准静态电磁场解读
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第五章准静态电磁场
电容器两极板间电压
U BA
q 1 idt C C
B B
A
第 五 章
准静态电磁场
有
di 1 (t ) L idt i( Ri r R) uL uC uR dt c 即集总电路的基尔霍夫电压定律 u 0
表明电路理论是特殊情况下得麦克斯韦电磁理论的近似。 当满足MQS的似稳条件时，研究场的问题时可以采用路 的方法。
(0) J 当 x , Jy 有限，故 C2 0 , C1 J y 0
则
x jx J y ( x) J 0 e e
E 由 J
1 x jx E y ( x) J 0 e e
jH H ( x) j 由 E z
解： 极板间是EQS场
aE1 bE2 U S
分界面衔接条件 ( 2 E2 1E1 ) ( 2 E2 1E1 ) 0 t 解方程，得面电荷密度为
图5.3.2 双层有损介质的平板 电容器
t τ
结论 电荷的驰豫过程导致分界面有累积的面电荷。
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MQS场的磁场与恒定磁场满足相同的基本方程，
在任一时刻 t ，两种磁场分布一致，解题方法相同。
B 而MQS场的电场按 计算。 E t
以下两种情况可看作磁准静态场来计算：
1 1，对于导体中的时变电磁场，满足： 则位移电流可以忽略，可按磁准静态场来处理。把
满足上述条件的导体称为良导体。
为电导率很大，驰豫时间远小于1，e指数约为0，
一般认为良导体内无自由电荷的积累。电荷分布在
导体表面。
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U BA
q 1 idt C C
B B
A
第 五 章
准静态电磁场
有
di 1 (t ) L idt i( Ri r R) uL uC uR dt c 即集总电路的基尔霍夫电压定律 u 0
表明电路理论是特殊情况下得麦克斯韦电磁理论的近似。 当满足MQS的似稳条件时，研究场的问题时可以采用路 的方法。
(0) J 当 x , Jy 有限，故 C2 0 , C1 J y 0
则
x jx J y ( x) J 0 e e
E 由 J
1 x jx E y ( x) J 0 e e
jH H ( x) j 由 E z
解： 极板间是EQS场
aE1 bE2 U S
分界面衔接条件 ( 2 E2 1E1 ) ( 2 E2 1E1 ) 0 t 解方程，得面电荷密度为
图5.3.2 双层有损介质的平板 电容器
t τ
结论 电荷的驰豫过程导致分界面有累积的面电荷。
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MQS场的磁场与恒定磁场满足相同的基本方程，
在任一时刻 t ，两种磁场分布一致，解题方法相同。
B 而MQS场的电场按 计算。 E t
以下两种情况可看作磁准静态场来计算：
1 1，对于导体中的时变电磁场，满足： 则位移电流可以忽略，可按磁准静态场来处理。把
满足上述条件的导体称为良导体。
为电导率很大，驰豫时间远小于1，e指数约为0，
一般认为良导体内无自由电荷的积累。电荷分布在
导体表面。
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第四章准静态电磁场
第四章 准静态电磁场4．1 准静态电磁场1．电准静态场由麦克斯韦方程组知，时变电场由时变电荷和时变磁场产生的感应电压产生。
时变电荷产生库仑电场，时变磁场产生感应电场。
在低频情况下，一般时变磁场产生的感应电场远小于时变电荷产生的库仑电场，可以忽略。
此时，时变电场满足ρ=∙∇≈⨯∇D 0E 称为电准静态场。
可见，电准静态场与静电场类似，可以定义时变电位函数ϕ ，即ϕ-∇=E且满足泊松方程ερϕ-=∇2 与电准静态场对应的时变磁场满足 0t =∙∇∂∂+=⨯∇B DE H γ 2．磁准静态场由麦克斯韦方程组知，时变磁场由时变传导电流和时变电场产生的位移电流产生。
在低频情况下，一般位移电流密度远小于时变传导电流密度，可以忽略。
此时，时变磁场满足0=∙∇≈⨯∇B J H c称为磁准静态场。
可见，磁准静态场与恒定磁场类似，可以定义时变矢量位函数A ，即A B ⨯∇=且满足矢量泊松方程c J A μ-=∇2与磁准静态场对应的时变电场满足ρ=∙∇∂∂-=⨯∇D B E t例1：图示圆形平板电容器，极板间距d = 0.5 cm ，电容器填充εr =5.4的云母介质。
忽略边缘效应，极板间外施电压t t u 314cos 2110)(=V ，求极板间的电场与磁场。
[解]：极板间的电场由极板上的电荷和时变磁场产生。
在工频情况下，忽略时变磁场的影响，即极板间的电场为电准静态场。
在如示坐标系下，得()()()V/m t 31410113t 31410501102d u z 4z 2z e e e E -⨯=-⨯⨯=-=-cos .cos . 由全电流定律得出，即由()z z 20r 4Sl t 31431410113d t H 2d e e S D l H ∙-π⨯⨯-=∙∂∂=π=∙⎰⎰ρεερφsin . 极板间磁场为φφφρe e H t 314103352H 4sin .-⨯== A/m也可以由麦克斯韦方程直接求解磁场强度，如下tt 0r ∂∂=∂∂=⨯∇E D H εε 展开，得t 314106694H 14sin .)(-⨯=∂∂φρρρ 解得φφφρe e H t 314103352H 4sin .-⨯== A/m 讨论：若考虑时变磁场产生的感应电场，则有tt ∂∂-=∂∂-=⨯∇H B E 0μ 展开，得t E z 314cos 103.231440ρμρ-⨯⨯-=∂∂- 解得 t E z 314cos 10537.428ρ-⨯= V/m可见，在工频情况下，由时变磁场产生的感应电场远小于库仑电场。
电磁场课件12准静态电磁场涡流平面电磁波资料教学文案
热效应 涡流是自由电子的定
向运动，与传导电流有相同的热效应。
涡流
工程应用：电磁炉、变压器电机铁心叠片等。
去磁效应 涡流产生的磁场反抗原磁场的变化。
工程应用：电磁闸。
涡流方程
在磁准静态场MQS中，导体中的位移电流远小于传导电流，忽略。
HJDJ t
H J
J E
B H
E B t
B0
2H H 0
7.1 无损耗均匀传输线方程
du
考虑传输线上单位长度电压降和
电流变化：
u z
Ri
L
i t
i z
Gu
C
u t
RL R
di C
上式即是均匀传输线方程或电报方程。 单位长度传输线的电路模型
➢ 对于无损耗均匀传输线情况（忽略电阻）：
u z
L
i t
i z
C
u t
即
u
z
L
i t
0
i
C
u
0
z t
准静态电磁场
时变电磁场
准静态场 （低频）
电准静态场
(B 0) t
磁准静态场
(D 0) t
具有静态电 磁场的特点
动态场 （高频）
似稳场（忽略 推迟效应）
电磁波
• 电准静态场——Electroquasitatic 简写 EQS
磁准静态场—— Magnetoquasistatic 简写 MQS
• 任意两种场之间的空间尺度和时间尺度没有绝对的分界线。
抗电磁干扰的两个主要措施：接地、电磁屏蔽。
接地 1.保护接地
在金属体与大地之间建立低阻抗电路。 如设备外 壳接地，建筑体安装避雷针等，使雷电、过电流、漏 电流等直接引入大地。
工程电磁场 第7章 准静态电磁场
D dS V dV Qnet
S
H J
E 0
B 0
D
H
E
J B
D t
t
B 0
D
准静态场又称为似稳场 工频正弦稳态电路分析
准静态场分析例题
圆盘形状的平行板电容器，间距 d=0.5cm，中间为云母电介质，
r 5.4 ，现加电压 u(t) 110 2 cos 314t V, 求平板间的电场和磁场。
解：低频，看做EQS
u EH
E(t)
u(t ) d
(ez
)
3.11 104
cos 314t(ez
)
V/m
由安培环路定律可得 H 2 r D r 2 E r 2
H(t
)
2.335104
r
sin314t
t (e
)
t
A/m
讨论：
EB
- H
t
H
E
J B
D t
t
B 0
Jd
f
Jdm Em
1KHz
8.89*105
Jcm Em
1MHz
8.89*102
故 Jc Jd
1GHz 106MHz
0.889 8.89*10—4
与频率密切相关
电准静态场——EQS
若 B 0
t
即可忽略位移电流对磁场的影响
H
J
D
t
E 0
B 0
D
H
E
J B
D t
z
在导体的一个透入深度区间
内分布
导电媒质
也称为集肤效应
透入深度与材料的导电导磁参数
E x (z, t ) 2E0ez cost z
S
H J
E 0
B 0
D
H
E
J B
D t
t
B 0
D
准静态场又称为似稳场 工频正弦稳态电路分析
准静态场分析例题
圆盘形状的平行板电容器，间距 d=0.5cm，中间为云母电介质，
r 5.4 ，现加电压 u(t) 110 2 cos 314t V, 求平板间的电场和磁场。
解：低频，看做EQS
u EH
E(t)
u(t ) d
(ez
)
3.11 104
cos 314t(ez
)
V/m
由安培环路定律可得 H 2 r D r 2 E r 2
H(t
)
2.335104
r
sin314t
t (e
)
t
A/m
讨论：
EB
- H
t
H
E
J B
D t
t
B 0
Jd
f
Jdm Em
1KHz
8.89*105
Jcm Em
1MHz
8.89*102
故 Jc Jd
1GHz 106MHz
0.889 8.89*10—4
与频率密切相关
电准静态场——EQS
若 B 0
t
即可忽略位移电流对磁场的影响
H
J
D
t
E 0
B 0
D
H
E
J B
D t
z
在导体的一个透入深度区间
内分布
导电媒质
也称为集肤效应
透入深度与材料的导电导磁参数
E x (z, t ) 2E0ez cost z
电磁场课件12准静态电磁场涡流平面电磁波资料教学文案
HJDJ t
H J
J E
B H
E B t
B0
2H H 0
t
2E E 0
t
J E
2J j J 正弦稳态情况 2J J 0
t
在正弦稳态下，电流密度满足扩散方程。
2J k 2J
式中 k j / 2 (1 j)
1 (1 j) j
d
设半无限大导体中，电流
沿 y 轴流动，则有
定义： d
1
2 称为透入深度（skin depth）或集肤深度
其大小反映电磁场衰减的快慢。
当 x = x0 时， J y (x0 ) J0e x0
当 x=x0+d 时，
J y (x0 d ) J0e (x 0d)
J0ex0 e1
J
y
透入深度
(x0 ) 36.8%
d 表示电磁场衰减到原来值的36.8% 所经过的距离。
用洛仑兹规范 A t ，化简得到泊松方程
2 A J , 2 /
一般低频交流电情况下，平板电容器中的电磁场属于电准静态场。
5.1.2 磁准静态场MQS
若位移电流远小于传导电流，忽略感应项 D 的
作用，即
JD
D t
0
t
条件：场与源近似具有瞬时 对应关系，忽略推迟效应。
麦氏方程： H J , B 0 ,
在 MQS 场中，磁场满足涡流场方程（扩散方程）
2H k 2H
d 2 Hz dx2
jHz
k 2Hz
解方程得到
HZ B0ch(kx) /
Bz B0ch(kx)
利用 (kx)
Bz和 Jy 的幅值分别为
1
Bz
B0
准静态电磁场优秀课件
基本方程组（微分形式）：
E 0 , H J D , D , B 0 t
特点: 与静电场相比，磁场方程发生变化，电场方程无变化。
11.10.2020
2
求解方法：分两步 1）电场的求解采用静电场的公式 2）磁场的求解通过电准静态场的基本方程求解
电荷 静电场公式
分布
Ｅ、Ｄ
HJD,B0 t
5.2 磁准静态场与电路 MQS Filed and Circuit
1 证明基尔霍夫电流定律
在 MQS 场中， H J J 0J dS 0 S
S J dS S 1 J 1 d S S 2J 2d S S 3J 3 d S
i1i2i30
即集总电路的基尔霍夫电流定律
i 0
结点电流
设电源到负载的距离远小于六分之一波长。
解：
E
U
ln(b/
a)
e
H
I
2
e
a
I
b H
S E
SE H *22U lIn*b/(a)ez
P RS 2 e2 U [ l I * b n /a )d (] S Ra be lU I b n [ * /a )d (] R U I * e ] [
荷决定。
11.10.2020
15
例3 一无限大金属平板，其上方的半无限空间内充满了
均匀的不良导体。在t=0瞬时，在该导体中已形成了一球
形自由电荷云，球内电荷密度为ρ0。问电荷驰豫过程中
电位如何分布？
z
解:
'
3a2 r2
5
求解方法：分两步 1）磁场的求解静态场的公式 2）电场的求解通过磁准静态场的基本方程求解
BA, EA
电磁场导论准静态电磁场解读
+ u(间变化缓慢, 近似为电准静态场， 1）仿照静电场求得介质中的电场强度
E (t ) U u (t ) e z m sint e z d d
2）介质中无传导电流，仅有位移电流密度
D E ( E m sint ) e z U m cos t e z t t t d D H d l 由M1方程 l S t dS
l2
S
t
坡印亭矢量 S E H r ( 0 NI 0 e t / ) ( NI 0 e t / ) (e e z ) 2 r 可见，电磁功率由螺线管 2 2 2t / 0 N I 0 e er 线圈内部沿半径向外传输。 2
2018/9/29 第六章准静态电磁场 11
2018/9/29 第六章准静态电磁场
l1 i (t)
H(t)
l2
E(t) 6-5题图
14
6-3 集肤效应与邻近效应
6-3-1 集肤效应
假设 x0的半无限大空间导体， 通有y方向的正弦电流i(t)， 电流扩散方程
y Jy x
jJ k 2J 2 J
简化为 通解
d2 J y dx 2 C ekx C e kx J y 1 2 k 2J y
J、E和H的振幅都沿导体的纵深x按指数规律ex衰减， 而且相位x也随之改变。 频率很高时，电流密度几乎只在导体表面附近一薄层中。
场量主要集中在导体表面附近的这种现象，称为 集肤效应。
2018/9/29 第六章准静态电磁场 16
工程上常用透入深度d表示场量的集肤程度 定义：透入深度d为场量振幅衰减到其表面值的 1/e时所经过的距离。
因此，一般认为良导体内部没有体电荷， = 0
准静态电磁场
② 电场分布同静电场，利用静电场的方法求解出电 场后，再用Maxwell方程求解与之共存的磁场。
③ 工程中如两线间的电磁场和电容器中的电磁场可 以看作EQS。
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第五章
准静态电磁场
磁准静态场（MQS）
时变电磁场中各处位移电流密度远小于传导电流密 度时（忽略电场变化对磁场分布的影响）称为磁准静 态场。
当f2=15千兆赫
2π1 5 190 2 50 0 8.8 5 1 1 022.085
蒸馏水为有损耗的介质，计算这一频率时的电磁波 要考虑位移电流。
注意 导电媒质的似稳条件说明时变场中良导体是一
个相对的概念。
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第五章
准静态电磁场
理想介质中的磁准静态场（MQS）
理想介质中 0 C J0只有位移电流
R 2R 2R 1U sU s(C 2C 1C 1R 2R 2R 1)eτ t
U 1R 2R 1R 1U s U s(C 2 C 2C 1R 2R 1R 1)eτ t
R1
R2
C1
C2
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取洛仑兹规范 A
t
2AJ
t
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第五章
准静态电磁场
磁准静态场 D 0 t
B 0 B A E B
t
(EA)0 t
H J
D
EA
A ( Α ) 2Α J
t
取库仑规范 A0
2AJ
D
(A)
t
2 A
t
2
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第五章
准静态电磁场
问题
满足怎样的条件可以不考虑场的滞后效应，把电磁场 可作准静态场？
例 已知蒸馏水的物理参数为 μ r 1 ,εr 5,0 γ 2s0/m
准静态电磁场
4.3 电磁场能量守恒定理 坡印廷矢量
1.电磁场能量守恒定理
S
(E
H
)
dS
d dt
V
(1 2
E
D
1 2
H
B)
dV
V
E
J
dV
物理意义：单位时间内，通过曲面S 进入体积V的电磁能量等于 体积V 中所增加的电磁场能量与损耗的能量之和。
2. 坡印廷矢量（电磁能流密度矢量）
D
D
H J t
H dl (J ) dS
l
S
t
全电流定律
E B t
E dl B dS 电磁感应定律
l
S t
B 0 D
SB dS 0
s D dS q
磁通连续性原理 高斯定律
J
2
2
t 2
Leabharlann 准静态电磁场知识结构 时变电磁场
动态场（高频）
准静态电磁场
似稳场 电磁波 （忽略推迟效应）
磁准静态场
( D 0) t
电准静态场
( B 0) t
具有静态电磁场的特点
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描述时变电磁场中电磁能量传输的一个重要物理量
定义：S
Ε
H
( W/m2 )
E
物理意义：
O
S
S 的方向 —— 电磁能量传输的方向
H
S
的大小
——
通过垂直于能量传输方
工程电磁场导论准静态电磁场和边值问题知识点
工程电磁场导论准静态电磁场和边值问题知识点一、知识概述准静态电磁场和边值问题①基本定义：- 准静态电磁场呢，简单说就是一种近似的电磁场情况。
在一些情况下，电磁场变化不是那么快，就可以把它当作准静态的。
比如说电场或者磁场的变化率相对比较小的时候，就像是大家走路的时候一步一步慢慢走，而不是跑来跑去那种很剧烈的变化。
电场准静态的时候，可以近似用静电场的一些方法去分析，磁场准静态的时候也类似能用上一些静磁场的办法。
边值问题呢，就是在给定的边界条件下，去求解电磁场的问题。
就好比你要在一个限定的区域里，根据这个区域四周的情况来确定里面电磁场是啥样的，这个区域周围的情况就是边界条件。
②重要程度：- 在工程电磁场导论这个学科里，这可是很重要的一部分呢。
因为实际工程中很多电磁场的情况都可以用准静态的概念简化分析，让复杂的问题变得好理解一些。
边值问题相当于把电磁场的理论和实际应用连接起来的一座桥，如果搞不定边值问题，很多实际工程中的电磁场就没法准确计算和设计。
③前置知识：- 得先掌握静电场、静磁场的基本概念和计算方法。
比如说库仑定律得知道吧，安培定律这些也得有个印象。
就像你要学烧复杂的菜，那得先把切菜洗菜、基本的煎炒烹炸先学会。
④应用价值：- 在电气设备的设计里经常用到。
比如电机的电磁场分析，就可以用准静态电磁场的概念简化计算。
还有像变压器的设计，要考虑铁芯周围的磁场分布，这时候就会涉及到边值问题。
如果这些搞不清楚，电机可能性能就不好，变压器效率也上不去。
二、知识体系①知识图谱：- 准静态电磁场和边值问题在工程电磁场导论这个学科里就像是大树的树干分出来的一个大树枝。
它跟之前学的静电场、静磁场有联系，又为后面学习更复杂的时变电磁场打基础。
②关联知识：- 和麦克斯韦方程组里的各个方程关系密切。
像准静态电磁场很多时候就是在麦克斯韦方程组在特殊情况下的一种反映。
和电磁感应原理也有关联，因为磁场变化产生感应电场之类的。
③重难点分析：- 重点是确定不同情况下的准静态电磁场的近似条件，还有就是高效准确地根据边界条件求解边值问题。
第5章 准静态电磁场
设电容内部为EQS场，且
dl ( ex e y ez ) (dxex dye y dzez ) x y z
( dx dy dz ) d x y z b b dl d b a uc
的表达式。
解： 极板间是EQS场
aE1 bE2 U S
分界面衔接条件
( 2 E2 1E1 ) ( 2 E2 1E1 ) 0 t
解方程，得面电荷密度为
双层有损介质的平板电容器
t 2 1 1 2 σ U s (1 e τ ) a 2 b 1
1 J y J 0 (ch 2 Kx cos 2 Kx) 2
1 2
1 2
Bz , J y 模值分布曲线
式中 K / 2 结论:
k j K (1 j)
去磁效应，薄板中心处磁场最小； 集肤效应，电流密度奇对称于y 轴，表面密度
大，中心处 J y 。 0
似稳场
电磁波
磁准静态场
电准静态场
（忽略推迟效应）
D ( 0) t
具有静态电磁场的特点
B ( 0) t
第5章 准静态电磁场
5.1 电准静态场和磁准静态场
电准静态场
B 库仑电场远大于感应电场，忽略二次源 的作用，即 Ei 0 t
E 0 D H J t B 0 D
第5章 准静态电磁场
第5章
准静态电磁场
第5章 准静态电磁场
5.0 序
低频时，时变电磁场可以简化为准静态场。 电准静态场（Electroquasistatic） 简写 EQS
dl ( ex e y ez ) (dxex dye y dzez ) x y z
( dx dy dz ) d x y z b b dl d b a uc
的表达式。
解： 极板间是EQS场
aE1 bE2 U S
分界面衔接条件
( 2 E2 1E1 ) ( 2 E2 1E1 ) 0 t
解方程，得面电荷密度为
双层有损介质的平板电容器
t 2 1 1 2 σ U s (1 e τ ) a 2 b 1
1 J y J 0 (ch 2 Kx cos 2 Kx) 2
1 2
1 2
Bz , J y 模值分布曲线
式中 K / 2 结论:
k j K (1 j)
去磁效应，薄板中心处磁场最小； 集肤效应，电流密度奇对称于y 轴，表面密度
大，中心处 J y 。 0
似稳场
电磁波
磁准静态场
电准静态场
（忽略推迟效应）
D ( 0) t
具有静态电磁场的特点
B ( 0) t
第5章 准静态电磁场
5.1 电准静态场和磁准静态场
电准静态场
B 库仑电场远大于感应电场，忽略二次源 的作用，即 Ei 0 t
E 0 D H J t B 0 D
第5章 准静态电磁场
第5章
准静态电磁场
第5章 准静态电磁场
5.0 序
低频时，时变电磁场可以简化为准静态场。 电准静态场（Electroquasistatic） 简写 EQS
090525第五章准静态电磁场
s
教材P335 教材
∫ J ⋅ dS = 0
流出任意闭合曲面的总传导电流是0。 流出任意闭合曲面的总传导电流是 。
５. ２磁准静态场和电路
∫ J ⋅ dS = 0
s
i1 i1 +i2 +i3 =0 i3 基尔霍夫电压定律（自学） 二、基尔霍夫电压定律（自学）
i2
５. 4 集肤效应
交流电流流过线圈， 交流电流流过线圈，导线周围变化的磁场在导线中感应电 流，从而使导线截面的电流分布步均匀。尤其频率较高时 从而使导线截面的电流分布步均匀。 电流几乎在导线表面附近的一薄层中流动， 集肤效应。 电流几乎在导线表面附近的一薄层中流动，即集肤效应。 （讨论导线自身有电流，其内部电流流动及电磁场分布） 讨论导线自身有电流，其内部电流流动及电磁场分布） 导线自身有电流 磁准静态场（ＭＱＳ）：位移电流密度忽略不计。 磁准静态场（ＭＱＳ）：位移电流密度忽略不计。 （ＭＱＳ）：位移电流密度忽略不计
二、磁准静态场Ｅ、Ｂ与动态位Ａ和φ关系 磁准静态场Ｅ、Ｂ与动态位Ａ Ｅ、Ｂ 关系
同恒定磁场
（1）矢量动态位
： A
B = ∇× A
∂A ∴∇ × E + =0 ∂t
（2）标量动态位 ϕ ：Φ标量函数 标量函数
∂B ∂ ∵ ∇× E = − = − (∇ × A) ∂t ∂t
令
∂A E+ = −∇ϕ ∂t
∇ × (∇ × H ) = ∇(∇ ⋅ H ) − ∇ H
2
得
∇ × J = ∇(∇ ⋅ H ) − ∇ H
2
∇ × (∇ × H ) = ∇(∇ ⋅ H ) − ∇ 2 H ∇ × J = ∇(∇ ⋅ H ) − ∇ 2 H
教材P335 教材
∫ J ⋅ dS = 0
流出任意闭合曲面的总传导电流是0。 流出任意闭合曲面的总传导电流是 。
５. ２磁准静态场和电路
∫ J ⋅ dS = 0
s
i1 i1 +i2 +i3 =0 i3 基尔霍夫电压定律（自学） 二、基尔霍夫电压定律（自学）
i2
５. 4 集肤效应
交流电流流过线圈， 交流电流流过线圈，导线周围变化的磁场在导线中感应电 流，从而使导线截面的电流分布步均匀。尤其频率较高时 从而使导线截面的电流分布步均匀。 电流几乎在导线表面附近的一薄层中流动， 集肤效应。 电流几乎在导线表面附近的一薄层中流动，即集肤效应。 （讨论导线自身有电流，其内部电流流动及电磁场分布） 讨论导线自身有电流，其内部电流流动及电磁场分布） 导线自身有电流 磁准静态场（ＭＱＳ）：位移电流密度忽略不计。 磁准静态场（ＭＱＳ）：位移电流密度忽略不计。 （ＭＱＳ）：位移电流密度忽略不计
二、磁准静态场Ｅ、Ｂ与动态位Ａ和φ关系 磁准静态场Ｅ、Ｂ与动态位Ａ Ｅ、Ｂ 关系
同恒定磁场
（1）矢量动态位
： A
B = ∇× A
∂A ∴∇ × E + =0 ∂t
（2）标量动态位 ϕ ：Φ标量函数 标量函数
∂B ∂ ∵ ∇× E = − = − (∇ × A) ∂t ∂t
令
∂A E+ = −∇ϕ ∂t
∇ × (∇ × H ) = ∇(∇ ⋅ H ) − ∇ H
2
得
∇ × J = ∇(∇ ⋅ H ) − ∇ H
2
∇ × (∇ × H ) = ∇(∇ ⋅ H ) − ∇ 2 H ∇ × J = ∇(∇ ⋅ H ) − ∇ 2 H
5.8准静态电磁场解读
解：设圆柱坐标系的z轴与电容器的轴线重合
电容器中位移电流密度为
ic
H
u
ic ( ez ) 2 a
g 0
Jd
id ic
式中电流
Jd
i 0.1 2sin 314t A。由全电流定律有
图5.8.1 两圆电极的平板电 容器
l
H dl J d 2
π 2 2π H 2 ic πa
H J B 0
D t
满足
2 /
当平板电容器工作在低频交流情况下时，电容器中的电磁场属电准静态场。
CQU
例5.8.1 有一圆形平行板电容器，极板半径 a =10cm。边缘效应可以忽略。
现设有频率为50Hz、有效值为0.1A的正弦电流通过该电容器。求电容器中 的磁场强度。
(t ) Ee dl
A
B
uL
B
A
A B ( Li) di dl A dl L A t t t dt
uC
B
uC dl
A
B
1 i dt C
uR
B
Jc
A
i dl dl iR A g gS
di 1 (t ) uL uC uR L idt iR dt C
5.8
准静态电磁场
CQU
5.8.1 电准静态场 （Electroquasitatic， EQS）
低频时，忽略二次源
B ( 0) 的作用，即 Eind 0, t
E Ec Eind Ec 0 电场呈近似无旋
E 0 D
电准静态场基本方程为
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第五章 准静态电磁场
第 5 章 准静态电磁场
电准静态场
( B 0) t
准静态场 （低频） 时变电磁场
磁准静态场
( D 0) t
具有静态电 磁场的特点
动态场 （高频）
似稳场 （忽略推迟效应） 电磁波
• 电准静态场——Electroquasitatic 简写 EQS 磁准静态场—— Magnetoquasistatic 简写 MOS • 任意两种场之间的空间尺度和时间尺度没有绝对的分界线。 • 工程应用（电气设备及其运行、生物电磁场等）
( 2 E2 1 E1 ) 0 t
分界面衔接条件
( 2 E2 1 E1 )
图5.3.2 双层有损介质的平板电容器
解方程，得面电荷密度为
t 2 1 1 2 Us( 1 e ) a 2 b 1
结论：当导电媒质通电时，电荷的驰豫过程导致分界面有积累的面电荷。
0 t
图5.3.1 导体分界面
当 l 0
时，有 J 2 n J 1n
即
( 2 E2 n 1 E1n )
( 2 E2 n 1 E1n ) 0 t
例5.3.1 研究双层有损介质平板电容器接至直流电压源的过渡过程，写出分界面 上面电荷密度 的表达式。 解 EQS： aE1 bE2 U S
5.2
磁准静态场与集总电路
在MQS场中， J 0 即 J dS 0
s
，故有
J dS
s
S1
J 1 dS J 2 dS J 3 dS
S2 S3
i1 i2 i3 0
即集总电路的基尔霍夫电流定律
图5.2.1 结点电流
i 0
B ds s t
Ei dl s
Ls
d B di L uL dS dt t dt Ee d l us
di 1 idt u R u L uC dt c
图5.2.2 环路电压
us Ri L
即集总电路的基尔霍夫电压定律
u 0
5.3
电准静态场与电荷驰豫
5.1
电 准 静 态 场
电准静态场和磁准静态场
B
低频时，忽略二次源 t ( 0 ) 的作用，即 Ei 0 , 电磁场基本方程为 D H J , B 0 , J t t E 0 , D 特点： 电场的有源无旋性与静电场相同，称为电准静态场（EQS）。
5.3.2
电荷在分片均匀导体中的驰豫过程
分界面上 根据
s
E1t E2t 和
有
2 E2 n 1 E1n
J dS q / t ,
J1nS J 2n S
1 1 S l S l S 1 2 t 2 2
用洛仑兹规范 A t ，得到动态位满足的微分方程
2 A J ,
磁 准 静 态 场
2 /
D 低频时，忽略二次源 的作用，即 H D 0 ，电磁场基本方程为 t
H J , B 0 , J 0 E B / t , D
5.4 集肤效应与邻近效应
5.4.1 集肤效应
J J E j E ，满足 在正弦电磁场中， J C D 良导体中可以忽略位移电流，场为MQS：
的材料称为良导体，
时变场中
Ec dl
Ec dl
E dl ( Ei Ec Ee ) dl
L L
电阻（MQS）
电容（EQS） 电感（MQS） 电源 有
LR
LR
LL
Lc
Lc
l J dl i Ri uR s q( t ) 1 1 dl q( t ) idt uc s c c
特点：磁场的有旋无源性与恒定磁场相同，称为磁准静态场（MQS）。 用库仑规范 A 0 方程 2 ，得到动态位满足的微分
A J , 2 /
EQS 与 MQS 的共性与个性
· A , 满足泊松方程，说明 EQS 和 MQS 忽略了滞后效应和波动性，属于似稳场。 · EQS和MQS 场中，同时存在着电场与磁场，两者相互依存。 · EQS场的电场与静电场满足相同的基本方程，在任一时刻 t ，两种电场的分布 一致，解题方法相同。EQS的磁场按 H J D t 计算。 · MQS的磁场与恒定磁场满足相同的基本方程，在任一时刻 t ，两种磁场的分布
/
( 驰豫时间)，
说明导电媒质在充电瞬间，以体密度分布的电荷随时间迅速衰减。 t 1 EQS场中，导体媒质内的电位满足 2 0 e e
特解之一为
( r ,t ) V
0 e 4r
t
e
dV 0 ( r )e
t
e
说明在EQS场中，导电媒质中自由电荷体密度 产生的电位很快衰减至零。 · 导电媒质中，以 分布的电荷在充电过程中驰豫何方？ · 充电后，导电媒质的电位为零吗？
一致，解题方法相同，MQS的电场按 E B t 计算。
· A , 在两种场中满足相同的微分方程，描述不相同的场，为什么？ a）A的散度不同，A 必不相同， B A 也不相同； b）E （EQS）和 E A t （MQS），表明 E 不相同。
导体中，自由电荷体密度随时间衰减的过程称为电荷驰豫。 5.3.1 电荷在均匀导体中的驰豫过程 均匀，且各向同性，在EQS场中
J D / D
设导电媒质 ,ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
式中o 为t 0
J t
0 t
通解为 o e
t e
时的电荷分布， e
第 5 章 准静态电磁场
电准静态场
( B 0) t
准静态场 （低频） 时变电磁场
磁准静态场
( D 0) t
具有静态电 磁场的特点
动态场 （高频）
似稳场 （忽略推迟效应） 电磁波
• 电准静态场——Electroquasitatic 简写 EQS 磁准静态场—— Magnetoquasistatic 简写 MOS • 任意两种场之间的空间尺度和时间尺度没有绝对的分界线。 • 工程应用（电气设备及其运行、生物电磁场等）
( 2 E2 1 E1 ) 0 t
分界面衔接条件
( 2 E2 1 E1 )
图5.3.2 双层有损介质的平板电容器
解方程，得面电荷密度为
t 2 1 1 2 Us( 1 e ) a 2 b 1
结论：当导电媒质通电时，电荷的驰豫过程导致分界面有积累的面电荷。
0 t
图5.3.1 导体分界面
当 l 0
时，有 J 2 n J 1n
即
( 2 E2 n 1 E1n )
( 2 E2 n 1 E1n ) 0 t
例5.3.1 研究双层有损介质平板电容器接至直流电压源的过渡过程，写出分界面 上面电荷密度 的表达式。 解 EQS： aE1 bE2 U S
5.2
磁准静态场与集总电路
在MQS场中， J 0 即 J dS 0
s
，故有
J dS
s
S1
J 1 dS J 2 dS J 3 dS
S2 S3
i1 i2 i3 0
即集总电路的基尔霍夫电流定律
图5.2.1 结点电流
i 0
B ds s t
Ei dl s
Ls
d B di L uL dS dt t dt Ee d l us
di 1 idt u R u L uC dt c
图5.2.2 环路电压
us Ri L
即集总电路的基尔霍夫电压定律
u 0
5.3
电准静态场与电荷驰豫
5.1
电 准 静 态 场
电准静态场和磁准静态场
B
低频时，忽略二次源 t ( 0 ) 的作用，即 Ei 0 , 电磁场基本方程为 D H J , B 0 , J t t E 0 , D 特点： 电场的有源无旋性与静电场相同，称为电准静态场（EQS）。
5.3.2
电荷在分片均匀导体中的驰豫过程
分界面上 根据
s
E1t E2t 和
有
2 E2 n 1 E1n
J dS q / t ,
J1nS J 2n S
1 1 S l S l S 1 2 t 2 2
用洛仑兹规范 A t ，得到动态位满足的微分方程
2 A J ,
磁 准 静 态 场
2 /
D 低频时，忽略二次源 的作用，即 H D 0 ，电磁场基本方程为 t
H J , B 0 , J 0 E B / t , D
5.4 集肤效应与邻近效应
5.4.1 集肤效应
J J E j E ，满足 在正弦电磁场中， J C D 良导体中可以忽略位移电流，场为MQS：
的材料称为良导体，
时变场中
Ec dl
Ec dl
E dl ( Ei Ec Ee ) dl
L L
电阻（MQS）
电容（EQS） 电感（MQS） 电源 有
LR
LR
LL
Lc
Lc
l J dl i Ri uR s q( t ) 1 1 dl q( t ) idt uc s c c
特点：磁场的有旋无源性与恒定磁场相同，称为磁准静态场（MQS）。 用库仑规范 A 0 方程 2 ，得到动态位满足的微分
A J , 2 /
EQS 与 MQS 的共性与个性
· A , 满足泊松方程，说明 EQS 和 MQS 忽略了滞后效应和波动性，属于似稳场。 · EQS和MQS 场中，同时存在着电场与磁场，两者相互依存。 · EQS场的电场与静电场满足相同的基本方程，在任一时刻 t ，两种电场的分布 一致，解题方法相同。EQS的磁场按 H J D t 计算。 · MQS的磁场与恒定磁场满足相同的基本方程，在任一时刻 t ，两种磁场的分布
/
( 驰豫时间)，
说明导电媒质在充电瞬间，以体密度分布的电荷随时间迅速衰减。 t 1 EQS场中，导体媒质内的电位满足 2 0 e e
特解之一为
( r ,t ) V
0 e 4r
t
e
dV 0 ( r )e
t
e
说明在EQS场中，导电媒质中自由电荷体密度 产生的电位很快衰减至零。 · 导电媒质中，以 分布的电荷在充电过程中驰豫何方？ · 充电后，导电媒质的电位为零吗？
一致，解题方法相同，MQS的电场按 E B t 计算。
· A , 在两种场中满足相同的微分方程，描述不相同的场，为什么？ a）A的散度不同，A 必不相同， B A 也不相同； b）E （EQS）和 E A t （MQS），表明 E 不相同。
导体中，自由电荷体密度随时间衰减的过程称为电荷驰豫。 5.3.1 电荷在均匀导体中的驰豫过程 均匀，且各向同性，在EQS场中
J D / D
设导电媒质 ,ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
式中o 为t 0
J t
0 t
通解为 o e
t e
时的电荷分布， e