流体力学第二章流体静力学

第二章 流体静力学
❖ 流体静力学研究流体的平衡规律，由平衡条 件求静压强分布规律，并求静水总压力。
❖静止是一个相对概念，指流体相对于地球无 运动的绝对平衡和流体相对于地球运动但质点 之间、质点与容器之间无运动的相对平衡。
❖流体质点之间没有相对运动，意味着粘性将 不起作用，所以流体静力学的讨论不须区分流 体是实际流体或理想流体。
pA mhm a
p1左 pA a p1右 mh
2.5.3水银压差计
即使在连通的 静止流体区域中 任何一点的压强 都不知道，也可 利用流体的平衡 规律，知道其中 任何二点的压 差，这就是比压 计的测量原理。
p1左 pA ( z A hm ) p1右 pB mhm zB
面，自由表面上压强为大气压，则液面
以下 h 处的相对压强为 γh ，所以在
液体指定以后,高度也可度量压强，称 为 液 柱 高 ， 例 如 ： ××m(H2O) ， ××mm(Hg) 等。特别地，将水柱高称 为水头。
p=0 h
ph
98 kN/m2=一个工程大气压=10 m(H2O)=736 mm(Hg)
任意形状平面上的静水总压力大 小，等于受压面面积与其形心点 压强的乘积。
2．静水总压力的方向垂直并指 向受压面
3.总压力P的作用点
根据合力矩定理，对x轴
PyD ydP
yy sin dA sin y2dA
p
1 2
p x
dx
dydz
p
1 2
p x
dx
dydz
X
dxdydz
0
化简得：
X 1 p 0
x
Y，z方向可得：
Y Z
1
1
p y p
0
0
z
各式相加得：
X
Y
Z
1
p x
p y
p z
0
欧拉平衡微分方程的全微分方式：
X
1
p x
0
Y
1
p y
0
Z
1
p z
0
结论：单位质量液体所受表面力与质量力相平衡。
进行变换，可得：
p dx p dy p dz Xdx Ydy Zdz
x y z
即： dp Xdx Ydy Zdz
静压强的分布规律完全由单位质量力决定。
流体平衡微分方程或欧拉平衡微分方程 结论：单位质量液体所受表面力与质量力相平衡。
2.2.2 流体平衡微分方程的积分
各式分别乘以dx、dy、dz然后相加
p 为 8.4kN/m2时 ，C点 在 自 由 面 下 的 淹 没深 度
h为多少？
解：pr
pabs
pat
p0
γ w
h
pat
ppp
p0
γ h r0wat Nhomakorabeah
c
代入得 h 8.4 78 98 2.898m 9.8
如图所示，有一底部水平侧壁倾斜之油槽， 侧壁倾角300，被油湮没部分壁长L=5m，自由表 面上的压强p0=pat=98KN/m2，油的容重 油=7.8KN/m3，问槽底板上压强为多少？
pA pB zB mhm (zA hm )
2.5.4 金属测压计 2.5.5 真空计
流体的平衡规 律必须在连通的 静止流体区域 （如测压管中） 应用，不能用到 管道中去，因为 管道中的流体可 能是在流动的， 测压管不只是为 测量静压用的。
(zA
pA )
(zB
pB
)
h
2.6 作用于平面壁上的静水总压力
pv＝pa－pabs＝－p (2.16)
压强
大气压强 pa
O
A
A点相 对压强
A点绝
B
对压强
相对压强基准 B点真空度
B点绝对压强
绝对压强基准
O
2.4.2 压强的量度单位
压强的量度单位有三种：
1.应力单位：N /m2（Pa）或kN /m2（kPa）
2.大气压的倍数：pa =98kN /m2,用pa的倍数表示
2.2 流体平衡微分方程
在静止流体内部任取一点O’，该点的压强为p＝p（x，y，z）
两个受压面abcd和a’b’c’d’中心点M，N 的压强：
pM
p
x
dx 2
,
y,
z
p 1 p dx 2 x
pN
p
x
dx 2
,
y,
z
p
1 2
p dx x
质量力：FBx X dxdydz
X方向的平衡方程：
y
x
此时，pn，px，py，pz已是同一点（M点）在不同方位作用面上 的静压强，其中斜面的方位 n 又是任取的，这就证明了静压强
的大小与作用面的方位无关。
➢ 静压强 p 与作用方向无关，仅
取决于作用点的空间位置；流体是 连续介质 ，因此：p＝ p(x,y,z)。
➢ 静止流体的静压强 p = p(x, y, z)，是空间点的连续函数。
• 确定作用于平面壁上的静水总压力， 是平行力系的合成。
完整的总压力求解包括其大小、方向 、作用点。
• 静压强在平面域 A 上分布不均匀，沿铅垂方向呈线性分布。
P
H
H
H
P
H
3 H
2.6.1 解析法--求任意形状平面上的静水总压力
1．静水总压力的大小
注意坐标 系
微小面元dA上水压力
dP pdA hdA
压强表示方法
①N/m2、kN/m2 或Pa、kPa ②以液柱高度表示：h=p/。可以用水柱，也可用汞柱。 ③以大气压强的倍数表示。 一个标准物理大气压=1.013kg/cm2≈一个工程大气压 =1 kg/cm2=10米水柱=736毫米汞高=98kN/m2=0.1Mpa
一封闭水箱，自由表面上气体绝对压强
dp ( Xdx Ydy Zdz) 流体平衡微分方程的综合式
静压强的分布规律完全由单位质量力决定
p gz c
p z c
g
g
z p C
g
由边界条件确定积分常数c，可得：
p po g zo z
p po gh
2.3.2 帕斯卡原理（巴斯加原理）
根据流体静力学基本方程 p p0 h 可知，液面压强p0与液 柱所具有的重量 h 无关，如果液面压强p0增大（或减小） △p，则液体内任意点的压强都将同时增大（或减小）同样 大小的△p。
作用在平面上的总水压力 是平行分布力的合力
P dp hdA y sindA sin ydA
A
A
A
1．静水总压力的大小
ydA
A
受压面A对OX轴的静矩
ydA yc A
A
P sin yc A hc A pc A
P—平面上静水总压力
yc—受压面形心到Ox轴的距离 hc—受压面形心的淹没深度 pc—受压面形心点的压强 A—受压面的面积
• 静压强的大小与作用面的方向无关
➢ 在静止流体中取出以M 为顶点的四面体流体微元，它受到的
质量力和表面力必是平衡的，以 y 方向为例，写出平衡方程。
py d Ay pn d An cos(n, y) Y dV 0
z
px
py dz pn n
d
An
cos(n, y)
1 2
d
x
d
z
倾斜面积 d An 的Y轴为法线的投影就是d Ay。
真空值： 当绝对压强小于大气压强时，相对压强为负
值，负值的相对压强的绝对值。-------pv pv=pat-pabs=︱pabs- pat︱= ︱pr︱
2.3.2 等压面
等压面具有如下性质：
1.等压面与质量力正交 2.等压面可以是平面也可以是曲面
①静止液体的等压面是水平面。 ②静止液体中，两种不同液体的分界 面是等压面。 ③凡是自由表面是等压面。
2.3.3 流体静力学基本方程的意义
• 在静水压强分布公式
z p C 中，各项都为长度量纲。
位置水头（水头） ： Z 位置势能（位能）： Z
测压管高度(压强水头) ： p
pA /
压强势能（压能）： g
pB / 测压管水头： z p
zA
单位势能：
g
zB
p
O
O
z c
g
• 敞口容器和封口容器接上测压管后的情况如图
因此可得出结论：静止流体内任一点的压强变化，会等值 传递到流体的其他各点。这就是帕斯卡原理，或称静压传 递原理。
2.3.2 帕斯卡原理
2.3.1 绝对压强、相对压强与真空值 绝对压强：
以设想的不存在任何气体的“完全真空”
（绝对真空）作为计算零点。----pabs
相对压强（计示压强或表压强）：
以当地大气压强为计算零点。---pr
解： h l sin30 2.5m
pr oil h 7.8 2.5 19.5kN / m 2
p0=pat
L 油
h
300
平面上静水总压力计算
• 各项水头也可理解成单位重量液体的能量
z 位置势能，（从
基准面 z = 0 算起铅 垂向上为正。 ）
p
压强势能
z p
总势能
• 液体的平衡规律表明 位置水头（势能）与压强水头（势 能）可以互相转换，但它们之和 — 测压管水头（总势能）是 保持不变的。
f ds
静止流体中等压面是水平面。但静止流体中的水平面不一定 都是等压面，静止流体中水平面是等压面必须同时满足静止、同 种流体且相互连通的条件，三个条件缺一不可。
静止流体中等压面是水平面。但静止流体中的水平面不一定 都是等压面，静止流体中水平面是等压面必须同时满足静止、同 种流体且相互连通的条件，三个条件缺一不可。
h
H
eL
B
A
D h
H
h B
H
E
A B
h
C
H
G
F
(H h) F
F
2.4 压强的表示方法和量度单位
2.4.1 压强的表示方法
• 压强 p记值的零点不同，有不同的名称：
绝对压强 以完全真空为 零点，记为 pabs
压强
两者的关系为: p= pabs- pa
大气压强 pa
O
相对压强 以当地大气压 pa 为零点，记为 p
A
A点相 对压强
A点绝
B
对压强
相对压强基准 B点真空度
B点绝对压强
绝对压强基准
O
当某点的绝对压强
小于当地大气压pa 时，相对压强为负
值，称为负压状态 或真空状态。)
• 今后讨论压强一般指
相对压强，记为 p，若 指绝对压强则特别注明。
在真空状态下，大 气压强与绝对压强 的差值pa－pabs称 为真空度；或者可 以定义为：相对压 强为负值时，其绝 对值为真空度，以 pv表示，即
以上两个特性是计算任意点静水压强、绘制静水压强分 布图和计算平面与曲面上静水总压力的理论基础。
• 流体静压强的方向沿作用面的内法线方向
➢静止流体的应力只有法向分量（流体质
n Pn
点之间没有相对运动不存在切应力）。
➢法向应力沿内法线方向，即受压的方向
（流体不能受拉），即：流体静压强的方 向总是垂直指向受压面。
p0为78kN/m2，求液面下淹没深度h 为1.5m 处点C 的绝对静水压强，相对静水压强和真空度。
解：pabs p0 γwh 78 9.81.5
92.7kN/m2
pr pabs pat 92.7 98
p0
5.3kN/m2
h
pv pr 5.3kN/m2
c
hv
pv
w
0.54m水柱
情 况 同 上 例 ， 试 问 当C 点 相 对 压 强
2.5 液柱式测压计
测压管 水银测压计 水银压差计 金属测压计 真空计
2.5.1 测压管 测压管的一端接大气，这样就把测管水头揭示出 来了。再利用液体的平衡规律，可知连通的静止液体区域中任 何一点的压强，包括测点处的压强。
A
α
pA h l sin
2.5.2水银测压计 如果连通的静止液体区域包括多种液体，则须在它们的分界面 处作过渡。
dx dy pz
dV 1 d xd yd z
o
y
6
x
1 2
dxdzpy
1 2
dxdzpn
1 6
dxdydzY
0
➢ 当四面体微元趋于M点
时，注意到质量力比起表面 力为高阶无穷小，即得 pn=py，同理有 pn=px，pn=pz
pn px py pz
z
px
py dz pn n
dx dy pz
o
➢国际上规定，一个标准大气压为温度为00C,纬度为45度时海平 面上的压强。1atm＝1.013×105Pa
➢在工程技术中，一个工程大气压相当于海拔200m处的正常大气 压。1at＝9.8×104Pa
3.液柱高度：
➢米水柱高度（mH2O） ➢毫米水银柱高度（mmHg）
• 如果 z = 0 为静止液体的自由表
2.3.5 静水压强分布图
静水压强基本特性 分布规律 p p0 h
图形表示
形
象
按一定比例
、
用线段长度表示压强大小
直 观
用箭头表示压强方向
画出作用面上各点的压强，这样构成的几何图形 称为静水压强分布图。
一些静水压强分布图实例
A
e L 2h H 3 hH
P
HE
H
L/3
L
e
L
B
3
P
HF
E h A
2.1 流体静压强及其特性
2.1.1 流体静压强的定义性
流体静压强
A
静止流体作用在每单位受压面积上的压力
V
P 等效力
平均压强
p P A
点压强
p lim P
V
A0 A
单位:（N/ m2），也称为帕斯卡 （Pa）
2.1.2 流体静压强的特性
1、流体静压强的方向沿作用面的内法线方向。
2、静止流体中某一点静水压强的大小与作用面的方向无关, 或者说作用于同一点各方向的静压强大小相等。