必修二数学点线面之间的位置关系

必修二数学点、线、面之间的位置关系

一、基本位置关系

【知识要点】

1. 公理：

公理1： 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。

符号表示：ααα??∈∈∈∈l B A l B l A ,,,。

公理2： 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

推论1: 经过一条直线和直线外的一点,有且只有一个平面; 推论2：经过两条相交直线,有且只有一个平面; 推论3: 经过两条平行直线,有且只有一个平面.

公理3： 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

符号表示：l P l P P ∈=??∈∈,,βαβα。

2. 直线之间的位置关系

（1）平行：在同一平面内，且没有交点。

（2）相交：在同一平面内，有且只有一个交点。 （3）异面：不同在任何一个平面内，没有公共点。

公理4（平行公理）： 平行于同一条直线的两条直线互相平行。

符号表示：313221////,//l l l l l l ?。

定理：空间中如果有两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 3. 直线与平面之间的位置关系

（1）直线在平面内----有无数个公共点

（2）直线与平面相交--有且只有一个公共点 （3）直线与平面平行----没有公共点

注：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外

4. 平面与平面之间的位置关系

（1）两个平面平行---没有公共点

（2）两个平面相交---有一条公共直线

【基础训练】

1. 不共线的四点可以确定平面的个数可能为（ ）

A.1或2个

B.2或3个

C.3或4个

D.1或4个

2. 若直线上有两个点在平面外，正确结论是（ ）

A.直线在平面内

B.直线在平面外

C.直线上所有点都在平面外

D.直线与平面相交

3. 以下命题正确的是（ ）

A ．两个平面可以只有一个交点

B ．一条直线与一个平面最多有一个公共点

C．两个平面有一个公共点，它们可能相交D．两个平面有三个公共点，它们一定重合

4.下面四个说法中，正确的个数为（）

（1）如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合

（2）两条直线可以确定一个平面

（3）若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l

（4）空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内

A．1 B．2 C．3 D．4

5.若三个平面把空间分成6个部分，那么这三个平面的位置关系是（）

A．三个平面共线；

B．有两个平面平行且都与第三个平面相交；

C．三个平面共线，或两个平面平行且都与第三个平面相交；

D．三个平面两两相交。

6.经过平面外两点与这个平面平行的平面（）

A．只有一个 B．至少有一个 C．可能没有D．有无数个

7.空间四边形的对角线互相垂直且相等，顺次连结这个四边形各边中点，所组成的四边形

是（）

A.梯形

B.矩形

C.平行四边形

D.正方形

8.已知平面α内有无数条直线都与平面β平行，那么（）

A．α∥βB．α与β相交C．α与β重合D．α∥β或α与β相交

9.两等角的一组对应边平行，则（）

A．另一组对应边平行B．另一组对应边不平行

C．另一组对应边不平行也不垂直D．以上都不对

【典例精析】

例1．ABCD－A1B1C1D1是正方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论中错误的是( )

A．A、M、O三点共线B．M、O、A1、A四点共面

C．A、O、C、M四点共面D．B、B1、O、M四点共面

例2．给出下面四个命题：

①在空间，过直线外一点，作这直线的平行线只能有一条；

②既不平行，又不相交的两条不同的直线是异面直线；

③两两互相平行的三条直线可确定3个平面；

④设a、b为异面直线，则a与b没有公共点，反之也成立。

其中正确命题的个数是（）

A.1

B.2

C.3

D.4

例3．已知a和b是两条异面直线，下列结论正确的是 ( )

A.过不在a 、b上的任意一点，可作一个平面与a 、b都平行

B.过不在a 、b上的任意一点，可作一条直线与a 、b都相交

C.过不在a 、b上的任意一点，可作一条直线与a 、b都平行

D.过a 有且只有一个平面与b 平行

例4．已知：E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 各边AB 、AD 、CB 、CD 上的点，且直线EF 和GH 交于点P ，

求证：点B 、D 、P 在同一条直线上。

二、异面直线有关的（计算）问题

【知识要点】

1. 异面直线所成的角

2. 异面直线所成的角的求解步骤 。

【基础训练】

1. 已知直线a ，如果直线b 同时满足下列两个条件：

①直线b 与a 是异面直线； ②b 与a 所成的角为定值θ。 那么这样的直线b 有（ ） A.1条

B.2条

C.3条

D.无数条

2. 已知,a b 是两条异面直线，//c a ，那么c 与b 的位置关系____________________

3. 直线c b a ,,满足,,c b c a ⊥⊥则b a ,的位置关系是 。

4. 已知在四面体ABCD 中，,E F 分别是,AC BD 的中点，若2,4,AB CD EF AB ==⊥，

则EF 与CD 所成的角的度数为（ ）

Ａ 90 Ｂ 45 Ｃ 60

Ｄ 30

【典例精析】

例1．正三棱锥中相对的两条棱所成的角= 。

例2．已知点S 在平面ABC 外，SB ⊥AC ，SB ＝AC ＝2，E 、F 分别是SC 和AB 的中点，则EF 的长是（ ）

A ．1

B ．2

C ．

2

2

D ．

2

1

E

F

D

B

C

A

例3．如图，在四面体ABCD 中，F E ,分别是BD AC ,的中点，若AB EF ⊥，AB EF 2

1

=，则EF 与CD 所成的角为（ ）. A.090

B.0

45

C.060

D.0

30

例4．异面直线a 、b 成0

60角，直线a c ⊥，则直线b 与c 所成的角的范围是（ ）

A.[0

30,0

90] B.[0

30,0

60] C.[0

60,0

90]

D.[0

30,0120]

例5．如图在正三棱柱C B A ABC 111-中,底面边长为2.

(1)设侧棱长为1,求证11BC AB ⊥;

(21AB 与1BC 成600

角,求侧棱长.