结构动力学总结
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当外荷载的频率很大时 (θ>>ω)，体系振动很快，因此 惯性力很大，弹性力和阻尼力相对来说比较小，动荷载主 要与惯性力平衡。
当外荷载接近自振频率时(θ ≈ ω)，弹性力和惯性力都 接近于零，这时动荷载主要由阻尼力相平衡。
第十四章 结构动力学总结
6. 多自由度体系主振型的正交性
当ω i ≠ ω j 时，两个主振型具有正交性，即质量正交 和刚度正交。
m k1
C k2
k1 k2 m
(a)
(b)
解：体系可简化为图b所示的并联弹簧体系，竖 向振动频率为
k k1 k2
m
m
第十四章 结构动力学总结
4. 单自由度体系的强迫振动时的动力放大系数
(1) 简谐动荷载作用在质体上，内力动力系数与位移
动力系数相同。 动力系数
ymax yst
1
1
2 2
计算时，只须将干扰力幅值当作静荷载按静力方法
(a)
(b)
(c)
解：铰接链杆体系如图b或图c，需附加4根链杆， 体系有4个自由度。
第十四章 结构动力学总结
例：设直杆的轴向变形不计，图a所示体系的动力自由 度为多少？
(a)
(b)
m1 m2 m3
2 1
解：铰接链杆体系如图b所示，增加链杆1、2. 体系 的动力自由度为2。
第十四章 结构动力学总结
第十四章 结构动力学总结
例：图a所示体系中，已知横梁B端侧移刚度为k1，弹 簧刚度为k2，求竖向振动频率。
A
k1
B
k1
wk.baidu.com
k2
k2
m
m
(a)
(b)
解：体系可简化为图b所示的串联弹簧体系， 竖向振动频率为
k
k1 k 2
m m(k1 k2 )
第十四章 结构动力学总结
例：图a所示体系中k1为横梁在C点的侧移刚度，k2为 弹簧刚度。求体系的竖向振动频率。
例：考虑各杆件的弯曲及柱的轴向变形，图a所示体系的 动力自由度数为多少？
m1
EI1=∞
m2
EI
EI
m1
EI1=∞
m2
EI
EI
解：用附加链杆法（图b）, 动力自由度数等于5。
第十四章 结构动力学总结
3. 结构的自振周期（频率）
结构自振周期的几种计算公式：
T 2π m 2π m 2π W 2π Δst 2π ,
12 22 32
第十四章 结构动力学总结
例：图a 所示结构周期为Ti，求 图b所示体系周期。
(a)
(b)
ki
k1
m
k2
k3
m
解：图b体系为串联弹簧，其刚 度系数k的倒数等于各弹簧刚度系 数ki的倒数之和。
T 2π 2π m
k
(2π)2 m( 1 1 1 ) k1 k2 k3
T12 T22 T32
k
g
g
f 1 T
周期T 的单位是“s（秒）”； 圆频率ω的单位 是“s-1”，即“弧度/每秒”；工程频率f 的单位为 “Hz（赫兹）”， 即每秒振动的次数。
第十四章 结构动力学总结
注意：
（1） 结构自振周期（频率）是结构动力性能的一 个很重要的标志。两个外表看来相似的结构，如果自 振频率相差很大，则动力性能相差很大；反之两个外 表看来并不相同的结构，如果其自振频率相似，则在 动荷载作用下其动力性能基本一致。
第十四章 结构动力学总结
一、几个值得注意的问题
1. 弹性体系的振动自由度
描述体系的振动，需要确定体系中全部质量在任一瞬时 的位置，为此所需要的独立坐标数就是弹性体系振动的自 由度。值得注意的是：体系中集中质量的个数不一定等于 体系振动的自由度，自由度数目与计算假定有关，而与集 中质量数目和超静定次数无关。
算出相应的位移、内力，再乘以动力系数 即可。
(2) 简谐动荷载不作用在质体上，结构没有一个统一
的动力系数。
Fsin θt (a)
m
计算结构的位移和内力时， 应先算出质体上的惯性力，并 将惯性力及荷载幅值作用于结
构上（如左图所示），然后按
(b)
F
FI
静力方法计算。
第十四章 结构动力学总结
(3) 最大位移和最大内力的计算
y(t)max
yst
1
(1
2 2
)2
4
2
2 2
当／ 的值在0.75~1.25之内（共振区）时，阻尼对降
低动力系数的作用特别显著。
第十四章 结构动力学总结
（4）动荷载频率的大小与结构受力特点的关系。
当外荷载的频率很小时（θ<<ω)，体系振动很慢，因 此惯性力和阻尼力都很小，动荷载主要与弹性力平衡。
(b) (a)
m2. EI=∞ m3.
m1.
α (t)
三个集中质量，一个自由度
一个集中质量，两个自由度
第十四章 结构动力学总结
2. 确定体系振动自由度的方法
方法一 可以运用附加链杆法，使质量不发生线位移所
施加的附加链杆数即为体系的计算自由度。例如图a中，
需要两个链杆才能阻止集中质量的线位移(图b)，故体系有
（2） 自振周期只与结构的质量和刚度有关，与初 始条件及外界的干扰因素无关。
第十四章 结构动力学总结
例：图a所示结构频率为ωi，求图b所示结构频率ω。
ki
k1 k2 k3
(a)
(b)
解：图b体系为并联弹簧，其刚度系数k等于各弹簧刚
度系数ki之和.
k=k1+k2+k3
k m
k1 k2 k3 m
振动体系的最大位移为最大动位移与静位移之和； 最 大内力为最大动内力与静内力之和。动位移和动内力有正 负号的变化，在与静位移和内力叠加时应予以注意。
5. 阻尼对振动的影响
(1) 考虑阻尼时体系的自振频率 r 1 2
其中,
c 2m
为阻尼比, c为阻尼系数。
通常ξ很小，一般结构可取 r≈ 。
(2) 阻尼比的确定。 利用有阻尼体系自由振动时振
幅衰减的特性，可以用实验方法确定体系的阻尼比。
1 ln yk
2nπ ykn
其中yk与yk+n为相距n个周期的自由振动振幅。
第十四章 结构动力学总结
＜1为小阻尼，体系具有振动的性质；＞1（大阻尼） 和=1（临界阻尼）时，体系不具有振动的性。
（3）有阻尼振动的动力系数。在强迫振动中, 阻尼起 着减小动力系数的作用.简谐荷载作用下动力系数为：
两个振动自由度。
(a)
(b)
(c)
方法二 当忽略杆件的轴向变形时，可以运用几何构造 分析中的铰接链杆法——将所有质点和刚结点变为铰结 点后，使铰接链杆体系成为几何不变体系所需要增加的 链杆数即为自由度数。例如图a铰化为铰接链杆体系后， 需要增加两根链杆（图c）。
第十四章 结构动力学总结
例：若忽略直杆的轴向变形,图a 所示结构的动力自由 度为多少？
Y(i) TM Y(j) =0
当外荷载接近自振频率时(θ ≈ ω)，弹性力和惯性力都 接近于零，这时动荷载主要由阻尼力相平衡。
第十四章 结构动力学总结
6. 多自由度体系主振型的正交性
当ω i ≠ ω j 时，两个主振型具有正交性，即质量正交 和刚度正交。
m k1
C k2
k1 k2 m
(a)
(b)
解：体系可简化为图b所示的并联弹簧体系，竖 向振动频率为
k k1 k2
m
m
第十四章 结构动力学总结
4. 单自由度体系的强迫振动时的动力放大系数
(1) 简谐动荷载作用在质体上，内力动力系数与位移
动力系数相同。 动力系数
ymax yst
1
1
2 2
计算时，只须将干扰力幅值当作静荷载按静力方法
(a)
(b)
(c)
解：铰接链杆体系如图b或图c，需附加4根链杆， 体系有4个自由度。
第十四章 结构动力学总结
例：设直杆的轴向变形不计，图a所示体系的动力自由 度为多少？
(a)
(b)
m1 m2 m3
2 1
解：铰接链杆体系如图b所示，增加链杆1、2. 体系 的动力自由度为2。
第十四章 结构动力学总结
第十四章 结构动力学总结
例：图a所示体系中，已知横梁B端侧移刚度为k1，弹 簧刚度为k2，求竖向振动频率。
A
k1
B
k1
wk.baidu.com
k2
k2
m
m
(a)
(b)
解：体系可简化为图b所示的串联弹簧体系， 竖向振动频率为
k
k1 k 2
m m(k1 k2 )
第十四章 结构动力学总结
例：图a所示体系中k1为横梁在C点的侧移刚度，k2为 弹簧刚度。求体系的竖向振动频率。
例：考虑各杆件的弯曲及柱的轴向变形，图a所示体系的 动力自由度数为多少？
m1
EI1=∞
m2
EI
EI
m1
EI1=∞
m2
EI
EI
解：用附加链杆法（图b）, 动力自由度数等于5。
第十四章 结构动力学总结
3. 结构的自振周期（频率）
结构自振周期的几种计算公式：
T 2π m 2π m 2π W 2π Δst 2π ,
12 22 32
第十四章 结构动力学总结
例：图a 所示结构周期为Ti，求 图b所示体系周期。
(a)
(b)
ki
k1
m
k2
k3
m
解：图b体系为串联弹簧，其刚 度系数k的倒数等于各弹簧刚度系 数ki的倒数之和。
T 2π 2π m
k
(2π)2 m( 1 1 1 ) k1 k2 k3
T12 T22 T32
k
g
g
f 1 T
周期T 的单位是“s（秒）”； 圆频率ω的单位 是“s-1”，即“弧度/每秒”；工程频率f 的单位为 “Hz（赫兹）”， 即每秒振动的次数。
第十四章 结构动力学总结
注意：
（1） 结构自振周期（频率）是结构动力性能的一 个很重要的标志。两个外表看来相似的结构，如果自 振频率相差很大，则动力性能相差很大；反之两个外 表看来并不相同的结构，如果其自振频率相似，则在 动荷载作用下其动力性能基本一致。
第十四章 结构动力学总结
一、几个值得注意的问题
1. 弹性体系的振动自由度
描述体系的振动，需要确定体系中全部质量在任一瞬时 的位置，为此所需要的独立坐标数就是弹性体系振动的自 由度。值得注意的是：体系中集中质量的个数不一定等于 体系振动的自由度，自由度数目与计算假定有关，而与集 中质量数目和超静定次数无关。
算出相应的位移、内力，再乘以动力系数 即可。
(2) 简谐动荷载不作用在质体上，结构没有一个统一
的动力系数。
Fsin θt (a)
m
计算结构的位移和内力时， 应先算出质体上的惯性力，并 将惯性力及荷载幅值作用于结
构上（如左图所示），然后按
(b)
F
FI
静力方法计算。
第十四章 结构动力学总结
(3) 最大位移和最大内力的计算
y(t)max
yst
1
(1
2 2
)2
4
2
2 2
当／ 的值在0.75~1.25之内（共振区）时，阻尼对降
低动力系数的作用特别显著。
第十四章 结构动力学总结
（4）动荷载频率的大小与结构受力特点的关系。
当外荷载的频率很小时（θ<<ω)，体系振动很慢，因 此惯性力和阻尼力都很小，动荷载主要与弹性力平衡。
(b) (a)
m2. EI=∞ m3.
m1.
α (t)
三个集中质量，一个自由度
一个集中质量，两个自由度
第十四章 结构动力学总结
2. 确定体系振动自由度的方法
方法一 可以运用附加链杆法，使质量不发生线位移所
施加的附加链杆数即为体系的计算自由度。例如图a中，
需要两个链杆才能阻止集中质量的线位移(图b)，故体系有
（2） 自振周期只与结构的质量和刚度有关，与初 始条件及外界的干扰因素无关。
第十四章 结构动力学总结
例：图a所示结构频率为ωi，求图b所示结构频率ω。
ki
k1 k2 k3
(a)
(b)
解：图b体系为并联弹簧，其刚度系数k等于各弹簧刚
度系数ki之和.
k=k1+k2+k3
k m
k1 k2 k3 m
振动体系的最大位移为最大动位移与静位移之和； 最 大内力为最大动内力与静内力之和。动位移和动内力有正 负号的变化，在与静位移和内力叠加时应予以注意。
5. 阻尼对振动的影响
(1) 考虑阻尼时体系的自振频率 r 1 2
其中,
c 2m
为阻尼比, c为阻尼系数。
通常ξ很小，一般结构可取 r≈ 。
(2) 阻尼比的确定。 利用有阻尼体系自由振动时振
幅衰减的特性，可以用实验方法确定体系的阻尼比。
1 ln yk
2nπ ykn
其中yk与yk+n为相距n个周期的自由振动振幅。
第十四章 结构动力学总结
＜1为小阻尼，体系具有振动的性质；＞1（大阻尼） 和=1（临界阻尼）时，体系不具有振动的性。
（3）有阻尼振动的动力系数。在强迫振动中, 阻尼起 着减小动力系数的作用.简谐荷载作用下动力系数为：
两个振动自由度。
(a)
(b)
(c)
方法二 当忽略杆件的轴向变形时，可以运用几何构造 分析中的铰接链杆法——将所有质点和刚结点变为铰结 点后，使铰接链杆体系成为几何不变体系所需要增加的 链杆数即为自由度数。例如图a铰化为铰接链杆体系后， 需要增加两根链杆（图c）。
第十四章 结构动力学总结
例：若忽略直杆的轴向变形,图a 所示结构的动力自由 度为多少？
Y(i) TM Y(j) =0