微分几何第四版答案(三)曲面的第二基本形式
微分几何习题及答案解析
第一章 曲线论§2 向量函数5. 向量函数)(t r具有固定方向的充要条件是)(t r×)('t r= 0 。
分析：一个向量函数)(t r一般可以写成)(t r=)(t λ)(t e的形式，其中)(t e为单位向量函数，)(t λ为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。
证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t λ)(t e ，若)(t r具有固定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r =)('t λe ，所以 r ×'r=λ'λ（e ×e ）=0 。
反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t λ)(t e 求微商得'r ='λe +λ'e ，于是r×'r =2λ（e ×'e ）=0 ，则有 λ = 0 或e ×'e =0 。
当)(t λ= 0时，)(t r =0 可与任意方向平行；当λ≠0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e2)＝2'e ，（因为e具有固定长， e ·'e = 0） ，所以 'e =0 ，即e为常向量。
所以，)(t r 具有固定方向。
6．向量函数)(t r平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。
分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n，使)(t r ·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r的关系。
微分几何课后答案
r r r r r r r r r 量，且 r (t ) · n = 0 。两次求微商得 r ' · n = 0 ， r ' ' · n = 0 ，即向量 r ， r ' ， r ' ' r r r r 垂直于同一非零向量 n ，因而共面，即（ r r ' r ' ' ）=0 。 r r r r r r r r r r r r 反之, 若（ r r ' r ' ' ）=0，则有 r × r ' = 0 或 r × r ' ≠ 0 。若 r × r ' = 0 ，由上题
}
1．求圆柱螺线 x =a cos t ， y =a sin t ，
解 r ' ={
r
-a sin t ,a cos t ,b}, r ' ' ={-a cos t ,- a sin t ,0
y − a sin t a cos t − a sin t
r
所以曲线在任意点的密切平面的方程为
x − a cos t − a sin t − a cos t
r r r r | r '×r ' ' | 2a 2 cosh t 1 = r '×r ' ' = a{− sinh t , cosh t ,−1} ，所以 k = r 3 = 3 | r '| 2a cosh 2 t ( 2a cosh t )
29
微分几何主要习题解答
τ=
r r r (r ' , r ' ' , r ' ' ' ) a2 1 = = r r 2 4 2 (r '×r ' ' ) 2a cosh t 2a cosh 2 t
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第一章曲统论§2向虽函敎缶向试曲数只/)具冇固定方向的充雯条件衆产⑺X ?'(/)= 0・分析：一个向量函数只刀•般可以写成尺/)二久⑺2(/)的尬式’其中乳0为单位向量函数‘ 粗刀为数量函数.那么尺”具有因宦方向的充要条件是只"具有固宦方向*即罠/)为常向量, (例为秋/)的长度固定人证对F向虽函数？(/),设机/)为梵单位向負则尺f)二几⑺&⑺，若疋具有園定方向1 如巩“对常向殳’那么?(/) = A r(/) e ,所以rX7 = ^ ｝：<^X ) =o・反 Z,若?x?=0 ★对 ^(/) = A(/) e(/)求 A 1i+A 0・rft?XF=A1〔3><了)”6・则有Z 7 或e\e'=Q时* ?(^) = 0可与任意方向平杜hZ * 0 时，有&x 0—6.血(Ex 0 ~(e e* )2-e,2t (因为$ 貝冇固运匕t所以?=O.即P为常向第。
所以，r(/)A有固运方向.6.向绘歯数半行于固立屮面的充摆杀件是(F尹产)司卩分析:向呈诵数？W平If于固定平面的充要余件是存在•牛定向向蚩50*使？(心 = 0 ,所以我们蹩耳求这个向旅亓及万与尹.严的尢系"证若尺刀半苻于個址羊面—设乔足¥面斗的•个单位迖向嵐则习为常向議H?(/) 7t-0 -两次求微商色尸7 =0・?y 7i=0 ,即问最孑，戸‘唾直于同•非零向輦无因而典而*即(F戶尹')刃.反之，若(? r1 F M) =0i则有r x ?=6戒产x戸工6 .若产x? = 0i由匕题柯产(/) 具冇■的崔方向、白然半fr于一固宦半面，若rx? H 0(则存圧数母焰数入(“、H&n使戸'= 乔*尹①令聞*厂桁丰6,且;V)丄讯/)* 4^7 X?求微商井将①式代入得用=Fx P*—/I t r X r1)—p f是x ^' —6 .市上题划另4fhM眾方向，而F(f)丄苑即巩f) 平存于固進半而S3曲线的概念1-求圆柱螺^T=cosr- ,F=sinr, f *在(1Q 0)的切线和注平面。
§23_曲面的第二基本形式
L = r uu · n = −r u · n u = √M = r u v · n = −r u · n v = −r v · n u = √ N = r vv · n = −r v · n v = √§2.3 曲面的第二基本形式2.3.1 第二基本形式前面我们引进出了曲面的第一基本形式 I , 研究了曲面的一些内蕴性质, 即只依赖于曲 面本身, 而不依赖于曲面在空间中如何弯曲的几何性质. 在理论和实际应用中, 必须考虑曲 面在空间中的弯曲程度, 为此, 我们将引进曲面的另一个二次微分式.对正则 C k (k ≥ 2) 曲面 S : r = r (u, v ) , 单位法向量 n =r u ×r v|r u ×r v |作为参数 u, v 的函数,其微分表示为 dn = n u du + n v dv . 由于 0 = d (n · n ) = 2n · dn , 所以 dn 是切平面中的向 量. 令 II = −dr · dn , 称 II 为曲面 S 的 第二基本形式. 下面我们首先计算第二基本形式的 参数表示. 由于 dr = r u du + r v dv , 所以II = −dr · dn= −(r u du + r v dv ) · (n u du + n v dv )= Ldu 2 + 2Mdu dv + Ndv 2,其中 L = −r u · n u , M = −(r u · n v + r v · n u )/2, N = −r v · n v , 它们作为参数 u, v 的函 数, 称为曲面 S 的第二基本形式系数.由于 r u · n = 0, r v · n = 0, 两式分别关于 u, v 求偏导数, 我们有r uu · n + r u · n u = 0, r vu · n + r v · n u = 0,因此第二基本形式系数可以表示为r uv · n + r u · n v = 0, r vv · n + r v · n v = 0,(r uu , r u , r v ) EG − F 2, (r uv , r u , r v ) EG − F 2,(r vv , r u , r v )EG − F 2.另外, 因为 n · dr = 0 , 微分便得 d 2r · n = −dr · dn , 于是我们得到曲面的第二基本形式的 以下三种等价的表示II = Ldu 2 + 2Mdudv + Ndv 2= n · d 2r = −dr · dn.78+ g 2+ g 2f+ g 2f【例 1】 对平面, 因法向量 n 为常向量, 所以 II = −dn · dr ≡ 0.对中心径矢为 r 0, 半径为 a 的球面, 因其单位法矢量 n = a 1 (r − r 0) 或 n = a 1 (r 0 − r ), 于 是 II = −dn · dr = ± a 1 I .【例 2】 求旋转曲面 r (u, v ) = {f (v ) cos u, f (v ) sin u, g (v )} 的第二基本形式. 【解】 直接计算得到以下各量r uu = {−f cos u, −f sin u, 0}, r uv = {−f sin u, −f cos u, 0}, r vv = {f cos u, f sin u, g },n =f1 2{g cos u, g sin u, −f },因此L = r uu · n =−fg 2,M = r uv · n = 0, N = r vv · n =f g − f g 2.【例 3】 求曲面 z = f (x, y ) 的第二基本形式.【解】 我们知道: 曲面 z = f (x, y ) 可以写成向量形式r (u, v ) = {u, v, f (u, v )},直接计算得到以下各量r u = {1, 0, f u },r v = {0, 1, f v }, n =r u × r v |r u × r v |= 1 1 + f u 2 + f v 2{−f u , −f v , 1},r uu = {0, 0, f uu }, r uv = {0, 0, f uv }, r vv = {0, 0, f vv },因此L = n · r uu =M = n · r uv =N = n · r vv =f uu 1 + f u 2 + f v 2f uv 1 + f u 2 + f v 2f vv 1 + f u 2 + f v 2,,,79= [dr + d 2r + o (du 2 + dv 2)] · n= dr · n + d 2r · n + o (du 2 + dv 2)= II + o (du 2 + dv 2)曲面 z = f (x, y ) 的第二基本形式是II =1 1 + f u2 + f v 2[f uu du 2 + 2f uv dudv + f vv dv 2].2.3.2 第二基本形式的几何意义−−→对曲面 S : r = r (u, v ) 上的给定点 P (u, v ) 及其邻近点 Q (u + du, v + dv ) , 令 d = P Q · n ,−−→即位移向量 P Q 在点 P 处单位法向量 n 方向上的投影. |d| 即从 Q 点到 P 点切平面的垂直距 离, 而 d 的正负号依赖于 Q 点是位于 P 点切平面的一侧或另一侧, 换句话说, d 的正负号反 映曲面 S 在 P 点处的弯曲方向. 利用向量形式的 Tayloy 展开式及事实 n · r u = 0, n · r v = 0,有−−→ d = P Q · n = (r (u + du, v + dv ) − r (u, v )) · n 12 1212−−→由此可见, II 代表起点在 P 的位移向量 P Q 在法向量上投影的主要部分的二倍, 它描 述了 Q 点在法方向上相对于 P 的改变, 即描述了曲面在 P 0 点附近弯曲的状况.【例 4】容易验证平面 r (u, v ) = {u, v, 0} 与圆柱面 r (u, v ) = {cos u, sin u, v} 具有相同的第一基本形式 du 2 + dv 2, 但平面的第二基本形式 II ≡ 0 , 而圆柱面的第二基 本形式 II = −du 2, 这表明它们在空间中的形状完全不同(事实正是如此).与第一基本形式 I 不同, 曲面的第二基本形式II 作为 (du, dv ) 的二次型, 当 LN − M 2 > 0 时是正定或负定; 当 LN − M 2 < 0 时是不定的; 而当 LN − M 2 = 0 时是退化 的.下面定理表明, 第二基本形式在一点的值与这点邻近曲面形状的关系. 定理 3.1曲面上, 使第二基本形式正定或负定的点邻近, 曲面的形状是凸的(或凹的, 由法向选取决定); 在第二基本形式不定的点邻近, 曲面是马鞍型的.证明 设 P 0(u 0, v 0) 是曲面 S : r = r (u, v ) 上的任一取定点, 我们考察到 P 0 点切80平面的高度函数f(u, v) = (r(u, v)− r(u0, v0)) · n(u0, v0),由于f u = r u · n(u0, v0), f v = r v · n(u0, v0),所以f u(u0, v0) = f v(u0, v0) , 即(u0, v0) 是f的临界点. 在这一点, 高度函数f的二阶导数方阵(Hessian矩阵)为f uu f uv f vu f vv (u0, v0) =LMMN(u0, v0).因此, 当第二基本形式II在点(u0, v0) 正定或负定时, f(u0, v0) = 0 是最大值或最小值, 这说明曲面S的形状是凸或凹的(如图2(1)). 而当第二基本形式II在点(u0, v0) 既非正定也非负定时, f(u0, v0) = 0 既不是最大值也不是最小值, 因而曲面S在这点附近是马鞍型(如图2(2)).根据上述定理, 我们对曲面上的点进行如下分类:(1) 椭圆点—使LN − M 2 > 0 的点. 在椭圆点处, 第二基本形式沿任何方向都不变号, 而且曲面在椭圆点邻近总位于切平面的一侧(如图2(1)).(2) 双曲点—使LN − M 2 < 0 的点. 在双曲点的切平面上, 有通过该点的两条直线将切平面分成四部分, 第二基本形式在这四部分或为正, 或为负, 而沿这两条直线, 第二基本形式为零. 曲面在双曲点邻近位于切平面的两侧(如图2(2)).(3) 抛物点—使LN − M 2 = 0 , 且L2 + M 2 + N 2 = 0 的点. 在抛物点的切平面81du ¯ = ∂u ¯ du + ∂u ¯ dv, ¯ v v ¯ v ¯ ¯ ¯ v v ¯ ¯ v ¯ u v ¯上, 有通过该点的惟一一条直线, 沿这条直线, 第二基本形式为零; 而沿其它任何方向 第二基本形式都不变号(如图2(3)).(4) 平点 — 使 L = M = N = 0 的点.【例 5】对环面 r (θ, φ) = {(b + a sin φ) cos θ, (b + a sin φ) sin θ, a cos φ} , 其中a <b 是正常数, 参数 0 ≤ θ, φ ≤ 2π . 直接计算知L = r uu · n = (b + a sin φ) sin φ, M = r uv · n = 0, N = r vv · n = a,而且LN − M 2 = a (b + a sin φ) sin φ,注意到第二基本形式系数只依赖于参数 φ , 即沿参数曲线 φ = φ0 , 第二基本形式系数 为常数. 又因为 0 < a < b, a (b + a sin φ) > 0 , 所以 LN − M 2 与 sin φ 同号. 最后我们 得到环面上点的如下分类(如图3):(1) 参数 φ 满足 0 < φ < π 的点是椭圆点(对应环面的外侧点); (2) 参数 φ 满足 π < φ < 2π 的点是双曲点(对应环面的内侧点); (3) 参数 φ = 0 及 φ = π 的点是抛物点(对应环面的内外侧交界点).2.3.3 第二基本形式的性质 定理 3.2在容许相差一个正负号的意义下, 第二基本形式 II 与曲面 S 上正则参数 (u, v ) 的选取无关.证明 设 r = r (u, v ) 和 r = r (¯u, v ¯) 是曲面 S 的两个不同参数表示, 相应的单位法 向量分别为 n 和 n . 利用下面两组等式∂u ∂vd ¯ = ∂u du +∂v dv,及r u = r u ∂u + r ¯ ∂u , r v = r u ∂v + r ¯ ∂v ,82¯ ¯ ¯ ¯容易验证, dr = dr (或者直接利用一阶微分形式的不变性), 同理有 dn = ±dn (正负 号依赖于参数变换 (u, v ) → (¯u, v ¯) 是同向或反向参数变换). 因此dr · dn = ±dr · dn,即在同向参数变换下, 第二基本形式不变, 而在反向参数变换下, 第二基本形式改变 符号.定理 3.3 下改变符号.曲面的第二基本形式在 R 3 的刚性运动下不变; 而在 R 3 的反刚性运动证明 设 f : f (P ) = P · T + P 0 是 R 3 的任一刚性或反刚性变换, 曲面 S : r =r (u, v ) 在 f 下的像为 S ∗ : r ∗(u, v ) = f ◦ r (u, v ). 则r ∗u × r ∗v =(r u × r v ) · T , 当 det T = 1, −(r u × r v ) · T , 当 det T = −1,因此我们有 n ∗ = sgn(det T ). 又因为 dr ∗ = dr · T , 所以II ∗ = −dr ∗ · dn ∗ = −sgn(det T ) (dn · T ) · (dr · T ) = sgn(det T )II.注意到 det T = 1 或 −1 分别表示 f 是刚性运动或反刚性运动, 所以定理得证.83。
微分几何习题及答案解析
第一章 曲线论§2 向量函数5. 向量函数)(t r具有固定方向的充要条件是)(t r×)('t r= 0 。
分析：一个向量函数)(t r一般可以写成)(t r=)(t λ)(t e的形式，其中)(t e为单位向量函数，)(t λ为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。
证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t λ)(t e ，若)(t r具有固定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r =)('t λe ，所以 r ×'r=λ'λ（e ×e ）=0 。
反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t λ)(t e 求微商得'r ='λe +λ'e ，于是r×'r =2λ（e ×'e ）=0 ，则有 λ = 0 或e ×'e =0 。
当)(t λ= 0时，)(t r =0 可与任意方向平行；当λ≠0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e2)＝2'e ，（因为e具有固定长， e ·'e = 0） ，所以 'e =0 ，即e为常向量。
所以，)(t r 具有固定方向。
6．向量函数)(t r平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。
分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n，使)(t r ·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r的关系。
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第一章 曲线论§2 向量函数5. 向量函数)(t r具有固定方向的充要条件是)(t r×)('t r= 0 。
分析：一个向量函数)(t r一般可以写成)(t r=)(t λ)(t e的形式，其中)(t e为单位向量函数，)(t λ为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。
证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t λ)(t e ，若)(t r具有固定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r =)('t λe ，所以 r ×'r=λ'λ（e ×e ）=0 。
反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t λ)(t e 求微商得'r ='λe +λ'e ，于是r×'r =2λ（e ×'e ）=0 ，则有 λ = 0 或e ×'e =0 。
当)(t λ= 0时，)(t r =0 可与任意方向平行；当λ≠0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e2)＝2'e ，（因为e具有固定长， e ·'e = 0） ，所以 'e =0 ，即e为常向量。
所以，)(t r 具有固定方向。
6．向量函数)(t r平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。
分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n，使)(t r ·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r的关系。
曲面第一第二基本形式
曲面第一第二基本形式曲面的第一第二基本形式是曲面微分几何中的重要概念，用于描述曲面的局部性质。
曲面的第一基本形式是一个二次型，描述了曲面上的长度和角度的变化；而第二基本形式是一个线性映射，描述了曲面上的曲率信息。
对于一个曲面上的点，可以通过两个正交曲线来描述它的局部性质。
这两条曲线称为曲面上的曲线坐标线，在该点处与坐标轴相切。
通过这两条曲线，可以定义曲线的长度、角度和曲率等重要几何量。
曲面的第一基本形式是一个二次型，可以表示为：[ds^2 = E du^2 + 2F du dv + G dv^2]其中，(E)、(F) 和 (G) 是曲面上的度量系数。
它们描述了曲线坐标线上的长度和夹角变化。
具体而言，(E) 表示曲线坐标线在 (u) 方向上的长度的平方，(G) 表示曲线坐标线在 (v) 方向上的长度的平方，而 (F) 则表示曲线坐标线在 (u) 和 (v) 方向上的长度乘积。
曲面的第二基本形式是一个线性映射，可以表示为：[dN = L du^2 + 2M du dv + N dv^2]其中，(L)、(M) 和 (N) 是曲面上的切向量与法向量之间的内积。
它们描述了曲面上的曲率信息。
具体而言，(L) 表示曲面的法向量在 (u) 方向上的变化率，(N) 表示曲面的法向量在 (v) 方向上的变化率，而 (M) 则表示曲面的法向量在 (u) 和 (v) 方向上的变化率乘积。
通过第一第二基本形式，我们可以计算曲面上的各种几何量，如曲率、高斯曲率和平均曲率等。
这些几何量对于曲面的形状和性质具有重要的意义，并在计算机图形学、物理学和工程学等领域中得到广泛应用。
总之，曲面的第一第二基本形式是描述曲面局部性质的重要工具，它们提供了曲面上的长度、角度和曲率等几何信息。
通过研究这些信息，我们可以深入理解曲面的形状和性质，并应用于各种实际问题的解决中。
微分几何第四版习题答案解析梅向明
§1曲面的概念1、求正螺面r r={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线、解 u-曲线为r r={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0,bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0},为曲线的直母线;v-曲线为r r={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线.２.证明双曲抛物面r r＝｛a(u+v), b(u-v),2uv ｝的坐标曲线就就是它的直母线。
证 u-曲线为r r={ a(u+0v ), b(u-0v ),2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线;v-曲线为r r=｛a(0u +v), b(0u -v),20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。
3.求球面r r=}sin ,sin cos ,sin cos {ϑϕϑϕϑa a a 上任意点的切平面与法线方程。
解 ϑr ρ=}cos ,sin sin ,cos sin {ϑϕϑϕϑa a a -- ,ϕr ρ=}0,cos cos ,sin cos {ϕϑϕϑa a -任意点的切平面方程为00cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------ϕϑϕϑϑϕϑϕϑϑϕϑϕϑa a a a a a z a y a x即 xcos ϑcos ϕ + ycos ϑsin ϕ + zsin ϑ - a = 0 ; 法线方程为ϑϑϕϑϕϑϕϑϕϑsin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。
4.求椭圆柱面22221x y a b+=在任意点的切平面方程,并证明沿每一条直母线,此曲面只有一个切平面 。
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【最新整理，下载后即可编辑】§1曲面的概念1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线. 解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。
证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线; v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。
3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {ϑϕϑϕϑa a a 上任意点的切平面和法线方程。
解 ϑr =}cos ,sin sin ,cos sin {ϑϕϑϕϑa a a -- ，ϕr=}0,cos cos ,sin cos {ϕϑϕϑa a -任意点的切平面方程为00cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------ϕϑϕϑϑϕϑϕϑϑϕϑϕϑa a a a a a z a y a x即 xcos ϑcos ϕ + ycos ϑsin ϕ + zsin ϑ - a = 0 ； 法线方程为ϑϑϕϑϕϑϕϑϕϑsin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=-。
微分几何第四版答案(三)曲面的第二基本形式
§3曲面的第二基本形式1. 计算悬链面r ={coshucosv,coshusinv,u}的第一基本形式,第二基本形式.解 u r ={sinhucosv,sinhusinv,1},v r={-coshusinv,coshucosv,0} uu r ={coshucosv,coshusinv,0},uv r={-sinhusinv,sinhucosv,0},vv r ={-coshucosv,-coshusinv,0},2u r E == cosh 2u,v u r r F⋅==0,2v r G ==cosh 2u.所以错误!未找到引用源。
= cosh 2u 2du + cosh 2u 2dv .n =2F EG r r v u -⨯ =}sin sinh ,sin cosh ,cos cosh {cosh 12v u v u v u u--, L=11sinh cosh 2-=+-u , M=0, N=1sinh cosh 2+u =1 .所以错误!未找到引用源。
= -2du +2dv 。
2. 计算抛物面在原点的22212132452x x x x x ++=第一基本形式,第二基本形式.解 曲面的向量表示为}225,,{22212121x x x x x x r ++= ,}0,0,1{}25,0,1{)0,0(211=+=x x r x ,}0,1,0{}22,1,0{)0,0(212=+=x x r x ,}5,0,0{11=x x r, }2,0,0{21=x x r ,}2,0,0{22=x x r, E = 1, F = 0 , G = 1 ,L = 5 , M = 2 , N =2 ,错误!未找到引用源。
=2221dx dx +, 错误!未找到引用源。
=222121245dx dx dx dx ++.3. 证明对于正螺面r ={u v cos ,u v sin ,bv},-∞<u,v<∞处处有EN-2FM+GL=0。
微分几何第四版答案
微分几何第四版答案第一部分曲线与曲面的局部微分几何第一章欧氏空间1.1 向量空间1.2 欧氏空间第二章曲线的局部理论2.1 曲线的概念2.2 平面曲线2.3 E的曲线2.4 曲线论基本定理第三章曲面的局部理论3.1 曲面的概念3.2 曲面的第一基本形式3.3 曲面的第二基本形式3.4 法曲率与weingarten变换3.5 主曲率与Gauss曲率3.6 曲面的一些例子第四章标架与曲面论基本定理4.1 活动标架4.2 自然标架的运动方程4.3 曲面的结构方程4.4 曲面的存在惟一性定理4.5 正交活动标架4.6 曲面的结构方程（外微分法）第五章曲面的内蕴几何学5.1 曲面的等距变换5.2 曲面的协变微分5.3 测地曲率与测地线5.4 测地坐标系5.5 Gauss-Bonnet公式5.6 曲面的Laplace算子5.7 Riemann度量第二部分整体微分几何选讲第六章平面曲线的整体性质6.1 平面的闭曲线6.2 平面的凸曲线第七章曲面的若干整体性质7.1 曲面的整体描述7.2 整体的Gauss-Bonnet公式7.3 紧致曲面的Gauss映射7.4 凸曲面7.5 曲面的完备性第八章常Gauss曲率曲面8.1 常正Gauss曲率曲面8.2 常负Gauss曲率曲面与sine-Gordon方程8.3 Hilbert定理8.4 Backlund变换第九章常平均曲率曲面9.1 Hopf微分与Hopf定理9.2 Alexsandrov惟一性定理9.3 附录：常平均曲率环面第十章极小曲面10.1 极小图10.2 极小曲面的weierstrass表示10.3 极小曲面的Gauss映射10.4 面积的变分与稳定极小曲面索引。
(整理)微分几何陈维桓习题答案3
习题答案3p. 148 习题4.11. 求下列曲面的第二基本形式：(1)√旋转椭球面：()cos cos ,cos sin ,sin r a a b ϕθϕθϕ=；(2) 旋转椭圆抛物面：()2212,,()r u v u v =+； (3) 双曲抛物面：()(),(),2r a u v a u v uv =+-；(4)√一般柱面：()(),(),r f u g u v =；(5)√劈锥曲面：()cos ,sin ,()r u v u v f v =. 解. (1) ()cos sin ,cos ,0r a θϕθθ=-，()sin cos ,sin sin ,cos r a a b ϕϕθϕθϕ=--，()cos cos cos ,cos sin ,sin r r a b b a θϕϕϕθϕθϕ⨯=，22(,)ππϕ⇒∈-)2cos cos ,cos sin ,sin sin n b b a a ϕθϕθϕ=.又 ()cos cos ,sin ,0r a θθϕθθ=-，()sin sin ,cos ,0r a θϕϕθθ=-，()cos cos ,cos sin ,sin r a a b ϕϕϕθϕθϕ=-.所以2cos ab L ϕ=，0M =，N =，)222II cos d d ϕθϕ=+. (2) ()1,0,u r u =，()0,1,v r v =，(),,1u v r r u v ⨯=--，),,1n u v =--. ()0,0,1uu r =，0uv r =，()0,0,1vv r =，()221II du dv =+.(3) (),,2u r a a v =，(),,2v r a a u =-，()2,,u v r r a u v v u a ⨯=+--.不妨设0a >. 则(),,n u v v u a =+--，0uu vv r r ==，()0,0,2uv r =， 2II 2v=. (4) (),,0u r f g ''=，()0,0,1v r =，(),,0u v r r g f ''⨯=-，),,0n g f ''=-， (),,0uu r f g ''''=，0uv vv r r ==，22II du g ='+. (5) ()cos ,sin ,0u r v v =，()sin ,cos ,v r u v u v f '=-，()sin ,cos ,u v r r f v f v u ''⨯=-，)sin ,cos ,n f v f v u f ''=-'， 0uu r =，()sin ,cos ,0uv r v v =-，()cos ,sin ,vv r u v u v f ''=--，)221II 2f dudv uf dv f ='''-+'+. □ 2. 求下列曲面的第二基本形式：(3) 3xyz k =，0k ≠是常数.解. 由条件知在曲面上30xyz k =≠，并且0yzdx xzdy xydz ++=，即 1110x dx y dy z dz ---++=. (1)因此3111(,,)(,,)yz zx xy k x y z ---=是曲面的法向量. 不妨设0k >. 则单位法向量()2221/2111(),,n x y z x y z -------=++.于是()()2221/22221/2111222[()]().,,,,dn d x y z x y z x y z x dx y dy z dz --------------=++-++ 由于()111(,,),,dr x y z dx dy dz ---=⊥，故曲面的第二基本形式为()2221/2222222II ()dr dn x y z x dx y dy z dz -------=-⋅=++++.如果由(1)解出111()z dz x dx y dy ---=-+，再代入上式可得222211222222II ----== 2222222||xy x = □3. 求曲线()r r s =的切线曲面的第二基本形式，其中s 是该曲线的弧长参数. 解. 设正则曲线()r r s =的曲率和挠率分别为,κτ，Frenet 标架为{};,,a αβγ，它的切线曲面的参数方程为(,)()()R s t r s t s α=+.则()dR ds dt t αακβ=++，s R t ακβ=+，t R α=，s t R R t κγ⨯=-，0t >.n γ=-，dn ds τβ=，2II dR dn t ds κτ=-⋅=-. □6. 证明：如果在可展曲面S 上存在两个不同的单参数直线族，则S 是平面.证明. 设可展曲面S 的参数方程为()()r a u vl u =+. 则沿着直母线S 的单位法向量n 是常向量，即()n n u =. 所以第二类基本量中0,0u v v v M r n N r n =-⋅≡=-⋅≡.剩下的只要证明0L ≡，从而由定理1.1，S 是平面.为此，设在S 上任一固定点00(,)u v ，异于直母线的另一族直线中过该点的直线L 的弧长参数方程为(),()u u s v v s ==，并且00(0),(0)u u v v ==. 则L 在0s =处的单位切向量是00000000(0)(,)(0)(,)(0)[()()](0)()(0)u v r r u v u r u v v a u v l u u l u v '''''''=+=++， 它不能与S 在00(,)u v 的直母线的切向量0()l u 平行，故(0)0u '≠.另一方面，因为L 是直线，有0r r '''⨯=，即//r r '''. 所以00(0)(,)0r n u v ''⋅=. 于是在00(,)u v 点成立()()20u v u r n r n r u r v n u Lu ''''''''=⋅=-⋅=-+⋅=.因为(0)0u '≠，可得00(,)0L u v =. 由于点00(,)u v 是任意的，可知0L ≡. □ p. 157 习题4.21.设悬链面的方程是()2,ln(r u v v a u u a =+++，求它的第一、第二基本形式，并求它在点(0,0)处沿切向量2u v dr r r =+的法曲率.解. 不妨设0a >. 令sinh u a t =，则cosh a t =，(sinh cosh )tu a t t ae +=+=，ln(ln t u a =+-，cosh du dt a t ==. (1) 悬链面的方程可化为(cosh cos ,cosh sin ,ln r a t v t v t a =+，于是()sinh cos ,sinh sin ,1t r a t v t v =，()cosh sin ,cos ,0v r a t v v =-()2cosh cos ,sin ,sinh t v r r a t v v t ⨯=--，()1cosh cos ,sin ,sinh n t v v t -=--.()cosh cos ,cosh sin ,0tt r a t v t v =，()sinh sin ,cos ,0tv r a t v v =-，()cosh cos ,sin ,0vv r a t v v =-.2222222222I cosh cosh ()a t dt a t dv du u a dv =+=++222222II a adt adv du adv u a=-+=-++. 在点(0,0)处，切向量2u v dr r r =+中2,1du dv ==，曲面的法曲率222244II 4II ,I 4,I (4)n a a a a a a a a κ--=-+==+==+. □ 注. 参数(,)t v 是悬链面的等温坐标，并且参数网是正交的曲率线网. 此时22cosh ,0,E G a t F M L N a =====-=-，2121cosh a t κκ=-=，241cosh K a t=-，0H =. 4. 设曲面1S 和曲面2S 的交线为C . 设p 为曲线C 上一点，假定曲面1S 和曲面2S 在点p 处沿曲线C 的切方向的法曲率分别1κ是和2κ. 如果曲面1S 和曲面2S 在点p 处的法向量的夹角是θ，求曲线C 在点p 处的曲率κ.βγ1n 2n ϕθβγ1n 2n ϕθ解. 设在p 点C 的Frenet 标架为{};,,r αβγ，曲率为0κ≠，曲面12,S S 的单位法向量分别为12,n n . 因为12,,n n β均垂直于C 的切方向，所以它们共面. 不妨设绕着α由β到1n 的有向角为ϕ，到2n 的有向角为ϕθ+，02ϕϕθπ≤<+≤. 令11(,)n θβ=∠，22(,)n θβ=∠. 则11cos κκθ=，22cos κκθ=.于是1sin κθ==2sin κθ==. 当0θπ<<时，只有种情况：(1)[,]πϕϕθ∈+，即ϕπϕθ≤≤+. 此时1θϕ=，22()θπϕθ=-+，所以122θθπθ+=-. 则2222121212cos cos()cos cos sin sin κθκθθκθθκθθ=+=-12κκ=-. (1) 因此()2222221212()()cos κκκκκκκθ--=-.化简得42224221212()cos 2cos κκκκκθκκκθ-+=-. 因此κ=(2)[,]πϕϕθ∉+，即ϕπ>或πϕθ>+. 此时12θπϕ=-，22()θπϕθ=-+或1θϕ=，2θϕθ=+，所以12θθθ-=±. 则同理有212cos κθκκ= (2)κ=当0θ=(或θπ=)时，有12θθ=(或12θθπ+=)，从而12κκ=(或12κκ=-). 此时(2)式(或(1)式)成为恒等式，无法确定κ. □7. 设C 是曲面S 上的一条非直线的渐近线，其参数方程为(),()u u s v v s ==，其中s 是弧长参数. 证明：C 的挠率是22()()()()s u s v s u s E F G L M Nτ''''-=. 证明. 设曲面S 的参数方程为(,)r r u v =，单位法向量为(,)n u v . 设C 的弧长参数方程为(),()u u s v v s ==，Frenet 标架为{};,,r αβγ，曲率为0κ≠. 由于C 是S 上的渐近线，根据定理2.4，有()()s ns γε=，其中1ε=±，():((),())n s n u s v s =. 根据Frenet公式，()()(),,,,n n r τγβγγαγγα'''=-⋅=-⋅⨯==''.利用Lagrange 恒等式，可得(),,()()()()()()u v u v u v v u r r n r r r n r r n r r r n r r ''''''''=⨯=⨯⋅⨯=⋅⋅-⋅⋅. 将u v r r u r v '''=+，u v n n u n v '''=+代入上式，得()()()()Lu Mv Fu Gv Mu Nv Eu Fv ''''''''=-+++++ 22Eu Fv Fu Gv E F E G F G u u v v Lu Mv Mu Nv L M L N M N''''++''''==++''''++ 22v u v u EF G L M N''''-=. □ p. 166 习题4.31. 求抛物面2212()z ax by =+在原点处的法曲率和主曲率.解. 曲面的参数方程为()2212,,()r x y ax by =+，故 (1,0,)x r ax =，(0,1,)y r by =，(,,1)x y r r ax by ⨯=--，,,1)n ax by =--.(0,0,)xx r a =，0xy r =，(0,0,)yy r b =所以在原点处22I(0,0,,)dx dy dx dy =+，22II(0,0,,)dx dy adx bdy =+，2222II (0,0,,)I n adx bdy dx dy dx dyκ+==+. 不妨设a b ≤. 因为在原点处222222(0,0,,)n dx dy a dx dy a b b dx dy dx dy κ≤=+≤++， 且(0,0,1,0),(0,0,0,1)n n a b κκ==，所以,a b 分别是法曲率的最大、最小值，因而是抛物面在原点的主曲率. □注. 在原点0F M ==，从而根据下一节定理4.2立即可知主曲率是,a b .4. 证明：曲面S 上任意一点p 的某个邻域内都有正交参数系(,)u v ，使得参数曲线在点p 处的切方向是曲面S 在该点的两个彼此正交的主方向.证明. 根据第三章定理4.2，在S 上任意一点p 的某个邻域内都有正交参数系. 假设这个正交参数系是(,)u v . 如果p 点是脐点，则任何方向都是主方向，从而这个正交参数系(,)u v 的参数曲线在点p 处的切方向是曲面S 在该点的两个彼此正交的主方向.设p 点不是脐点. 则在点p 处有两个单位正交的主向量12,e e . 设111222,u v u v e a r b r e a r b r =+=+.作参数变换 12u a u a v =+，12v b u b v =+.由于1122(,)0(,)a b u v a b u v ∂=≠∂，上述参数变换是可允许的. 在新参数下， 11u v u u v u v u u r r r a r b r ∂∂∂∂=+=+，22uvv u v u v v v r r r a r b r ∂∂∂∂=+=+.特别在p 点，有12,u v r e r e ==，是曲面S 在p 点的两个彼此正交的单位主向量.由于1212u v F r r a a E bb G =⋅=+， 参数系(,)u v 不一定是正交参数，只知道在p 点120u v F r r e e =⋅=⋅=. 因此还要作一次参数变换，取u -曲线及其正交轨线作为参数曲线. 考虑1次微分式Edu Fdv +. 根据常微分方程知识，存在积分因子(,)u v λλ=使得()Edu Fdv λ+是一个全微分，即有函数(,)u u u v =使得()du Edu Fdv λ=+. 现在作参数变换(,)u u u v =，v v =. 则0(,)0(,)1E u v u vF λλ∂=≠∂，参数变换是可允许的. 在新参数下，11()du E du Fdv λ--=-，dv dv =，所以211122222I ()1()() Fdv du Fdvdu Gdv du du Fdv FE du Fdv dv Gdv EF duG dv E E λλλλ---=+++=-+-+⎛⎫=+- ⎪⎝⎭这说明参数系(,)u v 是正交的.因为在p 点，0F =，有111u v u u v u u u r r r r e E E λλ∂∂∂∂=+==，2u v v u v u v v v F r r r r r e E ∂∂∂∂=+=-+=， 所以,u v r r 是曲面S 在p 点的两个彼此正交的主方向. □5. 设在曲面S 的一个固定点p 的切方向与一个主方向的夹角为θ，该切方向所对应的法曲率记为()n κθ，证明：201()2n d H πκθθπ=⎰，其中12()/2H κκ=+. 证明. 根据Euler 公式，2212()cos sin n κθκθκθ=+. 所以有2222120011()(cos sin )22n d d ππκθθκθκθθππ=+⎰⎰ 212120111[(1c o s 2)(1c o s 2)]()222d H πκθκθθκκπ=++-=+=⎰. □ p. 175 习题4.42. 求旋转面():()cos ,()sin ,()S r g s g s f s θθ=的高斯曲率K ，其中s 为平面曲线():(),0,()C r g s f s =的弧长参数.解. ()c o s ,s i n ,s r g g f θθ'''=，()sin ,cos ,0r g θθθ=-， (1)()cos ,sin ,s r r g f f g θθθ'''⨯=--.因为曲面S 是正则的，所以()0g s ≠，不妨设()0g s >. 因为s 是C 的弧长参数，所以221f g ''+=，0f f g g ''''''+=，r f g f g κ''''''-=-， (2) 其中r κ是C 的相对曲率. 因此曲面的单位法向量为()cos ,sin ,n f f g θθ'''=--.()cos ,sin ,s n f f g θθ''''''=--，()sin ,cos ,0n f θθθ'=-. (3)由(1)，(2)和(3)可知1E =，0F =，2G g =，r L κ=，0M =，N g f '=.根据定理4.3，S 的主曲率为1r κκ=，2/f g κ'=，Gauss 曲率为()r f f f g f g K g gκ''''''''-==. □ 4. 求双曲抛物面()(),(),2r a u v b u v uv =+-的Gauss 曲率K ，平均曲率H ，主曲率12,κκ和它们所对应的主方向.解. 因为(,,2)u r a b v =， (,,2)v r a b u =-. 所以2224E a b v =++，224F a b uv =-+，2224G a b u =++.又()2(),(),u v r r b u v a u v ab ⨯=+---，)(),(),n b u v a u v ab =+---，其中 22222224[()()]EG F b u v a u v a b -=++-+.因为0uu r =，(0,0,2)uv r =，0vv r =，所以40,abL N M ===.于是()22222222222222216()()LN M a b a b K EG F b u v a u v a b EG F -==-=--⎡⎤++-+-⎣⎦， 22223/2223/22222224(4)4(4)()()()MF ab a b uv ab a b uv H EG F EG F b u v a u v a b --+-+===--⎡⎤++-+⎣⎦. 因为0M <，()()2222222222()()M F LN M EG F M EG H K EG F EG F ----==--2EG F -=-， 所以主曲率1223/2222222(4).2()()H ab a b uv b u v a u v a b κ=+⎡-++⎣⎦=⎡⎤++-+⎣⎦对应的主方向为1111:():()():du dv F M E L F M E κκκκ=---=--，11.F M κ-====. 所以:du dv ==同理，另一个主曲率为2223/22222222(4)(2()()ab a b uv M F EG F b u v a u v a b κ⎡-+--⎣⎦==-⎡⎤++-+⎣⎦， 对应的主方向为:u v δδ== □注. 由0L N ==可知参数曲线网是渐近曲线网，而主方向是渐近方向的二等分角方向，所以主方向:du dv 和:u v δδ是参数曲线的二等分角轨线方程22Edu Gdv =的两个根.由此可得求解主曲率的另一方法：将du dv ==()()0E L du F M dv λλ-+-=，即 ()Edu Fdv Ldu Mdv λ+=+，得到对应于主方向:du dv =1Mdv Edu Fdv κ===+，以及对应于主方向:du dv =2κ=6. 在曲面:(,)S r r u v =上每一点沿法线截取长度为λ(足够小的正数)的一段，它们的端点的轨迹构成一个曲面S ，称为原曲面S 的平行曲面，其方程是(,)(,)(,)r u v r u v n u v λ=+，2(,)u v D ∈⊂R .从点(,)r u v 到(,)r u v 的对应记为σ.(1) 证明：曲面S 和曲面S 在对应点的切平面互相平行；(2) 证明：对应σ把曲面S 上的曲率线映为曲面S 上的曲率线；(3) 证明：曲面S 和曲面S 在对应点的Gauss 曲率和平均曲率有下列关系：212K K H K λλ=-+，212H K H H Kλλλ-=-+. 证明. (1) 因为u u u r r n λ=+，v v v r r n λ=+， (1)所以2()u v u v u v v u u v r r r r r n r n n n λλ⨯=⨯+⨯+⨯+⨯.当0λ=时，0u v u v r r r r ⨯=⨯≠. 因此对每一点00(,)u v D ∈，存在该点的邻域U D ⊂，使得当λ足够小时，0u v r r ⨯≠，从而S 是正则曲面.由(1)可见0,0u v r n r n ⋅=⋅=，所以在对应点S 和S 的切平面互相平行.(2) 设:(),()C u u s v v s ==是S 上的任意一条曲率线. 则由Rodriques 定理，有((),())((),())((),())n u s v s u s v s r u s v s κ''=-， (2)其中((),())u s v s κ是曲面S 在((),())u s v s 点的主曲率.对应σ把S 上的曲率线C 映为曲面S 上的曲线C ，它的方程为((),())((),())((),())r u s v s r u s v s n u s v s λ=+.因此()((),())((),())((),())((),())1((),())r u s v s r u s v s n u s v s r u s v s u s v s λλκ''''=+=-. (3) 上面已经证明了沿着C ，((),())n u s v s 也是S 的单位法向量. 结合(2)和(3)可得((),())((),())((),())1((),())u s v s n u s v s r u s v s u s v s κλκ''=--. (4) 根据Rodriques 定理，C 也是S 上的曲率线.(3) 用W 和W 分别表示曲面S 和S 上的Weingarten 变换. 设12,κκ是曲面S 在任意一点00(,)r u v 的两个主曲率，对应于1κ的主方向是:du dv . 则沿着该切方向，有1()dr W dr dn κ==-.另一方面，沿着该切方向，有1(1)dr dr dn dr λλκ=+=-.所以在曲面S 上 111()1W dr dn dr dr κκλκ=-==-. 这说明:du dv 是曲面S 在点00(,)r u v 的主方向，对应的主曲率是1111κκλκ=-. 同理，曲面S 在点00(,)r u v 的另一个主曲率是2221κκλκ=-. 于是在对应点，曲面S 的Gauss 曲率和平均曲率分别为1212212(1)(1)12K K H Kκκκκλκλκλλ===---+， 121221212(1)(1)22(1)(1)12H K H H Kκκκλκκλκλλκλκλλ+-+--===---+. □ 注. 本题的结论是局部的：对每一点00(,)u v D ∈，为了保证S 是正则曲面，只能在该点的某个邻域U D ⊂上，取λ足够小，才有这些结论. p. 184 习题4.53. 研究习题4.4中第5题的管状曲面上各种类型点的分布情况. 解. 管状曲面S 的参数方程为(,)()[cos ()sin ()]R s r s s s θλθβθγ=++，其中()r s 是一条弧长参数曲线，{}();(),(),()r s s s s αβγ是它的Frenet 标架，0λ>是一个常数. 设该参数曲线的曲率和挠率分别是κ和τ. 因为[c o s ()s i n s R αλθκατγτθβ=+-+- (1cos )(sin cos )λκθαλτθβθγ=-+-+，(sin cos )R θλθβθγ=-+，所以(1cos )(cos sin )s R R θλλκθθβθγ⨯=--+.取λ充分小，使得1cos 0λκθ->，从而S 是正则曲面，单位法向量为(cos sin )n θβθγ=-+.于是cos (sin cos )s n κθατθβθγ=+-，sin cos n θθβθγ=-，2cos (1cos )L κθλκθλτ=--+，M λτ=，N λ=.由于2cos (1cos )LN M λκθλκθ-=--，并且(1cos )0λκλκθ->，所以(1) 当/2θπ=±时，0K =，这些点是抛物点. 它们构成两条正则曲线：/2()()()R s r s s πλγ=+和/2()()()R s r s s πλγ-=-.由于0N λ=≠，曲面上没有平点.(2) 当322ππθ<<时，0K >，这些点是椭圆点.(3) 当22ππθ-<<时，0K <，这些点是双曲点. □p. 190 习题4.62.(1) 证明：1cos ln cos ay z a ax=是极小曲面，其中a 是常数. 该曲面称为Scherk 曲面. (2) 证明：形如()()z f x g y =+的极小曲面必定是Scherk 曲面.(1) 证明. Scherk 曲面的参数方程为()1,,(lncos lncos )a x y ay ax r -=. 故()1,0,tan x r ax =，()0,1,tan y r ay =-，()tan ,tan ,1y x r r ax ay ⨯=-，)2tan ,tan ,11tan tan n ax ay ax ay =-++.()()22,0,0,0,sec 0,0,sec yy xx xy r r r a ay a ax ===-.因此22sec ,tan tan ,sec E ax F ax ay G ay ==-=，2L =，0M =，2N =由于20LG MF NE -+=，所以0H =，Scherk 曲面是极小曲面. □(2) 证明. 曲面的参数方程为(),,()()r x y f x g y =+. 故()(),1,0,()0,1,()y x r r f x g y ''==，()(),(),1y x r r f x g y ''⨯=--，)(),(),11()()n f x g y f x g y ''=--''++.()(),0,0,0,()0,0,()yy xx xy r r r f x g y ''''===.因此221(),()(),1()E f x F f x g y G g y ''''=+==+，0L M ==，N =. 由0H =得到0EN GL +=，即22()()01()1()g y f x f x g y ''''+=''⎡⎤⎡⎤++⎣⎦⎣⎦.上式可化为22()()1()1()f xg y f x g y ''''=-''++. (1)由于上式左边是x 的函数，右边是y 的函数，故只能是常数. 设此常数为a . 当0a =时，由(1)可知1()f x Ax C =+，2()g y By C =+，其中12,,,A B C C 是常数.于是该极小曲面是平面z Ax By C =++，其中12C C C =+. (不是Scherk 曲面)下面设0a ≠. 由(1)得2(1)f a f '''=+. 令arctan f ϕ'=，即tan f ϕ'=. 则有()22sec sec tan f a ϕϕϕϕ''''===.于是()x ax c ϕ=+. 在x 轴方向作一平移，可设0c =. 从而()tan()f x ax '=，积分得1()ln cos f x ax a=-.同理，由2()1()g y a g y ''=-'⎡⎤+⎣⎦可得1()ln cos g y ay a=. 于是1c o s()()l n c o s ay z f x g y aax=+=. □ 4. (1) 证明：正螺面()cos ,sin ,r u v u v bv =是极小曲面.(2) 证明：形如x z f y ⎛⎫= ⎪⎝⎭的极小曲面必定是正螺面.(1) 证明. 因为()cos ,sin ,0u r v v =，()sin ,cos ,v r u v u v b =-， 所以1E =，0F =，22G u b =+.又()sin ,cos ,u v r r b v b v u ⨯=-，)sin ,cos ,n b v b v u =-，0uu r =，()sin ,cos ,0uv r v v =-，()cos ,sin ,0vv r u v v =-，所以0L =，M =，0N =.因此0H =，正螺面是极小曲面. □(2) 证明. 曲面的参数方程为()(),,x y r x y f=. 故()11,0,x r y f -='，()20,1,y r xy f -='-，()12,,1y x r r y f xy f --⨯=''-，)121,,11n y fxy f y f --=''-+. ()20,0,xx r y f -=''，()230,0,xy r y f xy f --='''--，()3240,0,2yyr xy f x y f --='''+. 所以221E y f -'=+，32F xy f -'=-，2421G x y f -'=+， 2L -=，3M -=，4N -=. 由20LG MF NE -+=得到224262422(1)2()(1)(2)0y f x y f xy f y f x f xy y f y f x f -----'''''''''''+-++++=，[化简：24242222(1)2()(1)(2)0f x y f xy f y f x f xy y f y f x f ----'''''''''''+-++++=， 242242222233123[12(1)]22()0f x y f x y f x y y f xy f xy f y f -------''''''''+-++-++=，] 即有221(1)20f x y xy f --'''++=.如果0f '=，则(/)z f x y c ==. 它表示一个平面，不是正螺面. 设0f '≠. 则上式可化为12221f uv f u v --''=-'+， 即222ln |()|ln(1)1d df d d ϕϕϕϕϕϕ'=-=-++， 其中1xy ϕ-=. 所以2()1af ϕϕ'=+，其中a 是积分常数. 再积分一次，得()arctan z f a C ϕϕ==+.通过在z 轴方向作一平移，不妨设积分常数0C =. 于是tan x z y aϕ==. 在xy 平面上取极坐标：cos ,sin x u v y u v ==，则2z v k a ππ=-+，即 (21)2a k z av π+=-+.再次沿z 轴方向作一平移，就得到曲面的参数方程()cos ,sin ,r u v u v bv =，其中b a =-. 它是正螺面. □6. 推导极小曲面(,)z f x y =所满足的微分方程22(1)2(1)0y xx x y xy x yy f f f f f f f +-++=.解. 曲面的参数方程为(),,(,)r x y f x y =. 故()1,0,x x r f =，()0,1,y y f r =，(),,1x y y x f f r r --⨯=，),,1x y f f n --=. ()0,0,xx xx r f =，)0,0,xy xy f r =，()0,0,yy yy f r =.所以21x E f =+，x y F f f =，21y G f =+，L =，f M =，f N =由20LG MF NE -+=得到22(1)2(1)0y xx x y xy x yy f f f f f f f +-++=. □。
微分几何习题及答案解析
、第一章 曲线论§2 向量函数5. 向量函数)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t r × )('t r= 0 。
分析：一个向量函数)(t r 一般可以写成)(t r =)(t λ)(t e 的形式，其中)(t e为单位向量函数，)(t λ为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。
证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t λ)(t e ，若)(t r具有固定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r=)('t λe ，所以 r ×'r =λ'λ（e ×e ）=0 。
反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t λ)(t e求微商得'r ='λe +λ'e ，于是r ×'r =2λ（e ×'e ）=0 ，则有 λ = 0 或e ×'e =0 。
当)(t λ= 0时，)(t r =0 可与任意方向平行；当λ≠0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e 2)＝2'e ，（因为e 具有固定长， e ·'e = 0） ，所以 'e =0 ，即e 为常向量。
所以，)(t r具有固定方向。
6．向量函数)(t r平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。
分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n，使)(t r·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r 的关系。
微分几何习题及答案解析
第一章 曲线论§2 向量函数5. 向量函数)(t r具有固定方向的充要条件是)(t r×)('t r= 0 。
分析：一个向量函数)(t r一般可以写成)(t r=)(t λ)(t e的形式，其中)(t e为单位向量函数，)(t λ为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。
证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t λ)(t e ，若)(t r具有固定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r =)('t λe ，所以 r ×'r=λ'λ（e ×e ）=0 。
反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t λ)(t e 求微商得'r ='λe +λ'e ，于是r×'r =2λ（e ×'e ）=0 ，则有 λ = 0 或e ×'e =0 。
当)(t λ= 0时，)(t r =0 可与任意方向平行；当λ≠0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e2)＝2'e ，（因为e具有固定长， e ·'e = 0） ，所以 'e =0 ，即e为常向量。
所以，)(t r 具有固定方向。
6．向量函数)(t r平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。
分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n，使)(t r ·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r的关系。
微分几何 §3 曲面的第二基本形式
t , 1+ p + q ∂ z ∂ z ∂ z s= ,r = ,t= ∂y ∂x ∂x∂y
2 2
2
2
2
2
2
注1 第二基本形式不是正定型： 2、参数变换下最多差有一个符号：
3.2 曲面上曲线的曲率
给出曲面S 给出曲面S ：r=r(u,v)及 S上曲线C：u=u(s),v=v(s) 上曲线C P是C上一点对应参数为s，则对C有 对应参数为s，则对C
2 2
两个共轭方向满足 两个共轭方向满足
L duδu + M (duδv + dvδv ) + N 0 dvδ v = 0
0 0
给出曲面上的两族曲线,如果过曲面上每一点, 给出曲面上的两族曲线,如果过曲面上每一点,此两族 曲线的两条曲线的切方向都是共轭方向, 曲线的两条曲线的切方向都是共轭方向,则这两族曲 线称为曲面上的共轭网 线称为曲面上的共轭网
r r r r = α， = k β， ⊥ α，β ⊥ α， n，β 共面,设n，β 夹角θ , 则 r n ⇒ r r 2 II= r n( ds ) = k β n( ds ) 2 = k cos θ ( ds ) 2 = ( ds ) 2 I
2 2 2 2
n
II Ldu + 2 Mdudv + Ndv ∴ k cos θ = = Edu + 2 Fdudv + Gdv I
所以第二基本形式 基
II = −( R cos 2 θ dϕ 2 + Rdθ 2 )
对于曲面 r = {x , y , z ( x , y )} 有
r L = r ⋅n = , 1+ p + q
xx 2 2
微分几何曲面论曲面的第二基本形式
(5 )若(曲 S ):z 面 f(x ,y)则 .r {x ,y ,z (x ,y )， }
于 r r x xx 是 {{0 1 ,,0 0,,rp }} ， ， r rxyy{{00,,10,,qs}}， ， ryy{0,0,t}，
其
中 p
f ，q x
fy，r 2 xf2， sx2fy， t2 yf2 .
(1 4 a 2 x 2 )d2 x 8 a 2 xy d (1 4 x a 2 y d 2 )d2 y .y
I I r d2 x 2 s dx dty d2
1 p 2 q 2
1 p 2 q 2
1 p 2 q 2
2 a
d2x
2 a
d2y
14 a2x24 a2y2
14 a2x24 a2y2
E r 2 R 2c2 o,F sr r 0 ,G r 2R 2,
n rr
EGF2
R 2c 1o sR R s ce io 1 n c ssio ns R R cso e i2 c n s so in sR c e 0 3o s
{c c o o ,c ss o s s i,s n i} n
与定义比较可知：
L r u n u r u n u , M r un v r u n v rvnu, N r v v n r v n v . ( 4 ) 事I 实 上I ，d n d n r d r 0 ， d n d r n 2 d r 0 ， 故 I n I 2 d r d n d r .
例4 在球面上验证梅尼埃定 理. 证：
(C )C . P
n (C 0 )
3.3 杜邦(Dupin)指标线
II Ld 2u 2Md uNd2 dvv knI Ed 2u 2Fd uG d2 d v v
微分几何答案解析(第二章)
第二章 曲面论§1曲面的概念1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线.解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。
证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线;v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。
3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {ϑϕϑϕϑa a a 上任意点的切平面和法线方程。
解 ϑr =}cos ,sin sin ,cos sin {ϑϕϑϕϑa a a -- ，ϕr=}0,cos cos ,sin cos {ϕϑϕϑa a -任意点的切平面方程为00cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------ϕϑϕϑϑϕϑϕϑϑϕϑϕϑa a a a a a z a y a x即 xcos ϑcos ϕ + ycos ϑsin ϕ + zsin ϑ - a = 0 ； 法线方程为ϑϑϕϑϕϑϕϑϕϑsin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。
微分几何第四版习题答案解析梅向明
§1曲面的概念1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线.解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。
证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线;v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。
3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {ϑϕϑϕϑa a a 上任意点的切平面和法线方程。
解 ϑr=}cos ,sin sin ,cos sin {ϑϕϑϕϑa a a -- ，ϕr =}0,cos cos ,sin cos {ϕϑϕϑa a -任意点的切平面方程为00cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------ϕϑϕϑϑϕϑϕϑϑϕϑϕϑa a a a a a z a y a x即 xcos ϑcos ϕ + ycos ϑsin ϕ + zsin ϑ - a = 0 ； 法线方程为ϑϑϕϑϕϑϕϑϕϑsin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。
4．求椭圆柱面22221x y a b+=在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面 。
微分几何第2章曲面论第三节曲面的第二基本形式
1 p q 1 p q 1 p q 例1 求球面r { R cos cos , R cos sin , R sin } 的第二基本形式. 解：r { R cos sin , R cos cos ,0} r { R sin cos , R sin sin , R cos } 2 2 2 2 E r R cos , F r r 0, G r R2 , r r n EG F 2 e1 e2 e3 1 2 R cos sin R cos cos 0 R cos R sin cos R sin sin R cos
(其中 为平面到曲面( S )上的点P的离差). QP n， 下面计算 . QP n (QP PP) n QP n PP n PP n 1 2 [r ( s s) r ( s)] n [r s ( r )(s ) ] n 2 1 1 2 2 1 ( n r n )(s ) n r ( s ) n rds2 (s 0时) 2 2 2
定理 (梅尼埃定理 ) 曲面曲线(C )在给定点P的 曲率中心C就是与曲线(C )
具有共同切线的法截线 (C 0 ) 上同一点P的曲率中心C 0 在
法截线
曲线(C )的密切平面上的投影.
即
kn k cos R Rn cos
S (C 0 ) R (C ) n C C 0 密切平面 法截面
(1 4a x )dx 8a xydxdy (1 4a y )dy . r 2s t 2 II dx dxdy dy 2 1 p2 q 2 1 p2 q 2 1 p2 q 2
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§3曲面的第二基本形式1. 计算悬链面r ={coshucosv,coshusinv,u}的第一基本形式,第二基本形式.解 u r ={sinhucosv,sinhusinv,1},v r={-coshusinv,coshucosv,0} uu r ={coshucosv,coshusinv,0},uv r={-sinhusinv,sinhucosv,0},vv r ={-coshucosv,-coshusinv,0},2u r E == cosh 2u,v u r r F⋅==0,2v r G ==cosh 2u.所以错误!未找到引用源。
= cosh 2u 2du + cosh 2u 2dv .n =2F EG r r v u -⨯ =}sin sinh ,sin cosh ,cos cosh {cosh 12v u v u v u u--, L=11sinh cosh 2-=+-u , M=0, N=1sinh cosh 2+u =1 .所以错误!未找到引用源。
= -2du +2dv 。
2. 计算抛物面在原点的22212132452x x x x x ++=第一基本形式,第二基本形式.解 曲面的向量表示为}225,,{22212121x x x x x x r ++= ,}0,0,1{}25,0,1{)0,0(211=+=x x r x ,}0,1,0{}22,1,0{)0,0(212=+=x x r x ,}5,0,0{11=x x r, }2,0,0{21=x x r ,}2,0,0{22=x x r, E = 1, F = 0 , G = 1 ,L = 5 , M = 2 , N =2 ,错误!未找到引用源。
=2221dx dx +, 错误!未找到引用源。
=222121245dx dx dx dx ++.3. 证明对于正螺面r ={u v cos ,u v sin ,bv},-∞<u,v<∞处处有EN-2FM+GL=0。
解 },cos ,sin {},0,sin ,{cos b v u v u r v v r v u -==，uu r ={0,0,0},uv r ={-uucosv,cosv,0},vv r ={-ucosv,-usinv,0},12==u r E ，0=⋅=v u r r F，222b u r G v +==， L= 0, M =22bu b +- , N = 0 .所以有EN - 2FM + GL= 0 .4. 求出抛物面)(2122by ax z +=在(0,0)点沿方向(dx:dy)的法曲率. 解 }0,0,1{},0,1{)0,0(==ax r x ,}0,1,0{},1,0{)0,0(==by r y ,},0,0{a r xx =,}0,0,0{=xy r },0,0{b r yy = ,E=1,F=0,G=1,L=a,M=0,N=b,沿方向dx:dy 的法曲率2222dydx bdy adx k n ++=. 5. 已知平面π到单位球面(S)的中心距离为d(0<d<1),求π与(S)交线的曲率与法曲率.解 设平面π与(S) 的交线为(C), 则(C)的半径为21d -,即(C)的曲率为211d k -=,又(C)的主法向量与球面的法向量的夹角的余弦等于±21d -,所以(C)的法曲率为n k k =±21d -=±1 .6. 利用法曲率公式IIIk n =,证明在球面上对于任何曲纹坐标第一、第二类基本量成比例。
证明 因为在球面上任一点处，沿任意方向的法截线为球面的大圆，其曲率为球面半径R 的倒数1/R 。
即在球面上，对于任何曲纹坐标(u,v)，沿任意方向du:dvR GdvFdudv Edu Ndv Mdudv Ldu I II k n 1222222=++++==或-R 1，所以)1(R G N F M E L ===，即第一、第二类基本量成比例。
7．求证在正螺面上有一族渐近线是直线，另一族是螺旋线。
证明对于正螺面r ={u v cos ,u v sin ,bv}，},cos ,sin {},0,sin ,{cos b v u v u r v v r v u -== ，uu r ={0,0,0}，vv r ={-ucosv,-usinv,0}，L=2),,(FEG r r r uu v u -=0, N=2),,(FEG r r r vv v u - =0 .所以u 族曲线和v 族曲线都是渐近线。
而u族曲线是直线，v 族曲线是螺旋线。
8. 求曲面2xy z =的渐近线.解 曲面的向量表示为},,{2xy y x r =,},,0,1{2y r x + }0,0,0{},2,1,0{==xx y r xy r ,22224241,2,41},2,0,0{},2,0,0{y x r G xy r r F y r E x r y r y y x x yy xy +===⋅=++===. 422422412,412,0yy x x N yy x y M L ++=++==.渐近线的微分方程为222Ndy Mdxdy Ldx ++,即,0242=+xdy ydxdy 一族为dy=0, 即1c y =,1c 为常数. 另一族为2ydx=-xdy, 即.,,ln 222为常数或c c y x c y x ==.8. 证明每一条曲线在它的主法线曲面上是渐近线.证 在每一条曲线(C)的主法线曲面上,沿(C)的切平面是由(C)的切向量与(C)的主法向量所确定的平面,与曲线(C)的密切平面重合,所以每一条曲线(C)在它的主法线曲面上是渐近线.方法二：任取曲线:()r r s Γ=，它的主法线曲面为:(,)()()S s t r s t s ρρβ==+，()()()(1)s s t s t t t ραβακατγκατγ=+=+-+=-+，t ρβ=，(1)s t t t ρρκακγ⨯=-+-在曲线Γ上，t = 0 , s t ρργ⨯=,曲面的单位法向量s n EG γ==-，即n γ=，所以曲线Γ在它的主法线曲面上是渐近线.9. 证明在曲面z=f(x)+g(y)上曲线族x=常数, y=常数构成共轭网.证 曲面的向量表示为 r ={x,y, f(x)+g(y)},x=常数,y=常数是两族坐标曲线。
},0,1{'f r x = ,},1,0{'g r y.''''{0,0,},{0,0,0},{0,0,},xx xy yy r f r r g ===因为0xy r r M r EG ⨯=⋅=-,所以坐标曲线构成共轭网，即曲线族 x=常数, y=常数构成共轭网。
11.确定螺旋面r ={u v cos ,u v sin ,bv}上的曲率线. 解},cos ,sin {},0,sin ,{cos b v u v u r v v r v u -==，uur ={0,0,0}，vv r ={-ucosv,-usinv,0}，uv r ={-sinv,cosv,0},12==u r E ，0=⋅=v u r r F，222b u r G v +==， L=0, M=22bu b +- , N=0,曲率线的微分方程为:0001222222=+-+-b u b b u du dudv dv ,即du bu dv 221+±=,积分得两族曲率线方程:222122)ln()ln(c u b u v c b u u v +-+=+++=和. 12.求双曲面z=axy 上的曲率线.解 ,1,0,1,,122222222222ya x a a M L x a G y x a F y a E ++==+==+=N=0 .由010112222222222222ya x a a x a y x a x a dx dxdy dy ++++-=0得222222)1()1(dy x a dx y a +=+,积分得两族曲率线为c y a ay x a ax +++±=++)1ln()1ln(2222.13.求曲面}2),(2),(2{uvv u b v u a r +-= 上的曲率线的方程.解 ,0,4,4,422222222=++=++-=++=L u b a G uv b a F v b a E M=22F EG ab-,N=0.代入曲率线的微分方程得所求曲率线的方程是:积分得,)()(22222222du v b a dv u b a ++=++:c v b a v u b a u ++++±=+++)ln()ln(222222 .14.给出曲面上一曲率线L,设 L 上每一点处的副法线和曲面在该点的法向量成定角,求证L 是一平面曲线.证法一：因 L 是曲率线,所以沿L 有r d n d nκ-=,又沿L 有γ •n =常数,求微商 得正交与而γγγ r d n d n n n ////,0=⋅+⋅,所以0=⋅n γ,即-τβ ·n =0,则有τ=0,或β ·n=0 .若τ=0, 则L 是平面曲线；若β ·n=0 ，L 又是曲面的渐近线，则沿L ，n κ=0 ，这时d n =0 ，n 为常向量，而当L 是渐近线时，γ =±n，所以γ 为常向量，L 是一平面曲线.证法二：若γ⊥n ，则因n ⊥dr ‖α ，所以n ‖β ，所以d n‖β，由伏雷内公式知d n ‖（κατβ-+）而L 是曲率线，所以沿L 有d n‖α，所以有τ=0,从而曲线为平面曲线；若γ 不垂直于n ， 则有γ •n =常数,求微商得0,n n γγ⋅+⋅=因为L 是曲率线，所 以沿L 有dn ‖dr ⊥γ，所以0n γ⋅=，所以0=⋅n γ，即-τβ ·n =0 ，若τ=0，则问题得证；否则β ·n =0 ，则因0n α⋅=，有n ‖γ，dn ‖d γ‖（-τβ ）‖α ，矛盾。
15．如果一曲面的曲率线的密切平面与切平面成定角，则它是平面曲线。
证 曲线的密切平面与曲面的切平面成定角，即曲线的副法向量和曲面的法向量成定角，由上题结论知正确。
16．求正螺面的主曲率。
解 设正螺面的向量表示为r ={u v cos ,u v sin ,bv}.解},cos ,sin {},0,sin ,{cos b v u v u r v v r v u -==，uu r ={0,0,0}，vv r ={-ucosv,-usinv,0}，uv r ={-sinv,cosv,0},12==u r E ，0=⋅=v u r r F，222b u r G v +==， L= 0, M =22bu b +- , N = 0,代入主曲率公式（EG-2F ）2Nκ-（LG-2FM+EN ）N κ+ LN-2M = 0 得2Nκ=2222)(a u a +。