浙江大学浙大卢兴江版微积分答案

6定积分及其应用

习题6.1

1.（1）e

1（2）13（3）12

2.（1）24R （2）7

2

（3）0

3.（1）

1

2

1

d 1x x （2）

10

2

3x

（3）（i ）1

d ()x a b a x 或

1

1

d b a

x b a

x

（ii ）1

0ln ()d e a b a x x

或1ln d e

b a

x x

b a

习题6.2

1.（1）

11

2

3

d d x x

x x （2）5

5

3

2

33(ln )d (ln )d x x x x （3）2222

00

sin sin d d x x x x

x 2.（12

22,0,1

1x x x

（2）提示：分析函数2

()

1x

f x x

在0,2上的最大（小）值. 3.提示：取()

()g x f x 4.提示：利用积分中值定理或定积分的定义证明. 5.提示：令()

()F x xf x 对()F x 在1

0,

2上用罗尔定理。 6.提示：证明在

0,

内至少存在两点

1

2

,

使12()()0f f .

习题6.3

1.（1）(2)sin 2x x （2）6

233e cos()x x x

（3）sin ln 1sincos cos 1sinsin x x

x x （4）

2221

()d 2()x f t t x f x

（5）

1

()d x f t t

2.（1）2

3

（2）1（3）1（4）2

4（5）1

3.提示：利用夹逼定理.

4.4()sin 2

1

f x x

.5.提示：2()y f x

6.提示：利用2

[()()]d 0b

a

f x t

g x x ，其中t 为任意常数. 7.（1）

74

(221)6(21)

33（2）2（3）1

4

3

（4）326（5）14（6）1

2

（7）24e

8.提示：利用泰勒公式()

2

2a b a b f x f

f x

，位于x 与2

a b

之间. 习题6.4

1.（12663（2）2（3）1

6

（4）（53

（6）121e （7）24（8）3（9）3

52

e

27

27（10）13ln 3

2

（11）

3

（12）

8

（13）

433

（14）

3

ln 232

（15）3e

15

（16）1

3

（提示：222101110111x

x x x x x x e dx dx dx e e e ----=++++⎰⎰⎰）

（17）1（18）

4

π

（提示：作变换2x t π=-）（1920）

1

3

（21）34（22）当n 为偶数时：131222n n n n ；当n 为奇数时：13

112

3

n n n n （23）

ln 28

2.713e

3.提示：

22

()d ()d ()d a b b b a b a

a

f x x

f x x

f x x ，对

2

()d b a b f x x 作变换()x a b t .

4.若f 是连续偶函数，()()d x a

F x f t t 不一定为奇函数.例如：23

1

1()

d 13

x F x x x

x 5.

1n （提示：对10

()d x n n

n t f x t t 作变换n n x t u ，用洛必达法则或导数的定义.） 6.1

cos113

（提示：用分部积分法）7.提示：用分部积分法8.(0)2f .

9.（1）

210

1, 1

3

2

1

d , 103231

, 023p

p p p x x p x

p p p （2）411,01

()

22

1, 12

x x x F x x x 10.提示：利用()

tan f x x 在0,

4

的单调性.

习题6.5

1.（1）2565（2）1（3）2（4）16

3（5）1244

2

,6

3

3

S S （6）92（7）238

a （8）1ln 22（9）112

2.（1）a （2）4

3

3.（1）2R （21ln(25)4

（3）6a （4）2

2

4.1ln 3

25.47.3163

a 8.（1）2

2

x

V ，2

2

y

V （2）

5

6

（3）2

4（4）

,

33

（5）23332325,6,7x y y

a

V a V

a V a

9.

2

10.

448

15

11.（1）2

2ln(21)（2

）3

3

211113ln 93222π⎡⎛⎫⎛⎫⎢ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦

222

22

2

arcsin

a b b a b a

13.2560g （焦） 14.0.5625 kg/m 2.15.3.675（焦）16.1674.667 g （焦） 17.

22503

h （焦）18.

343

R H R H 19.21

2

Mgh

mgh （焦） 21.

2

22

k ph R k 22.()kmM a a l ，其中k 为万有引力常数