高中数学三角函数专题专项练习非常好

【三角函数疑难点拔】 一、 忽略隐含条件

例3． 若01cos sin >-+x x ，求x 的取值范围。

正解：1)4sin(2>+πx ，由22)4sin(>+πx 得)(432442Z k k x k ∈+<+<+πππππ∴)(2

22Z k k x k ∈+

<<π

ππ

二、 忽视角的范围，盲目地套用正弦、余弦的有界性 例4． 设α、β为锐角，且α+β︒=120，讨论函数βα22cos cos +=y 的最值。

错解

)cos(2

1

1)cos()cos(1)2cos 2(cos 211βαβαβαβα--=-++=++=y ，可见，当1)cos(

-=-βα时，

2

3max =

y ；当1)cos(=-βα时，21min =y 。分析：由已知得︒<<︒90,30βα，∴︒<-<︒-6060βα，则

1)cos(2

1≤-<βα，∴当1)cos(=-βα，即︒==60βα时，21

min =y ，最大值不存在。

三、 忽视应用均值不等式的条件

例5． 求函数)20,0(sin cos 2

222π

<<>>+=x b a x

b x a y 的最小值。 错解 )12sin 0(42sin 4cos sin 2sin cos )2()

1(2222≤<≥=≥+=x ab x ab x x ab x

b x a y ，∴当12sin =x 时，ab y 4min =

分析：在已知条件下，（1）、（2）两处不能同时取等号。正解： 2

222

222222222)(2)cot tan ()cot 1()tan 1(b a ab b a x b x a b a x b x a y +=++≥+++=+++=，

当且仅当x b x a cot tan =，即a

b x =

tan ，时，

2min )(b a y +=

【经典题例】

例4：已知b 、c 是实数，函数f(x)=c bx x ++2

对任意α、β∈R 有：,0)(sin ≥αf 且,0)cos 2(≤+βf

（1）求f （1）的值；（2）证明：c 3≥；（3）设)(sin αf 的最大值为10，求f （x ）。

[思路]（1）令α=2

π

，得,0)1(≥f 令β=π，得,0)1(≤f 因此,0)1(=f ；（2）证明：由已知，当11≤≤-x 时，,

0)(≥x f 当31≤≤

x 时，,0)(≤x f 通过数形结合的方法可得：,0)3(≤f 化简得c 3≥；

（3）由上述可知，[-1，1]是)(x f 的减区间，那么

,10)1(=-f 又,0)1(=f 联立方程组可得4,5=-=c b ,所以45)(2+-=x x x f

例5：关于正弦曲线回答下述问题：

（1）函数)43sin(log 2

1x

y ππ-=的单调递增区间是？ Z k k x k ∈+<≤-]348328[；

（2）若函数x a x y 2cos 2sin +=的图象关于直线8

π

=x 对称，则a 的值是 1 ；

（3）把函数)4

3sin(π+=x y 的图象向右平移8π

个单位，再将图象上各点的横坐标扩大到原来的3倍（纵坐标不变），则所得

的函数解析式子是 )8

sin(π

-=x y ；

例6：函数x

x x

x f cos sin 12sin )(++=，（1）求f(x)的定义域；（2）求f(x)的最大值及对应的x 值。

[思路]（1）{x|x 2

22π

πππ-

≠-≠

k x k 且 }Z k

∈(2)设t=sinx+cosx,则y=t-14

2,12max π

π+=-=k x y Z k ∈

例7：在ΔABC 中，已知B A C C A sin 2

3

2cos sin 2cos sin

22

=+（1）求证：a 、b 、c 成等差数列；

（2）求角B 的取值范围。 [思路]（1）条件等式降次化简得

b c a B C A 2sin 2sin sin =+⇒=+（2）

,2

182682)(32)

2(

cos 22222=-≥-+=+-+=

ac ac ac ac ac c a ac c a c a B ∴……，得B 的取值范围]3,0(π 14．设ααsin cos +=x

，且0cos sin 33>+αα，则x 的取值范围是 ]2,0( ；

19．已知)2

,

0(π

∈x ，证明不存在实数)1,0(∈m 能使等式cos x +msin x =m(*)成立；

（2）试扩大x 的取值范围，使对于实数)1,0(∈m ，等式(*)能成立； （3）在扩大后的x 取值范围内，若取3

3

=m ,求出使等式(*)成立的x 值。

提示：可化为1)42tan(>+=πx m （2）)2

,2(ππ-∈x （3）6π-

=x

最值问题典型错例

例5. 求函数

y x

x

=

-s i n c o s 1342的最大值和最小值。

错解：原函数化为4902y x x y s i n s i n -+=，关于s in x 的二次方程的判别式∆=--⨯⨯≥()144902

y y ，即-≤≤112112y ，所以y y max min ==-112112

，。剖析：若取y =±112，将导致sin x =±32的错误结论，此题错在忽视了隐含条件|s i n |x ≤1。正解：原函数化为4

902

y x x y s i n s i n -+=，当y =0时，解得s i n x =0，满足s in x ≤1 当

y ≠0

时，解得

s i n x y y

=

±-1114482

，又

s i n |s i n |x R x ∈≤，1

，则有114401111448122

-≥-≤

+-≤⎧

⎨⎪

⎩

⎪y y

y 或

114401111448122-≥-≤

--≤⎧⎨⎪⎩

⎪y y

y ，解得-≤≤1131

13y ，所以y y max min =

=-1131

13

， 难点 化简与求值

【例】已知

2

π＜β＜α＜

43π,cos(α－β)=13

12,sin(α+β)=－53

,求sin2α的值_________.

［例1］不查表求sin 220°+cos 2

80°+3cos20°cos80°的值.

解法一：sin 220°+cos 280°+3sin 2

20°cos80°=21 (1－cos40°)+2

1 (1+cos160°)+ 3sin20°cos80°

=1－21cos40°+21cos160°+3sin20°cos(60°+20°)=1－21cos40°+2

1 (cos120°cos40°－sin120°

sin40°)+3sin20°(cos60°cos20°－sin60°sin20°)=1－21cos40°－4

1

cos40°－43sin40°+43sin40°－

2

3sin 2

20° =1－43cos40°－43(1－cos40°)= 4

1

解法二：设x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80°，y =cos 220°+sin 2

80°－3cos20°sin80°，则

x +y =1+1－3sin60°=2

1

，x －y =－cos40°+cos160°+3sin100°=－2sin100°sin60°+3sin100°=0

∴x =y =41，即x =sin 220°+cos 2

80°+3sin20°cos80°=4

1.

［例2］关于x 的函数y =2cos 2

x －2a cos x －(2a +1)的最小值为f (a )，试确定满足f (a )=2

1的a 值，并对此时的a 值求y 的最大值.