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高三数学质量检测考试理科

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2023年江西省4月高三教学质量检测卷理科数学试题及答案

2023年江西省4月高三教学质量检测卷理科数学试题及答案

Mm l{E考i1E：号：由白（在此卷上答题元效）2023年江西省高三教学质量监测卷理科数学说明：l.全卷满分150分．考试时间120分钟．2.会卷分为试题卷和答是是卡．答案妥求写在答题字上．不得在试卷上作o－否则不给分．一、选择题：本题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合A=(.r E R1x2<4l.B={.i:13’＜9｝.贝I]A.A门B=BB.A U B=(.r l O<.r<2fc.八门日＝A D.A U B=R2.已知主L数＝满足Cl+i>::=2-i(i为m：数单位）·则复数主的缺等于A俨’ B.�飞．在lo D.一23若O＜α＜π则子＜出以1”是W训”的A.充要条件c.必婆不充分条件 B.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件4.在某校随机抽取了100名学生．调查他们课后完成作业的时间，根据调查结果绘栩如下频率分布直方图．根据此频率分布直方回．下y1J结论中正确的是组距o.sI.…0.4,.03, .....0.1，…O I 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5完成作业时间／时A.估计该校有40%的学生在2小时｜人j元成i束后作业B.铀取的学生中有10人不能在4小时内完成以后作、I�.C.t自取学生课后完成作业时间的100个数据的中位数伍l丘1'111( 2.2. 5）内0.抽取学生课后完成作业时间的100个荣立据的众数一定（E f天fF-i l(2.2. 5）内5.已知抛物线x'=4y的焦点为f,,(i,M在抛物线上，H I M F l=3，贝11lJ. M到y铀的�li肉J-1A.48. 2/3 C.2J2 D. 36.函数刀。

＝sin2.r-/3cos 2.1寸l{.E隧I同［O.rr]Iλl的＇.）！，：点个败是A.28.3 c.4D.57. （［炎热的反天里．人们都喜欢在饮品里放冰块．如l 民I �主一个问脚杯．它的细11盹I 归是JE 王fr l %.容拇内有－定虫的水．扣在高脚杯l均放入一个球形冰块后．冰块没有开始融化前水面所在的平而价好经过冰块的球心。

云南省昆明市2025届高三数学复习教学质量检测试题理含解析

云南省昆明市2025届高三数学复习教学质量检测试题理含解析

昆明市2025届高三复习教学质量检测理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意，求得集合，再依据集合的交集的运算，即可求解. 【详解】由题意，集合，集合，所以，故选C.【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，其中解答中精确求解集合B，以及熟记集合的交集的运算是解答的关键，着重考查了运算与求解实力，属于基础题.2.设复数满意，则（）A. B.C. D. 5【答案】A【解析】【分析】依据复数的运算，化简得，再依据复数模的运算，即可求解，得到答案.【详解】由题意，复数满意，则，所以，故选A.【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数模的运算，其中解答中熟记复数的四则运算，以及复数模的运算公式是解答的关键，着重考查了运算与求解实力，属于基础题.3.一个三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的侧面积为（）A. B. 24C. D.【答案】B【解析】【分析】依据几何体的三视图可知，该几何体表示底面为边长为2的等边三角形，侧棱长为4的正三棱柱，利用侧面积公式，即可求解.【详解】由题意，依据几何体的三视图可知，该几何体表示底面为边长为2的等边三角形，侧棱长为4的正三棱柱，所以该正三棱柱的侧面积为，故选B.【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形态时，要依据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不行见轮廓线在三视图中为虚线.求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形态以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解.4.若，满意约束条件且，则（）A.有最小值也有最大值B.无最小值也无最大值C.有最小值无最大值D.有最大值无最小值【答案】C【解析】【分析】作出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，即可得到答案.【详解】由题意，作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，设，则，当直线过点A时，直线在y轴上的截距最小，此时目标函数取得最小值，无最大值，故选C.【点睛】本题主要考查简洁线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算实力，属于基础题．5.如图是某商场2024年洗衣机、电视机和电冰箱三种电器各季度销量的百分比积累图（例如：第3季度内，洗衣机销量约占，电视机销量约占，电冰箱销量约占）.依据该图，以下结论中肯定正确的是（）A. 电视机销量最大的是第4季度B. 电冰箱销量最小的是第4季度C. 电视机的全年销量最大D. 电冰箱的全年销量最大【答案】C【解析】【分析】依据商场2024年洗衣机、电视机和电冰箱三种电器各季度销量的百分比积累图，逐项判定，即可得到答案.【详解】由题意，某商场2024年洗衣机、电视机和电冰箱三种电器各季度销量的百分比积累图，可知：A中，第4季度中电视机销量所占的百分比最大，但销量不肯定最大，所以不正确；B中，第4季度中电冰箱销量所占的百分比最小，但销量不肯定最少，所以不正确；由图可知，全年中电视机销售中所占的百分比最多，所以全年中电视机销售最多，所以C正确；D不正确，故选C.【点睛】本题主要考查了条形图表的应用，其中解答中仔细审题、正确理解题意，依据图表中的数据与表示逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题与解答问题的实力，属于基础题.6.已知直线与圆：相交于、两点，为圆心.若为等边三角形，则的值为（）A. 1B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由为等边三角形，所以，由弦长公式求得，利用圆心到直线的距离公式，即可求解，得到答案.【详解】由题意，圆可知，圆心，半径，因为为等边三角形，所以，由弦长公式，可得，解得，所以圆心到直线的距离为，解得，故选D.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中依据圆的弦长公式，求得圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式列出方程求解是解答的关键，着重考查了运算与求解实力，属于基础题.7.函数的图象大致为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由函数，可得和，利用解除法，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，函数，可得，可解除C、D，又由，解除B，故选A.【点睛】本题主要考查了函数图象的识别问题，其中解答中依据函数的解析式，合理利用解除法求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的实力，属于基础题.8.某市一次高三年级数学统测，经抽样分析，成果近似听从正态分布，且.该市某校有400人参与此次统测，估计该校数学成果不低于90分的人数为（）A. 60B. 80C. 100D. 120【答案】B【解析】【分析】由题意，成果近似听从正态分布，则正态分布曲线的对称轴为，依据正态分布曲线的对称性，求得,进而可求解，得到答案. 【详解】由题意，成果近似听从正态分布，则正态分布曲线的对称轴为，又由，依据正态分布曲线的对称性，可得,所以该市某校有400人中，估计该校数学成果不低于90分的人数为人，故选B.【点睛】本题主要考查了正态分布曲线的性质的应用，其中解答中娴熟应用正态分布曲线的对称性，求得成果不低于90分的概率是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的实力，属于基础题.9.将函数的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数在区间上无极值点，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由三角函数的图象变换，求得函数，求得增区间，令，可得函数的单调递增区间为，进而依据函数在区间上无极值点，即可求解.【详解】由题意，将函数的图象向左平移个单位，可得函数，令，解得即函数的单调递增区间为，令，可得函数的单调递增区间为，又由函数在区间上无极值点，则的最大值为，故选A.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的性质的应用，其中解答中娴熟应用三角函数的图象变换得到函数的解析式，再依据三角函数的性质，求得其单调递增区间是解答的关键，着重考查了运算与求解实力，属于中档试题.10.数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.该数列从第三项起先，每项等于其前相邻两项之和.记该数列的前项和为，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用迭代法可得，得到成立，即可得到答案.【详解】由题意，数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，即该数列从第三项起先，每项等于其前相邻两项之和，则，即成立，所以成立，故选A.【点睛】本题主要考查了数列的综合应用问题，其中解答中依据数列的结构特征，合理利用迭代法得出是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的实力，属于中档试题.11.三棱锥的全部顶点都在半径为2的球的球面上.若是等边三角形，平面平面，，则三棱锥体积的最大值为（）A. 2B. 3C.D.【答案】B【解析】【分析】由题意求得，则且，又由平面平面，可得平面，即三棱锥的高，在中，利用基本不等式求得面积的最大值，进而可得三棱锥体积的最大值，得到答案.【详解】由题意知，三棱锥的全部顶点都在半径为2的球的球面上，若是等边三角形，如图所示，可得，则且，又由平面平面，所以平面，即三棱锥的高，又由在中，，设，则,所以，当且仅当时取等号，即的最大值为3，所以三棱锥体积的最大值为，故选B.【点睛】本题主要考查了有关球的内接组合体的性质，以及三棱锥的体积的计算问题，其中解答中充分相识组合体的结构特征，合理计算三棱锥的高和底面面积的最大值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的实力，属于中档试题.12.已知函数在上有两个极值点，且在上单调递增，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】求得函数的导数，依据函数在上有两个极值点，转化为在上有不等于的解，令，利用奥数求得函数的单调性，得到且，又由在上单调递增，得到在上恒成立，进而得到在上恒成立，借助函数在为单调递增函数，求得，即可得到答案.【详解】由题意，函数，可得，又由函数在上有两个极值点，则，即在上有两解，即在在上有不等于2的解，令，则，所以函数在为单调递增函数，所以且，又由在上单调递增，则在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，又由函数在为单调递增函数，所以，综上所述，可得实数的取值范围是，即，故选C.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理实力与计算实力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，推断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时留意数形结合思想的应用.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2024—2025学年度上学期高三12月联合教学质量检测高三数学试卷解析版

2024—2025学年度上学期高三12月联合教学质量检测高三数学试卷解析版

2024—2025学年度上学期高三12月联合教学质量检测高三数学试卷解析版满分150分，考试用时120分钟注意事项：1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设为虚数单位，若，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知的值为（ ）AB ．CD ．3．意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，……这就是著名的斐波那契数列，该数列的前2024项中有（ ）个奇数A ．1012B ．1348C ．1350D ．1352【答案】C【详解】对数列中的数归纳发现，每3个数中前2个都是奇数，后一个是偶数，i 32ii z -=z =2i +2i -12i +12i-cos 1sin αα=+cos sin 1αα-又，故该数列前2024项有个奇数.故选：C4．在中，为的中点，为的中点，若，则等于（ ）A．B ．C ．D ．5．已知，，，则（ ）A ．B ．C ．D ．20223674=⨯267421350⨯+=ABC V H BC M AH AM AB AC λμ=+λμ+231216133log 5a =2log 3b =4ln 3e c =a b c <<c b a <<b c a <<c a b<<6．某人有两把雨伞用于上下班，如果一天上班时他也在家而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把去办公室，如果一天下班时他也在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家.；如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知直线与圆，点在直线上，过点作圆的切线，切点分别为，当取最小值时，则的最小值为（ ）A B ．C ．D ．1323168120818272881:4350l x y ++=22:(4)(3)4C x y -+-=,P Q l P C ,A B PA QA QB +8．在平行四边形中，，是平行四边形内（包括边界）一点，，若，则的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．[0,1]因为，所以点在线段不妨设所以ABCD DA DB =E ABCD DE DA DE DB DA DB ⋅⋅= CE xCB yCD =+ x y +[]1,231,2⎡⎤⎢⎥⎣13,22⎡⎤⎢⎥⎣DA DB =E [,0,1DE DM λλ=∈ CE CD DMλ=+二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．对任意，记，并称为集合的对称差．例如：若，则．下列命题中，为真命题的是（）A ．若且，则B ．若且，则C ．若且，则D ．存在，使得,A B ⊆R {},A B x x A B x A B ⊕=∈⋃∉⋂A B ⊕,A B {}{}1,2,3,2,3,4A B =={}1,4A B ⊕=,A B ⊆R A B B ⊕=A =∅,A B ⊆R A B ⊕=∅A B =,A B ⊆R A B A ⊕⊆A B ⊆,A B ⊆R A B A B ⊕≠⊕R R ðð故选：AB ．10．在菱形中，，，E 为AB 的中点，将沿直线DE 翻折至的位置，使得二面角为直二面角，若为线段的中点，则（ ）A ．平面B ．C ．异面直线，所成的角为D ．与平面对于A ，因为所以，所以平面ABCD 2AB =60BAD ∠=︒ADE V 1A DE △1A DE C --P 1AC //BP 1A DE DP EC⊥PB 1A D π31A B PBD 310,,22BP ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭0BP m ⋅=//BPA ．B ．C ．D ．()()()P AB P A P B =()38P AB =()34P A B +=()()()()()22P AB A B P AB P A P B +=故选：.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．已知数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数的取值范围是 .13．已知函数在区间上的值域为，且，则的值为 .，如图所示，则故答案为：14．欧拉，他是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的取作就得到了欧拉恒等式，它是令人着CD {}n a 271717,2842,2n n tn t n n a t n ⎧⎛⎫-++≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪>⎩{}n a t π()2sin (0)4f x x ωω⎛⎫=+> ⎪[]0,1[],m n 3n m -=ωπ4ω+=11π12(17071783)-cos sin i e i θθθ=+θπi e 10π+=迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数——自然对数的底数，圆周率，两个单位——虚数单位和自然数单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0，数学家评价它是“上帝创造的公式”，请你根据欧拉公式：，将复数表示成（为虚数单位）的形式；若，则，这里，称为1的一个n 次单位根，简称单位根．类比立方差公式，我们可以获得，复数，则的值是．四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题13分）已知数列的前项和，，且．e πi cos sin i e i θθθ=+πi i π3e e +i a b +,R,i a b ∈1n z =(0,1,2,,1)k z z k n ==- 2π2πcosisink k k z n n=+(0,1,2,,1)k n =- k z ()543211(1)1x x x x x x -=-++++2πi 5ez =()()()()2342222z z z z ----{}n a n 3(1)n n S na n n =--*n ∈N 317a =(1)求；(2)求数列的前项和；(3)设数列的前项和，且满足16.（本小题15分）1a {}n a n n S {}n b n n T n b =n T <在中，角所对的边分别为，且.(1)求角的大小；(2)若，如图，是上的动点，且始终等于，记.当为何值时，的面积取到最小值，并求出最小值.17.（本小题15分）如图，在以为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，对的中点.ABC V ,,A B C ,,a b c cos cos 2C Ac a b-=+C 2AC BC ==,D E AB DCE ∠30o CED α∠=αCDE ,,,,,A B C D E F ABCD CDEF ,,2,4,AB CD CD EF AB DE EF CF CD AD BC AE =======∥∥M CD(1)证明：平面平面；(2)求平面与平面所成角的正弦值；(3)设点是内一动点，，当线段的长最小时，求直线与直线所成角的余弦值.则设平面的法向量为n =(x,y,z ABCD ⊥CDEF AEM BEM N ADM △0ND NM ⋅=AN EN BF ()()(0,0,3,3,0,0,0,1,0A EM ()(3,0,3,3,1,0AE EM =-=- AEM18.（本小题17分）已知A ，B 分别是双曲线的左、右顶点，点是双曲线C 上的一点，直线PA ，PB 的斜率分别为，，且.(1)求双曲线C 的方程；(2)已知过点的直线，交C 的左，右两支于D ，E 两点（异于A ，B ）.（i ）求m 的取值范围；（ii ）设直线与直线交于点Q ，求证：点Q 在定直线上.2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>()P n 1k 2k 12||4k k AB ==(4,0):4l x my =+AD BE（2）（i ）由题意知直线l 的方程为联立，化简得因为直线l 与双曲线左右两支相交，所以即满足：{4m 2―1(32m )2―192(4y 1y 2=484m 2所以或.2214164x y x my ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩()224132m y my -++m 12m <-12m >19.（本小题17分）已知函数.(1)求函数y =f(x)的单调区间；(2)若曲线与存在两条公切线，求整数的最小值；(3)已知，函数有3个零点为：，且，证明：.()()2,e ln xf x xg x x ==e x m y +=()1y g x =+m 1,0e a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()()()11a h x x g x x =---123,,x x x 123x x x <<1232ex x x ++>由图象可知，要证，只需证因为，所以又因为在121,1x x -<<-<1232ex x x ++>2x 2111e x <<+11e +<()()()1ln 1q x x x =--。

2023届广西玉林市北流市高三下学期5月教学质量检测数学(理)试题(PDF版)

2023届广西玉林市北流市高三下学期5月教学质量检测数学(理)试题(PDF版)

北流市2023届高三下学期5月教学质量检测数学试题（理科）注意事项1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合}3{|1A x Z x =∈-≤≤，2{|}30B x x x =-<，则A B =（ ）A ．{}1,2B ．{}|03x x <<C ．{}1,2,3D ．{}2,32．已知a ∈R ，i 为虚数单位，若3a ii-+为实数，则a =（ ） A ．3B ．13 C ．3-D ．13-3．已知平面向量()1,3a =，2b =，且||10a b -=，(2)()a b a b +-=（ ）A ．14B ．1C ．D 4．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．大衍数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，，则这个数列的第20项为（ ） A ．204B ．202C ．200D ．1985．已知抛物线C ：()²20y px p =>焦点为F ，准线为l ，点(A 在C 上，直线AF 与l 交于点B ，则AF BF=（ ）A ．BC ．2D ．16．执行如图的程序框图，输出的S 值是（ ）A ．0B ．1-C ．12D ．12-7．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，M 分别为所在棱的中点，P 为下底面的中心，则下列结论中错误的是（ ）A ．平面1EFC ⊥平面11AAC CB ．1MP AC ∥ C ．1MP CD ⊥D ．EF ∥平面11AD B8．已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，n S 是它的前n 项和，若3564a a =，且5628a a +=，则6S =（ ） A ．125B ．126C ．127D ．1289．已知四棱锥P ABCD -的五个顶点都在球面O 上，底面ABCD 是边长为4的正方形，平面PAD ⊥面ABCD ，且PA PD ==，则球面O 的表面积为（ ）A ．41πB ．39πC ．40πD ．42π10．为弘扬传统文化，某校进行了书法大赛，同学们踊跃报名，在成绩公布之前，可以确定甲、乙、丙、丁、戊5名从小就练习书法的同学锁定了第1至5名．甲和乙去询问成绩，组委会对甲说：“很遗憾，你和乙都没有获得冠军．”对乙说：“你当然不会是五人中最差的．”则最终丙和丁获得前两名的概率为（ ） A ．29B ．49C ．827D ．42711．双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点和虚轴的一个端点分别为F ，A ，点P 为C 右支上一动点，若APF △周长的最小值为4b ，则C 的离心率为（ ）A ．B ．C ．D12．已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，()1f x +是奇函数，且()()12f x g x -+=，()()32f x g x +-=，则（ ）A ．()f x 为奇函数B ．()g x 为奇函数C ．201()40k f k ==∑D ．201()40k g k ==∑第II 卷（非选择题共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．2022年卡塔尔世界杯期间，3男3女共6位球迷赛后在比赛场地站成一排合影留念，则男、女球迷相间排列的概率为________．14．写出一个半径为1且与圆O ：221x y +=及直线l ：1x =-都相切的圆的方程________．15．已知()s i n (3)(||)2f x x πϕϕ=+<为奇函数，若对任意2,99ππα⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，存在,9a πβ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦满足()0()f f αβ+=，则实数a 的取值范围是________．16．已知函数()22ln f x x ax x =-+（a 为常数）有两个极值点：1x ，()212x x x <，若()12f x mx >恒成立，则实数m 的取值范围是________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17．（12分）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别a ，b ，c ，且cos cos 2cos b A a B c A +=． （1）求角A 的值；（2）已知D 在边BC 上，且3BD DC =，3AD =，求ABC △的面积的最大值．18．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PAD △为等边三角形，AD BC ∥，AB BC ⊥，且222PC AD AB BC ====，平面PAD ⊥底面ABCD ．（1）证明：AB ⊥平面PAD ；（2）点M 为棱PC 的中点，求二面角M AB P --的正弦值．19．（12分）随着蓉城生态公园绿道全环贯通，环城绿道骑行成为最热门的户外休闲方式之一．环城绿道全程约100公里，不仅可以绕蓉城一圈，更能360度无死角欣赏蓉城这座城市的发展与魅力．某位同学近半年来骑行了5次，各次骑行期间的身体综合指标评分x 与对应用时y （单位：小时）如下表：（1）由上表数据看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明； （2）建立y 关于x 的回归方程． 参考数据和参考公式：相关系数()()niix x y y r --=∑()()()121ˆniii ni i x x y y bx x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-84≈． 20．（12分）已知椭圆：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为，1F 、2F 分别是其左、右焦点，若P 是椭圆上的右顶点，且121PF PF ⋅=． （1）求椭圆的方程；（2）设直线1x ky =-与椭圆交于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为M （M 与B 不重合），问直线MB 与x 轴是否交于一个定点？若是，请写出该定点的坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由．21．（12分）已知函数()()ln ()1f x x a x a =+≤，2()e xg x x -=，且曲线()y f x =在点()(),x f x 处的切线斜率均不小于2． （1）求a 的值；（2）求证：函数()()()h x f x g x =-在区间()1,2内存在唯一的零点．（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）在直角坐标系xOy 中，已知曲线1C ：22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数，[]0,θπ∈），在极坐标系中，曲线2C 是以1,2π⎛⎫⎪⎝⎭为圆心且过极点O 的圆． （1）分别写出曲线1C 普通方程和曲线2C 的极坐标方程； （2）直线l ：()4R πθρ=∈与曲线1C 、2C 分别交于M 、N 两点（异于极点O ），求MN ． 23．【选修4-5：不等式选讲】（10分） 已知函数()f x x t x t =-++，t R ∈． （1）若1t =，求不等式()28f x x ≤-的解集；（2）已知4m n +=，若对任意x R ∈，都存在0m >，0n >使得24()m nf x mn+=，求实数t 的取值范围．北流市2023届高三下学期5月教学质量检测数学参考答案（理科）1-5：ACACD 6-10：CCBAD11-12：BD13．【答案】11014．【答案】22(2)1x y +-=，22(2)1x y ++=，22(2)1x y ++= （答案不唯一，写出一个即可）． 15．【答案】,2π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭16．【答案】(],3-∞-17．（12分）解：（1）在ABC △中因为cos cos 2cos b A a B c A +=， 由正弦定理得sin cos sin cos 2sin cos B A A B C A +=， 1分所以sin()2sin cos A B C A +=2分因为A B C π++=，所以sin()sin A B C +=．故sin 2sin cos C C A = 3分 又C 是ABC △的内角，所以sin 0C ≠．从而1cos 2A =． 4分 而A 为ABC △的内角，所以3A π=． 5分（2）因为3BC DC =，所以3()AD AB AC AD -=-所以1344AD AB AC =+ 6分 从而22221931939916168161616AB AC AB AC c b bc =++⋅⇒=++8分由基本不等式可得：339981616bc bc bc ≥+=， 9分16bc ∴≤， 10分当且仅当3b =，c = 11分故ABC △的面积的最大值为1162⨯= 12分 18．解：（1）AD BC ∥，AB BC ⊥，AD AB ∴⊥，1分又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD平面ABCD AD =，AB ⊂平面ABCD ，3分AB ∴⊥平面PAD （4分）（2）取AD 的中点O ，连接OC ，OP ，PAD △为等边三角形，且O 是AD 的中点， PO AD ∴⊥sin 60PO AP ∴=︒=又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD平面ABCD AD =，PO ⊂平面PAD ，PO ∴⊥平面ABCD ，112AO AD BC ===，AO BC ∥，AB BC ⊥∴四边形ABCO 为矩形，又PO ⊥平面ABCD PO ∴，OD ，OC 两两垂直，故以O 为坐标原点，OC ，OD ，OP 分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，6分(0,1,0)A -，(1,1,0)B -，(1,0,0)C，P ，1,0,22M ⎛ ⎝⎭， 则(1,0,0)AB=，12BM ⎛=-⎝⎭，AP =． 设平面ABM 的法向量为()111,,n x yz =11110102n AB x n BM x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 令12z =，得(0,3,2)n =-9分设平面ABP 的法向量为()222,,m x y z =，则22200m AB x m AP y ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩，令21z =，得(0,m = 10分设二面角M AB P --的大小为θ，由图可知θ为锐角，则|||0cos 14||n m n m θ⋅⨯===‖ 11分sin 14θ∴==∴二面角M AB P --的正弦值为． 12分19．解：（1）1234535x ++++==，9.58.67.87 6.17.85y ++++==， 2分()52110ii x x =-=∑，()5217.06i i y y =-=∑，()()518.4i i i x x y y =--=-∑，4分()()51iix x y y r --∴==≈-∑，6分相关系数近似为1-，说明y 与x 的相关程度相当高，从而可用线性回归模型拟合y 与x 的关系；7分（2）由（1）中数据，()()()1218.4ˆ0.8410niii nii x x y y bx x ==---===--∑∑， 9分ˆˆ7.8(0.843)10.32ay bx =-=--⨯=， 11分 y∴关于x 的回归方程为ˆ0.8410.32yx =-+．12分20．解：设椭圆的焦距为2c ，因为椭圆：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为，所以c e a ==2243c a =， 1分因为(,0)P a ，1(,0)F c -，2(,0)F c ，1(,0)PF c a =--，2(,0)PF c a =- 2分所以22121PF PF a c ⋅=-=，因为222b c a +=，所以，21b =，23c =，24a =．3分所以，椭圆的方程为2214x y += 4分【2】解：设()11,A x y ，()22,B x y ，则()11,M x y -，所以，联立方程22114x ky x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()224230k y ky +--=，216480k ∆=+>， 所以12224k y y k +=+，12234y y k -=+， 6分因为直线1x ky =-与椭圆交于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为M 与B 不重合， 所以，0k ≠，即12x x ≠， 所以，2121MB y y k x x +=-，直线MB 的方程为()212221y y y y x x x x +-=--，7分令0y =得()221211222121y x x x y x y x x y y y y -+=-=++， 8分又因为111x ky =-，221x ky =-，所以()()2121221121221121223211241131424k y ky ky y x y x y ky y k x k y y y y y y k -⋅-+-++===-=-=--=-++++11分所以，直线MB 与x 轴交于点(4,0)-12分21．【1】()()ln (1)f x x a x a =+≤，则()ln 1(0)af x x x x'=++>， 1分因为曲线()y f x =在(,())x f x 处的切线斜率均不小于2， 所以()ln 12af x x x'=++≥， 2分得ln a x x x ≥-，设()ln (0)u x x x x x =->），则()ln u x x '=-，令()001u x x '>⇒<<，令()01u x x '<⇒>， 4分 所以函数()u x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减， 则max ()(1)1u x u ==，所以1a ≥，又1a ≤，所以1a =；5分【2】由（1）知，()(1)ln f x x x =+，所以2()()()(1)ln ex x h x f x g x x x =-=+-，则1(2)()ln 1(12)e x x x h x x x x -'=+++<<．6分 设1()ln 1(12)F x x x x =+-<<，则22111()0x F x x x x-'=-=>在(1,2)上恒成立，所以函数()F x 在(1,2)上单调递增，得()(1)0F x F >=，即1ln 10x x +->在(1,2)上恒成立，即1ln 1x x +>在(1,2)上恒成立， 所以1ln 12x x++>．① 9分设()e 1x G x x =--，则()e 10xG x '=->在(1,2)上恒成立， 所以函数()G x 在(1,2)上单调递增，得()(1)e 20G x G >=->， 即e 1xx >+，得11e 1x x <+， 当(1,2)x ∈时，(2)0x x -<，所以(2)(2)e 1xx x x x x -->+②． 11分由①②得，21(2)(2)2()ln 120e 11xx x x x x h x x x x x --+'=+++>+=>++在()1,2上恒成立， 则函数()h x 在(1,2)上单调递增． 又1(1)0e h =-<，2244(2)3ln 2ln80e eh =-=->， 得(1)(2)0h h <，所以函数()h x 在(1,2)内有唯一的零点．即证．12分22．（1）由曲线1C ：22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数，[]0,θπ∈，消去参数θ，得2222(2)4cos 4sin 4x y θθ-+=+=1分所以曲线1C 的直角坐标方程为22(2)4(02)x y y -+=≤≤ 3分（不写出y 具体范围，扣1分）因为曲线2C 是以1,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心的圆，且过极点O ，所以圆心为()0,1，半径为1， 故2C 的直角坐标方程为：22(1)1x y +-=，4分 即2220x y y +-=，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入可得：圆2C 的极坐标方程为2sin ρθ= 5分 （2）因为曲线1C 的直角坐标方程为22(2)4(02)x y y -+=≤≤．即2240x y x +-=，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入化简可得1C 的极坐标方程为：4cos ρθ=0,2πθ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭， 所以1C 的极坐标方程为4cos 02πρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭； 6分 2C 的极坐标方程为2sin ρθ=；7分 因为M 、N 是直线l ：(R)4πθρ=∈与曲线1C 、2C 的两个交点， 不妨设1,4M πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,4N πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由于1C ：4cos 02πρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，2C ：2sin ρθ=，所以14cos4πρ==22sin 4πρ== 9分从而12||MN ρρ=-=10分 23．（1）解：当1t =时，2(1)()|1||1|2(11)2(1)x x f x x x x x x ≥⎧⎪=-++=-≤<⎨⎪-<-⎩1分2()8f x x ≤- 当1x ≥时，即2281x x x ⎧≤-⎨≥⎩， 12x ∴≤≤； 2分当11x -≤<时，即22811x x ⎧≤-⎨-≤<⎩，11x ∴-≤<； 3分当1x <-时，即2281x x x ⎧-≤-⎨<-⎩，21x ∴-≤<-， 4分综上可得不等式的解集为[]2,2-． 5分（2）解：()|||||()()|2||f x x t x t x t x t t =-++≥--+=， 当且仅当()()0x t x t -+≤时取等号，min ()2||f x t ∴= 6分又0m >，0n >且4m n +=，2441419444m n m m m n mn n m n m ++∴=+=+≥+=8分 当且仅当44m nn m =，即45m =，165n =时等号成立，9分 所以249,4m nmn +⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭ 10分．。

2023届河南省信阳市普通高中高三第二次教学质量检测数学(理)试题(解析版)

2023届河南省信阳市普通高中高三第二次教学质量检测数学(理)试题(解析版)

2023届河南省信阳市普通高中高三第二次教学质量检测数学（理）试题一、单选题1．已知集合()(){}210A x x x =+-=，{}2,1,0,1,2B =--，那么BA 等于（ ）A ．2,0,1B ．{1,0,2}-C ．{}2,1,0--D ．{}0,1,2【答案】B【分析】根据补集的运算，可得答案.【详解】由题意，{}2,1A =-，则{}1,0,2B A =-. 故选：B.2．下列命题中，错误的命题有（ ）A ．函数()f x x =与()2g x =不是同一个函数B ．命题“[]00,1x ∃∈，201x x +≥”的否定为“[]0,1x ∀∈，21x x +<” C ．设函数()22020x x x f x x +<⎧=⎨≥⎩，则()f x 在R 上单调递增D ．设,R x y ∈，则 “x y <”是“2()0x y y -⋅<”的必要不充分条件 【答案】C【分析】对于A 选项，定义域不同，函数不同，故A 正确；对于B 选项，由存在量词命题与全称量词命题否定关系，可判断B 正确； 对于C 选项，举反例否定其是增函数，可得C 错误；对于D 选项，举反例说明不充分，并且可证明其是必要条件，故D 正确.【详解】对于A 选项，因为两个函数的定义域不同，所以两个函数是不同的函数，故A 正确； 对于B 选项，因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以B 正确；对于C 选项，因为0.10-<，但是()()0.1 1.810f f -=>=，与增函数定义矛盾，所以C 错误； 对于D 选项，若x y <，当0y =时，推不出2()0x y y -⋅<，当2()0x y y -⋅<时，0y ≠且x y <，所以D 正确. 故选：C.3．已知角α的终边在直线340x y -=上，则2cos 2sin 2αα+=（ ）A ．6425B ．4825C ．1D ．1625【答案】A【分析】由题意可得3tan 4α=，然后化简变形2222cos 4sin cos cos 2sin 2sin cos ααααααα++=+，再给分子分母同除以2cos α，化为正切，再代值计算即可. 【详解】因为角α的终边在直线340x y -=上， 所以当0x >时，在直线上取一点(4,3)，则3tan 4α=， 当0x <时，在直线上取一点(4,3)--，则3tan 4α=， 综上3tan 4α=， 所以2222cos 4sin cos cos 2sin 2sin cos ααααααα++=+231414tan 6449tan 125116αα+⨯+===++， 故选：A.4．在等差数列{}n a 中，38a =，712a =，则12a =（ ） A ．19 B ．18C ．17D ．20【答案】C【分析】利用已知条件列方程组求出1,a d ，从而可求出12a . 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则由题意可得1128612a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得161a d =⎧⎨=⎩， 所以1211161117a a d =+=+=， 故选：C.5．如图所示的程序框图，输入3个数，0.12a =，0.23b -=，41log 2c =，则输出的a 为（ ）A ．0B ．0.12C ．0.23-D ．41log 2【答案】D【分析】根据条件结构的程序框图，依次执行，即得解 【详解】由题意，输入0.12a =，0.23b -=，41log 2c = 第一步，判定a b >是否成立，由于00.200.121,1233b a b a -==<=∴=>> 因此赋值0.23a -=，第二步，判定a c >是否成立，由于0.24130,log 02c a c a ->=<∴=> 因此赋值41log 2a = 输出41log 2a = 故选：D6．源于探索外太空的渴望，航天事业在21世纪获得了长足的发展．太空中的环境为某些科学实验提供了有利条件，宇航员常常在太空旅行中进行科学实验．在某次太空旅行中，宇航员们负责的科学实验要经过5道程序，其中,A B 两道程序既不能放在最前，也不能放在最后，则该实验不同程序的顺序安排共有（ ） A ．18种 B ．36种C ．72种D ．108种【答案】B【分析】先排,A B 两道程序有23A 种放法，再排剩余的3道程序有33A 种放法，再由分步计数原理即可得出答案.【详解】先排,A B 两道程序，其既不能放在最前，也不能放在最后，则在第2,3,4道程序选两个放,A B ，共有23A 种放法；再排剩余的3道程序，共有33A 种放法； 则共有2333A A =36⋅种放法. 故选：B.7．过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，且8AB =，则线段AB 的中点到y 轴的距离为（ ） A ．1 B ．4 C ．3 D ．7【答案】C【分析】设出()()1122,,,A x y B x y ，由抛物线焦点弦公式得到126x x +=，进而求出线段AB 的中点横坐标为1232x x +=，得到答案. 【详解】由题意得：()1,0F ，设()()1122,,,A x y B x y ， 则1228AB x x =++=，解得：126x x +=， 则线段AB 的中点横坐标为1232x x +=， 故线段AB 的中点到y 轴的距离为3. 故选：C8．已知函数()y f x = 对任意实数x 都有(6)()2(3)f x f x f ++= 且(1)(1)0f x f x -+-= ，则(2022)f 等于（ ）A ．3-B ．0C ．3D ．6【答案】B【分析】根据题意可推出(1)(1)f x f x -=--即()()f x f x -=-，可得函数()y f x =是奇函数，利用赋值法求得(0)0f =以及(3)0f =，继而根据(6)()2(3)f x f x f ++=推得函数的周期，由此利用周期求得(2022)f 的值.【详解】因为对任意实数x 都有函数满足(1)(1)0f x f x -+-=，即(1)(1)f x f x -=--，即()()f x f x -=-，所以函数()y f x =是奇函数，对于(1)(1)0f x f x -+-=，令1x =，则可得(0)0f =；由(6)()2(3)f x f x f ++=，令3x =-得，(3)(3)2(3)f f f +-=， 即(3)(3)2(3),(3)0f f f f -=∴= ，所以(6)()2(3)0f x f x f ++==，即(6)()f x f x +=-，所以()()()()126f x f x f x f x ⎡⎤+=-+=--=⎣⎦ ，即12为函数()y f x =的周期， 所以()(2022)(121686(6)0)0f f f f =⨯+=== , 故选：B ．9．已知函数22π()2sin cos sin (0)24x f x x x ωωωω⎛⎫=⋅-->⎪⎝⎭在区间π5π,562⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，且在区间[0,]π上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是（ ） A ．15,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．50,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．30,5⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．13,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【分析】将函数()f x 用三角恒等变换化简成正弦型函数，根据整体代换与正弦函数的性质，结合已知建立ω的不等量关系，即可求解.【详解】22()2sin cos sin 24x f x x x ωπωω⎛⎫=⋅--⎪⎝⎭2πsin [1cos()]sin sin 2x x x x ωωωω=⋅+--=，()f x 在区间π5π,562⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数， 250,ππ56x ωωωω>-≤≤，2ππ5π3π,052625ωωω∴-≥-≤∴<≤，. 当ππ2π2π(Z),(Z)22k x k k x k ωωω=+∈=+∈时，()f x 取得最大值， 而()f x 在区间[0,]π上恰好取得一次最大值， ππ2π2ππ2ωωω⎧≤⎪⎪∴⎨⎪+>⎪⎩，解得1522ω≤<，综上，1325ω≤≤. 故选：D.10．某车间加工同一型号零件，第一､二台车床加工的零件分别占总数的40%，60%，各自产品中的次品率分别为6%，5%.记“任取一个零件为第i 台车床加工(1,2)i =”为事件i A ，“任取一个零件是次品”为事件B ，则（ ）①()0.054=P B ②()20.03=P A B ③()10.06P B A = ④()259P A B = A ．①②④ B ．②③④C ．②③D ．①②③④【答案】B【分析】根据全概率概率公式及条件概率概率公式计算可得；【详解】依题意()10.4P A =，()20.6P A =，()1|0.06P B A =，()2|0.05P B A =，故③正确； 所以()()()()()1122||0.40.060.60.050.054P B P B A P A P B A P A =⋅+⋅=⨯+⨯=， 所以()()110.0540.946P B P B =-=-=，故①错误； 因为()()()222|P BA P B A P A =，所以()()()222|0.60.050.03P BA P B A P A ==⨯=，故②正确；所以()()()220.0350.0549P BA P A B P B ===，故④正确； 故选：B11．设直线0)30(x y m m -+=≠与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A ，B ，若点(,0)P m 满足||||PA PB =，则该双曲线的离心率是（ ）AB ．12CD【答案】A【分析】联立直线方程与双曲线的渐近线的方程可得(,)33ma bm A b a b a --，(,)33ma bmB b a b a-++，进而可得,A B 中点2222223(,)99ma mb Q b a b a --，由||||PA PB =，可得PQ AB ⊥，进而可得1PQ ABk k ⋅=-，代入得2a b =，c 即可得答案.【详解】解：因为双曲线的渐近线方程为by x a=±， 由30b y x a x y m ⎧=⎪⎨⎪-+=⎩，解得33bm y b a ma x b a ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩，不妨设(,)33ma bmA b a b a--， 同理可得(,)33ma bmB b a b a-++， 则,A B 中点2222223(,)99ma mb Q b a b a --，又因为点(,0)P m 满足||||PA PB =，所以点PQ AB ⊥， 所以1PQ AB k k ⋅=-，又因为13AB k =，所以2222223939PQmb b a k mamb a -==---，所以2a b =， 所以2252ac a b =+=， 所以52c e a ==. 故选：A.12．已知关于x 的不等式e ax x b ≥+对任意x R ∈恒成立，则ba的最大值为（ ）A ．12B ．1C ．2eD ．e【答案】C【分析】讨论a 的取值范围，利用函数图象，结合导数求出2ln 1b a a a +=，构造函数2ln )01(,a g a a a+=>，利用导数求出函数的最值，进而得解.【详解】设()axf x e =，()g x x b =+，若e ax x b ≥+，对任意x R ∈恒成立，则()()f x g x ≥，对任意x R ∈恒成立， 当0a ≤时，在同一坐标系中作出函数()(),f x g x 的图象，显然，由图可知e ax x b ≥+，对任意x R ∈不恒成立； 当0a >时，在同一坐标系中作出函数()(),f x g x 的图象，由图可知，临界条件是直线()g x x b =+与曲线()axf x e =的图象相切时，由()axf x e =，求导()e e x f x a '=，设()00e 1ax a f x '==，解得0e 1axa=，且()00e axf x =， ∴当()axf x e =的切线斜率为1时，切点坐标为()00,ax x e ，故001e ax ax b =+=，所以01x b a =-即111e1l 1n 1n e l a ab a b ab a a a a ab -⎛⎫- ⎪⎝⎭=⇒==-⇒+=-⇒ 两边同除以2a ，2ln 1b a a a +=，令2ln )01(,ag a a a +=> 求导24332(1ln )12(1ln )12ln ()1a a a a a g a a a a a ⋅-+-+--'===令()0g a '=，得1ln 2a =-，即12e a -=当120,e a -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0g a '>，函数()g a 单调递增，当12e ,a -⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，()0g a '<，函数()g a 单调递减，所以当12e a -=，函数()g a 取到最大值，且11222112ln ee(e )1e 2e 12g ----+===⎛⎫ ⎪⎝⎭故b a 的最大值为2e 故选：C.【点睛】思路点睛：本题考查不等式恒成立求参数取值范围问题，需要结合图象分类讨论，构造函数将问题转化，考查数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想和运算求解能力，是难题.二、填空题13．i 是虚数单位，若复数()()12i i a -+ 是纯虚数，则实数a 的值为____________. 【答案】2-【详解】试题分析：由复数的运算可知，()()12i a i -+是纯虚数，则其实部必为零，即，所以.【解析】复数的运算.14．()()24211x x +-的展开式中4x 的系数为_____________． 【答案】9【分析】利用二项式定理求指定项的系数.【详解】()2424(21)(1)441(1)x x x x x +-=++-，展开式中4x 的系数为()2344444C 4C 1C 9+⨯-+=．故答案为：915．已知D 是ABC 内部（不含边界）一点，若::5:4:3ABD BCD CAD S S S =△△△，AD x AB y AC =+，则x y +=__________. 【答案】23【分析】利用向量共线表示AM AD x AB y AC λλλ==+，以及()1AM AB AC μμ=-+，转化求得1x y +=λ，根据图形可知AMAD=λ，再逐步变形转化为面积比值，即可求解. 【详解】如图，连结AD 并延长交BC 于点M ， 设点B 到AD 的距离为B d ，点C 到AD 的距离为C d ，因为::5:4:3ABD BCD CAD S S S =△△△，所以设5,4,3ABD BCDCAD S k S k S k ==△△,设AM AD x AB y AC λλλ==+，BM BC μ=， 所以()AM AB BM AB BC AB AC AB μμ=+=+=+-()1AB AC μμ=-+，所以1x y λμλμ=-⎧⎨=⎩，即11x y μμλλλ-+=+=， ()()()B C B C AD DM d d AM AD DM AD AD AD d d λ+⨯++===⨯+ ()1112221122B C B C B C AD d AD d DM d d AD d AD d ⨯+⨯+⨯+=⨯+⨯ 5343532k k k k k ++==+，所以123x y +==λ. 故答案为：2316．剪纸是一种镂空艺术，是中国汉族最古老的民间艺术之一.如图，一圆形纸片，直径20cm AB =，需要剪去菱形EFGH ，可以经过两次对折、沿EF 裁剪、展开后得到.若CF EF =，要使镂空的菱形EFGH 面积最大，则菱形的边长EF =______cm.【答案】203##263【分析】设圆心为O ，结合已知条件，求出OF 与OE 的关系式，然后利用导函数即可求解菱形EFGH 面积最大值，进而可得到答案.【详解】设圆心为O ，由圆的性质可知，A ，E ，O ，G ，B 共线，C ，F ，O ，H ，D 共线， 由菱形性质可知，EG FH ⊥，不妨令OF m =，OE n =，且半径为10， 则22=10EF m n CF m +==-，即2121010m n =-，010n <<， 故314221010EFGH OEFS SOE OF mn n n ==⋅==-+， 不妨令31()1010f x x x =-+，010x <<， 则23()1010f x x '=-+，从而()00f x x '>⇒<<；()010f x x '<⇒<<，故()f x 在上单调递增，在上单调递减，所以当x =()f x 在(0,10)上取最大值，从而要使镂空的菱形EFGH 面积最大，则n =， 由2121010m n =-可知，103m =，则此时20103EF m =-=. 故答案为：203.三、解答题17．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos b A c =． （1）求B 的大小；（2）若2c a b +=，求ABC 的面积．【答案】（1）6π； （2【分析】（1sin cos A A B =，求得cos B 即可求解；（2）由余弦定理可得2233a b a -+=，结合2a b +=，求得1a b ==，利用三角形的面积公式，即可求解.【详解】（1）因为cos b A c =，由正弦定理可得sin cos sin B A A C =， 又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，sin cos A A B =，因为(0,)A π∈，则sin 0A >，所以cos B = 因为(0,)B π∈，所以6B π=.（2）因为6B π=，c由余弦定理可得22cosB =，整理得2233a b a -+=， 又2a b +=，解得1a b ==，所以111sin 1222ABCSac B ==⨯=. 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．18．2022年北京冬奥会即第24届冬季奥林匹克运动会在2022年2月4日至2月20日在北京和张家口举行.某研究机构为了解大学生对冰壶运动是否有兴趣，从某大学随机抽取男生、女生各200人，对冰壶运动有兴趣的人数占总数的27，女生中有80人对冰壶运动没有兴趣.(1)完成上面2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关？ (2)按性别用分层抽样的方法从对冰壶运动有兴趣的学生中抽取9人，若从这9人中随机选出2人作为冰壶运动的宣传员，设X 表示选出的2人中女生的人数，求X 的分布列和数学期望. 附：22()()n ad bc K n a b c d -==+++.【答案】(1)列联表见解析，有99%的把握认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关． (2)分布列见解析，8()9E X =.【分析】（1）根据题干所给数据求出冰壶运动有兴趣的男女人数，即可得到列联表，再计算出卡方，即可判断；（2）首先利用分层抽样求出男、女抽取的人数，依题意X 的所有可能取值为0，1，2，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望；【详解】（1）解：依题意对冰壶运动有兴趣的人数为()2720020027040⨯+=人， 则女生中对冰壶运动有兴趣的有20080120-=人， 男生中对冰壶运动有兴趣的有270120150-=人， 所以男生中对冰壶运动无兴趣的有20015050-=人， 所以22⨯列联表：22400(1508050120)40010.256 6.63527013020020039K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，∴有99%的把握认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关．（2）解：从对冰壶运动有兴趣的学生中抽取9人，抽到的男生人数、女生人数分别为：15095270⨯=（人)，12094270⨯=（人)， 则X 的所有可能取值为0，1，2，所以2529C 105(0)C 3618P X ====，114529C C 205(1)C 369P X ====， 4292C 61(2)C 366P X ====， 故X 的分布列是：故5518()01218969E X =⨯+⨯+⨯=．19．在数列{an }中，1244n n a a n ++=-（n ∈N *），123a =-. (1)求n a ；(2)设n S 为{}n a 的前n 项和，求n S 的最小值．【答案】(1)24,21,21,2,n n n k k Za n n k k Z -=+∈⎧=⎨-=∈⎩(2)当n 为偶数时，n S 取得最小值为－242；当n 为奇数时，n S 取最小值为－243【分析】（1）根据题干条件得到()212144n n a a n +++=+-，与1244n n a a n ++=-相减后得到212n n a a ++-=，故得到a 1，a 3，a 5，…是以123a =-为首项，2为公差的等差数列，a 2，a 4，a 6，…是以219a =-为首项，2为公差的等差数列，进而求出通项公式；（2）分n 为偶数和n 为奇数两种情况表达出n S ，并求出最小值.【详解】（1）∵1244n n a a n ++=-（n ∈N *），①()212144n n a a n +++=+-②②－①得，22n n a a +-=. 又∵a 2＋a 1＝2－44，a 1＝－23， ∴a 2＝－19，同理得，a 3＝－21，a 4＝－17.故a 1，a 3，a 5，…是以123a =-为首项，2为公差的等差数列，a 2，a 4，a 6，…是以219a =-为首项，2为公差的等差数列．从而24,21,21,2,n n n k k Za n n k k Z -=+∈⎧=⎨-=∈⎩ （2）当n 为偶数时，()()()12341n n n S a a a a a a -=++++++ ()()()214423442144n =⨯-+⨯-++⨯--⎡⎤⎣⎦()2131442n n =+++--⨯⎡⎤⎣⎦2222n n =- 故当n ＝22时，Sn 取得最小值为－242. 当n 为奇数时，()()()123451n n n S a a a a a a a -=+++++++()()2322442144n =-+⨯-++⨯--⎡⎤⎣⎦()1232241442n n -=-+++--⨯⎡⎤⎣⎦()()()11232212n n n +-=-+--232222n n =--. 故当n ＝21或n ＝23时，Sn 取得最小值－243.综上所述：当n 为偶数时，Sn 取得最小值为－242；当n 为奇数时，Sn 取最小值为－243. 20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>长轴的两个端点分别为(2,0),(2,0)A B -（1）求椭圆C 的方程；（2）P 为椭圆C 上异于,A B 的动点，直线,AP PB 分别交直线6x =-于,M N 两点，连接NA 并延长交椭圆C 于点Q .（ⅰ）求证：直线,AP AN 的斜率之积为定值； （ⅱ）判断,,M B Q 三点是否共线，并说明理由.【答案】（1）2214x y +=；（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）是，理由见解析.【分析】（1）根据长轴的两个端点分别为(2,0),(2,0)A B -2,c a e a === （2）（ⅰ）设00(,)P x y ，则直线AP 的斜率为002y x +，直线BP 的斜率为002y x -，再由直线的交点，求得点N 的坐标，进而得到直线AN 的斜率，然后结合220014x y +=运算即可；（ⅱ）设直线AP 斜率为k ，易得M 的坐标，再由（ⅰ）得到直线AN 斜率为12k-，写出直线AN 的方程，与椭圆方程联立，求得Q 点的坐标，再判断直线BQ k 与BM k 是否相等即可. 【详解】（1）由题意得2,c a e a ===所以2221==-=c b a c ， 所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）（ⅰ）证明：设00(,)P x y ，因为P 在椭圆C 上，所以220014x y +=. 因为直线AP 的斜率为002y x +，直线BP 的斜率为002y x -，所以直线BP 的方程为00(2)2y y x x =--. 所以N 点的坐标为008(6,)2y N x ---.所以直线AN 的斜率为0000822622y x y x --=-+-. 所以直线,AP AN 的斜率之积为：20200022000021422122442x y y y x x x x ⎛⎫-⎪⎝⎭⋅===-+---.（ⅱ）,,M B Q 三点共线.设直线AP 斜率为k ，易得(6,4)M k --. 由（ⅰ）可知直线AN 斜率为12k -，所以直线AN 的方程为1(2)2y x k=-+. 联立22440,22,x y x ky ⎧+-=⎨=--⎩可得22(44)80k y ky ++=.解得Q 点的纵坐标为221kk -+， 所以Q 点的坐标为222222(,)11k kQ k k --++. 所以，直线BQ 的斜率为22220122221kk k k k--+=--+，直线BM 的斜率为40622k k --=--. 因为直线BQ 的斜率等于直线BM 的斜率， 所以,,M B Q 三点共线.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．21．已知函数()e sin cos xf x x x ax =+--．(1)若函数()f x 在[)0,∞+上单调递增，求实数a 的取值范围； (2)设函数()()()ln 1g x f x x =--，若()0g x ≥，求a 的值． 【答案】(1)2a ≤ (2)3a =【分析】（1）由题意()e cos sin 0xf x x x a '=++-≥，利用分离参数法得到e cos sin x a x x ≤++对[)0,x ∈+∞恒成立.设()e cos sin x h x x x =++，利用导数判断出函数()h x 在[)0,∞+上单调递增，求出2a ≤；（2）把题意转化为(),1x ∀∈-∞，()()0g x g ≥恒成立.由0x =为()g x 的一个极小值点，解得3a =.代入原函数验证成立.【详解】（1）由题意知()e cos sin xf x x x a '=++-因为函数()f x 在[)0,∞+上单调递增，所以()e cos sin 0xf x x x a '=++-≥，即e cos sin x a x x ≤++对[)0,x ∈+∞恒成立设()e cos sin xh x x x =++，则()e sin cos 4x x h x x x e x π⎛⎫'=-+=- ⎪⎝⎭当02x π≤<时，()e 1104xh x x π⎛⎫'=->-= ⎪⎝⎭当2x π≥时，()2e e 0h x π'>>>所以函数()e cos sin xh x x x =++在[)0,∞+上单调递增所以()()min 02a h x h ≤==（2）由题知()()()()()ln 1e sin cos ln 11xg x f x x x x ax x x =--=+----<所以()1e cos sin 1xg x x x a x'=++-+-，()00g = 因为()0g x ≥，所以(),1x ∀∈-∞，()()0g x g ≥即()0g 为()g x 的最小值，0x =为()g x 的一个极小值点，所以()010e cos0sin 0010g a '=++-+=-，解得3a = 当3a =时，()()()e sin cos 3ln 11xg x x x x x x =+----<所以()11e cos sin 3e 3141xx g x x x x x x π⎛⎫'=++-+=+-+ ⎪--⎝⎭ ①当01x ≤<时，()11310g x '≥+-+=（当且仅当0x =时等号成立） 所以()g x 在[)0,1上单调递增 ②当0x <时，若02x π-≤<，()11310g x '<+-+=；若2x π<-，()22132e3302222g x πππ-'<+<+-+<++ 所以()g x 在(),0∞-上单调递减综上，()g x 在(),0∞-上单调递减，在[)0,1上单调递增所以当3a =时，()()00g x g ≥=【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． （3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． （4）考查数形结合思想的应用．22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为：3x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（α为参数），在以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，点P 的极坐标为π2,3⎛⎫⎪⎝⎭.(1)写出曲线C 的普通方程，并判断点P 与曲线C 的位置关系； (2)设直线l ：()π3R θρ=∈与曲线C 交于M N 、两点，求11PM PN +的值. 【答案】(1)22(3)8x y -+=，P 在曲线C 内部【分析】（1）利用消参法可得曲线C 的普通方程，求得点P 的直角坐标，代入曲线C 的普通方程中，可判断点P 与曲线C 的位置关系； （2）求出直线π3θ=的参数方程，并代入曲线方程中，得根与系数的关系式，利用参数的几何意义，求得答案.【详解】（1）由3x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩,消参得曲线C 的普通方程为：22(3)8x y -+=， 由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，可得点P的直角坐标为P ,将P 代入曲线C 的普通方程的左边得：78<，故P 在曲线C 内部. （2）因为直线l ：()π3R θρ=∈的极坐标方程对应的普通方程为：y =，所以P 在直线l 上，所以可设直线l的参数方程为：112x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），将其代入曲线C 的普通方程22(3)8x y -+=并化简整理得：210t t +-=，50∆=> ，设它的两根为12,t t ，则121211t t t t +=-⎧⎨=-⎩，所以：121111PM PN t t +=+=23．已知a ，b ，c 为正数. (1)求24a a+的最小值； (2)求证：bc ac aba b c a b c++≥++. 【答案】(1)3 (2)证明见解析【分析】（1）24a a +24=22a a a++，然后利用均值不等式可得答案； （2）由2bc ac c a b +≥=， 2ac ab a b c +≥，2bc ab b a c +≥可证明. 【详解】（1）因为24a a+24=322a a a ++≥=，当且仅当“2a =”时等号成立，所以当2a =时，24a a+的最小值为3.（2）因为2bc ac c a b +≥=，同理2ac ab a b c +≥，2bc ab b a c +≥， 所以三式相加得22()bc ac ab a b c a bc ⎛⎫++≥++ ⎪⎝⎭，所以bc ac aba b c a b c++≥++，当且仅当“a b c ==”时等号成立。

河南省高三下学期质量检测理科数学试题Word版含答案

河南省高三下学期质量检测理科数学试题Word版含答案

河南省高三质量检测考试数学试卷（理科）考生注意：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．2、请将各题答案填在试卷后面的答题卡上．第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{|(5)4},{|}A x x x B x x a =->=≤，若A B B =，则a 的值可以是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42.已知复数322a i z i+=-，在复平面对应的点在第四象限，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．(,1)-∞-B ．(4,)+∞C ．(1,4)-D ．(4,1)--3.为考察某种药物对预防禽流感的效果，在四个不同的实验室取相同的个体进行动物试验，根据四个进行动物试验，根据四个实验室得到的列联表画出如下四个等高形图，最能体现该药物对预防禽流感有效果的图形是 （ ）4. 已知23cos tan 3θθ=+，且()k k Z θπ≠∈，则sin[2()]πθ-等于（ ）A ．13-B ．13 C ．23 D ．23- 5.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有器中米，不知其数，请人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升，问，米几何？”右图示解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出点 1.5S =（单位：升）则输入k 的值为 （ ）A ．4.5B ．6C ．7.5D ．96. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>过点，过点(0,2)-的直线l 与双曲线C 的一条渐近线平行，且这两条平行线间的距离为23，则双曲线C 的实轴长为（ ）A ．2B ．．4 D ．7. 若()f x 为奇函数，且0x 是函数()xy f x e =-的一个零点，额下列函数中，0x -一定是其零点的函数是（ ） A ．()1xy f x e -=-⋅- B ．()1x y f x e -=⋅+ C ．()1x y f x e -=⋅- D ．()1xy f x e-=-⋅+8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．103 B ．113 C ．4 D ．1439. 在ABC ∆中，060,5,4,BAC AB AC D ∠===是AB 上一点，且5AB CD ⋅=，则BD 等于（ ）A ．6B ．4C ．2D ．110. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为2,F O 为坐标原点，M 为y 轴上一点，点A 是直线2MF 与椭圆C 的一个交点，且22OA OF OM ==，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．13 B ．25C11. 如图，矩形ABCD 中，2,AB AD E =为边AB 的中点，将ADE ∆直线DE 翻转成1(A BE A ∆∉平面ABCD )，若,M O 分别为线段1,A C DE 的中点，则在ADE ∆翻转过程中，下列说法错误的是（ ）A ．与平面1A DE 垂直的直线必与直线垂直B ．异面直线BM 与1A E 所成角是定值C ．一定存在某个位置，使DE MO ⊥D ．三棱锥1A ADE -外接球半径与棱AD 的长之比为定值12.若曲线()21(11)ln(1)f x e x e a x =-<<-+和()32(0)g x x x x =-+<上分别存在点,A B ，使得AOB ∆是以原点O 为直角顶点的直角三角形，且斜边AB 的中点y 轴上，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．2(,)e e B ．2(,)2e e C ．2(1,)e D ．[1,)e第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知实数,x y 满足条件302403x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则22(1)z x y =++的最小值为 ．14.把3男2女工5名新生分配到甲、乙两个班，每个班分别的新生不少于2名，且甲班至少分配1名女生，则不同的分配方案种数为 ．15.函数()sin()(0,)2f x A wx w πϕϕ=+><的部分图象如图所示，将函数()f x 的图象向右平移724π个 单位后得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在区间[,]()33ππθθ->-上的值域为[]1,2-， 则θ= ．16.在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，ABC ∆的面积为22,()tan 8S a b C S +=， 且sin cos 2cos sin A B A B =，则cos A = ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前()n n N +∈项和为3,3n S a =，且1n n n S a a λ+=，在等比数列{}n b 中，13152,1b b a λ==+.（1）求数列{}n a 及{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n c 的前()n n N +∈项和为n T ，且()12n n S c π+=，求n T .18. （本小题满分12分）某地区拟建立一个艺术博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标，现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知6个招标问题中，甲公司可正确回答其中的4到题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为23，甲、乙两家公司对每道的回答都是相互独立、互不影响的.（1）求甲、乙两家公司共答对2道题目的概率；（2）请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？ 19. （本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，090ADC ∠=，//,,AD BC AB AC AB AC ⊥==E 在AD 上，且2AE ED =.（1）已知点F 在BC ，且2CF FB =，求证：平面PEF ⊥平面PAC ；（2）当二面角A PB E --的余弦值为多少时，直线PC 与平面PAB 所成的角为045？20. （本小题满分12分）已知A 是抛物线24y x =上的一点，以点A 和点(2,0)B 为直径的圆C 交直线1x =于,M N 两点，直线l 与AB 平行，且直线l 交抛物线于,P Q 两点.（1）求线段MN 的长；（2）若3OP OQ ⋅=-，且直线PQ 与圆C 相交所得弦长与MN 相等，求直线l 的方程.21. （本小题满分12分）设函数()()2,1()xf x eg x kx k R ==+∈.（1）若直线()y g x =和函数()y f x =的图象相切，求k 的值；（2）当0k >时，若存在正实数m ，使对任意(0,)x m ∈，都有()()2f x g x x ->恒成立， 求k 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.23. （本小题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos (2sin x a tt y t=⎧⎨=⎩为参数，0)a >，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为cos()4πρθ+=- （1）设P 是曲线C 上的一个动点，当2a =时，求点P 到直线l 的距离的最小值； （2）若曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方，求a 的取值范围. 23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()13,()2f x x x g x a x =++-=--.（1）若关于x 的不等式()()g x g x <有解，求实数的取值范围； （2）若关于x 的不等式()()g x g x <的解集为7(,)2b ，求a b +的值.试卷答案一、选择题1-5:DCDCB 6-10: ABACD 11、C 12：B二、填空题13. 5 14. 16 15.4π三、解答题17. 解：（1）1n n n S a a λ+=，33a =，所以112a a a λ=且12232()3a a a a a λ+==， ① 所以2123,3a a a a λ=+==， ②因为数列{}n a 是等差数列，所以1322a a a +=，即2123a a -=， 由①②得121,2a a ==，所以,2n a n λ==，所以134,16b b ==，则12n n b +=.（2）因为(1)2n n n S +=，所以2(2)n c n n =+，所以22222122435(1)(1)(2)n T n n n n =+++++⨯⨯⨯-++111111111132435112n n n n =-+-+-++-+--++ 2323232n n n +=-++. 18.解：（1）由题意可知，所求概率12211123242423336622221()(1)(1)(1)333315C C C C P C C C =⨯-+⨯--=,(2)设甲公司正确完成面试的题数为X ，则X 的取值分别为1,2,3，122130424242333666131(1),(2),(3)555C C C C C C P X P X P X C C C =========， 则X 的分布列为：()1311232555E X =⨯+⨯+⨯=，()2221312(12)(22)(32)5555D X =-⨯+-⨯+-⨯=设乙公司正确完成面试的题数为Y ，则Y 取值分别为0,1,2,3，1222331212214(0),(1)(),(2)()27339339P Y P Y C P Y C ====⨯⨯===⨯⨯=， 328(3)()327P Y ===则Y 的分布列为：所以()124801232279927E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=(或因为2(3,)3Y B ，所以()2323E Y =⨯=) ()222212482(02)(12)(22)(32)2799273D Y =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=，由()()()(),E X E Y D X D Y =<可得，甲公司成功的可能性更大. 19.证明：因为,AB AC AB AC ⊥=，所以C ，因为底面ABCD 是直角梯形，090,//ADC AD BC ∠=， 所以045ACD ∠=，即AD CD =，所以2BC AD ==，因为2,2AE ED CF FB ==，所以23AE BF AD ==. 所以四边形ABFE 是平行四边形，则//AB EF , 所以AC EF ⊥，因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA EF ⊥， 因为PAAC A =，所以EF ⊥平面PAC ，因为EF ⊂平面PEF ，所以平面PEF ⊥平面PAC .(2)因为,PA AC AC AB ⊥⊥，所以AC ⊥平面PAB ，则APC ∠为直线PC 与平面PAB 所成的角，若PC 与平面PAB 所成角为045，则tan 1ACAPC PA∠==，即PA AC ==取BC 的中点为G ，连接AG ，则AG BC ⊥，以A 坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -.则2(1,1,0),(1,1,0),(0,,0),3B C E P -，所以2(1,1,0),(0,3EB EP =-=-，设平面PBE 的法向量(,,)n x y z =，则0n EB n EP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即503203x y y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，令3y =，则5,x z ==，(5,3,2)n =， 因为(1,1,0)AC =是平面PAB 的一个法向量，所以cos ,3n AC ==， 即当二面角A PB E --的余弦值为3时，直线PC与平面PAB 所成的角为045.20.解：（1）设200(,)4y A y ，圆C 的方程2200(2)()()04y x x y y y --+-=，令1x =，得2200104y y y y -+-=，所以200,14M N M N y y y y y y +==- ，2M N MN y y =-===（2）设直线l 的方程为1122,(,),(,)x my n P x y Q x y =+，则 由24x my ny x=+⎧⎨=⎩ 消去x ，得2440y my n --=.12124,4y y m y y n +==-，因为3OP OQ ⋅=-，所以12123x x y y +=-，则21212()316y y y y +=-， 所以2430n n -+=，解得1n =或3n =， 当1n =或3n =时，点(2,0)B 到直线l的距离为d =因为圆心C 到直线l 的距离等于到直线1x =的距离，所以208y =又2024y m y -=，消去m 得4200646416y y +⋅=，求得208y =， 此时2024y m y -=，直线l 的方程为3x =，综上，直线l 的方程为1x =或3x =.21.（1）设切点的坐标为2(,)t t e ，由()2x f x e =，得()22xf x e '=，所以切线方程为222()tty e e x t -=-，即222(12)tty e x t e =+-，由已知222(12)xxy e x t e =+-和1y kx =+为同一条直线，所以222,(12)1tte k k e =-=， 令()(1)xh x x e =-，则()xh x xe '=-，当(,0)x ∈-∞时，()()0,h x h x '>单调递增，当(0,)x ∈+∞时，()()0,h x h x '<单调递减，所以()()01h x h ≤=，当且仅当0x =时等号成立，所以0,2t k ==.（2）①当2k >时，有（1）结合函数的图象知：存在00x >，使得对于任意0(0,)x x ∈，都有()()f x g x <， 则不等式()()2f x g x x ->等价()()2g x f x x ->，即2(2)10x k x e-+->，设22(2)1,(2)2x x t k x e t k e '=-+-=-- ， 由0t '>得12ln 22k x -<，由0t '<得12ln 22k x ->， 若1224,ln 022k k -<≤≤，因为012(0,)(,ln )22k x -⊆-∞，所以()t x 在12(0,ln )22k -上单调递减，因为()00t =， 所以任意()12(0,ln ),022k x t x -∈>，与题意不符， 若1212124,ln 0,(0,ln )(,ln )222222k k k k --->>⊆-∞，所以()t x 在12(0,ln )22k -上单调递增，因为()00t =，所以对任意()12(0,ln ),022k x t x -∈>符合题意， 此时取120min{0,ln }22k m -<≤，可得对任意(0,)x m ∈，都有()()2f x g x x ->. ②当02k <≤时，有（1）结合函数的图象知2(21)0(0)x ex x -+≥>， 所以()()221(21)(2)(2)0x x f x g x ekx e x k x k x -=--=-++-≥-≥对任意0x >都成立， 所以()()2f x g x x ->等价于2(2)10x ek x -+->， 设()2(2)1x x e k x ϕ=-+-，则()22(2)x x e k ϕ'=-+，由()0x ϕ'>得()12ln ,022k x x ϕ+'><得，12ln 22k x +<， 所以()x ϕ在12(0,ln )22k -上单调递减，注意到()00ϕ=， 所以对任意()12(0,ln ),022k x x ϕ-∈<，不符合题设，总数所述，k 的取值范围为(4,)+∞.22.（1）由cos()4πρθ+=-cos sin )2ρθρθ-=-，)x y -=-，即直线l 的方程为40x y -+=， 依题意，设(2cos ,2sin )P t t ，则P 到直线l的距离2cos()4d t π===+， 当24t k πππ+=+，即32,4t k k Z ππ=+∈时，min 1d =. （2）因为曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方，所以对t R ∀∈，有cos 2sin 40a t t -+>恒成立，)4t t ϕ+>- （其中2an aϕ=）恒成立，4<，又0a >，解得0a <<故的取值范围为(0,.23.解：（1）当2x =时，()2g x a x =--取得最大值为a ，因为()134f x x x =++-≥，当且仅当()13,x f x -≤≤取最小值4， 因为关于x 的不等式()()g x g x <有解，所以4a >，即实数a 的取值范围是(4,)+∞.（2）当72x =时，()5f x =， 则77()2522g a =-++=，解得132a =， 所以当2x <时，()922g x =+， 令()942g x x =+=，得1(1,3)2x =-∈-， 所以12b =-，则6a b +=.。

2023届陕西省渭南市高三下学期教学质量检测(Ⅰ)理科数学试题(解析版)

2023届陕西省渭南市高三下学期教学质量检测(Ⅰ)理科数学试题(解析版)
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据线线平行可得 或其补角是异面直线 与 所成的角，利用三角形三边关系，由余弦定理即可求解.
【详解】如图，在棱 上取一点 ，使得 ，取 的中点 ，连接 , ，
由于 分别是棱 的中点，所以 ，故四边形 为平行四边形，进而 ,
又因为 是 的中点，所以 ,所以 ，则 或其补角是异面直线 与 所成的角.
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设人交谈时的声强为 ，从而得到 ，求出火箭发射时的声强为 ，代入解析式求出答案.
【详解】设人交谈时的声强为 ，则火箭发射时的声强为 ，
则 ，解得： ，
则火箭发射时的声强为 ，将其代入 中，得：
，故火箭发射时的声强级约为 .
故选：B
6.如图，在直三棱柱 中， ，且 分别是棱 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值是（）
【详解】对②：由 ，可得 ，则 （ 与 为常数），
令 ，则 ，所以 ，则 ，
故 关于直线 对称，②正确；
对①：∵ 为偶函数，则 ，
∴ ，则 为奇函数，
故 ，即 ，则 是以4为周期的周期函数，
由 ，令 ，则 ，可得 ，
故 ，①正确；
由 ，令 ，则 ，即 ，
令 ，则 ，即 ，
故 ，则 ，
对③：由 ，即 ，则 ，
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先证四边形CDNM为平行四边形，进而可得CM//DN，又中位线定理得GF//DN，则GF//CM，再由线面平行的判定定理即可证结论.
（2）过B作BH⊥AC交AC于H，由多面体ABCDE体积最大得BH最大，可知 ， 为 的中点，从而建立空间直角坐标系，求面ABE与面DBE的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示即可求二面角A BE D的正弦值.

河南省信阳市普通高中2022-2023学年高三上学期第一次教学质量检测理科数学试题

河南省信阳市普通高中2022-2023学年高三上学期第一次教学质量检测理科数学试题

一、单选题二、多选题1. 若函数有2个零点，则实数的取值范围是（ ）A．B．C ．或D ．或2. 设，则“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3. 若1，，，，4成等比数列，则（ ）A ．16B ．8C．D．4. 四棱锥所有棱长都相等，、分别为、的中点，下列说法错误的是（ ）A ．与是异面直线B ．平面C．D．5.将向量绕坐标原点逆时针旋转得到，则（ ）A ．1B ．-1C ．2D ．-26. 关于x 的不等式的解集为，且：，则a =（ ）A．B．C．D．7. 某市政府为了增加农民收入，决定对该市特色农副产品的科研创新和广开销售渠道加大投入，计划逐年加大研发和宣传资金投入.若该政府2021年全年投入资金120万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长，则该政府全年投入的资金翻一番（2021年的两倍）的年份是（ ）（参考数据：）A ．2025年B ．2026年C ．2027年D ．2028年8. 已知非零向量、满足，且，则与的夹角为（ ）A．B．C．D．9. 已知正方体的棱长为，点，是棱，的中点，点是侧面内运动（包含边界），且与面所成角的正切值为，下列说法正确的是（）A．的最小值为B ．存在点，使得C ．存在点，使得平面D ．所有满足条件的动线段形成的曲面面积为10. 已知三棱锥的各顶点都在球上，点分别是的中点，平面，，，则下列结论正确的是（ ）A．平面B．球的体积是C ．直线与平面所成角的正弦值是河南省信阳市普通高中2022-2023学年高三上学期第一次教学质量检测理科数学试题河南省信阳市普通高中2022-2023学年高三上学期第一次教学质量检测理科数学试题三、填空题四、解答题D ．平面被球所截的截面面积是11. 设函数，是的导数，则（ ）A．B ．有三个零点C ．，D．的最大值是12. 如图所示，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，，且，则下列说法中正确的是（）A．存在点，，使得B ．异面直线与所成的角为60°C ．三棱锥的体积为D．点到平面的距离为13.在底面是菱形的四棱锥中，底面，，点为棱的中点，点在棱上，平面与交于点，且，，则点到平面的距离为__________．14.已知是定义域为R 的偶函数，当时，，那么不等式的解集是_____.15. 若正数a ，b 满足，则的最小值是__．16. 已知椭圆C ；的左右顶点分别为，，以线段为边的一个正三角形与椭圆C 的一个公共点为P （，）.(1)求椭圆C 的方程；(2)若过椭圆C 的右焦点F 的直线与椭圆C 交于点M ，N，直线M ，交于点D ，求证：点D 在定直线l 上，并求出直线l 的方程.17.如图，在三棱柱中，平面，，F是的中点，点E 在棱上．(1)证明：；(2)若，，且点到平面的距离为，求的值．18. 在平面直角坐标系xOy 中，A 1，A 2分别是椭圆的左、右顶点，M ，N 是C 1上关于x 轴对称的两点，直线A 1M 和A 2N 交于点P ，记点P 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)过点F （－2，0）的直线l 与曲线C 交于x 轴上方的A ，B 两点，若D 是线段AB 的中点，E 是线段AB 上一点，且，记直线OD和OE的斜率分别为k1，k2，证明：k1k2为定值．19. 已知数列的前n项和为，且，．(1)证明数列为等比数列，并求数列的通项公式；(2)设，求数列前项和．20. 某地计划在一处海滩建造一个养殖场.（1）如图1，射线OA，OB为海岸线，，现用长度为1千米的围网PQ依托海岸线围成一个的养殖场，问如何选取点P，Q，才能使养殖场的面积最大，并求其最大面积.（2）如图2，直线l为海岸线，现用长度为1千米的围网依托海岸线围成一个养殖场.方案一：围成三角形OAB（点A，B在直线l上），使三角形OAB面积最大，设其为；方案二：围成弓形CDE（点D，E在直线l上，C是优弧所在圆的圆心且），其面积为；试求出的最大值和（均精确到0.01平方千米），并指出哪一种设计方案更好.21. 已知数列的前项和为，，当时，.(1)求；(2)设数列的前项和为，若恒成立，求的取值范围.。

高三质量调查数学试题(理)参考答案及评分标准.doc

高三质量调查数学试题(理)参考答案及评分标准.doc

高三质量调查数学试题（理）参考答案及评分标准二、填空题：（每小题4分，共16分） 13．i 2123+-14．37 15．22- 16．①，④（多填少填均不给分） 三、解答题（共74分，以下为累计得分，其他解法请相应给分） 17．解：（Ⅰ）元件A 正常工作的概 率P （A ）=32，它不正常工作的概率 )(1)(A P A P -=（2分）=;31（3分）（Ⅱ）元件A 、B 、C 都正常工作的概率P(A ·B ·C)=P （A ）P （B ）P （C ）（5分） )6(;83434332分=⋅⋅=（Ⅲ）系统N 正常工作可分为A 、B 、C 都正常工作和A 、D 正常工作但B 、C 不都正常工作两种情况，前者概率83，（7分）后者的概率为=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅)()()(D C B A P D C B A P D C B A P 544141325441433254434132⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅（10分）)11(307分=，所以系统N 正常工作的概率是)12(1207330783分=+18．解：化为)1(,0))(1(2分>+-+a x ax x（Ⅰ）当)3(},02|{,02,0分解集为化为时<<->-+=x x xx a（Ⅱ）当,12)4(,0))(1(2,10a a a x ax x a <-<->+-+<<此时有分化为时解集为)6}.(1,2|{分或ax a x x >-<<-（Ⅲ）,12,21)7(,0))(1(2,0a aa a x ax x a -<<--<<+-+<有时当分化为时 解集为0)21)(2(2,21)9}(12|{<-++-=-<<-<x x x a a x a x x 化为时当分或 解集为)11}(2,21|{分且-≠<x x x (iii),21,021a aa -<-<<<-有时当解集为（i ） （ii ）)12}.(2,1|{分或a x ax x -<<-<19．（Ⅰ）若CD ⊥平面PAD （1分） 则CD ⊥PD （2分），由已知PC=PD ，得∠PCD=∠PDC<90°，这与CD ⊥PD 矛盾，所以CD 与平面PAD 不垂直.（3分） （Ⅱ）取AB 、CD 的中点E 、F 联结PE 、PF 、EF （4分），由PA=PB ，PC=PD ，得PE ⊥AB ，PF ⊥CD.（5分）∵EF 为直角梯形的中位线，∴EF ⊥CD ，又PF ∩EF=F ，∴CD ⊥平面PEF ，（6分）由PE ⊂平面PEF ，得CD ⊥PE ，又AB ⊥PE 且梯形两腰AB 、CD 必相交，∴PE ⊥平面ABCD （7分）又PE ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面ABCD.（8分）（Ⅲ）由（Ⅱ）及二面角定义知∠PFE 为二面角P —CD —A 的平面角.（9分）作EG ⊥BC 于G ，连PG ，由三垂线定理得BC ⊥PG ，故∠PGE 为二面角P —BC —A 的平面角.（10分）即∠PGE=60°.由已知，得EF=21（AD+BC ）=21CD ，又EG=CF=21CD. ∴EF=EG ，易证得Rt △PEF ≌Rt △PEG.（11分）∴ PFE=∠PGE=60°，即为所求.（12分）（Ⅰ）∵|MN|=4，又6>4，∴点P 的轨迹是椭圆（1分）222,4,62c a b c a -=== ∴==.9,52a又点P 的轨迹方程是)3.(19522分=+y x （Ⅱ）设A 点在B 点的左方，且)5(2122,2),,(),,(212211分故有由++==y y MBy x B y x A即6221=+y y ①，又焦点M （0，2）相应的准线方程是,292==c a y A 到准线距离,2911y d -=B 到准线距离,2922y d -=（6分），由)7(,32||32||21分及===d BM e d AM 于是),29(32||),29(32||21y BM y AM -=-=924,2323323||||1221=-=--=∴y y y y BM AM 得②与①联立解得)8(431分=y 代入椭圆方程得∴=,4351x 直线AB 的斜率)9(330435243分=--=k ，AB 的方程为.233+=x y （10分）如果点A 在B 的右方时，根据对称性，则所求的直线AB 的方程为233+-=x y .（12分）21．解：设容器底面等腰三角形的底边长为2xm ，则腰长为,)1(m x +（1分）高为 m x x 388.403)1(448.44π-=+--（2分）设容器的容积为Vm 3，底面等腰三角形底边上的高388.4012221)3.(12)1(22xx x V x x x h -⋅+⋅=∴+=-+=分1.50,0388.400)4(3128)12(8.402<<>->+-+=x x x x x x x 得及由分)6(1238.404.106401238)12(168.40)12(8.4022分+++-=+-+-++='x x x x x x x x x V令3,0,0)34.0)(3(,002.166.2,02=>=+-=--='x x x x x x V 解得由得（8分） 当V x V x V x ,3,,0,1.53;030时当因此时时=<'<<>'<<有最大值.（9分）这时容器的底面等腰三角形的底边长为6m ，腰长为4m ，容器的高为5.6m.（12分）22．解（Ⅰ）设1)()]1([),1)(0()(2-=++=++=≠+=b kb k b b k k f f k b kx x f 则分（2分）即012=+++b kb k ①又kb k x k b x x f -=-=-)(1是曲线C 的解析式（3分），因为点),(1n n a a n +在曲线C 上，所以1)1()(1111=-=---+--n n n n a a a a n f n f ， 又)4(,1,11,1)1()1()(11分故=∴==--=----k kk k n n n f n f代入①得∴+=-=∴-=-.1)()5(5.1)(.11x x f x x f b 分曲线C 的方程是).6(01分=+-y x（Ⅱ）由（Ⅰ）知当n x =时，,1)8.(1,1)(111=+=+=+-a n a a n x f nn 而分故于是!43213412n a n a aa a a a n n n =⋅⋅=⋅-即 （10分）（Ⅲ）因为)12(2111)11()1)(2(1)!2(!)!2(分分+-+=++=+=+n n n n n n n a n所以21212111514141313121+-=+-+++-+-+-=n n n S n （13分）所以)14(21lim 分=∞→n n S。

河南省濮阳市2024-2025学年高三9月质量检测考试数学试题(含解析)

河南省濮阳市2024-2025学年高三9月质量检测考试数学试题(含解析)

2024—2025学年高三9月质量检测考试数 学全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上.2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知，i 为虚数单位，为z 的共轭复数，则（ ）A.B. 4C. 3D.2.已知集合，，则（ ）A. B. C. D. 3. 半径为4的实心球与半径为2的实心球体积之差的绝对值为（ ）A.B. C. D.4. 已知向量，，其中，若，则（ ）A. 40B. 48C. 51D. 625. 已知的内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 成等差数列，且，，则（ ）A. 5B. C. 4D. 36. 已知点在抛物线C：上，则C 的焦点与点之间的距离为（ ）A. 4B.C. 2D.7. 已知a ，且，，，则（ ）24i z =+z 1z -=(){}3log 22M x y x ==+<{}2024x N y y ==M N = ()2,7-()2,3-()0,7()7,+∞1O 2O 224π376π75π215π3()1,54a λ=+ ()2,8b λ=+ 0λ≥a b ∥ ()a ab ⋅+=ABC △20ac =4cos 5B =b =121,34A p p ⎛⎫++ ⎪⎝⎭()220x py p =>()1,2b ∈R 0b ≠1a b ≠-1sin 1a b a bα-=+ab =A.B. C.D. 8. 已知当时，恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知直线与圆D ：有两个交点，则整数m 的可能取值有（ ）A. 0B. －3C. 1D. 310. 已知对数函数，则下列说法正确的有（ ）A. 的定义域为B. 有解C. 不存在极值点D. 11. 北京时间2024年8月12日凌晨，第33届法国巴黎奥运会闭幕式正式举行，中国体育代表团以出色的表现再次证明了自己的实力，最终取得了40枚金牌、27枚银牌和24枚铜牌的最佳境外参赛成绩，也向世界展示了中国体育的蓬勃发展和运动员们顽强拼搏的精神.某校社团为发扬奥运体育精神举办了竞技比赛，此比赛共有5名同学参加，赛后经数据统计得到该5名同学在此次比赛中所得成绩的平均数为8，方差为4，比赛成绩，且，则该5名同学中比赛成绩的最高分可能为（ ）A. 13B. 12C. 11D. 10三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 曲线在点处的切线方程为______.13. 被10除的余数为______.14. 在中，若，，三点分别在边，，上（均不在端点上），则，，的外接圆交于一点O ，称为密克点.在梯形ABCD 中，，，M 为CD 的中点，动点P 在BC 边上（不包含端点），与的外接圆交于点Q （异于点P ），则BQ 的最小值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知椭圆C ：的焦距为.（1）求C 的标准方程；1cos 1cos αα-+πtan 4α⎛⎫+⎪⎝⎭1sin 1sin αα-+2πtan 42α⎛⎫+ ⎪⎝⎭0x >ln e ln x x x x a -≥(],1-∞(21,e ⎤⎦(],2-∞[)e,+∞y x =22224x y my m +-=-()()log 1x f x x =+()f x ()0,+∞()2f x =()f x ()()()11f x f x x >+>[]0,15x ∈*x ∈N 21e1x y x -=-()1,0203111A B C △1M 1N 1P 11A B 11B C 11C A 111A M P △111B M N △111C N P △60B C ∠=∠=︒22AB AD ==ABP △CMP △()222210x y a b a b +=>>（2）若，直线l ：交椭圆C 于E ，F 两点，且，求t 的值.16.（15分）交通强国，铁路先行，每年我国铁路部门都会根据运输需求进行铁路调图，一铁路线l 上有自东向西依次编号为1，2，…，21的21个车站.（1）为调查乘客对调图的满意度，在编号为10和11两个站点多次乘坐列车P 的旅客中，随机抽取100名旅客，得出数据（不完整）如下表所示：车站编号满意不满意合计102840113合计85完善表格数据并计算分析：依据小概率值的独立性检验，在这两个车站中，能否认为旅客满意程度与车站编号有关联？（2）根据以往调图经验，列车P 在编号为8至14的终到站每次调图时有的概率改为当前终到站的西侧一站，有的概率改为当前终到站的东侧一站，每次调图之间相互独立.已知原定终到站编号为11的列车P 经历了3次调图，第3次调图后的终到站编号记为X ，求X 的分布列及均值.附：，其中.0.10.010.0012.7066.63510.82817.（15分）如图，四棱锥的底面为平行四边形，且，.（1）仅用无刻度直尺作出四棱锥的高PH ，写出作图过程并证明；（2）若平面平面PCD ，平面平面PBC ，证明：四边形ABCD 是菱形.18.（17分）已知.（1）证明：是奇函数；5,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭()302x ty t =+>AEF △0.001α=1323()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++n a b c d =+++αx αP ABCD -AP CP =BP DP =P ABCD -PAB ⊥PAD ⊥()()ln 0x a f x ax a x a -⎛⎫=+>⎪+⎝⎭()f x（2）若，证明在上有一个零点，且.19.（17分）对于一个正项数列，若存在一正实数，使得且，有，我们就称是-有限数列.（1）若数列满足，，，证明：数列为1-有限数列；（2）若数列是-有限数列，，使得且，，证明：.()()()12120f x f x x x =<<()f x (),a +∞0x 2102x x x -≤{}n a λ*n ∀∈N 2n ≥121n n a a a a λ-+++≥ {}n a λ{}n a 11a =21a =()123n n n a a a n --=+≥{}n a {}n a λ0M ∃>*n ∀∈N 2n ≥n a M ≤222111121111n i in a a M a a a a λ=⎛⎫≥+- ⎪+++⎝⎭∑2024—2025学年高三9月质量检测考试数学参考答案1. A 【解析】由，可得.故选A.2. C 【解析】由可得，则；，故，则.故选C.3. A【解析】由题意可知体积之差的绝对值为.故选A.4. C 【解析】因为，，且，故，解得或（舍去），经检验当时，，故.故选C.5. B 【解析】由题意可得，，由余弦定理可得，，解得.故选B.6. D 【解析】因为点在抛物线C 上，所以，整理得，解得或（舍去），故焦点为，故C 的焦点与点之间的距离为故选D.7. D 【解析】由题意可得，解得.24i z =+24i 11i 14z --=-==-=()3log 22x +<029x <+<()2,7M =-20240xy =>()0,N =+∞()0,7M N = 334425632224π4π2πππ33333⨯-⨯=-=()1,54a λ=+ ()2,8b λ=+a b ∥ ()()54218λλ++=⨯0λ=145-0λ=a b ∥ ()()()1,43,121341251a a b ⋅+=⋅=⨯+⨯= 20ac =2b a c =+()2222282cos 24725b ac ac B a c ac ac b =+-=+--=-b =121,34A p p ⎛⎫++⎪⎝⎭()2121234p p p ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭272102p p --=2p =14-()0,1()1,2=1sin 1ab a bα-=+2222sin cos 2sincos1sin 22221sin sin cos 2sin cos 2222a b αααααααααα+++==-+-22222sin cos 1tan π222tan 42sin cos 1tan 222ααααααα⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭==+ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=故选D.8. A 【解析】由对恒成立，令，则，令，得，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即.令，，，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以.故选A.9. AC 【解析】联立，消去x 可得，则，解得故选AC.10. BCD 【解析】对于A 选项，由对数函数的定义知的定义域为，故A 错误.对于B 选项，令，则，即，解得（负值舍去），故B 正确.对于C 选项，，可知，ln e ln x x x x a -≥0x >()ln f x x x =()ln 1f x x ='+()0f x '=1ex =10e x <<()0f x '<1e x >()0f x '>()f x 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()11e ef x f ⎛⎫≥=-⎪⎝⎭1ln e x x ≥-ln t x x =()1e e t g t t t ⎛⎫=-≥- ⎪⎝⎭()e 1t g t '=-10e t -≤<()0g t '<0t >()0g t '>()g t 1,0e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭()0,+∞()()min 01g t g ==1a ≤22224y xx y my m=⎧⎨+-=-⎩222240y my m -+-=()()222840m m ∆=--->m -<<()f x ()()0,11,+∞ ()log 12x x +=21x x =+210x x --=x =()()()ln 1log 1ln x x f x x x+=+=()()()()2ln 1ln 11ln x x x x f x x x x-+++'=设函数，可知，令，解得，则在上单调递减，在上单调递增，且在上，则的图象为的图象向左平移一个单位长度，易得两者无交点，则无零点，即不存在极值点，故C 正确.对于D 选项，方法一：由的单调性可知，D 正确.方法二：作差有，且，故，D 正确.故选BCD.11. BC 【解析】设该5名同学在此次比赛中所得成绩分别为，，，，，易得，则，且，则，不妨设最大.对于A 选项，若，则不成立，故A 错误；对于B 选项，若，例如7，7，7，7，12，满足题意，故B 正确；对于C 选项，若，例如5，7，8，9，11，满足题意，故C 正确；对于D 选项，若，则，可得，可知该方程组无正整数解，故D 错误.故选BC.12. 【解析】，故时，，故曲线在点处的切线方程为.13. 1 【解析】()ln g x x x =()ln 1g x x ='+()0g x '=1e x =()g x 10,e ⎛⎫⎪⎝⎭1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()0,1()0g x <()()1ln 1y x x =++()g x ()f x '()f x ()f x ()()()()()11log 1log 2x x f x f x x x +-+=+-+()()()2ln 1ln ln 2ln ln 1x x x x x +-⋅+⋅+=()()()()222ln ln 22ln 1ln ln 2ln 122x x x x x x ⎡⎤⎡⎤+++⋅+<<=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()11f x f x x >+>1x 2x 3x 4x 5x ()12345185x x x x x x =++++=1234540x x x x x ++++=()()()()()2222212243588814588x s x x x x -+-+-+-+⎡⎤==⎣⎦-()()()()()22222123458888820x x x x x -+-+-+-+-=5x 513x =()()()()2222123488885x x x x -+-+-+-=-512x =511x =510x =()()()()22221234888816x x x x -+-+-+-=12342222123430496x x x x x x x x +++=⎧⎨+++=⎩33y x =-()212e x y x x -'=+1x =3y '=21e 1x y x -=-()1,033y x =-()10201010192891010103910110C 10C 10C 101==-=-⨯+⨯--⨯+，所以被10除的余数为1.14.【解析】如图，延长BA ，CD 交于点E ，则为正三角形.由题设结论，，，的外接圆有唯一公共点，该公共点即为题中的点Q ，故点Q 在的外接圆上.由题意得，，则是直角三角形，故其外接圆半径.在中，由余弦定理可知，，当Q 在线段BD 上，且时，BQ.15. 解：（1）由题意得，，（2分）又，（4分）则，（5分）所以C 的标准方程为.（6分）（2）由题意设，，联立，整理得，（7分）则，，（8分）故.（10分）设直线l 与x 轴的交点为，()9182791010101010C 10C 10C 1⨯-⨯+⨯--=+ 2031-EBC △ABP △CMP △AME △AME △120BAD ∠=︒90BAM ∠=︒AME △1R AD ==ABD △BD ==1QD =1-2c =c =c e a ==2a =2222b a c =-=22142x y +=()11,E x y ()22,F x y 2232142x ty x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩()2272304t y ty ++-=12232ty y t +=-+()122742y y t =-+12y y -===3,02D ⎛⎫⎪⎝⎭又，则，（11分）故，（12分）解得.（13分）16. 解：（1）补充列联表如下：车站编号满意不满意合计102812401157360合计8515100（3分）零假设为：旅客满意程度与车站编号无关，则，（6分）所以根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为旅客满意程度与车站编号有关联.（7分）（2）经分析，X 的可能取值为8，10，12，14.（8分）；（9分）；（10分）；（11分），（12分）则X 的分布列为X 8101214P（13分）所以.（15分）17. 解：（1）连接AC ，BD 交于点H ，连接PH ，5,02A ⎛⎫-⎪⎝⎭35422AD ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭12122AEF S AD y y =⋅-==△t =0H ()220.001100283571220010.8284060851517x χ⨯⨯-⨯==>=⨯⨯⨯0.001α=0H ()3288327P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭()2214103339P X ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭()2122123339P X ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭()31114327P X ⎛⎫===⎪⎝⎭8274929127()8421810121410279927E X =⨯+⨯+⨯+⨯=则PH 是四棱锥的高.（2分）由于该四棱锥底面为平行四边形，故点H 为AC 与BD 的中点.（3分）又，，故有，，（4分）又，AC ，平面ABCD ，故平面ABCD ，即PH 为四棱锥的高.（6分）（2）（方法一）证明：以H 为原点，以、的方向分别为x 轴、z 轴的正方向，以垂直于BC 的直线为y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.（7分）设，，，，.则，，.（8分）设平面PAB 、平面PCD 的法向量分别为，，则，，（9分）令，解得，.所以，.（10分）因为平面平面PCD ，所以，①（11分）同理可得平面PAD 、平面PBC 的一个法向量分别为，.故，即，②（12分）P ABCD -AP CP =BP DP =PH AC ⊥PH BD ⊥AC BD H = BD ⊂PH ⊥P ABCD -BC HP (),,0A a d (),,0B b d -(),,0C a d --(),,0D b d -()0,0,P h (),2,0BA CD a b d ==- (),,BP b d h =- (),,DP b d h =-()1111,,n x y z = ()2222,,n x y z =()11111200a b x dy bx dy hz ⎧-+=⎨-++=⎩()22222200a b x dy bx dy hz ⎧-+=⎨-+=⎩122x x dh ==1112()()x dh y b a h z b a d =⎧⎪=-⎨⎪=+⎩2222()()x dh y b a h z b a d =⎧⎪=-⎨⎪=-+⎩()()()12,,n dh b a h b a d =-+ ()()()22,,n dh b a h b a d =--+PAB ⊥()()2222221240n n d h b a h a b d ⋅=+--+= ()30,,n h d = ()40,,n h d =-22340n n h d ⋅=-= h d =①②联立解得.（13分）因此，.（14分）故，而四边形ABCD 是平行四边形，故四边形ABCD 是菱形.（15分）（方法二）证明：过点H 作交AB 于点E ，交CD 于点F ，过点H 作交BC 于点M ，交AD 于点N ，连接PE ，PF ，PM ，PN ，因为平面ABCD ，AB ，平面ABCD ，所以，.（7分）因为EF ，平面PEF ，所以平面PEF ，又平面PEF ，所以.（8分）易得平面PAB 与平面PCD 的交线平行于AB ，又平面平面PCD ，平面PAB ，所以平面PCD ，又平面PCD ，所以.（10分）因为MN ，平面PMN ，所以平面PMN ，又平面PMN ，所以.（11分）易得平面PAD 与平面PBC 的交线平行于BC ，又平面平面PBC ，平面PBC ，所以平面PAD ，又平面PAD ，所以.（13分）因为H 为平行四边形ABCD 对角线的交点，所以，，所以，所以，（14分）又，所以，所以平行四边形ABCD 是菱形.（15分）18. 证明：（1）易得的定义域为，（2分）.由奇函数的定义知是奇函数.（6分）2ab d =AD a b =--AB a b ===--AB AD =EF AB ⊥MN BC ⊥PH ⊥BC ⊂PH AB ⊥PH BC ⊥PH ⊂AB ⊥PE ⊂AB PE ⊥PAB ⊥PE ⊂PE ⊥PF ⊂PE PF ⊥PH ⊂BC ⊥PM ⊂BC PM ⊥PAD ⊥PM ⊂PM ⊥PN ⊂PM PN ⊥HE HF =HM HN =1122PH EF MN ==EF MN =AB EF BC MN ⋅=⋅AB BC =()f x ()(),,a a -∞-+∞ ()()ln x a f x a x x a --⎛⎫--=--- ⎪-+⎝⎭()ln ln x a x a ax ax f x x a x a -+-⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭=--()f x（2）由对称性，不妨取，则，（7分）而.（8分）下证，设，，，，则（当且仅当，，即时取等号）.（14分）另一方面，的定义域为，.由对称性，不妨取，则，故在上单调递增.（15分）当时，；当时，.由零点存在定理知在上有一个零点，（16分）故.（17分）19. 证明：（1）当时，；（2分）当时，，（6分）故数列是1-有限数列.（7分）（2）由，得，（9分）31x x =-()()()()()()()23232323ln 0x a x a f x f x a x x x a x a ⎡⎤--+=++=⎢⎥++⎢⎥⎣⎦()()()()()2232323232ln 2x a x a x x f a x x x a x a ⎡⎤-+-+⎛⎫=++⎢⎥ ⎪+++⎝⎭⎢⎥⎣⎦()()2323202x x f f x f x +⎛⎫≥=+ ⎪⎝⎭2x a m -=3x a n -=2x a p +=3x a q +=()()()()()()()()()()22232322323x a x a x a x a m n mn x a x a x a x a pq p q ⎡⎤-+---+-=-⎢⎥++++++⎢⎥⎣⎦()()()()()()2222pq m n mn p q pm qn qm pn p q pq p q pq +-+--++==()()()22323220a x x x x p q pq +-=≥+m n =p q =23x x =()f x ()(),,a a -∞-+∞ ()()()2a f x a x a x a =++-'x a >()0f x a '>>()f x (),a +∞x a →()f x →-∞x →+∞()f x →+∞()f x (),a +∞0x 2102x x x -≤2n =121a a ==2n >122121n n n n n a a a a a a a ----++++>+= {}n a 121n n a a a a λ-+++≥ ()2221211n n a a a a λ-≥+++于是有（13分）.（17分）()222212112111nn i i i i a a a a a λ==-≥++++∑∑ ()()2221121121n i i i a a a a a a a λ=-≥+++++++∑ 222112112111n i i i i a a a a a a a a λ=-⎛⎫+⋅-≥ ⎪++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⎝⎭=∑222112112111n i i i a M a a a a a a λ=-⎛⎫+⋅- ⎪++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⎝⎭∑221112111n a M a a a a λ⎛⎫+- ⎪+=++⎝⎭。

2023届呼市高三年级质量普查调研考试—段考(理科数学)试卷真题+参考答案+详细解析

2023届呼市高三年级质量普查调研考试—段考(理科数学)试卷真题+参考答案+详细解析

2023届呼和浩特市高三年级质量普查调研考试理科数学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号涂写在答题卡上．本试卷满分150分，考试时间120分钟．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|24}A x x =>，集合{1,2,3,4}B =，那么集合(A B = )A ．{2}B ．{1,2}C ．{2,3,4}D ．{3,4}2．若(1)1i z -=，则下列说法正确的是( )A ．复数z 的模为2B ．1z i =-C ．复数z 的虚部为i -D ．复数z 在复平面内对应的点在第二象限 3．已知向量a ，b 满足||5a =，||4b =，4a b ⋅=-，则cos ,(a a b <->= ) A ．35-B ．57-C ．2935D ．19354．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为( ) A ．1升B ．6766升 C ．4744升 D ．3733升 5．设123a -=，131()2b -=，21log 3c =，则( )A ．a c b <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．a b c <<6．已知α，(0,)2πβ∈，且cos tan 1sin αβα=+，则sin(2)(αβ+= )A ．1B C D ．127．过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>左焦点F 作x 轴的垂线，交椭圆于P ，Q 两点，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，且||||PQ FA =，则该椭圆的离心率是( )A ．12B ．24C ．22D ．328．关于函数21()cos 3sin cos 2f x x x x =+-有下述三个结论： ①()f x 在区间[,]42ππ上是减函数；②()f x 的图象在点(,())33f ππ--处切线的斜率为0；③()f x 在区间[,]4ππ上的值域为3[1,]2-．其中正确结论的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．39．已知正项等差数列{}n a 和正项等比数列{}n b ，111a b ==，3b 是2a ，6a 的等差中项，8a 是3b ，5b 的等比中项，则下列关系成立的是( ) A ．100100a b >B ．102411a b =C ．105a b >D ．999a b >10．某烟花厂按以下方案测试一种“烟花”的垂直弹射高度：在C 处（点C 在水平地面下方，O 为CH 与水平地面ABO 的交点）进行该烟花的垂直弹射，水平地面上两个观察点A ，B 两地相距30米，60BAC ∠=︒，其中B 到C 的距离为70米．在A 地测得C 处的俯角为15OAC ∠=︒，最高点H 的仰角为30HAO ∠=︒，则该烟花的垂直弹射高度CH 约为( )（参考数据：6 2.446)≈A ．40米B ．56米C ．65米D ．113米11．已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()()f x y f x y f x f y ++-=，f （1）1=，则20231()(k f k ==∑ ) A ．3-B ．2-C ．0D ．112．在平面直角坐标系xOy 中，点(1,0)A ，动点M 满足以MA 为直径的圆与y 轴相切．过A 作直线(1)250x m y m +-+-=的垂线，垂足为B ，则||||MA MB +的最小值为( )A ．22B ．22C 521+D ．32第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．由曲线3y x =与y x =围成的封闭图形的面积是 ．14．已知命题“[1x ∀∈，3]，不等式240x ax -+”为真命题，则a 的取值范围为 ．15．如图，O 是坐标原点，圆O 的半径为1，点(1,0)A -，(1,0)B ．点P ，Q 分别从点A ，B 同时出发，在圆O 上按逆时针方向运动．若点P 的速度大小是点Q 的两倍，则在点P 运动一周的过程中，AP AQ 的最大值是 ．16．若过点(,)P a a 与曲线()ln f x x x =相切的直线有两条，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17．（12分）如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，34BCD π∠=，BD =CD =（1）求sin CBD ∠的值；（2）若ABD ∆的面积为4，求AD 的长．18．（12分）已知{}n a 是等比数列，前n 项和为*()n S n N ∈，且123112a a a -=，7127S =． （1）求{}n a 的通项公式；（2）若对任意的*n N ∈，n b 是2log n a 和21log n a +的等差中项，求数列2{(1)}n nb -的前2022项和（结果写成幂的形式）．19．（12分）若某一封闭平面曲线周长是2L．回答下面的问题：（1）当此封闭曲线为平行四边形时，用直径为L的圆形纸片是否能完全覆盖这个平行四边形？请说明理由；（2）求证：当此封闭曲线是四边形时，正方形的面积最大．20．（12分）已知函数21()ln ()2f x x ax x a R =++∈． （1）若()f x 在定义域内单调递增，求a 的取值范围；（2）设1a e e>--，m ，n 分别是()f x 的极大值和极小值，且S m n =-，求S 的取值范围．21．（12分）定义：若点00(,)x y ，00(,)x y ''在椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>上，并且满足0000220x x y y a b''+=，则称这两点是关于M 的一对共轭点，或称点00(,)x y 关于M 的一个共轭点为00(,)x y ''．已知点(3,1)A 在椭圆22:1124x y M +=，O 为坐标原点．（1）求点A 关于M 的所有共轭点的坐标；（2）设点P ，Q 在M 上，且//PQ OA ，求点A 关于M 的所有共轭点和点P ，Q 所围成封闭图形面积的最大值．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρθ=． （1）求圆C 的参数方程；（2）设圆C 与直线l 交于点A ，B ，求弦长||AB 的长．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知0m ，函数()2|1||2|f x x x m =--+的最大值为4． （1）求实数m 的值；（2）若实数a ，b ，c 满足2a b c m -+=，求222a b c ++的最小值．2023届呼和浩特市高三年级质量普查调研考试理科数学参考答案及评分标准【选择题&填空题答案速查】一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|24}A x x =>，集合{1,2,3,4}B =，那么集合(A B = )A ．{2}B ．{1,2}C ．{2,3,4}D ．{3,4} 【解析】集合{|24}{|2}A x x x x =>=>，{1,2,3,4}B =，{3,4}A B ∴=．故选：D ．【评注】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目． 2．若(1)1i z -=，则下列说法正确的是( )A ．复数zB ．1z i =-C ．复数z 的虚部为i -D ．复数z 在复平面内对应的点在第二象限【评注】本题考查的知识要点：复数的运算，复数的共轭运算，复数的模，复数表示的几何意义，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．3．已知向量a ，b 满足||5a =，||4b =，4a b ⋅=-，则cos ,(a a b <->= ) A ．35-B ．57-C ．2935D ．1935向量a ，b 满足||5a =，||4b =，4a b ⋅=-，可得22||225a b a a b b -=-⋅+=+2()254a a b a a b ⋅-=-⋅=+()29,57||||a ab a a b a a b ⋅-<->==⨯-【评注】本题考查向量的数量积的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．4．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为( ) A ．1升B ．6766升 C ．4744升 D ．3733升【评注】本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 5．设123a -=，131()2b -=，21log 3c =，则( )A ．a c b <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．a b c <<【解析】03a <=【评注】本题考查数值大小的比较，注意中间量的应用，基本知识的考查．6．已知α，(0,)2πβ∈，且cos tan 1sin αβα=+，则sin(2)(αβ+= )A ．1BCD ．1【评注】本题主要考查了三角函数恒等变换在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，确定角αβ+的范围是解题的关键，属于中档题．7．过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>左焦点F 作x 轴的垂线，交椭圆于P ，Q 两点，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，且||||PQ FA =，则该椭圆的离心率是( )A ．1 B C D【评注】本题主要考查椭圆离心率的求解，属于基础题．8．关于函数21()cos cos 2f x x x x =+-有下述三个结论：①()f x 在区间[,]42ππ上是减函数；②()f x 的图象在点(,())33f ππ--处切线的斜率为0；③()f x 在区间[,]4ππ上的值域为[-．其中正确结论的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3，[,42x ππ∈7266x πππ+，(f ∴，()3f π-=1-为最小值，()f x '=()()]2cos(3362f ππππ='--+=-：()3f π-=1为最小值，即点())3π-处切线的斜率为，[,4x ππ∈13266x πππ+，(f x 【评注】本题考查了三角函数的性质，考查了转化思想、计算能力，属于中档题．9．已知正项等差数列{}n a 和正项等比数列{}n b ，111a b ==，3b 是2a ，6a 的等差中项，8a 是3b ，5b 的等比中项，则下列关系成立的是( ) A ．100100a b >B ．102411a b =C ．105a b >D ．999a b >【解析】设正项等差数列{}n a 的公差为d ，0d >，正项等比数列{}n b 的公比为q ，0q >，由111a b ==，3b 是2a ，6a 的等差中项，即为3262b a a =+，8a 是3b ，5b 的等比中项，即2835a b b =， 由2224226(17)q d d q q⎧=+⎨+=⋅⎩，解得12d q =⎧⎨=⎩，则n a n =，12n n b -=， 由9910010010020a b -=-<，即100100a b <，故A 错误； 由10241024a =，101121024b ==，可得102411a b =，故B 正确； 由1010a =，45216b ==，105a b <，故C 错误；由9999a =，892256b ==，999a b <，故D 错误．故选：B ．【评注】本题考查等差数列和等比数列的通项公式，以及等差中项和等比中项的性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．10．某烟花厂按以下方案测试一种“烟花”的垂直弹射高度：在C 处（点C 在水平地面下方，O 为CH 与水平地面ABO 的交点）进行该烟花的垂直弹射，水平地面上两个观察点A ，B 两地相距30米，60BAC ∠=︒，其中B 到C 的距离为70米．在A 地测得C 处的俯角为15OAC ∠=︒，最高点H 的仰角为30HAO ∠=︒，则该烟花的垂直弹射高度CH 约为( ) 2.446)≈A ．40米B ．56米C ．65米D ．113米【评注】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理，属中档题．11．已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()()f x y f x y f x f y ++-=，(1)1f =，则231()(k f k ==∑ )A ．3-B ．2-C ．0D ．1【解析】令1y =，则(1)(1)()(1)()f x f x f x f f x ++-==，可得(1)()(1)f x f x f x +=--，(2)(1)()f x f x f x ∴+=+-，(3)(2)(1)f x f x f x +=+-+，(3)()f x f x ∴+=-，则(6)(3)()f x f x f x +=-+=，()f x ∴的周期为6，令1x =，0y =得(1)(1)(1)(0)f f f f +=⨯，解得(0)2f =，又(1)()(1)f x f x f x +=--，∴(2)(1)(0)1f f f =-=-，(3)(2)(1)2f f f =-=-，(4)(3)(2)1f f f =-=-，(5)(4)(3)1f f f =-=，(6)(5)(4)2f f f =-=，∴61()1121120k f k ==---++=∑，∴232411()()(24)60(24)(6)2k k f k f k f f f ===-=⨯-=-=-∑∑．故选：B ．【评注】本题考查抽象函数以及函数周期性的运用，考查运算求解能力，属于中档题．12．在平面直角坐标系xOy 中，点(1,0)A ，动点M 满足以MA 为直径的圆与y 轴相切．过A 作直线(1)250x m y m +-+-=的垂线，垂足为B ，则||||MA MB +的最小值为( )A ．2B ．2C 1+D ．3【评注】本题考查抛物线的几何性质，涉及直线与圆的位置关系，关键是求出M 的轨迹方程，属于综合题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．由曲线3y x =与y =围成的封闭图形的面积是512．【评注】考点幂函数的图象、定积分，考查学生分析解决问题的能力，正确运用定积分是关键． 14．已知命题“[1,3]x ∀∈，不等式240x ax -+”为真命题，则a 的取值范围为 (,4]-∞ ． 【解析】当40恒成立，4(13)a x x x +恒成立，令(13)x ，()min a g x ，442x x x x+⋅=（当且仅当时取“=”），()min g x ∴=4a ． 故答案为：(,4]-∞．【评注】本题考查恒成立问题，着重考查构造函数的思想与等价转化思想的综合运用，考查基本不等式，属于中档题．15．如图，O 是坐标原点，圆O 的半径为1，点(1,0)A -，(1,0)B ．点P ，Q 分别从点A ，B 同时出发，在圆O 上按逆时针方向运动．若点P 的速度大小是点Q 的两倍，则在点P 运动一周的过程中，AP AQ 的最大值是 2 ．(cos 21,sin 2)(cos 1,sin )(cos 2AP AQ ααααα=-+-+=-，当且仅2πα=或32πα=时，等号成立．故答案为：2． 【评注】本题考查了三角函数定义，向量数量积．属基础题．16．若过点(,)P a a 与曲线()ln f x x x =相切的直线有两条，则实数a 的取值范围是 (e,)+∞ ． 【解析】设切点为(,ln )m m m ，()ln f x x x =的导数为m ，【评注】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查函数方程的转化思想，以及运算能力，属于中档题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17．（12分）如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，34BCD π∠=，BD =CD =（1）求sin CBD ∠的值；（2）若ABD ∆的面积为4，求AD 的长．【评注】本题主要考查了正弦定理，余弦定理及和差角公式在求解三角形中的应用，属于中档题． 18．（12分）已知{}n a 是等比数列，前n 项和为*()n S n N ∈，且123112a a a -=，7127S =． （1）求{}n a 的通项公式；（2）若对任意的*n N ∈，n b 是2log n a 和21log n a +的等差中项，求数列2{(1)}n nb -的前2022项和（结果写成幂的形式）．，n b 是2log 12-，1n b +∴21)}n nb -的前22222222nn n n n +-==【评注】本题考查了等差数列，等比数列的性质，分项求和的应用，属于中档题． 19．（12分）若某一封闭平面曲线周长是2L ．回答下面的问题：（1）当此封闭曲线为平行四边形时，用直径为L 的圆形纸片是否能完全覆盖这个平行四边形？请说明理由； （2）求证：当此封闭曲线是四边形时，正方形的面积最大．【评注】本题考查了三角形的三边关系，基本不等式的应用，属于中档题．也可以运用函数解答，即法二． 20．（12分）已知函数21()ln ()2f x x ax x a R =++∈． （1）若()f x 在定义域内单调递增，求a 的取值范围；（2）设1a e e>--，m ，n 分别是()f x 的极大值和极小值，且S m n =-，求S 的取值范围．，（)0x ，即1()a x x -+上恒成立，（)2-，“=时取得，2a ∴-，a ∴的取值范围为．（1）知，欲使)有极大值和极小值，（5分）的两根分别为1x ，2x ，于是．（6分）上单调递增， （7分）．（．（【评注】本题考查了利用导数研究函数的单调性和利用导数研究函数的极值，考查了转化思想，属中档题．21．（12分）定义：若点00(,)x y ，00(,)x y ''在椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>上，并且满足0000220x x y y a b''+=，则称这两点是关于M 的一对共轭点，或称点00(,)x y 关于M 的一个共轭点为00(,)x y ''．已知点(3,1)A 在椭圆22:1124x y M +=，O 为坐标原点．（1）求点A 关于M 的所有共轭点的坐标；（2）设点P ，Q 在M 上，且//PQ OA ，求点A 关于M 的所有共轭点和点P ，Q 所围成封闭图形面积的最大值．）因为//PQ OA ，OA k21603m <，所以的距离为2d 因为//PQ OA ，所以1d等于点11|331d ⨯-=+1|(3⨯-=216(0)3m <1603t <上单调递减，0t =，即m ．【评注】本题考查“共轭点”的概念，面积的最值，解题中需要理清思路，本题考查直线与椭圆的综合，考查新定义问题，涉及韦达定理的应用，转化思想，属于中档题．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为ρθ=． （1）求圆C 的参数方程；（2）设圆C 与直线l 交于点A ，B ，求弦长||AB 的长．【评注】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的转化方法，直线的参数方程的几何意义等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中档题．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知0m ，函数()2|1||2|f x x x m =--+的最大值为4． （1）求实数m 的值；（2）若实数a ，b ，c 满足2a b c m -+=，求222a b c ++的最小值． ||(22)x -0m ，()|2|f x m ∴+=()2max f x m ∴=，又(f x （2）根据柯西不等式得：](2a b -+，2a b -+223c ， 当121a b c ==-，即13a =，时取等号，22a b ∴+的最小值为【评注】本题考查绝对值不等式、柯西不等式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。

辽宁省沈阳市2024届高三教学质量监测(二)数学(理)试题-Word版含答案

辽宁省沈阳市2024届高三教学质量监测(二)数学(理)试题-Word版含答案

2024年沈阳市中学三年级教学质量检测（二）数 学（理科）命题：东北育才双语学校 王海涛 沈阳市第20中学 李蕾蕾 沈阳市第11中学 孟媛媛 东北育才学校 候雪晨 沈阳市第120中学 董贵臣 沈阳市第4中学 韩 娜 主审：沈阳市教化科学探讨院 王孝宇本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.第I 卷1至2页，第II 卷第3至5页。

满分150分，考试时间120分钟.留意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡指定区域.2.第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

第II 卷用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置书写作答，在本试卷上作答无效.3.考试结束后，考生将答题卡交回.第I 卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}3,2,1=A ，集合{}5,4,3,2=B ，则 A.B A ⊆ B.A B ⊂ C.{}3,2=⋂B A D.{}5,4,1=⋃B A 2. 设复数21i z +=（i 是虚数单位），则=z A.22 B.21 C.1 D.2 3. 下列命题中，真命题的是A.0,2＞x R x ∈∀B.1sin 1,＜＜x R x -∈∀ C.02,00＜x R x ∈∃ D.2tan ,00=∈∃x R x4. 已知平行四边形ABCD 中，)4,3(),8,2(-==AB AD ,对角线AC 与BD 相交于点M ， 则AM 的坐标为A.)6,21(-B.)6,21(-C.)6,21(-D.)6,21( 5. 若c b a ,,成等比数列，则函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的交点个数为A.0B.1C.2D.不确定6. 一次试验：向下图所示的正方形中随机撒一大把豆子，经查数，落在正方形中的豆子的总数为N 粒，其中)(N m m ＜粒豆子落在该正方形的内切圆内，以此估计圆周率π为A.N m B.N m 2 C.N m 3 D.Nm 4 7. 已知中心在坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线的渐近线方程为x y 43±= 则该双曲线的离心率为A.45B.35C.45或35D.53或54 8. 若[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]31.2,21.2=-=.执行如图所示的程序框图，则输 出的S 值为A.2B.3C.4D.59. 已知曲线)0)(cos(3)sin()(＞w wx wx x f +=的两条相邻的对称轴之间的距离为2π，且曲线关于点)0,(0x 成中心对称，若 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,00πx ，则=0x A.12π B.6π C.3π D.125π 10.已知实数y x ,满意⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-20062x y x y x ，若目标函数y mx z +-=的最大值为102+-m ，最小值为22--m ，则实数m 的取值范围是A.[]2,1-B.[]1,2-C.[]3,2D.[]3,1-11.四面体ABCD 的四个顶点都在球O 的表面上，⊥AB 平面ABCD ，△BCD 是边长为3 的等边三角形.若2=AB ，则球O 的表面积为A.322π B.π12 C.π16 D.π32 12.已知函数)(x f 满意：①定义域为R ；②对随意R x ∈，有)(2)2(x f x f =+；③当[]1,1-∈x 时，21)(x x f -=.若函数⎩⎨⎧≤=)0(ln )0()(＞x x x e x g x ，则函数)()(x g x f y -=在区间[]5,5-上零点的个数是A.7B.8C.9D.10第II 卷（共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上.）13. 如图，某几何体的主视图和俯视图都是矩形，左视图是等腰直角三角形，则该几何体的 体积为__________.14. 6)12(xx -的二项绽开式中的常数项为_______. 15. 已知函数))(()(b x a x x x f --=的导函数为)(x f '，且4)0(='f ，则222b a +的最小值为_____.16. 已知抛物线)0(22＞p px y =的焦点为F ，△ABC 的顶点都在抛物线上，且满意 FC FB FA -=+，则=++CABC AB k k k 111_______. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置.17.（本小题满分12分）在△ABC 中，角C B A ,,的对应边分别是c b a ,,满222a bc c b +=+. （I ）求角A 的大小；（II ）已知等差数列{}n a 的公差不为零，若1cos 1=A a ，且842,,a a a 成等比数列,求 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+14n n a a 的前n 项和n S . △18.（本小题满分12分）为向国际化大都市目标迈进，沈阳市今年新建三大类重点工程，它们分别是30项基础设施类公程、20项民生类工程和10项产业建设类工程.现有来沈阳的3民工人相互独立地从这60个项目中任选一个项目参加建设.（I ）求这3人选择的项目所属类别互异的概率；（II ）将此3人中选择的项目属于基础设施类工程或产业建设类工程的人数记为X ，求X 的分布列和数学期望. △19.（本小题满分12分）如图，BC 为圆O 的直径，D 为圆周上异于C B 、的一点，AB 垂直于圆O 所在的平面，AC BE ⊥于点E ，AD BF ⊥于点F .（I ）求证：⊥BF 平面ACD ；（II ）若o 45,2=∠==CBD BC AB ,求平面BEF 与平面BCD 所成锐角二面角的余弦值.△20.（本小题满分12分）已知椭圆C 的方程式)0(12222＞＞b a b y a x =+，离心率为33，且经过点)1,26(. （I ）求椭圆C 的方程； （II ）圆O 的方程是2222b a y x +=+，过圆O 上随意一点P 作椭圆C 的两条切线，若切线的斜率都存在，分别记为21,k k ，求21k k ⨯的值. △21.（本小题满分12分）已知函数x mx x f sin )(-=，)0(sin 2cos )(＞a x x ax x g -=. （I ）若曲线)(x f y =上随意相异两点的直线的斜率都大于零，求实数m 的值； （II ）若1=m ，且对随意⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ，都有不等式)()(x g x f ≥成立，求实数a 的取值范围. △请考生在第22、23、24题中任选一题做答，假如多做，则按所做第一题记分。

陕西省汉中市2023届高三上学期教学质量第一次检测理科数学试题(含答案解析)

陕西省汉中市2023届高三上学期教学质量第一次检测理科数学试题(含答案解析)

（）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．函数 f x 2 x3 x e x 的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．m，n 为空间中两条不重合直线， 为空间中一平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若 m // n ， n ，则 m / /
B．若 m ， m // n ，则 n
7．A 【分析】先将原函数用诱导公式变形为正弦函数表示，再根据“左加右减”的原则判断即可.
【详解】
y
cos
2x
3
cos
2x
5 6
2
sin
2x
5 6
sin
2
x
5 12
故可由
y
sin2x 的图象向左平移
5 12
个单位长度得到.
故选：A.
8．C
【分析】分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解.
三、解答题
17．已知 a,b, c 分别为 ABC 内角 A, B,C 的对边，且 2b a cosC c cosA
(1)求角 C ； (2)若 c2 2ab,ABC 的面积为 3 ，求 a b 的值. 18．如图，多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 为菱形， ABB FA 2ED 2 .
A．
1 3
B． 2 5
C．
1 2
D． 3 5
11．若双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0)
的实轴的两个端点与抛物线
x2
8by
的焦点是一个直
角三角形的顶点，则该双曲线的离心率为（ ）

数学丨浙江省湖州、衢州、丽水2025届高三11月三地市高三教学质量检测试卷数学试卷及答案

数学丨浙江省湖州、衢州、丽水2025届高三11月三地市高三教学质量检测试卷数学试卷及答案

湖州、衢州、丽水2024年11月三地市高三教学质量检测试卷数学1.本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.2.考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上.3.选择题的答案须用2B 铅笔将答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如要改动，须将原填涂处用橡皮擦净.4.非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内，作图时可先使用2B 铅笔，确定后须用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑，答案写在本试题卷上无效.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}6,5,4,3,2,1=A ，{}A x xB ∈=2，则=B A A.{}1 B.{}2,1 C.{}4,2,1 D.{}6,5,4,3,2,12.已知复数=-1i z （其中i 是虚数单位），则+=2z z A.2B.13.双曲线的另一种定义：动点(,)M x y 与定点(,0)F c 的距离和它与定直线2:al x c=的距离的比是常数ca（0a c <<），则点M 的轨迹是一个双曲线.动点M 与定点F 的距离和它与定直线:3l x =M 的轨迹方程为A.2212y x -= B.2212y x -= C.2212x y -= D.2212x y -=4.为研究光照时长x (小时)和种子发芽数量y (颗)之间的关系，某课题研究小组采集了9组数据，绘制散点图如图所示，并对,x y 进行线性回归分析.若在此图中加上点P 后，再次对,x y 进行线性回归分析，则下列说法正确的是A.,x y 不具有线性相关性B.决定系数2R 变大C.相关系数r 变小D.残差平方和变小5.已知ABC ∆的外接圆圆心为O ，且2AB AC AO += ，||||OA AB = ，则向量BA在向量BC 上的投影向量为A.14BCB.C.14BC-D. 6.古代农耕常用水车作为灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类改造自然的成果之一．如图是一个半径为r 的水车，以水车的中心为原点，过水车的中心且平行于水平面的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，一个水斗从点2)A -出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒．经过t 秒后，水斗旋转到P 点，设P 点的坐标为(,)x y ，其纵坐标满足sin()(0y r t t ωϕ=+ ，0ω>，||)2πϕ<，当45t =秒时，||PA =A.B.C. D.47.已知长方体1111ABCD A B C D -，E 是棱11C D 的中点，平面1AB E 将长方体分割成两部分，则体积较小部分与体积较大部分的体积之比为A ．715B ．12C ．724D ．7178.已知函数()x x x f 2cos 3cos -=，(0,)x π∈，若()f x 有两个零点()1212,x x x x <，则A ．{}21,5x x ∈πB ．123x x =C ．121cos cos 2x x +=D ．41cos cos 21-=x x 第6题图二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知0a >，0b >，则下列说法正确的是A.若1=+b a ，则2log log 22-≤+b a B.若1=+b a ，则1<+b a C.若1a b -=，则1212a b-≥ D.若1=-b a ，则221a b +>10.现有一个抽奖活动，主持人将奖品放在编号为1、2、3的箱子中，甲从中选择了1号箱子，但暂时未打开箱子，主持人此时打开了另一个箱子（主持人知道奖品在哪个箱子，他只打开甲选择之外的一个空箱子）．记i A （1,2,3i =）表示第i 号箱子有奖品，j B （2,3j =）表示主持人打开第j 号箱子.则下列说法正确的是A.321()2P B A =B.131()3P A B =C.若再给甲一次选择的机会，则甲换号后中奖概率增大D.若再给甲一次选择的机会，则甲换号后中奖概率不变11.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AC BC CC ===，AC BC ⊥,Q 是线段AB 的中点，P 是线段1BC 上的动点（含端点），则下列命题正确的是A.三棱锥1P A QC -的体积为定值B.在直三棱柱111ABC A B C -内部能够放入一个表面积为4π的球C.直线PQ 与AC 所成角的正切值的最小值是22D ．1A P PQ +第11题图三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在()12nx -（*n ∈N ）的展开式中，x 的系数为10-，则n =▲.13.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，过左焦点F 作直线l 与圆222:4c M x y +=相切于点E ，与椭圆C 在第一象限的交点为P ，且3PE EF =，则椭圆离心率为▲.14.若()()3(2)222f x x x =-+-+，已知数列{}n a 中，首项1120a =，32123n n a a aa a n=++++L ，*n ∈N ，则()791ii f a ==∑▲.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（本小题满分13分）如图，在三棱锥P ABC -中，底面ABC 是边长为2的等边三角形，⊥PC 平面ABC ，点E 是PB 的中点，点F 在线段CE 上且:2:1CF EF =，G 为三角形ABC 的重心.（1）求证：GF ∥平面P AB ；（2）当PC 的长为何值时，二面角E AC B --的大小为60︒.16.（本小题满分15分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 对应的的三边分别是a ，b ，c，且2bB c-=.（1）求角C 的值；（2）若1=c ，B A tan 3tan 2=，求ABC ∆的面积.17.（本小题满分15分）第15题图已知数列{}n a 的首项是1，其前n 项和是n S ，且121++=+n a a n n ，*n ∈N .（1）求32,a a 的值及数列{}n a 的通项公式；（2）若存在实数λ，使得关于n 的不等式25n S n λ+≤，*n ∈N 有解，求实数λ取到最大值时n 的值.18.（本小题满分17分）已知函数()21ln1x f x ax x -=+-（R a ∈）.（1）当1=a 时，求曲线()x f y =在点()()2,2f 处的切线方程；（2）若103a <≤，3,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，证明：()2f x <；（3）若1x >，恒有()32ln 22f x ≥+，求实数a 的取值范围.19.（本小题满分17分）直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如()R ∈+=k kx y 1表示过点()1,0的直线族（不包括直线y 轴），直线族的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.（1）圆()22:34M x y +-=是直线族1(,)mx ny m n +=∈R 的包络曲线，求,m n 满足的关系式；（2）若点()00,N x y 不在直线族Ω:()2y tx t t =-∈R 的任意一条直线上，求0y 的取值范围及直线族Ω的包络曲线E 的方程；（3）在（1）（2）的条件下，过曲线E 上动点P 向圆M 做两条切线PA ，PB ，交曲线E 于点A ，B ，求PAB ∆面积S 的最小值.湖州、衢州、丽水2024年11月三地市高三教学质量检测试卷数学参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号12345678答案BCBCAADD二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.题号91011答案ACDBCACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.513.14.158四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（本小题满分13分）如图，在三棱锥P ABC -中，底面ABC 是边长为2的等边三角形，⊥PC 平面ABC ，点E 是PB 的中点，点F 在线段CE 上且:2:1CF EF =，G 为三角形ABC 的重心.（1）求证：GF ∥平面P AB ；（2）当PC 的长为何值时，二面角E AC B --的大小为60︒.解：（1）如图1，连接CG 并延长，交AB 与点H ，由于,G F 分别为,ABC PBC ∆∆重心，所以2CF CGFE GH==，故//GF EH ，……………………3分EH ⊂面PAB ，FG ⊄面PAB ，所以//FG 面PAB ．……………………6分（2）解法一：如图2，取线段BC 的中点D ，连接ED ，过点D 作DK AC ⊥，垂足为K ，连接EK .因为//,ED PC PC ABC ⊥平面，所以ED ABC ⊥平面，所以EKD ∠为二面角B AC E --的平面角，所以60EKD ∠= ……………………………………………………10分因为2DK =，所以32ED =，于是有3PC =．……………………13分解法二：如图3，以AC 的中点O 为坐标原点建立空间直角坐标系Ozxy ，设PC h =，则()0,1,0A -，)B，()0,1,0C，1,22h E ⎫⎪⎪⎝⎭.……………………8分设平面EAC 的一个法向量为()1,,n x y z =则1100n AC n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得3022220hz x y y ++=⎪⎨⎪=⎩取(,0,n h =，………………………………………………………………11分易得平面ABC 的一个法向量()20,0,1n =因为二面角E AC B --的大小为060，所以1212121cos ,2n n n n n n ⋅==，解得：3h =．………………………………………………………………13分图1图2图316.（本小题满分15分）在ABC∆中，角A，B，C对应的的三边分别是a，b，c，B=.（1）求角C的值；（2）若1=c，BA tan3tan2=，求ABC∆的面积.解：（1B=sin cosA B C B-=，…………2分sin cosB C B C B-=（+)，cos sinB C B=，.………………………………………………………………5分故2cos2C=，又0Cπ<<，所以4Cπ=．……………………………………………7分（2）若1=c ，tan 12tan 3tan 3tan )341tan A A B A Aπ-==-+=-⨯-（，22tan 5tan 30A A --=解得tan 3A =，1tan 2A =-（舍去），……………………10分则tan 2B =，所以sin A =，sin B =，由sin sin a cA C=，得a =，……13分故113sin 1225S ac B ==⨯⨯，ABC ∆的面积为53．……………………15分17.（本小题满分15分）已知数列{}n a 的首项是1，其前n 项和是n S ，且121++=+n a a n n ，*n ∈N .（1）求32,a a 的值及数列{}n a 的通项公式；（2）若存在实数λ，使得关于n 的不等式25n S n λ+≤，*n ∈N 有解，求实数λ取到最大值时n 的值.解：（1）由题可得当1n =时，21214a a =++=当2n =时，322219a a =+⨯+=．……………………2分当2n ≥时，121-=--n a a n n ，所以112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+ 2212331n n n =-+-++= ，……5分当1n =时，11a =也满足2n a n =，综上所述，数列{}n a 的通项公式为2n a n =．…………………………………7分（未检验1n =时的情形，扣1分）（2）由题可得25n n S λ≤-，设25n n b n S =-，若要使得关于n 的不等式25n S n λ+≤（*n ∈N ）有解，则()max n b ≤λ，当2n ≥时，2125250n n n b b a n --=-=-≥，则5n ≤，…………………………………12分故当4n =或5n =时，n b 的最大值为70，所以实数λ取到最大值70时，此时n 的值为4或5.………………………………………………………………………15分（λ最大值未给出不扣分）18.（本小题满分17分）已知函数()21ln 1x f x ax x -=+-（R a ∈）.（1）当1=a 时，求曲线()x f y =在点()()2,2f 处的切线方程；（2）若103a <≤，3,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，证明：()2f x <；（3）若1x >，恒有()32ln 22f x ≥+，求实数a 的取值范围.解：（1）()()()11211f x x x -'=+--（1x >或12x <），…………………………3分则()223f '=，又()2ln 32f =+，所以所求的切线方程为()()2ln 3223y x -+=-，即22ln 333y x =++．…………………5分（定义域未给出，扣1分）（2）()()()1211f x a x x -'=+--……………………7分因为322x ≤≤，所以()()1112113x x --≤≤---，而310≤<a ，所以()0f x '≤，故()f x 在区间3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，………………………………9分所以()3312ln 22ln 22222f x f ⎛⎫≤=+≤+< ⎪⎝⎭成立．………………………………10分（3）当32x =时，3332ln 22ln 2222f a ⎛⎫=+≥+ ⎪⎝⎭，所以1a ≥．………………………12分下证：当1a ≥，1x >时()32ln 22f x ≥+恒成立．令()21ln 1x g a xa x -=+-，1a ≥所以()()211ln1x g a g x x -≥=+-，………………………………………………………14分所以()21ln 1x f x x x -≥+-，令()21ln 1x x x x ϕ-≥+-，则()()()()()()2311211211x x x x x x x ϕ--'=+=----，当31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减，当3,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增，所以()332ln 222x ϕϕ⎛⎫≥=+ ⎪⎝⎭，所以a 的取值范围为[)1,+∞．……………………………………………………17分19.（本小题满分17分）直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如()R ∈+=k kx y 1表示过点()1,0的直线族（不包括直线y 轴），直线族的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.（1）圆()22:34M x y +-=是直线族1(,)mx ny m n +=∈R 的包络曲线，求,m n 满足的关系式；（2）若点()00,N x y 不在直线族Ω：()2y tx t t =-∈R 的任意一条直线上，求0y 的取值范围及直线族Ω的包络曲线E 的方程；（3）在（1）（2）的条件下，过曲线E 上动点P 向圆M 做两条切线PA ，PB ，交曲线E 于点A ，B .求PAB ∆面积S 的最小值.解：（1）由题可得，直线族1(,)mx ny m n +=∈R 为圆M 的切线，………………2分故满足，2d =，所以,m n 满足2254610n m n --+=．……………4分（2）将点()00,N x y 代入()2R y tx t t =-∈，可得关于t 的方程2000t x t y -+=，因为点()00,N x y 不在直线族()2R y tx t t =-∈上，故方程2000t x t y -+=无实数解，所以20040x y ∆=-<，那么2004x y >，故00y >因为区域2004x y >的边界为抛物线24x y =，…………………………………7分下证：24x y =是()2R y tx t t =-∈的包络曲线．证明：联立直线()2R y tx t t =-∈与24x y =，可得22440x tx t -+=，所以0∆=，故直线族Ω：()2R y tx t t =-∈为抛物线24x y =的切线.因此直线族Ω的包络曲线E 的方程为24x y =.…………………………………10分（3）设()11,A x y ，()22,B x y ，()22,P u u 则2111224PA y u x u k x u -+==-，故()11:2420PA x u x y ux +--=由直线PA 与M 相切，所以2d =，整理得()22111250u y ux u -++-=，1）同理可得，()22221250u y ux u -++-=，2）由1）2）可得直线()22:1250AB u y ux u -++-=．………………………………12分直线AB 与2:4C x y =联立得()22212504u y ux u x y ⎧-++-=⎪⎨=⎪⎩，（显然12≠u ）可得22228204011ux u x u u -++=--，由韦达定理可得21212228204,11u u x x x x u u -+=-⋅=--．因此(()222411u AB u+=-，………………………………………………14分由于点()22,P u u 到直线AB 的距离422251u u d u ++=+，所以PAB ∆面积为()()4222225251PAB S u u u ∆=++-，令21u m -=，则()824PAB S f m m m ∆⎛==++ ⎝，由()()01f m m '==≥-，解得4m =，所以()f m 在()0,4上单调递减，在()4,+∞上单调递增，那么()()min 4PAB S f ∆==25u =时取到），所以PAB ∆面积S的最小值是17分。

九师联盟2023届高三3月质量检测L理科数学含答案河南省多所名校高三大联考数学试题

九师联盟2023届高三3月质量检测L理科数学含答案河南省多所名校高三大联考数学试题

高三文科数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。

选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题 目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。

4.本试卷主要命题范围：高考范围。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。

1.若复数z 满足(1+i)²z=3+4i, 则 =2.已知全集U={x∈Z|x²-9x-10<0}, 集合A={x∈Z|(x -1)(8-x)≥0},B=(1,2,4,5,7,8}, 则Cu(A∩B)=A.(1,2,4,5,7}B.{0,3,6}C.(0,2,8,9}D.(0,3,6,9}3.在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点为0,始边与x 轴的非负半轴重合，终边与圆x²+y²=9 相交于),则A C.口4.已知平面向量a,b 满足|a|=2,a·b=1,|a+b|=√7, 则a,b 夹角的大小为A B.C.口5.将半径为6的半圆卷成一个无底圆锥(衔接处不重合),则该无底圆锥的体积为 A.27√3π B.27π C.9√3π D.9π6.执行如图所示的程序框图，则输出的S=AF+I D>202372 是 输出S 结 束【高三3月质量检测· 文科数学 第1页(共4页)】 L7.纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通、安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动.因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向.研究发 现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert 提出铅酸电池的容量C 、放电时间t 和放电 电流I 之间关系的经验公式：C=Pt, 其中λ为与蓄电池结构有关的常数(称为Peukert 常数),在电池 容量不变的条件下，当放电电流为15A 时，放电时间为30h; 当放电电流为50 A 时，放电时间为 7.5h,则该蓄电池的Peukert 常数λ约为(参考数据：lg 2≈0.301,lg 3≈0.477) A.1.12 B.1.13 C.1.14 D.1.15 8.在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c, 若 c=2,b=√7,,P 为△ABC 内一 点，AP ⊥,则BP=A.√2B.√3C.2D.59.已知F 是抛物线C:y²=2px(p>0) 的焦点，过点F 且斜率为2的直线l 与C 交 于A,B 两点，若 |AF| · |BF|=20, 则p=A.4B.3C.2D.1 10.已知函数f(x)= √ 1+sinx+ √ 1-sinx, 则下列结论错误的是A.π 为f(x) 的一个周期B.f(x) 的图象关于直线：C.f(x) 在上为增函数D.f(x) 的值域为[/2,2]11.设双曲线E:)的焦距为2c,离心率为e, 且a,c,a+c 成等比数列，A 是E 的一个顶点，F 是与A 不 在y 轴同侧的焦点，B 是E 的虚轴的一个端点，PQ 为E 的任意一条不过原点且斜率为k(k≠0) 的弦，M 为PQ 中点，0为坐标原点，则下列判断错误的是 A.E 的一条渐近线的斜率为VeB.AB ⊥BFC.koM·k=e(kax,k 分别为直线OM,PQ 的斜率)D.若 OP⊥OQ, 则-12.若,则A.be-e<ae-e"C.asin b+b<bsin a+aD.sin bcos a>sin a 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2024—2025学年度上学期普通高中高三第一次联合教学质量检测高三数学

2024—2025学年度上学期普通高中高三第一次联合教学质量检测高三数学

2024—2025学年度上学期普通高中高三第一次联合教学质量检测高三数学试卷本试卷共4页 满分150分，考试用时120分钟注意事项：1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合{}260M x x x =+−=∣，{}20,N x ax a =+=∈R ∣，且N M ⊆，则a 的取值不可以是（ ）． A ．2 B ．23 C ．0D ．1− 2．已知向量()cos ,sin a θθ= ，()2,1b =− ，若a b ⊥ ，则sin cos sin 3cos θθθθ++的值为（ ） A ．13 B ．35C ．45D ．233．已知等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 、n T ，若342n n S n T n +=+，则62102a b b +（ ） A ．11113 B ．3713 C ．11126 D ．37264．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行数学建模比赛，决出了第1名到第5名的名次(无并列情况).甲、乙、丙去询问成绩.老师对甲说：“你不是最差的.”对乙说：“很遗憾，你和甲都没有得到冠军.”对丙说：“你不是第2名.”从这三个回答分析，5名同学可能的名次排列情况种数为（ ）A ．44B ．46C ．48D ．545．已知直线1:0l x y C ++=与直线2:0l Ax By C ++=均过点()1,1，则原点到直线2l 距离的最大值为（ ） AB ．1 CD ．126．已知双曲线22:13x C y −=的右焦点为F ，过点F 的直线交C 于,A B 两点，若3FA FB ⋅= ，则直线AB 的斜率为（ ）ABC．D．7．已知函数()331f x x x =++，若关于x 的方程()()sin cos 2f x f m x ++=有实数解，则m 的取值范围为（ ）A ． −B ．[]1,1−C ．[]0,1D ．8．如图，在三棱锥A BCD −中，45ABC ∠=°，点P 在平面BCD 内，过P 作PQ AB ⊥于Q ，当PQ 与面BCD PQ 与平面ABC 所成角的余弦值是（ ）A B C D 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．设1z ，2z 为复数，且120z z ≠，则下列结论正确的是（ ）A ．1212z z z z =B ．1212z z z z +=+C ．若12=z z ，则2212z z =D ．1212z z z z ⋅=⋅10．已知2n >，且*n ∈N ，下列关于二项分布与超几何分布的说法中，错误的有（ ）A ．若1(,)3XB n ，则()22113E X n ++ B ．若1(,)3X B n ，则()4219D X n += C ．若1(,)3X B n ，则()()11P X P X n ===− D ．当样本总数远大于抽取数目时，可以用二项分布近似估计超几何分布11．“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯省所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点()()1122,,,A x y B x y 的曼哈顿距离()1212,d A B x x y y =−+−，则下列结论正确的是（ ）A ．若点()()1,3,2,4P Q ，则(),2d P Q =B ．若对于三点,,A BC ，则“()()(),,,d A B d A C d B C +=”当且仅当“点A 在线段BC 上”C ．若点M 在圆224x y +=上，点P 在直线280x y −+=上，则(),d P M 的最小值是8−D ．若点M 在圆224x y +=上，点P 在直线280x y −+=上，则(),d P M 的最小值是4 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．已知12,34a b a b ≤−≤≤+≤则93a b +的取值范围为 ．13．已知函数()cos 2sin 2sin f x x x x ωωω=−（0ω>）在()0,2π上有最小值没有最大值，则ω的取值范围是 .14．函数2e 12()e 21x x x h x −=++，不等式()22(2)2h ax h ax −+≤对R x ∀∈恒成立，则实数a 的取值范围是 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题13分）在锐角ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A 、B ，C 的对边，且()2sin 2sin a A b c B =−+()2sin c b C −. (1)求A 的大小；(2)求cos 2cos B C +的取值范围.16.（本小题15分）已知数列{}n a ，{}n b ，(1)2n n a =−+，1(0)n n n b a a λλ+=−>，且{}n b 为等比数列. (1)求λ的值；(2)记数列{}2n b n ⋅的前n 项和为n T .若()*2115N i i i T T T i ++⋅=∈，求i 的值.17.（本小题15分）如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，E F ､分别是棱,AB AD 的中点，G 为棱1DD 上的动点.(1)是否存在一点G ，使得1BC ∥面EFG ？若存在，指出点G 位置，并证明你的结论，若不存在，说明理由；(2)若直线EF 与平面CFG，求三棱锥1G EBC −的体积； (3)求三棱锥1B ACG −的外接球半径的最小值.18.（本小题17分） 已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点(M −，其右焦点为FF (cc ,0)，下顶点为B ，直线BF 与椭圆C 交于另一点D ，且3BF FD = ． (1)求椭圆C 的方程；(2)O 为坐标原点，过点M 作x 轴的垂线1l ，垂足为A ，过点A 的直线与C 交于P ，Q 两点，直线OP 与1l 交于点H ．直线OQ 与1l 交于点G ，设APH 的面积为1S ，AQG 的面积为2S ，试探究1212S S S S +是否存在最小值．若存在，求出此时直线PQ 的方程；若不存在，请说明理由．19.（本小题17分）设()h x ′为()h x 的导函数，若()h x ′在区间D 上单调递减，则称()h x 为D 上的“凸函数”．已知函数()2sin f x x ax ax =−++．(1)若()f x 为π0,2上的“凸函数”，求a 的取值范围； (2)证明：当1a =−时，()()()213ln 22g x f x x x x =++++++有且仅有两个零点．。

高三理质检卷数学试卷

高三理质检卷数学试卷

考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 函数 $y = 2^x$ 的图象与直线 $y = 2x + 1$ 的交点个数为（）。

A. 0B. 1C. 2D. 32. 已知等差数列 $\{a_n\}$ 的前三项分别为 $a_1, a_2, a_3$，且 $a_1 + a_3 = 10$，$a_2 = 6$，则该数列的公差为（）。

A. 2B. 3C. 4D. 53. 下列命题中正确的是（）。

A. 若 $a > b$，则 $a^2 > b^2$B. 若 $a > b$，则 $a - b > 0$C. 若 $a > b$，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$D. 若 $a > b$，则 $a^3 > b^3$4. 在直角坐标系中，点 $A(2, 3)$ 关于直线 $y = x$ 的对称点为（）。

A. $(3, 2)$B. $(2, 3)$C. $(-3, -2)$D. $(-2, -3)$5. 若等比数列 $\{a_n\}$ 的前三项分别为 $a_1, a_2, a_3$，且 $a_1 + a_2 + a_3 = 21$，$a_2 = 7$，则该数列的公比为（）。

A. 3B. $\frac{3}{2}$C. 2D. $\frac{2}{3}$6. 已知函数 $f(x) = x^3 - 3x + 1$，则 $f(-1)$ 的值为（）。

A. 1B. -1C. 0D. 37. 在等差数列 $\{a_n\}$ 中，若 $a_1 = 2$，$a_3 = 10$，则该数列的前10项和为（）。

A. 110B. 120C. 130D. 1408. 下列函数中，在定义域内是增函数的是（）。

A. $f(x) = -x^2 + 4x$B. $f(x) = x^3 - 3x$C. $f(x) = \frac{1}{x}$D. $f(x) = \sqrt{x}$9. 若 $a, b, c$ 是等差数列中的连续三项，且 $a + b + c = 18$，则 $b$ 的值为（）。

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高三第二次单元过关考试理 科 数 学本试卷分为选择题和非选择题两部分，共5页，满分150分.考试时间120分钟. 注意事项：1.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、县区和科类填写在答题卡上和试卷规定的位置上.2.第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上.3.第II 卷必须用0.5毫米黑色签字笔答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{}{}{}====Q P ，Q P ，b a Q a og P 则若0,,1,32A. {}0,3B. {}103，，C. {}203，，D. {}2103，，，2. 如图，若一个空间几何体的三视图中，正视图和侧视图都是直角三角形，其直角边均为1，则该几何体的体积为 A.13B.12C.16D.13.“=2πθ”是“曲线()sin y x θ=+关于y 轴对称”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件4.在等差数列{}()()135792354n a a a a a a ++++=中，，则此数列前10项的和10S = A.45B.60C.75D.905. 设向量()()cos ,1,2,sin a b αα=-= ，若a b ⊥ ，则tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭等于A.13-B.13C.3-D.36. 知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且等于则角B b a A ,1,3,3===πA.2π B.6π C.65π D.6π或65π7. 直线022=+-y x 经过椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的一个焦点和一个顶点，则椭圆的离心率为A.55B.21 C.552 D.32 8.若实数11.ea dx x =⎰则函数()sin cos f x a x x =+的图象的一条对称轴方程为A.0x =B.34x π=-C.4π-D.54x π=-9. 函数sin xy x=，(,0)(0,)x ππ∈- 的图象可能是下列图象中的10. 设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≥+-≤--01022022y x y x y x ，则11++=x y s 的取值范围是A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,1B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21C. []2,1D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,2111. 已知函数()cos()f x A x ωϕ=+(0,0,0)A ωϕπ>><<为奇函数，该函数的部分图象如图所示，EFG ∆是边长为2的等边三角形，则(1)f 的值为A．2-B．2-CD．12已知各项均不为零的数列{}n a ，定义向量*1),1,(),,(N n n n b a a c n n n n ∈+==+。

下列命题中真命题是A. {}是等比数列则数列成立总有若n n n a ，b c N n ⊥∈∀*B. {}是等比数列则数列成立总有若n n n a ，b c N n //*∈∀C. {}是等差数列则数列成立总有若n n n a ，b c N n ⊥∈∀*D. {}是等差数列则数列成立总有若n n n a ，b c N n //*∈∀第II 卷（共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把正确答案填写在答题纸给定的横线上.） 13. 已知点),(n m A 在直线022=-+y x 上，则nm 42+的最小值为 .14.已知F 是抛物线2y x =的焦点，M 、N 是该抛物线上的两点，3MF NF +=，则线段MN 的中点到x 轴的距离为__________.15. 圆C ：022222=--++y x y x 的圆心到直线01443=++y x 的距离是_______________. 16. 已知函数()f x 的定义域为[]1,5-，部分对应值如下表，()f x 的导函数()y f x '=的图像如图所示，给出关于()f x 的下列命题：①函数()2y f x x ==在时，取极小值 ②函数()[]0,1f x 在是减函数，在[]1,2是增函数，③当12a <<时，函数()y f x a =-有4个零点 ④如果当[]1,x t ∈-时，()f x 的最大值是2，那么的最小值为0，其中所有正确命题序号为_________.三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ，且s i n s i n s i n 2s i n a A b B c C a B+=+（I ）求角C ；（II 3cos 4A B π⎛⎫-+⎪⎝⎭的最大值.18.（本小题满分12分）已知数列{}n a 是递增数列，且满足1016·6253=+=a ，a a a 。

（1）若{}n a 是等差数列，求数列{}n a 的通项公式；（2）对于（1）中{}n a ，令32)7(nn n a b ⋅+=，求数列{}n b 的前n 项和n T 。

19.（本题满分12分）已知两点A ())(,),1,1(,sin ,cos OC x f B x x ==+。

（1）求)(x f 的对称轴和对称中心； （2）求)(x f 的单调递增区间。

20.（本小题满分12分）如图1，平面四边形ABCD 关于直线AC 对称，2,90,60==∠=∠CD C A，把△ABD 沿BD 折起（如图2），使二面角A ―BD ―C 的余弦值等于33。

对于图2，完成以下各小题：（1）求A ，C 两点间的距离； （2）证明：AC ⊥平面BCD ；（3）求直线AC 与平面ABD 所成角的正弦值。

21.（本小题满分12分）已知椭圆2222:1x y C a b+=()0a b >>13F 、2F 分别为椭圆C 的左、右焦点，过F 2的直线与C 相交于A 、B 两点，1FAB∆的周长为3（I ）求椭圆C 的方程；（II ）若椭圆C 上存在点P ，使得四边形OAPB 为平行四边形，求此时直线的方程.22.（本小题满分14分）已知函数()()ln f x x x ax a R =+∈（I ）若函数()f x 在区间)2,e ⎡+∞⎣上为增函数，求a 的取值范围；（II ）若对任意()()()1,,1x f x k x ax x ∈+∞>-+-恒成立，求正整数k 的值.高三第二次单元过关考试理 科 数 学（答案）选择题：BAAAB BCBCD DD 填空题：13.4 14.5415.3 16. ①③④18.解：（1）根据题意：,16,10535362=⋅+==+a a a a a a 又分所以解得且的两根是方程所以4.73,328,01610,3553253⋯⋯⋯⋯⋯⋯-====<=+-n a d ，，aa a a ，x x a a n（2）则,232)7(n nn n n a b ⋅=⋅+= 分所以得12.22)1(222,221)21(222222222)1(2)2(2221222)1(23222111111132111321321⋯⋯⋯⋯⋯⋯+⋅-=+-⋅=⋅---=⋅-++⋯+++=--⋅+⋅-+⋅-+⋯+⨯+⨯=⋅+⋅-+⋯+⨯+⨯+⨯=+++++-+--n n n n n n n nn n n n n n n n n n n T n n T ②，①②n n n T ①n n T19.解（1）由题设知，),sin ,(cos x x OA =……………………2分),sin 1,cos 1(),1,1(x x OB OA OC OB ++=+==则………………3分22)sin 1()cos 1()(x x x f +++==∴),4sin(223)cos (sin 23π++=++=x x x …………………………5分分对称中心是即对称中心横坐标满足分即对称轴是对称轴是9.),3,4(,4,,47.,4,,24⋯⋯⋯⋯⋯⋯∈-∴∈-=∈=+⋯⋯⋯⋯∈+=∈+=+∴Z k k Z ，k k x Z k k x Z k k x Z k k x πππππππππππ（2）当分单增时10)(,22422⋯⋯⋯⋯∈+≤+≤-，x f Z k k x k πππππ分的单增区间是1242,432)(,42432⋯⋯⋯⋯∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-∴∈+≤≤-Z k k k x f Z k k x k ππππππππ20.解：（1）取BD 的中点E ，连接AE ，CE ， 由AB=AD ，CB=CD 得，BD ，BD ，D，AE ⊥⊥AEC ∠∴就是二面角A ―BD ―C 的平面角，分133cos ⋯⋯⋯⋯⋯⋯=∠∴AEC 在△ACE 中，，，CE AE 26==分32,43326226穋os ·2222⋯⋯⋯⋯=∴=⨯⨯⨯-+=∠-+=AC AECCE AE CE AE AC （2）由AC=AD=BD=22，AC=BC=CD=2，分平面又分6490222222⋯⋯⋯⋯⋯⋯⊥∴=⊥⊥∴⋯⋯⋯⋯=∠=∠∴=+=+∴BCD AC C ，CD BC CD ，BC ，C，AC ACD ACB ，AD CD ，ACAB BC AC（3）以CB ，CD ，CA 所在直线分别为x 轴，y 轴和z 轴建立空间直角坐标系C －xyz ，则分7).0,2,0(),0,0,0(),0,0,2()200(⋯⋯⋯⋯D C ，B ，，A分的正弦为所成角与平面于是分则取即则的法向量为设平面12.3323200sin 9),1,1,1(,1,022022,00),,(⋯⋯⋯⋯⋯⋯=⨯++==⋯⋯⋯⋯====⎩⎨⎧=-=-⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅=ABD AC n z y x z y z x n n ，z y x n ABD θθ。

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