第九章北航 材料力学 全部课件 习题答案

9-10 图 a 所示车轮，由轮毂与套于其上的薄钢圈组成。钢圈的内径 d 比轮毂的外径
D 略小，安装时先将钢圈适当加热，以使二者套合，冷却后钢圈即紧套在轮毂上。钢圈的厚度 为，弹性模量为 E，轮毂的刚度很大，分析时可忽略其变形。试求钢圈与轮毂间的相互作用 力，以及钢圈横截面上的初应力。
题 9-10 图 解：在内压 p 作用下（图 b） ，钢圈的周向正应变为
第四强度理论确定其壁厚。
4
题 9-9 图 解：根据第四强度理论，圆柱形薄壁容器的强度条件为
σ r4
由此得
3 pD [σ ] 4δ
δ
3 pD 3 15106 0.080 m 3.25103 m 3.25 mm 6 4[σ ] 416010
所得 δ D / 20 ，属于薄壁容器，上述计算有效。
pD t t E 2E
安装前后，钢圈的直径由 d 变为 D，其周向正应变为
(a)
t
比较式(a)与(b)，得
πD πd D d πd d 2 E ( D d ) Dd
(b)
p
由此得 钢圈横截面上的正应力为
t
pD E ( D d ) 2 d
9-11
σ1 10 MPa，σ2 0，σ3 (5 47.7) MPa 42.7 MPa
2．强度校核 由于该铸铁构件的最大压应力超过最大拉应力，且超过较多，故宜采用最大拉应变理论 对其进行强度校核，即要求
σ r2 σ1 μ(σ2 σ3 ) [σ ]
将上述各主应力值代入上式，得
σ r2 [100.25(42.7)] MPa 20.7 MPa[σ ]
Fx 0，πDδ t
得
πD 2 p0 4
pD 4δ 球壁内任一点的应力状态如图 b 所示，由此可得三个主应力依次为 pD σ1 σ 2 σ t ，σ 3 0 4δ σt
9-13
图示组合圆环，内、外环分别用铜与钢制成，已知铜环与钢环的壁厚分别为
与， 交接面的直径为 D， 铜与钢的弹性模量分别为 E1 与 E2， 线胀系数分别为与， 且。 试问当温度升高 T 时，环的周向正应力为何值。
(b)
按照第三强度理论，(a)与(b)两种情况相当应力的比值为
r
σ r3( a ) σ r3(b )

1 μ 1 1 2μ
这表明加刚性方模后对棱柱体的强度有利。
9-5
图示外伸梁，承受载荷 F = 130 kN 作用，许用应力[ ]=170 MPa。试校核梁的强
度。如危险点处于复杂应力状态，采用第三强度理论校核强度。
将式(c)代入式(b)，得
(c)
(α1 α2 )ΔT
由式(a)可知，
σ FN1 F σ N2 1t 2t E1 A1 E2 A2 E1 E2
(d)
σ1t A1 σ 2t A2，
即
σ1t A2 δ2 σ 2t A1 δ1
σ1t
δ2 σ 2t δ1
(e)
将方程(e)与方程(d)联立求解，得铜环和钢环内的周向正应力依次为
1 ( 2 3 ) [ ]
即要求
[ ]
由此得相应许用切应力为
[ ]
[ ] 1
9-4
试比较图示正方形棱柱体在下列两种情况下的相当应力 r3 ，弹性常数 E 和 均
为已知。 (a) 棱柱体轴向受压； (b) 棱柱体在刚性方模中轴向受压。
题 9-4 图 (a)解：对于棱柱体轴向受压的情况（见题图 a） ，三个主应力依次为
3
式中：足标 b 系指翼缘与腹板的交界点；足标 a 系指上翼缘顶边中点。 3．应力计算及强度校核 三个可能的危险点（ a ， b 和 c ）示如图 9-5。
图 9-5
a 点处的正应力和切应力分别为
σ τ FS S z ( a ) I zt M 7.80 104 N 1.545108 Pa 154.5 MPa Wz 5.0510 4 m 2 130103 1.11510 4 N 1.496107 Pa 14.96 MPa 5 2 7.07 10 0.0137m
σ1t
(α1 α2 ) E1 E2 δ2 ΔT E1δ1 E2 δ2
(f)
8
σ 2t
式(f)亦可写成
(α1 α2 ) E1E2 δ1 ΔT E1δ1 E2 δ2
(g)
σ1t
(α2 α1 ) E1E2 δ2 ΔT E1δ1 E2 δ2
(f)’
9-14
图示薄壁圆筒，同时承受内压 p 与扭力偶矩 M 作用。由实验测得筒壁沿轴向
σ1 σ 2 0， σ 3 σ
由此可得第三强度理论的相当应力为
1
σ r3 σ1 σ3 σ
(a)
(b)解：对于棱柱体在刚性方模中轴向受压的情况（见题图 b） ，可先取受力微体及坐标如 图 9-4 所示，然后计算其应力。
图 9-4 由图 9-4 可得
σ y σ
根据刚性方模的约束条件，有
及与轴线成 45° 方位的正应变分别为 0 和 45 ，筒的内径 D、壁厚 、材料的弹性模量 E 与泊 松比 均为已知。试求内压 p 与扭力偶矩 M 之值。
题 9-14 图 解：圆筒壁内任意一点的应力状态如图 9-14 所示。
图 9-14 图中所示各应力分量分别为
x
由此可得
pD pD 2M , t , 2 4 2 πD
pD ，σ 2 σ x 0，σ3 σ r 0 2δ
pD 7.5106 0.011 N 8.25107 Pa 82.5 MPa[σ ] 2δ 20.0005m2 计算结果表明，该油管满足强度要求。 σ r3 σ1 σ3
9-9
图示圆柱形容器，受外压 p = 15 MPa 作用。材料的许用应力[]= 160 MPa，试按
它们均小于许用应力，故知梁满足强度要求。
9-8
图示油管， 内径 D =11 mm， 壁厚 = 0.5 mm， 内压 p = 7.5 MPa， 许用应力[ ]=100
MPa。试校核油管的强度。
题 9-8 图 解：油管工作时，管壁内任一点的三个主应力依次为
σ1 σ t
按照第三强度理论，有
第九章 强度理论
9-3
已知脆性材料的许用拉应力[]与泊松比，试根据第一与第二强度理论确定纯剪
切时的许用切应力[ ]。 解：纯剪切时的主应力为
1 3 , 2 0
根据第一强度理论，要求
1 [ ]
即要求
[ ]
由此得切应力的最大许可值即许用切应力为 [ ][ ] 根据第二强度理论，要求
可见，该铸铁构件满足强度要求。
9-12
图示圆球形薄壁容器，其内径为 D，壁厚为 ，承受压强为 p 之内压。试证明
壁内任一点处的主应力为 1 2 pD /(4 ), 3 0 。
题 9-12 图 证明：用截面法取该容器的一半（连同内压）示如图 9-12a。
6
图 9-12 由图 a 所示半球的平衡方程
σ 45 τ 3 pD , 8δ σ 45 3 pD τ 8δ
(a) (b)
σ 0 σ x , σ 90 σ t ,
根据广义胡克定律，贴片方向的正应变为
(1 2 ) pD 1 [ x t ] E 4 Eδ 1 1 2(1 ) M (1 )3 pD 45 [ 45 45 ] [ ] E E 8 πD 2 由式(a)可得圆筒所承受的内压为 4 Eδ p ε (1 2 μ) D 0
该点处于单向与纯剪切组合应力状态，根据第三强度理论，其相当应力为
r 3 2 4 2 154.52 4 14.962 MPa 157.4MPa [ ]
b 点处的正应力和切应力分别为
3
σ
M yb 7.80 104 (0.140 0.0137)N 1.393108 Pa 139.3 MPa Iz 7.07 105 m 2 FS S z ( b ) I zδ 130103 2.2310 4 N 4.82 107 Pa 48.2 MPa 5 2 7.07 10 0.0085m
pD 1106 0.200 Pa 5106 Pa 5 MPa 4δ 40.010 pD 1106 0.200 σ tp Pa 10106 Pa 10 MPa 2δ 20.010 σ xp
由轴向压力引起的轴向应力为
F 300103 N 4.77107 Pa 47.7 MPa （压） 2 πDδ π 0.2000.010 m 筒壁内任一点的主应力依次为 σ xF
图示铸铁构件，中段为一内径 D =200 mm、壁厚 = 10 mm 的圆筒，圆筒内的
压力 p =1 MPa， 两端的轴向压力 F = 300 kN， 材料的泊松比 = 0.25， 许用拉应力[ t ]=30 MPa。
5
试校核圆筒部分的强度。
题 9-11 图 解：1.应力计算 圆筒的 δ D / 20 ，属于薄壁圆筒。故由内压引起的轴向应力和周向应力分别为
2
题 9-5 图 解：1.内力分析 由题图可知， B 截面为危险截面，剪力与弯矩均为最大，其值分别为
FS F 130kN， M Fl2 130103 N 0.600m 7.80104 N m
2．几何性质计算
Iz [
0.122 0.2803 (0.122 0.0085) (0.280 2 0.0137) ]m 4 7.07 105 m 4 12 12 5 7.07 10 Wz m 3 5.05104 m 3 0.140 0.0137 3 S z ( b ) 0.122 0.0137 (0.140 )m 2.23104 m 3 2 S z ( a ) 2 1 S z ,max [2.23104 0.0085 (0.140 0.0137) 2 ]m3 2.90 104 m 3 2
0
r 3 2 2 62.7MPa 125.4MPa
结论：该梁满足强度要求。 4．强度校核 依据第三强度理论，上述三点的相当应力依次为
σ r3( a ) σ1 σ 3 [155.9 ( 1.44)] MPa 157.3 MPa σ r3(b ) [154.4 ( 15.05)] MPa 169.5 MPa σ r3( c ) 2 τ 2 62.7 MPa 125.4 MPa
εx
即
1 [σ x μ(σ y σ z )] 0 E
σ x μ(σ y σ z )
注意到
σz σx
故有
σx σz
三个主应力依次为
μ σ 1 μ
σ1 σ 2
由此可得其相当应力为
μ σ，σ 3 σ 1 μ
σ r3 σ1 σ3
1 2μ σ 1 μ
题 9-13 图 解：内、外环的受力情况示如图 9-13a 和 b。
7
图 9-13 设铜环的轴力（绝对值）为 FN1 ，钢环的轴力为 FN2 ，由图 c 与 d 所示各半个薄圆环的平 衡条件可得
FN1 FN2
变形协调条件为
pD 2
(a)
ห้องสมุดไป่ตู้
ΔD1 ΔD2
物理关系为
(b)
FN1 D E1 A1 F D ΔD2 α2 DΔT N2 E 2 A2 ΔD1 α1 DΔT
τ
该点也处于单向与纯剪切组合应力状态，其相当应力为
r 3 139.32 448.22 MPa169.4MPa[ ]
c 点处于纯剪切应力状态，其切应力为
τ
其相当应力为
FS S z ,max I zδ

130103 2.90104 N 6.27 107 Pa 62.7 MPa 5 2 7.07 10 0.0085m