微分几何第四版答案(三)曲面的第二基本形式

§3曲面的第二基本形式

1. 计算悬链面r ={coshucosv,coshusinv,u}的第一基本形式,第二基本形式.

解 u r ={sinhucosv,sinhusinv,1},v r

={-coshusinv,coshucosv,0} uu r ={coshucosv,coshusinv,0},uv r

={-sinhusinv,sinhucosv,0},

vv r ={-coshucosv,-coshusinv,0},2u r E == cosh 2u,v u r r F

⋅==0,2v r G ==cosh 2u.

所以错误!未找到引用源。 = cosh 2u 2du + cosh 2u 2dv .

n =

2

F E

G r r v u -⨯ =

}sin sinh ,sin cosh ,cos cosh {cosh 1

2

v u v u v u u

--, L=11

sinh cosh 2

-=+-

u , M=0, N=

1

sinh cosh 2

+u =1 .

所以错误!未找到引用源。 = -2du +2dv 。

2. 计算抛物面在原点的2

2212132452x x x x x ++=第一基本形式,第二基本形式.

解 曲面的向量表示为}22

5,,{22212121x x x x x x r ++= ,

}0,0,1{}25,0,1{)0,0(211=+=x x r x ,}0,1,0{}22,1,0{)0,0(212=+=x x r x ,}5,0,0{11=x x r

, }2,0,0{21=x x r ,}2,0,0{22=x x r

, E = 1, F = 0 , G = 1 ,L = 5 , M = 2 , N =2 ,

错误!未找到引用源。=2221dx dx +, 错误!未找到引用源。=2

22121245dx dx dx dx ++.

3. 证明对于正螺面r ={u v cos ,u v sin ,bv},-∞

解 },cos ,sin {},0,sin ,{cos b v u v u r v v r v u -==

，uu r ={0,0,0},

uv r ={-uucosv,cosv,0},vv r ={-ucosv,-usinv,0},12==u r E ，0=⋅=v u r r F

，

222b u r G v +==

， L= 0, M =

2

2

b

u b +- , N = 0 .所以有EN - 2FM + GL= 0 .

4. 求出抛物面)(2

1

22by ax z +=

在(0,0)点沿方向(dx:dy)的法曲率. 解 }0,0,1{},0,1{)0,0(==ax r x ,}0,1,0{},1,0{)0,0(==by r y ,},0,0{a r xx =

,}0,0,0{=xy r },0,0{b r yy = ,E=1,F=0,G=1,L=a,M=0,N=b,沿方向dx:dy 的法曲率2

222dy

dx bdy adx k n ++=. 5. 已知平面π到单位球面(S)的中心距离为d(0

解 设平面π与(S) 的交线为(C), 则(C)的半径为21d -,即(C)的曲率为

2

11d k -=

,又(C)的主法向量与球面的法向量的夹角的余弦等于±21d -,所以

(C)的法曲率为n k k =±21d -=±1 .

6. 利用法曲率公式I

II

k n =,证明在球面上对于任何曲纹坐标第一、第二类基本量成比例。

证明 因为在球面上任一点处，沿任意方向的法截线为球面的大圆，其曲率为球面半径R 的倒数1/R 。即在球面上，对于任何曲纹坐标(u,v)，沿任意方向du:dv

R Gdv

Fdudv Edu Ndv Mdudv Ldu I II k n 1222

222=++++==或-R 1，所以)1(R G N F M E L ===，即第一、第二类基本量成比例。

7．求证在正螺面上有一族渐近线是直线，另一族是螺旋线。 证明对于正螺面r ={u v cos ,u v sin ,bv}，

},cos ,sin {},0,sin ,{cos b v u v u r v v r v u -== ，uu r ={0,0,0}，vv r ={-ucosv,-usinv,0}，

L=

2

),,(F

EG r r r uu v u -

=0, N=

2

),,(F

EG r r r vv v u - =0 .所以u 族曲线和v 族曲线都是渐近线。而u

族曲线是直线，v 族曲线是螺旋线。

8. 求曲面2xy z =的渐近线.

解 曲面的向量表示为},,{2xy y x r =

,},,0,1{2y r x + }0,0,0{},2,1,0{==xx y r xy r ,

22224241,2,41},2,0,0{},2,0,0{y x r G xy r r F y r E x r y r y y x x yy xy +===⋅=++===

. 4

2

2

4

2

2

412,412,0y

y x x N y

y x y M L ++=

++=

=.

渐近线的微分方程为222Ndy Mdxdy Ldx ++,即,0242=+xdy ydxdy 一族为dy=0, 即

1c y =,1c 为常数. 另一族为2ydx=-xdy, 即.,,ln 222为常数或c c y x c y x ==.

8. 证明每一条曲线在它的主法线曲面上是渐近线.

证 在每一条曲线(C)的主法线曲面上,沿(C)的切平面是由(C)的切向量与(C)的主法向量所确定的平面,与曲线(C)的密切平面重合,所以每一条曲线(C)在它的主法线曲面上是渐近线.

方法二：任取曲线:()r r s Γ=，它的主法线曲面为:(,)()()S s t r s t s ρρβ==+，

()()()(1)s s t s t t t ραβακατγκατγ=+=+-+=-+，t ρβ=，(1)s t t t ρρκακγ⨯=-+-

在曲线Γ上，t = 0 , s t ρργ⨯=,曲面的单位法向量s n EG γ==-，即n γ=，

所以曲线Γ在它的主法线曲面上是渐近线.

9. 证明在曲面z=f(x)+g(y)上曲线族x=常数, y=常数构成共轭网.

证 曲面的向量表示为 r ={x,y, f(x)+g(y)},x=常数,y=常数是两族坐标曲线。

},0,1{'f r x = ,},1,0{'g r y

.''''{0,0,},{0,0,0},{0,0,},xx xy yy r f r r g ===

因为0xy r r M r EG ⨯=⋅

=-,所以坐标曲线构成共轭网，即曲线族 x=常数, y=常数

构成共轭网。

11.确定螺旋面r ={u v cos ,u v sin ,bv}上的曲率线. 解

}

,cos ,sin {},0,sin ,{cos b v u v u r v v r v u -==

，

uu

r ={0,0,0}，