概率论 第一章

第一章随机事件及其概率

习题一

1举出几个必然事件、不可能事件和随机事件的例子.

解(1)设ｖ１０为10次射击命中次数，则

｛５＜ｖ１０≤８＝——随机事件，

｛ｖ１０≤１０｝——必然事件，

｛ｖ１０＞１０｝——不可能事件；

(2)掷一枚骰子试验中，

｛出现偶数点｝——随机事件，

｛出现ｉ点｝（ｉ＝１，２，…，６）——随机事件，

｛出现点数小于7｝——必然事件，

｛点数不小于7｝——不可能事件；

(3)盒中有2个白球，3个红球，从盒中随机取出3球，则

｛取出的3个球中含有红球｝——必然事件，

｛取出的3个球中不含红球｝——不可能事件.

2互不相容事件与对立事件的区别何在?说出下列各对事件的关系：

(1)｜ｘ－a｜＜δ与ｘ－a≥δ；

(2)ｘ＞２０与ｘ≤２０；

(3)ｘ＞２０与ｘ＜１８；

(4)ｘ＞２０与ｘ≤２２；

(5)20个产品全是合格产品与20个产品中只有一个废品；

(6)20个产品全是合格产品与20个产品中至少有一个废品.

解对立事件一定是互不相容事件，但互不相容事件不一定是对立事件.对立事件和互不相容事件的共同特点是事件间没有公共的样本点，但两个对立事件的并(和)等于样本空

间，即若A与__

A是两个对立事件，则A

__

A＝Φ，A＋

__

A＝Ω；而两个互不相容事件的并(和)

被样本空间所包含，即若A与B是两个互不相容事件，则AB＝Φ，且Ａ＋Ｂ⊂Ω.

(1)由于｛ｘ｜｜ｘ－a｜＜δ＝∩｛ｘ｜ｘ－a≥δ｝＝Φ，且｛ｘ｜｜ｘ－a｜＜δ＝∪｛ｘ｜ｘ－a≥δ｝⊂Ｒ，所以事件｜ｘ－a｜＜δ与ｘ－a≥δ是互不相容事件；

(2)由于｛ｘ｜ｘ＞２０｝∩｛ｘ｜ｘ≤２０｝＝Φ，且｛ｘ｜ｘ＞２０｝∪｛ｘ｜ｘ≤２０｝＝Ｒ，所以事件ｘ＞２０与ｘ≤20是对立事件；

(3)由于｛ｘ｜ｘ＞２０｝∩｛ｘ｜ｘ＜18｝＝Φ，且｛ｘ｜ｘ＞２０｝∪｛ｘ｜ｘ＜18｝＝R，所以事件x＞２０与x＜１８是互不相容事件；

(4)｛ｘ｜ｘ＞２０｝∩｛ｘ｜ｘ≤２２｝≠Φ，所以事件ｘ＞２０与ｘ≤２２是相容事件；

(5)设事件Ａ＝｛２０个产品全是合格品｝，事件Ｂ＝｛20个产品中只有一个废品｝，显然ＡＢ＝Φ，Ａ＋Ｂ⊂Ω＝｛２０个产品｝，所以A与B是互不相容事件；

(6)设事件Ａ＝｛20个产品全是合格品｝，事件B＝｛20个产品中至少有一个废品｝，显然AB＝Φ，Ａ+Ｂ＝Ω＝｛20个产品｝，所以A与B是对立事件.

3写出下列随机试验的样本空间.

(1)10只产品中有3只是次品，每次从其中取一只(取出后不放回)，直到将3只次品都取出，记录抽取的次数；

(2)生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数；

(3)测量一汽车通过给定点的速度.

解(1)将3只次品都取出，至少要抽取3次，而最多抽取10次即可，故所求样本空间

Ω＝｛３，４，…，９，１０｝;

(2)最理想的情形是开始生产的10件产品都是正品，故所求样本空间

Ω＝｛１０，１１，１２，…｝;

(3)若不考虑汽车的运动方向，则所求样本空间

Ω＝｛v｜v＞０｝.

若考虑汽车的运动方向，θ表示该运动方向与正东方向之间的夹角，则所求样本空间Ω＝｛（vｃｏｓθ，vｓｉｎθ）｜v＞０，０≤θ＜２π＝.

4事件A表示在三件被检验的仪器中至少有一件为废品，事件B表示所有的仪器为合格品，问事件(1)Ａ∪Ｂ；（２）Ａ∩Ｂ各表示什么意义?

解(1)Ａ∪Ｂ＝Ω; （２）Ａ∩Ｂ＝ .

5设A，B，C为三个随机事件，试将下列事件用A，B，C来表示：

(1)仅仅A发生；

(2)三个事件都发生；

(3)至少有两个事件发生；

(4)恰有一个事件发生；

(5)没有一个事件发生；

(6)不多于两个事件发生.

解（１）Ａ__

B

__ C；

（２）ＡＢＣ；

（３）ＡＢ∪ＡＣ∪ＢＣ；

（４）Ａ__

B

__

C∪__AＢ

__

C∪__A__BＣ；

（５）__

A

__

B

__

C；

（６）ＡＢ__ C.

7袋内装有5个白球，3个黑球，从中任取两个球，求取出的两个球都是白球的概率.

解随机试验是从8个球中任取2个，样本空间所包含的样本点总数为n=C28.

设事件A={取出两个球均为白球}，此时，事件A包含的样本点数为k=C25，故

P(A)= k / n = C25 / C28≈0.357.

8一批产品共200个，其中有6个废品，求：(1)这批产品的废品率；(2)任取3个恰有一个是废品的概率；(3)任取3个全是废品的概率.

解随机试验是从200个产品中任取3个，样本空间所包含的样本点总数为n=C3200.

设事件A i={取出的3个产品中含有i个废品},i=1,3,事件B={这批产品的废品率}.若取出的3个产品中含有i个废品，则i个废品必须从6个废品中获得，3-i个合格品必须从194 个合格品中获得，从而事件A i所包含的样本点数为k i=C i6C3-i194 ,i=1,3.故

P(B)= 6 / 200 =0.03,

P(A1)=k1 / n=C16C2194/C3200≈0.086,

P(A3)=k3 /n=C36/C3200≈0.000 02.

9两封信随机地向四个邮筒投寄，求第二个邮筒恰好投入一封信的概率.

解将两封信随机地投入四个邮筒，共有4×４＝１６种投法，即ｎ＝１６.

设Ａ＝｛第二个邮筒恰好投入一封信｝，此时，需将两封信中的一封放入第二个邮筒，共有2种放法，剩下的一封放入其他三个邮筒中的一个，共有3种放法，从而事件A包含的样本点数为ｋ＝２×３＝６，故

Ｐ（Ａ）＝ｋ/ｎ＝６/１６＝３/ ８.

10在房间里有10个人，分别佩带着从1号到10号的纪念章，任意选3人记录其纪念章的号码.(1)求最小号码为5的概率；(2)求最大号码为5的概率.

解设事件A＝｛最小号码为5｝，事件B＝｛最大号码为5｝，则

Ｐ（Ａ）＝Ｃ２５/Ｃ３１0＝１/１２，

Ｐ（Ｂ）＝Ｃ２４ /Ｃ３１０＝１/２０.

11把10本书任意地放在书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率.

解设事件Ａ＝｛指定的三本书放在一起｝，将指定的三本书作为一个整体，10本书成为8本，故

Ｐ（Ａ）＝k/n=A33A88/A1010≈０.０６７.