【免费下载】高等工程数学 数值分析重点方法

迭代法1、证明矩阵A=对于-1/2<a<1/2是正定的，而雅可比迭代只对-1/2<a<1/2是收敛的。

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111a a a a a a 证明：当-1/2<a<1/2时，由=1-a 2>0，det(A)=(1-a)2(1+2a)>0⎥⎦⎤⎢⎣⎡11det a a 故A 是正定的。

又雅可比法迭代矩阵B J =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------000a a a a a a det(I-B J )==3-3a 2+2a 2=(-a)2(+2a)λλλλa a a a aa λλλλ故=，故当-1/2<a<1/2时，雅可比迭代法收敛。

)(J B ρa 22、求证的充要条件是对任何向量x ，都有。

lim k k A A →∞=lim k k A x Ax →∞=证明：必要条件由，知，从而有→0（k →∞）。

故对任意的x ，有lim k k A A →∞=()lim k ij ij k a a →∞=k A A -（k →∞）0k k A x Ax A A x -≤-→则，。

k A x Ax →lim k k A x Ax →∞=充分条件对任意的，有（k →∞），取n x R ∈k A x Ax →(0,,0,1,0,,0)Ti x = (1,2,,)i n = （k →∞）()()()12(,,,)k k k Tk i i i ni i A x a a a Ax =→ 12(,,,,)Ti i i ni Ax a a a = 故()k ji ji a a →(1,2,,;1,2,,)j n i n == 即，。

k A A →lim k k A A →∞=3、设求解方程组Ax=b 的雅可比迭代格式为，。

(1)()k k xBx f +=+(0,1,2,)k = 求证：若，则相应的高斯—塞德尔法收敛。

1B∞<证明：由于B 是雅可比法的迭代矩阵，故1121111221222212000n n n n nnnna a a a a a a a B a a a a ⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦又，故，即，故，1B∞<11n ij j b =<∑11nijj iij ia a =≠<∑(1,2,,)i n = 1nij ii j j ia a =≠<∑(1,2,,)i n = 故系数矩阵A 按行严格对角占优，从而高斯—塞德尔方法收敛。

4、设，，试证：若，则I-B 非奇异且收敛，n nB R⨯∈()k k SI B B =+++ ()1B ρ<{}()k S ；反之，若收敛，则。

()1lim ()k k S I B -→∞=-{}()k S ()1B ρ<证明：由，若，则，故1()()kk I B I B B I B+-++=- ()1B ρ<1lim 0k k B+→∞== 当时()1()k S I B ---1111()()0k k I B B I B B -+-+--≤-→A k →∞即。

()1lim ()k k SI B -→∞=-反之，由，则得。

()()(1)lim lim()0k k k k k BS S -→∞→∞=-=()1B ρ<求方程组5、矩阵第一行乘以一数成为，证明当时，有最小值。

211A λλ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦23λ=±()Cond A ∞证明：设，则0λ≠3,22,2Aλλλ∞⎧≥⎪=⎨⎪≤⎩又 故 1112Aλλλλ--⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦121A λλ-∞+=1()Cond A A A -∞∞∞=63,22(21),2λλλλ⎧+≥⎪=⎨⎪+≤⎩从而当时，即时，有最小值，且。

23λ=23λ=±()Cond A ∞min ()7Cond A ∞=6、设A ，B 为非奇异矩阵，表示矩阵的任何一种算子范数，试证：（1）；A 111AA--≥（2）。

1111A BA B A B -----≤-A A 7、求证：非奇异矩阵不一定有LU 分解。

证明：设非奇异，要说明A 不一定能做到LU 分解，只需举出一个反例即可。

现n nA R⨯∈考虑矩阵，显然A 为非奇异矩阵。

若A 有LU 分解，则=0110A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦0110A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦=111221221010u u l u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦11122111211222u u l u l u u ⎡⎤⎢⎥+⎣⎦故。

而，显然不能同时成立。

这矛盾说明A 不能做LU 分解，故只假定A110u =21111l u =非奇异并不能保证A 能做LU 分解，只有在A 的前n-1阶顺序主子式时才能保证A 一定有LU 分解。

0(1,2,,1)i i n ∆≠=- 微分方程8、证明对任意参数t ，下列Runge-Kutta 格式是二阶的：()12312131()2,(,)((1),(1))n n n n n n n n h y y K K K f x y K f x th y thK K f x t h y t hK +⎧=++⎪⎪⎪=⎨⎪=++⎪=+-+-⎪⎩证明：设()n n y y x =()(),y x f x y ¢=()()(),,,y fx x y fy x y f x y ¢¢¢¢=+A 在处TayLor 展式：()1n y x +n x ()()()()()23102n n n n h y x y x y x h y x h +¢¢¢=+++A ()21,n n K f x th y thK =++()()()()()()()()()2,,,,0n n n n n n n n f x y x th f x x y x f y x y x f x y x h éù¢¢=++×+êúëû()()()311,1n n K f x t h y t hK =+-+-()()()()()()()()()()2,1,,,0n n n n n n n n f x y x t h f x x y x f y x y x f x y x h éù¢¢=+-+×+êúëû23K K +()()()()()()()()()22,,,,0n n n n n n n n f x y x h f x x y x f y x y x f x y x h éù¢¢=++×+êúëû所以，()1232n n hy y K K +=++()()()()()()()()()()23,,,,02n n n n n n n n n h y x h f x y x f x x y x f y x y x f x y x h éù¢¢=+×++×+êúëû所以，()111n n n R y x y +++=- 所以，二阶()30h =数值求解积分9、确定求积公式中的待定系数，使其代数精确101()()(0)()h hf x dx A f h A f A f h --≈-++⎰度尽量高，并指明所构成的求积公式所具有的代数精确度。

解：将f(x)=1，x ，x 2分别带入公式两端并令其左右相等，得10111223112023A A A h hA hA h A h A h ---⎧⎪++=⎪-+=⎨⎪⎪+=⎩解得。

所求公式至少具有2次代数精确度。

又由于1104,33h h A A A -===333)33h hh h x dx h h -=-+⎰444)33h hh h x dx h h -≠-+⎰故具有3次代数精确度。

4()()(0)()333h h h h hf x dx f h f f h -≈-++⎰10、设为互异节点，求证：{}njj x =（1）()nk kj jj x l x x=≡∑(0,1,,)k n = （2）()()0nk jj j xx l x =-≡∑(0,1,,)k n = 证明：（1）函数x k 及均为被插值函数x k 的关于互异节点的不超过n 次()nkj jj x l x =∑{}njj x =的插值多项式，利用插值多项式的唯一性知两者恒等。

（2）===0()()nkj j j x x l x =-∑00()()nk i k i j j j i k l x x x i -==⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦∑∑00()()n k i k ij j j i k x x l x i -==⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦∑∑===000()()kni k i j j i j k x x l x i -==⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦∑∑00()()k n k i i j j i j k x x l x i -==⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦∑∑0()k k i ii k x x i -=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑()i x x -≡11、若有n 个不同实根，证明：1011()n n n n f x a a x a xa x --=++++ 12,,,n x x x 1'10,02,1()k njj nj x k n a k n f x -=≤≤-⎧=⎨=-⎩∑证明：由f(x)是n 的多项式且有互异实根知12,,,n x x x 1()()()()n n n n f x a x x x x a w x =--= =''11()()k k nnjjj j n n j x x f x a w x ===∑∑'11()k njj nnjx aw x =∑记，并利用差商的函数值表达形式有()kg x x =='1()k njj x f x ==∑'1()1()nj j nnjg x a w x =∑121(,,,)n ng x x x a 再由差商与异数的关系知(1)'10,021()1,1()(1)!k njn j j n nk n x g k n f x a n a ε-=≤≤-⎧⎪=⎨==-⎪-⎩∑12、若，是三次样条函数。

证明：2()[,]f x C a b ∈()s x （1）=22""()()bba a f x dx s x dx ⎡⎤⎡⎤-⎣⎦⎣⎦⎰⎰2"""""()()2()()()bba af x s x dx s x f x s x dx ⎡⎤⎡⎤-+-⎣⎦⎣⎦⎰⎰（2）若，式中是插值点且有，()()i i f x s x =(0,1,,)i n = {}0ni i x =01n a x x x b =<<<= 则="""()[()()]bas x f x s x dx -⎰"''"''()[()()]()[()()]s b f b s b s a f a s a ---证明：（1）==2""()()ba f x s x dx ⎡⎤-⎣⎦⎰"2"2""[()][()]2()()b b ba a a f x dx s x dx f x s x dx +-⎰⎰⎰"2"2"""[()][()]2()[()()]bbbaaaf x dx s x dx s x s x f x dx-+-⎰⎰⎰移项后得=22""()()bba a f x dx s x dx ⎡⎤⎡⎤-⎣⎦⎣⎦⎰⎰2"""""()()2()()()bba a f x s x dx s x f x s x dx⎡⎤⎡⎤-+-⎣⎦⎣⎦⎰⎰（2）=="""()[()()]bas x f x s x dx -⎰11"''0()[()()]k kn x x k s x d f x s x +-=-∑⎰11"''0()[()()]k k n x x k s x fx s x +-=--∑=11'''''0[()()]()k kn x x k f x s x s x dx +-=-∑⎰"''()[()()]n n n s x f x s x --"''000()[()()]s x f x s x --=11'''''10([()()]2k kn x k k x k x x s f x s x dx +-+=+-∑⎰''''()[()()]s b f b s b --''''()[()()]s a f a s a -+=11'''10(()()]2k k n x k k x k x x s f x s x +-+=+-∑"''"''()[()()]()[()()]s b f b s b s a f a s a ---13、证明两点三次Hermite 插值余项是，(4)2213()()()()4!k k f x x x x R x ε+--=1(,)k k x x ε+∈并由此求出分段三次Hermite 插值的误差限。