2006—2007学年第二学期闽江学院线性代数考试试卷及答案(B)
线性代数试题线性代数试卷及答案大全(173页大合集)
属于 对应的特征向量为 ，单位化： ，
属于 对应的特征向量为 ，单位化： ，
取 ，则有 。
八、（本题8分）证明：由
得 的特征值 ，
，
故 的最大特征值是 。
试卷2
闭卷考试时间：100分钟
一、填空题（本题15分，每小题3分）
1、若n阶行列式零元素的个数超过n（n-1）个，则行列式为。
三、（本题8分）解：从第一行开始，每行乘 后逐次往下一行加，再按最后一行展开得：
原式= 。
四、（本题12分）解：由 ，得： ，
可逆，故 ；
由于 ， 。
五、（本题14分）解：（1）令 ， ，
则 线性无关，故 是向量组 的一个极大无关组；
（2）由于4个3维向量 线性相关，
若 线性无关，则 可由 线性表示，与题设矛盾；
A:矩阵A必没有零行
B:矩阵A不一定是阶梯形矩阵
C:矩阵A必有零行
D:矩阵A的非零行中第一个不等于零的元素都是1
非齐次线性方程组Ax=b中，系数矩阵A和增广矩阵(A b)的秩都等于3，A是3×4矩阵，则▁▁▁。【A】
A:方程组有无穷多解
B:无法确定方程组是否有解
C:方程组有唯一解
D:方程组无解
试卷1
4、若 阶实方阵 ， 为 阶单位矩阵，则（ ）。
（A） （B）
（C） （D）无法比较 与 的大小
5、设 ， ， ， ，其中 为任意常数，则下列向量组线性相关的为（ ）。
（A） ( B) (C) (D)
三、（10分）计算 阶行列式 ， 的主对角线上的元素都为 ，其余位置元素都为 ，且 。
四、（10分）设3阶矩阵 、 满足关系： ，且 ，求矩阵 。
B:Ax=0的基础解系中的解向量的个数不可能为n-r
线性代数2007答案
重庆大学线性代数（Ⅱ）课程试卷2006~2007学年 第2学期一、 填空题（3分/每小题，共30分） ⒈517924的逆序数为 7 ；⒉ A 为3阶方阵，且A =-2，A =123A A A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则312123A A A A -= 6 ；⒊若向量⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=4321α，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=t 876β相互正交，则t ＝__-11______；⒋ A 为3阶方阵，且A =2，则()=+-*122A A 16729；5．矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--330204212的秩为 2 ；6．齐次线性方程021=+++n x x x 的基础解系的向量个数是 N-1 ；7． A 为4阶方阵，B 为7阶方阵，且2,3A B ==-则=BO OA -6 ；8． 已知123,,ααα 线性无关，则133221,,αααααα+++线性 无关 ；9．非齐次线性方程组m n A x β⨯=有解的充分必要条件为)()(β A R A R =；10．当λ为 大于5 取值范围时, 二次型2332223121213216242),,(x x x x x x x x x x x x f λ+++++= 为正定.二、 简答题（4分/每小题，共8分）⒈若n 阶方阵A 有O A =2，问是否O A =成立？为什么？不成立（2分），可取多个反例（2分） ⒉,A B 为n 阶方阵且相似，问,A B 是否等价？为什么？成立（2分），因为,A B 为n 阶方阵且相似，则存在C ，使得B AC C =-1，而C 可逆，则可表示初等方阵的乘积，于是,A B 等价（2分）。
三、 计算题（一）（8分/每小题，共24分）1． 计算四阶行列式.5021*********321---=D 解504173012107222.1730012107022204321.5021011321014321=-------=-------=---=D有过程但结果错误得一半的分数。
06-07线性代数试题答案
2006 – 2007学年第二学期《线性代数B 》试卷参考答案及评分标准一、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）1．481； 2．-1； 3．n -2； 4．0211-⎡⎤⎢⎥⎣⎦； 5．9； 6．t<二、单项选择题（共6小题，每小题3分，满分18分）1．[B]； 2．[C]； 3．[A]； 4．[D]； 5．[C]； 6．[B]． 三、解答题（共5小题，每小题9分，满分45分）1. 计算4阶行列式3222232222322223D=.解12221322912321223D = ……………(6分)122201009001001= =9. ……………(9分)2．设向量组α1=(1,0,2,1)T ，α2=(1,2,0,1)T ，α3=(2,1,3,0)T ，α4=(2,5,-1,4)T ，(1) 判断向量组的线性相关性；(2) 求它的秩和一个极大无关组；(3) 把不在极大无关组中的向量用这个极大无关组线性表示.解由⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=0011005120221140111302512022114321),,,(αααα，则α1，α2，α3，α4线性相关，向量组α1，α2，α3，α4的秩为3，且α1，α2，α3，（α1，α2，α4，；α2，α3，α4）为一个极大无关组故 α4=α1+3α2-α3.3.设向量α1=(1,2,1)T 和 α2=(1,1,2)T 都是方阵A 的属于特征值λ＝2的特征向量，又向量β=α1+2α2，求A 2β.解 A β=Aα1+2Aα2=2α1+4α2=2β， ……………(5分)2123442244145A A ⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥===+= ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭βββ2.4．设3阶方阵A 、B 满足AB =2A +B ，其中 20204022B ,⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦求A . 解 由AB =2A +B 可得A (B -2E )=B ,而12341122100102150103(,,,).2031001111400αααα⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦B -2E =00202020⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦可逆，所以1101(2)02011A =B B E -⎡⎤⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.5. 已知线性空间R[x ]3={a 0+a 1x +a 2x 2| a 0,a 1,a 2∈R}， (1) 证明 1，1＋x ，(1＋x )2是R[x ]3的一个基； (2) 求由基1，x ，x 2到基1，1＋x ，(1＋x )2的过渡矩阵. 解 (1)向量组的坐标向量1231110,1,2001ααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦线性无关,所以1，1＋x ，(1＋x )2线性无关,故是R[x ]3的一个基(2)又由于22111(1,112)(1,,)0121x,+x+x x x ⎡⎤⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 故由基1，x ，x 2到基1，1＋x ，(1＋x )2的过渡矩阵为1110121⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.四、（本题满分9分）设线性方程组(Ⅰ)1231232123 0,30,90x x x x ax x x a x x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩与(Ⅱ) x 1+3x 2+3x 3=a -3有公共解，求a 的值和所有的公共解.解 由于方程组(Ⅰ)的系数行列式2111132(1)(3),19D a a a a==--当 a ≠ 1且a ≠ 3 时，方程组(Ⅰ)仅有零解， 此时方程组(Ⅰ) 与(Ⅱ)不同解，因而没有公共解．当 a = 3时，解方程组 (Ⅱ) 是方程组 (Ⅰ) 的第2个方程，所以只需解方程组(Ⅰ)即可得它们的所有的公共解，解之11111110013302201119908800⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦得公共解为12301,.1x x k k R x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-∈⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦当a =1时，解方程组(Ⅰ)1111111101130020011190800⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦得方程组(Ⅰ)的通解为12311,.0x x c c R x -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=∈⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦将方程组(Ⅰ)的通解代入方程组 (Ⅱ) 得 c = -1，此时解方程组(Ⅰ)与方程组(Ⅱ)的公共解为11.⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦x……(9分)10分）设实二次型f(x1,x2,x3)=x T Ax 的秩为2，且α1=(1,0,0)T 是(A-2E)x=0的解，α2=(0,-1,1)T 是(A-6E)x=0的解.(1) 求矩阵A的特征值与特征向量；(2) 用正交变换将该二次型化成标准形，并写出所用的正交变换和所化的标准形；(3)写出该二次型.解(1) 由α1=(1,0,0)T是(A-2E)x=0的解，α2=(0,-1,1)T 是(A-6E)x=0的解，得Aα1=2α1，Aα2=6α2，于是得A的两个特征值为λ1=2，λ2=6，其对应的特征向量依次为α1=(1,0,0)T，α2=(0,-1,1)T．又由于实二次型f(x1,x2,x3) 的秩为2，所以A的另一个特征值为λ3=0，设其对应的特征向量为α3=(x1,x2,x3)T，则有(α1，α3)=0，(α2，α3)=0,即1230, 0.xx x =⎧⎨-=⎩解得特征向量为12301,01x x k k x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=≠⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦k 为任意常数. ……(6分) (2)取 1231000,1,1,011c c c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦单位化得123100110,1,1,011p p p ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦令 P = (p 1 , p 2 , p 3)10110110,⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎢⎢⎥⎢⎣则P 为正交矩阵，故x =Py 为正交变换， 该变换将二次型化成标准形为f (x 1,x 2,x 3)=2y 12+6y 22. ……(8分)(3)由于⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-==21210212100010000600022121021210001TPP A Λ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=33330002故所求的二次型为f (x 1,x 2,x 3)=2x 12+3x 22+3x 32-6 x 2x 3. ……(10分)。
线性代数试题A答案[大全5篇]
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线性代数试题A答案[大全5篇]第一篇：线性代数试题A答案2006-2007学年第二学期线性代数试题A卷参考答案及评分标准一．填空题（本题满分12分，每小题3分）⎛1-20 0 -25 -111、1；2、-3；3、A=00 3 1 00-3⎝0⎫⎪0⎪2⎪；4、2 ⎪3⎪1⎪⎪3⎭二、选择题（本题满分12分，每小题3分，．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）1．C；2．C；3．A；4、B 三．计算行列式（本题满分6分）解 1 10Dn=001-110010Λ00-111000-11=100010100200Λ03ΛΛ1Λ00Λ0100Λ00n3-1ΛΛ011ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ分Λn-1=n3分解2 10Dn=001-110010Λ00-111000=Dn-1+13分-1ΛΛ011ΛΛΛΛΛΛΛΛ-11=n3分四．（本题满分12分）解：⑴ 由等式A+B=AB，得A+B-AB+E=E，即(A-E)(B-E)=E3分因此矩阵A-E可逆，而且(A-E)=B-E．2分-1⑵ 由⑴知，A-E=(B-E)，即A=(B-E)+E-1-1A=(B-E)+E或A=B(B-E)-12分-1⎛0-10-30100⎛⎫⎛⎫⎪⎪1=200⎪+010⎪=-3 001⎪001⎪0⎝⎭⎝⎭⎝⎛1 1=-3 0 ⎝1210⎫0⎪⎪0⎪ 2分⎪2⎪⎪⎭1200⎫0⎪100⎫⎪⎛⎪0⎪+010⎪3分⎪⎪1⎪⎝001⎭⎪⎭五．（本题满分14分）解：110⎤⎡1⎡11⎢01⎥⎢0221⎥→⎢A=⎢⎢0-1a-3-2b⎥⎢0⎢⎥⎢321a-1⎣⎦⎣01110⎤1221⎥⎥4分0a-10b+1⎥⎥00a-10⎦所以，⑴ 当a≠1时，rA=r(A)=4，此时线性方程组有唯一解．2分⑵ 当a=1，b≠-1时，r(A)=2，rA=3，此时线性方程组无解．2分⑶ 当a=1，b=-1时，rA=r(A)=2，此时线性方程组有无穷多组解．2分此时，原线性方程组化为()()()⎧x1+x2+x3+x4=0 ⎨⎩x2+2x3+2x4=1因此，原线性方程组的通解为⎧x1=x3+x4-1⎪x=-2x-2x+1⎪234 ⎨x=x3⎪3⎪x4⎩x4=或者写为⎡x1⎤⎡1⎤⎡1⎤⎡-1⎤⎢x⎥⎢-2⎥⎢-2⎥⎢1⎥2⎢⎥=k⎢⎥+k⎢⎥+⎢⎥4分⎢x3⎥1⎢1⎥2⎢0⎥⎢0⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣0⎦⎣1⎦⎣0⎦⎣x3⎦六．（本题满分12分）3-λ解 A-λE=-101202-λ1=(2-λ)(3-λ)，2分03-λ所以得特征值λ1=2,λ2=λ3=32分⎛101⎫⎪对λ1=2，解方程组(A-2E)x=0，由A-2E=-101⎪，得特征向量001⎪⎝⎭⎛0⎫⎪ξ1=1⎪0⎪⎝⎭⎛0⎫⎪所以对应λ1=2的全部特征向量为c1 1⎪,c1≠03分0⎪⎝⎭⎛0 1对λ2=λ3=3，解方程组(A-3E)x=0，由A-3E=-0⎝01⎫1⎛10⎪r 1-1⎪−−→0 0100⎪0 ⎭⎝00⎫⎪⎪，⎪⎭⎛1⎫⎛1⎫⎪⎪得特征向量ξ2=-1⎪,全部特征向量为c2 -1⎪,c2≠03分0⎪0⎪⎝⎭⎝⎭A没有三个线性无关的特征向量，所以不能对角化.2分七．（本题满分12分）⎛1λ解：f的矩阵为A=λ4 -12⎝-1⎫⎪2⎪．…………2分 4⎪⎭因此，二次型f为正定二次型．⇔矩阵A为正定矩阵．⇔矩阵A的各阶顺序主子式全大于零．…………2分而矩阵A的各阶顺序主子式分别为D1=1>0，D2=1λ=4-λ2，…………2分λ41D3=A=λλ-12=-4(λ-1)(λ+2)．…………2分 44-12所以，二次型f 为正定二次型．⇔D2=4-λ2>0，且D3=-4(λ-1)(λ+2)>0由 D2=4-λ2>0，得-2<λ<2 ．由 D3=-4(λ-1)(λ+2)>0，得-2<λ<1 ．因此，得-2<λ<1 ．即，二次型f为正定二次型．⇔-2<λ<1…………4分八．（本题满分8分）已知三维向量空间的一组基为α1=(1，1，0)，α2=(1，0，1)，α3=(0，1，1)求向量β=(2，0，0)在上述基下的坐标．解：设向量β在基(α1，α2，α3)下的坐标为(x1，x2，x3)，则有x1α1+x2α2+x3α3=β，2分写成线性方程组的形式，有⎛1⎫⎛1⎫⎛0⎫⎛2⎫⎪⎪⎪⎪x1 1⎪+x2 0⎪+x3 1⎪=0⎪2分 0⎪1⎪1⎪0⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭即⎧x1+x2=2⎪⎨x1+x3=0，⎪x+x=03⎩2得唯一解x1=1，x2=1，x3=-1，3分，1，-1)．1分因此所求坐标为(1九．（本题满分12分）证法1：记A=(α1,α2,Λ,αm),B=(α1,α2,Λ,αm,β)，显然r(A)≤r(B).1°因为α1,α2,Λ,αm线性无关，知r(A)=m1分2°因为α1,α2,Λ,αm,β线性相关，知r(B)<m+1 1分因此r(B)=m，1分Ax=(α1,α2,Λ,αm)x=b有解且唯一。
线性代数习题集(带答案)
For personal use only in study and research; not forcommercial use第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ).(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)243512．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C)k n -2! (D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项.(A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n4．=0001001001001000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 25.=01100000100100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 26．在函数100323211112)(x x x x x f ----=中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 7. 若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若a a a a a =22211211，则=21112212ka a ka a ( ).(A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2-9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x ( ).(A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 210. 若5734111113263478----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ).(A)1- (B)2- (C)3- (D)011. 若2235001011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)012. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x kx x kx x kx x x 有非零解.( )(A)1- (B)2- (C)3- (D)0二、填空题1. n 2阶排列)12(13)2(24-n n 的逆序数是.2．在六阶行列式中项261365415432a a a a a a 所带的符号是.3．四阶行列式中包含4322a a 且带正号的项是. 4．若一个n 阶行列式中至少有12+-n n 个元素等于0, 则这个行列式的值等于.5. 行列式=01111010100111.6．行列式=-0100002000010nn .7．行列式=--0001)1(2211)1(111 n n n n a a a a a a .8．如果M a a a a a a a a a D ==333231232221131211，则=---=323233312222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D .9．已知某5阶行列式的值为5，将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元素，则所得的新行列式的值为.10．行列式=--+---+---1111111111111111x x x x .11．n 阶行列式=+++λλλ111111111.12．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1，则该行列式的值为.13．设行列式5678123487654321=D ，j A 4)4,3,2,1(=j 为D 中第四行元的代数余子式，则=+++44434241234A A A A .14．已知db c a c c a b ba b ca cb a D =， D 中第四列元的代数余子式的和为.15．设行列式62211765144334321-==D ，j A 4为)4,3,2,1(4=j a j 的代数余子式，则=+4241A A ，=+4443A A .16．已知行列式nn D10301002112531-=，D 中第一行元的代数余子式的和为.17．齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=++0020232121321x x x kx x x x kx 仅有零解的充要条件是.18．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+=++0230520232132321kx x x x x x x x 有非零解，则k =.三、计算题1.cb a d b a dc ad c b dc b a dc b a dc b a++++++++33332222; 2．yxyx x y x y y x y x +++；3．解方程0011011101110=x x xx ； 4．111111321321221221221----n n n n a a a a xa a a a xa a a a x a a a a x；5. na a a a111111111111210(n j a j ,,1,0,1 =≠)；6. bn b b ----)1(111121111131111 7. n a b b b a a b b a a a b 321222111111111； 8．x a a a a x a a a a x a a a a xn nn321212121; 9.2212221212121111nn n nn x x x x x x x x x x x x x x x +++; 10.211200000210001210001211．aa a aa a a a a D ---------=110001100011000110001.四、证明题1．设1=abcd ，证明：011111111111122222222=++++dddd c c c c b b b b a a a a .2．3332221112333332222211111)1(c b a c b a c b a x c b x a x b a c b x a x b a c b x a x b a -=++++++. 3．))()()()()()((111144442222d c b a c d b d b c a d a c a b d c b a d c b a dc b a +++------=. 4．∏∑≤<≤=----=n j i i j n i i n nn nn n n n nna a a a a a a a a a a a a a a 1121222212222121)(111.5．设c b a ,,两两不等，证明0111333=c b a c b a的充要条件是0=++c b a . 参考答案一．单项选择题A D A C C D ABCD B B 二．填空题1.n ;2.”“-;3.43312214a a a a ;4.0;5.0;6.!)1(1n n --;7.1)1(212)1()1(n n n n n a a a ---; 8.M 3-; 9.160-; 10.4x ; 11.1)(-+n n λλ; 12.2-;13.0; 14.0; 15.9,12-; 16.)11(!1∑=-nk k n ; 17.3,2-≠k ; 18.7=k三．计算题1．))()()()()()((c d b d b c a d a c a b d c b a ------+++-； 2. )(233y x +-；3. 1,0,2-=x ;4.∏-=-11)(n k kax5.)111()1(00∑∏==-+-nk k nk k a a ; 6. ))2(()1)(2(b n b b ---+- ;7. ∏=--nk k kna b1)()1(; 8. ∏∑==-+nk k nk k a x a x 11)()(;9. ∑=+nk k x 11; 10. 1+n ;11. )1)(1(42a a a ++-. 四. 证明题 (略)第二章 矩阵一、单项选择题1. A 、B 为n 阶方阵，则下列各式中成立的是( )。
2006―2007学年第二学期电信专业(本科) 《线性代数》课程期末试卷 (B)
莆田学院2006 — 2007 学年第 二 学期期末试卷（B ）考 生 信 息 栏 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿院、系＿＿＿＿＿＿ 专业 ＿＿＿＿＿＿班级 姓名＿＿＿＿＿＿ 学号＿＿＿＿＿＿装 订 线学历层次： 年）闭卷（√） 考试用时：A ．0A =或0B =； B ． 0A B +=；C ．0A =或0B =；D ．0A B +=.2．设111213212223313233a a a A a a a a a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1010100001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2100010101P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，212223111213311132123313a a a B a a a a a a a a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪+++⎝⎭，则必有（ ） A ．12APP B =； B ．21AP P B =； C ．12PP A B =； D ．21P PA B =. 3．n 维向量组123,,ααα（3n >）线性无关的充分必要条件是（ ） A ．123,,ααα中任意两个向量线性无关； B ．123,,ααα全是非零向量；C ．存在n 维向量β，使得123,,,αααβ线性相关；D ．123,,ααα中任何一个i α都不能由其余两个向量线性表出.4．设矩阵m n A ⨯的秩为(),r A m n =<E 为m 阶单位矩阵，下述结论中正确的是（ ）A ．A 的任意m 个列向量必线性无关；B ．A 的任意一个m 阶子式不等于零；C ．若矩阵B 满足0BA =，则0B =；D ．A 可通过初等行变换化为(),0mE 的形式.三、计算题（共55分）1．（12分）计算行列式2151130602121476D ---=--.2．（12分）已知矩阵211210,111A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭1325,40B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭若AX B =,求矩阵X .3．（15分）,a b 为何值时，非齐次线性方程组123123221231,,x ax bx x bx ax b bx b x abx a ++=-⎧⎪++=-⎨⎪++=-⎩（1）无解；（2）有无穷多解，用对应的齐次线性方程组的基础解系表示其通解.4．（16分）设11231136133121531510121A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪-- ⎪--⎝⎭， （1）求A 的列向量组的秩，并判断其线性相关性；（2）求A 的列向量组的一个最大无关组，并把其余列向量用最大无关组线性表示.四、证明题（共18分）1. （10分）证明：若0m n n l A B ⨯⨯=，则()()R A R B n +≤2. （8分）已知()123,,2R ααα=,()234,,3R ααα=，证明： （1）1α能由23,αα线性表示； （2）4α不能由123,,ααα线性表示.。
线性代数B期末试卷及答案
2008 -2009学年第二学期《线性代数 B 》试卷量组1，2， ，m ， 的秩为5. 设A 为实对称阵，且AI M 0,则二次型f =x T A x 化为f =y T A -1 y 的线性变换是x= __________ .T6. 设 R 3 的两组基为 a 11,1,1 ，a 2 1,0, 1 ，a 3 1,0,1 ；2,3,4 , 3 3,4,3 ，则由基 a !,a 2,a 3到基 1, 2, 3的过渡矩阵为、单项选择题（共6小题，每小题3分，满分18 分）一一一-二二 -三四五六总分(共 0 0 12. A 为n 阶方阵,AA T = E 且A 0,则A E |.3•设方阵A1 2 24 t 3 , B 为三阶非零矩阵，且AB=O,则t 3114.设向量组m线性无关，向量 不能由它们线性表示，贝U 向1(1,2,1,)T ，22009年6月22日6小题，每小题3分，满分18分）、填空题 1 0 0 10 01.设D n 为n 阶行列式，则D n = 0的必要条件是[]. (A) D n 中有两行元素对应成比例； (B) D n 中各行元素之和为零； (C) D n 中有一行元素全为零；(D)以D n 为系数行列式的齐次线性方程组有非零解.2.若向量组 ，，线性无关，，， 线性相关，则[](A)必可由，， 线性表示； (B)必可由，， 线性表示； (C)必可由，， 线性表示； (D)必可由，，线性表示.3.设3阶方阵A 有特征值0,— 1,1，其对应的特征向量为P i , P 2,P 3, 令1 亠( P 1, P 2, P 3)，则 P —1AP =[ ].1 0 00 0 0(A) 01 0 ；(B) 01 0 ；0 0 0 0 0 10 01 0(C) 0 10 ；(D) 0 00 .0 0 —10 0—14. 设 a 1, a, a 线性无关，则下列向量组线性相关的是[](A) a, a, a - a ；(B) a 1,a + a, a 1+ a ；(C) a +( 也， a + a, a + a ； (D) a 1- a, a - a, a - a .5. 若矩阵A a x 4有一个3阶子式不为0,则A 的秩R ( A )=[]. (A) 1； (B) 2; (C) 3；(D) 4.6. 实二次型f 二X T A X 为正定的充分必要条件是[].(A) A 的特征值全大于零； (B) A 的负惯性指数为零；(C)AI > 0 ；(D) R(A) = n .、解答题(共5小题，每道题8分，满分40分)。
08-09年第二学期《线性代数Ⅱ》课程考试试卷B答案
2008─2009学年 第 二 学期《线性代数Ⅱ》课程考试试卷B 答案注意：1、本试卷共 3 页； 2、考试时间120分钟一、单选题 (每小题 2 分，共 20 分)1.设A 为n 阶方阵，且2,n ≥则5A -等于（ A ）；(A ) (5)n A -； (B ) 5A -； (C ) 5A ； (D ) 5nA .2.设,,A B C 为同阶方阵，则()T ABC 等于 ( B )；(A ) T T T A B C ； (B ) T T T C B A ； (C ) T T T C A B ； (D ) T T T A C B .3.设矩阵1122A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则和A 等价的矩阵是( B )；(A ) 1022A ⎛⎫= ⎪⎝⎭；(B ) 1313A ⎛⎫= ⎪⎝⎭；(C ) 111222A ⎛⎫= ⎪⎝⎭；(D ) 112222A ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭. 4.若向量组s ααα,...,,21，(2s )线性无关的充要条件是（ D ）； (A ) s ααα,...,,21 均不为零向量；(B ) s ααα,...,,21中任意两个向量不成比例； (C ) s ααα,...,,21任意s-1个向量线性无关；(D ) s ααα,...,,21中任意一个向量均不能由其余s-1个向量线性表示.5.已知12,ββ为非齐次线性方程组Ax b =两个不同的解，12,αα为其导出组0Ax =的一个基础解系，12,c c 为任意常数，则Ax b =的通解可以表示为（ A ）；(A ) )()(212121121αααββ++++c c ；(B ) )()(212121121αααββ+++-c c ；(C ) )()(212121121ββαββ-+++c c ；(D ) )()(212121121ββαββ+++-c c . 6.设A 为n 阶方阵，且032=-+E A A则=+-1)2(E A （ A ）；(A ) E A -；(B ) E A +；(C ))(31E A -；（D ）)(31E A +. 7．设n 阶可逆方阵A 有一个特征值为3，对应的特征向量为x, 则下列等式中不正确的是（ B ）；()3A Ax x = 1()3B A x x -= 11()3C A x x -= 2()9D A x x =.8.写出二次型1231213(,,)22f x x x x x x x =+的规范形（ C ）；（A ）221222y y -； （B ）221222y y +； （C ）2212y y -； （D ）2212y y +. 9.设3阶矩阵A 与B 相似,A 的特征值为4,2,3. 则B 等于（ D ）；1()24A ； 1()9B ； ()9C ； ()24D .10.二次型212311323(,,)44f x x x x x x x x =++的矩阵为（ D ）；(A ) 104004440⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；(B ) 1022002000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；(C ) 1002000220⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；(D ) 102002220⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.二、计算下列行列式 (每小题6分，共12分)1．123233249499367677=02．1115115115115111=512三峡大学 试卷纸 教学班号 序号 学号 姓名…………………….………….………………试 题 不 要 超 过 密 封 线………….………………………………三、计算矩阵 (共20分)设111210101A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，123120001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭求（1）A AB 23-；(5分) （2）B A T；（5分）（3）判断矩阵A 是否可逆？若可逆，求1-A .（10分）解：（1）242126124AB ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ (2)2421114108323126221018181241011610AB A -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (5)（2）12112336411012000310*******TA B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭………10 （3）40A =-≠，故A 可逆，……………………13 并且**1111222, (17)113111111222444113111 (204)222113444A A A A ----⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪===- ⎪- ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭四、(每小题4分，共16分)已知向量组13125α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭21112α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭32013α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭41101α⎛⎫⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(1)若123430αααβ+--=，求β；(2)求向量组的秩),,,(4321ααααR ；(3)求向量组4321,,,αααα的一个最大无关组； (4)将其余向量组用此最大无关组线性表示.解：（1）1135383193β⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (4)（2）31211011110101122110000052310000A ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪---⎪ ⎪=→⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭向量组的秩),,,(4321ααααR =2 (8)（3）向量组4321,,,αααα的一个最大无关组为12,αα (12)（4）312412,2αααααα=-=- (16)三峡大学 试卷纸 教学班号 序号 学号 姓名…………………….………….………………试 题 不 要 超 过 密 封 线………….………………………………五、(共15分)求下列非齐次线性方程组的通解及对应的齐次方程组的基础解系：123451234523451234513235226254337x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=-⎧⎪+++-=-⎪⎨+++=⎪⎪+++-=-⎩ 解111111101153321135012262012262000000543317000000-----⎛⎫⎛⎫⎪⎪-- ⎪ ⎪→⎪ ⎪⎪⎪--⎝⎭⎝⎭因R(A)=R(A,b)=2 5.故有无穷解. (5)原方程组的同解方程组为13452345532262x x x x x x x x =++-⎧⎨=---+⎩ (7)特解*32,000η-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (9)齐次的基础解系123115226,,100010001ξξξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (13)通解为*112233k k k ηηξξξ=+++(123,,k k k 为任意常数) (15)六、(共17分) 设矩阵100032023A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.(1)求矩阵A 的特征值和特征向量；（2）求一正交矩阵P ，使得AP P 1-为对角矩阵.解：（1）10032(1)(1)(5)0023A E λλλλλλλ--=-=---=- 得A 的特征值为1231,5λλλ===……………4 对应121λλ==，解方程0)(=-x E A 得特征向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1101ξ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0012ξ (8)1ξ，2ξ为对应于121λλ==的特征向量.对应53=λ，解方程0)5(=-x E A 得特征向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1103ξ (10)3ξ为对应于53=λ的特征向量.(2)将321,,ξξξ单位化有,11021,001,11021321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=P P P ......... (12)令),,(321P P P P =（不唯一）有⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-5000200011AP P (15)三峡大学 试卷纸 教学班号 序号 学号 姓名…………………….………….………………试 题 不 要 超 过 密 封 线………….………………………………。
2006-2007学年度第二学期线性代数期末考试试题A卷
北京科技大学2006--2007学年第二学期线性代数 试卷（试卷（A A 卷）院(系) 班级 学号 姓名试卷卷面成绩占课程占课程考核成绩考核成绩 85 % 平时平时成绩占成绩占 15% 课程考核成绩 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 小计 得分 评阅 审核一、填空题（本题共15分，每小题3分）1．四维向量()()1,1,1,1,2,0,3,6TT=--=--a b 的夹角是 。
2．设A 是5阶方阵，且2=-A ，那么2A -= 。
3．设12304501A æöç÷=ç÷ç÷èø，则()1A -*= 。
4．与向量()()1,2,2,2,1,2-TT同时正交的单位向量是 。
5．若二次型()()222123123121323,,1424f x x x x t x tx x x x x x x =++++--正定，那么参数t 应该满足的条件是 。
得 分装订线内不得答题自觉遵守考试规则，诚信考试，绝不作弊二、选择题（本题共15分，每小题3分）1．若12312,,,,a a a b b 均为四维列向量，且满足行列式1312,,,2=a a b a ，2231,,,3=a b a a ，那么行列式12312,,,+=a a a b b 。
（A ）5 （B ）-5 （C ）1 （D ）-1 2.具有零特征值是方阵不可逆的 。
（A ）充分条件，但不是必要条件 （B ）必要条件，但不是充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既非充分条件，也非必要条件3．若向量组1234,,,a a a a 线性无关，则下列向量组线性相关的是 。
（A ）1121231234,,,++++++a a a a a a a a a a（B ）12123434,,,-+-+a a a a a a a a （C ）12233441,,,++++a a a a a a a a（D ）1121231234,,,--+-+-a a a a a a a a a a 4．下列命题正确的是 。
06072线性代数试题B答案
2006-2007学年第二学期线性代数B 卷参考答案及评分标准一．填空题（本题满分15分，每小题3分）1、1；2、1-；3、11000410003100021000A -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；4、1；5、2- 二、选择题（本题满分15分，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）1、B ；2、A ；3、B ；4、B ；5、C三．计算行列式（本题满分6分） 解：(1)(1)(1) (1) n x n a x n a x n a x n aa x a a D aa x a aa a a x +-+-+-⋅⋅⋅+-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 111 1 ((1)) a xa a x n a a a x a a a a a x⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅…………2分111 1((1))00 0000x a a a x n a x a a x a ⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=+--⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-…………2分((1))()x n a x a =+--…………2分四．（本题满分8分）解： 由2E -=A AB ，得()E -=A A B ，而且 01100110111≠-=--=A因此矩阵A 可逆，且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-1001102111A ，…………3分所以，由()E -=A A B ，得1-=-A B A ，…………2分 因此， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=-0000001201001102111001101111A A B …………3分 五．（本题满分12分）解： 将方程组的增广矩阵A 用初等行变换化为阶梯矩阵：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=3421023210101324162214101λλλλλλA ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+--→100023210101λλλ …………4分 所以，原线性方程组的系数矩阵A 的秩为()2=A r ．当1≠λ时，其增广矩阵A 的秩为()3=A r ，因此此时原线性方程组无解．…………2分当1=λ时，()()2==A A r r ，故线性方程组有解．…………2分此时，上面的阶梯矩阵为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000012101101因此，原线性方程组的通解为⎩⎨⎧-=+-=1213231x x x x 其中3x 是任意实数．写成基础解系的形式，有⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011121321k x x x ，其中k 是任意实数．…………4分六．（本题满分8分）解：,21=λ时，由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1000100001202100002E A 得特征向量 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011ξ，…………2分,52=λ时，由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-0001100012202200035E A 得特征向量 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1102ξ，…………2分13=λ时，由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-000110001220220001E A 得特征向量 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1103ξ，…………2分把321ξξξ,,单位化得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011p ,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=212102p ,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=212103p ,得正交矩阵()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==2121021210001321p p p P ,,，使ΛAP P =T …………2分 七．（本题满分10分）解：二次型的矩阵21011121012A a a ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭…………2分 因此，二次型f 为正定二次型．⇔矩阵A 为正定矩阵．⇔矩阵A 的各阶顺序主子式全大于零．…………2分120D =>2211011D ==> 231||102D A a ==->…………4分a <2分八．（本题满分10分）解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3621036210362101111121345362100312311111 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→0000000000362102510100000000003621011111…………4分 所以向量组的秩为2; …………2分向量组的一个极大线性无关组为21,αα…………2分并且有2132ααα+-=; 21465ααα+-=;21532ααα+-=…………2分九．（本题满分10分）解 (I) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=311221001),,(),,(321321ααααααA , 可知 .311221001⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=B …………4分 （II ）因为321,,ααα是线性无关的三维列向量，可知矩阵],,[321ααα=C 可逆，所以 B AC C =-1，即矩阵A 与B 相似，由此可得矩阵A 与B 有相同的特征值. …………2分由0)4()1(3112210012=--=-------=-λλλλλλB E ，得矩阵B 的特征值，也即矩阵A 的特征值.4,1321===λλλ…………4分十、（本题满分6分）证明：[][]1234123411111111,,,,,,11111111ααααββββ---⎡⎤⎢⎥---⎢⎥=⎢⎥---⎢⎥---⎣⎦…………2分 111111110,11111111P P P ---⎡⎤⎢⎥---⎢⎥=≠⎢⎥---⎢⎥---⎣⎦设可逆…………2分 [][]11234123412341234123412341234,,,,,,,,,,,,,,,,,,,.,,,,P ββββααααββββααααααααββββββββ-=即可由线性表示向量组与等价由等价的向量组秩相等所以线性无关…………2分。
线性代数07年至今真题及答案
2007 04184 10 20 A 2|| A |2|1A D-4B -1C 1D 44218||2|2|131 A A A B = 4321 C =654321 BACB ABC BACCBAA n BA A TA A T AA TA T A )()()(T T T T T T T A A A A A A A A A A T 4 A =d c b a A * Aa cb d B a bcd Ca cb d Da b c d0133 C3310 B 3130 C 13110 D01311 A =500043200101 A D BDA m×n Ax =0 A AB A A D AAx =0 n A r )( AAx=b T )2,0,1(T )3,1,1( A r(A )=2k , k 1, k 2 Ck 1(1,0,2)T +k 2(1,-1,3)T B (1,0,2)T +k (1,-1,3)T (1,0,2)T +k (0,1,-1)T D (1,0,2)T +k (2,-1,5)TT )2,0,1( Ax=b T )1,1,0( Ax =0 Ax=b )( k (1,0,2)T +k (0,1,-1)TA =111111111 B4B 3C 2D 1111111111)3(111111333111111111||A El i w.t r a c k e r -s o f tw a r e C ck t o b u y NOW !w w.co m10 413121214321222),,,(x x x x x x x x x x x f C4B 3C 2D 1000000001110000100000000000111100001000100011111A10 2011 ,3,2,1,0 i b a i i 332313322212312111b a b a b a b a b a b a b a b a b a =__0__ 12 A =4321 |A T A |=__4__ 4)2(4321||||||||222A A A A A T T1300333232131323222121313212111x a x a x a x a x a x a x a x a x a __0__14 A =100020101E A B B r(B )= __2__ E A B =000010100 r(B )=215 V={x =(x 1,x 2,0)|x 1,x 2 __2__ 16 )3,2,1()1,2,3( ),( =__10__17 A 4×3 Ax =0 A r(A )= __3__18 Ax =b A1)1(0021201321a a a A a __0__0 a 2)( A r 3)( A r19 ),,(321x x x f 232221y y y3 r 2 k 123 k r 232221y y y20 A =300021011a a 1 a54217673679492493231230760300940200320100767367949249323123 22 A =523012101 1A100010001523012101103012001220210101127012001200210101 127012002200210202 1271151252000100022/112/71152/112/5100010001 1A2/112/71152/112/5 23 T )1,2,1,1(1 T )2,4,2,2(2 T )1,6,0,3(3 T)4,0,3,0(4),,,(4321 41210642302103214440000033000321 0000330044400321 0000110011100321 00001100001030210000110000103001321,, 4 321032400543321521x x x x x x x x x111000*********A 11100101001001101000101001001101000101001001155453225210x x x x x x x x x x 0001110101T T k k )1,0,1,0,1()0,0,0,1,1(2125 A =1221 P AP P 1)3)(1(324)1(1221||22A E11 3211 0)( x A E00112222A E 2221x x x x11121211121||1111 32 0)( x A E00112222A E 2221x x x x11221211121||122221212121P P30011AP P 26 0011101012001111012/12/10011210101||),(1211222l i w.t r a ck e r -s o f t w a r e C ckt o b u y NOW !w w.co m00 0027 A 1A332322131211000a a a a a a A3323133222123121111||1||1A A A A A A A A A A A A A 000332312a a A 00002213 a A 000121123 a a A3332223121111||1A A A A A A A A 2007 10 0418410 20 2211b a b a =1 2211c a c a =2 222111c b a c b a D -3B -1C 1D 3222111c b a c b a =2211b a b a +2211c a c a =1+2=3 A 2|2| A ||A B -1B 41C41 D 12|2| A 2||)2(3 A 41|| AA B C TABC )( B A T B T C T B C T B T A T C T A T B T D A T C T B TA4321)2(1A A D 2 4321B 432121C 214321 D 14321214321)2(1A 143212 A 1432121A s ,,,21 C s ,,,21 s ,,,21s ,,,21 s ,,,21A m×n Ax= A AB AA D AAx= n A r )( A21, Ax =b 21, Ax =0 1,C Ax =b A)()(212121121 C C B )()(212121121 C C )()(212121121 C C D )()(212121121 C C)(2121 Ax =b 211, Ax =0 A B A 2,2,3 ||1B A121B 71C 7D 12B300020002 12300020002|| B 121||||11 B BA 0|23| E A AB 23B 32C 32D 230|23| E A 032 A E A 3210312123222132142),,(x x x x x x x x x x f C104012421 B 100010421 C 102011211 D 12021101110 2011 A = 100012021 B = 310120001 A+2B =72025202312 A =002520310 1)(T A 002/1130250 ),(E A T10001000105302120000110001020*******001130010200010021001130250200010001002/1130250100010001 1)(T A002/1130250 13 A = 333022001 A *A =600060006l i w.t ra ck e r -s o f t w ar eC c k t ob uy NOW !w w .co m14 A m ×n C n A B =AC __r__B =AC C A B15 )1,1,1(31,31,31 16 T )1,1,1(1T )0,1,1(2 T )0,0,1(3 T )1,1,0( 321,,3210332211 k k k 001011111110321k k k110121321k k k k k k101321k k k 17320320321321321x x x ax x x x x x a =__2__02412141121200132132111a a a a 2 a18 A n A 1)2( A41 2 A 41)2(11)2( A 19 A =a a a 000103 a 30 a031 031322a a a0)3(00010323 a a aa a 30 a 202221212122),(x x x x x x f __2__301112111112A54211111112113114111630010201001100010001001102013001111111211311411122 )4,3,2,1()0,2,1,1( T ),(08440633042202110,2,1,14321 T50621),(23 A 21211b b a a A10211P 01102P 21AP P B 1B102111P011012P 111121P A P B =0110 2121b b a a 1021=2121a a b b 1021=12112122a a a b b b 24 T )3,1,1,1(1 T )1,5,3,1(2 T )4,1,2,3(3 T )2,10,6,2(4),,,(432124131015162312311 854012460412023110700070041202311 0000070041202311 0000010041202311 000001004020201100000100201020110000010020100001 321,,25223321321321ax x x x ax x a x x xa2112113111),(a a a b Aa a a a a 110010103111 1 a1 a ),(b A 00000000211133223212x x x x x x x10101100221k kl i w.t r a ck e r -s o f t w a r e C ckt ob uy NOW !w w.c o m26 A =011101110 110111)2(1111111)2(1212112111111||A E)2()1(221 132 21 0)( x A E000330211330330211112121211211121112A E000110101000110211333231xx x x x x 111 k k132 0)( x A E000000111111111111A E3322321x x x x x x x0111 10122211 k k 21,k k27 A n 0)(2 E A A0)(2E A 022 E A A E A A )2(2 E A E A )2(A )2(1E A A2007 0418410 20A |A |=21|A -1|= A -2 B 21 C21D 2A n ||A C||AB ||||AC ||A nD ||||A nA nB =A +A T A B T =BB B =2AB BTD B =0B A A A A A A A A B T T T T T T T T )()(A =1111 A * D1111 B 1111 C 1111 D 1111 Cl i w.t r a ck e r -s o f t w ar e C ckt o b u y NOW !w w.co m0001 B100101110 C101010001 D001300010)0,1,1(1 t )0,2,1(2 )1,0,0(23 ttBB 1C 2D 30)1)(1(2111)1(1021011222 t t t t t t 1 tA 4×5 (A )=3 DA 0B A A 0 D A A 021 23 (A )= B 0B 1C 2D 3A200000000D (A )= (D )=1 A n ||2A C -2B -1C 1D 2A E A A T22||||A A 1|||||| A A A A TT10 2.2),,(y x z y x f p BB 1C 2D 310 20 11 A =1121 ||TAA __1__ 1)1(1121||||||||22A A A AA T T121694432111 )2,3( 32A __-2__2421132A13 A =21 B =21 B A T__5__ 521)2,1(B A T1432125 )1,4,3(1 )3,0,1(2 )5,2,0( 3211,1,1211,1,1)11,2,2(21)]3,0,1(5)1,4,3()5,2,0[(213 l i w.t r a c k e r -s o f t w a r e C ck t o b u y NOW !w w.co m15 A =613101 =__2__ 613101 603001003001 =2 16 )1,1,1(1 )0,2,1(2 )0,0,3(3 3R )3,7,8()1,2,3(332211 x x x )0,0,3()0,2,1()1,1,1()3,7,8(321x x x37283121321x x x x x x123321x x x 170202121tx x x x t =__2__02211 t t2 t18 T )1,3,1(T )4,2,1( ),( __1__19 A =x 01010101 x =__1__A 0|| A 0111101010101 x xx1 x20 323121232221321822532),,(x x x x x x x x x x x x f541431112 5421 D=2101210124)26(21232112123021012101222 A = 3512 B =0231 XA =B X252610022501101220016101210013512),(E A25131001 25131A 26512251302311BA X l i w.t r a ck e r -s o f t w ar e C ckt o b u y NOW !w w.co m23 A =a 363124843121 a (A )=1 (A )=2 a 363124843121 900000003121a000090003121a 9 a (A )=1 9 a (A )=224 1 = 111 2 = 531 3 = 626 4 =542),,,(4321 565142312611 3126028402611142014202611000014202611 0000142041222 00001420580200002/12102/5401 1 ,225362232234232132321x x x x x x x x 362232203421),(b A 322032203421 000032203421000032200201 00002/31100201 333231232x x x x x x11202/30k261630310104A P D D AP P 1 2)1)(2(31104)1(1630310104|| A E21 13221 0)( x A E00013050300013001531300000511210510513630510102A El i w.t r a ck e r -s o f t w ar e C ckt o b u y NOW !w w.co m000333x x 1 132 0)( x A E0000000210210210210630210105A E3322212x x x x x x0122 1003101013/1023/5P 100010002D P D AP P 127 1 ,2 211 21202211 k k 0)()(212211 k k 0)()(221121 k k k k1 ,2002121k k k k 021111 1 ,2365, !2008 0418410 201. ,2 AA A T 3 D A.-108 B.-12 C.12 D.1082.0404033232321kx x x x x kx x k= B A.-2 B.-1 C.1 D.23. 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A=200200011,B=300220011 A,B,X (E-B 1 A).E X B T T X,X .1 (E-B1A).E X B T T()T TB A E X X= ()T TB A 1 =10021002001l i w.t ra ck e r -s o f t w ar eC ck t ob uy NOW !w w .co mX 1 =()T T B A =20002000124. 1 =(1,-1,2,4) 2 =(0,3,1,2), 3 =(3,0,7,14), 4 =(2,1,5,6), 5 =(1,-1,2,0) .10321103011301101101217520001142146000001 2 425.12x x 3x 3x 4x 523x 6x 2x 2x 2x 3x x x 2x 37x x x x x 54321543254321543211111171001516321132000000012262301026235433112001000145245351623260X X X X X X X12(16,23,0,0,0)(15,21,0,1,0)(11,17,0,0,1)T T T k k26. A=020212022 AP P 1 . AP P 1 =400010002 P=122212221 1 P =T P 122212221,627. 3 A x =0 . 1+ 1 + 2 + Ax =02008 0418410 20l i w.t r a ck e r -s o f t w a r e C ckt o b u y NOW !w w.co mD 1=620222555333231232221131211333131232121131111D a a a a a a a a a a a a a a a a a ad b a 04=32c b a C 3,1,1,3 d c b aB 3,1,3,1 d c b a 3,0,1,3 d c b aD 3,0,3,1 d c b a 3,0,4,2 d c b a b a 3,0,1,3 d c b aA A B000000111 B 000110111 C 000222111 D 333222111A n 2 n |5|A A||)5(A n||5A C ||5A ||5A nA = 4321||A B -4B -2C 2D 424321||||||121A A A ns ,,,21 2 s D s ,,,21 s ,,,21s ,,,21 1 ss ,,,21 1 s b Ax A 1 ,2 ,3 T )4,0,2(21 T )1,2,1(31k b Ax D T T k )1,2,1()2,0,1(B T Tk )4,0,2()1,2,1(T Tk )1,2,1()4,0,2( D TT k )3,2,1()2,0,1(b Ax T)2,0,1()(21210 Ax T )3,2,1()()(312132 A 2,1,1 D A E B A E C A E 2D A E 2 2 A 0|2| A E A E 2=2 A 12)( A A41 B21C 2D 41B 2C 3D 400001100001000011100110000100001A10 2011332313322212312111b a b a b a b a b a b a b a b a b a =__0__ 12 A =4321 P = 1011 T AP4723 T AP 43211101=4723 13 A =111110100 1A 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542110020001000000100020010000000300002110200010000001000200100000003000021 4102000100020100000030002141200210000030021 21202100023 *******2216223152A3421B 2512C X C B AX X10013152],[E A 01105231 211010312153100121531001 1A 2153BC 2512 3421= 1111 )(1B C A X 21531111=3182 23 )3,1,2,1(1 )6,5,1,4(2 )7,4,3,1(3),,(321TT T763451312141 10180590590141000000590141 0000005909369 00000059011090000009/5109/1101 21,24 b a ,3)2(321132132321b x a x x x x x x xl i w.t r a c k e r -s o f t w ar e C ckt o b u y NOW !w w.co m),(b A 323211101111b a 11011101111b ab a 10011101111 0,1 b a),(b A 000011101111 00001110020133323112x x x x x x 112010k2511713A)10)(4(401411713||2A E41 10241 0)( x A E00117711A E 2221x x x x11111 k 1k102 0)( x A E007/1100171717A E222171x x x x 17/1222 k 2k 262112A nA )3)(1(342112||2A E 11 32 11 0)( x A E001100111111A E 2221x x x x111 32 0)( x A E00111111A E 2221x x x x 1121111P 3001D111121212121211P D AP P 1 1 PDP A 1111)())(( P PD PDP PDP PDP A n n111121n 3001 1111n n 313121 1111n n n n 313131312127 0 Ax b Ax 0 b021 k k 0)(21 k k A 021 A k A k 0021 b k k 02 k 01 k 0 01 k l i w.t r a ck e r -s o f t w ar e C ckt o b u y NOW !w w.co m-9B -3C -1D 93131 A 31||313A 9|| A AB n 22B A DB AB B AC ||||B AD 22||||B AA = 1011B =1101 BA AB A1201B 1011 C1001D0000 BA AB 10111101 1101 1011= 11120111= 1201A A D0000 B 0001 C 0011D 1011 ),,(),,,(22221111c b a c b a ),,,(),,,,(2222211111d c b a d c b aB21, 21, 21, 21, 21, 21, 21, 21,132,121 Ax =0 A A)1,3,5( B112135 C 712321 D135221121 )1,3,5( 0121)1,3,5( 0132m ×n A r (A )=n -3 n >3 ,, Ax =0Ax =0 D,, B ,, C ,, D ,,,,A D =100010001 2A C AB DED EP D AP P11 PDP A E PP PEP P PD A 11122 A =001010100 A D0 B -1 1 C 1 D -1 -1)1()1()1)(1(11)1(0101010||22A E10 A n 2 n E A 2CA 1B A EA nD A 11||2 A 0|| A A n10 2011011103212 aa =__3__ 0)3(3323111103203111103212a a a a 3 a1202022121kx x x x k = __4__04221 k k4 k 13 A = 311102 B =753240 B A T19119753333 B A T311012753240= 19119753333 144212,0510,2001321t t =__3__000300110201000250110201402250110201t t t 3 t 15 )1,21,1,2( __5/2__16 )3,2,1(1 )6,5,4(2 )3,3,3(3 321,, 321,,__2__ l i w.t r a ck e r -s o f t w a r e C ckt o b u y NOW !w w.co m000630321630630321333654321 17 A 3,2,1||A __36__||A 36)321(||||221 A A n18 A 0,3321 r (A )= __2__A000030003 r (A )=219 A = 314122421 f =32312123222128432x x x x x x x x x 20 A =1002 Ax x T 2221y y222122212y y x x Ax x T 21x y 122x y5421 D =50210113210143219325310027126412227121641300012221502101132101432124)1527(29353222 A =2141 B = 1102 C =1013 X AXB =C X ),(E A 10012141 11016041 110360123112160036/16/13/23/16001 1A6/16/13/23/1)(E B 10011102 20012202 2101200212/102/11001 1B12/102/1 11CB A X6/16/13/23/1 1013 12/102/1= 114212110132101 = 03661212101= 031212121=04/111 l i w.t r a ck e r -s o f t w ar e C ck t o b u y NOW !w w.co m23 T )2,1,3( T )2,1,1(1 T )1,3,1(2 T )1,1,1(3332211 x x x T T T Tx x x )1,1,1()1,3,1()2,1,1()2,1,3(32122133321321321x x x x x x x x x A 211211313111413040403111413010103111 110010103111 110010103111110010102011110010101001 11 x 12 x 13 x321,, )1,1,1( 32124 321,, 311 32222 3213352321,, 0332211 k k k0)352()22()(3213322311 k k k 0)32()52()2(3321232131 k k k k k k k 321,,32052023213231k k k k k k k05252321520520321520201 321,,25322321321321 x x x x x x x x x),(b A 3112112113311001102112)1(3)2)(1(0001102112 2 1 11 ),(b A 00000000211133223212x x x x x x x10101100221k k l i w .t ra ck e r -s o f t w ar eC ck t ob uy NOW !w w .co m26 A = 111111111 P AP P 1111111111)3(113113113111111111|| A E)3(010101)3(2021 33021 0)( x A E000000111111111111A E3322321x x x x x x x0111 10121011112/12/101121101||),(1211222 02/12/101121||1111 6/26/16/112/12/162||122233 0)( x A E000330112330330112422242112211121112A E000110101000110202000110112333231x x x x x x 11133/13/13/111131||13333/16/203/16/12/13/16/12/1P300000000 P AP P 127 Ax =b r ,,,21 Ax =0r ,,,,2102211 r r k k k k 0)(2211 r r k k k k A 02211 r r A k A k A k kA 000021 r k k k kb 0 kbl i w.t r a ck e r -s o f t w ar e C ckt o b u y NOW !w w.co m0 b0 k ---------------------------------02211 r r k k k r ,,,21021 r k k k -------------- r ,,,,212009 0418410 204284103520z y x z y x z y x A2,0,2 z y x B 0,2,2 z y x 2,2,0 z y x D 1,0,1 z y x42841035201112100001020013421A A A B1423 B 1423 C 1243 D 1243 A 45 A =4 TA 5 C2B 3C 4D 5B A , n m k m A ),(B A CB DA A =3 0 Ax A 2B 3C 4D 55 n A 3 r 2 r nn m A 1 n 21, 0 Ax 0 AxD1 k R k B2 k R k C 21 k R k D )(21 k R k0 Ax21, 21 )(21 k R k b x A n m A =r r =m b Ax B r =n b Ax m =n b Ax D r <n b Ax r =m m A r b A r )(),( b Ax3000130011201111A A Cl i w.t ra ck e r -s o f t w ar eC c k t ob uy NOW !w w .co m1B 2C 3D 411 22343 11 22 343 0)( x A EA E0000100011101112 134 r n )2,2,1,4( B31B 51C 91D2515|||| 51||||110 22212135),(x x x x f D2221y y B 2221y y C 2221y y D 2221y y10 2011313522001_______________ 1315231352200112 )0,1,3( A530412B AB _______________AB )3,2(13 A 2||T A |3|A _______________|3|A 54227||27||)3(3 T A A14 )9,7,5,3( )0,2,5,1( _______________ )9,5,0,4()9,7,5,3()0,2,5,1(15333231232221131211a a a a a a a a a A000333232131323222121313212111x a x a x a x a x a x a x a x a x a_______________0|| A 0 Ax 0321 x x x16 b Ax642002101012001 _______________ ),(b A 321002*********4443424123221x x x x x x x x TT k )1,2,1,2()0,3,2,1( l i w .t ra ck e r -s o f t w ar e C ck t ob uy NOW !w w .c o m18 )1,2,1( ),1,0(y y _______________ 0),( 02 y 2 y19 ),,,(4321x x x x f 2423222123x x x x _______________20 ),,(321x x x f 32312123222142244x x x x x x x x x_______________4212411 A 011 D 0)2)(2(44122D 3122)2(322)2)(2(3224011421241123D0)1)(2(4 0)1)(2(0)2)(2(1222 125421 5333353333533335D112814200002000020333114533143531433514333145333353333533335D222/100110011A 011021B B AX X 1000100012/100110011).(E A 200010001100110011200210001100010011 200210211100010001200210211100010001 2002102111AB A X 1 20021021101102102123123100042853A030095201201B AB024253100042853||A AB AB24 )2,3,4,1(1 )1,4,5,2(2 )3,7,9,3(3379314522341321 323032302341000032302341 321,,25553204420432143214321x x x x x x x x x x x x553244211111A 331033101111 00003310111100003310220144334324313322x x x x x x x x x x 0132110322 26210120001A P AP P 1A||A E )34)(1(2112)1(2101200012)3()1(2121 33121 0)( x A EA E 110110000 000000110333211x x x x x x 0011p 1102p33 0)( x A EA E 110110002 000110001333210xx x x x 1103p110110001P P3000100011AP Pl i w.t r a ck e r -s o f t w ar e C ck t o b u y NOW !w w.co m27 321,, 211 322 133 321,0332211 k k k0)()()(133322211 k k k 0)()()(332221131 k k k k k k 321,,000322131k k k k k k021111110110101110011101||A0321 k k k 321,, 2009 10 2011101110|| ij a 21a 21A C 2B 1C 1D 21011121A22211211a a a a A121112221121a a a a a a B01101P 11012P A B A P P 21 B B A P P 12 C B P AP 21 D B P AP 12 1101011021A P P22211211222112110111a a a a a a a a B a a a a a a121112221121 n A B C E ABC 1B D11CA B 11A CC ACD CAE ABC E A B C 111CA B 1000100010A 2A BB 1C 2D 32A000000100000100010000100010 2A4321,,, 4 321,, 4321,,, C1B 2C 3D 4321,, 4321,,, 4321,,, 4321,,, Ali w.t ra ck e r -s o f t w ar e C ck t ob uy NOW!w w .c o m321,, 0 Ax B 2121,,B 133221,, 2121,,D 133221,,133221,,A3202B E A E C4101 B 4101 C 4201 D 4201 B A B AP P 1 B E P A E P )(14201B E A E120240002A Ax x x x x f T),,(321 D232221z z z B 232221z z z C 2221z z D 2221z z232212332222123322221)2(2)44(2442x x x x x x x x x x x x x 2221z z 10 )(ij a A A D0 B 1 C 2D 310 2011 696364232333231232221131211a a a a a a a a a 333231232221131211a a a a a a a a a _______________ 632323232323296364232333231232221131211333231232221131211333231232221131211 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 61333231232221131211 a a a a a a a a a 12 3D 3,2,11,2,3 3D _______________ 4132)2()3(12323222221213 A a A a A a D130121A E A A 22_______________112211201120)(222E A E A A14 A A 24321B A _____ B41125A l i w.t r a c k e r -s o f t wa r e C ckt o b u y NOW !w w.co m15333220100A 1A _______________001012103100020033001010100100220333100010001333220100),(E A00102/113/12/1010001001001012230100020006001012206100020066 1A00102/113/12/10 16 )1,1,(1a )1,2,1(2 )2,1,1(3 a ___________0363213103210311121112111 a a a a a aa 2 a17 T x )1,0,1(1T x )5,4,3(2 b Ax0 Ax _______________T x x )6,4,2(1218 A 2,1 T )1,1(1 T k ),1(2k ______________1 2 0),(21 01 k 1 k 19 A 3,2,0 B A ||E B _______________ E B 4,1,1 44)1(1|| E B20232221321)()(),,(x x x x x x x f A _______________2332222121321222),,(x x x x x x x x x x f110121011A5421 ||ija 4150231xx 12a 812 A21a 21A 8445012x x A 2 x 5)38(413221 A220111A 2011B X X B AX X X B AX B X A E )(13/113/1313131201121113120111112)(11B A E X23 T )3,1,1,1(1 T )1,5,3,1(2 T )4,1,2,3(3 T)2,10,6,2(4l i w.t r a ck e r -s o f t w ar e C ck t o b u y NOW !w w.co m。
华工2006-2007线性代数试题及解答
七、（4分）设矩阵，，+都是可逆矩阵，证明矩阵也是可逆矩阵。
《2007年线性代数B》参考答案
3 填空题 每个四分 （1） rankA=rank(A|B)=n
（2） （3）r=2 （4） 1 （5）0 二 选择题 (1) D (2) C (3) D (4) A
(5) B
当时，由，求得基础解系： 当时，由，求得基础解系： 当时，由，求得基础解系：
单位化： 令，则
若则。
六，证明 证：设， 则， 于是：, 即： 但，故 =0。
从而 =0。 但线形无关，因此全为0，于是b=0,由此知： 线形无关。
诚信应考,考试作弊将带来严重后果！
姓名
学号
学院
专业
座位号
(密封线内不答题)
D
A， 是维向量空间，
B， 是n-r维向量空间
C，是m-r维向量空间，
D， A，B，C都不对
（3）若n阶方阵A，B满足， ，则以下命题哪一个成立D C
A， ，
B，
C， ，
D，
（4）若A是n阶正交矩阵，则以下命题那一个成立：A
A，矩阵为正交矩阵，
B，矩阵 -为正交矩阵
C，矩阵为正交矩阵，
D，矩阵 -为正交矩阵
封………………………………………线……………………………………
线………………………………………
_____________ ________
华南理工大学期末考试
《 2006线性代数 》试卷B
1、 填空题（每小题4分，共20分）。 1． 已知正交矩阵P使得，则
2．设A为n阶方阵，是的个特征根，则det( )=
华南理工大学期末考试
2007—2008学年第一学期闽江学院线性代数考试试卷及答案(A)
装订线2007—2008学年第一学期闽江学院考试试卷（A ）适用年级专业：06电子商务本、07通信 考试形式：闭卷笔试考试课程：《线性代数》班级 姓名 学号一、（18 %）选择题：1、若31323432022,30221121x x y z yz+---==--则（ ）；(A) 6 (B) -6 (C) 0 (D) 无法确定 2、设n 阶方阵A B ，等价，则下列正确的是（ ）；（A ） A B = (B) A B =- (C) A B ≠ (D) 00A B ≠≠若，则必有；3、设256A A E O -+=，则A 的特征值只能是（ ）；(A) 2或3 (B) 1或－1 (C) 0或1 (D) －2或－3 4、n 元非齐次线性方程组Ax b =与其对应的齐次线性方程组0Ax =满足（ ）；（A ）若12,x x 为0Ax =的解，则12x x +也为Ax b =的解；（B ）若12,x x 为Ax b =的解，则121()2x x +也为Ax b =的解；（C ）若0Ax =有非零解，则Ax b =有唯一解； （D ）若0Ax =只有零解，则Ax b =无解.5、设,A B 为n 阶矩阵，且A 与B 相似，则下列选项中错误的是（ ）；(A)||E A E B λλ-=-； (C) ()()R A R B =；(B)A B =； (D) A 与B 有相同的特征值和特征向量. 6、设有向量组（I ）m ααα,,,21 和向量组（II ）s m βββααα,,,,,,,2121 ，则下列正确的是（ ）；(A ) 若（I ）线性无关，则（II ）线性无关; (B ) 若（II ）线性相关，则（I ）线性相关; (C ) 若（I ）线性相关，则（II ）线性相关； (D ) 即使（II ）线性无关，（I ）也未必线性无关.二、（12 %）填空题：1、若10122311A k ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，且()2R A =，则=k ；2、设A 为5阶方阵，且()2R A =，*A 为A 的伴随矩阵，则方程组*0A x =的基础解系所含解向量个数为______________；3、已知向量(2,1,4)T α=-与向量(1,2,)T x β=-正交，则x ＝ ；4、设12,,,s ααα 是n (n ≥s)元齐次线性方程组0=X A 的基础解系，则()R A = ；5、设A 为3阶方阵，且4A =-，则12A -=______________； 6、设21=λ是可逆矩阵A 的一个特征值,则矩阵()122()T A -必有一个特征值等于______.三、（50%）计算题：1、（8%）计算4阶行列式1211011211022031D---=-；2、（10%）设122012131A⎛⎫⎪=-⎪⎪⎝⎭，试求（1）1A-；（2）TAA.3、（12%）设有向量组()()121,2,1,0,2,1,1,3,T Tαα==--()31,0,3,1Tα=--，()40,2,0,3Tα=. 则（1）求该向量组的秩；（2）求该向量组的一个极大无关组;（3）且用该极大无关组表示其余向量.装订线4、(8%) 已知三阶矩阵A 的特征值为1-，2，2-，试求行列式*223A A A E +-+.5、(12%) 设实对称矩阵123213336A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则求一个正交的相似变换矩阵T 使A 化为对角矩阵.四、（10 %）讨论题：设线性方程组1231231232124551x kx x kx x x x x x +-=⎧⎪-+=⎨⎪+-=-⎩，则问（1）k 取何值时，该方程组无解、有唯一解、无穷多解？ （2）并在有无穷多解时，求出其所有解.装订线五、（10%）证明题：1、（6%）设向量组123,,ααα线性无关，且令向量组：1122232,23,βααβαα=+=+3313βαα=+. 则试证明向量组123,,βββ线性无关.2、（4%）如果矩阵A 满足24A A E O +-=，其中E 为单位矩阵，则试证明A E -可逆，并求()1A E --.装订线2007——2008学年 第一学期闽江学院期末考试试卷参考答案纸（A ）（教师专用）系 别： 任课教师：_______________ 考试科目：《线性代数》（06电子商务、07通信） 考试班级： 一、单项选择题（每小题3分，共18分）1．(B) 2．(D) 3．(A) 4．(B) 5．(D) 6．(C)二、填空题（每空2分，共12分）1. 12k =2．5 3．1- 4. n s - 5. 126. 2 三、计算题（共50分）1．解：121111021102011201120112110212*********120310233D -------==-=------ （4分） 1121120111301557233057--=--=-=-=--- （8分）2．解：(1)122100122100100746( )012010012010010212131001001111001111A E -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-→-→-- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以，1746212111A --⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭； （5分）（2）1221019290122132511312219111T AA -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-⋅=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭（10分）3．解：（1）1234121012101210210203220322(,,,)113003400011031303130000αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪----⎪ ⎪ ⎪=→→⎪ ⎪ ⎪----⎪⎪⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭12011005/30104/30104/3001100110000000-⎛⎫⎛⎫⎪⎪-- ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（6分） 所以，12341234{,,,}(,,,)3R R αααααααα==； （8分）（2）易得：123,,ααα为向量组1234,,,αααα的一个极大线性无关组； （10分）（3）且得：41235433αααα=-+。
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2006—2007学年第二学期闽江学院考试试卷（B ）适用年级专业：06级物理学-专业 考试形式：闭卷笔试考试课程： 线性代数班级 姓名 学号一、填空题. 10% 1.已知三阶行列式D 中第1行的元素自左向右依次为－1数余子式分别为3，4，－5，则三阶行列式D ＝____________________ 2.设A 为三阶矩阵，*A 为其伴随矩阵，已知A =-2,那么*A ＝___________ 3.如果向量组T 1(1,1,1)α=，T 2(1,2,1)α=, T 3(1,1,)t α=线性相关，则t ＝______4.已知五元齐次线性方程组AX=0，若它仅有零解，则系数矩阵A 的秩r （A ） ＝___________5.二次型的矩阵为100025053A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则123(,,)f x x x ＝__________________二、选择题. 20 %1．设n 阶行列式ij a 中等于零的元素个数大于2n n -，则此行列式ij a ＝_______A) -1 B) 0 C) 1 D) 1 或－12.若三阶行列式123123123x x x y y y z z z ＝－1，则三阶行列式123123123222222222x x x y y y z z z ---------＝_______A) –8 B) 8 C) –2 D) 2 3.若方阵A,B 皆为n 阶可逆方阵，则下列关系式中恒成立的是__________ A) 222(A+B)=A +2AB+B B) T T T (A+B)=A +B C) A+B =A +B D) -1-1-1(A +B)=A +B4.已知ABC 均为n 阶可逆矩阵，且ABC=I （I 为n 阶单位矩阵）,则下列结论必然成立的是_____ _____A) ACB=I B) BAC =I C) BCA=I D) CBA=I 5.设n 阶方阵A,B 满足A(B-I)=0,则必有___________ A) A=0或B=I B) A+B=I C) 当A ≠0时，有B=ID) A =0或B I 0-=6.若线性方程组AX=B 的增广矩阵A 经初等行变换化为A 2412302001λλλλλ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭→--当常数λ＝_________时，此线性方程组有惟一解。
A) -1 B) 0 C) 1 D) 27.若0X 为齐次线性方程组AX=0的解，1X 为非齐次线性方程组AX=B(B ≠0)的解，则0132X X +为线性方程组_______的解。
A) AX=B B) AX=2B C) AX=3B D) AX=5B 8．向量组1α,2α,…s α线性无关的充分条件是________ A) 1α,2α,…,s α均不是零向量B) 1α,2α,…,s α中有一部分向量线性无关C) 1α,2α,…,s α中任意一个向量均不能由其余s －1个向量线性表示 D)有一组数120k k k s ====…，使11220k k k s s ααα+++=…9．设矩阵A ＝311201112⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭--，则A 的对应于特征值2λ=的一个特征向量装订线α＝______A) 101⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ B) 101⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭- C) 110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ D) 011⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭10．下列各矩阵中，不是正交矩阵的为_______A) 1001⎛⎫ ⎪⎝⎭ B) cos sin sin cos θθθθ⎛⎫⎪⎝⎭-C) 1212⎫⎪ ⎝-D) 112⎛⎪ ⎪⎪⎝⎭-三、计算下列行列式 . 12%1．1111111111111111x x y y+-+-=2. 01110011000011111- - - ……………………四、计算题. 8%设A为三阶矩阵，且18A =，求11*83A A ⎛⎫ ⎪⎝⎭--五、计算题. 8%设101020101A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=，135221B ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭=，矩阵X 满足AX X B +=，求X .六、计算题. 8 %若齐次线性方程组1234123412341234000x x x kx x x kx x x kx x x kx x x x ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩--+=-++-=-++-=--+= 有非零解，求k 的值.七、证明： 10%设1α,2α,3α线性无关，又11232βααα=-+，223βαα=-，312323βααα=-+，则向量组123,,βββ线性相关.八、计算题. 12%已知实对称矩阵142454241A ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭-=-，求正交矩阵Q ，使得-1Q AQ 为对角矩阵，并写出此对角矩阵.九、证明： 12%（1）可逆矩阵A 如果有特征值，则它的特征值不等于0 ； （2）若λ是可逆矩阵A 的特征值，则1λ是1A -的特征值,且A λ为A 的伴随矩阵*A 的特征值.2006—2007学年第二学期闽江学院考试试卷答案（B ）适用年级专业：06级物理学专业 考试形式：闭卷笔试考试课程： 线性代数班级 姓名 学号一、填空题. 10%1. －9，2. 4，3. 1，4. 5，5. 222123232310x x x x x +++二、选择题. 20 %6. D)7. B) 8． C) 9． C) 10． D)三、计算下列行列式 . 12% 解： 1.122111110011111111(1)(1)111111*********10001111101110110111011x x x x x r r c c y y yy x x xx y y yy+--+⨯-+⨯-++---- ⋅++--按第一行展开按第一列展开（4分）2222211([(1)(1)1](11)11y x x x y y x y x y y+⋅-=-⋅+--=---=-）. （6分）2.1011111111001110111(1)(1)00001000111111n n+-----⋅-⋅---……按第一列展开………………… （4分）2121(1)(1)(1)1n n n +-+=-⋅-=-=-. （6分）四、计算题.8%设A 为三阶矩阵，且18A =，求1*183A A -⎛⎫- ⎪⎝⎭.解：*1118A A A A --==, （2分） 1*11118332A A A A A ----⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ = （5分） 3128864A A- =1=8=⨯= (8分). 五、计算题.8%设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101020101A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=122531B ，矩阵X 满足B X AX =+，求X .解：由B X AX =+，得B X A =+)I ( （1分）)|I (B A +⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=122531*********⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→312512102030201⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→132512300030201装订线⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→313235112100010201⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→3132353510100010001 （7分） 所以,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3132353510X （8分）六、计算题8 %若齐次线性方程组12341234123412340000x x x kx x x kx x x kx x x kx x x x --+=⎧⎪-++-=⎪⎨-++-=⎪⎪--+=⎩ 有非零解，求k 的值.解：齐次线性方程组的系数行列式为213141211232222221111111111001*********()11101110110111(1)101(1)1011111111011(1)11(1)1(1)0111k kr r k k k D r r k k k r r k k k k k k k k k k k r r k k k k k k k k k k k +----+⨯---+=+⨯----+⨯--------⋅---=--+⨯---------⋅⋅----+按第一列展开（）按第一列展开212222222311111(1)[111](1)(23)(1)(23)(1)(3)k k k k k k k k k k k k k k k +---+=----+-+=----+=-+-=-+ （4分）要使次齐次线性方程组有非零解0D ⇔=， （6分） 即3(1)(3)013k k k k -+=⇒==-或. （8分）七、证明题：10%设1α,2α,3α线性无关，又11232βααα=-+，223βαα=-，312323βααα=-+，则向量组123,,βββ线性相关.证明：设有数1,2,3x x x ，使得1122330x x x βββ++=， （1分） 由已知条件11232βααα=-+，223βαα=-，312323βααα=-+，将它们代入上式，得11232233123(2)()(23)0 x x x αααααααα-++-+-+= （2分） 整理得131********(2)()(23)0x x x x x x x x ααα++-+-+-+= （4分） 由于1α,2α,3α线性无关，故必有13123123200230x x x x x x x x +=⎧⎪-+-=⎨⎪-+=⎩ (*) （6分） 此方程组的系数行列式为213231121212(1)111011(1)0110(2)213011000r r r r r r +⨯----+⨯---=+⨯----， （8分）故（*）式方程组必有非零解，所以1,2,3x x x 不全为零，所以，向量组123,,βββ线性相关. （10分）八、计算题12%已知实对称矩阵142454241A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，求正交矩阵Q ，使得-1Q AQ 为对角矩阵，并写出此对角矩阵.解：1）矩阵A 的特征多项式为13311122142342454(1)054241341142142(3)0541(3)05414108154(3)1(1)(3)(627)(3)(9)81c c r r E A λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ++--+--=---+⨯-----+---+----=+⋅--+⨯ +⋅----+----+⋅⋅-=+⋅--=+----按第一列展开（2分）2）12303,9E A λλλλ=⇒==-=-，即为矩阵A 的特征值; （4分） 对于123λλ==-，解方程组(3)0E A X --=,得其基础解系为12211,001αα--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， （6分）把12,αα正交化，有21112211121/5(,)1,2/5(,)01αββαβαβββ--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪===-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再把12,ββ单位化，得1212125305,06ββγγββ⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， （8分）对于39λ=，解方程组(9)0E A X -=，得其基础解系为3121α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，把3α单位化，得333636αγα⎫⎪==⎪⎪⎪⎭， （10分）3)记11235306300(,,)53,030000966Q Q AQ γγγ-⎛⎫--⎛⎫⎪ ⎪===- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.九、证明：12%（1）可逆矩阵A 如果有特征值，则它的特征值不等于0 ； （2）若λ是可逆矩阵A 的特征值，则1λ是1A -的特征值,且Aλ为A 的伴随矩阵*A 的特征值.证明：(1)(反证法)假设A 有一个特征值0λ=，则0A αλα==,(α为A 对应于λ的特征向量)， （1分）由于A 可逆，所以10AA α-=,则0α=， （2分）但由定义知特征向量不为零向量，所以假设不成立. （3分）(2)因为λ是可逆矩阵A 的特征值，设α为A 对应于λ的特征向量，即A αλα=， （4分）由于A 可逆，则111AA A A αλααλα---=⇒=， （6分）所以1A ααλ-=，（由（1）知0λ≠），则1λ是1A -的特征值; （7分）因为**11A A A A A Aαα=⇒=－－, （9分）又因为1A ααλ-=，所以*A A ααλ=， （11分）即*AA ααλ=，所以Aλ为A 的伴随矩阵*A 的特征值. （12分）。