14第3章紊动扩散 环境水力学 教学课件
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字母上方的“—”示取统计平均(例如取时间平均);
C1、C2 、C3均为常量。
第三节 紊流统计量和紊流尺度
一、紊流的分类 ❖ 在均匀紊流中，如果各种物理量的统计平均值还与方
向无关，亦即当坐标轴作任何旋转或镜射时，各种物 理量的统计平均值仍保持不变，例如有
v 1' v 2' v 3'
v1'2 v2'2 v3'2 则称这种紊流为均匀各向同性紊流，或简称为各向同性
三、拉格朗日相关和紊流尺度
第三节 紊流统计量和紊流尺度
u i(t )
ui(t )
相应的相关系数为：
图 拉格朗日相关流速分量示意图
RLi() ui(t)ui(t) ui2(t) ui2(t)
如果紊流场是平稳的，上式变为：
(3-3-7)
RLi()ui(t)uuii(2t )
(3-3-8)
第三节 紊流统计量和紊流尺度
ui(a)ui(a)
第三节 紊流统计量和紊流尺度
u
' i
x
xa
xa + Dx
图 脉动流速分量示意图
指同一瞬时、不同两点的 同一方向脉动流速分量的 乘积的统计平均值。
第三节 紊流统计量和紊流尺度
相应的相关系数为:
Ri(a,) ui(a)ui(a) ui2(a) ui2(a)
(3-3-1)
对均匀紊流有:
ui2(a)ui2(a)ui2
均匀紊流的欧拉空间相关系数为:
Ri()ui(a)u uii2(a)
(3-3-2)
当ξ等于零时，Ri(ξ)应等于1；ξ愈大，Ri(ξ)愈小; 当ξ超过一定的值，Ri(ξ)渐趋于零(两点分别位于不同的涡体）。
Ri()ui(a)u uii2(a)
第三节 紊流统计量和紊流尺度
在 i 方向上，拉格朗日时间平均尺度的定义为：
TLi0 RL(i)d
(3-3-9)
其中假想的以TLi为底的矩形面 积与RLi曲线下的面积相等。它 反映同一质点，不同时刻的随 机变量之间保持有关所经历的 时间长度。
图 拉格朗日时间平均尺度
第三节 紊流统计量和紊流尺度
在 i 方向上，拉格朗日时间平均尺度的定义为：
LEi 0Ri()d
(3-3-5)
LEi 0Ri()d
第三节 紊流统计量和源自文库流尺度
图 欧拉空间平均尺度LEi
图中假想的矩形面积与Ri(ξ)曲线下的面积相等。 LEi的意义是体现了涡体尺度在i方向上的空间平均值。
第三节 紊流统计量和紊流尺度
(2)欧拉时间平均尺度 类似地，当紊流场是平稳的，可以用时间相关系数定义时 间平均尺度：
TEi0 Ri()d
(3-3-6)
三、拉格朗日相关和紊流尺度
从拉格朗日观点出发，一 个液体质点在运行过程中的脉 动流速的相关矩定义为：
第三节 紊流统计量和紊流尺度
u i(t )
ui(t )
ui(t)ui(t )
图 拉格朗日相关流速分量示意图
指跟踪一个质点看，在不同时刻、同一方向的脉动流速分量 的乘积的统计平均值。
❖ 在剪切紊流中，存在着尺度由大到小的一系列涡体。研究 证实，大涡区和中涡区受外界条件的明显影响，不是各向 同性的，但小涡区不受外界条件的直接影响，常近似地具 有各向同性的性质，这称为局部各向同性。
第三节 紊流统计量和紊流尺度
在紊流中，常要分析两个脉动流速分量的相关矩(即协方 差)，它们表征着紊动的重要性质。
TLi0RL(i)d
(3-3-9)
拉格朗日空间平均尺度（或称为扩散平均尺度）定义为：
图 欧拉空间相关系数 Ri(x)
2、欧拉时间相关 定义为:
ui(t)ui(t )
相应的相关系数为:
第三节 紊流统计量和紊流尺度
指同一空间点，同一方向的脉 动流速分量，在不同瞬时(相隔
时段为 )的乘积的统计平均值。
Ri(t,) ui(t)ui(t) ui2(t) ui2(t)
(3-3-3)
如果紊流在恒定流中发生，紊流场是平稳的，便有:
二、欧拉相关和紊流尺度
1、欧拉空间相关 定义为：
ui(a)ui(a)
u
' i
xa
x xa + Dx
图 脉动流速分量示意图
其中:
u
' i
为在i方向上的脉动流速分量；
a 为a点的某一方向的坐标，例如取为xa或ya ;
a + 为另一点的同一方向的坐标，相应为xa + Dx 或
ya + Dy。
1、欧拉空间相关 定义为：
定，扰动才能发展形成紊流。
第三节 紊流统计量和紊流尺度
一、紊流的分类
❖ 紊流按其流动特点可分为可分两大类：均匀各向同性紊流 和剪切紊流。
❖ 在均匀紊流中，各种物理量的统计平均值当坐标平移时, 均保持不变，例如有:
u u u 1 2C 1, 2 2C 2, 3 2C 3
式中：u1 、u2 、u3 分别为沿三条直角坐标的脉动流速分量；
第三节 紊流统计量和紊流尺度
3、欧拉紊流尺度（比尺）
（1）欧拉空间平均尺度
对均匀紊流来说，取距离为ξ的两点，如果涡体的平均 尺度较大，两点处于同一涡体，则空间相关系数Ri(ξ) 就大；
如果涡体平均尺度小，两点分别处于两个涡体中， Ri(ξ)就小。
Ri(ξ)与涡体平均尺度有密切关系。
涡体空间在i方向上的空间平均尺度定义为：
u u u i 2(t) i 2(t) i 2
所以恒定流的欧拉时间相关系数为:
Ri ()
ui(t)ui(t ui2
)
(3-3-4)
第三节 紊流统计量和紊流尺度
3、欧拉紊流尺度（比尺） ➢从紊流统计理论看，其空间点的脉动量可以视为各种不同
尺度(或不同脉动频率)的涡体经过该点所造成的涨落，较 大尺度涡体包含着较小尺度涡体。 ➢大尺度涡体频率低，小尺度涡体频率高。 ➢由相关系数的概念，引入涡体的平均尺度(积分尺度)。
紊流。 ❖ 各向同性紊流只是一种理想化的最简单的紊流
u12 u22 u32
第三节 紊流统计量和紊流尺度
❖ 凡不满足均匀性要求的紊流（当然也不满足各向同性）,称 为剪切紊流。
❖ 当紊流中存在切应力时，就有流速梯度，导致各处的紊流 统计量不相同，从而破坏了紊流的均匀性和各向同性。这 种紊流是最常见的，它比各向同性紊流复杂得多。
第三节 紊流统计量和紊流尺度
紊流的特性
脉动性：各种流动参量如流速、压力等的值呈现强烈的 脉动现象，具有一定的随机性
不规则性：流体质点做极不规则的运动 扩散性：流体的各项特性如动量、能量、温度和含有物
质的浓度等通过紊动向各方向传递 三维有涡性：紊流是有涡运动，而且总具有三维的特性 大雷诺数：流体的雷诺数超过某个临界值后，流动不稳
C1、C2 、C3均为常量。
第三节 紊流统计量和紊流尺度
一、紊流的分类 ❖ 在均匀紊流中，如果各种物理量的统计平均值还与方
向无关，亦即当坐标轴作任何旋转或镜射时，各种物 理量的统计平均值仍保持不变，例如有
v 1' v 2' v 3'
v1'2 v2'2 v3'2 则称这种紊流为均匀各向同性紊流，或简称为各向同性
三、拉格朗日相关和紊流尺度
第三节 紊流统计量和紊流尺度
u i(t )
ui(t )
相应的相关系数为：
图 拉格朗日相关流速分量示意图
RLi() ui(t)ui(t) ui2(t) ui2(t)
如果紊流场是平稳的，上式变为：
(3-3-7)
RLi()ui(t)uuii(2t )
(3-3-8)
第三节 紊流统计量和紊流尺度
ui(a)ui(a)
第三节 紊流统计量和紊流尺度
u
' i
x
xa
xa + Dx
图 脉动流速分量示意图
指同一瞬时、不同两点的 同一方向脉动流速分量的 乘积的统计平均值。
第三节 紊流统计量和紊流尺度
相应的相关系数为:
Ri(a,) ui(a)ui(a) ui2(a) ui2(a)
(3-3-1)
对均匀紊流有:
ui2(a)ui2(a)ui2
均匀紊流的欧拉空间相关系数为:
Ri()ui(a)u uii2(a)
(3-3-2)
当ξ等于零时，Ri(ξ)应等于1；ξ愈大，Ri(ξ)愈小; 当ξ超过一定的值，Ri(ξ)渐趋于零(两点分别位于不同的涡体）。
Ri()ui(a)u uii2(a)
第三节 紊流统计量和紊流尺度
在 i 方向上，拉格朗日时间平均尺度的定义为：
TLi0 RL(i)d
(3-3-9)
其中假想的以TLi为底的矩形面 积与RLi曲线下的面积相等。它 反映同一质点，不同时刻的随 机变量之间保持有关所经历的 时间长度。
图 拉格朗日时间平均尺度
第三节 紊流统计量和紊流尺度
在 i 方向上，拉格朗日时间平均尺度的定义为：
LEi 0Ri()d
(3-3-5)
LEi 0Ri()d
第三节 紊流统计量和源自文库流尺度
图 欧拉空间平均尺度LEi
图中假想的矩形面积与Ri(ξ)曲线下的面积相等。 LEi的意义是体现了涡体尺度在i方向上的空间平均值。
第三节 紊流统计量和紊流尺度
(2)欧拉时间平均尺度 类似地，当紊流场是平稳的，可以用时间相关系数定义时 间平均尺度：
TEi0 Ri()d
(3-3-6)
三、拉格朗日相关和紊流尺度
从拉格朗日观点出发，一 个液体质点在运行过程中的脉 动流速的相关矩定义为：
第三节 紊流统计量和紊流尺度
u i(t )
ui(t )
ui(t)ui(t )
图 拉格朗日相关流速分量示意图
指跟踪一个质点看，在不同时刻、同一方向的脉动流速分量 的乘积的统计平均值。
❖ 在剪切紊流中，存在着尺度由大到小的一系列涡体。研究 证实，大涡区和中涡区受外界条件的明显影响，不是各向 同性的，但小涡区不受外界条件的直接影响，常近似地具 有各向同性的性质，这称为局部各向同性。
第三节 紊流统计量和紊流尺度
在紊流中，常要分析两个脉动流速分量的相关矩(即协方 差)，它们表征着紊动的重要性质。
TLi0RL(i)d
(3-3-9)
拉格朗日空间平均尺度（或称为扩散平均尺度）定义为：
图 欧拉空间相关系数 Ri(x)
2、欧拉时间相关 定义为:
ui(t)ui(t )
相应的相关系数为:
第三节 紊流统计量和紊流尺度
指同一空间点，同一方向的脉 动流速分量，在不同瞬时(相隔
时段为 )的乘积的统计平均值。
Ri(t,) ui(t)ui(t) ui2(t) ui2(t)
(3-3-3)
如果紊流在恒定流中发生，紊流场是平稳的，便有:
二、欧拉相关和紊流尺度
1、欧拉空间相关 定义为：
ui(a)ui(a)
u
' i
xa
x xa + Dx
图 脉动流速分量示意图
其中:
u
' i
为在i方向上的脉动流速分量；
a 为a点的某一方向的坐标，例如取为xa或ya ;
a + 为另一点的同一方向的坐标，相应为xa + Dx 或
ya + Dy。
1、欧拉空间相关 定义为：
定，扰动才能发展形成紊流。
第三节 紊流统计量和紊流尺度
一、紊流的分类
❖ 紊流按其流动特点可分为可分两大类：均匀各向同性紊流 和剪切紊流。
❖ 在均匀紊流中，各种物理量的统计平均值当坐标平移时, 均保持不变，例如有:
u u u 1 2C 1, 2 2C 2, 3 2C 3
式中：u1 、u2 、u3 分别为沿三条直角坐标的脉动流速分量；
第三节 紊流统计量和紊流尺度
3、欧拉紊流尺度（比尺）
（1）欧拉空间平均尺度
对均匀紊流来说，取距离为ξ的两点，如果涡体的平均 尺度较大，两点处于同一涡体，则空间相关系数Ri(ξ) 就大；
如果涡体平均尺度小，两点分别处于两个涡体中， Ri(ξ)就小。
Ri(ξ)与涡体平均尺度有密切关系。
涡体空间在i方向上的空间平均尺度定义为：
u u u i 2(t) i 2(t) i 2
所以恒定流的欧拉时间相关系数为:
Ri ()
ui(t)ui(t ui2
)
(3-3-4)
第三节 紊流统计量和紊流尺度
3、欧拉紊流尺度（比尺） ➢从紊流统计理论看，其空间点的脉动量可以视为各种不同
尺度(或不同脉动频率)的涡体经过该点所造成的涨落，较 大尺度涡体包含着较小尺度涡体。 ➢大尺度涡体频率低，小尺度涡体频率高。 ➢由相关系数的概念，引入涡体的平均尺度(积分尺度)。
紊流。 ❖ 各向同性紊流只是一种理想化的最简单的紊流
u12 u22 u32
第三节 紊流统计量和紊流尺度
❖ 凡不满足均匀性要求的紊流（当然也不满足各向同性）,称 为剪切紊流。
❖ 当紊流中存在切应力时，就有流速梯度，导致各处的紊流 统计量不相同，从而破坏了紊流的均匀性和各向同性。这 种紊流是最常见的，它比各向同性紊流复杂得多。
第三节 紊流统计量和紊流尺度
紊流的特性
脉动性：各种流动参量如流速、压力等的值呈现强烈的 脉动现象，具有一定的随机性
不规则性：流体质点做极不规则的运动 扩散性：流体的各项特性如动量、能量、温度和含有物
质的浓度等通过紊动向各方向传递 三维有涡性：紊流是有涡运动，而且总具有三维的特性 大雷诺数：流体的雷诺数超过某个临界值后，流动不稳