点估计
点估计名词解释
点估计名词解释
点估计是一种常用的数值计算方法,用于估计一个样本中某个特定变量的取值范围。
点估计是指对于给定的样本数据,通过计算样本均值和标准差,来估计总体均值的一个近似值。
点估计是统计学中最基本的估计方法之一,广泛应用于回归分析、聚类分析等领域。
点估计是通过样本数据中的一些变量来计算另一些变量的估计值。
点估计的过程通常包括以下几个步骤:
1. 确定样本数据中的一些变量,这些变量通常是已知的,例如样本均值、标准差等。
2. 计算样本数据的中位数和众数,这些值可以用来估计总体的均值。
3. 根据样本数据计算出每个变量的点估计值,这些值可以用来估计总体的取值范围。
点估计的准确性取决于许多因素,例如样本大小、数据质量等。
在实践中,通常需要根据具体情况选择适当的点估计方法,例如最大似然点估计、贝叶斯点估计等。
除了点估计之外,还有许多其他的估计方法,例如区间估计、置信区间等。
区间估计是指对于给定的样本数据,计算出两个样本均值之间的置信区间,置信区间可以用来表示样本数据中总体均值的可信度。
区间估计适用于总体均值的估计,但通常无法处理总体参数的异方差性。
在实际工作中,点估计是一种非常实用的方法,可以快速估计一个样本中某个特定变量的取值范围。
通过了解点估计的原理和方法,我们可以更好地理解统计学中的估计问题,并在实际工作中更好地应用这些方法。
常见的点估计的方法
常见的点估计的方法
宝子，今天咱们来唠唠常见的点估计方法哈。
一种是矩估计法呢。
这就像是找东西的时候从最熟悉的地方开始找起。
矩估计法是利用样本矩来估计总体矩。
比如说，样本均值可以用来估计总体均值，样本方差可以用来估计总体方差。
它的想法很简单直接，就像是用已知的样本特征去推测总体的那些神秘特征。
这就好比你看到一群小鸭子走路的样子，就大概能猜到鸭妈妈走路的风格啦。
还有最大似然估计法哟。
这个方法可就有点像侦探破案啦。
它是在已经知道样本的情况下，去找那个最有可能产生这些样本的总体参数。
就像是你在一个神秘的地方发现了一些脚印，然后你要去推测是哪种小动物留下的脚印可能性最大呢。
这个方法会根据样本数据构建一个似然函数，然后找到使这个函数值最大的那个参数值，这个值就是我们要的点估计值啦。
另外呀，最小二乘法也是很常见的点估计方法呢。
这个就像是给一群调皮的小朋友排队，要让他们排得最整齐。
在回归分析里经常用到它哦。
比如说我们有一堆数据点，想要找到一条直线或者曲线来最好地拟合这些点，最小二乘法就是通过让误差的平方和最小来确定这条线的参数的。
这就像是给每个数据点都找到一个最适合它的位置，让它们整体看起来最和谐。
这些点估计方法在很多实际的情况里都超级有用的。
比如说在做市场调查的时候，我们可以用这些方法来估计消费者的平均消费水平呀，或者某种产品受欢迎程度的参数之类的。
就像我们要知道大家有多爱喝奶茶，就可以用这些方法从抽样的结果里去推测整体的情况啦。
宝子，你看，这些方法虽然听起来有点复杂，但理解起来是不是还挺有趣的呀？。
点估计的例子
点估计的例子
以下是几个点估计的例子：
1. 假设你想要估计某个城市居民的平均年收入。
你可以通过随机选择一部分居民，并计算他们的年收入，并将这些收入的平均值作为总体平均年收入的估计。
2. 假设你想要估计某种商品的市场需求量。
你可以通过调查一部分消费者，询问他们对该商品的需求，并依据这些调查结果来估计总体的市场需求量。
3. 假设你想要估计某个国家的失业率。
你可以通过在劳动力市场进行调查，记录工作和求职的人数，并将这些数据用于计算失业率的估计。
4. 假设你想要估计某个人口群体中的健康状况。
你可以通过进行健康调查，收集一部分人口的身体健康数据，并将这些数据用于估计整个人口群体的健康状况。
这些都是点估计的例子，因为它们使用某个样本或部分数据来估计整个总体或群体的参数或特征。
点估计
具体来说，极大似然估计是这样的：
设X1,X2,…Xn是取自总体X的一个样本，样本 的联合密度(连续型）或联合分布律 (离散型)为 f (x1,x2,… ,xn ; ) . 当给定样本X1,X2,…Xn时，定义似然函数为：
L( ) f (x1, x2 ,…, xn; )
这里 x1, x2 ,…, xn 是样本的观察值 .
E ( X k ) 存在，则 由辛钦大数定律，若总体 k 阶原点矩
1 n k lim P X i E ( X k ) 0 n 即样本的 n i 1
k 阶原点矩依概率收敛于总
k k 体 k 阶原点矩 E ( X ) ，所以当 E ( X ) 知时，自然会想到用子
7 解：首先写出似然函数 L x1 ,..., x7 ; f xi ; e i 1 7
xi
i 1
7
取对数似然函数 ln L x1 ,..., x7 ; 7 ln xi i 1
d ln L x1 ,..., x7 ; 7 7 xi 0 似然方程为 d i 1
i
i fi X1 ,..., X n ， i
是样本的函数，称为 的矩估计量，将
i
样本观测值 x1,..., xn 代入矩估计量，即得到 i 的矩估计 值。
常用的矩估计量
1.样本k阶原点矩作为总体同阶原点矩的矩估计，即
Xk) 1 E( X ik n i 1
程组求出 a，b 的取值，但是根据概率最大原则，a，b 的取值应该使 L(x,a, b) 最大。根据均匀分布的性质， a xi b, i 1, 2,..., n 。因此，当
6.1 点估计的几种方法
ˆ 2X
若（ x1 , x2 , x3 , x4 , x5） （ 1， 2， 3， 5， 9） ,
1 2 3 5 9 ˆ 2X 8 X 4 5
9 落 在 区 间 [0, 8]外 面 ！ ！
例 6.1.5 一类电子产品的寿命 可以用两 参数指数分布 E ( , ) 描述，其概率密度为
1 n ˆ Xi X 解得： n i 1
1 n 2 ( X i X )2 S n n i 1
2
例 6.1.11 设总体 ~ U[0, ], 0 为未知参数, 试求 的极大似然估计.
解：设 ( X , X ,
1 2
, X n ) 为样本， ( x1 , x2 ,
, xn ) 为观测值
1
当 xi [0, ] 时，
ln L( ) n ln
L( ) ( )
i 1
n
1
n
d ln L( ) n 0, ( 0) d
d ln L( ) 方程 0无解！！ d
ln L( ) 关于 严格单调递减
(3)解出 1 , 2 ,..., m .
注意：（1）总体矩一般与参数有关; （2）方程个数m=待估参数个数; （ 3 ）尽量用低阶矩.
矩法估计的不变性
若要估计 1 ,2 , ,k 的函数 h(1 ,2 , k ) ， 把 1 , 2 ,
, k
第六章
参数估计
(1) 非参数估计：估计总体分布
如：频率直方图，样本分布函数等
(2) 参数估计：总体分布已知，估计未知参数
点估计— —估计参数的值 参数估计 区间估计— —估计参数的范围
第十章 点估计
3. X1，…，Xn是来自（θ 1,θ 2）上的均匀
分布的样本，θ 1和θ 2未知，求θ 1和θ 2的 矩估计。 解：
EX
1 2
2
( 2 1 ) 2 DX E ( X EX ) 2 12
ˆ ˆ 1 2 2
X
ˆ ˆ ( 2 1 ) 2 1 n S 2 ( X i X )2 12 n i 1
2 2
最大似然函数
ln L n ln( 2 )
1 n L( x1 , xn ; , ) ( ) e 2 n
2
1 2 2
( xi ) 2
i 1
n
1
2 2
( xi ) 2
i 1
ln L 1 n 令 1n 1n 0 ˆ ˆ 2 ( xi ) xi x 2 ( xi x )2 S 2 i 1 n i1 n i1 n ln L n 3 ( xi ) 2 令 0 i 1
ˆ ˆ 1 比 2
有效。
相合性
（3）相合性 定义： ˆ 为θ的一个估计量，如果当 ˆ n∞时， 依概率收敛于θ，即对于任 ˆ 意ε >0，有 lim p(| | ) 1 n ˆ 则称 为θ的一致估计，即， ˆ 具有相合 性。 注：估计量具有相合性表示，当样本 ˆ 容量增大时， 与θ越来越接近，以至于 最后完全重合。 back
第十章
一、点估计问题 二、点估计方法
点估计
（1）矩估计方法 （2）最大似然估计法
三、点估计的优良性
（1）无偏性 （2）有效性 （3）相合性
一、点估计问题
设总体X的分布为f(x,θ )，其中θ 为未知参数，称基于样本X1，…，Xn， 估计g(θ )的问题为参数估计。
《点估计的求法》课件
有效性
总结词
有效性是指估计量的方差应该尽可能小。
详细描述
有效性关注的是估计量的稳定性，即估计量在多次重复抽样中的变异性。一个有 效的估计量应该具有较小的方差，这意味着该估计量在多次抽样中给出的结果应 该相对稳定。方差越小，估计量的有效性越高。
一致性
总结词
一致性是指随着样本容量的增加，估计量的值应该趋近于被估计参数的真实值。
《点估计的求法》ppt课件
目录
CONTENTS
• 点估计的概述 • 点估计的常用方法 • 点估计的优良性准则 • 点估计的应用实例 • 点估计的未来发展
01
CHAPTER
点估计的概述
点估计的定义
总结词
点估计是一种统计学方法，用于估计某个未知参数或总体分布的特征值。
详细描述
点估计是一种统计学方法，通过使用样本数据来估计未知的总体参数或总体分 布的特征值。它是一种近似估计，以样本统计量作为总体参数的估计值。
点估计的优缺点
总结词
点估计的优点包括简单易行、直观明了和计算方便， 但缺点是存在误差且无法衡量误差大小。
详细描述
点估计是统计学中最为基础和直观的估计方法之一，其 优点在于简单易行、直观明了和计算方便。它能够快速 地给出未知参数的近似值，因此在许多情况下被广泛应 用。然而，点估计也存在一定的缺点，主要是由于它是 基于样本统计量来估计总体参数，因此不可避免地存在 误差，而且无法提供一个准确的衡量误差大小的指标。 因此，在某些情况下，可能需要更精确的估计方法来替 代点估计。
随着数据流的处理需求增加，在线估计方法能够实时更新估计结 果，减小计算和存储开销。
分布式估计
利用分布式计算框架（如Hadoop、Spark）进行大规模数据的并 行处理和估计，提高计算效率。
点估计(课件)
估计值.
一般地， 设总体的分布中 有一个未知参数θ, θ的取值范围为Θ, 即 , 称Θ为参数空间. θ是未知的, 但其参数空间Θ是事先知道的. 为了估计θ, 从总体中抽取样本 X1 , X 2 ,..., X n 相应的一个样本观测值为 x1 , x2 ,..., xn 构造一个统计量 h( X1 , X 2 ,..., X n )， 用它的观测值 h( x1 , x2 ,..., xn )来估计未知参数θ, 称 h( X1 , X 2 ,..., X n ) 为θ的估计量; h( x1 , x2 ,..., xn ) 为θ的估计值. ˆ ( X , X ,..., X ) 和 ˆ ( x , x ,..., x ) 分别记为 1 2 n 1 2 n
2
2 DX EX , 例 设 X 是任一总体, 存在,
X1 , X 2 ,..., X n 是来自 X 的简单随机样本, 则 2 1 n 2 (3) S0 X i X 不是 DX 2 的无偏估计量. n i 1 即 E ( S02 ) 2 2 n 2 n1 n n1 2 1 1 2 Xi X S 证 S0 X i X n n n 1 i 1 n i 1 n1 2 n 1 2 n 1 2 2 2 E ( S0 ) E S E( S ) n n n
一、点估计
例 某厂在某月内 生产了一大批灯泡, 设X是 灯泡的寿命, X是随机变量,代表总体. 已知 但平均寿命μ未知, 于是厂家 X ~ N ( , 952 )， 抽出10只灯泡, 进行寿命试验, 得到10只灯泡 的寿命如下:
点估计和区间估计的例子
点估计和区间估计的例子以点估计和区间估计为主题，以下是十个例子：1. 假设一家餐馆想要估计每天晚上的客流量，他们可以通过随机抽样，选择几个晚上记录客人的数量，并以此为基础估计整个晚上的客流量。
这个估计就是点估计。
2. 一家电子公司想要估计他们新产品的销售额，他们可以通过随机调查一部分消费者，询问他们是否有兴趣购买该产品以及他们预计的购买数量。
通过统计这些调查结果，他们可以得出一个销售额的点估计。
3. 一家医院想要估计某种疾病的发病率，他们可以通过抽取一部分患者的病历，统计患有该疾病的人数，并以此为基础估计整个人群的发病率。
这个估计也是一个点估计。
4. 一家市场调研公司想要估计某个市场上某种产品的平均价格，他们可以通过抽取一部分商家的价格信息，并计算这些价格的平均值作为估计值。
这个估计就是一个点估计。
5. 一家投资公司想要估计某个股票的未来收益率，他们可以通过研究该股票的历史数据，计算出平均收益率作为估计值。
这个估计也是一个点估计。
6. 假设一家制造公司想要估计他们生产的某个产品的平均寿命，他们可以随机抽取一些产品，进行寿命测试，并以测试结果的平均值作为估计值。
这个估计就是一个点估计。
7. 一家保险公司想要估计某个年龄段人群的平均医疗费用，他们可以通过抽取一部分被保险人的医疗费用信息，并计算这些费用的平均值作为估计值。
这个估计也是一个点估计。
8. 假设一家零售商想要估计某个商品的月销售量，他们可以通过随机抽取几个销售点，记录每个销售点的销售量，并以此为基础估计整个销售网络的销售量。
这个估计就是一个点估计。
9. 一家航空公司想要估计某个航班的平均延误时间，他们可以通过抽取一部分乘客的行程信息，记录他们的起飞和到达时间，并计算这些时间差的平均值作为估计值。
这个估计也是一个点估计。
10. 假设一家汽车制造公司想要估计某个车型的平均燃油效率，他们可以随机抽取一些车辆，测试它们的燃油消耗量，并以测试结果的平均值作为估计值。
6.1点估计
则 X 1 , X 2 ,L, X n 的联合分布律为 ∏ p ( xi ;θ ).
i =1
n
即事件 X 1 = x1 , X 2 = x2 ,L, X n = xn 发生的概率为
L(θ )称为样本似然函数.
ln L( p ) = ∑ xi ⋅ ln p + (n − ∑ xi ) ln(1 − p )
∂ ln L( p) = ∂p
∑x
p
i
−
(n − ∑ xi ) 1− p
=0
∑x ˆ p=
n
i
=x
p 的最大似然估计量为
最大似然估计的定义
(其中 Θ 是 θ 可能的取值范围 )
设总体的概率函数为p( x;θ ), θ 为待估参数, θ ∈ Θ,
*2
估计 Var ( X )
例1 在某炸药制造厂 , 一天中发生着火现象的 次数 X 是一个随机变量 , 假设它服从以 λ > 0 为参 数的泊松分布 , 参数 λ 为未知 , 设有以下的样本值 , 试估计参数 λ . 解
着火次数 k 发生 k 次着 火的天数 nk 0 1 2 3 4 5 6 75 90 54 22 6 2 1 Σ = 250
1 n ( xi − µ ) = 0 , 2 ∑ σ i =1
−
n 2σ 2
+
1 2(σ 2 )
( xi − µ )2 = 0 , 2 ∑
i =1
n
1 n 由 2 ∑ xi − nµ = 0 解得 σ i =1
由− n 2σ 2
心理统计名词解释点估计和区间估计
心理统计名词解释：1. 点估计点估计是一种通过样本数据估计总体参数的方法。
在心理统计学中，研究者通常只能获得一部分总体数据，因此需要利用样本数据来估计总体的特征。
点估计就是利用样本数据计算出一个数值作为总体参数的估计值，常见的点估计方法包括最大似然估计和矩估计。
2. 区间估计区间估计是一种用来估计总体参数范围的方法。
与点估计不同，区间估计不仅给出了参数的点估计值，还给出了参数估计的置信区间。
置信区间是总体参数的估计范围，通常表示为一个区间，例如(μ-δ, μ+δ)，其中μ为参数的点估计值，δ为置信区间的半径。
心理统计中的点估计和区间估计在研究中具有重要意义。
通过点估计和区间估计，研究者可以对总体的特征进行估计，并对估计结果的可靠性进行评估。
这两种估计方法在量化研究中被广泛应用，对于从样本数据推断总体特征具有重要的参考价值。
点估计和区间估计的应用：3. 点估计的应用在心理统计学中，点估计通常用来估计总体的各种参数，如均值、方差、比例等。
研究者利用样本数据计算出点估计值，并将其作为总体参数的估计值。
在一项实验中，研究者可以利用样本数据计算出实验组和对照组的平均得分，以此作为两组总体均值的估计值。
4. 区间估计的应用区间估计在心理统计学中具有重要意义，它不仅给出了总体参数的估计值，还给出了估计的可靠范围。
研究者通常会根据置信水平选择相应的置信区间，常见的置信水平包括95、99等。
在研究中，研究者可以利用区间估计来估计总体均值的置信区间，从而评估估计结果的可靠性。
点估计和区间估计的特点：5. 点估计的特点点估计给出了总体参数的一个具体数值估计，具有直观性和简单性。
研究者可以通过点估计方便地获得总体参数的估计值，并基于这一估计值进行推断和决策。
然而，点估计也存在一定局限性，它无法提供参数估计的置信范围，使得估计结果的可靠性无法直观评估。
6. 区间估计的特点区间估计不仅给出了总体参数的估计值，还给出了参数估计的可靠范围。
参 数 估 计
1.总体平均数的区间估计
用区间估计的方法来估计总体平均数 x ，必须具备三要
素：点估计量即样本平均数、平均数的抽样极限误差Δx 和置信度F(t)。公式如下：
P(x x X x x) F (t) 1
其中
x tx t x
9
1.总体平均数的区间估计
例6.7：从某校全部学生中，随机抽取 100名学生，x 平均体重 =58kg，x 抽样
（2）允许误差（极限误差）Δ，即Δ的数值。 （3）概率度t 。 （4）抽样方法。 （5）抽样的组织方式。
14
（二）必要抽样数目的计算
1．重复抽样条件下平均数的必要抽样数目的确定
因为
x tx
t x
t
n
所以
t 2 2
n x2
15
（二）必要抽样数目的计算
例6.10：某城市组织职工家庭生活抽样 调查，根据历史资料知，职工家庭平均每 户每月收入的标准差为11.50元 ,要求把 握程度为95.45% ,允许误差为1元,问需 抽选多少户?
20
（二）必要抽样数目的计算
例6.12，设某工地有土方工人2000名，拟用不重复抽 样推断，来测定其平均工作量，要求抽样误差不超过0.1 立方米，把握程度为99.73%，已知上次抽样调查所得 的方差为2.25，试求必要抽样数目。
3
一、点估计
(1) 无偏性。如果估计量 的ˆ数学期望值等于总体参数θ， 即E( )=θ，则是θ的ˆ 无偏估计量。
ˆ
(2) 即
有效,性。则如是果2 θ对 的比2*有任ˆ效何估一计个量估。计量
, 有最小方差，
ˆ (3)一致性。如果估计nl量im P[，ˆ 随着样 ]本 1容量n的增大而趋
近于θ，即ˆ 则 是θ的一致估计量。
点 估 计
ˆ
X
，ˆ 2
A2
ˆ 2
A2
x2
8 9
S2
.
所以，该班数学成绩的平均分数的矩估计值 ˆ x 75 ，
标准差的矩估计值 ˆ 8 s2 12.14 。
9
作矩法估计时无需知道总体的概率分布，只要知道总体矩
即可。但矩法估计量有时不唯一，如总体 X 服从参数为 λ 的泊
松分布时，X 和 B2 都是参数 λ 的矩法估计。
P{X k} C3k Pk (1 p)3k ，k = 0 , 1 , 2 , 3.
问题是 p =1/4 还是 p =3/4 ? 现根据样本中黑球数，对未知参 数 p 进行估计。抽样后，共有4种可能结果，其概率如表7-1所示。
7-1
假如某次抽样中，只出现一个黑球，即 X =1，p =1/4时，P {X =1}=27/64；p =3/4时，P {X =1}= 9/64，这时我们就会选择 p =1/4，即黑球数比白球数为1∶3。因为在一次试验中，事件“1 个黑球”发生了。我们认为它应有较大的概率27/64(27/64>9/64)， 而27/64对应着参数 p =1/4(即取使概率 P {X=1}达到最大的P =1/4 作为对 P 的估计)，同样可以考虑 X=0, 2, 3 的情形，最后可得
一、矩法
矩法估计的一般原则是：用样本矩作为总体矩的估计，若不 够良好，再作适当调整。矩法的一般作法：设总体 X ~ F( x ; θ1 , θ2 ,…, θl ) 其中 θ1 , θ2 ,…, θl 为未知参数。
( 1 )如果总体 X 的 k 阶矩 k E(X k ) (1 k 1) 均存在，则
试验中事件 A 发生的频率。由此可见频率是概率的矩估计。
例7.2
点估计怎么算例题
点估计怎么算例题一、点估计的概念点估计就是用样本统计量来估计总体参数。
例如，用样本均值¯x估计总体均值μ，用样本方差s^2估计总体方差σ^2等。
二、例题及解析1. 例题1：- 已知总体X服从正态分布N(μ,σ^2)，从总体中抽取一个容量为n = 10的样本，样本值为x_1=1,x_2=2,x_3=3,x_4=4,x_5=5,x_6=6,x_7=7,x_8=8,x_9=9,x_10=10。
求总体均值μ的点估计值。
- 解析：- 对于总体均值μ的点估计，我们通常使用样本均值¯x来估计。
- 样本均值¯x=(1)/(n)∑_i = 1^nx_i。
- 这里n = 10，∑_i=1^10x_i=1 + 2+3+4+5+6+7+8+9 + 10=((1 +10)×10)/(2)=55（利用等差数列求和公式S_n=(n(a_1 + a_n))/(2)，其中n = 10，a_1=1，a_n = 10）。
- 所以¯x=(1)/(10)×55 = 5.5，则总体均值μ的点估计值为¯x=5.5。
2. 例题2：- 设总体X的概率密度函数为f(x)=<=f t{begin{array}{ll}θ x^θ - 1,0< x<10,text{其他}end{array}right.，其中θ>0为未知参数，X_1,X_2,·s,X_n是来自总体X的一个样本，求θ的矩估计（一种点估计方法）。
- 解析：- 首先求总体的一阶矩（期望）E(X)。
- 根据期望的定义：E(X)=∫_-∞^∞xf(x)dx=∫_0^1x·θ x^θ -1dx=θ∫_0^1x^θdx=(θ)/(θ + 1)。
- 设样本均值为¯X=(1)/(n)∑_i = 1^nX_i。
- 由矩估计的思想，令E(X)=¯X，即(θ)/(θ + 1)=¯X。
点估计概述
对任意 0
2 4 证 因 ES DS 故由切比雪夫不等式推得 n 1
2 2
2
0P{|S2ES2|}P{|S2 2|}
1 DS 2 2 4 2 2(n 1)
当n时上式左、右端均趋于0 根据相合性定义可知S2是 2的相合估计量
2 有效性 定义52(有效性)
ˆ ˆ ˆ ˆ 设1与 2 为参数的两个无偏估计量 若D1 D 2 则称 ˆ 较ˆ 有效
1 2
设总体 X 的方差存在且大于零 EX (X1 X2)为 ˆ ˆ X 的一个样本 则 1 X 与2 x1 都是 的无偏估计量 证明 例 53
2 1 2
ˆ ˆ 2 1 证明它们都是 2 的无偏估计量 并且2 较2
有效
解 因为
ˆ E 12 ES 2 2 1 n ( X 1)2 ] 1 n E ( X EX )2 2 ˆ E 1 E[ i i i n i 1 n i 1
1 n DX 2 i n i 1
解 由题意知总体X的均值为 即EX 因此用样本均 值 X作为的估计量看起来是最自然的 对给定的样本值计 算得 x 1 (168 130 252) 172 .7 9 ˆ ˆ 故 X 与 x 172 .7 分别为的估计量与估计值
注意：
⑴ 估计量与估计值有着本质的不同;
ˆ 若lim E 则称ˆ是 的渐近无偏估计量
n
注意 如果ˆ 是的无偏估计量 g()是的函数 未必能 ˆ 推出 g( )是 g()的无偏估计量
(X 例如总体 X~N( 2) X 是的无偏估计量 但 )2 却不
是2 的无偏估计量
例52(1) 设(X1 Xn)为取自总体X的样本 总体X的均 值为 方差为2 则样本均值 X是的无偏估计量 解 因为EXiEX i1 2 n
点估计与区间估计公式整理
点估计与区间估计公式整理在统计学中，点估计和区间估计是常用的估计方法，用来估计总体的参数或者给出总体参数的置信区间。
点估计是通过样本数据得到总体参数的近似值，而区间估计则是给出一个范围，该范围内有一定的概率包含真实的总体参数值。
一、点估计点估计是通过样本数据得到总体参数的一种估计方法，其基本思想是使用样本统计量来估计总体参数。
下面是一些常见的点估计公式：1.总体均值的点估计总体均值（μ）的点估计常用样本均值（x）来估计，公式如下：x = (x₁ + x₂ + ... + xn) / n其中，x₁, x₂, ..., xn 是样本观测值，n 是样本容量。
2.总体方差的点估计总体方差（σ²）的点估计常用样本方差（s²）来估计，公式如下：s² = ((x₁ - x)² + (x₂ - x)² + ... + (xn - x)²) / (n - 1)其中，x是样本均值，x₁, x₂, ..., xn 是样本观测值，n 是样本容量。
3.总体比例的点估计总体比例（p）的点估计常用样本比例（p）来估计，公式如下：p = x / n其中，x 是样本成功次数，n 是样本容量。
二、区间估计区间估计是给出一个范围，该范围内有一定的概率包含真实的总体参数值。
下面是一些常见的区间估计公式：1.总体均值的区间估计总体均值（μ）的区间估计常用样本均值（x）和标准误差（SE）来估计，公式如下：x ± Z * (SE)其中，x是样本均值，Z 是标准正态分布的分位数，SE 是标准误差，其计算公式如下：SE = s / √n其中，s 是样本标准差，n 是样本容量。
2.总体比例的区间估计总体比例（p）的区间估计常用样本比例（p）和标准误差（SE）来估计，公式如下：p ± Z * (SE)其中，p是样本比例，Z 是标准正态分布的分位数，SE 是标准误差，其计算公式如下：SE = √((p * (1-p)) / n)其中，n 是样本容量。
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引言我们已介绍了总体、样本、简单随机样本、统计量和抽样分布的概念，介绍了统计中常用的三大分布，给出了几个重要的抽样分布定理. 它们是进一步学习统计推断的基础.现在我们来介绍一类重要的统计推断问题 参数估计问题是利用从总体抽样得到的信息来估计总体的某些参数或者参数的某些函数. 参数估计 估计废品率估计新生儿的平均体重估计湖中鱼数 ……估计平均降雨量 在参数估计问题中，假定总体分布 形式已知，未知的仅仅是一个或几个 参数.这类问题称为参数估计.参数估计问题的一般提法X 1,X 2,…,X n要依据该样本对参数 θ作出估计，或估计θ的某个已知函数 .)(θg 现从该总体抽样，得样本设有一个统计总体，总体的分布函数 向量) . 为 F (x , )，其中 为未知参数 ( 可以是 θθθ点估计参数估计区间估计)1.0,(2μN （假定身高服从正态分布 ）设这5个数是: 1.65 1.67 1.68 1.78 1.69μ估计 为1.68， 这是点估计.这是区间估计. 估计 μ在区间[1.57, 1.84]内， 假如我们要估计某队男生的平均身高.现从该总体选取容量为5的样本，我们的任务是要根据选出的样本（5个数）求出总体均值 的估计. 而全部信息就由这5个数组成 .μ一、点估计概念及讨论的问题 例 1 已知某地区新生婴儿的体重X ~ ),,(2σμN ,,2未知σμ随机抽查100个婴儿…得100个体重数据10,7,6,6.5,5,5.2, …呢? μσ据此,我们应如何估计 和而全部信息就由这100个数组成.为估计,我们需要构造出适当的样本的函数T (X 1,X 2,…X n )，每当有了样本，就代入该函数中算出一个值，用来作为 的估计值 .μμ把样本值代入T (X 1,X 2,…X n ) 中，得到 μ的一个点估计值 .T (X 1,X 2,…X n )称为参数 μ的点估计量，请注意，被估计的参数 是一个 未知常数，而估计量 T (X 1,X 2,…X n ) 是一个随机变量，是样本的函数,当 样本取定后，它是个已知的数值,这 个数常称为 的估计值 .μμ问题是:使用什么样的统计量去估计？可以用样本均值;也可以用样本中位数;还可以用别的统计量 .,)(μ=X E 我们知道,服从正态分布 ,.),(2vX r N 的σμ 由大数定律, 1}|1{|lim 1=<-∑=∞→εμn i i n X n P 自然想到把样本体重的平均值作为总体平均体重的一个估计.22σ估计S 类似地，用样本体重的方差 . ,μ估计X 用样本体重的均值 ,11∑==n i i X n X ∑=--=n i i X X n S 122)(11样本体重的平均值样本均值是否是 的一个好的估计量？ μ(2) 怎样决定一个估计量是否比另一个估计 量“好”？样本方差是否是 的一个好的估计量？ 2σ这就需要讨论以下几个问题:(1) 我们希望一个“好的”估计量具有什么 特性？(3) 如何求得合理的估计量？那么要问:二、估计量的优良性准则在介绍估计量优良性的准则之前，我们必须强调指出：评价一个估计量的好坏，不能仅仅依据一次试验的结果，而必须由多次试验结果来衡量 .这是因为估计量是样本的函数，是随机变量 . 因此，由不同的观测结果，就会求得不同的参数估计值. 因此一个好的估计，应在多次试验中体现出优良性 .常用的几条标准是：1．无偏性2．有效性3．相合性这里我们重点介绍前面两个标准 .估计量是随机变量，对于不同的样本值会得到不同的估计值 . 我们希望估计值在未知参数真值附近摆动，而它的期望值等于未知参数的真值. 这就导致无偏性这个标准 .1．无偏性θθ=)ˆ(E 则称 为的无偏估计 . θˆθ),,(ˆ1n X X θ设 是未知参数 的估计量，若 θ. 真值∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙无偏性是对估计量的一个常见而重要的要求 . 无偏性的实际意义是指没有系统性的偏差 .例如，用样本均值作为总体均值的估计时，虽无法说明一次估计所产生的偏差，但这种偏差随机地在0的周围波动，对同一统计问题大量重复使用不会产生系统偏差 .所以无偏估计以方差小者为好, 这就引进了有效性这一概念 .的大小来决定二者21)ˆ(θθ-E 和 2ˆθ1ˆθθ一个参数往往有不止一个无偏估计, 若 和 都是参数 的无偏估计量， 比较 我们可以 22)ˆ(θθ-E 谁更优 .211)ˆ()ˆ(θθθ-=E D 由于 222)ˆ()ˆ(θθθ-=E D2．有效性D ( )< D ( ) 2ˆθ1ˆθ则称 较 有效 .2ˆθ1ˆθ都是参数 的无偏估计量，若有),,(ˆ11n X X θ),,(ˆˆ122n X X θθ==1ˆθ设 和 θ. 真值∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙真值. ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙绿色是采用估计量 ，14组样本得到的14个估计值.1ˆθ红色是采用估计量 ，14组样本得到的14个估计值. 2ˆθ在数理统计中常用到最小方差无偏估计. 它的定义是:（也称最佳无偏估计） θˆ若 满足：θˆθθθ=)ˆ(E （1） ， 即 为 的无偏估计； )ˆ()ˆ(*θθD D ≤（2） ， *ˆθ是 的任一无偏估计.θ则称 为 的最小方差无偏估计. θθˆn X X ,,1 设 是取自总体X 的一个样本，),,(ˆ1n X X θ是未知参数 的一个估计量， θ二、寻求估计量的方法1. 矩估计法2. 极大似然法3. 最小二乘法4. 贝叶斯方法……这里我们主要介绍前面两种方法 .1. 矩估计法其基本思想是用样本矩估计总体矩 . 理论依据: 或格列汶科定理 它是基于一种简单的“替换”思想建立起来的一种估计方法 .是英国统计学家K .皮尔逊最早提出的 . 大数定律记总体k 阶矩为 )(kk X E =μ样本k 阶矩为 ∑==ni k i k X n A 11用相应的样本矩去估计总体矩的估计方法 就称为矩估计法. 记总体k 阶中心矩为 k k X E X E )]([-=ν样本k 阶中心矩为 ∑=-=n i k i k X X n B 1)(1设总体的分布函数中含有k 个未知参数 k θθ,,1 都是这k 个参数的函数,记为：k μμ,,1 ,那么它的前k 阶矩 一般 ),,(1k i i g θθμ =i =1,2,…,k 从这k 个方程中解出j =1,2,…,k 那么用诸 的估计量 A i 分别代替上式中的诸 , 即可得诸 的矩估计量 ：i μi μj θ),,(1k j j h μμθ =),,(ˆ1k j j A A h =θj =1,2,…,k解: dx x x X E ααμ)1()(101+==⎰21)1(110++=+=+⎰ααααdx x 由矩法, 21++=ααX 样本矩 总体矩 从中解得 ,112ˆXX --=α的矩估计. α即为 数学期望是一阶原点矩 例2 设总体X 的概率密度为⎩⎨⎧<<+=其它,010,)1()(x x x f αα是未知参数, 其中 1->ααX 1,X 2,…,X n 是取自X 的样本,求参数 的矩估计.解:由密度函数知例3 设X 1,X 2,…X n 是取自总体X 的一个样本为未知参数其它μθμθθμ,,0,1)(~)(⎪⎩⎪⎨⎧≥=--x e x f X x 其中 >0,求的矩估计. θ,θμμ-X 具有均值为 的指数分布θ故 E (X - )=μθμ2θ D (X - )= 即 E (X )= +μθ2θD (X )=-=X μˆ∑=-=n i i X X n 12)(1ˆθ解得 ∑=-n i i X X n 12)(1令 X=+θμ∑=-=ni i X X n 122)(1θ用样本矩估计 总体矩 即 E (X )= +μθ2θD (X )= .,ˆ,ˆ的矩估计即为参数θμθμ矩法的优点是简单易行,并不需要事先知道总体是什么分布 .缺点是，当总体类型已知时，没有充分利用分布提供的信息 . 一般场合下, 矩估计量不具有唯一性 .其主要原因在于建立矩法方程时，选取那些总体矩用相应样本矩代替带有一定的随意性 .2. 极大似然法是在总体类型已知条件下使用的一种参数估计方法 .它首先是由德国数学家高斯在1821年提出的 ,GaussFisher 然而，这个方法常归功于英国统计学家费歇 . 费歇在1922年重新发现了这一方法，并首先研究了这 种方法的一些性质 .极大似然法的基本思想先看一个简单例子：某位同学与一位猎人一起外出打猎 .一只野兔从前方窜过 .只听一声枪响，野兔应声倒下 .如果要你推测，是谁打中的呢？你会如何想呢?你就会想，只发一枪便打中,猎人命中的概率一般大于这位同学命中的概率. 看来这一枪是猎人射中的 .这个例子所作的推断已经体现了极大似然法的基本思想 .下面我们再看一个例子,进一步体会极大似然法的基本思想 .例4 设X ~B (1,p ), p 未知.设想我们事先知道p 只有两种可能:问:应如何估计p ?p =0.7 或 p =0.3如今重复试验3次,得结果: 0 , 0, 0 由概率论的知识, 3次试验中出现“1”的次数),3(~p B Y k =0,1,2,3 k n k p p k k Y P --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==)1(3)(将计算结果列表如下： 应如何估计p ? p =0.7 或 p =0.3k k p p k k Y P --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==3)1(3)(k =0,1,2,3p 值 P (Y =0) P (Y =1) P ( Y =2) P (Y =3)0.7 0.027 0.189 0.441 0.343 0.3 0.343 0.441 0.189 0.027出现 估计 出现 出现 出现 估计 估计 估计0.343 0.441 0.441 0.343如果有p 1,p 2,…,p m 可供选择, 又如何合理地选p 呢?从中选取使Q i 最大的p i 作为p 的估计. );();(0i i p k Y P p k Y P =≥=i =1,2,…,m 则估计参数p 为 0ˆi p p=0i p p =时Q i 最大,比方说, 当 若重复进行试验n 次,结果“1”出现k 次 (0 ≤ k ≤ n ),我们计算一切可能的 P (Y =k ; p i )=Q i ， i =1,2,…,m如果只知道0<p <1, 并且实测记录是 Y =k (0 ≤ k ≤ n ), 又应如何估计p 呢? 注意到k n k p p k n p k Y P --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==)1();(是p 的函数,可用求导的方法找到使f (p )达到 极大值的p .但因f (p )与ln f (p )达到极大值的自变量相同,故问题可转化为求ln f (p )的极大值点 .=f (p )nk p =ˆ将ln f (p )对p 求导并令其为0,这时, 对一切0<p <1,均有);()ˆ;(p k Y P pk Y P =≥=从中解得 pk n p k dp p f d ---=1)(ln =0 便得 p (n -k )=k (1-p ))1ln()(ln ln )(ln p k n p k k n p f --++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=以上这种选择一个参数使得实验结果具有最大概率的思想就是极大似然法的基本思想 .这时,对一切0<p <1,均有);()ˆ;(p k Y P pk Y P =≥=则估计参数p 为 nk p =ˆ极大似然估计原理：当给定样本X 1,X 2,…X n 时，定义似然函数为：设X 1,X 2,…X n 是取自总体X 的一个样本，样本的联合密度(连续型）或联合概率函数(离散型)为 f (X 1,X 2,…X n ; ) . θ=)(θL f (X 1,X 2,…X n ; ) θ似然函数：)(max )ˆ(θθθL L = 极大似然估计法就是用使 达到最 大值的 去估计 . )(θL θˆθ称 为 的极大似然估计（MLE ）.θθˆ 看作参数 的函数，它可作为 将以多 大可能产生样本值X 1,X 2,…X n 的一种度量 . )(θL θθ=)(θL f (X 1,X 2,…X n ; ) θ(4) 在最大值点的表达式中, 用样本值代入 就得参数的极大似然估计值 .求极大似然估计(MLE)的一般步骤是：(1) 由总体分布导出样本的联合概率函数 (或联合密度);(2) 把样本联合概率函数(或联合密度)中自变 量看成已知常数,而把参数 看作自变量, 得到似然函数L ( ); θθ(3) 求似然函数L ( ) 的最大值点(常常转化 为求ln L ( )的最大值点) ，即 的MLE; θθθ两点说明：1、求似然函数L ( ) 的最大值点，可以应用微积分中的技巧。