边界层流动 详细很好

( x, y)
( x, y)
ux y , uy x
将其带入式（4-10a）中，有
y
2 xy

x

2 y2

3 y3
（4-12）
由于流函数Ψ自动满足连续性方程，因此（4-1）就已经隐含 在式（4-12）中了。
这样由式（4-1）和式（4-10）构成的二阶非线性偏微分方程组 就简化为一个三阶非线性偏微分方程。
xc
圆管进口处层流边界层的发展
当一粘性流体以均匀流速流进水平圆管时，由于流体的粘性作 用在管内壁面处形成边界层并逐渐加厚。在距管进口某一段距 离，边界层在管中心汇合，此后便占据管的全部截面，边界层 厚度即维持不变。
据此可将管内的流动分为两个区域：一是边界层汇合以前的区 域，称之为进口段流动；另一是边界层汇合以后的流动，称为 充分发展的流动。将入口至边界层汇合处的距离L称为进口段长 度。



2 ux x2

2 ux y2

（4-2a）
ux

uy x
uy
Байду номын сангаас
uy y



pd y


2uy

x2

2uy y2

（4-3a）
下面根据边界层流动的特征，采用数量级分析（简称量阶分析）的方 法对普兰德边界层方程进一步简化。在进行量级分析之前，首先作两 点说明：
（的5量）阶u为y。O由(1不) ，可故压缩uyy流的体量的阶二亦维必连为续O性(1方) ，程所以uxxuy的uy量y 阶0 可是知O(，δ)由。于
ux x
（6）
ux y
。
ux y

ux y

O(1) O( )

O

1

（7） 2 ux
y2
。
2 ux y2
为什么在势流流动中，在壁面附近不能忽略粘性力的影响？ 如何正确处理壁面附近大雷诺数的流体流动问题呢？
这个问题可以由1904年普朗特（Prandtl）提出的边界层理论 来解决。边界层理论阐明了大雷诺数下，粘性力对流体流动 的影响。流体在壁面附近的流动也称边界层流动。
第一节 普兰德边界层理论
一、普兰德边界层理论的要点
（1）数量级分析需要预先选取标准量阶，其它物理量的量阶都是 相对标准量阶而言的，当标准量阶改变以后，其它物理量的量阶也随 之改变。
（2）所谓量阶不是指该物理量的具体数值，而是该物理量在整个 区域内相对于标准量阶的数量级。
在对边界层流动的分析中，选取如下两个标准量阶：
①取流动距离 x 作为距离的标准量阶，以来流速度u0作为速度的标准 量阶，用符号O来表示，写成O(x) = 1， O(u0) =1，这也意味着这两 个物理量的量阶相当。
（2）ux 。将 ux 写成差分形式，即 ux ux O(1) O(1)
x
x
x x O(1)
（3）2ux 。
x 2
2 ux x2

ux (x)2

O(1) O(1)O(1)
O(1)
（4）y。由于在边界层范围内， y由壁面处的零值变化至边界层外缘
处的δ ，故y的量阶为y = O(δ) 。
关。壁面愈粗糙、前缘愈钝，则xc愈短。对于平板壁面上的流动，雷
诺数的定义为
Rex

xu0

xu0

实验表明，对于光滑的平板壁面，边界层由层流开始转变为湍流的临界 雷诺数范围为（2×105～3×106）。
管内流动边界层的形成和发展，与平板边界层相似。如下图所示，
u
u∞
u∞
u∞
u∞
δ δ
δ d
uy y


Y

p y



2uy x 2

2uy y2

（4-3）
上面的两个运动方程即为普兰德边界层方程。
方程(4-1)、(4-2) 和 (4-3) 构成了一个二阶非线性偏微分方程组， 方程组中有3个方程，3个未知数。从理论上来讲方程是可以求 解的，但实际上，由于方程的非线性及原函数的复杂性，方程 不经简化实际上无法直接求解。
ux
ux x
uy
ux y
1

pd x

2ux y2
（4-10）
(1) (1)
<δ2 (1)
ux
ux x
uy
ux y

2ux y2
（4-10a）
另外，由于y方向上的普兰德边界层方程（4-11）中每一项的量 阶均为O(δ) 阶，而x方向上普兰德边界层方程（4-10）中的每一 项量阶均为O(1)阶。由此可见，y方向上的普兰德边界层方程可 以忽略。
这样，普兰德边界层方程经简化后只剩下了x方向上的运动方程
ux
ux x
uy
ux y

2ux y2
（4-10a）
但仅（4-10a）一个方程解不出两个未知数ux和uy。？ 这时可以考虑将（4-10a）与连续性方程（4-1）联立求解。即，
x方向上简化的普 兰德边界层方程
连续性方程
ux
ux x
流体在壁面附近存在很薄的一个流体层，称为边界层。在边 界层中，流体的流速由壁面处为零变为边界层外缘的主体流速， 因此，在边界层内垂直于流动方向上的速度梯度很大，剪应力也 较大，所以不能忽略粘性力的作用。而在边界层以外的区域，流 体的速度梯度则很小，几乎可视为零，此时粘性力可以忽略，可 以将其视为理想流体的无旋流动。
由于湍流时边界层厚度增长较快，所以其进口段要比层流时短。近 似计算时，通常取 Le = 50d。
三、边界层的厚度
通常将流体速度为来流速度99%时的流层距壁面的法向距离定义 为边界层的厚度，以δ表示。用公式可表示为
y |ux 0.99u0
y 为垂直于流动方向上的距离
边界层厚度随流体的性质（如密度与粘度）、来流速度以及流动距离 而变化。在板的前缘处，δ= 0；随着距离的增加，边界层逐渐增厚。
第四章 边界层流动
问题的引入：
在低雷诺数的爬流流动中，由于粘性力远大于惯性力，因 此惯性力项可以从运动方程中略去，从而得到斯托克斯方程。 相反，对于高雷诺数的势流流动，由于惯性力远大于粘性力， 可以将粘性力忽略，从而得到欧拉方程。
但欧拉方程只适用于离开壁面一定距离的流动主体，并不适用 于固体壁面附近。
二、普兰德边界层方程的简化
方程的边界条件：
(1) y 0(壁面)，ux 0
(2) y 0(壁面)，uy 0
(3) y ，ux u0
因为方程的边界条件中不出现压力项，所以可以采用以动压力梯度 来表示的运动方程：
ux

ux x
uy
ux y


pd x
方程的边界条件：
(1) y

0(壁面)，ux

0， y

0
(2) y
O


2 ux y2

=

1
O

2 ux y2


1/
2

O




O




2
下面在来看一下y方向上的普兰德边界层方程中各项的量阶
ux
uy x
uy
uy y

1

pd y

2uy

x 2

2uy
若来流速度较小，边界层在管中心汇合时流动为层流，则管 内流动继续保持层流，即维持充分发展的层流流动；若来流速度 较大，则在进口段内首先形成层流边界层，然后逐渐过渡到湍流 边界层，再在管中心汇合后形成充分发展的湍流， 如下图所示。
层流时
湍流时
在管内流动充分发展后，流体的流动型态将不再随流动距离x变化， 此时以x定义的雷诺数已不再具有湍动程度的表征意义。因此对于 充分发展的管内流动，判别流动型态的雷诺数定义为
对于管内流动，在边界层未汇合以前，边界层厚度的定义和影响因 素与平板壁面相同。但流动充分发展后，边界层厚度为管的内半径， 即
ri
通常，边界层厚度约在10-3m的量级。
四、边界层的基本特征
实验研究表明，对于大雷诺数下的流体流动，边界层具有以 下两个基本特征：
（1）边界层厚度δ 要比流场流动的特征尺寸L小的多，即 δ<< L。 （2）边界层内的粘性力与惯性力量级相同。这是因为边界 层内速度梯度很大，即使流体的粘度很小，但作为速度梯 度与粘度的乘积——粘性力仍然不可忽略。
上一章讲过对于二维的平面流动，连续性方程可以简化为
运动方程可以简化为
ux uy 0 x y
（4-1）

ux

ux x

uy
ux y


X

p x



2 ux x 2

2ux y2

（4-2）

ux

uy x

uy
(δ2)(1/δ)
由（4-11）式可知，动压力梯度项的量阶不可能超过δ 阶，即
O


1

pd y



由于O

y x



O


1

pd x


O


1

pd y
y x



2
因此x方向上的运动方程（4-10）中，动压力梯度项就可以从方 程中略去
第二节 普兰德边界层方程
一、普兰德边界层方程的推导
为了简单起见，在此仅考察不可压缩流体在无限大平板壁面上作
稳态流动的情形。
y
层流边界层 湍流边界层
u0
u0
u0
δ
A
x
xc
层流内层
平板上边界层流动
假设流体自平板前缘至临界距离xc内所形成的边界层为二维层 流流动。以流动方向为x方向，以与壁面相垂直的方向为y方向。
可见，对于大雷诺数的流动问题，可以将整个流动区域划分 为两个部分。即边界层和外流区。在边界层内，即使流体的粘 度很小，但由于速度梯度很大，因此粘性力不能忽略；边界层 之外称为外流区。在外流区，壁面对流动的阻滞作用大大削弱， 速度梯度极小，故可将粘性力全部略去，从而可以采用欧拉方 程去处理。
二、边界层的形成与发展
y2

(1)(δ) (δ) (1)
(δ2) [(δ) (1/δ)]
根据量阶分析可知，等号右边中括号中第一项的量阶远远小于第二项
的量阶，因此可以将第一项忽略，这样y方向上的普兰德边界层方程可
简化为
ux
uy x
uy
uy y
1

pd y

2uy y2
（4-11）
(1)(δ) (δ) (1)
1、边界层的形成：
u0
u0
u0
δ
A
xc
平板上边界层的形成
所谓边界层就是流体速度分布明显受到壁面影响的区域，亦即 壁面附近速度梯度较大的薄流体层。
2、边界层的发展
u0
层流边界层 湍流边界层
u0
u0
δ
A
xc
层流内层
平板上边界层的发展
由层流边界层开始转变为湍流边界层的距离称为临界距离(xc)。xc的大 小与壁面前缘的形状、壁面的粗糙度、流体的性质以及流速等因素有
②取边界层厚度δ 作为另一个标准量阶，由于δ 很小，故以符号 O(δ)=δ来表示。显然，标准量阶δ与另外一个标准量阶1不在一个水 平上，通常1是δ 的103倍。
当选择了标准量阶以后，可以将其它物理量的量阶与标准量阶相比较
（1）ux。 ux由壁面处的零值变化至边界层外缘处的u0，故其量阶与 u0或x的量阶相同，即O(ux) = 1。

ux (y)2

O(1) O( 2 )

O

1 2

将以上各式代入式（4-4），并进行量阶比较
ux
ux x
uy
ux y

1

pd x



2 ux x2

2 ux y2

(1)(1) (δ)(1/δ)
(1) (1/δ2)
通过量阶比较可知，上式右侧括号内第一项
uy
ux y

2 ux y2
ux uy 0 x y
（4-10a） （4-1）
这是一个二阶非线性偏微分方程组，含有两个因变量(ux和uy) 和两个因变量(x和y) ，求解起来比较困难，因此可以考虑利
用流函数Ψ可以将其化为一个偏微分方程。
三、普兰德边界层方程的求解
根据流函数Ψ的定义，
2 ux x 2
的量阶远远小于第二
项 2ux 的量阶，故可将第一项从方程中消去。
y2
故这时方程可以简化为
ux
ux x
uy
ux y
1

pd x


2ux y2
（4-10）
由于(4-10)左侧两个惯性力的量阶均为O(1)，而在 边界层内粘性力和惯性力同阶，故右侧粘性力项
Re dum
式中，d为管内径；um为流体在管内的平均流速或主体流速。 当Re < 2000时，管内流动为层流流动。进口段长度可由下式计算
Le 0.05Re d
当Re > 4000时，管内流动为湍流。对湍流流动，进口段长度计算 尚无可靠的公式，一般可用下式估计
Le 1.4Re1/ 4 d