不定积分的基本积分表与性质

二、不定积分的性质
性质2
如果常数k≠0，那么
性质2说明，不定积分中不为零的常数因子可以提到积分号 外面来．
二、不定积分的性质
性质3
如果函数f1（x）及f2（x） 的原函数存在，那么
性质3说明∫［f1（x）± f2（x）］dx是f1（x）±f2（x）的原 函数，由于它涉及两个积分记号，形式上含有两个积分常数，把 这两个积分常数合并为一个，因此它实际上是f1（x）±f2（x）的 不定积分，即与∫f1（x） dx±∫f2（x） dx相等.
二、不定积分的性质
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下列两个式子正确吗？为什么？
谢谢聆听
不定积分的 基本积分表
与性质
一、基本积分表
由于求不定积分与求导数是互逆的运算, 因此,由导数的基本公式就可以得到相应的不 定积分的基本公式,为了便于记忆和应用,我们 把一些基本的积分公式列成一个表,通常称为 基本积分表.
一、基本积分表
（1）∫k dx=kx＋C (k是常数);
（2）
(α∈R，α≠-1）;
（3）∫1/x dx=ln|x|＋C；
（4）∫ax dx=ax/lna＋C （a>0，a≠1）;
（5）
（6）∫sinx dx=-cosx＋C;
（7）∫cosx dx=sinx＋C;
（8）∫sec2x dx=tanx＋C;
一、基本积分表
（9）∫csc2x dx=-cotx＋C; （10）∫secxtanxdx=secx＋C ; （11）∫cscxcotx dx=-cscx＋C;
一、基本积分表
【例3】
例3表明，有些题目在形式上跟基本积分表没有关系 ，但是通过恒等变形以后，实际上是可以直接应用基本积 分表的．
二、不定积分的性质
性质1
性质1清楚地表明了不定积分运算与微分运算之间的 互逆关系．
二、不定积分的性质
注意
对函数f（x）先求积分，再求导数，其结果等于f （x），而对函数f（x）先求导数，再求积分，其结果 不再是f（x），而是f（x）＋C．
以上公式是求不定积分的基础,必须熟记.在应用这些公式时, 有时需要对被积函数做适当的变形.
【例1】
一、基本积分表
解 应用不定积分基本公式(2)，有
【例2】
解 应用不定积分基本公式(2)，有
一、基本积分表
注意
上述两个例题实际上是幂函数的积分问题,但是表示 上是取用了根式和分式形式,遇到这样的情况一般先化 成xμ的形式,再根据不定积分基本公式(2)来求不定积分.
二、不定积分的性质
【例5】
解 虽然被积函数是一个无理式，但是这里我们还是可以通 过性质2及不定积分基本公式（2）求解该不定积分．
【例6】
二、不定积分的性质
三角函数的情形是比较复杂的，但是一般 我们可以通过三角恒等变形，得到被积函数的 等价形式，利用不定积分的基本性质，通过对 等价形式的求积分，得到原来函数的不定积 分．我们在以后遇到的很多问题中都应用到恒 等变形的思想．
性质3可以推广到有限个函数的情形，即有
利用基本积分表和不定积分性质，可以直接求一些简单的不 定积分．
二、不定积分的性质
【例4】
解 对于两个有理多项式的商的积分，特别是分母是幂函数 的情形，我们一般可以除下来，利用性质2，把分式函数看 成是一些幂函数相加得到的新函数，再应用不定积分基本 公式（2）求不定积分．