ）ｇ（ｔ）ｄｔ，Ｇ（ｘ）＝ʏｘａｇ（ｔ）ｄｔ，则由微分学的柯西中值定理知，Ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）Ｇ（ｂ）－Ｇ（ａ）＝Ｆᶄ（ξ）Ｇ（ξ），ξɪ（ａ，ｂ），即有ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）ｇ（ξ）ｇ（ξ），ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）ʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ，ξɪ（ａ，ｂ）．但当ｇ（ｘ）在［ａ，ｂ］只是可积分，并且恒为正或恒为负时，前面我们进行推导的思路完全行不通，即不可能成立，因为可积不变号时，ｇ（ｘ）可以等于零，我们就不能使用上面的结论了．二㊁第一㊁第二积分中值定理的推广及其证明积分第一中值定理设函数ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续，ｇ（ｘ）在［ａ，ｂ］上可积不变号，则在［ａ，ｂ］存在一点ξ，使得ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）ʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ．积分第二中值定理设（ⅰ）ｇ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续；（ⅱ）ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上单调递增且连续；（ⅲ）ｆ（ｘ）ȡ０，则必有ξɪ［ａ，ｂ］，使得ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ｂ）ʏｂξｇ（ｘ）ｄｘ．推论１．若积分第二中值定理中的递增改为递减，其他条件不变的情况下，则必有ξɪ［ａ，ｂ］，使得ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ａ）ʏξａｇ（ｘ）ｄｘ．２．若积分第二中值定理中的ｆ（ｘ）ȡ０去掉，则必有ξɪ［ａ，ｂ］，使得ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ａ）ʏξａｇ（ｘ）ｄｘ＋ｆ（ｂ）ʏｂξｇ（ｘ）ｄｘ．当ξ所在区间［ａ，ｂ］变为（ａ，ｂ），其余条件㊁结论不变，我们就可以将积分中值定理进一步推广．接下来，我们进一步证明积分中值定理的推广定理，先验证积分第一中值定理的推广．证明㊀由于ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续．设Ｍ为ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上的最大值，ｍ为ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上的最小值，即有ｍɤｆ（ｘ）ɤＭ，又由于ｇ（ｘ）在［ａ，ｂ］上定号，不妨令ｇ（ｘ）ȡ０（ｇ（ｘ）ɤ０的情况同理），从而有ｍｆ（ｘ）ɤｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ɤＭｇ（ｘ），即ｍʏｂａｇ（ｘ）ｄｘɤＭʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ．（１）ʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ＝０，由上面不等式的结论可知，ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝０，因此有ξɪ（ａ，ｂ），使得ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）ʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ．（２）ʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ＞０．（ⅰ）如果ｍʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ＜ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＜Ｍʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ，即ｍ＜ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ＜Ｍ时，由闭区间上连续函数的介值定理我们可以知道，有一ξɪ（ａ，ｂ），使得ｆ（ξ）＝ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ，即ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）ʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ．（ⅱ）如果ｍʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ＝ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ，（ａ）假如有一ξɪ（ａ，ｂ），都有ｆ（ξ）＝ｍ，我们可以得到ｍʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）ʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ结论成立．（ｂ）除此之外，对任意的ｘɪ（ａ，ｂ），都有ｆ（ｘ）＞ｍ，而由ʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ＞０，必定存在充分小的数η，使得ʏｂ－ηａ＋ηｇ（ｘ）ｄｘ＞０（倘若不然的话，对于任意的正数η，都有ʏｂ－ηａ＋ηｇ（ｘ）ｄｘɤ０，从而ʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ＝ｌｉｍηң０ʏｂ－ηａ＋ηｇ（ｘ）ｄｘɤ０与ʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ＞０矛盾）．于是得到０＝ʏｂａ［ｆ（ｘ）－ｍ］ｇ（ｘ）ｄｘȡʏｂ－ηａ＋η［ｆ（ｘ）－ｍ］ｇ（ｘ）ｄｘ．利用原积分中值定理，得ʏｂ－ηａ＋η［ｆ（ｘ）－ｍ］ｇ（ｘ）ｄｘ＝［ｆ（ξᶄ）－ｍ］ʏｂ－ηａ＋ηｇ（ｘ）ｄｘ＞０，ξᶄɪ［ａ＋η，ｂ－η］⊂（ａ，ｂ）．与之比较，知矛盾．（ⅲ）Ｍʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ＝ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ，这个证明类似于证㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２２ ３１明（ⅱ）的过程．综上所述，存在ξɪ（ａ，ｂ），使得ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）ʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ成立．证毕！根据积分第一中值定理的推广证明，我们同样可以对积分第二中值定理的推广进行证明．接下来，我们试证积分第二中值定理的推广结果．证明㊀由ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续，Ｆ（ｘ）＝ʏｘａｆ（ｔ）ｄｔ在［ａ，ｂ］上可导，从而有ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ʏｂａｇ（ｘ）ｄＦ（ｘ）＝ｇ（ｂ）Ｆ（ｂ）－ʏｂａＦ（ｘ）ｇᶄ（ｘ）ｄｘ－ｇ（ａ）Ｆ（ａ）＝ｇ（ｂ）ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ－ʏｂａＦ（ｘ）ｇᶄ（ｘ）ｄｘ．对于ʏｂａＦ（ｘ）ｇᶄ（ｘ）ｄｘ应用推广的第一积分中值定理，得到ʏｂａＦ（ｘ）ｇᶄ（ｘ）ｄｘ＝Ｆ（ξ）［ｇ（ｂ）－ｇ（ａ）］，其中ξɪ（ａ，ｂ），从而有ʏｂａＦ（ｘ）ｇᶄ（ｘ）ｄｘ＝ｇ（ｂ）ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ－Ｆ（ξ）［ｇ（ｂ）－ｇ（ａ）］＝ｇ（ｂ）ʏξａｆ（ｘ）ｄｘ＋ʏｂξｆ（ｘ）ｄｘ[]－ʏξａｆ（ｘ）ｄｘ［ｇ（ｂ）－ｇ（ａ）］＝ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ａ）ʏξａｇ（ｘ）ｄｘ＋ｆ（ｂ）ʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ．证毕！三㊁积分中值定理的应用例１㊀证明下列积分不等式：（１）π２＜ʏπ２０１１－１２ｓｉｎ２ｘｄｘ＜π２；（２）２ｅ－１４＜ʏ２０ｅｘ２－ｘｄｘ＜２ｅ２．证明㊀（１）由积分中值定理，有π２＜ʏπ２０１１－１２ｓｉｎ２ｘｄｘ＝１１－１２ｓｉｎ２ξ㊃π２，其中ξɪ０，π２()，当ξɪ０，π２()时，有０＜ｓｉｎ２ξ＜１，从而１＜１１－１２ｓｉｎ２ξ＜２，因此有π２＜ʏπ２０１１－１２ｓｉｎ２ξｄｘ＜π２．证毕．（２）由定积分性质，有ʏ２０ｅｘ２－ｘｄｘ＝ʏ１２０ｅｘ２－ｘｄｘ＋ʏ２１２ｅｘ２－ｘｄｘ＝１２ｅξ２１－ξ１＋３２ｅξ２２－ξ２，其中ξ１ɪ０，１２()，ξ２ɪ１２，２()，又ｅｘ在－ɕ，＋ɕ()上严格单调递增，而ｆ（ｘ）＝ｘ２－ｘ在０，１２[]上严格单调递减，在１２，２[]上严格单调递增，所以，当ξ１ɪ０，１２()时，ｅ－１４＜ｅξ２１－ξ１＜１；当ξ２ɪ１２，２()时，ｅ－１４＜ｅξ２２－ξ２＜ｅ２．从而１２ｅξ２１－ξ１＋３２ｅξ２２－ξ２＞１２ｅ－１４＋３２ｅ－１４＝２ｅ－１４，１２ｅξ２１－ξ１＋３２ｅξ２２－ξ２＜１２＋３２ｅ２＜２ｅ２，因此２ｅ－１４＜ʏ２０ｅｘ２－ｘｄｘ＜２ｅ２．如果ξ取自任意闭区间，使得积分中值定理成立，则需要将例１的证明结果做进一步的讨论．由此可见，对积分中值定理进行改进或者推广对我们的学习很有帮助，当然，我们也要合理使用该定理，否则就会出现错误的结论．例２㊀证明：ｌｉｍｎңɕʏ１０ｘｎ１＋ｘｄｘ＝０．如果利用积分中值定理，得ʏ１０ｘｎ１＋ｘｄｘ＝ξｎ１＋ξ，其中ξɪ０，１()，从而ｌｉｍｎңɕʏ１０ｘｎ１＋ｘｄｘ＝ｌｉｍｎңɕʏ１０ξｎ１＋ξｄｘ＝０，这是错误的，因为ξ与ｎ有关．正确的解法是：因为０ɤｘｎ１＋ｘɤｘｎ，ｘɪ０，１[]，所以０ɤʏ１０ｘｎ１＋ｘｄｘɤʏ１０ｘｎｄｘ，而ʏ１０ｘｎｄｘ＝１１＋ｎ，ｌｉｍｎңɕ１１＋ｎ＝０，因此ｌｉｍｎңɕʏ１０ｘｎ１＋ｘｄｘ＝０．证毕！ʌ参考文献ɔ［１］华东师范大学数学系．数学分析（第四版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１０．［２］黎金环，刘丽霞，朱佑彬．积分中值定理在一道极限题的应用分析［Ｊ］．高等数学研究，２０２１（２）．［３］同济大学数学教研室．高等数学［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９９３．［４］郝玉芹，时立文，欧阳占瑞．对积分中值定理结论的一点改动［Ｊ］．河北能源职业技术学院学报，２００７（３）．［５］周冰洁．巧用积分中值定理［Ｊ］．现代职业教育，２０１９（３１）．［６］余小飞．积分中值定理在积分不等式中的应用［Ｊ］．当代教育实践与教学研究，２０１７（８）．。
关于积分中值定理的证明(最全)word资料
关于积分中值定理的证明(最全)word资料勾股定理证明评鉴勾股定理（又叫「勾股定理」）说：「在一个直角三角形中，斜边边长的平方等于两条直角边边长平方之和。
」据考证，人类对这条定理的认识，少说也超过 4000 年！又据记载，现时世上一共有超过 300 个对这定理的证明！我觉得，证明多，固然是表示这个定理十分重要，因而有很多人对它作出研究；但证明多，同时令人眼花缭乱，亦未能够一针见血地反映出定理本身和证明中的数学意义。
故此，我在这篇文章中，为大家选出了 7 个我认为重要的证明，和大家一起分析和欣赏这些证明的特色，与及认识它们的背境。
证明一图一在图一中，D ABC为一直角三角形，其中 Ð A为直角。
我们在边 AB、BC和AC之上分别画上三个正方形 ABFG、BCED和 ACKH。
过 A点画一直线 AL使其垂直于 DE并交 DE于 L，交 BC于 M。
不难证明，D FBC全等于 D ABD （S.A.S.）。
所以正方形 ABFG的面积 = 2 ´ D FBC的面积 = 2 ´ D ABD的面积 = 长方形 BMLD的面积。
类似地，正方形 ACKH的面积 = 长方形 MCEL的面积。
即正方形 BCED的面积 = 正方形 ABFG的面积 + 正方形 ACKH的面积，亦即是AB2 + AC2 = BC2。
由此证实了勾股定理。
这个证明巧妙地运用了全等三角形和三角形面积与长方形面积的关系来进行。
不单如此，它更具体地解释了，「两条直角边边长平方之和」的几何意义，这就是以 ML将正方形分成 BMLD和 MCEL的两个部分！这个证明的另一个重要意义，是在于它的出处。
这个证明是出自古希腊大数学欧几里得之手。
欧几里得（Euclid of Alexandria）约生于公元前 325 年，卒于约公元前 265 年。
他曾经在古希腊的文化中心亚历山大城工作，并完成了著作《几何原本》。
《几何原本》是一部划时代的著作，它收集了过去人类对数学的知识，并利用公理法建立起演绎体系，对后世数学发展产生深远的影响。
数学分析 第八讲 微分积分中值定理和极值
第八讲 微分与积分中值定理和函数极值§8.1 微分与积分中值定理一、知识结构 1、微分中值定理(1) 罗尔（Rolle ）中值定理 若函数)(x f 满足下列条件:(i) )(x f 在闭区间[]b a ,上连续;(ii) )(x f 在开区间()b a ,内可导;(iii))()(b f a f =,则在()b a ,内至少存在一点ξ,使得0=')(ξf .(2)拉格朗日(Lagrange)中值定理 若函数)(x f 满足下列条件:(i) )(x f 在闭区间[]b a ,上连续;(ii) )(x f 在开区间()b a ,内可导,则在()b a ,内至少存在一点ξ,使得ab a f b f f --=')()()(ξ.(3)柯西中值(Cauchy)定理 若函数)(x f 和)(x g 满足下列条件:(i) )(x f 和)(x g 在闭区间[]b a ,上连续; (ii) )(x f 和)(x g 在开区间()b a ,内可导,(iii))(x f '和)(x g '不同时为零; (iv))()(b g a g ≠,则在()b a ,内至少存在一点ξ,使得)()()()()()(a g b g a f b f g f --=''ξξ.2、积分中值定理 (1)积分第一中值定理若函数)(x f 在[]b a ,上连续,则至少存在一点[]b a ,∈ξ,使得()⎰-=baa b f dx x f )()(ξ.(2)推广的积分第一中值定理若函数)(),(x g x f 在[]b a ,上连续,且)(x g 在[]b a ,上不变号，则至少存在一点[]b a ,∈ξ,使得⎰⎰=babadx x g f dx x g x f )()()()(ξ.3、积分第二中值定理 若函数)(x f 在[]b a ,上连续,(i)若函数)(x g 在[]b a ,上单调递减, 且0≥)(x g , 则存在[]b a ,∈ξ,使得⎰⎰=baadx x f a g dx x g x f ξ)()()()(.(ii)若函数)(x g 在[]b a ,上单调递增, 且0≥)(x g , 则存在[]b a ,∈η,使得⎰⎰=ba bdx x f b g dx x g x f η)()()()(.3、泰劳公式（微分中值定理的推广）麦克劳林公式 (1) 一元函数)(x f y =泰劳公式泰劳公式产生的背景: 将函数)(x f ()(x f 在含有0x 的某个开区间()b a ,内具有直到1+n 阶的导数) 近似的表示为关于)(0x x -的一个n 次多项式,由于多项式的算法是好算法,我们可以用关于)(0x x -的一个n 次多项式来求函数)(x f 在某点(()b a x ,∈)的近似值.定理1 如果函数)(x f 在含有0x 的某个开区间()b a ,内具有直到1+n 阶的导数,则当()b a x ,∈时, )(x f 可以表示为)(0x x -的一个n 次多项式与一个余项)(x R n 之和:(x)R )x (x n!)(x f)x )(x (x f )f(x f(x)n n(n)+-++-'+=00000!11 ,其中()()()()101!1)(++-+=n n n x x n fx R ξ(拉格朗日型余项)，这里ξ是属于x 与0x 之间的某个值.或, 如果函数)(x f 在含有0x 的某个开区间()b a ,内具有直到1+n 阶的导数,则当()b a x ,∈时, )(x f 可以表示为)(0x x -的一个n 次多项式与一个当0x x →时的n)x (x 0-的高阶无穷小之和:()()nn(n)x x o )x (x n!)(x f)x )(x (x f )f(x f(x)000000!11-+-++-'+=其中()n )x (x o 0-为当0x x →时n)x (x 0-的高阶无穷小.（2）麦克劳林公式定理2 如果函数)(x f 在含有0的某个开区间()b a ,内具有直到1+n 阶地导数,则当()b a x ,∈时, )(x f 可以表示为x 的一个n 次多项式与一个余项)(x R n 之和:(x)R x n!)(x fx !)(f )x (f )f(f(x)n n(n)+++''+'+=022000 ,其中()()()11!1)(+++=n n n x n x fx R θ，(10<<θ).2、二元函数),(y x f z =的泰劳公式和麦克劳林公式 （1）泰劳公式定理3 如果函数),(y x f 在含有()00,y x 的某一领域内连续且有直到1+n 阶的连续偏导数,()k y h x ++00,为此邻域内任一点，则有()200000000100001,,,,2!11,,,1nn f(x h y k)f(x y )h k f(x y )h k f(x y )x y x y h k f(x y )h k f(x h y k)n!x y n !xy θθ+⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂++=++++ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂+++++++ ⎪ ⎪∂∂+∂∂⎝⎭⎝⎭ 其中10<<θ，记号()()000000,,,y x kf y x hf )y f(x y k xh y x +=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂， ()()()00200002002,,2,,y x f k y x hkf y x f h )y f(x y k x h yy xy xx ++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂， ……)y f(x yx kh C)y f(x y k x h pm pm pm p mp pmm00000,,--=∂∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∑,()k)y h f(x y k x h !n x R n n θθ++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+=+001,11)(, 10<<θ 称为拉格朗日型余项.（2）麦克劳林公式定理4 如果函数),(y x f 在含有()0,0的某一领域内连续且有直到1+n 阶的连续偏导数,()k h ,为此邻域内任一点，则有+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+=)f y y x x )f(y y x x )f(y)f(x 0,0!210,00,0,2()y)x f(y y x x !n )f(y y x x n!n n θθ,110,011+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+，其中10<<θ.二、解证题方法 1、微分中值定理例1 (山东师范大学2006年)设)(x P 为多项式函数,试证明:若方程0=')(x P 没有实根,则0=)(x P 至多有一个实根.证明 用反证法.因为)(x P 为多项式函数, 所以)(x P 在()+∞∞-,上连续并且可导. 如果0=)(x P 至少有两个实根, 不妨设为21ξξ<,则021==)()(ξξP P .在闭区间上用罗尔定理得,存在()21ξξη,∈,使得0=')(ηP . 这与方程0=')(x P 没有实根发生矛盾, 所以0=)(x P 至多有一个实根.例2 (河北大学2005年)设)(x f 可导,λ为常数,则)(x f 的任意两个零点之间必有0='+)()(x f x f λ的根.证明 不妨设)(x f 的任意两个零点为ηξ<. 令xex f x F λ)()(=,则0==)()(ηξF F . 因为)(x F 在[]ηξ,上连续, 在()ηξ,内可导,且0==)()(ηξF F , 所以, 由罗尔定理得:存在()ηξ,∈x ,使得0=')(x F ,即0='+='xxe xf ex f x F λλλ)()()(,进而有0='+)()(x f x f λ, 所以()ηξ,∈x 是0='+)()(x f x f λ的根.例3(电子科技大学2002年))(x f 在[]10,上二次可导,010==)()(f f ,试证明：存在()10,∈ξ，使得()())(ξξξf f '-=''211.证明 因为)(x f 在[]10,上连续, )(x f 在()10,内可导, 且010==)()(f f ,所以由罗尔定理得:存在()10,∈ξ,使得0=')(ξf .令⎪⎩⎪⎨⎧=∈'=-101011x x ex f x g x ,),[,)()(. 因为)(x g 在[]10,上连续,在()10,内可导, 且()()01==g g ξ, 所以由罗尔定理知, 存在()1,ξξ∈', 使得()0='ξg ,即()())(ξξξf f '-=''211.例4(山东科技大学2005年)设()x f 在整个数轴上有二阶导数,且00=→xx f x )(lim,01=)(f ,试证明: 在()10,内至少存在一点β,使得()0=''βf .证明 因为()x f 在整个数轴上有二阶导数，所以()x f 在整个数轴上连续. 进而0lim )(lim )(lim )(lim )0(0000=⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡==→→→→x x x f x x x f x f f x x x x . 又因为01=)(f , 所以函数在()10,内满足罗尔定理的条件, 进而存在()10,∈α,使得0=')(αf . 又因00000=-=-='→→xx f xf x f f x x )(l i m)()(l i m)(, 并且()x f '在[]α,0上连续, 在()α,0内可导, 所以()x f '在[]α,0上满足罗尔定理的条件, 进而存在()αβ,0∈,使得()0=''βf .例5(汕头大学2005年) 设()x f 在闭区间[]b a ,上有二阶导数,且)()(b f a f 、均不是)(x f 在闭区间[]b a ,上最大值和最小值, 试证明: 存在()b a ,∈ξ,使得0='')(ξf .证明 由于)(x f 在[]b a ,上连续, 所以)(x f 在[]b a ,上取得最大值和最小值. 又因为)()(b f a f 、均不是)(x f 在闭区间[]b a ,上最大值和最小值, 所以存在()b a ,,∈21ξξ, 不妨设21ξξ<,使得()21ξξf f ),(是)(x f 在[]b a ,上的最大值和最小值. 进而()021='='ξξf f )(.由()x f 在闭区间[]21ξξ,上有二阶导数, 所以()x f '在闭区间[]21ξξ,上连续, 在开区间()21ξξ,内可导. 由罗尔定理知, 存在()21ξξξ,∈,使得0='')(ξf . 进而存在()b a ,∈ξ,使得0='')(ξf .例6(北京工业大学2005年)设)(x f 在()+∞∞-,上可导, 试证明:0=')(x f 当且仅当)(x f 为一常数.证明 (1)充分性 因为)(x f 为一常数C , 所以()0000==∆-=∆-∆+='→∆→∆→∆x x x xC C xx f x x f x f lim lim)(lim)(.(2)必要性对任意的()+∞∞-∈,,21x x , 不妨设21x x <. 显然()x f 在闭区间[]21x x ,上满足拉格朗日中值定理的条件, 所以存在()21x x ,∈ξ, 使得()()()()2121x f x f x x f -=-'ξ.因为()0='ξf , 所以()()21x f x f =. 进而)(x f 为一常数.例7(南京大学2001年)设)(x f 在()10,内可导, 且1<')(x f , ()10,∈x .令⎪⎭⎫⎝⎛=n f x n 1(2≥n ), 试证明n n x ∞→lim 存在且有限.分析 ()1111n m n m x x x x f f f n m n m εξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'-<⇐-=-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()11111n f nmnmnmmξε'=-<-<=<.证明 对0>∀ε, 存在⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11,εN ,当N m n >>时, 有ε<=<-=-=-mnmn nmm n mn x x m n 111, 所以()()εξξ<=<-<-'=⎪⎭⎫ ⎝⎛-'=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-m nm n m n m n f m n f m f n f x x m n 111111111,进而由柯西收敛准则知, n n x ∞→lim 存在且有限.例8(华东师范大学2001年)证明: 若函数)(x f 在有限区域()b a ,内可导, 但无界,则其导函数)(x f '在()b a ,内必无界. 证明 用反证法 若函数)(x f '在()b a ,内有界, 则存在正数M ,使得M x f ≤')(,()b a x ,∈. 由拉格朗日中值定理得:⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=22)(22)()(b a f b a f x f b a f b a f x f x f ()()⎪⎭⎫⎝⎛+++≤⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-'=2222b a f b a M b a f b a x f ξ,所以函数)(x f 在有限区域()b a ,内有界. 与已知矛盾.例9(天津工业大学2005年)设R x n ∈, ()1arctan -=n n ky y (10<<k ), 证明: (1)11-+-≤-n n n n y y k y y ; (2)n n y ∞→lim 收敛.证明 (1)令kx x f arctan )(=, ()+∞∞-∈,x ,则221xk k x f +=')(,于是kx f ≤')(,从而由拉格朗日中值定理得:()()1111---+-≤-'=-=-n n n n n n n n y y k y y f y f y f y y ξ)()(, 其中ξ介于1-n y ,n y 之间.(2)由(1)的递推关系知,011y y ky y nn n -≤-+,又因为级数∑∞=-101n ny y k收敛,所以由比较判别法知, 级数()∑∞=+-11n n n y y 绝对收敛,所以n n S ∞→lim 收敛, 其中()1111y y y yS k nk k k n -=-=+=+∑, 进而n n y ∞→lim 收敛.例10(湖南师范大学2004年)设)(x f 在),[+∞0上连续, 在()+∞,0内可导且00=)(f , )(x f '在()+∞,0内严格单调递增, 证明:xx f )(在()+∞,0内内严格单调递增.分析 关键是证明02>-'='⎪⎭⎫⎝⎛x x f x f x x x f )()()(. 证明 因为()[]000>'-'=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---'=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-'=-'ξf x f x x f x f x f x x x f x f x x f x f x )()()()()()()()(, 其中()+∞∈,0x , ()x ,0∈ξ, 所以xx f )(在()+∞,0内内严格单调递增.练习[1](辽宁大学2005年)设)(x f 在],[b a 上可导，且b x f a <<)(，1)(≠'x f . 证明: 方程x x f =)(在()b a ,内存在惟一的实根.[2] (南京农业大学2004年) 设函数)(x f 在]1,0[上可微, 0)0(=f , 当10<<x 时, 0)(>x f , 证明: 存在()1,0∈ξ,使得)1()1()()(2ξξξξ--'='f f f f .[3] (陕西师范大学2002年,武汉大学2004年) 设)(x f ,)(x g 是[]b a ,上的可导函数, 且0)(≠'x g . 证明: 存在()b a c ,∈使得)()()()()()(c g c f b g c g c f a f ''=--.[4] (西南师范大学2005年)设函数)(x f 在()+∞∞-,内可导,)(2)(x f x x f -=', 0)0(=f .证明: 42)(xex f -=,()+∞∞-∈,x .[5] (北京工业大学2004年)设函数)(x f 在0x 的某邻域)(0x N 内连续, 除0x 外可导，若l x f x x ='→)(lim 0，则)(x f 在0x 可导且l x f =')(0.[6] (辽宁大学2004年) 设函数)(x f 在()+∞∞-,内可导, 且0)0(>f ,1)(<≤'k x f ,证明: 方程x x f =)(有实根.[7] (厦门大学2004年) 设函数)(x f 在),[+∞a 上二阶可微, 且0)(>a f ,0)(<'a f , 当a x >时, 0)(<''x f . 证明: 方程0)(=x f 在),[+∞a 上有惟一的实根.[8] (北京化工大学2004年) 设函数)(x f 在]1,0[上连续, 在()1,0内可导,0)0(=f , 1)1(=f . 证明: 对于∀的正数a 和b , 存在()1,0,21∈ξξ, 使得()()b a f b f a +='+'21ξξ.[9] (中科院武汉物理与数学研究所2003年) 设函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续, 在开区间()b a ,内可微, 并且)()(b f a f =. 证明: 若函数)(x f 在闭区间[]b a ,上不等于一个常数, 则必有两点()b a ,,∈ηξ, 使得()0>'ξf , ()0<'ηf .[10] (中山大学2006年) 证明: 当0≥x 时, 存在()1,0)(∈x θ, 使得)(211x x x x θ+=-+, 并且)(lim 0x x θ+→和)(lim x x θ+∞→（答案：41)(lim 0=+→x x θ，21)(lim =+∞→x x θ ）.2、积分中值定理例1(上海大学2005年)已知)(),(x g x f 在[]b a ,上连续,0>)(x f ,)(x g 不变号,求⎰∞→bann dx x g x f )()(lim.解 因为)(),(x g x f 在[]b a ,上连续, )(x g 在[]b a ,上不变号,所以由积分第一中值定理得⎰⎰=banb andx x g f dx x g x f )()()()(ξ,其中[]b a ,∈ξ. 又因为()0>ξf , 所以1=∞→nn f )(li m ξ,进而⎰⎰⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∞→∞→baba n n bann dx x g dx x g f dx x g x f )()()(lim )()(limξ.例2(河北大学2005年)证明:dx xx dx xx ⎰⎰+≤+222211ππcos sin .分析0111222222≤+-⇐+≤+⎰⎰⎰dx xx x dx xx dx xx πππcos sin cos sin .证明 当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈4,0πx 时, 0≤-x x cos sin 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π上不变号,当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,4ππx 时, 0≥-x x cos sin 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,4ππ上不变号. 由推广的积分第一中值定理得：dx xx x dx xx x dx x x x ⎰⎰⎰+-++-=+-24242221cos sin 1cos sin 1cos sin ππππ()()dx x x dx x x ⎰⎰-++-+=242402cos sin11cos sin11πππηξ01121121121212222≤+--+-=+-++-=ξηηξ,其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈40πξ,, ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈24ππη,, 进而dx xx dx x x ⎰⎰+≤+2220211ππcos sin .例3(电子科技大学2005年)设)(x f 在[]10,上可导,且⎰-=211221dx ex f f x)()(,证明: 存在()10,∈ξ,使得())(ξξξf f 2='.证明 令2)()(x e x f x F -=, []10,∈x . 由积分中值定理知, 存在⎪⎭⎫ ⎝⎛∈210,η,使得()⎰--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-211122021dx ex f ef x)(ηη即()⎰--=211122)(2dx ex f ef xηη. 因为⎰-=2101221dx ex f f x)()(, 所以())(121f ef =-ηη, 进而()112--=ef ef )(ηη. 又因为112--==e f e f F )()()(ηηη, 111-=ef F )()(, 所以, 在区间[]1,η上由微分中值定理(罗尔)得:()0='ξF , 其中()1,ηξ∈. 因为222ξξξξξξ---'='ef ef F )()()(,所以())(ξξξf f 2='.例4(山东科技大学2004年)设()x f 在[]π,0上连续, 在()π,0内可导, 且()⎰-=ππππ1dx x f ef x)(,证明: 至少存在一点()πξ,0∈, 使得()()ξξf f ='.证明:令)()(x f e x F x -=,由()⎰-=ππππ1)(dx x f ef x和)()(πππf eF -=，得:()()⎰⎰⎰====----πππππππππππ111)()()(dx x F dx x f edx x f eef eF xx.由积分中值定理: ()()11()0()F F x dx F F ππππηηπ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭⎰,其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈πξ10,.在()πη,内应用微分中值定理(罗尔)得: 0=')(ξF ,其中()πηξ,∈.由)()(x f e x F x -=得: )()()(ξξξξξf e f e F '+-='--,所以()()ξξf f ='.例5(西安电子科技大学2003年)设()x f 在[]b a ,上二阶连续可导, 证明:存在()b a ,∈ξ使得()()()32412a b f b a f a b dx x f ba -''+⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎰ξ)(. 证明: 由分部积分公式得⎰⎰⎰+++=baba ab b a dx x f dx x f dx x f 22)()()(()()⎰⎰++-+-=22)()(ba ab b a b x d x f a x d x f()[]()()[]()⎰⎰++++'---+'---=bb a b ba ba ab a adxx f b x x f b x dx x f a x x f a x 2222)()()()(()()()⎰⎰++-'--'-⎪⎭⎫⎝⎛+-=b b a ba ab x d x f a x d x f b a f a b 22222)(2)(2()()()⎰++''-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡'--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=2222)(22)(2ba aba adx x f a x x f a x b a f a b()()⎰++''-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡'--bba bb a dx x f b x x f b x 2222)(22)(()()()⎰⎰++''-+''-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=b b a ba adx x f b x dx x f a x b a f a b 2222)(2)(22()()())(2)(2)(2222221积分中值定理⎰⎰++-''+-''+⎪⎭⎫⎝⎛+-=bba b a a dx b x c f dx a x c f ba f a b()()[]312()()()248b a a bb a f fc f c -+⎛⎫''''=-++⎪⎝⎭介值性定理()()3()224b a a bb a f fc -+⎛⎫''=-+⎪⎝⎭,其中c 介于21c c ,之间. 即()b a c ,∈. 3、泰劳公式（微分中值定理的推广）例1（西安电子科技大学2004年） 设)(x f 在[]1,0上有二阶导数，且满足条件a x f ≤)(，b x f ≤'')(，a 和b 为非负常数，证明不等式22)(b a x f +≤'， )1,0(∈x .分析：要熟练运用Taylor 展开. 证明：在)1,0(∈x 处做Taylor 展开有21)1(2)()1)(()()1(x f x x f x f f -''+-'+=ξ，222)()()()0(x f x x f x f f ξ''+'-=上面两式相减有 22212)()1(2)()0()1()(x f x f f f x f ξξ''+-''--='，所以[]22)1(22)(22b a xx b a x f +≤+-+≤'.例2（陕西师范大学2003年，中国地质大学2004年）设函数f 在区间[]b a ,上有二阶导数且,0)()(='='-+b f a f 则必存在一点),(b a ∈ξ使得)()()(4)(2a fb f a b f --≥''ξ.分析：关键是做Taylor 展开. 证明：应用Taylor 公式，将)2(b a f +分别在b a 、点展开，注意0)()(='='-+b f a f ，故存在1ξ和2ξ，b b a a <<+<<212ξξ，使得212)(21)(2⎪⎭⎫⎝⎛-''+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+a b f a f b a f ξ,222)(21)(2⎪⎭⎫⎝⎛-''+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+a b f b f b a f ξ.两式相减得: []0)()()(81)()(221=-''-''+-a b f f a f b f ξξ, 故[])()()(21)()()(4212ξξξf f f a f b f a b ''≤''+''≤--.其中 ⎩⎨⎧''<''''≥''=)()(,)()(,212211ξξξξξξξf f f f .例3(北京交通大学2005年)设函数)(x f 在区间),0(+∞内有二阶函数，0)(lim =+∞→x f x ，并当),0(+∞∈x 时，有1)(≤''x f . 证明：0)(lim ='+∞→x f x .分析：关键是做Taylor 展开.证明：要证明0)(lim ='+∞→x f x ，即要证明对任意的0>ε，存在0>A ，当A x >时有ε<')(x f . 利用Taylor 公式，对任意的0>h ，有2)(21)()()(h f h x f x f h x f ξ''+'+=+, ()h ,0∈ξ,即[]h f x f h x f hx f )(21)()(1)(ξ''--+='. 从而[]hx f h x f hhf x f h x f hh f x f h x f hx f 21)()(1)(21)()(1)(21)()(1)(+-+≤''+-+≤''--+='ξξ, 取ε<h , 因为0)(li m =+∞→x f x , 所以021)()(1lim )(lim0=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-+≤'≤+∞→+∞→h x f h x f hx f x x , 其中2)()(ε<-+x f h x f . 即0)(lim ='+∞→x f x .例4（上海大学2005年、中国科学院2007年）设函数)(x f 在[]20，上有1)(≤x f ，1)(≤''x f . 证明：2)(≤'x f .分析：关键是做Taylor 展开. 证明：在)2,0(∈x 处做Taylor 展开有212)()()()0(xf x x f x f f ξ''+'-=,22)2(2)()2)(()()2(x f x x f x f f -''+-'+=ξ，将上面两式相减有[]21224)()2(4)()0()2(21)(x f x f f f x f ξξ''+-''--='，所以[][][].21)1(211)2(411)(4)2()(4)0()2(21)(22222212≤+-+≤+-+≤''-+''++≤'x xx f x f x f f x f ξξ.例5（江苏大学2004年）已知函数)(x f 在区间()1,1-内有二阶导数，且0)0()0(='=f f , )()()(x f x f x f '+≤'', 证明：存在0>δ，使得在()δδ,-内0)(≡x f .分析：关键是做Taylor 展开.证明：将)()()(x f x f x f '+≤''右端的)(x f ,)(x f '在0=x 处按Taylor 公式展开. 注意到0)0()0(='=f f ，有222)(2)()0()0()(x f x f x f f x f ξξ''=''+'+=, x f f x f )()0()(η''+'=',其中ηξ,是属于0与x 之间的某个值.从而x f x f x f x f )(2)()()(2ηξ''+''='+.现令⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈41,41x ，则由)()(x f x f '+在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-41,41上连续知，存在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈41,410x ，使得{}M x f x f x f x f xx ='+='+≤≤-)()(max )()(14100.下面只要证明0=M 即可. 事实上⎥⎦⎤⎢⎣⎡''+''≤''+''='+=)(2)(41)(2)()()(000020000ηξηξf f x f x f x f x f M ()()()()[]000041ηηξξf f f f +'++'≤（由()()x f x f x f x f ηξ''+''='+22)()(）11242M M ≤⋅=，即M M 20≤≤, 所以0=M . 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-41,41上0)(≡x f . 例6（辽宁大学2005年）求⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→x x x x 1sin1lim 2. 分析：利用Taylor 展开式计算函数极限. 解： 将x1sin展开成带Peano 余项的二阶Taylor 公式⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=3316111s i n x o x x x ，则 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→→∞→332216111lim 1sin 1lim x o x x x x x x x x x x ()61161lim 16111lim 322=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-+-=∞→∞→o x o x x x x x . 例7（山东师范大学2006年）求422cos limxex xx -→-.分析：利用Taylor 展开式计算函数极限. 解 进行带Peano 余项的Taylor 展开()5422421cos xo xxx ++-=, )(82154222x o xxex++-=-,所以)(12cos 5422x o xex x+-=--, 进而121cos lim422-=--→xex xx .例8（浙江大学2005年、华南理工大学2005年）设)(x f 在),[+∞a 上有连续的二阶导数，且已知(){}+∞∈=,0)(sup 0x x f M 和(){}+∞∈''=,0)(sup 2x x f M 均为有限数. 证明：(1)2022)(M t tM t f +≤' ，对任意的0>t ，),0(+∞∈x 成立；(2){}),0()(sup 1+∞∈'=x x f M 也是有限数，且满足不等式2012M M M ≤ .分析：Taylor 展开式.证明(1)考虑)(t x f + 在t 处的Taylor 展开式，,2)()()()(2>''+'+=+t t f t t t t f t t f ξ，则t f tt f t f t f 2)()()2()(ξ''--='，所以++≤'tt f t f t f )()2()(2)(ξf ''t ，有题设条件可得t M tM t f 22)(2+≤' .(2)同理由Taylor 展开式知，t M tM t f 22)(2+≤'成立，从而t M tM M 2221+≤，取202M M t = 即得证.例9（哈尔滨工业大学2006年）设)(x f 在[)+∞,0内二阶可微，0)(lim =+∞→x f x ，但)(lim x f x '+∞→不存在.证明：存在00>x ，使1)(0>''x f .分析 Taylor 展开式.证明 反证法，设对任意的),0(+∞∈x ，均有1)(≤''x f .利用Taylor 展开式，对任意的0>h ，有2)(21)()()(h f h x f x f h x f ξ''+'+=+，因此有2)()(1)(h x f h x f hx f +-+≤' ，取ε=h ，由0)(lim =+∞→x f x 知，存在0>A ，当A x > 时，有4)(2ε≤'x f ，于是ε<')(x f ，A x > ，即0)(lim ='+∞→x f x ，矛盾.例10 （华中科技大学2007年）设 )(x f 在（0,1） 上二阶可导且满足1)(≤''x f ，10(≤≤x ，又设)(x f 在()1.0 内取到极值41 .证明：1)1()0(≤+f f .分析 极值点，Taylor 展开式.证明 因为)(x f 在)1,0(上二阶可导，假设ξ在极值点，则41)(=ξf 、0)(='ξf .对)(x f 关于0=x 、1=x 在ξ点Taylor 展开有21)(2)())(()()0(ξηξξξ-''+-'+=f f f f ，)1,(2ξη∈.又有2)1(2)()1)(()()1(ξηξξξ-''+-'+=f f f f ，)1,(2ξη∈.所以有2221)1(2)(0)(2)(0)()1()0(ξηξξηξ-''+++''++=+f f f f f f[]2221)1()()(21)(2ξηξηξ-''+''+≤f f f[]22)1(121ξξ-++≤12121=+≤.这里另22)1()(x x x g -=，)1,0(∈x ，则最大值1)1(=g . 练习[1]（华中科技大学2005年）设)(x f 在[]1,0上有二阶连续导数，0)1()0(==f f ，58)(≤''x f ，58)(≤'x f ，给出)10()(≤≤x x f 的一个估计.[2]（华中科技大学2004年）设)10(,2)(,0)1()0(≤≤≤''==x x f f f ，证明：1)(≤'x f .[3]（北京航空航天大学2005年）证明：对任意的n ，有)!1(1!)1(!31211+<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅⋅⋅+---n n en. [4]（华南理工大学2004年）设)(x f 在[]1,1-上三次可微，1)1(,0)0()0()1(=='==-f f f f .证明：存在)1,1(-∈x ，使得3)()3(≥x f.[5]（大连理工大学2006年） 将2)1(1)(x x f += 在0=x 展开成Taylor 级数.[6]（同济大学1999年）求⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-→)11ln(lim 20x x x x (答案：21).[7]（大连理工大学2004年）设)(x f 在[]1,0上二阶可导，且有,0)1()0(==f f []21)(m i n 1,0-=∈x f x ，证明：存在)1,0(∈ξ，使得4)(≥''ξf .[8] （东南大学2004年）（1）设)(x f 在[]2.0上二阶可导，0)2()0(='='f f .证明：存在)2,0(∈ξ使得[])(4)2()0(3)(320ξf f f dx x f ''++=⎰.（2）若在（1）中只假定)(x f 在[]2,0上存在二阶导数而不要求二阶导数连续，那么（1）的结论是否成立？[9]（东南大学2003年） 求42cos lim2xx exx --→(答案：81-).[10]（同济大学1999年）求xx x x x x x arcsin )1ln(cos sin lim2220+-→(答案：61).§8.2 函数的极值和最值 函数的凸性与拐点一、知识结构 1、函数的极值和最值函数)(x f y =的极值是一个局部概念，而函数)(x f y =的最值是一个整体概念. 如函数)(x f y =在区间[]b a ,上有定义, 如果[]b a x ,0∈的某个邻域),(0δx U 内有)()(0x f x f ≤()()(0x f x f ≥), 则我们称函数)(x f y =在点0x 取得极大值(极小值). 函数)(x f y =在区间[]b a ,上的最大值)(0x f 满足)()(0x f x f ≥, 其中[]b a x ,∈.函数)(x f y =在区间[]b a ,上的最小值)(0x f 满足)()(0x f x f ≤, 其中[]b a x ,∈.(1) 一元函数)(x f y =的极值和最值定理1（必要条件） 设函数)(x f 在点0x 处可导，且在0x 处取得极值，那未这函数在0x 处的导数为零，即0)(0='x f .定理2（第一种充分条件） 设函数)(x f 在点0x 的一个邻域内可导且0)(0='x f .（1）如果当x 取0x 左侧邻近的值时，)(x f '恒为正；当x 取0x 右侧邻近的值时，)(x f '恒为负，那未函数)(x f 在0x 处取极大值；（2）如果当x 取0x 左侧邻近的值时，)(x f '恒为负；当x 取0x 右侧邻近的值时，)(x f '恒为正，那未函数)(x f 在0x 处取极小值；（3）如果当x 取0x 左右两侧邻近的值时，)(x f '恒为正或恒为负；那未函数)(x f 在0x 处没有极值.定理3 （第二种充分条件）设函数)(x f 在点0x 处具有二阶导数且0)(0='x f 0)(0≠''x f ，那么（1）当0)(0<''x f 时，函数)(x f 在点0x 处取极大值； （2）当0)(0>''x f 时，函数)(x f 在点0x 处取极小值. 一元函数)(x f y =在闭区间[]b a ,上的最值：（1）一元函数)(x f y =在()b a ,内的极大值与)(),(b f a f 中最大的为一元函数)(x f y =在闭区间[]b a ,上的最大值;（2）一元函数)(x f y =在()b a ,内的极小值与)(),(b f a f 中最小的为一元函数)(x f y =在闭区间[]b a ,上的最小值.(2) 二元函数()y x f z ,=的极值和最值定理1(必要条件) 设函数),(y x f 在点()00,y x 处可导，且在()00,y x 处取得极值，那未这函数在()00,y x 处的偏导数为零，即0),(00=y x f x ，0),(00=y x f y .定理2 (充分条件)设函数),(y x f 在点()00,y x 某邻域内连续且有一阶、二阶连续偏导数，又0),(00=y x f x ，0),(00=y x f y ，令A y x f xx =),(00，B y x f xy =),(00，C y x f yy =),(00，则函数),(y x f 在点()00,y x 是否取得极值的条件如下：（1）02>-B AC 时具有极值， 且当0<A 时有极大值，当0>A 时有极小值；（2）02<-B AC 时没有极值；（3）02=-B AC 时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论. 利用拉格朗日函数求极值和最值(条件极值)求函数),(y x f z =的极值，其中()y x ,满足条件0),(=y x F . 构造拉格朗日函数),(),(),,(y x F y x f y x L λλ+=, 解方程⎪⎩⎪⎨⎧===0),,(0),,(0),,(λλλλy x L y x L y x L y x 得⎪⎩⎪⎨⎧===000λλy y x x ，则()00,y x 为函数),(y x f z =的极值点(根据实际问题确定)，进而求得函数),(y x f z =的极值),(00y x f z =.2、函数的凸性与拐点定义1 若曲线)(x f y =在某区间内位于其切线的上方, 则称该曲线在此区间内是凸的, 此区间称为凸区间. 若曲线位于其切线的下方, 则称该曲线在此区间内是凹的, 此区间称为凹区间.定义 2 设函数)(x f y =在区间I 上连续，如果对区间I 上任意两点21,x x ，恒有2)()(22121x f x f x x f +<⎪⎭⎫⎝⎛+，那么称)(x f y =在区间I 的图形是（向上）凹（或凹弧）；如果恒有2)()(22121x f x f x x f +>⎪⎭⎫⎝⎛+，那么称)(x f y =在区间I 的图形是（向上）凸（或凸弧）.定理1 设函数)(x f y =在区间[]b a ,上连续，在()b a ,内具有一阶和二阶导数，那么(1) 若在()b a ,内0)(>''x f ，则)(x f y =在区间[]b a ,的图形是凹的； (2) 若在()b a ,内0)(<''x f ，则)(x f y =在区间[]b a ,的图形是凸的. 3、函数)(x f y =图像的描绘主要用函数)(x f y =的一阶导数)(x f y '='和二阶导数)(x f y ''=''的性质和曲线)(x f y =的渐进线描绘函数)(x f y =图像.如果0)(>''x f , ()b a x ,∈, 则函数)(x f y =图像在区间()b a ,内向下凸. 如果0)(<''x f , ()b a x ,∈, 则函数)(x f y =图像在区间()b a ,内向上凸. 如果0)(0=''x f , 且)(x f ''在()0,x a ,()b x ,0上异号, 则0x 为函数)(x f y =图像的拐点.如果0)(>'x f , ()b a x ,∈, 则函数)(x f y =在区间()b a ,内单调递增. 如果0)(<'x f , ()b a x ,∈, 则函数)(x f y =在区间()b a ,内单调递减.二、解证题方法 1、函数的极值和最值例1（南京大学2003年）对任意00>y , 求)1()(00x x y x y -=ϕ在()1,0中的最大值, 并证明该最大值对任意00>y , 均小于1-e .解 由于000120)1()(y y xy x xy x --='-ϕ ，令0)1()(000120=--='-y y xy x xy x ϕ得函数)(x ϕ的稳定点100+=y y x , 所以函数)(x ϕ的最大值为10000111)1(+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=+y y y y ϕ.因为()x x -<-1ln , 10<<x , 所以()11111000000111)1(-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++<=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=+eey y y y y y ϕ .例2（复旦大学2000年, 北京理工大学2003年）在下列数,,,4,3,2,143n n 中，求出最大的一个数.解 构造辅助函数xx x f =)(, 1≥x , 则222ln 1ln 1ln 1ln 1)(xxx x x x x e e x f xxx x x x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=', 令0)(='x f 得函数xx x f =)(, 1≥x 的稳定点e x =. 当e x <≤1, 0)(>x f ,当e x ≥,0)(<x f , 所以函数)(x f 在点e x =取得最大值ee . 从而下列数,,,4,3,2,143n n 中最大的一个数只可能是33,2中的一个, 又因332<, 所以下列数 ,,,4,3,2,143n n 中最大的一个数是33.例3（北京化工大学2004年）在下列数,2004,,4,3,2,12004242322中，求出最大的一个数.解 构造辅助函数xxx f 2)(=, 1≥x , 则22222ln 2ln 1ln 222ln 2)(x x x x x x x e e x f x x x x x x ⋅-⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=', 令0)(='x f 得函数xxx f 2)(=, 1≥x 的稳定点e x =. 当e x <≤1,0)(>x f ,当e x ≥, 0)(<x f , 所以函数)(x f 在点e x =取得最大值ee 2.从而下列数 ,2004,,4,3,2,12004242322中最大的一个数只可能是3223,2中的一个,又因32232<,所以下列数,2004,,4,3,2,12004242322中最大的一个数是323.例4（中山大学2006年）设S 为由两条抛物线12-=x y 与12+-=x y 所围成的闭区域,椭圆12222=+by ax 在S 内, 确定b a ,(0>b a 、), 使椭圆的面积最大.解 两条抛物线12-=x y 与12+-=x y 的交点为()0,1-，()0,1，()1,0-，()1,0.S 为1122+-≤≤-x y x ，因为椭圆12222=+by ax 在S 内, 所以1,0≤<b a . 椭圆的参数方程为⎩⎨⎧==t b y ta x s i n c o s ，π20≤≤t ，由椭圆12222=+by ax 和区域S 的对称性知，椭圆12222=+by ax 的面积最大时， 必须有ta tb 22cos 1sin -= ，20π≤≤t 有惟一解. 即0cos 1sin 22=+-t a t b ,20π≤≤t 有惟一解.令01sin sin cos 1sin )(22222=-++-=+-=a t b t a t a t b t f ,20π≤≤t .则01)0(2≤-=a f , 012≤-=⎪⎭⎫⎝⎛b f π ，0)1(4222=-+=∆a a b ，()122sin 22≤=--=ab ab t . 于是212a a b -=，122≤≤a . 椭圆12222=+by ax 的面积2221212)(aaa a a ab a f -=-==πππ,122≤≤a . 即01214)(232=---='aaa a a f ππ, 得36=a , 322=b , 故最大面积为934π.例5（湖南师范大学2005年）设q p b a ,,,都是正数，（1）求()q px xx f -=1)(在区间[]1,0上最大值；（2）证明：qp qpq p b a q b p a +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛.解(1)因为()qpx xx f -=1)(, 所以()()1111)(-----='q pq p x qxx pxx f ,令()()011)(11=---='--q pqp x qxx pxx f 得稳定点qp p x +=. 又0)1()0(==f f , ()qp q p q p qp q p p f ++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+, 进而函数()qp x x x f -=1)(在区间[]1,0上最大值为()qp qp q p qp q p p f ++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+.(2)因为()1,qppqp q p qa a a ab p p qf f a b a b a b a b a b p q p q +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=≤= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭+⎝⎭⎝⎭所以qp q p q p b a q b p a +⎪⎪⎭⎫⎝⎛++≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛.例6（南京农业大学2004年）试问方程033=+-q px x 在实数域内有几个实根.解 由于()+∞=+-+∞→q px x x 3lim 3, ()-∞=+--∞→q px x x 3lim 3, 所以方程033=+-q px x 在实数域内至少有一个实根. 令q px x x f +-=3)(3, 则()p x p x x f -=-='22333)(.(1)当0<p 时, 有0)(>'x f , 进而)(x f 单调递增, 方程033=+-q px x 在实数域内只有一个实根.(2) 当0>p 时, 得q px x x f +-=3)(3的稳定点p x =, p x -=. 上述稳定点将()+∞∞-,分成三个区间()p -∞-,, ()p p ,-, ()+∞,p . 当()p x -∞-∈,时, )(x f 严格单调递增, 当()pp x ,-∈时, )(x f 严格单调递减, 当()+∞∈,p x 时, )(x f 严格单调递增. 进而,在p x -=时, )(x f 取得极大值q p p +2.在p x =时, )(x f 取得极小值q p p +-2. 所以, 当()()042232>-=+-+p q q p pq p p时,方程33=+-q px x 只有一个实根, 当()()042232=-=+-+p q q p pq p p时, 方程033=+-q px x 有两个实根, 当()()042232<-=+-+p q q p pq p p时, 方程033=+-q px x 有三个实根.综上所述, 当0<p 时, 方程033=+-q px x 在实数域内有一个实根, 当0>p , 且0432>-p q 时, 方程033=+-q px x 只有一个实根, 当0>p , 且0432=-p q 时, 方程033=+-q px x 有两个实根, 当0>p ,且0432<-p q 时, 方程033=+-q px x 有三个实根.例7（上海交通大学2005年）求函数444),,(z y x z y x f ++=在条件1=xyz 下的极值.分析 用Lagrange 乘数法求函数444),,(z y x z y x f ++=在条件1=x y z 下的极值.解 构造Lagrange 函数()1),,,(444-+++=xyz z y x z y x L λλ, 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==+==+==+=01),,,(04),,,(04),,,(04),,,(333xyz z y x L xy z z y x L zx y z y x L yz x z y x L zy x λλλλλλλλ得1===z y x , 所以极值为3)1,1,1(=f .。
_关于积分第二中值定理的推广及其证明
微积分中的积分中值定理
微积分中的积分中值定理积分中值定理是微积分中的一个重要定理，指在一个函数在区间[a,b]上积分的平均值等于这个函数在区间[a,b]上的某一点的函数值。
积分中值定理起源于求平均速度的问题，随着时间的推移，它逐渐成为微积分学中的一个重要定理，被广泛应用于各种物理问题和工程问题中。
定理描述积分中值定理主要有三种形式，分别为第一型，第二型和第三型。
这些形式的积分中值定理都是基于微积分的基本定理的。
第一型：如果f(x)是在[a,b]上可积的函数，且b>a，则至少存在一个数字c∈[a,b]，使得$$\int_{a}^{b}f(x)dx=f(c)\cdot(b-a)$$第二型：如果f(x)和g(x)是在[a,b]上可积的函数，且g(x)不等于0，则至少存在一个数字c∈[a,b]，使得$$\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx=f(c)\cdot\int_{a}^{b}g(x)dx$$第三型：如果f(x)是在[a,b]上连续的函数，且存在一个数字k，使得对于区间[a,b]上的任意一点x，都有|f(x)|<=k，则至少存在一个数字c∈[a,b]，使得$$\int_{a}^{b}f(x)dx=f(c)\cdot(b-a)$$其中，第一型积分中值定理是积分学中最基本的积分中值定理，第二型积分中值定理可以用于证明微积分基本定理，第三型积分中值定理则是积分中值定理的一个推论。
理解积分中值定理的物理意义积分中值定理的物理意义可以通过一个具体的例子来说明。
我们知道，物体在垂直下落的过程中，其速度可以用时间t的函数v(t)表示。
假设物体下落的高度为h，则其速度v(t)可以表示为$$v(t)=\frac{dh}{dt}$$因此，物体下落的时间t和高度h之间的关系可以表示为$$h=\int_{0}^{t}v(t)dt$$由积分中值定理，我们知道存在一个时刻t0，使得$$h=v(t_0)\cdot t_0$$即物体下落的平均高度等于某一时刻的高度，这也说明了物体下落的速度在不同时间段内是不同的。
积分中值定理(开区间)证明的几种方法
积分中值定理（开区间）的几种证明方法定理：设f 在[,]a b 上连续，则(,)a b ξ∃∈，使得()()()ba f x dx fb a ξ=-⎰。
[证一]：由积分第一中值定理（P217），[,]a b ξ∃∈， 使得()()()b a f x dx f b a ξ=-⎰。
于是[()()]0.b a f x f dx ξ-=⎰由于函数()()()F x f x f ξ=-在[,]a b 上连续，易证（可反证）：(这还是书上例2的结论)(,)a b η∃∈，使得()()()0F f f ηηξ=-=，即()()f f ηξ=。
[证二]：令()()xa F x f t dt =⎰，则()F x 在[,]ab 上满足拉格朗日中值定理的条件，故(,)a b ξ∃∈，使得()()()()F b F a F b a ξ'-=-，即结论成立。
（注：书上在后面讲的微积分基本定理）[证三]：反证：假设不(,)a b ξ∃∈，使得 ()()()ba f x dx fb a ξ=-⎰，由积分第一中值定理，知ξ只能为a 或b ，不妨设为b ，即1(,),()()()b a x a b f x f b f x dx b a∀∈≠=-⎰。
由于f 连续，故(,),x a b ∀∈ ()()f x f b >（或()()f x f b <），（这一点是不是用介值定理来说明）这样（上限x 改为b ）()()()().x b a af x dx f b dx f b b a >=-⎰⎰ （这个严格不等号不太显然要用书上例2结论来说明）矛盾。
[证四]：设f 在[,]a b 上的最大值为M ，最小值为m 。
若m M =，则f c ≡，ξ可任取。
若m M <，则1[,]x a b ∃∈，有1()0M f x ->，故[()]0b a M f x dx ->⎰，即 ()().ba f x dx Mb a <-⎰同理有()().ba mb a f x dx -<⎰ 由连续函数的介质定理知：(,)a b ξ∃∈，使得 1()().b a f f x dx b aξ=-⎰。
第二讲 函数的连续性 中值定理 积分
第二讲 函数的连续性 中值定理 积分一．连续性定理：设()f x 在[,]a b 上Riemann 可积，则(,)[,]()a b a b αβαβ∀⊂≤<≤，0(,)x αβ∃∈使()f x 在0x x =处连续。
证明：作分划010:n x x x x nβααβ-∆=<=+<<= 。
因()f x 在[,]a b 上Riemann 可积，取102βαε-=>，存在14n ≥，使1(1)(1)11()2n iii M m n βαβα=---<∑（其中1,1,(1)(1)[][]{()},inf {()}i i i i iix x x x x x M sup f x m f x --∈∈==，以下类似定义。
） 所以1(1)(1)111()22n iii n M m n =-<≤-∑，因此至少有三个i ，使(1)(1)1iiM m -<。
取110,i n <<使11(1)(1)1iiM m -<。
作区间11111[,][,]ii x x αβ-=，则()f x 在11[,]αβ上Riemann可积。
取112202βαε-=>，存在24n ≥，使1(2)(2)111121()4n ii i M m n βαβα=---<∑于是2(2)(2)2212()42n ii i n n M m =--<≤∑，因此至少有三个i ，使(2)(2)12iiM m -<。
取220,i n <<使22(2)(2)12iiM m -<。
如此继续可以得到一个闭区间套11[,][,][,]n n αβαβαβ⊃⊃⊃使得（1）4n n nβαβα--≤；（2）()f x 在[,]n n αβ上的上下确界满足()()1n n iiM m n-<。
由闭区间套定理知01[,]{}n n n x αβ∞== 。
下证()f x 在0x x =处连续。
二重积分中值定理证明
二重积分中值定理证明二重积分中值定理证明引言二重积分中值定理是微积分学中重要的定理之一，它描述了在某些条件下，一个函数在某个区域上的平均值等于这个函数在该区域上的某个点的取值。
这个定理在应用数学、物理学、工程学等领域都有广泛的应用。
本文将对二重积分中值定理进行证明。
定义设 $f(x,y)$ 是一个定义在有限闭区域 $D$ 上的连续函数，则存在一点$(\xi,\eta)$，使得$$\iint_D f(x,y) dxdy = f(\xi,\eta) \iint_D dxdy$$证明为了证明二重积分中值定理，我们需要使用以下两个引理：引理1：闭区间上连续函数的最大最小值存在。
引理2：如果 $f(x,y)$ 在有限闭区域 $D$ 上连续且非负，则 $\iint_D f(x,y) dxdy > 0$。
接下来我们将使用这两个引理来证明二重积分中值定理。
第一步：构造辅助函数为了方便证明，我们可以构造一个辅助函数 $F(t)$：$$F(t) = \iint_D [f(x,y)-t]dxdy$$其中 $t$ 是一个常数。
显然，$F(t)$ 是 $t$ 的连续函数。
第二步：证明引理1由于 $f(x,y)$ 在有限闭区域 $D$ 上连续，因此 $F(t)$ 也是在闭区间上的连续函数。
根据引理1，$F(t)$ 在某个点 $t_0$ 处取得最小值和最大值。
设最小值为 $m$，最大值为 $M$。
第三步：证明引理2由于 $f(x,y)$ 在有限闭区域 $D$ 上连续且非负，因此 $\iint_D f(x,y) dxdy \geq 0$。
如果 $\iint_D f(x,y) dxdy = 0$，则对于任意常数$t_0$，$$F(t_0) = \iint_D [f(x,y)-t_0]dxdy \leq 0$$但是根据定义，当 $t=t_0=m$ 时，$$F(m) = \iint_D [f(x,y)-m]dxdy \geq 0$$这与上式矛盾。
积分第二中分定理
积分第二中分定理
积分第二中值定理
积分第二中值定理是高等数学中的一个重要定理。
它被广泛应用于计算积分、研究微积分学中的相关问题。
本文将从概念、定理以及例题等方面进行详细介绍。
概念：积分第二中值定理是指，如果在一个区间上的函数f(x)在该区间内是连续的且不存在零点，那么必然至少存在一点c，使得
∫abf(x)dx=f(c)(b-a)。
定理证明：首先，我们可以从函数f(x)的连续性出发，构造一个函数g(x)，使得f(x)和g(x)在闭区间[a,b]上都满足连续性。
设
g(x)=∫abf(t)dt/(b-a)，将其带入到定理中可得出∫abf(x)dx=g(x)(b-a)。
因为g(x)和f(x)都在区间[a,b]内连续，由于连续函数介值定理，所以必有
g(x)在区间[a,b]内取到了某个值c。
于是，由上述式子可以推导出
f(c)=(∫abf(t)dt/(b-a))/(b-a)=∫abf(t)dt/(b-a)×1/(b-a)=g(x)。
因此，得证。
例题：对函数f(x)=x2在区间[0,2]上求∫abf(x)dx与积分第二中值定理确定的值。
分析：f(x)在该区间内是一个连续的函数，故可以用积分第二中值定理
来求解。
解法：首先求出∫02x2dx=(x3/3)|02=8/3，然后求出g(x)=8/3/2=4/3，因为
f(x)在区间[0,2]内连续，故必存在一点c∈[0,2]使得f(c)=4/3。
总结：积分第二中值定理是微积分中的基础概念，常常被应用于实际
问题的求解。
虽然证明过程相对比较复杂，但是只要理解其基本思想，推导就能较为顺利。
)积分中值定理的推广和应用情形
积分中值定理的推广和应用———积分中值定理的推广定理和应用情形The Integral Mean Value Theorem for Its Spreading andApplication——Extension theorem of integral mean value theorem and itsapplication论文作者：专业：指导老师：完成时间：摘要积分中值定理和微分中值定理在微积分学中有着重要的地位，微分中值定理是研究函数的有力工具，反映了导数的局部性和与函数的整体性之间的关系，而积分中值定理在证明有关中值问题时具有极其重要的作用。
它是数学分析课程中定积分部分的一个基本定理之一。
积分中值定理包括积分第一中值定理和积分第二中值定理,在之前的数学分析课程中我们已经学习了这两个定理的证明，但这两个定理的推广与应用尚未提及。
在这里，我讨论了积分第一中值定理和积分第二中值定并给出了这些定理的详细证明过程，并且给出了集中推广形式。
在积分中值定理的应用方面，我给出了一些较简单的情形如估计积分值，求含有定积分的极限，确定积分号等，并且通过列举例题，加以归纳总结，并且充分体现积分中值定理在学习解题练习中的应用。
The integral mean value theorem and the differential mean value theorem play an important role in the calculus.Differential mean value theorem is a powerful tool to study the function.It reflects the relation between the local property of the derivative and the integral of the function. And the integral mean value theorem plays a very important role in the proof of the mean value problem.It is one of the basic theorems of the definite integral part in the course of mathematical analysis.The integral mean value theorem includes the first mean value theorem of integrals and the second mean value theorem of integrals,we have learned the proof of the two theorems In the course of mathematical analysis.But the extension and application of these two theorems have not been mentioned yet.Here, I discuss the first mean value theorem of integrals and the second mean value of the integrals and give a detailed proof of these theorems and I give the form of centralized generalizations here.In the application of the integral mean value theorem, I give some simple situations such as the estimation of the integral value, and the limit of the definite integral, the integral number and so on.And by citing examples,I summarized and fully reflect the integral mean value theorem in the application of learning problem solving exercises.关键词：积分中值定理；推广；应用Keyword:mean value theorem of integrals; extension; Application1 引言中值定理在数学分析中占有非常重要的地位，学好积分中值定理和微分中值定理能为进一步学好微积分理论打下坚实的基础。
积分第二中值定理的证明 -回复
积分第二中值定理的证明回复积分第二中值定理的证明如下：设$f(x)$在$[a,b]$内连续，则存在$c\in[a,b]$，使得$$\int_a^bf(x)dx=f(c)(b-a)$$证明：考虑将$[a,b]$分成$n$个相等的小区间，每个小区间的长度为$\Delta x=\frac{b-a}{n}$，分别记为$[x_0,x_1],[x_1,x_2],...,[x_{n-1},x_n]$，其中$x_0=a,x_n=b$。
对于每个小区间$[x_{i-1},x_i]$，根据拉格朗日中值定理，存在$x_i^*\in[x_{i-1},x_i]$，使得$$\int_{x_{i-1}}^{x_i}f(x)dx=f(x_i^*)\Delta x$$将上述式子对$i=1,2,...,n$进行求和，有$$\int_a^bf(x)dx=\sum_{i=1}^nf(x_i^*)\Delta x$$由于$f(x)$在$[a,b]$内连续，因此$f(x)$在$[a,b]$内一定有界，即存在$M>0$，使得$|f(x)|\leM$，$\forall x\in[a,b]$。
于是有$$\left|\sum_{i=1}^nf(x_i^*)\Delta x\right|\le\sum_{i=1}^n|f(x_i^*)|\Delta x\le M\sum_{i=1}^n\Delta x=(b-a)M$$令$\Delta x\rightarrow0$，则有$n\rightarrow\infty$，$x_i^*\rightarrow c$，其中$c\in[a,b]$。
因此，$$\lim_{\Delta x\rightarrow0}\sum_{i=1}^nf(x_i^*)\Delta x=\int_a^bf(x)dx$$又由于$f(x)$在$[a,b]$内连续，因此$f(x)$在$[a,b]$内一定可积，即存在$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\sum_{i=1}^nf(x_i^*)\Delta x$。
积分中值定理(开区间)证明的几种方法
积分中值定理(开区间)的几种证明方法定理：设f 在［a,b ］上连续，则 (a,b)，使得f (x) f ()在［a,b ］上连续，易证(可反证)(这还是书上例2的结论)(a,b)，使得 F( ) f( ) f( ) 0，即 f ( ) f()。
x［证二］:令F(x) f (t)dt ，则F(x)在［a,b ］上满足拉格朗日中值定理的条件，故a(a,b)，使得 F(b) F(a) F ( )(b a)，即结论成立。
(注：书上在后面讲的微积分基本定理 )b［证三］:反证：假设不 (a,b)，使得 f(x)dx f( )(b a)，由积分第一中值定理, a知只能为a 或b ，不妨设为b ，即1bx (a,b), f (x) f (b) - a f(x)dx 。
b a a 由于 f 连续，故 x (a,b), f (x) f(b)(或 f (x) f(b))，(这一点是不是用介值定理来说明 )这样x b(上限 x 改为 b ) f (x)dx f (b)dx f (b)(b a).a a(这个严格不等号不太显然要用书上例 2结论来说明)矛盾。
［证四］:设f 在［a,b ］上的最大值为 M ，最小值为m 。
若m M ，则f c ， 可任取。
b若 m M ，则 x - ［a,b ］，有 M f(x -) 0,故［M f (x)］dx 0,即ab f (x)dx M (b a).f(x)dx f( )(b a)。
［证一］:由积分第一中值定理(P217),b[a,b]，使得 f (x)dx a f( )(b a)。
于是a 【f (X ) f ( )]dx 0.由于函数F(x)同理有m(b ba) & f(x)dx.由连续函数的介质定理知：1 b (a,b)，使得f ( ) f (x)dx.。
b a a主：以上方法有的能推广到定理9.8的证明，有的不能，再思考吧！。
二元积分中值定理公式
二元积分中值定理公式【实用版】目录1.二元积分中值定理的概念2.二元积分中值定理的公式3.二元积分中值定理的证明4.二元积分中值定理的应用正文【1.二元积分中值定理的概念】二元积分中值定理是微积分学中的一个重要定理，它主要用于解决二元函数在矩形区域上的积分问题。
该定理指出，如果一个二元函数在某一矩形区域内部可积，那么在这个矩形区域的边界上必然存在一个点，使得该点处的函数值等于矩形区域内部任意一点处的函数值的平均值。
【2.二元积分中值定理的公式】二元积分中值定理的公式可以表示为：∫∫_D f(x, y) dxdy = ∫f(x, y) d(x * |y|) = ∫f(x, 0) dx + ∫f(0, y) dy其中，D 表示二元函数 f(x, y) 的定义域，|y|表示 y 的绝对值，表示 y 轴上的长度。
【3.二元积分中值定理的证明】为了证明二元积分中值定理，我们可以采用数学归纳法。
假设我们有一个二元函数 f(x, y)，它在矩形区域 D 内部可积，现在需要证明在 D 的边界上存在一个点 (x0, y0)，使得 f(x0, y0) 等于 f(x, y) 在 D 内部任意一点处的函数值的平均值。
我们首先假设 f(x, y) 在 D 内部可积，那么根据一元积分中值定理，我们可以得出在 D 的边界上存在一个点 (x0, y0)，使得∫_D f(x, y) dxdy = f(x0, y0)。
然后我们假设 f(x, y) 在 D 的边界上不可积，那么根据积分的连续性，我们可以将 D 划分为两个更小的矩形区域，使得 f(x, y) 在这两个小区域内部可积。
然而，这与我们的假设矛盾，因此假设不成立，即 f(x, y) 在 D 的边界上存在一个点 (x0, y0)，使得 f(x0, y0) 等于 f(x, y) 在 D 内部任意一点处的函数值的平均值。
【4.二元积分中值定理的应用】二元积分中值定理在实际应用中非常重要，它可以帮助我们简化复杂的积分问题。
关于积分中值定理的证明方法
关于积分中值定理的证明方法
冯守平
【期刊名称】《北京印刷学院学报》
【年(卷),期】2011(019)002
【摘要】证明了积分第一中值定理中的ξ∈[a,b]可以改为ξ∈(a,b),在稍微加强部分条件的情形下,证明了积分第二中值定理中的ξ∈[a,b]也可以改为ξ∈(a,b),并简化了传统的证明方法,使得证明方法适合于非数学专业的学生.
【总页数】3页(P68-69,73)
【作者】冯守平
【作者单位】安徽财经大学,蚌埠233030
【正文语种】中文
【中图分类】O72.2
【相关文献】
1.广义积分中值定理与积分中值定理“中间点”渐近性基本定理 [J], 施丽梅;李毅夫
2.微分中值定理及微分Darboux定理新证明方法 [J], 张琳;郭三刚
3.微分中值定理与积分中值定理的逆定理 [J], 张兴龙;王丽霞
4.基于微分中值定理证明微积分基本公式和积分中值定理 [J], 郑权
5.关于积分中值定理及推广的积分中值定理的改进 [J], 陈卫星;马全中
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上一篇文章讲了积分第一中值定理的证明，并给出了积分第一中值定理更一般的形式，这篇主要讲积分第二中值定理的证明。
积分第二中值定理：
()f x 在区间[,]a b 上可积，()x ϕ在区间[,]a b 上单调，那么在[,]
a b 上存在内点ξ，使得：
()()(0)()(0)()b
b
a
a
f x x dx a f x dx b f x dx ξξ
ϕϕϕ=++-⎰
⎰⎰
特别的，当()x ϕ在区间[,]a b 两端连续时，有
()()()()()()b
b
a
a
f x x dx a f x dx b f x dx ξξ
ϕϕϕ=+⎰
⎰⎰
积分第二中值定理是一个更为精确的分析工具，在证明这个定理之前，先介绍Abel 引理。
Abel 引理：数列{}n a 和{}n b ，对于任意的210n n >>，有
2
2
22111
1
1111()()n n n
n
n n n n n n n n n n n n a b
b b a a a b a b -++-==-=-+-∑∑
实际上：
2
1111112221
1111111122222
1111111122111111111211111121()()()...()
()()...()()()...(n n
n
n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a b
b a b b a b b a b b a b b a a b a a b a a a b a b b a a b a a b a --++-=-++++---++++---=-+-++-=-+-+-++-+=-+-+-++∑222222
2
22111111111
)()()n n n n n n n n
n
n n n n n n n a b a a a b b a
a a
b a b ++++-=-+-+-+-∑
下面给出Abel 引理的一个理解方式，便于记忆。
众所周知，积
分与求和，微分与差分有许多相似之处，一个是对连续函数而言，一
个是对离散的数列而言，只要把函数与数列的一些定理放在一起比较，就会发现异曲同工之处。
那么就来回顾一下分部积分的方法：
区间[,]a b 上的连续函数()f x 与()x ϕ，有
()()()()|()()b
b
b a
a
a
f x d x f x x x df x ϕϕϕ=-⎰
⎰
再看上面的Abel 引理，n a 对应()f x ，n b 对应()x ϕ，符号21
n n n =∑对应b
a
⎰
，()d x ϕ对应1n n b b --，()df x 对应1n n a a +-，最后你会发现上面
的Abel 引理就对应了分部积分的这种形式。
我们在计算积分的时候，适时使用分部积分会给计算带来很多好处，同样对于数列的处理，利用Abel 引理进行变换也能带来很多好处，下面就进入正题，证明积分第二中值定理。
用T 表示区间[,]a b 上的一个划分012,,...n x x x x ， T l 表示划分的最大长度，接下来设()x ϕ非负且单调不增。
将得到：
1
1
()()()()k
k n
x b
k
x a
k f x dx f x x dx ϕξϕ-=→∑⎰
⎰，其中1k k k x x ξ-≤≤。
用μ表示
|()|
f x 在区间
[,]
a b 的上确界，令
1
1
()()()()k
k n
b
x k a
x k f x x dx f x dx ϕϕξ-=∆=-∑⎰⎰
，则：
1
1111
|||[()()]()|
[()()]()
[()()]
k
k n
x k x k n
k k k k k T x f x dx x x x x l a b ϕξϕϕϕμμϕϕ-=--=∆=-≤--≤-∑⎰
∑
因为0T l →，则0∆→，即1
1
()()()()k
k n
x b
k x a
k f x dx f x x dx ϕξϕ-=→∑⎰
⎰。
下面将用Abel 引理变换上面的式子：
令()k
x k a
A f x dx =⎰，(0,1,2,..,)k n =，那么，
1
111
111
()()()()
[()()]()
k
k n
n
x k
k k k x k k n k k k n n k f x dx A A A A ϕξϕξϕξϕξϕξ--==-+==-=-+∑∑⎰
∑
分别用M 和m 来表示()x
a
f u du ⎰的在区间[,]a b 的上下确界，显然
有k m A M ≤≤，令1
11
[()()]()n k k k n n k S A A ϕξϕξϕξ-+==-+∑，由于()x ϕ单
调不增且非负，则有：
11()()m S M ϕξϕξ≤≤，当0T l →时，
有1()(0)a ϕξϕ→+，()()b
a
S f x x dx ϕ→⎰，不等式可写为：
(0)()()(0)b a
m a f x x dx M a ϕϕϕ+≤≤+⎰，根据()x
a
f u du ⎰的连续性，
区间[,]a b 存在内点ξ，使得()()(0)()b a
a
f x x dx a f x dx ξ
ϕϕ=+⎰⎰。
如果()x ϕ非负且单调不减，令x b y =-，则，
()()()()(0)()(0)()b
b a
a
b b f x x dx f b y b y dy b f b y dy
b f x dx
ξ
η
ϕϕϕϕ--=--=--=-⎰
⎰
⎰⎰
其中a b b ξη<=-<，因此()()(0)()b
b
a
f x x dx b f x dx ξ
ϕϕ=-⎰⎰，
综合可得，当()x ϕ在区间[,]a b 上单调，积分第二中值定理可表述为：()()(0)()(0)()b
b
a
a
f x x dx a f x dx b f x dx ξξ
ϕϕϕ=++-⎰⎰⎰。
特别地，若()x ϕ在区间[,]a b 上单调且连续，则
()()()()()()b
b
a
a
f x x dx a f x dx b f x dx ξξ
ϕϕϕ=+⎰
⎰⎰
这种情况可以用分部积分给出推导过程，尽管不是严格的证明，但是从这个过程中应该能加深对积分第二中值定理的理解。
令()()x
a
F x f u du =⎰，可知()0F a =，则，
()()()()()()|()()
()()()'()b
b
b
b a
a
a
a
b a
f x x dx x dF x F x x F x d x F b b F x x dx
ϕϕϕϕϕϕ==-=-⎰
⎰⎰⎰
在区间[,]a b 上，当()x ϕ单调不减时，'()0x ϕ≥，
'()()'()'()m x F x x M x ϕϕϕ≤≤，
()()()()()[()()]
()()()()()()()()()()b
a
a
b
a
a
a
b
a
f x x dx F b b f x dx b a b f x dx b f x dx a f x dx a f x dx b f x dx
ξ
ξξ
ξξ
ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ=--=-+=+⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰
()x ϕ单调不增的情况同理可得。