三角形面积比定理的应用
妙用奔驰定理解决三角形面积比问题(学生版)
妙用奔驰定理解决三角形面积比问题【题型归纳目录】题型一：直接使用奔驰定理题型二：三角形面积比问题【方法技巧与总结】奔驰定理---解决面积比例问题重心定理：三角形三条中线的交点.已知△ABC 的顶点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则△ABC 的重心坐标为G x 1+x 2+x 33，y 1+y 2+y 33.注意：(1)在△ABC 中，若O 为重心，则OA +OB +OC =0．(2)三角形的重心分中线两段线段长度比为2:1，且分的三个三角形面积相等．重心的向量表示：．奔驰定理：S A ⋅OA +S B ⋅OB +S C ⋅OC =0，则△AOB 、△AOC 、△BOC 的面积之比等于λ3:λ2:λ1奔驰定理证明：如图，令λ1OA =OA 1 ，λ2OB =OB 1 ，λ3OC =OC 1 ，即满足OA 1+OB 1+OC1=0S △AOB S △A 1OB 1=1λ1λ2，S △AOC S △A 1OC 1=1λ1λ3，S △BOC S △B 1OC 1=1λ2λ3，故S △AOB :S △AOC :S △BOC =λ3:λ2:λ1.(3)P 为ΔABC 内一点，a ×PA +b ×PB +c ×PC =0 ，则S ΔPBC ：S ΔPAC ：S ΔPAB =a ：b ：c .重要结论：S ΔPBC S ΔABC =a a +b +c ，S ΔPAC S ΔABC =b a +b +c ，S ΔPAB S ΔABC =c a +b +c.结论1：对于ΔABC 内的任意一点P ， 若ΔPBC 、ΔPCA 、ΔPAB 的面积分别为S A 、S B 、S C ，则：S A ⋅PA +S B ⋅PB+S C ⋅PC =0 .即三角形内共点向量的线性加权和为零，权系数分别为向量所对的三角形的面积.结论2：对于ΔABC 平面内的任意一点P ，若点P 在ΔABC 的外部，并且在∠BAC 的内部或其对顶角的内部所在区域时，则有-S ΔPBC ⋅PA +S ΔPAC ⋅PB+S PAB ⋅PC =0 .结论3：对于ΔABC 内的任意一点P ， 若λ1PA +λ2PB+λ3PC =0 ，则ΔPBC 、ΔPCA 、ΔPAB 的面积之比为λ1：λ2：λ3.即若三角形内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对的三角形面积之比等于权系数之比.结论4：对于ΔABC 所在平面内不在三角形边上的任一点P ，λ1PA +λ2PB+λ3PC =0 ，则ΔPBC 、ΔPCA 、ΔPAB 的面积分别为λ1： λ2： λ3 .即若三角形平面内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对应的三角形面积之比等于权系数的绝对值之比.各向量所对应的三角形是指另外两个向量所在的三角形.【典型例题】题型一：直接使用奔驰定理例1.(2023春·河南安阳·高一统考期末)已知O 是△ABC 内的一点，若△BOC ,△AOC ,△AOB 的面积分别记为S 1,S 2,S 3，则S 1⋅OA +S 2⋅OB +S 3⋅OC =0.这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的log o 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知O 是△ABC 的垂心，且OA +2OB +3OC =0，则tan ∠BAC :tan ∠ABC :tan ∠ACB =( )A.1:2:3B.1:2:4C.2:3:4D.2:3:6例2.(多选题)(2023·高一单元测试)如图，P 为△ABC 内任意一点，角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，则总有优美等式S △PBC ⋅PA +S △PAC ⋅PB+S △PAB ⋅PC =0 成立,此结论称为三角形中的奔驰定理.由此判断以下命题中，正确的有( )A.若P 是△ABC 的重心，则有PA +PB +PC =0B.若a ⋅PA +b ⋅PB+c ⋅PC =0 ，则P 是△ABC 的内心C.若AP =15AB +25AC ，则S △PBC :S △PAC :S △PAB =2:2:1D.若P 是△ABC 的外心，且A =π4，则PA +sin ∠APC ⋅PB +sin 3π2-∠APC ⋅PC =0例3.(多选题)(2023秋·河南洛阳·高一宜阳县第一高级中学校考阶段练习)点P 是△ABC 所在平面内一点，且AP =xAB +yAC，下列说法正确的是( )A.若x =y =12，则点P 是边BC 的中点B.若点P 是边BC 靠近B 点的三等分点，则x =13,y =23C.若点P 在BC 边的中线上且x +y =12，则点P 是△ABC 的重心D.若x +y =2，则△PBC 与△ABC 的面积相等例4.(多选题)(2023·全国·高三专题练习)“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，(Mercedesbenz )的log o 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知O 是△ABC 内一点，△BOC ，△AOC ，△AOB 的面积分别为S A ，S B ，S C ，且S A ⋅OA+S B ⋅OB +S C ⋅OC =0．设O 是锐角△ABC 内的一点，∠BAC ，∠ABC ，∠ACB 分别是的△ABC 三个内角，以下命题正确的有( )A.若OA +2OB +3OC =0 ，则S A :S B :S C =1:2:3B.若OA =OB =2，∠AOB =5π6，2OA +3OB +4OC =0 ，则S △ABC =92C.若O 为△ABC 的内心，3OA +4OB +5OC =0 ，则∠C =π2D.若O 为△ABC 的垂心，3OA +4OB +5OC =0 ，则cos ∠AOB =-66例5.(多选题)(2023秋·河南洛阳·高一宜阳县第一高级中学校考阶段练习)已知点O 为△ABC 所在平面内一点，且2OA +3OB +4OC =0则下列选项正确的有( )A.AO =13AB +49ACB.直线AO 过BC 边的中点C.S △AOB :S △BOC =2:1D.若|OA |=|OB |=|OC |=1，则OC ⋅AB =-316例6.(多选题)(2023春·湖南永州·高一永州市第一中学校考期中)已知点O 为△ABC 所在平面内一点，2OA +3OB +4OC =0 ，则下列选项正确的是( )A.AO =13AB +49ACB.直线AO 必过BC 边的中点C.S △ABC :S △AOC =3:1D.若|OB |=|OC |=|OA |=1，则cos <OA ,OB >=14例7.(2023春·江苏徐州·高一徐州市第三十六中学(江苏师范大学附属中学)校考阶段练习)定理：如图，已知P 为△ABC 内一点，则有S △PBC ⋅PA +S △PAC ⋅PB+S △PAB ⋅PC =0 .由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”.这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用.已知点O 在△ABC 内部，有以下四个推论：①若O 为△ABC 的重心，则OA +OB +OC =0；②若O 为△ABC 的外心，则sin2A ⋅OA +sin2B ⋅OB +sin2C ⋅OC =0；③若O 为△ABC 的内心，则a ⋅OA +b ⋅OB +c ⋅OC =0；备注：若O 为△ABC 的内心，则sin A ⋅OA+sin B ⋅OB +sin C ⋅OC =0也对.④若O 为△ABC 的垂心，则tan A ⋅OA +tan B ⋅OB +tan C ⋅OC =0.试用“奔驰定理”或其它方法解决下列问题.(1)点P 在△ABC 内部，满足PA +2PB+3PC =0 ，求S △ABC :S △APC 的值；(2)点O 为△ABC 内一点，若S △AOB :S △BOC :S △AOC =4:3:2，设AO =λAB +μAC，求实数λ和μ的值；(3)用“奔驰定理”证明推论②.题型二：三角形面积比问题例8.(多选题)(2023·高一课时练习)若点O 为△ABC 所在平面内一点，AO =13AB +49AC ，则下列选项正确的是( )A.直线AO 必过BC 边的中点B.S △AOC :S △ABC =1:3C.若△ABC 的面积为9，则△AOB 的面积是4D.2OA +3OB +4OC =0例9.(多选题)(2023春·江苏南京·高二金陵中学校考阶段练习)已知点O 为△ABC 所在平面内一点，且AO +2OB +3OC =0 ，则下列选项正确的是( )A.AO =12AB +34ACB.直线AO 必过BC 边的中点C.S △AOB :S △AOC =3:2D.若OB =OC =1，且OB ⊥OC，则OA =13例10.(2023·江苏泰州·高三阶段练习)已知点O 为△ABC 内一点，且OA +2OB +3OC =0，则△AOB,△AOC ,△BOC 的面积之比等于_______．例11.(2023秋·江苏泰州·高三阶段练习)已知点O 为△ABC 内一点，且OA +2OB +3OC =0 ，则△AOB ，△AOC ，△BOC 的面积之比等于_________．例12.(2023·河南南阳·统考三模)已知O 为△ABC 内一点，且OA +2OB +3OC =0 ，则△AOB ，△AOC ，△BOC 的面积之比为________．例13.(2023·全国·高三专题练习)奔驰定理：已知O 是△ABC 内的一点，△BOC ，△AOC ，△AOB 的面积分别为S A ，S B ，S C ，则S A ⋅OA +S B ⋅OB +S C ⋅OC =0.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的log o 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.设O 为三角形ABC 内一点，且满足：OA +2OB +3OC =3AB +2BC +CA ，则S△AOB S △ABC=( )A.25B.12C.16D.13【同步练习】一、单选题1.(2023·全国·高三专题练习)已知P 为△ABC 内任意一点，若满足x PA +y PB +z PC =0x ,y ,z >0 ，则称P 为△ABC 的一个“优美点”．则下列结论中正确的有( )①若x =y =z =1，则点P 为△ABC 的重心；②若x =1，y =2，z =3，则S △PBC =16S △ABC；③若PA ⋅PB =PB ⋅PC =PA ⋅PC ，则点P 为△ABC 的垂心；④若x =1，y =3，z =1且D 为AC 边中点，则BP =25BD．A.1个B.2个C.3个D.4个2.(2023秋·河南安阳·高三阶段练习)P 是△ABC 所在平面上一点，满足PA +PB +PC =2AB，若S △ABC =12，则△PAB 的面积为( )A.4B.6C.8D.163.(2023·全国·高三专题练习)P 是△ABC 所在平面上的一点，满足PA +PB +PC =2AB ，若S △ABC =6，则△PAB 的面积为( ).A.2B.3C.4D.84.(2023春·安徽黄山·高一统考期末)已知O 是△ABC 所在平面内的一点，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a =3，b =2，c =4，若aOA +bOB +cOC =0，过O 作直线l 分别交AB 、AC (不与端点重合)于P 、Q ，若AP =λAB ，AQ =μAC ，若△PAO 与△QAO 的面积之比为32，则λμ=( )A.56B.13C.43D.345.(2023·全国·高三专题练习)已知点P 为ABC 内一点，PA +2PB+3PC =0 ，则△APB ，△APC ，△BPC 的面积之比为( )A.9:4:1B.1:4:9C.1:2:3D.3:2:16.(2023秋·河北邯郸·高三校联考阶段练习)已知点M 是△ABC 所在平面内一点，若AM =12AB +13AC ，则△ABM 与△BCM 的面积之比为( )A.83B.52C.2D.437.(2023春·陕西延安·高一校考阶段练习)已知M 是ΔABC 所在平面内一点，且满足2AM =14AB+34AC ，则ΔA MB 与ΔABC 的面积之比为A.1:4B.3:4C.3:8D.1:88.(2023秋·江西宜春·高三江西省丰城中学校考阶段练习)记△ABC 所在平面内一点为P ，满足xAB+yAC =AP ，其中x 2+y 2=1，则S △ABP S △ABC的取值范围为( )A.[2-1,+∞)B.(0,2-1]C.(0,1]D.[2+1,+∞)【答案】C【解析】过C 点作AB 的垂线，垂足为D ，则AC =AD +DC ，AP =xAB +y (AD +DC )，而AB 与AD 共线，易得S △ABP S △ABC=12|AB |⋅|y |⋅|DC |12|AB |⋅|DC |=|y |，而x 2+y 2=1，y ≠0，故S△ABP S △ABC ∈(0,1]，故选：C9.(2023秋·江西景德镇·高二校联考期末)已知点P 为ΔABC 内一点，且满足AP =12AB +13AC ，则SΔABC S ΔABP=A.2 B.3C.4D.5二、多选题10.(2023秋·辽宁大连·高一统考期末)已知点P 为△ABC 所在平面内一点，且PA +2PB +3PC =0 ，若E 为AC 的中点，F 为BC 的中点，则下列结论正确的是( )A.向量PA 与PC可能平行B.点P 在线段EF 上C.PE :PF=2:1D.S △PAB :S △PAC :S △PBC =1:2:3三、填空题11.(2023·全国·高三专题练习)如图，P 为△ABC 内任意一点，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .总有优美等式S △PBC PA +S △PAC PB+S △PAB PC =0 成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.现有以下命题：①若P 是△ABC 的重心，则有PA +PB +PC =0 ；②若aPA +bPB+cPC =0 成立，则P 是△ABC 的内心；③若AP =25AB +15AC ，则S △ABP :S △ABC =2:5；④若P 是△ABC 的外心，A =π4，PA=mPB +nPC ，则m +n ∈-2,1 .则正确的命题有___________.12.(2023·全国·高一专题练习)设P 为ΔABC 所在平面上一点，且满足3PA +4PC=mAB (m >0).若ΔABP 的面积为8，则ΔABC 的面积为__________.13.(2023春·河南濮阳·高一统考期中)P 是△ABC 所在平面上的一点，满足PA +PB +PC =2AB ，若S △PAB =4，则△ABC 的面积为___________.14.(2023·湖北·高三竞赛)已知P 是ΔABC 所在平面上一点，满足PA +PB +2PC =3AB .则ΔABP 与ΔABC 的面积之比为_______.15.(2023·全国·高三竞赛)设P 是△ABC 所在平面内一点，满足PA +PB +PC =3AB ，若△PAC 的面积为1，则△PAB 的面积为__________.16.(2023·全国·高三专题练习)已知点P 为△ABC 内一点，2PA +3PB +5PC =0 ，则△APB ,△APC ,△BPC 的面积之比为______．17.(2023·上海·高三专题练习)已知ΔABC 的面积为360，点P 是三角形所在平面内一点，且AP =14AB +14AC，则ΔPAB 的面积为__．四、解答题18.(2023春·山东济南·高一统考期末)在△ABC 中，点P 为△ABC 内一点．(1)若点P 为△ABC 的重心，用AB ，AC 表示AP；(2)记△PBC ，△PAC ，△PAB 的面积分别为S A ，S B ，S C ，求证：S A PA +S B PB+S C PC =0；(3)若点P 为△ABC 的垂心，且PA +2PB+3PC =0，求cos ∠APB ．19.(2023春·河北保定·高二河北省曲阳县第一高级中学校考阶段练习)已知点P 为△ABC 内一点2PA +3PB +5PC =0 ，若F 为AC 中点，G 为BC 中点，|PF||PG |=___________．△APB,△APC ,△BPC 的面积之比为_____________．。
初中数学 如何使用勾股定理计算三角形的面积
初中数学如何使用勾股定理计算三角形的面积
勾股定理是一个三角形的重要定理，它可以帮助我们计算三角形的边长和面积。
勾股定理指出，在一个直角三角形中，直角边的平方等于两个直角边的平方和。
以下是使用勾股定理计算三角形面积的方法：
假设已知一个直角三角形ABC，其中直角边为AB，斜边为AC，直角边和斜边的长度分别为a，b，c。
方法1：使用勾股定理和面积公式
步骤1：根据勾股定理，可得到以下关系：
- a² + b² = c²
步骤2：根据三角形的面积公式，可得到以下关系：
-面积= (1/2) * 直角边1 * 直角边2
步骤3：将勾股定理中的等式代入面积公式，整理得到以下关系：
-面积= (1/2) * a * b
方法2：使用勾股定理和海伦公式
步骤1：根据勾股定理，可得到以下关系：
- a² + b² = c²
步骤2：根据海伦公式，可得到以下关系：
-面积= √[s * (s - a) * (s - b) * (s - c)]
其中，s为半周长，s = (a + b + c) / 2
需要注意的是，以上方法适用于直角三角形。
对于一般的三角形，我们可以先使用勾股定理判断是否为直角三角形，然后再进行计算。
通过以上方法，我们可以计算出三角形的面积。
在计算过程中，需要注意保持精度和正确使用长度单位。
勾股定理简介及应用
勾股定理简介及应用勾股定理是古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前6世纪提出的一条三角形重要的几何定理，它可以用来计算三角形的边长或角度。
勾股定理的表述是：在一个直角三角形中，直角边的平方等于斜边的两个边的平方和。
即a²+ b²= c²，其中a和b是直角三角形的两个直角边，c是斜边。
勾股定理的应用非常广泛，可以用来解决各种实际问题，以下是一些典型的应用：1. 面积计算：勾股定理可以用来计算三角形的面积。
根据定理，面积等于直角边的乘积的一半。
例如，一个直角边长为a，另一个直角边长为b的直角三角形的面积为1/2 * a * b。
2. 边长计算：勾股定理可以用来计算三角形的边长。
如果已知两个边长a和b，可以用勾股定理求解斜边的长度c。
例如，已知一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4，可以用勾股定理计算出斜边的长度为5。
3. 角度计算：勾股定理可以用来计算三角形的角度。
根据定理，如果已知三角形的两个边长a和b，并且要求斜边与其中一个直角边之间的角度，可以使用反正弦函数求解。
例如，已知一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4，可以用反正弦函数求解出斜边与边长为3的直角边之间的角度。
4. 判断三角形类型：勾股定理可以用来判断三角形的类型。
如果三个边长满足勾股定理，即a²+ b²= c²，那么这个三角形是直角三角形；如果两个边长的平方和小于第三个边长的平方，即a²+ b²< c²，那么这个三角形是钝角三角形；如果两个边长的平方和大于第三个边长的平方，即a²+ b²> c²，那么这个三角形是锐角三角形。
5. 应用于解决实际问题：勾股定理可以用来解决很多实际问题，例如在建筑工程中计算屋顶的坡度和高度、在导航中确定航程和航向、在物理中计算物体的运动轨迹等等。
总结来说，勾股定理是一条非常重要和实用的几何定理，它不仅可以用来计算三角形的边长和角度，还可以用来解决各种实际问题。
一类三角形的面积比问题
一类三角形的面积比问题定理 在ABC ∆中，点P 满足∈=++νμλνμλ,,(0PC PB PA R 且)0≠++νμλ，则0≠++νμλ，(::::νμλ=∆∆∆PAB PCA PBC S S S 当C B P ,,共线时，约定0=∆PBC S ；当A C P ,,共线时，约定0=∆PCA S ；当B A P ,,共线时，约定)0=∆PAB S ．证明 以射线AB 为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系(如图1所示).图1设),(),0,(),0,(w v C u B u A -，得0≠uw ．又设),(y x P ，由0=++PC PB PA νμλ得0=++CP BP AP νμλ，所以)0,0(),(),(),(=--+-++w y v x y u x y u x νμλw y ννμλ=++)( 若0=++νμλ，得0=w ν，因为0≠uw ，所以0=ν，得0==+νμλ． 再由0=++PC PB PA νμλ，得0,0==λλAB ，所以0===νμλ，这与题设0≠++νμλ矛盾！所以0≠++νμλ，得νμλν++=w y ． 又因为),(w v C ，所以νμλν++=∆∆ABC PAB S S ． 同理，有νμλμνμλλ++=++=∆∆∆∆ABC PCA ABC PBC S S S S ,． 所以νμλ::::=∆∆∆PAB PCA PBC S S S .定理获证．注 有很多文献(比如文献[1])也研究了以上定理的结论，但都限定了∈νμλ,,R +． 推论1 若点P 在ABC ∆内，则=++∆∆∆PC S PB S PA S APB CPA BPC 0．推论2 (1)若点G 是ABC ∆的重心，则=++GC GB GA 0；(2)若点I 是ABC ∆的内心，则=++IC c IB b IA a 0(其中,,a BC b CA c AB ===)；(3)若点O 是锐角ABC ∆的外心，则=++OC C OB B OA A )2sin ()2sin ()2sin (0；(4)若点H 是锐角ABC ∆的垂心，则=++HC C HB B HA A )(tan )(tan )(tan 0． 证明 (1)在ABC ∆中，设射线AG 交BC 于点D.由点G 是ABC ∆的重心，得3AD GD =，所以13BGC BAC S S ∆∆=. 同理，可得13BGC CGA AGB BAC S S S S ∆∆∆∆===. 再由推论1，立得欲证结论成立.(2)可设ABC ∆的内切圆⊙I 的半径是r ，得111::::::222BIC CIA AIB S S S ar br cr a b c ∆∆∆== 再由推论1，立得欲证结论成立.(3)可设ABC ∆的外接圆⊙O 的半径是R ，得222111::sin :sin :sin sin 2:sin 2:sin 2222BOC COA AOB S S S R BOC R COA R AOB A B C ∆∆∆=∠∠∠=再由推论1，立得欲证结论成立.(4)如图2所示，设N AC BH M AB CH =⋂=⋂,，得BA B BM HBM BM CM HM S S ABC AHB tan tan 1tan tan =∠==∆∆ 同理，有CB S S AC S S ABC BHC ABC CHA tan tan 1,tan tan 1==∆∆∆∆． 所以C B A S S S AHB CHA BHC tan :tan :tan ::=∆∆∆，再由推论1可得欲证．图2下面举例说明以上诸结论的应用.题1 (2008年西北工业大学自主招生高考测试数学试题第6题)设M 为ABC ∆内一点，且AC AB AM 5141+=，则ABM ∆与ABC ∆的面积之比为( ) A.51 B.32 C.52 D.41 解 A .可得0MC AB MA AC AB MA 45114520++==++= ，由定理得ABM ∆与ABC ∆的面积之比为5145114=++． 题2 (2008年全国高中数学联赛(吉林赛区)预赛暨2008年吉林省高中数学竞赛试题第3题)已知A B C 、、是平面上不共线的三点，G 是ABC ∆的重心，动点P 满足1112322G P G A G B G C ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则点P 一定为ABC ∆的( ) A.AB 边上中线的中点 B.AB 边上中线的三等分点(非重心) C.重心 D.AB 边的中点 解 B .由题设及推论2(1)，可得64=3,2GP GA GB GC GC GC GP =++=所以选B.题3 (2006年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试卷第一试第5题)如图3所示，设P 为ABC ∆内一点，且2155AP AB AC =+，则ABP ∆的面积与ABC ∆的面积之比等于( ) A.15 B.25 C.14 D.13图3解 A.可得2+2PA PB PC +=0，再由定理可得答案.题 4 (2004年全国高中数学联赛第一试第4题)设点O 在ABC ∆的内部，且有23OA OB OC ++=0，则ABC ∆的面积与AOC ∆的面积的比为( )A.2B.32C.3D.53解 C .由定理可得ABC ∆的面积与AOC ∆的面积的比为12332++=. 题 5 (2012年全国高中数学联赛山东赛区预赛试题第14题)设O 为ABC ∆内一点，且AC AB AO 4131+=，则OAB ∆的面积与OBC ∆的面积比为 . 解 53.可得=++OC OB OA 3450，再由定理1(3)可得答案. 题6 (2012年全国高中数学联赛福建赛区预赛试题第4题)已知点O 在ABC ∆内部，且AO CA BC AB 423=++，记ABC ∆的面积为1S ，OBC ∆的面积为2S ，则21S S 的值为 .解 2.可得=++OC OB OA 20，再由定理可得答案.题7 (2012年全国高中数学联赛吉林赛区预赛试题第7题)已知P 在ABC ∆所在平面内一点，满足BC PC PB PA =--，则ABP ∆与ABC ∆的面积之比为 .解 2:1.可得=--PC PB PA 200，再由定理可得答案.题8 (2011年全国高中数学联赛湖北赛区预赛试题(高二年级)第1题)已知P 是ABC ∆所在平面上一点，满足AB PC PB PA 32=++，则ABP ∆与ABC ∆的面积之比为 .解 21.可得=+-PC PB PA 20，再由定理可得答案. 题9 设H 是ABC ∆的垂心，5,6AB AC BC ===.若AH mAB nBC =+，则m n += .解 2132.可求得244tan ,tan tan 73A B C ===，所以ABC ∆是锐角三角形. 由AH mAB nBC =+，得(1)()m HA n m HB nHC -+--=0．由推论2(4)，可得2444(1):():()::733m n m n ---= 14721,,323232m n m n ==+= 题10 (2008年南京大学自主招生试题第3题)设O 是ABC ∆内任意一点，证明：=++∆∆∆OC S OB S OA S AOB COA BOC 0．(显然，该题就是推论1．)题11 在ABC ∆所在的平面上求一点P ，使222PA PB PC ++取最小值.解 设ABC ∆的重心为点G ，由推论2(1)，可得222222=()()()PA PB PC GA GP GB GP GC GP ++-+-+-2222=2()3GA GB GC GP GA GB GC GP ++-⋅+++2222=3GA GB GC GP +++所以当且仅当点P 是ABC ∆的重心G 时，222PA PB PC ++取最小值.题12 在ABC ∆中，=,,BC a CA b AB c ==.若M 是ABC ∆的内切圆⊙I 上的任意一点，试判断222aMA bMB cMC ++是否为定值？并说明理由.解 设⊙I 的半径为r ，由推论2(2)，可得 222222=()()()aMA bMB cMC a MI IA b MI IB c MI IC +++++++2222()2()a b c MI aIA bIB cIC MI aIA bIB cIC ++++++⋅++ 2222()a b c r a IA b IB c IC =+++++ 由题设可知，,,,,,,a b c r IA IB IC 均为定值，所以222aMA bMB cMC ++为定值.题13 在ABC ∆中，=,,,,,BC a CA b AB c a b c ==成递增的等差数列，点G ，I 分别为ABC ∆的重心和内心，求证：//GI AC .证明 设O 为ABC ∆所在平面上的任一点，由推论2(1)可得 ()()()OA OG OB OG OC OG -+-+-=01()3OG OA OB OC =++ 再由推论2(2)，得 ()()()a OA OI b OB OI c OC OI -+-+-=01()OI aOA bOB cOC a b c=++++ 再由2a c b +=，得 21()3()3OI aOA cOC OB a c =+++ 所以211()()3()33GI OI OG aOA cOC OB OA OB OC a c =-=++-+++()03()3()3()a c a c a c OA OC CA a c a c a c ⎛⎫---=-=< ⎪+++⎝⎭所以//GI AC .题14 已知ABC ∆的外接圆⊙O 的半径是R ，内切圆⊙I 的半径是r ，求证：222R OI Rr -=.证明 设=,,BC a CA b AB c ==.由推论2(2)，(详细过程见题13的解答)可得1()OI aOA bOB cOC a b c =++++ 222222(2cos 2cos 2cos )()R OI a b c ab AOB bc BOC ca COA a b c =+++∠+∠+∠++ 22222(2cos 22cos 22cos 2)()R a b c ab C bc A ca B a b c =+++++++ 所以2222[2(1cos 2)2(1cos 2)2(1cos 2)]()R R OI ab C bc A ca B a b c -=-+-+-++ 222224(sin sin sin )()R ab C bc A ca B a b c =++++ 228(sin sin sin )()ABC R S C A B a b c ∆=++++ 228()222ABC R S c a b a b c R R R ∆⎛⎫=++ ⎪++⎝⎭441()2()()2ABC R R S a b c r Rr a b c a b c ∆==⋅++=++++参考文献1 吕辉. 三角形面积比问题的解法探究[J]. 中学生数学，2010(4上)：21。
关于三角形面积比的定理及其应用
关于三角形面积比的定理及其应用三角形面积比定理是指，在一个三角形内，任意两个内心所在的三角形的面积之比等于这两个内心所在的三角形的对应边的长度之比的平方。
这一定理的证明可以用到勾股定理和海伦公式。
三角形面积比定理的应用非常广泛，主要体现在几何学中。
例如，可以使用三角形面积比定理来解决三角形的面积问题。
如果已知一个三角形的两个内心所在的三角形的面积之比和对应边的长度之比，就可以使用三角形面积比定理来求出这个三角形的面积。
此外，三角形面积比定理还可以用于求解平行四边形的面积问题。
如果已知一个平行四边形的对角线交于一点，那么可以将平行四边形分成两个三角形，再利用三角形面积比定理来求解平行四边形的面积。
另外，三角形面积比定理还可以用于求解复杂的几何问题。
例如，可以使用三角形面积比定理来解决三角形的高和底面积之比的问题，或者求解三角形的内心所在的三角形的面积与外接圆的面积之比的问题。
总之，三角形面积比定理是一个非常重要的定理，在几何学中有着广泛的应用，可以帮助我们解决复杂的几何问题。
相似三角形的性质(2-2)
相似三角形的性质（二）教学目的：1、使学生掌握相似三角形的性质定理2、3 并会应用。
2、培养学生对探讨性题目深入分析，扩展思路。
教学重点：相似三角形性质定理的正确运用。
教学难点：相似三角形判定定理3的反向应用，即有面积比求相似比。
教学方法：探索方法。
教学过程：复习提问：叙述相似三角形的性质定理1。
新课讲解：让学生类比“全等三角形的周长相等”，得出性质定理 2 。
性质定理 2：相似三角形周长的比等于相似比。
∵△ABC ∽△A ′B ′C ′∴ k A C C B B A CA BC AB =''+''+''++ 同样，让学生类比“全等三角形的面积相等”，的出命题。
“相似三角形面积的比等于相似比”教师对学生作出的这种判断暂时不作否定，特征明确后再强调是“相似比的平方”，以加深学生的影响。
性质定理 3：相似三角形面积的比，等于相似比的平方。
∵△ABC ∽△A ′B ′C ′∴ 22)(k B A AB S S C B A ABC =''='''∆∆ 注：（1）在应用性质定理3时要注意有相似比求面积必要平方，这一点学生容易掌握，但反过来，由面积比求相似比要开方，学生往往掌握不好，教学时可增加一些这方面的练习。
（2）在掌握相似三角形性质时，一定要注意相似前提，如：两个三角形周长比是32，它们的面积之比不一定是94，因为没有明确指出这两个三角形是否相似，以此教育学生要认真审题。
例 1 ：已知：如图：△ABC ∽△A ′B ′C ′，它们的周长分别是 60 cm 和72 cm ，且AB ＝15 cm ，B ′C ′＝24 cm ，求BC 、AB 、A ′B ′、A ′C ′。
分析：根据相似三角形周长的比等于相似比学生可以自己解决。
例 2 ：有同一三角形地快的甲、乙两地图，比例尺分别为1∶200和1∶500，求：甲地图与乙地图的相似比和面积比。
相似三角形的性质及应用(解析版)
4.5相似三角形的性质及应用一、相似三角形的性质1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比.相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 要点：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 3. 相似三角形周长的比等于相似比∽，则由比例性质可得：4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方∽，则分别作出与的高和，则21122=1122ABCA B C BC AD k B C k A D S k S B C A D B C A D '''''''⋅⋅⋅⋅=='''''''''⋅⋅△△要点：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 二、三角形的重心三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，三角形的重心分每一条中线成1:2的两条线段.OEFDABC即12OD OE OF OA OB OC === . 要点：H OEFDAB C过点E 作EH ∥BC 交AD 于H ，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得CD=2EH ，从而得到BD=2EH ，再根据△BDO 和△EHO 相似，利用相似三角形对应边成比例列出比例式计算即可得证1=2OE HE OB BD ，同理其他比例也可以得到． 三、相似三角形的应用1.测量高度测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.要点：测量旗杆的高度的几种方法：平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法2.测量距离测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。
1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC 、BD 、CE 的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB 的长.2．如乙图所示，可先测AC 、DC 及DE 的长，再根据相似三角形的性质计算AB 的长.要点：1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离;2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比;3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）; 4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角． 一、单选题1．两三角形的相似比是2：3，则其对应角的角平分线之比是（ ） A ．2:3 B ．2：3 C ．4：9 D ．8：27 【解答】B【提示】根据相似三角形对应角平分线的比等于相似比解答即可． 【详解】解：∵两三角形的相似比是2：3， ∴相似三角形对应角平分线的比是2：3，故选：B ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，主要利用了相似三角形对应角平分线的比，对应高的比，对应中线的比都等于相似比的性质．2．已知ABC DEF ∽△△，ABC 与DEF 的面积之比为1：2，若BC 边上的中线长为1，则EF 边上的中线长是（ ） A ．2 B ．2 C ．3D ．4【解答】A【提示】由ABC DEF ∽△△，ABC 与DEF 的面积之比为1：2可知：相似比为1:2，则对应中线的比为1:2，即可求出答案．【详解】∵ABC DEF ∽△△，ABC 与DEF 的面积之比为1：2 ∴相似比为1:2 ∴其对应中线的比为1:2 ∵BC 边上的中线长为1 ∴EF 边上的中线长是2 故选：A【点睛】本题主要考查了相似三角形的相似比的相关知识点，熟练掌握相似三角形面积比、相似比、对应边的高线、中线的比的关系是解题的关键，属于基础知识题．3．如图点D 、E 分别在△ABC 的两边BA 、CA 的延长线上，下列条件能判定ED ∥BC 的是（ ）．A ．AD DEAB BC =； B ．AD AE AC AB =；C ．AD AB DE BC ⋅=⋅； D ．AD AC AB AE ⋅=⋅． 【解答】D【提示】根据选项选出能推出ADE ABC ∆∆∽，推出D B ∠=∠或E C ∠=∠的即可判断． 【详解】解：A 、∵AD DEAB BC =，EAD BAC ∠=∠，不符合两边对应成比例及夹角相等的相似三角形判定定理. 无法判断ADE ∆与ABC ∆相似，即不能推出//DE BC ，故本选项错误；B 、AD AE AC AB =EAD BAC ∠=∠， ADE ACB ∴∆∆∽，E B ∴∠=∠，D C ∠=∠，即不能推出//DE BC ，故本选项错误；C 、由AD AB DE BC ⋅=⋅可知AB DEBC AD =，不能推出DAE BAC ∆∆∽，即不能推出D B ∠=∠，即不能推出两直线平行，故本选项错误；D 、∵AD AC AB AE ⋅=⋅，AD AEAB AC ∴=，EAD BAC ∠=∠， DAE BAC ∴∆∆∽，D B ∴∠=∠，//DE BC ∴，故本选项正确；故选：D ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定和平行线的判定的应用，主要考查学生的推理和辨析能力，注意：有两组对应边的比相等，且这两边的夹角相等的两三角形相似． 4．已知ABC 与DEF 相似，且A D ∠=∠，那么下列结论中，一定成立的是（ ） A ．B E ∠=∠ B ．AB ACDE DF =C ．相似比为AB DED ．相似比为BCEF【解答】D【提示】根据相似三角形的性质对不同的对应角和对应边进行分类讨论．【详解】解：∵B 可以与E 对应，也可以与F 对应，∴∠B=∠E 或∠B=∠F ，A 不一定成立； 同上，AB 可以与DE 对应，也可以与DF 对应，∴AB AC DE DF =或AB ACDF DE =，B 不一定成立；同上，AB 可以与DE 对应，也可以与DF 对应，∴相似比可能是AB DE ，也可能是ABDF ，C 不一定成立；∵∠A=∠D ，即∠A 与∠D 是对应角，∴它们的对边一定是对应比，即BC 与EF 是对应比，∴相似比为BCEF ，∴D 一定成立， 故选D ．【点睛】本题考查相似三角形的性质，注意相似三角形的性质是针对对应角和对应边而言的． 5．如图，小明站在 C 处看甲、乙两楼楼顶上的点 A 和点 E ．C ，E ，A 三点在同一直线上，B ，C 相距 20 米，D ，C 相距 40 米，乙楼的高 BE 为 15 米，小明的身高忽略不计，则甲楼的高 AD 为 （ ）A ．40 米B ．20 米C ．15 米D ．30 米【解答】D【提示】证明ADC EBC ∽△△，利用相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：由题意可知：90ADC ∠=︒，90EBC ∠=︒，C ∠是公共角，∴ADC EBC ∽△△， ∴AD DCEB BC =， ∵20m BC =，40m DC =，15m BE =， ∴40=15=30m 20DC AD EB BC =⨯⨯．故选：D【点睛】本题考查相似三角形的判定及性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定及性质． 6．如图，在Rt △ABC 中，90ACB ∠=，CD AB ⊥垂足为D ，那么下列结论错误的是（ ）A ．22AC BD BC AD ⋅=⋅B ．22BC BD CD AB ⋅=⋅C ．AD BC AC CD ⋅=⋅ D ．CD BC AC BD ⋅=⋅ 【解答】B【提示】根据直角三角形的性质与相似三角形的判定可知△ADC ∽△CDB ∽△ACB ，利用相似三角形的对应线段成比例即可求解. 【详解】∵∠ACB=90°，CD ⊥AB ， ∴△ADC ∽△CDB ∽△ACB ∴AC2=AD·AB ，BC2=BD·AB ，故22AC BD BC AD ⋅=⋅，A 正确，B 错误；∵△ADC ∽△CDB∴AD AC CDCD BC BD == ∴AD BC AC CD ⋅=⋅，CD BC AC BD ⋅=⋅,C,D 选项正确； 故选B.【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知直角三角形的性质及相似三角形的判定.7．如图，E ，F 是平行四边形ABCD 对角线AC 上两点，AE=CF=14AC ．连接DE ，DF 并延长，分别交AB ，BC 于点G ，H ，连接GH ，则ADG BGHS S △△的值为（ ）A ．12B ．23C ．34D ．1【解答】C【提示】首先证明AG ：AB=CH ：BC=1：3，推出GH ∥AC ，推出△BGH ∽△BAC ，可得223924ADC BAC BGHBGHS S BA SSBG （）（）====,13ADG ADCSS=，由此即可解决问题．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AD=BC ，DC=AB ， ∵AC=CA ， ∴△ADC ≌△CBA ， ∴S △ADC=S △ABC ，∵AE=CF=14AC ，AG ∥CD ，CH ∥AD ，∴AG ：DC=AE ：CE=1：3，CH ：AD=CF ：AF=1：3， ∴AG ：AB=CH ：BC=1：3， ∴GH ∥AC ， ∴△BGH ∽△BAC ， ∴223924ADC BAC BGHBGHS S BA S SBG （）（）====，∵13ADG ADCS S=，∴913434ADG BGHS S=⨯=.故选C ．【点睛】本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．8．如图，在正方形ABCD 中，ABP 是等边三角形，AP 、BP 的延长线分别交边CD 于点E 、F ，联结AC 、CP 、AC 与BF 相交于点H ，下列结论中错误的是（ ）A ．AE=2DEB ．CFP APHC ．CFP APCD ．2CP PH PB =⋅【解答】C【提示】A.利用直角三角形30度角的性质即可解决问题． B.根据两角相等两个三角形相似即可判断．C.通过计算证明∠DPB≠∠DPF ，即可判断．D.利用相似三角形的性质即可证明． 【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠D=∠DAB=90°， ∵△ABP 是等边三角形， ∴∠PAB=∠PBA=∠APB=60°， ∴∠DAE=30°， ∴AE=2DE ，故A 正确; ∵AB ∥CD ，∴∠CFP=∠ABP=∠APH=60°，∵∠PHA=∠PBA+∠BAH=60°+45°=105°， 又∵BC=BP ，∠PBC=30°， ∴∠BPC=∠BCP=75°， ∴∠CPF=105°，∴∠PHA=∠CPF ，又易得∠APB=∠CFP=60°， ∴△CFP ∽△APH ，故B 正确; ∵∠CPB=60°+75°=135°≠∠DPF ， ∴△PFC 与△PCA 不相似，故C 错误; ∵∠PCH=∠PCB-∠BCH=75°-45°=30°， ∴∠PCH=∠PBC ， ∵∠CPH=∠BPC ， ∴△PCH ∽△PBC ，∴PC PHPB PC =,∴PC2=PH•PB ，故D 正确， 故选：C ．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正方形的性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．9．如图所示，D 、E 分别是ABC ∆的边AB 、BC 上的点，且//DE AC ，AE 、CD 相交于点O ．若45::2DOE COA S S ∆∆=，则BDES ∆与CDE S ∆的比是（ ）A ．1：2B ．1： 3C ．2：3D ．2：5 【解答】C【提示】利用相似三角形的性质解决问题即可． 【详解】解：∵//DE AC ， ∴DEO CAO ∆∆∽， ∵45::2DOE COA S S ∆∆=，∴2425DE AC ⎛⎫=⎪⎝⎭，∴25DE AC =， ∵//DE AC ， ∴25BE DE BC AC ==， ∴23BE EC =，∴BDES ∆与CDE S ∆的比2:3=，故选：C ．【点睛】本题主要考查的是相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的性质和判定定理是解题的关键．10．如图，正方形ABCD 和正方形CGFE 的顶点,,C D E 在同一条直线上，顶点, ,B C G 在同一条直线上．O 是EG 的中点，EGC ∠的平分线GH 过点D ，交BE 于点H ，连接FH 交EG 于点M ，连接OH 交EC 于点N ．则BCCG 的值为（ ）A ．31-B ．3C ．21-D ．2【解答】C【详解】∵四边形ABCD 和四边形CGFE 是正方形，,,BC DC CE CG BCE DCG ∴==∠=∠．在BCE和DCG △中，,,(),,BC DC BCE DCG BCE DCG SAS BEC BGH CE CG =⎧⎪∠=∠∴∴∠=∠⎨⎪=⎩≌．90BGH CDG ∠+∠=︒，,90CDG HDE BEC HDE ∠=∠∴∠+∠=︒．GH BE ∴⊥．GH 平分,EGC BGH EGH ∠∴∠=∠．()BGH EGH ASA ∴≌．BH EH ∴=．又O 是EG 的中点，//HO BG ∴．D C DHN G ∴∽△△．DN HN DC CG ∴=．设HN a =，正方形ECGF 的边长是2b ，则2BC a =，22,,22b a aCD a NC b a b -==∴=，即2220a ab b +-=，解得(12)a b =-+或(12)a b =--（舍去），则221,212a BCb CG =-∴=-．二、填空题11．若两个相似三角形的面积比是9：25，则对应边上的中线的比为 _________． 【解答】3：5【提示】根据相似三角形的性质：相似三角形对应边上的中线之比等于相似比即可得出答案． 【详解】∵两个相似三角形的面积比是9：25 ∴两个相似三角形的相似比是3：5 ∴对应边上的中线的比为3：5 故答案为：3：5．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 12．如图，△ABC ∽△CBD ，AB=9，BD=25，则BC=______．【解答】15【提示】根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算即可求解． 【详解】解：∵△ABC ∽△CBD ，∴AB CBCB BD =，即2BC AB BD =⨯， AB=9，BD=25，2292522515BC AB BD ∴=⨯=⨯==，15BC =∴， 故答案为：15【点睛】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质列出比例式是解题的关键． 13．一个三角形三边长度之比为2：5：6，另一个与它相似的三角形最长边为24，则三角形的最短边为_________． 【解答】8【提示】首先设与它相似的三角形的最短边的长为x ，然后根据相似三角形的对应边成比例，即可得方程，解此方程即可求得答案．【详解】解：设与它相似的三角形的最短边的长为x ，则 2624x =，∴8x =；∴三角形的最短边为8． 故答案为：8．【点睛】此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，注意掌握相似三角形的对应边成比例定理的应用．14．如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 的中点，连接AE ，过点E 作EF AE ⊥交DC 于点F ．若4AB =，6BC =，则DF 的长为______．【解答】74【提示】结合矩形的性质证明BAECEF ∆∆可求得CF 的长，再利用DF CD DF =-可求解．【详解】解：四边形ABCD 为矩形，90B C ∴∠=∠=︒，4CD AB ==，90BAE AEB ∴∠+∠=︒，EF AE⊥，90AEF∴∠=︒，90AEB CEF∴∠+∠=︒，BAE CEF∴∠=∠，BAE CEF∴∆∆，::AB CE BE CF∴=，E是BC的中点，6BC=，3BE CE∴==，4AB=，4:33:CF∴=，解得94CF=，97444DF CD DF∴=-=-=．故选：7 4．【点睛】本题主要考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，证明BAE CEF∆∆是解题的关键．15．用杠杆撬石头的示意图如图所示，P是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕P点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起8cm，已知杠杆的动力臂AP与阻力臂BP之比为4：1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压_____cm．【解答】32【提示】首先根据题意画出图形，然后根据△APM∽△BPN有AP AMBP BN=，然后再利用动力臂AP与阻力臂BP之比为4：1和8BN≥即可求出AM的最小值．【详解】解：如图：AM、BN都与水平线垂直，即AM∥BN；∴△APM∽△BPN；∴APBP＝AMBN，∵杠杆的动力臂AP与阻力臂BP之比为4：1，∴AMBN＝41，即AM＝4BN；∴当BN≥8cm时，AM≥32cm；故要使这块石头滚动，至少要将杠杆的端点A 向下压32cm ． 故答案为：32．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质的应用，掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 16．如图，已知,20,60AB BC ACBAD DAE AD DE AE ︒︒==∠=∠=，则DAC ∠的度数为_________．【解答】40°【提示】由AB BC ACAD DE AE ==可判定△ABC ∽△ADE ，得到∠BAC=∠DAE ，再根据20BAD ︒∠=，60DAE ︒∠=，可得出∠DAC 的度数.【详解】解：∵AB BC ACAD DE AE ==， ∴~ABC ADE ， ∴60BAC DAE ︒∠=∠=， 又∵20BAD ︒∠=， ∴40DAC ︒∠=． 故答案为：40°.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是能根据AB BC ACAD DE AE ==判定出△ABC ∽△ADE.17．如图，已知在ABC 中，90C ∠=︒，10AB =，1cot 2B =，正方形DEFG 的顶点G 、F 分别在边AC 、BC 上，点D 、E 在斜边AB 上，那么正方形DEFG 的边长为_____．【解答】207【提示】作CM ⊥AB 于M ，交GF 于N ，由勾股定理可得出AB ，由面积法求出CM ，证明△CGF ∽△CAB ，再根据对应边成比例，即可得出答案． 【详解】作CM ⊥AB 于M ，交GF 于N ，如图所示： ∵Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，1cot B 2=，∴设BC ＝k ，则AC ＝2k ，AB2＝AC2＋BC2，即：102＝（2k ）2＋k2，解得：k ＝25， ∴BC ＝25，AC ＝45， ∴CM ＝AC BC AB ⋅＝452510⨯＝4，∵正方形DEFG 内接于△ABC ， ∴GF ＝EF ＝MN ，GF ∥AB ， ∴△CGF ∽△CAB ，∴CN GF =CM AB ，即4EF EF410-=， 解得：EF ＝207；故答案为：207．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理等知识；正确作出辅助线、灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．18．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点E 是边AC 上一点，以BE 为斜边往BC 侧作等腰Rt BEF △，连接,CF AF ，若6AB =，四边形ABFC 的面积为12，则AE =_________，AF =_________．【解答】 234【提示】如图，过点E 作EH AB ⊥于H ，过点F 作FQ AC ⊥，交AC 的延长线于Q ，由面积和差关系可求3BCF S ∆=，通过证明ABE CBF ∆∆∽，可得2()ABE BCF S AB S BC∆∆=，可求2EH =，由勾股定理可求AE ，BE ，EF 的长，通过证明BEH EFQ ∆∆∽，可得2BE EH BH EF QF EQ ===，可求22EQ =，2QF =，由勾股定理可求解．【详解】解：如图，过点E 作EH AB ⊥于H ，过点F 作FQ AC ⊥，交AC 的延长线于Q ，90ACB ∠=︒，AC BC =，2AB BC ∴，=6AB ，32AC BC ∴==四边形ABFC 的面积为12，12ABC BCF S S ∆∆∴+=， 3BCF S ∆∴=，等腰Rt BEF ∆，2BE BF ∴，45EBF∠=︒，=45ABC ∠︒，ABE CBF ∴∠=∠，2AB BE BC FB == ABE CBF ∴∆∆∽，∴2()ABE BCF S AB S BC ∆∆=， 326ABE S ∆∴=⨯=，∴162AB EH ⨯=，2EH ∴=，45CAB ∠=︒，EH AB ⊥，45CAB AEH ∴∠=∠=︒，2AH EH ∴==，222AE EH ==，4BH ∴=，2CE =，2221825BE CE BC ∴=+=+=，10EF ∴=，180AEH BEH FEB QEF ∠+∠+∠+∠=︒， 90BEH FEQ ∴∠+∠=︒，且90BEH EBH ∠+∠=︒EBH QEF ∴∠=∠，且90Q BHE ∠=∠=︒，BEH EFQ ∴∆∆∽， ∴2BE EH BHEF QF EQ ===， 22EQ ∴=，2QF =， 42AQ ∴=，2232234AF AQ QF ∴=+=+=，故答案为：22，34．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，利用相似三角形的性质求出EH 的长是本题的关键．三、解答题19．如图，在ABP 中，C ，D 分别是,AP BP 上的点．若4,5,6,3CD CP DP AC BD =====．(1)求证：ABP DCP ∽△△； (2)求AB 的长． 【解答】(1)见解析(2)AB＝8【提示】（1）△ABP与△DCP有公共角，分别计算PDPC与APBP的值，得到PD PCPA PB=，根据相似三角形的判定定理得出结论；（2）运用相似三角形的性质计算即可．（1）证明：∵CD＝CP＝4，DP＝5，AC＝6，BD＝3，∴AP＝AC+CP＝6+4＝10，BP＝BD+DP＝3+5＝8，∴54PDPC=，10584APBP==，∴PD APPC BP=，即PD PCPA PB=，∵∠DPC＝∠APB，∴△ABP∽△DCP；（2）解：∵△ABP∽△DCP，∴AB PBCD PC=，即844AB=，∴AB＝8．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，属于基础题．解决问题的关键是掌握：有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．20．如图，在矩形ABCD中，AB：BC＝1：2，点E在AD上，BE与对角线AC交于点F．(1)求证：△AEF∽△CBF；(2)若BE⊥AC，求AE：ED．【解答】(1)见解析(2)1：3【提示】（1）根据矩形的性质得到AD∥BC，然后根据相似三角形的判断方法可判断△AEF∽△CBF；（2）设AB=x，则BC=2x，利用矩形的性质得到AD=BC=2x，∠BAD=∠ABC=90°，接着证明△ABE∽△BCA，利用相似比得到AE=12x，则DE=32x，从而可计算出AE：DE．（1）解：证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∴△AEF∽△CBF；（2）设AB=x，则BC=2x，∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC=2x，∠BAD=∠ABC=90°，∵BE⊥AC，∴∠AFB=90°，∵∠ABF+∠BAF=90°，∠BAC+∠ACB=90°，∴∠ABF=∠ACB，∵∠BAE=∠ABC，∠ABE=∠BCA，∴△ABE∽△BCA，∴AE ABAB BC=，即2AE xx x=，∴AE=12x，∴DE=AD-AE=32x，∴AE：DE=13:22x x=1：3．【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等条件，同时利用相似三角形的性质进行几何计算．也考查了矩形的性质．21．如图，为了测量平静的河面的宽度EP，在离河岸D点3.2米远的B点，立一根长为1.6米的标杆AB，在河对岸的岸边有一根长为4.5米的电线杆MF，电线杆的顶端M在河里的倒影为点N，即PM PN=，两岸均高出水平面0.75米，即0.75DE FP==米，经测量此时A、D、N三点在同一直线上，并且点M、F、P、N N共线，点B、D、F共线，若AB、DE、MF均垂直与河面EP，求河宽EP是多少米？【解答】河宽为12米【提示】连接DF ，根据题意可得出四边形DEPF 为矩形，由ADB NDF ∽△△可求得DF ，便可解决问题．【详解】解：如图，连接DF ，∵点B 、D 、F 共线，DE 、MF 均垂直与河面EP ，且0.75DE FP ==， 4.5MF =， ∴四边形DEPF 为矩形， ∴DF EP =，∴ 4.50.75 5.25PN FM FP =+=+=， ∴ 5.250.756FN PN FP =+=+=， ∵AB 、DE 、MF 均垂直与河面EP ， ∴90ABD NFD ∠=∠=︒， ∵ADB NDF ∠=∠， ∴ADB NDF ∽△△； ∴AB NFBD DF =， ∵ 1.6AB =， 3.2BD =， ∴1.663.2DF =，∴12DF =， ∴12EP =（米）． 答：河宽EP 是12米．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，矩形的判定和性质等知识．关键是构造和证明三角形相似．22．如图，已知AD ，BC 相交于点E ，且△AEB ∽△DEC ，CD ＝2AB ，延长DC 到点G ，使CG ＝12CD ，连接AG ．(1)求证：四边形ABCG 是平行四边形；(2)若∠GAD ＝90°，AE ＝2，CG ＝3，求AG 的长． 【解答】(1)证明见解析； (2)35AG =【提示】（1）根据相似三角形的性质可得AB ∥CD ，再由CD ＝2AB ，CG ＝12CD ，可得AB ＝CG ，即可证明；（2）由平行四边形的性质可得AG ∥BC ，可得∠AEB ＝90°，再由CG ＝3可得AB ＝3，利用勾股定理可得BE ，再由相似三角形的性质可得CE ，从而得出BC ，即可求解． （1）证明：∵△AEB ∽△DEC ， ∴∠B ＝∠BCD ， ∴AB ∥CD ， 即AB ∥CG ，∵CD ＝2AB ，CG ＝12CD ，∴AB ＝CG ，∴四边形ABCG 是平行四边形； （2）解：∵四边形ABCG 是平行四边形，AE ＝2，CG ＝3， ∴AG ∥BC ，AG ＝BC ，AB ＝CG ＝3， ∵∠GAD ＝90°， ∴∠AEB ＝90°，在Rt △ABE 中，由勾股定理可得：BE 22AB AE -即BE ＝22325-=，∵△AEB ∽△DEC ， ∴12BE AB CE CD ==， ∴CE ＝25，∴BC ＝BE+CE ＝35， ∴AG ＝BC ＝35．【点睛】本题考查相似三角形的性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，勾股定理的运用，平行四边形的判定与性质．23．如图，在△ABC 中，AD 是角平分线，点E 是边AC 上一点，且满足ADE B ∠=∠．(1)证明：ADB AED ∆∆；(2)若3AE =，5AD =，求AB 的长． 【解答】(1)见解析(2)253【提示】（1）证出∠BAD=∠EAD ．根据相似三角形的判定可得出结论； （2）由相似三角形的性质可得出AD ABAE AD =，则可得出答案． （1）∵AD 是∠BAC 的角平分线， ∴∠BAD=∠EAD ． ∵∠ADE=∠B ， ∴△ADB ∽△AED ． （2）∵△ADB ∽△AED ， ∴AD ABAE AD =，∵AE=3，AD=5， ∴535AB =， ∴253AB =． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形内角和定理，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．24．已知：平行四边形ABCD ，E 是BA 延长线上一点，CE 与AD 、BD 交于G 、F ．求证：2CF GF EF =⋅．【解答】见解析【提示】根据平行四边形的性质得到AD BC ∥，AB CD ∥，得到△DFG ∽△BFC ，△DFC ∽△BFE ，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可． 【详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD BC ∥，AB CD ∥，∴△DFG ∽△BFC ，△DFC ∽△BFE ∴GF DF CF BF =，CF DFEF BF =， ∴GF CFCF EF =， 即2CF GF EF =⋅．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．25．如图，已知cm,cm,23,36,117AD a AC b BC AC B D ===∠∠=︒=︒，ABC DAC △∽△．（1）求AB 的长；（2）求DC 的长； （3）求BAD ∠的度数．【解答】（1）32cm a ；（2）2cm3b ；（3）153︒【提示】（1）由ABC DAC △∽△，可得：,AB BCAD AC =再代入数据可得答案；（2）由ABC DAC △∽△，可得：,AC BCDC AC =再代入数据可得答案；（3）由ABC DAC △∽△，可得：117,36,BAC D B DAC ∠=∠=︒∠=∠=︒再利用角的和差可得答案； 【详解】解：（1）23,,BC AC AD a ==3,2BC AC ∴= ABC DAC △∽△，,AB BCAD AC ∴= 3,2AB a ∴= 3.2AB a ∴=（2） ABC DAC △∽△，,AC BCDC AC ∴= 而3,,2BC AC b AC == 3,2b DC ∴=2.3DC b ∴=（3） ABC DAC △∽△，36,117,B D ∠=︒∠=︒117,36,BAC D B DAC ∴∠=∠=︒∠=∠=︒11736153.BAD BAC DAC ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角相等，对应边成比例是解题的关键.26．如图，在四边形ABCD 中，AC ，BD 交于点F ．点E 在BD 上，且BAE CAD ∠=∠，AB ACAE AD =．(1)求证：ABC AED ∽△△． (2)若20BAE ∠=︒，求∠CBD 的度数． 【解答】(1)证明见解析 (2)20︒【提示】（1）根据两边对应成比例，且夹角相等，两个三角形相似，即可证明．（2）根据（1）中ABC AED ∽△△，得出ADB ACB ∠=∠，再根据对顶角相等，AFD BFC ∠=∠，证得AFD BFC ∽△△，得出CBD CAD BAE ∠=∠=∠，即可求解． （1）∵BAE CAD ∠=∠∴BAE EAF CAD EAF ∠+∠=∠+∠， ∴BAC DAE ∠=∠， AB ACAE AD =，∵在ABC 和AED △中， AB ACAE AD BAC DAE ⎧=⎪⎨⎪∠=∠⎩，∴ABC AED ∽△△． （2）∵ABC AED ∽△△， ∴ADB ACB ∠=∠，又∵AFD BFC ∠=∠，对顶角相等，∴AFD BFC ∽△△， ∴CBD CAD ∠=∠，∵BAE CAD ∠=∠，20BAE ∠=︒，∴20CAD ∠=︒， 故答案为：20︒．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 27．如图，四边形ABCD 为正方形，且E 是边BC 延长线上一点，过点B 作BF ⊥DE 于F 点，交AC 于H 点，交CD 于G 点．(1)求证：△BGC ∽△DGF ； (2)求证：GD AB DF BG ⋅=⋅； (3)若点G 是DC 中点，求GFCE 的值．【解答】(1)见解析 (2)见解析 (3)5GF CE=【提示】（1）由正方形性质和题干已知垂直条件得直角相等，后由对顶角相等，进而得到△BGC ∽△DCF ．（2）由第一问的结论可得到相似比，既有DG BC DF BG ⋅=⋅，然后因为正方形四边相等，进行等量代换即可求出证明出结论．（3）通过ASA 判定出△BGC ≌△DEC ，进而根据第一问结论可得△BGC ∽△DGF ，然后通过相似比设未知数，赋值CG x =，即可求出GFCE 的值．（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形 ∴90BCD ADC ∠=∠=︒ ∵BF DE ⊥ ∴90GFD ∠=︒ ∴BCD GFD ∠=∠，又∵BGC DGF ∠=∠， ∴△BGC ∽△DCF ． （2）证明：由（1）知△BGC ∽△DGF ， ∴BG BCDG DF =， ∴DG BC DF BG ⋅=⋅ ∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB BC =∴DG AB DF BG ⋅=⋅． （3）解：由（1）知△BCC ∽△DGF ， ∴FDG CBG ∠=∠，在△BGC 与△DEC 中，,{,=,CBG CDE BCG DCE BC CD ∠=∠∠=∠ ∴△BGC ≌△DEC （ASA ） ∴CG EC = ∵G 是CD 中点 ∴CG DG = ∴::GF CE CF DC = ∵△BGC ∽△DGF ∴::GF DG CG BG =在Rt △BGC 中，设CG x =，则2BC x =，BC =∴CG BG =∴GF CE=【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形判定和性质，相似三角形判定和性质等知识点，熟练运用相似三角形判定和性质是解题的关键．28．如图1，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 是AB 边上一点（含端点A 、B ），过点B 作BE 垂直于射线CD ，垂足为E ，点F 在射线CD 上，且EF BE =，连接AF 、BF ．（1）求证：ABF CBE ∽；（2）如图2，连接AE ，点P 、M 、N 分别为线段AC 、AE 、EF 的中点，连接PM 、MN 、PN ．求PMN ∠的度数及MNPM 的值；（3）在（2）的条件下，若2BC =PMN 面积的最大值．【解答】（1）证明见解析；（2）135PMN ∠=；=2MN PM 3）14 【提示】（1）根据两边对应成比例，夹角相等判定即可．（2）PMN ∠的值可以根据中位线性质，进行角转换，通过三角形内角和定理求解即可，MNPM 的比值转换为AFCE 的比值即可求得.（3）过点P 作PQ 垂直于NM 的延长线于点Q ，12PMN S MN PQ =△，将相关线段关系转化为CE ，可得关系218PMN S CE =△，观察图象，当2CE BC == 【详解】（1）证明：∵90ACB ∠=︒，AC BC = ∴2AB BC =,45ABC BAC ∠=∠= ∵BE 垂直于射线CD , ∴90,BEF ∠= 又∵EF BE =∴2FB EB =,45FBE EFB ∠=∠= ∵+ABC ABE ABE FBE ∠∠=∠+∠ 即：ABF CBE ∠=∠又∵2AB BFCB BE == ∴ABF CBE ∽（2）解：∵点P 、M 、N 分别为线段AC 、AE 、EF 的中点∴//PM CN ，//MN AF ，11,22PM CE MN AF== ∴MPN CNP ∠=∠,CNM EFA ∠=∠∴+MPN MNP CNP MNP CNM EFA ∠∠=∠+∠=∠=∠ 又∵ABF CBE ∽ ∴90AFB CEB ∠=∠= 又∵45EFB ∠=∴904545EFA AFB BFE ∠=∠-∠=-= ∴+45MPN MNP ∠∠=又∵++180MPN MNP PMN ∠∠∠= ∴18045135PMN ∠=-=又∵12=12AFMN AFPM CECE = 又∵ABF CBE ∽ ∴=2AF AB CE CB = ∴=2MNPM（3）如下图：过点P 作PQ 垂直于NM 的延长线于点Q , 135,PMN ∠=︒ 45,PMQ MPQ ∴∠=︒=∠,PQ ∴= 111221222228216PMNS MN PQ AF PM AF CE AF CE ==⨯⨯==△又∵BC =∴AF =∴221168PMN S CE ==△∴当CE 取得最大值时，PMN 取得最大值， ,BE CE ⊥E ∴在以BC 的中点为圆心，BC 为直径的圆上运动，∴当CE CB ==CE 最大，∴11=2=84S ⨯， 【点睛】本题考查的是三角形相似和判定、以及三角形面积最大值的求法，根据题意找见相关的等量是解题关键．。
三角形面积与周长关系
三角形面积与周长关系三角形是初中数学中比较基础的一个概念，也是几何学中最基本的图形之一。
在三角形的学习中，我们不仅需要了解它的定义、性质等基础知识，还需要深入了解它的面积、周长等相关内容。
本文将重点介绍三角形面积与周长的关系，希望对初学者有所帮助。
一、三角形的面积三角形的面积是指由三角形内部的点所围成的平面图形的大小。
三角形的面积公式为：S = 1/2 * b * h其中，S表示三角形的面积，b表示底边长，h表示高。
在实际应用中，我们也可以利用海伦公式计算三角形的面积。
海伦公式是指：设三角形的三条边长分别为a、b、c，半周长为s，则三角形的面积S等于：S = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]这个公式的推导过程较为复杂，初学者可以通过练习来熟练掌握。
二、三角形的周长三角形的周长是指三角形三条边的长度之和，即：L = a + b + c其中，a、b、c分别表示三角形的三条边的长度。
三、三角形面积与周长的关系三角形面积与周长之间存在一定的关系。
一般来说，三角形的面积越大，周长越大；面积越小，周长越小。
具体来说，我们可以通过以下两个定理来深入了解三角形面积与周长的关系。
1. 三角形面积定理三角形面积定理是指：在三角形内，底边长相等的两个三角形，其面积相等；在三角形内，高相等的两个三角形，其面积相等。
这个定理的意义在于，当我们知道了三角形的底边长或高，就可以通过面积定理来确定另一个三角形的面积，从而更好地了解三角形的形态和大小。
2. 海伦公式海伦公式可以用来计算任意三角形的面积，是三角形面积与周长之间的重要关系。
具体来说，我们可以将海伦公式改写为：S = 1/4 √[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]这个公式中，a、b、c分别表示三角形的三条边的长度。
通过这个公式，我们可以更加方便地计算三角形的面积，从而更好地理解三角形的形态和大小。
总之，三角形面积与周长之间存在一定的关系，我们可以通过面积定理和海伦公式来深入了解这一关系。
韦达定理在实际问题中的应用
韦达定理在实际问题中的应用韦达定理是一个非常有用的几何定理，它被广泛应用于各种实际问题中，包括工程学、物理学和金融学等领域。
本文将讨论韦达定理的定义、证明和一些实际应用。
一、韦达定理的定义韦达定理是一个三角形内部的一个重要定理，它阐述了三角形内任意一点到三边的距离之积等于这个点到三边的三条距离之积。
图1：韦达定理示意图设三角形ABC的三条边分别为AB、BC和AC，三角形内任意一点P到三条边的距离分别为d1、d2和d3，则根据韦达定理有：AB × PC × d1= BC × PA × d2= AC × PB × d3二、韦达定理的证明韦达定理的证明可以使用相似三角形和割线定理来完成。
首先，我们利用相似三角形证明了韦达定理在三角形底边上的一个特殊情况。
例如，在图1中，我们可以通过相似三角形证明： PB/AB = PC/AC令 d1 = h1、d2 = h2，则 h1/h2 = PB/PC因此，韦达定理的底边情况成立。
接下来，我们可以使用割线定理继续证明韦达定理。
在图1中，我们从点P引一条平行于AB的直线，它与BC和AC的交点分别为Q和R。
根据割线定理，有：PB/PC = BQ/CR又因为三角形PAB和PCQ相似，三角形PAR和PRB相似，因此有以下等式成立：PA/PC = AB/BQRA/RB = AP/PB将上述等式代入割线定理公式中得：PB/PC = AB/BQ = AP/CR = RA/RB = h3/h4因此，有以下等式成立：AB × PC × d1 = BC × PA × d2 = AC × PB × d3 = h1 × h2 × h3/h4由此可知，韦达定理成立。
三、韦达定理在许多实际问题中都有广泛的应用。
以下是一些例子。
1.测量塔的高度韦达定理可以用于测量一座塔的高度，方法是测量一个与塔底线平行的直线段和它到塔顶的距离，以及一个与塔底线垂直的直线段和它到塔顶的距离。
小学三角形的面积完美版课件
01
学生独立思考并解答练习题，巩 固所学知识。
02
通过提交答案，学生可以及时了 解自己的掌握情况，为后续学习 提供参考。
老师点评并总结本节课内容
老师针对学生的答案进行点评， 指出错误和不足，提供改进建议
。
总结本节课的重点和难点，强调 三角形面积计算的重要性和应用
场景。
鼓励学生继续探索和学习与三角 形相关的知识，提高数学素养和
美学效果
三角形在建筑设计中也常用于创造独 特的美学效果，如尖顶、斜墙等。
其他领域三角形面积应用
地理信息系统（GIS）
01
在GIS中，三角形面积计算可用于测量地表覆盖物、计算地形起
伏等。
物理和工程领域
02
在物理和工程领域，三角形面积可用于计算流体动力学中的流
量、压力等参数，以及材料力学中的应力、应变等。
秦九韶公式法
类似于海伦公式，但避免了开方运 算，提高了计算效率。
构造直角三角形法
以已知三边为边构造直角三角形， 通过三角函数关系求出面积。
复杂图形中三角形面积计算
分割法
间接法
将复杂图形分割成若干个简单的三角 形，分别计算面积后再求和。
通过已知条件建立方程或不等式，解 出与三角形面积相关的未知量，再计 算面积。
可以看出，这个矩形被三角形分成了两个面积相等的小矩 形，每个小矩形的面积都是三角形面积的一半。
推导公式
根据矩形面积公式（长×宽），可以推导出三角形面积公 式为底×高÷2。
平行四边形面积法推导
01
构造平行四边形
在三角形的一边上作一个与这条边平行的线段，使其长度等于三角形的
底，然后将这条线段与三角形的顶点相连，构造出一个平行四边形。
三角形相似中的角度比例定理与面积比例定理
三角形相似中的角度比例定理与面积比例定理在几何学中，三角形的相似是指具有相同形状但大小不同的三角形。
研究三角形相似性质时，角度比例定理和面积比例定理是非常重要的原理。
本文将详细介绍这两个定理，并以实例加以说明。
一、角度比例定理角度比例定理指出，如果两个三角形的对应角度相等，则这两个三角形是相似的。
具体表述如下：设三角形ABC和DEF是两个相似三角形，其中∠A = ∠D、∠B =∠E、∠C = ∠F，那么我们可以得到以下比例关系：AB/DE = BC/EF = AC/DF通过角度比例定理，我们可以根据已知角度信息判断两个三角形是否相似，并进一步推导出其他未知比例关系。
例如，我们有一个已知相似三角形的问题：在三角形ABC和DEF 中，∠A = 30°，∠B = 60°，∠C = 90°，且∠D = 30°。
我们需要求解AB与DE之间的比例关系。
根据角度比例定理，我们知道∠A = ∠D，所以∠C = ∠F。
由于∠C = 90°，那么∠F也必须等于90°。
因此，我们可以得出结论三角形ABC与DEF是相似的。
根据相似性，我们可以写出以下比例关系：AB/DE = BC/EF = AC/DF通过已知条件和相关比例关系，我们可以进一步计算AB和DE之间的比例关系。
二、面积比例定理面积比例定理指出，如果两个三角形的对应边长比例相等，则这两个三角形的面积比例也相等。
具体表述如下：设三角形ABC和DEF是两个相似三角形，其中AB/DE = BC/EF = AC/DF，那么我们可以得到以下面积比例关系：△ABC的面积 / △DEF的面积 = AB² / DE² = BC² / EF² = AC² / DF²通过面积比例定理，我们可以根据已知边长比例信息计算两个三角形的面积比例。
这对于解决实际问题、推导关联性质非常有用。
相似三角形的面积比在几何证明题中的应用
•论苔草^ ---------------------------------自主探究，并在课堂讲解时进行延伸。
3将导学内容同后续教学相结合在导学互动的设计上，教师要设法将导学内容同后续教学内容相结合，在课堂上体现导学的内容，在课后反思时也要体现导学的内容，让导学真正为课堂教学做铺垫[2]。
导学互动的内容作为课堂教学的铺垫，应该起到一个基础性作用，所以当学生和教师进行完导学互动后，教师要总结学生在导学阶段的所思所得，并把这个内容反馈到课堂教学中，从而更好地 开展课堂教学。
例如，对于“全等三角形的判定”，判定三角形全等的方法共有5种：（1)“SSS”，三边对应相等的三角 形是全等三角形i(2)“SAS”，两边及其夹角对应相等 的三角形是全等三角形43)“八3八”，两角及其夹边对 应相等的三角形全等；（4)“A A S”，两角及其一角的对 边对应相等的三角形全等；（5)“H L”，在一对直角三角形中，斜边和另一条直角边对应相等。
此外，教师 还要通过导学设计，让学生了解不能判定的两种情况：（1)“A A A”，三角相等，不能证全等；（2)“SSA”，其中一角相等，且非夹角的两边相等。
在导学互动的 设计上，教师应重视内容设计，引导学生自主探求三角形的边、角关系，了解证明两个三角形全等要依靠哪几个步骤，满足什么样的条件就可以证明全等。
教 师可以在导学互动环节启发学生，如在导学案上设计 一个剪纸小游戏，让学生动手剪两个三角形，让它们 互相配对。
要求：（1)它们的三个角度数相等以2)它们的三条边等长；（3)两个角度数相等，角所夹的边等 长；（4)两条边等长，边所夹的角度数相等；（5)有一个 角是直角，斜边和一个直角边等长……剪完之后，组 内进行观察，看看两个三角形有什么特殊之处？你发 现了什么？把这些发现记录下来，留在课堂上进行分享。
综上所述，在初中数学教学中，教师应重视导学 互动的设计，让学生高效学习，逐步提高课堂教学质量，最终实现以导促学的目标。
小高奥数几何_三角形五大模型和例题解析
三角形五大模型【专题知识点概述】本讲复习以前所学过的有关平面几何方面的知识，旨在提高学生对该局部知识的综合运用能力。
重点模型重温一、等积模型①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如右图12::S S a b =③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．二、等分点结论〔“鸟头定理〞〕DCBAb如图，三角形AED 占三角形ABC 面积的23×14=16三、任意四边形中的比例关系 〔“蝴蝶定理〞〕① S 1︰S 2=S 4︰S 3 或者S 1×S 3=S 2×S 4 ② ②AO ︰OC=〔S 1+S 2〕︰〔S 4+S 3〕梯形中比例关系〔“梯形蝴蝶定理〞〕① S 1︰S 3=a 2︰b 2②S 1︰S 3︰S 2︰S 4= a 2︰b 2︰ab ︰ab ; ③S 的对应份数为〔a+b 〕2模型四：相似三角形性质如何判断相似(1)相似的根本概念：两个三角形对应边城比例，对应角相等。
(2)判断相似的方法：①两个三角形假设有两个角对应相等那么这两个三角形相似；②两个三角形假设有两条边对应成比例，且这两组对应边所夹的角相等那么两个三角形相似。
S 4S 3s 2s 1O DCBA S 4S 3s 2s 1bahh H cb a CB Aac b HC BA①a b c hA B C H === ; ② S 1︰S 2=a 2︰A 2模型五：燕尾定理S △ABG ：S △AGC ＝S △BGE ：S △GEC ＝BE ：EC ；S △BGA ：S △BGC ＝S △AGF ：S △GFC ＝AF ：FC ； S △AGC ：S △BCG ＝S △ADG ：S △DGB ＝AD ：DB ；【重点难点解析】1. 模型一与其他知识混杂的各种复杂变形2. 在纷繁复杂的图形中如何辨识“鸟头〞【竞赛考点挖掘】1. 三角形面积等高成比2. “鸟头定理〞3. “蝴蝶定理〞【习题精讲】【例1】〔难度等级 ※〕如图，长方形ABCD 的面积是56平方厘米，点E 、F 、G 分别是长方形ABCD 边上的中点，H 为AD 边上的任意一点，求阴影局部的面积.【例2】〔难度等级 ※〕如右图，ABFE 和CDEF 都是矩形，AB 的长是4厘米，BC 的长是3厘米，那么图中阴影局部的面积是____平方厘米．【例3】〔难度等级 ※〕如图，在三角形ABC 中，BC=8 厘米，AD=6厘米，E 、F 分别为AB 和AC 的中点，那么三角形EBF 的面积是多少平方厘米？【例4】〔难度等级 ※※※〕如图，在面积为1的三角形ABC 中，DC=3BD,F 是AD 的中点，延长CF 交AB 边于E,求三角形AEF 和三角形CDF 的面积之和。
三角形重心面积比证明
三角形重心面积比证明1. 引言三角形是几何学中最基本的图形之一。
在研究三角形的性质时，我们经常会遇到重心这个概念。
重心是三角形内部的一个点，它与三角形的顶点之间的连线平分对应边上的线段。
在本文中，我们将探讨一个关于三角形重心和面积之间的比例关系的证明。
具体来说，我们将证明：三角形重心到各顶点距离之和与三角形各顶点到对边距离之和的比值为2:1。
2. 证明过程为了方便讨论，我们假设已知一个任意三角形ABC，并设其重心为G。
首先，我们需要引入一些基本概念和定理。
2.1 中位线定理中位线定理是指：在任意三角形中，连接每个顶点与对边中点的线段构成的三条线段交于一点，并且该点距离每条中位线的起始点相等。
这个交点就是三角形的重心。
2.2 重心性质根据重心定义可知，在任意三角形ABC中，连结顶点A和重心G，并延长AG到交点D，使得AG=GD。
同理，我们可以得到BG=GE和CG=GF。
2.3 重心到顶点距离根据重心性质，我们可以得出以下结论： - AG + BG + CG = GD + GE + GF - AG = GD, BG = GE, CG = GF2.4 面积比证明我们知道，三角形的面积可以通过底边和高来计算。
设三角形ABC的面积为S，底边BC的长度为a，对应的高为h。
根据面积定义可知：S = (1/2) * a * h现在，我们来计算三角形重心到各顶点距离之和与三角形各顶点到对边距离之和的比值。
根据重心性质可知：AG + BG + CG = GD + GE + GF将重心到各顶点距离表示为底边上的长度差值（即AG = GD），则有： AG + BG + CG = AG - GD + BG - GE + CG - GF化简上式得： 2(AG + BG + CG) = (AG + BG + CG) - (GD + GE+ GF)由于GD=GE=GF，所以上式可进一步化简为： 2(AG+BG+CG)=(AG+BG+CG)-(GD+GE+GF) =(AB+BC+CA)-(GA+GB+GC) =AB+BC+CA-AB-BC-CA =0因此，我们得到结论： 2(AG + BG + CG) = 0进一步化简可得： AG + BG + CG = 0由于面积S= (1/2) * a * h，我们可以将高h表示为面积和底边的比值：h = 2S/ a。
妙用奔驰定理解决三角形面积比问题
+ + + +
,
).
注意：（1）在△ 中,若为重心,则 + + = ．
（2）三角形的重心分中线两段线段长度比为2:1,且分的三个三角形面积相等．
重心的向量表示：．
奔驰定理： ⋅ + ⋅ + ⋅ = ,则△ 、△ 、△ 的面积之比等于 : :
1
5
⋅ = 0
2
1
5
5
− +
⋅ +
+ =
2
5
− ，即
2 + + 2 = 0 ，
又 △ ⋅ + △ ⋅ + △ ⋅ = 0 ， 由 平 面 向 量 基 本
△ : △ : △ = 2 : 1 : 2 ， 错 误 ；
π
π
对 于 D ， 是△ 的 外心 ，且 ∠ = ，则 ∠ = ，
4
设 三 角 形 外接 圆半 径 为 R， 所 以 △ =
2 , △ =
1
2
重难点专题01
妙用奔驰定理解决三角形面积比问题
目录
C
O
N
T
E
N
T
S
01
02
03
题型归纳
方法技巧
典型例题
01
题型归纳
题型归纳
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2
方法技巧
方法技巧
奔驰定理---解决面积比例问题
重心定理：三角形三条中线的交点.
比例性质的几何应用
比例性质的几何应用几何中的比例性质在解决各种几何问题时起着重要的作用。
通过运用比例性质，我们可以推导出许多有关长度、面积、体积等方面的几何定理，进而应用于实际问题的解决。
本文将介绍几个几何应用中的比例性质，展示其在实际中的应用。
一、相似三角形相似三角形是几何中一个非常重要的概念，它的应用涉及到许多实际问题的解决。
首先，我们来看一下相似三角形的定义：在平面几何中，两个三角形的对应角度相等，且对应的边长成比例，那么这两个三角形被称为相似三角形。
根据相似三角形的定义，我们可以得出以下关于相似三角形的比例性质：1. 边长比例：若两个三角形相似，那么它们的对应边长之比是相等的。
设有两个相似三角形ABC和DEF，那么可以得出以下比例关系： AB/DE = AC/DF = BC/EF2. 面积比例：若两个三角形相似，那么它们的面积之比等于它们任意两条对应边长之比的平方。
设有两个相似三角形ABC和DEF，那么可以得出以下比例关系：面积(△ABC)/面积(△DEF) = (AB/DE)² = (AC/DF)² = (BC/EF)²相似三角形的比例性质在实际问题中有广泛的应用，比如测量高楼的高度、远离高楼时的角度变化、影子的长度以及地图的制作等等。
二、平行线与比例平行线与比例的关系也是几何中常见的一种性质。
当两条直线与一组平行线相交时，可以利用比例性质求解各种问题。
下面是几个平行线与比例的例子：1. 同位角性质：当两条平行线被一条截线所切时，同位角（即对应角）相等。
根据同位角的性质，我们可以得到以下比例关系： AB/DC = AD/BC2. 重心的性质：在一个平行四边形中，对角线的交点是重心。
那么对于任意平行四边形ABCD，可以得到以下比例关系：AC/BD = 2平行线与比例的性质在解决平面几何问题时非常有用，例如求解梯形的面积、证明平行四边形的性质等等。
三、圆与比例圆也是几何中常见的一个概念，当我们将比例性质与圆结合起来时，可以得到以下几个有趣的性质：1. 弧长比例：在同一个圆中，同心圆上的弧长之比等于它们对应的半径之比。
三角形的相似比例定理与位似定理
三角形的相似比例定理与位似定理三角形作为几何学中最基本的形状之一，其相似比例定理和位似定理是我们在研究三角形相似性质时经常遇到的重要定理。
本文将详细介绍三角形的相似比例定理和位似定理，并探讨其在几何学中的应用。
一、相似比例定理相似比例定理是指在两个相似三角形中，对应边的长度比例相等。
假设有两个相似三角形ABC和DEF，其中AB/DE = BC/EF = AC/DF = k，其中k为常数。
根据相似比例定理，我们可以得出以下结论：1. 两个相似三角形的相应边比例相等。
例如，若AB/DE = BC/EF = AC/DF = 2/3，则AB与DE的比例等于BC与EF的比例，也等于AC与DF的比例。
2. 两个相似三角形的周长比例等于它们任意一条边的比例。
假设两个相似三角形ABC和DEF的比例为k，则它们的周长比例为k。
3. 两个相似三角形的面积比例等于它们任意一条边长度平方的比例。
假设两个相似三角形ABC和DEF的比例为k，则它们的面积比例为k²。
相似比例定理为我们研究三角形的相似性质提供了重要的数学依据，也为解决有关三角形的几何难题提供了指导。
二、位似定理位似定理是指在两个位似三角形中，对应角度相等。
位似三角形指的是两个三角形具有相同的形状，但尺寸不同。
具体来说，当一个三角形的各边长度等比例缩放时，所得到的新三角形与原三角形是位似的。
根据位似定理，我们可以得出以下结论：1. 两个位似三角形的内角相等。
例如，若三角形ABC与三角形DEF是位似三角形，其中∠A =∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。
2. 两个位似三角形各边长度的比例相等。
假设三角形ABC与三角形DEF是位似三角形，其中AB/DE =BC/EF = AC/DF = k，其中k为常数。
位似定理为我们在解决三角形的相似性质问题时提供了一种便捷的方法，使我们可以通过观察三角形的角度关系来得出结论。
三、相似定理的应用相似比例定理和位似定理在几何学中有广泛的应用。
三角形等面积法在初中教学中的应用
三角形等面积法在初中教学中的应用摘要：关于三角形等面积法是近些年初中数学的一种常规解题思路，它的优势在于可以更加快速的找到解题关键，将一些晦涩难懂的知识点变得简单化。
本文将结合现有的一些典型例题，利用三角形等面积法解决相关问题，以此来培养学生的数学思维，提高学生的解题能力。
关键词：三角形等面积法；初中数学；具体应用前言：在现有的初中数学教学中，采用三角形等面积法是一个比较快捷实用的方法，结合几年的教学经验可以发现，即便部分几何题目的问题并没有涉及到三角形的面积计算，但是我们却可以按照图形进行数形结合，将其与实际问题相联系，进而解决这类问题一、分析三角形之间的相关联系，提升学生简单几何的能力在解决三角形的面积时，通常会利用到三角形的边长以及角度之间的关系。
尤其是在一些几何题目当中可能会让你求解一些与已知条件看似毫无关系的边长和角度，此时，很多同学就会将问题复杂化，但实际上如果你仔细观察就会发现，这道题很可能就是利用了三角形的等面积公式，将一个复杂的几何问题转变为一个解方程的题目，而这类题型的实际目的就是让学生发现图形中图形之间的关系，培养学生的数学几何能力，采用“以数解形”的思想，了解几何题背后的实际含义。
例题1如图，直角三角形ABC中，∠ACB=90°BC=4,AC=4，求CD的长度图1解：∵根据勾股定理可知，AB²=AC²＋BC²∴AB=4又∵S△ABC=AB*CD/2=AC*BC/2即4*CD/2=4*4/2∴CD=4二、熟悉三角形的基本属性，培养学生的空间想象能力在一些复杂的几何题目中，通常会将圆、平行四边形等图形与三角形结合起来，此时学生不仅要熟知三角形的一些基本定理，尤其是等腰三角形、等边三角形等特殊图形，要充分利用45°、60°等角度。
同时也要熟悉相关图形的定理，做到活学活用，最后看能否利用等面积法将几何问题转换为简单方程，进而更快速的求解题目。
三角形与其内接三角形面积比的几个问题
三角形与其内接三角形面积比的几个问题作者：陈荣华来源：《中学教学参考·理科版》2019年第09期[摘 ; 要]在处理三角形与其内接三角形面积比问题时，可建立几何模型，使任意一个三角形的内接三角形与正方体内的点建立一一对应关系.研究三角形与其内接三角形面积比的有关问题，有利于学生理解知识，提高学生解题能力.[关键词]内接三角形;面积比;几何模型[中图分类号] ; ;G633.7 ; ; ; ;[文献标识码] ; ;A ; ; ; ;[文章编号] ; ;1674-6058（2019）26-0006-03一、问题的提出如果△C1C2C3是△B1B2B3的内接三角形，那么在一定条件下成立不等式[S△C1C2C3][≤14S△B1B2B3]（简记[S′∕S≤14]）（1）围绕这个不等式，不少学者做过认真的探讨，也提出了一些有价值的见解，笔者深受启发，进而思考：许多文章给出的是使（1）成立的充分条件，究竟其必要条件是什么？若C1、C2、C3是三角形各边上随机选定的点，那么使（1）成立的概率有多大？针对这两个问题，笔者略谈几点认识，借此抛砖引玉，有盼读者不吝赐教.二、引理【引理】设C1、C2、C3分别在△B1B2B3的B2B3、B3B1、B1B2边上，并且[B3C2B3B1] =λ1、[B1C3B1B2] =λ2、[B2C1B2B3] =λ3，连接C1C2、C2C3、C3C1，则[S△C1C2C3S△B1B2B3]=λ1λ2λ3+（1-λ1）（1-λ2）（1-λ3）.证明：如图1，连接B1C1，记S1=[S△C1B3C2]，S2=[S△C1C2B1]，S3=[S△B2C1C3]，于是有[S△C1C2C3]=[S△B1B2B3]-（[S1]+[S2]+[S3]）（*）由[B3C2B3B1]=λ1，得[S1S△C1B3B1]=λ1，又[B2C1B2B3]=λ3，即[C1B3B2B3]=1-λ3，亦即[S△C1B3B1S△B1B2B3 ]=1-λ3.故S1=λ1（1-λ3）[S△B1B2B3].同理S2=λ2（1-λ1）[S△B1B2B3].S3=λ3（1-λ2）[S△B1B2B3].将S1、S2、S3代入式（*），即得到引理之结论.三、判定定理及其应用根据引理不难推得下面的判定定理.【定理】C1、C2、C3分别在[△B1B2B3]的B2B3、B3B1、B1B2邊上，记[B3C2B3B1=λ1]、[B1C3B1B2=λ2]、[B2C1B2B3=λ3]，（0≤λ1、λ2、λ3≤1）.若λ1λ2λ3+（1-λ1）（1-λ2）（1-λ3）[>=<14]，（2）则[S△C1C2C3]∕ [S△B1B2B3][>=<14].在上述判定定理中，令x=λ1[-12]、y=λ2[-12]、z=λ3[-12]，（[-12]≤x、y、z≤[12]），即可得到定理的另一种等价的形式：若xy+yz+zx[>=< ]0，（3）则[S△C1C2C3]∕[ S△B1B2B3][>=<14].下面略举数例，以显示本文引理及判定定理之作用.[例1]设ABC为任意三角形，点X、Y、Z分别在边BC、CA、AB上，若[BX≤XC]，[CY≤YA]，[AZ≤ZB].求证：△XYZ的面积≥[14]△ABC的面积.证明：记[CYCA]=λ1、[AZAB]=λ2、[BXBC]=λ3，且x=λ1[-12]、y=λ2[-12]、z=λ3[-12].依题意[BX]≤[XC]，[CY]≤[YA]，[AZ]≤[ZB].∴0≤λi≤[12]（i=1，2，3），即[-12]≤x，y，z≤0.故有f （x，y，z）=xy+yz+zx≥0，由判定定理知△XYZ的面积≥[14]△ABC的面积.[例2]设M为[△]B1B2B3内任意一点，由顶点B1、B2、B3与M连直线延长后分别交对边于C1、C2、C3，则有[S△C1C2C3≤14S△B1B2B3].式中等号当且仅当M是△B1B2B3的重心时成立.证明：记[B3C2B3B1]=λ1、[B1C3B1B2]=λ2、[B2C1B2B3]=λ3.由于B1C1、B2C2、B3C3三线共点，所以λ1λ2λ3=（1-λ1）（1-λ2）（1-λ3）. ①∵[λ1+λ2+λ33≥][λ1λ2λ33] ，[（1-λ1）+（1-λ2）+（1-λ3）3≥][（1-λ1）（1-λ2）（1-λ3）3]，∴[（1-λ1）（1-λ2）（1-λ3）3]≤1-[λ1+λ2+λ33]≤1-[λ1λ2λ33]. ②将①式代入②，得λ1λ2λ3≤[18].故λ1λ2λ3+（1-λ1）（1-λ2）（1-λ3）≤[14].由判定定理知[S△C1C2C3]≤[14][S△B1B2B3] .显然，当且仅当λ1=λ2=λ3=[12]即M为重心时，上式等号成立.[例3]过△B1B2B3内任意一点M作三边的垂线，分别交三边于C1、C2、C3，则[S△C1C2C3]≤[ ;14][ S△B1B2B3].式中等号当且仅当M为△B1B2B3的外接圆圆心时成立.证明：如图2，∵MC2⊥B1B3，MC1⊥B2B3，MC3⊥B1B2，∴B3[C22]+B1[C23]+B2[C21]=C2[B21]+C3[B22]+C1[B23]，若λi（i=1，2，3）， x， y， z如判定定理所记，则上式变形为[b21]+[b22]+[b23]-2λ1b2-2λ2b3-2λ3b1=0，即x[b21]+y[b22]+z[b23]=0 ③（ⅰ）若x、y、z中有一个且仅有一个为零，则f （x，y， z）=xy+yz+zx<0;（ⅱ）若x、y、z均为零，则f （x， y， z）=xy+yz+zx=0，此时，M为△B1B2B3的外接圆圆心.（ⅲ）若xyz0，则必有两者同号，不失一般性，设yz>0，由③式得到x=[-yb23-zb21b22].于是f （x，y，z）=xy+yz+zx=[-yb23-zb21b22]·（y+z）+yz=[-（y2b23+z2b21）-2yzb1b3cosB2b22]≤ - [2yzb1b3（1+cosB2）b22]<0.综合（ⅰ）～（ⅲ），由判定定理知本题结论成立.四、概率计算在三维空间，方程xy+yz+zx=0表示一个圆锥曲面，如图3（为使图像清晰，圆锥曲面在第三、六、八卦限的部分未画出）.这个曲面可以看作三坐标轴绕DO旋转而成，因为-[12]≤x，y，z≤[12]，所以方程xy+yz+zx=0所表示的曲面仅限于正方体以内的部分，它与正方体的表面交线均为双曲线的一支.建立几何模型，使任意一个三角形的内接三角形与正方体内的点建立一一对应关系.圆锥曲面Q把正方体分割为R、W两部分，用点的集合来表示：[R=（x，y，z）xy+yz+zx>0]，[Q=（x，y，z）xy+yz+zx=0]，[W=（x，y，z）xy+yz+zx<0]，从图中，我们能直观地看到S′/ S [>=<14]的内接三角形的分布情况.如果内接三角形的顶点是随机选定的，即x，y，z独立地均匀分布在-[12]≤x，y，z≤[12]的范围内，那么可以通过求R、W的体积来计算S′/ S>[14]与S′/ S<[14]内接三角形的概率.我们先计算R的体积，R由两个小正方体及分布在另六个卦限的六个相同的曲顶柱体组成，如图4，取第二卦限内的曲顶柱体，计算其一半的体积VM .[VM=012dz0z-zyz+ydy][=0121+ln12z2dz][=1241+ln12].R由12個曲顶柱体与两个体积为[18]的正方体组成，故有VR=12VM+2×[18][=34-12ln2]=0.4034.对曲面Q的体积忽略不计，即可得到W的体积约为0.5966.如果把VR、VM与整个正方体的体积相比较，则得S′/S<[14]的内接三角形的概率近似等于0.4034，而S′/ S>[14]的内接三角形的概率近似为0.5966.高等数学的少量知识下放到高中课本以后，高考试题中，陆续出现具有高数背景的考题，有的数学教师感觉茫然.其实，高数和初等数学并非两张皮，而是有机的整体，只有在教学中自觉强化高数的思维和方法的渗透意识，才能对高考命题有深刻的理解和把握.笔者撰写此文，目的是以此做例证，使读者能得到一点点启迪.由于水平有限，仅供参考.[ ;参 ; 考 ; 文 ; 献 ;][1] ;常庚哲.复数计算与几何证明[M].上海：上海教育出版社，1981.[2] ;程龙.初等数学论丛（第3辑）[M].上海：上海教育出版社，1981.[3] ;陈荣华.关于三角形面积比的一个定理及其应用[J].中学数学教学，1986（4）：6-7.[4] ;刘裔宏，许康，吴茂贵，等.普特南数学竞赛（1938-1980）[M].长沙：湖南科学技术出版社，1983.（责任编辑黄桂坚）。
三角形比例定理
三角形比例定理
三角形比例定理是三角学术语中最常见的一种定理，它有着广泛的应用。
它的严格的数学定义是“任意三角形的面积等于其任意两边的乘积，除以二边的夹角的正切。
”
它的应用包括以下几点：
第一，三角形比例定理能够解决几何相关问题。
通过它，我们可以找到三角形形状的相关参数，从而更好地了解三角形的特征。
同时，它也能够帮助我们解决一些图形构建问题。
第二，三角形比例定理在力学和加速度中有着重要的应用。
例如，我们可以用它来分析机械结构的性能及构造的可行性，从而帮助设计师有效控制机械结构的行为特性及其失效模式。
第三，三角形比例定理也可以用来分析速度及加速度。
它有助于求解一些复杂的物理问题，例如抛物线运动、受力问题以及传递系统中的传播特性等问题，从而帮助我们更好地了解物理特性。
三角形比例定理的发明者是古希腊数学家尼基拉斯(Nikias)，他在公元2世纪早期提出了这个定理，它是现代数学的基石。
在数学领域，三角形比例定理的的认可程度甚至超过了勾股定理，它被不断发展和改良，使用于不同的应用领域，从而促进了科学技术的进步。
总而言之，三角形比例定理是现代数学家非常重要的一部分，它发挥着重要的作用，也在不断地发展，为现代科学技术的发展、创造和进步做出了巨大的贡献。