必修1第一章第1节集合之间的关系及运算

一、学习目标：1. 了解集合的含义及元素与集合的“属于”关系；2. 能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题；3. 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；4. 在具体情境中，了解全集与空集的含义；5. 理解两个集合中的交集的含义，会求两个简单集合的交集。

二、重点、难点：1. 重点：集合的表示方法，元素和集合的关系，集合与集合之间的关系2. 难点：有关⊆∈,的理解和应用三、考点分析：本讲的内容是中学数学最基本的内容之一，基础问题往往体现集合的概念、运算及简单的运用，经常作为工具广泛地运用于函数、方程、不等式、三角函数及区间、轨迹等知识中，在高考中占有重要地位。

1. 集合（1）集合的分类⎩⎨⎧----含有无限个元素的集合无限集含有有限个元素的集合有限集（2）集合的元素特性：确定性、互异性、无序性 （3）集合的表示方法：①列举法—把集合中的元素一一列举出来，写在花括号内表示集合的方法； ②描述法—把集合中元素的公共属性描述出来，写在花括号内表示集合的方法。

（52. 集合间的基本关系：3. 交集：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为集合A 与集合B 的交集。

知识点一：集合的基本概念例1. 在以下六种写法中，错误写法的个数是（ ）{}{}{}{}{}{}{}{}0,006)5(,0)4(,1,0,11,1,0)3(,0)2(,1,00)1(==∈-⊆-⊂∈≠）（），（全体整数Z φφA. 3B. 4C. 5D. 6 思路分析：题意分析：本题主要考查集合中的有关基本概念及集合中的两个符号⊆∈和的区别。

对写法（1）、（2）、（3）、（5）、（6）考查集合与集合间符号的运用，对写法（4）考查元素与集合之间符号的运用。

解题思路：对写法（1）是要理解集合的大小，写法（2）是表示空集与任意集合的关系，写法（3）表示集合相等的概念，写法（4）是表示实数0与空集的关系，写法（5）是集合的表示，写法（6）是对集合中元素的认识。

解答过程：（1）是两个集合的关系，不能用“∈”； （2）空集是任何非空集合的真子集，故写法正确；（3）集合中的元素具有无序性，只要集合中的所有元素相同，两个集合就相等；（4）φ表示空集，空集中无任何元素，所以应是φ∉0，故写法不正确；（5）集合符号“{}”本身就表示全体元素之意，故此“全体”两字不应写；（6）等式左边集合的元素是平面上的原点，而右边集合的元素是数零，故不相等。

故本题选B题后思考：本题考查集合的有关基本概念，尤其要注意区别⊆∈和两个符号的不同含义。

例2. 已知{}33,)1(,222++++=a a a a A ，若A ∈1，求实数a 的值。

思路分析：题意分析：本题主要考查元素与集合之间的关系，集合中元素的有关性质。

解题思路：解答过程：{}1,0,1A ,1a 12a =-==+时，当不符合集合性质，舍去；{}{}.0a .(2a 1a ,02a 3a 13a 3a ,0,1,1A 2a 2)2,1,3A 0a )1,2a 0a 1)1a (222=-=-==++=++=-===-===+所以，综上所述：舍去）或时，当舍去；时，当时，当或时，当题后思考：本题主要考查元素在集合中的性质，要学会用分类的思想考虑问题，并且要通过集合中元素的唯一性验证集合。

例3. 已知集合{}{}012,082222=-++==--=a ax x x B x x x A ，当A B ⊆时，求实数a 的取值范围。

思路分析：题意分析：本题考查了子集的有关概念和应用，对于集合{}4,2-=A 中含有确定的两个元素－2，4，如果集合B 是集合A 的子集，则集合B 中的元素应是集合A 中的元素，另外还考查了分类的思想。

解题思路：本题应从如何使方程01222=-++a ax x 的解集成为集合A 的子集入手，寻求集合B 可能的情况，但无论如何不能使集合B 中含有集合A 以外的元素，尤其不能忘记集合B 可能是空集。

解答过程：由已知得{}4,2-=A ，B 是关于x 的方程01222=-++a ax x 的解集，因为A B ⊆，所以{}{}{}φ,4,2,4,,2--=B（1）若{},2-=B 则012)2(2(22=-+-+-a a ），解得24-==a a 或，当04=∆=时，恰有a ；（2）若{},4=B 则0124422=-++a a ，解得舍去，此时02>∆-=a ； （3）若{},4,2-=B 则由（1）（2）知02>∆-=，此时a 符合题意； （4）若φ=B 时，由0<∆解得44-<>a a 或.综上所述，所求实数a 的取值范围是424≥-=-<a a a 或或.题后思考：①在本题的讨论中，当{}4B =时的真正含义是：集合B 中的一元二次方程有两个相等的实根4x x 21==；②当B 为单元素集时，也可利用韦达定理求出a 的值；③在考虑子集的过程中容易遗漏空集的情况，事实上，我们应首先考虑空集。

知识点二：集合的运算（交集）例4. 若{}{}==--===B A ,032,122则x x x B x x A （ ） A. {}3B. {}1C. φD. {}1-思路分析：题意分析：本题考查交集的定义和一元二次方程的解。

解题思路：先解方程12=x 得出集合A 的元素用列举法表示出来，解0322=--x x ，用列举法把集合B 中的元素表示出来，再求B A 。

解答过程：由12=x 得{},11A 1-=∴±=，x ，由0322=--x x 得{}1,3-B 31=∴-=，或x{}1-B A =∴ ，故选D 。

题后思考：本题主要考查交集的定义，因此，只要对定义的内容清楚应不难写出答案。

例5. 设集合{}{}=<<-=<+=B A .23,312x A 则x x B x （ ） A. {}13<<-x x B. {}21<<x x C. {}3->x x D. {}1<x x思路分析：题意分析：本题考查集合A 和B 的交集，A 和B 两个集合都是与不等式有关的，则求集合A 和B 的交集时，我们需要借助于数轴，用数形结合的方法来解题更形象。

解题思路：先解出A 中元素应满足的范围，再在数轴上表示出A 中元素满足的范围，然后在数轴上表示出B 中元素所满足的范围，由数轴得出最终的结果。

解答过程：由{}1,1312<=∴<<+x x A x x 解得. 又由{}23<<-=x x B ，{}1x 3x B A <<-=∴ ，故选A 。

题后思考：本题是简单的求关于不等式的两个集合的交集的问题。

一般步骤是：①先把每个集合中满足不等式的解集解出来； ②用数轴表示出来；③根据数轴的图像得出最终的答案。

尤其要注意的是有没有“等号”，在数轴上表示为实心点或空心点，以及能否取到该值。

例6. 已知{}{}，若或φ=>-<=+≤≤=B A .51,32x A x x x B a x a 求a 的取值范围.思路分析：题意分析：本题考查A 和B 的交集为空集，B 为已知的集合，A 集合中包含的元素随着a 的变化而变化，需要合理的讨论。

解题思路：先在数轴上得出B 集合，再由φ=B A ，确定出A 集合的位置，再解关于A 集合的不等式.但不要忘了φ=A 这个特殊情况，在解题过程中很有可能会遗漏。

解答过程：（1）若φ=A ，由φ=B A 知，此时3,32>∴+>a a a ； （2）若得如图：由,B A ,φφ=≠ A⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+≤≤≤-≤+-≥∴32.221,5312a a a a a 解得 综上所述，a 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧>≤≤-3221a a a 或.题后思考：①出现交集为空集的情况，首先要考虑集合中有没有空集，即分类讨论； ②与不等式有关的集合运算中，用数轴分析法直观清晰，应重点考虑；③对两个集合交集的端点值能否取到的问题也应仔细分析。

①关于集合的运算，一般应把各参与运算的集合化简到最简形式，再进行运算； ②出现交集为空集的情况，首先考虑集合中有没有空集； ③与不等式有关的集合运算中，多注意用数轴法表示；④对于含参数的集合问题，在根据集合的互异性进行处理时，有时需要用到分类讨论、数形结合的思想。

一、预习新知：1. 设集合{}{}=<<-=<+=B A .23,312x A 则x x B x _______；=A C U ________。

2. 已知{}{}R U .,51,32x A =>-<=+≤≤=设或x x x B a x a ，若U B A = ，求a 的取值范围。

二、预习点拨：反思探究反思与探究的任务：理解集合之间的运算（并、补、全）（1.2集合之间的关系与运算） 1. 全集的定义； 2. 补集的定义； 3. 并集的定义。

【反思】（1）阅读教材，理解两个集合的并集的含义，会求两个简单集合的并集。

（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集。

（3）能使用韦恩图表达简单集合间的关系与运算。

（4）在“预习新知”中提出的两个问题，你能用预习的知识和前面所学的方法解决吗？（答题时间：45分钟）一、选择题：1. 集合{}5N x <∈x 的另一种表示方法是（ ）A. {}4,3,2,1,0B. {}4,3,2,1C. {}5,4,3,2,1,0D. {}5,4,3,2,1 2. 已知集合{}{}10,21x <<=<<-=x x B x A ，则（ ） A. B A >B. B A ⊂C. A B ⊂D. B A ⊆3. 下列五个关系式：①{}00⊂；②{}00∈；③{}φ=0；④{}0∈φ；⑤{}0⊂φ其中正确的有（ ） A. ①③ B. ①⑤ C. ②④ D. ②⑤4. 设集合{}{}=≤≤-∈=<<-∈=N M .31,23Z m M 则n Z n N m （ ）A. {}1,0B. {}1,01，- C. {}2,1,0 D. {}2,1,01，- 5. 已知{}{}=-==-==N M ,1,1M 22那么x y y N x y x （ ）A. φB. MC. ND. R*6. 设R b a ∈,，集合{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+b a b a b a ,,0,,1，则=-a b （ ） A. 1B. －1C. 2D. －27. 集合{}的范围是则实数且a R x a x x x M,,02M 2⊂∈=-+=φ（ ） A. 1-≤a B. 1≤a C. 1-≥aD. 1≥a二、填空题：8. 已知集合{}{}，且B A ,a x x B ,R x ,2x x A ⊆≤=∈≤=则实数a 的取值范围是____。