九年级数学垂径定理圆心角弧弦弦心距间的关系人教版知识精讲

九年级数学垂径定理、圆心角、弧、弦、弦心距间的关系人教版

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

垂径定理、圆心角、弧、弦、弦心距间的关系 ［学习目标］

1. 理解由圆的轴对称性推出垂径定理，概括理解垂径定理及推论为“知二推三”。（1）过圆心，（2）垂直于弦，（3）平分弦，（4）平分劣弧，（5）平分优弧。已知其中两项，可推出其余三项。注意：当知（1）（3）推（2）（4）（5）时，即“平分弦的直径不能推出垂直于弦，平分两弧。”而应强调附加“平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两弧”。

2. 深入理解垂径定理及推论，为五点共线，即圆心O ，垂足M ，弦中点M ，劣弧中点D ，优弧中点C ，五点共线。（M 点是两点重合的一点，代表两层意义）

3. 应用以上定理主要是解直角三角形△AOM ，在Rt △AOM 中，AO 为圆半径，OM 为弦AB 的弦心距，AM 为弦AB 的一半，三者把解直角形的知识，借用过来解决了圆中半径、弦、弦心距等问题。无该Rt △AOM 时，注意巧添弦心距，或

半径，构建直角三角形。

4. 弓形的高：弧的中点到弦的距离，明确由定义知只要是弓形的高，就具备了前述的（4）（2）或（5）（2）可推（1）（3）（5）或（1）（3）（4），实际可用垂径定理及推论解决弓形高的有关问题。

5. 圆心角、弧、弦、弦心距四者关系定理，理解为：（1）圆心角相等，（2）所对弧相等，（3）所对弦相等，（4）所对弦的弦心距相等。四项“知一推三”，一项相等，其余三项皆相等。源于圆的旋转不变性。即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图象完全重合。 ()()()()1234⇔⇔⇔

6. 应用关系定理及推论，证角等，线段等，弧等，等等，注意构造圆心角或弦心距作为辅助线。

7. 圆心角的度数与弧的度数等，而不是角等于弧。 二. 重点、难点：

垂径定理及其推论，圆心角，弧，弦，弦心距关系定理及推论的应用。 【典型例题】

例1. 已知：在⊙O 中，弦AB ＝12cm ，O 点到AB 的距离等于AB 的一半，求：∠AOB 的度数和圆的半径。

点悟：本例的关键在于正确理解什么是O 点到AB 的距离。 解：作OE ⊥AB ，垂足为E ，则OE 的长为O 点到AB 的距离，如图所示： ∴==⨯=OE AB cm 121

2

126()

由垂径定理知：AE BE cm ==6

∴△AOE 、△BOE 为等腰直角三角形

∴∠AOB ＝90°

由△AOE 是等腰直角三角形 ∴==OA AE 626，

即⊙O 的半径为62cm

点拨：作出弦（AB ）的弦心距（OE ），构成垂径定理的基本图形是解决本题的关键。 例2. 如图所示，在两个同心圆中，大圆的弦AB ，交小圆于C 、D 两点，设大圆和小圆的半径分别为a ，b 。 求证：AD BD a b ·=-2

2

证明：作OE ⊥AB ，垂足为E ，连OA 、OC 则OA a OC b ==，

在Rt AOE ∆中，AE OA OE 222=- 在Rt COE ∆中，CE OC OE 2

2

2

=-

()()

∴-=---AE CE OA OE OC OE 222222

=-=-OA OC a b

22

2

2

即()()AE CE AE CE a b +-=-22

BD AC ED CE ==,

AD ED AE CE AE =+=+∴ BD AC CE AE ==-

即2

2b a BD AD -=⋅

点拨：本题应用垂径定理，构造直角三角形，再由勾股定理解题，很巧妙。 例3. ⊙O 的直径为12cm ，弦AB 垂直平分半径OC ，那么弦AB 的长为（ ） A. 33cm

B. 6cm

C. 63cm

D. 123cm

（20XX 年辽宁）

解：圆的半径为6cm ，半径OC 的一半为3cm ，故弦的长度为 (

)

2632321632

2

2

2

-=-=()cm

故选C 。

例4. 如图所示，以O 为圆心，∠AOB ＝120°，弓形高ND ＝4cm ，

矩形EFGH 的两顶点E 、F 在弦AB 上，H 、G 在AB ⋂

上，且EF ＝4HE ，

求HE 的长。

解：连结AD 、OG ∠=

∠=⨯︒=︒AOD AOB 121

2

12060 OA ＝OD

∴△AOD 为等边三角形 ∵OD ⊥AN

∴NO ＝ND ＝4cm

C

O

A

B

M

D

O

∵OD ＝OG ＝8cm

设HE x =，则()MG x MO x cm ==+24， 在Rt OMG ∆中，由MG OM OG 222+=得： ()()x x ++=4282

2

解得：x x 1212

54=

=-，（舍去） ∴HE 的长为12

5

cm

点拨：借助几何图形的性质，找出等量关系，列出方程求解，这是解决几何计算题的常用方法。

例5. 已知，AB 是⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D ，且AB cm OC cm ==85，，则DC 的长为（ ） A. 3cm

B. 2.5cm

C. 2cm

D. 1cm

（20XX 年北京东城区）

解：OD =-=5432

2

∴=-=DC cm 532()

故选C 。

常见错误：将DC 错算为OD ，即算出OD 就不再计算DC 了，从而错选A 。这种错误十分常见，一定要注意慎重的计算完全。

例6. 在⊙O 中，AB AC ⋂=⋂

2，那么（ ）

A. AB AC =

B. AB AC =2

C. AB AC >2

D. AB AC <2

解：如图所示，连结BC 。

AB AC ⋂=⋂2

∴⋂=⋂

AC BC ∴=AC BC

在△ABC 中，AB ＜AC ＋BC

∴AB ＜2AC 故选D 。

点拨：本题考察弦、弧、圆心角之间的关系，要正确理解三者之间的关系定理。 例7. 已知⊙O 的半径是10cm ，AB ⋂

是120°，那么弦AB 的弦心距是（ ） A. 5cm B. 53cm C. 103cm D.

5

2

3cm 解：如图所示，OA cm =10，∠AOB ＝120°

∴∠=∠=︒AOC AOB 1

2

60

在Rt △ACO 中，

CO AO AOC cm =∠=⨯

=·cos ()101

2

5 故选A 。

点拨：本题考察弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系，要正确构造三角形，灵活运用。 例8. 等腰△ABC 的顶角A ＝120°，腰AB ＝AC ＝10，△ABC 的外接圆半径等于（ ） A. 20 B. 15 C. 10 D. 5 解：如图所示，连结OA 、OB

∵AB ＝AC ＝10 ∴⋂=⋂

AB AC

由垂径定理的推论，得OA 垂直平分BC ，垂足为D 又∵∠BAC ＝120°

∴∠ABC ＝∠ACB ＝30° ∴∠BAO ＝60° 又∵OA ＝OB

∴△AOB 是等边三角形 ∴半径OA ＝OB ＝AB ＝10 故选C 。

点拨：垂径定理及其推论是很重要的性质，主要解题思路是构造特殊的三角形，然后应用定理解题。

例9. 点P 为半径是5的⊙O 内一点，且OP ＝3，在过点P 的所有弦中，长度为整数的弦一共有（ ）

A. 2条

B. 3条

C. 4条

D. 5条

（20XX 年山东）

解：选C 。

点拨：圆是中心对称图形，故与P 点对称的点，关于中点对称有一个，关于轴对称有2个。因此，长度为整数弦一共有4条。

例10. 如图所示，M 、N 分别是⊙O 的弦AB 、CD 的中点，AB ＝CD 。 求证：∠AMN ＝∠CNM

点悟：由弦AB ＝CD ，想到利用弧，圆心角、弦、弦心距之间的关系定理，又M 、N 分别为AB 、CD 的中点，如连结OM 、ON ，则有OM ＝ON ，OM ⊥AB ，ON ⊥CD ，故易得结论。

证明：连结OM 、ON

∵O 为圆心，M 、N 分别为弦AB 、CD 的中点 ∴OM ⊥AB ，ON ⊥CD ∵AB ＝CD ∴OM ＝ON

∴∠OMN ＝∠ONM

∵∠AMN ＝90°－∠OMN ∠CNM ＝90°－∠ONM

A B

O

C

D