具阶段结构的食饵-捕食者扩散模型的稳定性

３ ｆ—
ｄ ３ Ａｕ ３＝一ｃ ３＋ｄ ｕ １ ３＋ｅ ｕ ２一 ３ ， ∈Ｑ ，ｔ ＞ ０，
（ ３ ）
８． ｕ １ ＝Ｄ ， ｕ ２： ａ ３＝０ ，Ｘ∈ａ Ｑ ，ｔ＞０
／ ｄ ｉ （ ｘ ， Ｏ ） ：Ｕ ｉ ０ （ ） ， ｉ ＝ｌ ， ２ ， ３ ， Ｘ∈Ｑ
ＤＯｈ １ ０ ． ３ ８ ７ ５ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ６ ７ ４ — ３ ５ ６ ３ ． ２ ０ １ ３ ． ０ ４ ． ０ ０ ９
本 文 考虑 如 下捕 食者 具 阶段 结构 的食 饵一 捕食 者模 型 ：
（ １ 一
Ｖ
＝
Ⅳｌ Ⅳ３ ，
ｐ Ｎ３ 一 Ｎ２
ＮＯ Ｖ ， ２ ０ １ ３
具 阶段结构 的食饵一 捕食 者扩散模 型 的稳 定性
苗 亮英 ，张 睿 ，刘志 高 ２ ，卢 雪丽
（ １ ． 兰州交通大学数理与软件工程学院， 甘肃兰州 ７ ３ ０ ０ ７ ０ ； ２ ． 白银市工业学校， 甘肃白银 ７ ３ ０ ９ ０ ０ ）
摘 要 ：讨论 了一类捕食 者种群具有 阶段 结构 的食饵 一 捕食者扩散模 型，运 用线性化方法和 Ｌ ｙ ａ ｐ ｕ ｎ ｏ ｖ
数 ．文献 ［ １ ］ 中，作者给模 型 （ １ ）加 上捕获 项后 讨论 了其 非负平衡 点 的稳 定性 ，获得 了其 持续 生存
的条 件及最 优 收获策 略 。受 文献 ［ １ 】 启发 ，本文考 虑给模 型 （ １ ）加上扩散项 ，之 后再讨论 其稳 定性 ．
令 ： 堕
ｄ ｂ ／ ｜
一
ｄⅣ
＝
Ｎ３ ＋ｍａＮ￣ Ｎ３ ＋ｙ Ｎ２ —６Ｎ
其 中，
为食 饵种 群 密度 ，
为 幼年 捕 食者 种群 密度 ， Ⅳ 为成 年 捕食 者种 群 密度 ， 为食饵
为捕 食参 数 ， ｍ 为 捕食 者种 群 的捕 食率 ， 为 成年 捕
种 群 的 内禀增 长 率 ，
布 不均 匀 时 ， 同种群 间 为竞 争 资源等 会 从高 密度 区 向低密 度 区扩 散 ， 于 是得 到如 下反应 扩 散模 型 ：
ｂ ｔ ｌ ， ～ ４ａ ｕ １ ＝ａ ｌ ｄ １ 一 甜 — ｂ ｕ ｌ ３ ， ∈ Ｑ， ｔ ＞ ０
２ｆ一
Ａｕ ２＝ ３一 ２ ， ∈Ｑ ，ｔ ＞０
苗亮英等：具阶段结构的食饵一 捕食者扩散模型的稳定性
５ ７
．
其中， ： ，６： ，ｃ ：皇
ｍａｋ
， ： 一 ，
ｅ： － ７－ ， ：
２
ｒ ２
系统 （ ２ ）描述 了食 饵一 捕食 者种 群 密度 在 空间 分布均 匀 时 的增 长 规律 ，当种群 密度 在 空间 分
这 里 ，Ｑ ∈Ｒ” 是一 个 具有 光滑 边 界 Ｑ 的有 界 区域 ，叩是 边 界 ａ Ｑ 的单 位外 法 向量 ，ａ ＝ ａ ，
正常数 （ ｆ ＝ｌ ， ２ ， ３ ） 是对应于食饵 １ 和捕食者 ２ 、ｂ ｔ ３ 的扩散系数 ，ｂ ／ ｉ ０ （ ） 是在 Ｑ上满足相容条
件 的光 滑 函数 ， 齐 次 Ｎｅ ｕ ｍａ ｎ ｎ边 界条 件 说 明系统 （ ３ ） 是 自封 闭的 ．本文主 要采 用文 献 ［ ２ 】 的思想 ， 应 用 线性 化方 法和 构造 Ｌ ｙ ａ ｐ ｕ ｎ ｏ ｖ函数 方法 来 讨论 系 统 （ ３ ）正 平衡 点的 稳定性 ．
１系统 （ ２）的稳 定性
令Ｇ ｌ ＝ ａ ｌ ｄ ｌ － １ １ 一 ｂ ｕ ｌ ３ ，Ｇ ２ ＝ ３ 一 ／ ｄ ２ ， ＝ 一 Ｃ ／ ｄ ３ ＋ ｄ ｕ １ 甜 ３ ＋ ｅ ｕ ２ 一 ，Ｇ＝（ Ｇ １ ， ， Ｇ ３ ） ，
容易得到系统 （ ２ ）的平衡点分别为 （ ０ ， ０ ， ０ ） 和 （ ａ ， ０ ， Ｏ ） ；当 ＞ｃ 时，系统 （ ２ ）的平衡点为
Ｅ ２ （ ｏ ， ≠， Ｊ ≠） ｊ ； 当 ６ ｃ ＋ ＞ ｂ ｅ ， ｅ ＋ ａ ｄ ＞ ｃ 时 ， 系 统 （ ２ ） 的 唯 一 正 平 衡 点 为 ＠ ， １ ／ ２ ， ） ，
函数 法讨论 了该反应扩散模型 非 负平衡 点的局部渐近稳定性和全局渐近稳定性． 关键 词：食饵 一 捕食 者模 型；阶段 结构；扩散 ；稳定性
中 图 分 类 号 ：Ｏ１ ７ ５ ． ２ ６ 文 献标 志 码 ：Ａ 文章编号：１ ６ ７ ４ — ３ ５ ６ ３ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ４ — ０ ０ ５ ６ － ０ ６ 本文的 Ｐ Ｄ Ｆ丈件 可 以 从 ｘ ｕ ｅ ｂ ａ ｏ ． ＷＺ Ｕ ． ｅ ｄ ｕ ． ｃ ｎ获得
第３ ４卷第 ４期
Ｖ ｏ ｌ ３ ４ ， Ｎｏ４
温 州 大 学 学 报・ 自 然 科 学 版
Ｊ ｏ ｕ ｎａ ｒ ｌ ｏ ｆ Ｗｅ ｎ ｚ ｈ ｏ ｕ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ Ｎａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ｓ
２ ０ １ ３年 ｌ １月
为 环境 容 纳量 ，
食 者种 群 的死亡 率 ， 为 由幼 年捕 食 者种 群 转化 为成年 捕 食者 种群 的 比例 常 数 ，ｒ ２ ＝ ＋ ， 为
幼 年捕 食 者 种群 的死 亡 率 ，
为幼 年 捕食 者 种群 的 出生率 ，
为成 年 捕食 者 种群 的密度 制 约 系
，
：
，
Ｊ ７ Ｖ ：
， ：三
一 ｒ ２
，
仍将 写 作 ，则模 型 （ １ ）变 为 ：
ｍａ
。
＝ ａｕ￣－ ｕ 一
，
ｄ ｕ ，
－
／ ＇ ／ ２
（ ２）
＝ 一ｃ ３＋
１ ３＋ Ｐ甜２ 一
３
ｄ ｔ
。
。
收稿 日期 ：２ ０ １ ３ － ０ １ ． ０ ３ 基金项 目：甘肃省 自然 科学基金 （ １ １ ０ ７ Ｒ Ｊ Ｚ Ａ１ ９ ７ ） ；甘肃省教育厅硕导项 目（ １ １ ０ ４ — １ １ ） 作者简介 ：苗亮英 （ １ ９ ８ ７ 一） ，女，甘肃 永登人，硕士研究生 ，研究方 向：偏微分方程及其应用