解析几何中的定点,定值问答(含答案解析)

解析几何中的定点和定值问题

【教学目标】学会合理选择参数（坐标、斜率等）表示动态图形中的几何对象，探究、证明其不

变性质(定点、定值等)，体会“设而不求”、“整体代换”在简化运算中的作用．

【教学难、重点】解题思路的优化． 【教学方法】讨论式 【教学过程】 一、基础练习

1、过直线4x =上动点P 作圆224O x y +=：的切线PA PB 、，则两切点所在直线AB 恒过一定点．此定点的坐标为_________． 【答案】(1,0)

【解析】设动点坐标为(4,t P ），则以OP 直径的圆C 方程为：(4)()0x x y y t -+-= ， 故AB 是两圆的公共弦，其方程为44x ty +=． 注：部分优秀学生可由200x x y y r += 公式直接得出． 令440

x y -=⎧⎨=⎩ 得定点(1,0). 2、已知PQ 是过椭圆22:21C x y +=中心的任一弦，A 是椭圆C 上异于P Q 、的任意一点．若

AP AQ 、 分别有斜率12k k 、 ，则12k k ⋅=______________．

【答案】-2

【解析】设00(,),(,)P x y A x y ，则(,)Q x y --

22

0001222

000y y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⋅=-+-，

又由A 、P 均在椭圆上，故有：22

0022

21

21

x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩， 两式相减得2

2

2

2

002()()0x x y y -+-= ，22

0122

2

02y y k k x x -⋅==-- 3，过右焦点F 作不垂直于x 轴的直线交椭圆于A 、B 两点， AB 的垂直平分线交x 轴于N ，则_______.1=24

e

【解析】

设直线AB 斜率为k ，则直线方程为()3y k x =-,

与椭圆方程联立消去y 整理可得()

22223424361080k x k x k +-+-=,

则22121222

2436108

,3434k k x x x x k k -+==

++, 所以122

1834k

y y k -+=

+,

则AB 中点为222129,3434k k k k ⎛⎫

- ⎪

++⎝⎭

. 所以AB 中垂线方程为22291123434k k y x k k k ⎛⎫

+=-- ⎪++⎝⎭,

令0y =,则2

2334k x k =+,即22

3,034k N k ⎛⎫ ⎪+⎝⎭, 所以2222

39(1)

33434k k NF k k

+=-=++.

()2

2

361

34

k

AB

k

+

==

+

,所以1

4

NF

AB

=.

F

A,是其左顶点和左焦点，P是圆2

2

2b

y

x=

+

上的动点，若

PA

PF

=常数，则此椭圆的离心率是

【答案】e=

2

1

5-

【解析】

因为

PA

PF

=常数，所以当点P分别在（±b，0）时比值相等，

2

b ac

=，

又因为222

b a c

=-，

所以220

a c ac

--=

同除以a2可得e2+e-1=0，解得离心率e=

2

1

5-

．

二、典例讨论

例１、

如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：

22

1

42

x y

+=的左顶点为A，过原点O的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点．

试问以MN为直径的圆是否经过定点（与直线PQ的斜率无关）？请证明你的结论．

分析一：

设PQ 的方程为y kx =，设点()00,P x y （00x >），则点()00,Q x y --．

联立方程组22,24y

kx x y =⎧⎨+=⎩

消去y 得22

4

12x k =+． 所以0x

，则0y =

．

所以直线

AP 的方程为)2y x =

+．从而

M ⎛

⎫

⎝

同理可得点

N ⎛⎫ ⎝． 所以以MN 为直径的圆的方程为2

(

x y y +-

+

=

整理得：22

20x y y +-

-=

由22200

x y y ⎧+-=⎨=⎩，可得定点(0)F 分析二：

设P （x 0，y 0），则Q （﹣x 0，﹣y 0），代入椭圆方程可得22

0024x y +=．由直线PA 方程

为：00(2)2y y x x =

++，可得0020,2y M x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，同理由直线QA 方程可得0020,2y N x ⎛⎫

⎪-⎝⎭

，可得以MN 为直径的圆为2

000022022y y x y y x x ⎛⎫⎛⎫

+-

⋅-= ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭

，

整理得：22

2

002

0002240224y y y x y y x x x ⎛⎫+-++= ⎪+--⎝⎭

由于22

0042x y -=-，代入整理即可得22

002

04204x y x y y x ⎛⎫

+--=

⎪-⎝⎭

此圆过定点(0)F ． 分析三： 易证：2212

AP AQ

b k k a =-=-，

故可设直线AP 斜率为k ，则直线AQ 斜率为1

2k

-

. 直线AP 方程为(2)y k x =+，从而得(0,2)M k ，以12k -

代k 得10,N k ⎛

⎫- ⎪⎝

⎭

故知以MN 为直径的圆的方程为2

1

(2)()0x y k y k

+-+=

整理得：22

12(2)0x y k y k

+-+-=

由22200x y y ⎧+-=⎨=⎩

，可得定点(0)F . 分析四、

设(0,),(0,)M m N n ，则以MN 为直径的圆的方程为2()()0x y m y n +--=

即2

2

()0x y m n y mn +-++= 再由221

=2

AP AQ

AM AN b k k k k a =-=-得2mn =-，下略