《高等数学》第八章单元自测题参考答案

第八章 单元自测题参考答案
一．填空题 1.设 xy
z 3
=, 则
=∂∂x
z
3ln 3xy y . 2.设 2
21),(y x y x f +=
,则 '
y f (1,3)=50
3-. 3.方程式 1=++zx yz xy 确定z 是y x ,的函数,则
=∂∂x
z
y x z y ++-
. 4.设 x
e y z sin =,则
=∂∂∂y
x z
2x x e e cos . 5.设 )1ln(2122y x z ++=
,则 =)1,1(dz dy dx 3
131+. 6.设函数 ),(y x f z =的全微分 dy y ax dx xy dz 2
232+=,则常数 =a 3 .
7.函数 3
43y xy x z ++=在点A(1,2)处沿从点A 到B(2,1)方向的方向导数等于
8.函数 zx yz xy u ++=在点(1,2,3)处的梯度 =∇)3,2,1(u k j i
345++.
二．选择题
1.设 ,0,0,
0,),(2
22
222
=+≠+⎪⎩⎪⎨⎧+=y x y x y x xy y x f 则 ).(y x f 在点(0,0)处( B ). (A) 连续，但偏导数不存在; （B ）不连续，但偏导数存在; (C ）连续，且偏导数存在; (D ）不连续，且偏导数不存在.
2.设 =z ln ),2(y
x e e -则
=∂∂)
0,0(2
2x z （D ）.
(A) 1; (B) -1; (C ) 2; (D) -2. 3.设方程 0),,(=---x z z y y x F 确定z 是y x ,的函数，则
=∂∂x
z
( C ). (A) ;'3'2'2'1F F F F -- (B ;'3'2'
1'2F F F F -- (C) ;'3'2'3'1F F F F -- (D) ;'
3
'2'1'3F F F F --
4.函数 y
x y
x z -+=
的全微分 =dz (D)． （A ）
2)()(2y x ydy xdx --； （B ）2)()
(2y x xdx ydy --；
（C ）
2)()(2y x xdy ydx --； （D ）2
)
()
(2y x ydx xdy --. 5．函数 2
3
3xy xy x z +-= 在点M （1，2）处沿}3,11{=l
方向的方向导数（A ）． （A ）最大； （B ）最小； （C ）等于１； （D ）等于０． 6．在曲线 3
2
,,t z t y t x ===的所有切线中与平面 02=++z y x 平行的切线(B ). (A)只有一条; (B)只有两条; (C)至少有三条; (D)不存在. 7.函数 2
3
2
42),(y y xy x y x f +--= 有( B )个驻点.
(A) 1; (B) 2; (C) 3 ; (D) 4. 8.对于函数 22
y x z -=，原点（0，0）（A ）.
(A)是驻点但不是极值点; (B)不是驻点;
(C)是极大值点; (D)是极小值点.
三.解答题 1.设 )ln(22y x x z ++
=,求
x z ∂∂,y
z ∂∂.
解
2
2
222222222211
)221(1y
x y
x y x x y x x y x x y x x x z +=+++++=++++=∂∂,
22222222221y
x x y x y
y x y y x x y z +++=
+++=∂∂. 2.求 x
y
z arctan
= 的二阶偏导数. 解
22222)(11y x y x y x y x
z +-=-+=∂∂, 2
22
2111y
x x
x x
y y z +=+=∂∂, 22222222)(2)(2y x xy y x x y x z +=+⋅--=∂∂, 22222222)(2)(2y x xy
y x y x y z +-
=+⋅-=∂∂, 2
22
222222222)
()(2)(y x x y y x y y y x x y z y x z +-=+⋅++-=∂∂∂=∂∂∂.
3.设方程 042
2
2
=-++z z y x 确定z 是y x ,的函数, 求 2
2x
z
∂∂. 解 设z z y x z y x F 4),,(2
22-++=,有
2422''--
=--=-=∂∂z x
z x F F x z z
x , 3
2
2222
2)2()2()2(2)2()2()2(-+--=--⋅+--=-∂∂⋅
---=∂∂z x z z z x
x z z x z x z x z
.
4.设 222z y x r ++=
,证明当 0≠r 时
r z
r y r x r 2
22222
2=∂∂+∂∂+∂∂. 证 r
x
z y x x x r =++=∂∂22222, 322
2211r x r x r r x r x r -=∂∂-=∂∂, 同理 32
2
21r y r y
r -==∂∂, 32221r z r z r -=∂∂, 所以 r r r r r z y x r z r y r x r 2
33323
222222222=-=++-=∂∂+∂∂+∂∂. 5.设 ),(x y xy f z =,f 具有连续的二阶偏导数,求 x z ∂∂, y
x z
∂∂∂2.
解
'22'1f x
y yf x z -=∂∂, )1(1)1(''22'
'212'22''12''11'12f x xf x
y f x f x xf y f y x z +--++=∂∂∂
=''223
'
'11'22'
11f x y xyf f x f -+-
. 6.求函数 x y x y x y x f 933),(2
2
3
3
-++-= 的极值.
解 令⎪⎩⎪⎨⎧=+-==-+=,063,09632
'2
'y y f x x f y x 得驻点 (1,0), (1,2), (-3,0), (-3,2) 又 66''+=x f xx , 0''=xy f , 66'
'+-=y f yy ,
在点(1,0)处,0722
>=-B AC ,012>=A ,所以5)0,1(-=f 为极小值; 在点(1,2)处,0722
<-=-B AC , ,所以)2,1(f 不是极值; 在点(-3,0)处,0722
<-=-B AC , 所以)0,3(-f 不是极值;
在点(-3,2)处,0722
>=-B AC ,012<-=A ,所以31)2,3(=-f 为极大值. 7.求球面 142
2
2
=++z y x 在点 (1,2 ,3) 处的切平面和法线方程. 解 设 14),,(2
2
2
-++=z y x z y x F , 则 =n
}2,2,2{},,{'
''z y x F F F z y x =, }6,4,2{)3,2,1(=n
, 切平面方程为
0)3(6)2(4)1(2=-+-+-z y x , 即 01432=-++z y x , 法线方程为
3
3
2211-=
-=-z y x . 8.要做一个容积为3
Vm 的无盖长方体水箱，问怎样选取长,宽,高，才能使得用料最省. 解 设长,宽,高为 z y x ,,,由题设 xy
V
z =
,水箱的表面积 )11(
2)(2),(y
x V xy z y x xy y x S S ++=++==, 问题成为求 ),(y x S 在区域 0,0:>>y x D 的最小值问题.令
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=-==-=,02,022'
2'
y V x S x V y S y x
得D 内唯一驻点3002V y x ==,由问题实际意义知 ),(y x S 在D 内的最小值一定存在,因此可断定),(00y x S 就是最小值,此时 3
33
04
22V
V
V V
z =⋅=
.。