线代概统复习试卷

1 （1） a ； （2） P ( 1 X ) 。 2
解：(1)



f ( x)dx ax 2 dx …………………………1 分
0
1
1 a 1 …………………………2 分 3
所以 a 3 ………………………………3 分
两边同时对 y 求导，得
fY y
1 y 1 fX 2 2
2
( y 1) 1 e 4 , y ……6 分 2 2
（2） P (1 X
1 1 ) 2 f ( x)dx ………………………4 分 1 2 1 3 0
3 x 2 dx
1 …………………6 分 27
1, 0 x 2 y 2 1 4、已知 ( X , Y ) 的概率密度函数为 f ( x, y ) ，求： 其他 0,
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）
0 1 1 5、 （12 分）设 A ，求正交矩阵 P ，将矩阵 A 相似变换到对角阵， 1 0 1 1 1 0
并求出相应的对角阵。
1 1 2 解： E A 1 1 ( 2)( 1) ， 1 1
2
x1 , x2 , , xn 为来自总体的样本值。试分别求出参数 的矩估计值和最大似然估计值。
解：总体 X 的一阶原点矩为 1 E ( X ) 代替上述总体矩得到方程 x （2）似然函数为 L( )

1 0
x( 1) x dx
1 ˆ 1 2 x 。………………4 分 ，解得 的矩估计值为 2 x 1
内
不
要
3 。 8
年级/班级：
订
线
装
5 、 X e( ), Y U (0, 4) , 且 X 和 Y 相互独立 ，则 E ( X 2Y ) 6 , E ( XY ) 4 ,
1 2
1 1 diag (1, , ) B ………………………………………….5 分 2 3
D( X Y )
即 ln L( ) n ln( 1)
ln x ，令
i 1 i
n
d ln L( ) ˆ 1 0 ，解得 d
n
ln x
i 1
n
，
⑵ H 0 : 68
2
VS
H1 : 68
i
由于方差 未知，故采用 t 检验，拒绝域为 W {t t (n 1) 1.7531} ， 又由已知得
即 k1 k2 k3 0 ，所以1 2 ,2 3 ,3 1 也线性无关。……………………..6 分
(2) 0.977
2、 （8 分）设总体 X 的概率密度为 f ( x; )
( 1) x , 0 x 1, .其中参数 ( 1) 。 其他. 0,
解：因为 （A E）X =B ，且 A E =diag (1, 2,3) 可逆 所以 X =（A E） B ……………………………………. ……… 3 分
1
2、已知三阶方阵 A 的特征值为 1,1, 2 ，则 A2 5 A 2 16 。 3、已知 P ( A) 0.1, P( B) 0.5, P( A B) 0.4 ，则 P( A B ) 0.4 。 4、将 2 只球随机放入 4 个盒子，则第一个盒子只有一个球的概率为
16 。 3
二、选择题（每小题 3 分，共 15 分）
1、设 n 元齐次线性方程组 Ax 0 的系数矩阵 A 的秩为 r ，则 Ax 0 有非零解的充分必 要条件是（ (A) r n B ） (B) r n D (C) r n ） 。 (B) A, B 相互独立 (D) A, B 构成完备事件组
FY ( y ) P(Y y ) P(2 X 1 y ) ………………………………….2 分
P( X y 1 ) 2 y 1 FX ( ) ………………………………………4 分 2
2
3、设连续型随机变量 X 的概率密度函数为 f ( x)
ax 2 , 0 x 1 ，求： 其他 0,
2
一、填空题（每小题 3 分，共 15 分）
a11 a12 1、若 a21 a22 a31 a32 a13 2a21 a31 2a22 a32 a23 2 ，则 a11 a12 a33 a31 a32 2a23 a33 a13 4 。 a33
题
5、设 X 1 , X 2 , X 3 为来自总体 X N (0,1) 的样本，则 X 1 (A) N (0, 2) (B) 2 (2) (C) t (2)
《线性代数与概率统计》期末试卷 A 卷答案 本卷共 4 页第 2 页
四、解答与证明题（共 40 分）
1、 （6 分）某微机系统有100 个终端, 每个终端有10% 的时间在使用, 若各终端使用与 否 是 相 互 独 立 的 , 试 用 中 心 极 限 定 理 计 算 有 不 超 过 16 个 终 端 在 使 用 的 概 率 。 （ (2) 0.977 ） 。 解：某时刻在使用的终端数 X ~ B(100, 0.1) ， np 10, np (1 p ) 9 …………2 分
1 ；以一阶样本矩 a1 x 2
( 1) x ( 1) ( x x x ) ，
n i 1 i 1 2 n
n
( x t 2 (n 1) s / n , x t 2 (n 1) s / n ) (58.78, 73.82) ……………………3 分

1 …………………………………6 分 2
5、 X N (0,1） ， Y 2 X 1 , 求 Y 的密度函数。
(ai 2) …………………………………………………6 分
i 1
n
1 x2 解：因为 X N (0,1） ，所以 f X ( x) e , x 2

1 1 (1, 0,1)T ,2 (1, 2,1)T , 将 3 单位化后得到 2 6
1 3 (1, 1,1)T 。则有正交阵 P (1 ,2 ,3 ) 3
1 1 1 。 an 1
（1） X 的边际密度函数； （2） P ( X Y 1, X 0, Y 0) 解： （1） f X ( x )



f ( x, y )dy ………………………………………1 分
1 0 0 …………………………4 分 an 2
注意到
d ln L( ) ˆ 1 0 ，故所求 的最大似然估计值为 d 2
2
n
t
。…………8 分
i
x 68 0.708 1.7531 s/ n
ln x
i 1
n
故接受 H 0 ，则不能够说明新漆的干燥时间小于 68 分钟。………………………..8 分
《线性代数与概率统计》期末试卷 A 卷答案
(D) 4 C ） 。
学号：
题号 分值பைடு நூலகம்得分
一 15
二 15
三 30
四 40
五
六
七
八
总分 100
4、二次型 f ( x1 , x2 ) x12 tx1x2 4x22 为正定二次型，则（ (A) t 4 (B) t 4
(C) t 4 或 t 4 (D) 4 t 4
3、 （6 分）设1 , 2 ,3 线性无关，证明：1 2 ,2 3 ,3 1 也线性无关。 证明：设 k1 (1 2 ) k2 (2 3 ) k3 (3 1 ) 0 ……………………………………...1 分 则 (k1 +k3 )1 (k1 k2 )2 （k2 k3 )3 0
1 x2 2 1 x 2 , 1 x 1 1dy, 1 x 1 = 1 x2 = …3 分 0, 其他 0, 其他
（2） P ( X Y 1, X 0, Y 0)=
dx
0
1
1 x
0
dy ………………………5 分
滁州学院 2015/2016 学年度第一学期期末考试试卷答案
信息学院（本）各专业 2014 级《线性代数与概率统计》A 卷（时间 120 分钟）
3、二维随机变量 ( X , Y ) 有 D ( X ) 2，D (Y ) 8， XY (A) 1 (B) 2 (C) 3
1 。 , 则 Cov( X , Y ) （ B ） 2
( X 2 X 3 )2 （ 2
(D) F (1, 2)
B
） 。
姓名：
答
三、计算题（每小题 6 分，共 30 分）
2 0 0 1 1 0 3 0 , B 2 0 1、若 AX B X , ，且 A ，求矩阵 X 。 1 3 0 0 4
专业：
(D) r n
2、事件 A, B 互为对立事件等价于（ (A) A, B 互不相容 (C) 若 A B
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1 1 1 1 a1 1 1 1 a2 1 2、计算行列式 A 1 1 1 1 1 1 1 0 a1 2 0 0 a2 2 解： A 0 0 0 0
P ( X 16)
P(
X 10 16 10 ) 3 3
……………………………4 分 ……………………………………6 分
k1 k3 0 以为1 , 2 ,3 线性无关，所以 k1 k2 0 ……………………………………………4 分 k k 0 2 3
《线性代数与概率统计》期末试卷 A 卷答案
1 0 1 0 2 0 0
0 1 1 1 1 0 2 0 1 0 ………………………6 分 1 1 3 1 1 3 3
解得 A 的特征值为 1 2 1 ， 3 2 。……………………………………………….2 分 对应 1 2 1 ，解齐次方程组 ( E A) x 0 ，得基础解系 1 (1,0, 1)T , 2 (0,1, 1)T 。 对应 3 2 ，解齐次方程组 (2 E A) x 0 ，得基础解系 3 (1, 1,1)T 。……..8 分 将 1 , 2 正交化，单位化得到 1

4、 （8 分）一油漆商希望知道某种新的内墙漆的干燥时间。在面积相同的 16 块内墙上做实验， 记录了干燥时间（以分计） ，得样本均值和样本标准差分别为 x 66.3 分， s=9.6 分，设样本 来自正态总体 N ( , 2 ), , 2 均未知， （1） 求 的置信水平为 95% 的置信区间； （2） 0.05 的显著性水平下，能否说明这种新漆的平均干燥时间小于 68 分钟。 （ t0.05 (9) 1.883 ， t0.025 (15) 2.1315 ， t0.05 (15) 1.7531 ） 解：(1)由于方差 未知，故 的1 置信区间为