高中数学课堂教学实录

高中数学课堂教学实录（一）

南阳中学刘伟明

师：四边形、五边形、六边形分别有多少条对角线？你是怎样考虑的？

[提出问题，让学生在解答的过程中发现规律.]

生：四边形、五边形、六边形分别有两条对角线，五条对角线和九条对角线，以六边形为例，每个顶点可引3条对角线，六个顶点可引18条对角线，但因每条对角线都计算了两次，所以六边形实际有9条对角线.

师：n边形(n≥4)有多少条对角线？为什么？

[由特例到一般问题的提出，符合由特殊到一般，由具体到抽象的认识过程.]

生：n边形有条对角线，因为每个顶点可引n-3条对角线，所以n个顶点可引n(n-3)条，但每条对角线都计算了两次，故n边形实际有条对角线.

师：这一公式适合四边形、五边形、六边形吗？

[由一般再回到特殊，特例的正确性提高了学生探索问题的积极性，增强了猜想的信心.]

生：适合.

师：观察等差数列的前几项：

a1=a1+0d

a2=a1+1d

a3=a1+2d

a4=a1+3d

你发现了什么规律？试用a1，n和d表示an.

生：an=a1+(n-1)d

师：像这种由一系列特殊事例得到一般结论的推理方法，叫做归纳法，用归纳法可以帮助我们从特殊事例中发现一般规律，但是，由归纳法得出的一般结论并不一定可靠.例如，一个数列的通项公式是an=(n2-5n+5)2请算出a1，a2，a3，a4你能得到什么结论？

生：由a1=1，a2=1，a3=1，a4=1可知an=1

师：由an=(n2-5n+5)2计算a5.

[由a5=25≠1，否定了学生的猜想，举出反例是否定命题正确性的简单而基本的方法.]

师：由归纳法得到的一般结论是不一定可靠的.法国数学家费尔马曾由n=0，1，2，3，4得到+1均为质数而推测：n为非负整数时，+1都是质数，但这一结论是错误的.因为数学家欧拉发现，n=5时+1是一个合数：+1=4294967297=641×6700417.

[数学史例使学生兴趣盎然，学习积极性大为提高，至此，归纳法作为一种发现规律的推理方法的数学已告结束.]

师：既然由归纳法得到的结论不一定可靠，那么，就必须想办法对所得到的结论进行证明，对于由归纳法得到的某些与自然数有

关的命题P(n)，能否通过一一验证的办法来加以证明呢？

生：不能.因为这类命题中所涉及的自然数有无限多个，所以无法一个一个加以验证.

[新问题引导学生思考：既然对于P(n0)、P(n0+1)、P(n0+2)……的正确性无法一一验证，那么如何证明P(n)(n≥n0)的正确性呢？至此，数学归纳法的引入水到渠成.]

二、新课

师：我们将采用递推的办法解决这个问题.同学们在电视中可能看到过“多米诺”骨牌的游戏，由于骨牌之间特殊的排列方法，只要推到第一块骨牌，第二块就会自己倒下，接着第三块就会倒下，第四块也会倒下……如此传递下去，所有的骨牌都会倒下，这种传递相推的方法，就是递推.

从一个袋子里第一次摸出的是一个白球，接着，如果我们有这样的一个保证：“当你第一次摸出的是白球，则下一次摸出的一定也是白球”，能否断定这个袋子里装的全是白球？

生：能断定.

[为数学归纳法的两个步骤提供具体生动的模型，帮助学生理解数学归纳法的实质.]

师：要研究关于自然数的命题P(n)，我们先来看自然数有什么性质，自然数数列本身具有递推性质：第一个数是1，如果知道了一个数，就可以知道下一个数.有了这两条，所有自然数尽管无限多，但我们就可全部知道了.类似地，我们可采用下面的方法来证明有关

连续自然数的命题P(n)，先验证n取第一个值n0时命题正确；再证明如果n=k(k≥n0)时命题正确，则n=k+1时命题正确，只要有了这两条，就可断定对从n0开始的所有自然数，命题正确，这就是数学归纳法的基本思想.

[先通俗了解数学归纳法的基本思想，对深刻理解数学归纳法的实质至关重要.]

师：用数学归纳法证明一个与自然数有关的命题P(n)的步骤是：

(1)证明当n取第一个值n0(如n0=1或n0=2等)时结论成立，即验证P(n0)正确；

(2)假设n=k(k∈N，且k≥n0)时结论正确，证明n=k+1时结论正确，即由P(k)正确P(k+1)正确由(1)和(2)，就可断定命题对于从n0开始的所有自然数n都正确.

高中数学课堂教学实录（二）

南阳中学刘伟明

一、不等式证明的常用方法和基本不等式

师：前面我们复习了不等式的性质，现在开始复习不等式的证明.下面我们先来看一个问题：

[例1]求证：(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2

如何证明这个不等式呢？我们回忆一下，不等式证明有哪些常用的方法？

生：比较法、分析法和综合法.

师：什么是比较法？这个不等式能不能用比较法来证明？

生：要证明a＞b，只要证明a-b＞0，这就是不等式证明的比较法，这个不等式能用比较法证明.

证法一

∵(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2

=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2-a2c2-2abcd-b2d2

=(bc-ad)2≥0

∴(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2

师：用比较法证明不等式的基本步骤有哪些？

生：有三步：(1)作差(2)变形(3)确定符号

师：什么是分析法？这个不等式能不能用分析法来证明？

生：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明这个不等式转化为判定这些条件是否具备的问题；如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法就是不等式证明的分析法.这个不等式能用分析法来证明.

证法二

要证明(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2

只要证明a2c2+b2c2+a2d2+b2d2≥a2c2+2abcd+b2d2

也就是证明b2c2+a2d2≥2abcd

即(bc-ad)2≥0

∵(bc-ad)2≥0成立

∴(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2成立

(教师指出应用分析法证明时要注意书写格式)

师：什么是综合法？这个不等式能不能用综合法来证明？

生：利用某些已经证明过的不等式作为基础，再运用不等式的性质推导出所要证明的不等式，这种方法是不等式证明的综合法，这个不等式能用综合法来证明.

证法三

∵b2c2+a2d2≥2abcd

∴a2c2+b2d2+b2c2+a2d2≥a2c2+2abcd+b2d2

即(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2

师：应用综合法证明的关键是找出作为基础的已经证明过的不等