亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理
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哈米顿(Hamilton)算子
是一个矢量性微分算子，因此它在计算时 具有矢量性和微分性双重性质 作用在一个数性或矢性函数上时， 其方式仅有三种：u， A， A
5
场、数量场、梯度
定义梯度
u u u G i j k x y z u G l l
6
场、数量场、梯度
梯度在给定点处为一固定矢量。 梯度在某一方向上的投影等于函数在该
方向上的方向导数。
梯度的方向就是函数方向导数最大的方
向，其模也等于该最大变化率的数值。
7
场、数量场、梯度
(rot a ) n lim
C
a dl ΔS n
ΔS n 0
空间中一点 环流状态
矢量场 的旋度也是矢量场。 如果场内rota=0 总是成立，则该矢量场无旋。
14
§1.5矢量的环量、旋度(P22-23)
因此旋度在z轴投影（分量）：
ΔS z 指面元法
向沿z轴
(rot a ) z lim
A dl
l
18
旋度的公式
(c A) c A ( A B) A B (u A) u A u A ( A B) B A A B dA A(u ) u du (u ) 0 ( A) 0
《电磁场与电磁波》第3讲
矢量分析（2） 教师姓名： 宗福建 单位： 山东大学微电子学院 2018年3月13日
场、数量场、梯度
数量场的等值线： 比如地形图上的等高线，气象图上的等 温线、等压线等。
2
场、数量场、梯度
方向导数的定义 ◦ 设M0为数量场 u=u(M) 中的一点，从M0出发引 一条射线L，在L上点M0的临近取一动点M，记
为L方向上的方向余弦，则
l cos i cos j cos k u u u u cos cos cos l x y z
4
场、数量场、梯度
方向导数的定义
l cos i cos j cos k u u u u cos cos cos l x y z u u u ( i j k) l x y z
19
Hamiltonian Operator
i j k x y z gradu u (i j k )u x y z Ax Ay Az div A A x y z i rot A A x Ax j y Ay k z Az
s V
12
A lim
A d S
s
V 0
V
( A)dV
A d S
s
V
V
A d S
s
13
§1.5矢量的环量、旋度
矢量a沿闭合曲线C的线积分称为 a的环路积分（环流量）：
C
a dl
闭合曲线C，及其包围的面元S ，n 为S 的右旋单位法向 矢量。 S 趋于0，环积分也趋于0， 其比的极限为矢量a 的 旋度在n 上的投影。
div A lim
s
A dS V
V 0
Ax Ay Az A x y z
11
散度的公式
div A A ( A B) A B (u A) u A (u ) A dA A(u ) u du
A d S ( A)dV
引入哈米顿(Hamilton)算子
i j k x y z grad (u ) u
8
梯度运算的一些基本公式
(1)c 0, (c为常量) (2)(cu ) cu, (c为常量) (3)(u v) u v (4)(uv) uv vu u vu uv (5)( ) 2 v v (6)f (u ) f '(u )u
用行列式表示：
ˆx e a x ax
ˆy e y ay
ˆz e z az
16
旋度的公式
rot A A
l
A dl ( A) d S
S
17
A dl A lim
s 0
s
S
A dl ( A) d S s s
§1.5矢量的环量、旋度
用哈密顿算符表示：
ˆx e ˆy e ˆz ) ( a x e ˆx a y e ˆy az e ˆz ) rota a ( e x y z a y a x a x a z a z a y ˆx ( ˆy ( ˆz ( )e )e )e y z z x x y
M0M的长度为ρ ，若当MM0时，
u
u(M ) u(M 0 ) M0M
的极限存在，则称它为函数u(M)在点M0处沿L方 向的方向导数。
3
场、数量场、梯度
方向导数的定义 ◦ 方向导数是函数u(M)在一个点处沿某一方向对距 离的变化率。
◦ 在直角坐标系中，u=u(x,y,z), Cosα , Cosβ, Cosγ
9
矢量场的通量及散度
通量的定义：
◦ 设有矢量场A(M)，沿某一有向曲面S的曲 面积分
An ds A d S
s s
( Ax dydz Ay dxdz Az dxdy)
s
◦ 叫做矢量场A(M)正向穿过曲面S的通量。
来自百度文库10
矢量场的通量及散度
散度的定义：(P18-19)
同理可得x, y轴分量 旋度表达式：
C
a dl ΔS z
ΔS z 0
a x x y
a y
a y ax ax az az a y ˆx ( ˆy ( ˆz rota ( )e )e )e y z z x x y
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哈米顿(Hamilton)算子
是一个矢量性微分算子，因此它在计算时 具有矢量性和微分性双重性质 作用在一个数性或矢性函数上时， 其方式仅有三种：u， A， A
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场、数量场、梯度
定义梯度
u u u G i j k x y z u G l l
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场、数量场、梯度
梯度在给定点处为一固定矢量。 梯度在某一方向上的投影等于函数在该
方向上的方向导数。
梯度的方向就是函数方向导数最大的方
向，其模也等于该最大变化率的数值。
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场、数量场、梯度
(rot a ) n lim
C
a dl ΔS n
ΔS n 0
空间中一点 环流状态
矢量场 的旋度也是矢量场。 如果场内rota=0 总是成立，则该矢量场无旋。
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§1.5矢量的环量、旋度(P22-23)
因此旋度在z轴投影（分量）：
ΔS z 指面元法
向沿z轴
(rot a ) z lim
A dl
l
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旋度的公式
(c A) c A ( A B) A B (u A) u A u A ( A B) B A A B dA A(u ) u du (u ) 0 ( A) 0
《电磁场与电磁波》第3讲
矢量分析（2） 教师姓名： 宗福建 单位： 山东大学微电子学院 2018年3月13日
场、数量场、梯度
数量场的等值线： 比如地形图上的等高线，气象图上的等 温线、等压线等。
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场、数量场、梯度
方向导数的定义 ◦ 设M0为数量场 u=u(M) 中的一点，从M0出发引 一条射线L，在L上点M0的临近取一动点M，记
为L方向上的方向余弦，则
l cos i cos j cos k u u u u cos cos cos l x y z
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场、数量场、梯度
方向导数的定义
l cos i cos j cos k u u u u cos cos cos l x y z u u u ( i j k) l x y z
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Hamiltonian Operator
i j k x y z gradu u (i j k )u x y z Ax Ay Az div A A x y z i rot A A x Ax j y Ay k z Az
s V
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A lim
A d S
s
V 0
V
( A)dV
A d S
s
V
V
A d S
s
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§1.5矢量的环量、旋度
矢量a沿闭合曲线C的线积分称为 a的环路积分（环流量）：
C
a dl
闭合曲线C，及其包围的面元S ，n 为S 的右旋单位法向 矢量。 S 趋于0，环积分也趋于0， 其比的极限为矢量a 的 旋度在n 上的投影。
div A lim
s
A dS V
V 0
Ax Ay Az A x y z
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散度的公式
div A A ( A B) A B (u A) u A (u ) A dA A(u ) u du
A d S ( A)dV
引入哈米顿(Hamilton)算子
i j k x y z grad (u ) u
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梯度运算的一些基本公式
(1)c 0, (c为常量) (2)(cu ) cu, (c为常量) (3)(u v) u v (4)(uv) uv vu u vu uv (5)( ) 2 v v (6)f (u ) f '(u )u
用行列式表示：
ˆx e a x ax
ˆy e y ay
ˆz e z az
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旋度的公式
rot A A
l
A dl ( A) d S
S
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A dl A lim
s 0
s
S
A dl ( A) d S s s
§1.5矢量的环量、旋度
用哈密顿算符表示：
ˆx e ˆy e ˆz ) ( a x e ˆx a y e ˆy az e ˆz ) rota a ( e x y z a y a x a x a z a z a y ˆx ( ˆy ( ˆz ( )e )e )e y z z x x y
M0M的长度为ρ ，若当MM0时，
u
u(M ) u(M 0 ) M0M
的极限存在，则称它为函数u(M)在点M0处沿L方 向的方向导数。
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场、数量场、梯度
方向导数的定义 ◦ 方向导数是函数u(M)在一个点处沿某一方向对距 离的变化率。
◦ 在直角坐标系中，u=u(x,y,z), Cosα , Cosβ, Cosγ
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矢量场的通量及散度
通量的定义：
◦ 设有矢量场A(M)，沿某一有向曲面S的曲 面积分
An ds A d S
s s
( Ax dydz Ay dxdz Az dxdy)
s
◦ 叫做矢量场A(M)正向穿过曲面S的通量。
来自百度文库10
矢量场的通量及散度
散度的定义：(P18-19)
同理可得x, y轴分量 旋度表达式：
C
a dl ΔS z
ΔS z 0
a x x y
a y
a y ax ax az az a y ˆx ( ˆy ( ˆz rota ( )e )e )e y z z x x y
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