圆与圆的位置关系

数学同步教案

圆与圆的位置关系（一）

教学目标：掌握圆与圆的公切线，综合问题

教学重点：掌握圆与圆的公切线、综合问题

教学过程：

例1、已知两圆C1：x2+y2+4x-4y-5=0，C2：x2+y2-8x+4y+7=0。

(1)证明此两圆相切，并求过切点的公切线；(2)求过点(2，3)且与两圆相切于上述切点的圆的方程。

解：方法一(1)两圆的方程可化为：(x+2)2+(y-2)2=13，和(x-4)2+(y+2)2=13。

又知圆(x，y)到(1，0)的距离与到(2，3)的距离相等。∴(x-1)2+y2=(x-2)2+(y-3)2

方法二：(1)两圆方程相减得12x-8y-12=0，即3x-2y-3=0为根轴方程。

故根轴为所求的切线。

(3)设所求的圆的方程为

(x2+y2+4x-4y-5)+λ(x2+y2-8x+4y+7)=0，∵所求圆通过点(2，3)，将

故所求圆方程为3x2+3y2+24x-20y-27=0。

例2、斜率为1的圆x2+y2=4的一组平行弦的中点轨迹方程是_____

例3、已知圆方程(x-1)2+y2=1过原点O作圆的任意弦，则这些弦的中点M的轨迹方程是___

例4、点P在圆x2+y2-8x-4y+11=0上，点Q在圆：x2+y2+4x+2y-1=0上，则|PQ|的最小值是____

例5、自点A(-3，3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切，求光线l所在直线的方程．

【分析】由于直线l过A(-3，3)，因此欲求直线l的方程，只需求出其斜率k，这就要例出以k 为未知数的一个方程，而建立方程的依据是：∠AB1x′=∠P1Bx，B1P1和⊙C相切，如图，B1，B2是光线与x 轴交点，P1，P2是反射线与已知圆C的切点．

方法一：由∠AB1x′=∠PB1x，得入射线与反射线的斜率互为相反数，于是，设直线l的斜率为k，则：

=0．①

将k值分别代入方程①中，整理化简得方程：3x+4y-3=0或4x+3y+3=0．

方法二：借助一个间接未知数，设入射点B的坐标为(t，0)，则反

方法三：根据镜面反射原理知，既然反射线与⊙C相切，那么入射线所在直线一定和与⊙C关于x轴对称的⊙C′相切，C′的坐标为(2，

方法四：设两个未知数，列二元方程组

设入射线所在直线的方程为y-3=k(x+3)，反射线所在直线方程为y=-kx+b，由后者与⊙C相切，且入射线、反射线的横截距相等，得

课堂练习：略

小结：掌握圆与圆的公切线、综合问题

课后作业：略

数学同步教案

圆与圆的位置关系（二）

教学目标：掌握圆与圆的位置关系的判断

教学重点：掌握圆与圆的位置关系的判断

教学过程：

一、设两圆半径分别为R和r，圆心距为d：

二、

例1：一个动圆与直线x=5相切，且与圆x2+y2+2x-15=0外切，求动圆圆心的轨迹方程．

例2：已知两定圆⊙O1：(x-1)2+(y-1)2=1；⊙O2：(x+5)2+(y+3)2=4，动圆P(圆心、半径都是变化的)，恒将两定圆的周长平分，求动圆圆心P的轨迹方程．

例3：求与两圆C1：x2+y2=1和C2：x2+y2－8x+7=0都相切的圆的圆心轨迹．

例4：求以两相交圆C1：x2+y2+4x+y+1=0及C2：x2+y2+2x+2y+1=0的公共弦为直径的圆的方程

例5：若两圆在交点处的切线互相垂直，则称这两圆互相直交，求证两圆x2+y2+D1x+E1y+F1=0和x2+y2+D2x+E2y+F2=0互相直交的充要条件为D1D2+E1E2-2(F1+F2)=0

证明：当两圆直交时，两圆的圆心O1，O2和它们的交点A组成一直角三角形△AO1O2，

根据勾股定理得，两圆直交的充要条件为

即D1D2+E1E2-2(F1+F2)=0

课堂练习：略

小结：掌握圆与圆的位置关系的判断

课后作业：略