运用焦半径公式速解焦点弦问题_马洪炎

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高中数学破题致胜微方法(双曲线进阶性质)：双曲线的焦半径

1由双曲线上任意一点与其焦点所连的线段叫做这点的焦点半径，简称焦半径。

双曲线的焦半径是一个非常重要的几何量，从双曲线的第二定义可以推导出双曲线的焦半径公式。

在涉及到焦半径或焦点弦的一些问题时，常利用焦半径公式把问题转化，简化运算过程。

先看例题：例：已知点P (x 0，y 0)在双曲线22a x －22by = 1 (a ＞0，b ＞0)上，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点。

若点P 在右半支上，则| PF 1| =e x 0+ a ，| PF 2| =e x 0－a ；若点P 在左半支上，则| PF 1| =－(e x 0+ a ) ，| PF 2| =－(e x 0－a )，其中e 是双曲线的离心率。

证明：双曲线22a x －22by = 1 (a ＞0，b ＞0)上的两焦点F c F c 1200()()-，、，，相应的准线方程分别是x a c x a c=-=22和2双曲线上任一点到焦点的距离与它到相应准线的距离的比等于双曲线的离心率，若点P 在右半支上，则122200|PF ||PF |e e a a x x c c==+-，。

化简得1020|PF |a ex |PF |ex a =+=-，。

同理可证若点P 在左半支上，则| PF 1| =－(e x 0+ a ) ，| PF 2| =－(e x 0－a )。

注意：（1）||||PF PF 12、都是双曲线上的点到焦点的距离，习惯称作焦半径;（2）若点P 在左半支上,也可以根据点P 在右半支上的焦半径公式和双曲线的第一定义推导出点P 在左半支上的焦半径公式。

整理：已知点P (x 0，y 0)在双曲线22a x －22by = 1 (a ＞0，b ＞0)上，F 1， F 2分别为双曲线的左、右焦点。

3若点P 在右半支上，则| PF 1| =e x 0+ a ，| PF 2| =e x 0－a ；若点P 在左半支上，则| PF 1| =－(e x 0+ a ) ，| PF 2| =－(e x 0－a )，其中e 是双曲线的离心率。

高中数学椭圆的焦点弦长公式的四种推导方法及其应用

椭圆的焦点弦长公式的四种推导方法及其应用摘要：直线与椭圆相交时的弦长问题，可以用万能的弦长公式解决即12AB x -或者12AB y -，而有一种特殊的弦是过焦点的弦，它的弦长有专门的公式：22222cos ab AB a c θ=-，如果记住公式，可以给我们解题带来方便.下面我们用万能弦长公式，余弦定理，焦半径公式，仿射性四种方法来推导椭圆的焦点弦长公式，这几种方法涉及到很多思想，最后举例说明其应用.解法一：根据弦长公式直接带入解决.题：设椭圆方程为12222=+by a x ，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，直线l 过椭圆的右焦点2F 交椭圆于1122(,),(,)A x y B x y 两点，求弦长AB .椭圆方程12222=+by a x 可化为0222222=-+b a y a x b ……①，直线l 过右焦点，则可以假设直线为：x my c =+(斜率不存在即为0m =时)，代入①得：222222222()20b m a y mcb y b c a b +++-=，整理得，222224()20b m a y mcb y b ++-=∴2412122222222,mcb b y y y y b m a b m a +=-=-++，∴12AB y -==∴()2222221ab AB m b m a=++ （1）若直线l 的倾斜角为θ，且不为90,则1tan m θ=，则有： ()2222222222221111tan tan ab ab AB m b m a b a θθ⎛⎫=+=+ ⎪+⎝⎭+,由正切化为余弦，得到最后的焦点弦长公式为22222cos ab AB a c θ=-……②. （2）若=90θ，则0m =，带入()2222221ab AB m b m a =++,得通径长为22b a ，同样满足②式.并且由()222232222222222222222222()222()2()21=22ab a b m a a ab a a b a a b b AB m a a b m a b m a b m a a a +-+--=+=-≥-=+++,当且仅当0=m 即斜率不存在的时候，过焦点弦长最短为a b 22，故可知通径是最短的焦点弦，.综上，焦点弦长公式为22222cos ab AB a c θ=-.解法二：根据余弦定理解决题：设椭圆方程为12222=+by a x ，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，直线l 过椭圆的右焦点2F 交椭圆于1122(,),(,)A x y B x y 两点，求弦长AB .解：如右图所示，连结11,F A F B ，设22=,F A x F B y =，假设直线的倾斜角为θ，则由椭圆定义可得11=2,2F A a x F B a y -=-，在12AF F ∆中，由余弦定理得222(2)(2)cos()4c x a x cx πθ+---=，化简可得2cos b x a c θ=-，在12BF F ∆中，由余弦定理同理可得2cos b y a c θ=+，则弦长2222222=cos cos cos b b ab AB x y a c a c a c θθθ=+=+-+-.解法三：利用焦半径公式解决题：设椭圆方程为12222=+by a x ，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，直线l 过椭圆的右焦点2F 交椭圆于1122(,),(,)A x y B x y 两点，求弦长AB .解：由解法一知22212121222222222=()22m cb a cx x my c my c m y y c c b m a b m a ++++=++=-+=++.由椭圆的第二定义可得焦半径公式，那么2122,F A a ex F B a ex =-=-故222221212222222222(1)=2()ab m ab ab m AB a ex a ex a e x x b m a b m a ++-+-=-+==++后面分析同解法一.解法四：利用仿射性解决题：设椭圆方程为12222=+by a x ，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，直线l 过椭圆的右焦点2F 交椭圆于1122(,),(,)A x y B x y 两点，求弦长AB .解：利用仿射性，可做如下变换''x xa y yb =⎧⎪⎨=⎪⎩，则原椭圆变为222(')(')x y a +=，这是一个以原点为圆心，a 为半径的圆.假设原直线的斜率为k ，则变换后斜率为ak b.椭圆中弦长212=1AB k x x +-，经过变换后变为212''1()a A B k x x b=+-，带入，得变换前后弦长关系为22221=''b k AB A B b a k++……③而我们知道圆的弦长可以用垂径定理求得.如图所示，假设直线为()ay k x c b=-，圆心到直线的距离为21()a kc bd a k b=+，根据半径为a ，勾股定理求得弦长为222222222()(1)''=221()akc a b k b A B a ak b a k b+-=++，将此结果带入③中，得222222222222222222211(1)2(1)=''=2=b k b k a b k ab k AB A B b a k b a k b a k b a k++++++++，由tan k θ=，带入得 22222cos ab AB a c θ=-.上面我们分别用了四种不同的方法，求出了椭圆中过焦点的弦长公式为：22222cos ab AB a c θ=-，记住这个公式，可以帮助我们快速解决一些题目，下面我们举例说明.例1已知椭圆2212521x y +=的直线交椭圆于,A B 两点，求AB . 分析：如果直接用弦长公式解决，因为有根号，特别繁琐，利用公式则迎刃而解.解：由题，225,21,4=3a b c πθ===，,带入22222cos ab AB a c θ=-得=10AB . 例2已知点3(1,)2P -在椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>上，过椭圆C 的右焦点2(1,0)F 的直线l 与椭圆C 交于,M N 两点. （1）求椭圆的标准方程；（2）若AB 是椭圆C 经过原点O 的弦，且MNAB ，2ABW MN=,试判断W 是否为定值？若是定值，求出这个定值，若不是，说明理由.分析：因为l 过焦点，故弦长可以用过焦点的弦长公式解决，显得十分简洁简单. 解：（1）由题知1c =，将点P 带入得221914a b+=，又222a b c =+，解得224,3a b ==，故椭圆方程为22143x y +=. （2）假设(,)A m n，则AB =，设倾斜角为θ，则cos θ=，根据过焦点的弦长公式则2222222222221234cos 12()4abm n MN m a c m n m n θ+===-+-+，故222=443ABm n W MN =+（）=4. 例3如图，已知椭圆22143x y +=的左右焦点为12,F F ，过2F 的直线1l 交椭圆于,A C 两点，过1F 的直线2l 交椭圆于,B D 两点，12,l l 交于点P (P 在x 轴下方)，且1234F PF π∠=，求四边形ABCD 的面积的最大值.分析：注意到以原点为圆心，半焦距为半径的圆与椭圆没有交点，故形成1234F PF π∠=的点P 在圆内，先可以用焦点弦长公式表示出面积，再利用换元求出其最大值.解：假设1l 的倾斜角为θ,则2l 的倾斜角为3+4πθ，由椭圆的焦点弦长公式得：2124cos AC θ=-, 2124cos ()4BD πθ=--，221221212=2244cos 4cos ()4S AC BD πθθ⋅⋅⋅=⋅⋅---, 设22()(4cos )(4cos ())4f πθθθ=---71714971(cos 2)(sin 2)sin 2+cos 2+sin 42222448θθθθθ=--=-（）设sin 2cos 2(2,2)t t θθ⎡⎤+=∈-⎣⎦，则2sin 41t θ=-,带入得24971()+(1)448f t t t =-- 即21797()848f t t t =-+ min 99142()8f t -=,此时2t =，即sin 2cos 22θθ+=，得到=8πθ.综上，四边形ABCD 的最大值为2882=5.1499142S ≈-.此时=8πθ，得到2l 的倾斜角为78π,刚好两直线关于y 轴对称，如右图所示.。

圆锥曲线中焦点弦问题(共16张PPT)

焦点弦问题
（1）焦点弦长的求法
方法三：焦点弦长公式已知圆锥曲线 C 的离心率为 e，焦点为 F，焦准距（焦点到准线的距离）为 p，过点 F 的弦 MN 与曲线 C 的焦点所在的轴的夹角为 , (0,90 ] ，则有 2ep 2p | MN | | MN | ，在抛物线内 sin 2 |1 e 2cos 2 |
证明过程如下：
a2 设 N (x1, y1 ) ，根据第二定义可知 NF eNN ' e( x1 ) a ex1 c
在 RT DNF 中， x1 OD OF DF c NF cos ，代入上式得：
NF a e(c NF cos ) ，解得 NF
解析：本题考查焦点弦长公式，在抛物线中焦点弦=
2p ，所以 2 1 cos
| AB | | DE |
4 2p 16 1 cos2 1 cos2 ( ) sin 2 2 2
当分母取 1 时，原式子取得最小值，最小值为 16.
（1）焦点弦长的求法
焦点弦问题
例 3：过抛物线 C : y 2 4x 的焦点 F，且斜率为 3 的直线交 C 于点 M （M 在 x 轴上方）， l 为 C 的准线，点 N 在 l 上且 MN l ，则 M 到直线 NF 的距离为_________.
解析：作出图像运用抛物线唯一的性质即可，唯一的性质即为 MF MN ，且
又因为 e
2 ，故可解出 a 3, b 5 3
x2 y 2 1 椭圆Байду номын сангаас程为 9 5
（1）焦点弦长的求法
焦点弦问题
例 2：已知 F 为抛物线 C : y 2 4x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 l1 , l2 ，直线 l1 与 C 交于 A, B 两点，直线 l2 与 C 交于 D, E 两点，则 | AB | | DE | 的最小值为________.

【椭圆小题突破】第2讲椭圆焦半径与焦点弦2(用焦半径的长度的范围解题)(教案) 二轮复习专题

椭圆的焦半径和焦点弦2用焦半径的长度的范围解题知识点：设椭圆的焦半径为r ，则a-c≤r ≤a+c1.椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) 的左、右焦点分别是F 1、F 2，若存在点M 使|MF 1|=3|MF 2|,则该椭圆离心率的取值范围是 .法一：用焦半径的范围r 1+r 2=2a,r 1=3r 2,2r 2=a,a-c≤a 2≤a+c,e≥12法二：用焦半径公式＋椭圆上点的坐标的范围a+ex =3(a-ex ),2ex =a ,x =a 2e ，又x ≤a , e≥12法三：用特殊位置＋椭圆离心率的意义当M 点是右顶点时，a+c =3(a-c ),4c =2a ,e =12 , 另外，当椭圆越来越扁时，必存在点M 使|MF 1|=3|MF 2|,所以e ≥122.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(-c ,0),F 2(c ,0),若椭圆C 上存在一点P 使a sin∠PF1F2＝ c sin∠PF2F1,则该椭圆的离心率的取值范围为___________.【答案】)1,1- 法一：用焦半径公式＋椭圆上点的坐标的范围因为在12PF F ∆中,由正弦定理得211221sin sin PF PF PF F PF F = 则由已知,得1211a c PF PF =,即12aPF cPF = 设点00(,)x y 由焦点半径公式,得1020,PF a ex PF a ex =+=-则00()()a a ex c a ex +=-记得0()(1)()(1)a c a a e x e c a e e --==-+由椭圆的几何性质知0(1)(1)a e x a a e e ->->-+则,整理得2210,e e +->解得11(0,1)e e e <<∈或，又,故椭圆的离心率1,1)e ∈ 法二：用焦半径的范围由法一知12c PF PF a=由椭圆的定义知 212222222c a PF PF a PF PF a PF a c a+=+==+则即,由椭圆的几何性质知22222,,20,a PF a c a c c c a c a<+<++->+则既所以2210,e e +->以下同解析1.3.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F ，直线x =a 2c 与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是（）A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．⎛ ⎝⎦D ．⎫⎪⎪⎣⎭【答案】B【详解】由题意，椭圆上存在点P ，使得线段AP 的垂直平分线过点F ，即F 点到P 点与A点的距离相等，即|PF |=|F A |，|F A |= 22,a b c c c-=又[,]PF a c a c ∈-+ 2[,]b a c a c c∴∈-+222ac c b ac c ∴-≤≤+ 222222ac c a c ac c a c ⎧-≤+∴⎨+≥-⎩22210210e e e e ⎧-+≥∴⎨+-≥⎩解得12e ≥或1e ≤-（舍）又1(0,1)[,1)2e e ∈∴∈4.已知椭圆x 24+y 2=1，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则1|PF1|+1|PF2|的取值范围为（）A ．[]1,2B． C．4⎤⎦ D ．[]1,4【答案】D 【详解】对于椭圆2214x y +=，2a =，1b =，c = 根据椭圆的定义可得1224PF PF a +==，设1PF x =，则24PF x =-，且a c x a c -≤≤+，即22x ≤≤ 则()()[]221244241,4PF PF x x x x x ⋅=-=-+=--+∈，所以，[]121212121141,4PF PF PF PF PF PF PF PF ++==∈⋅⋅.。

第7讲破解离心率问题之焦点弦公式和焦半径公式(解析版)

第7讲破解离心率问题之焦点弦公式和焦半径公式参考答案与试题解析一．选择题（共11小题）1．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点A 在双曲线上，且2AF x ⊥轴，若12||7||3AF AF =，则双曲线的离心率等于()A．2B．2C ．2D ．3【解答】解：12||7||3AF AF =，∴设2||3AF t =，1||7AF t =，2a t ∴=，2AF x ⊥ ，22212||4||AF c AF ∴=+即2224949t c t =+，c ∴=，22c e a t ∴===，故选：B ．2．如图，已知1F ，2F 为双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左、右焦点，过点1F ，2F 分别作直线l ，2l 交双曲线E 于A ，B ，C ，D 四点，使得四边形ABCD 为平行四边形，且11110,||||F D F A DF AF ⋅==，则双曲线E 的离心率为()ABC ．52D【解答】解：连接2AF ，设1||AF t =，0t >，由双曲线的定义可得2||2AF t a =+，|由题意可得1||DF t =，||AD =，由双曲线的定义可得2||2DF t a =-，在三角形2ADF 中，24590135ADF ∠=︒+︒=︒，由余弦定理可得222222||||||2||||cos135AF AD DF AD DF =+-⋅⋅︒，即为222(2)2(2)(2)()2t a t t a t a +=+--⋅-⋅-，化简可得3t a =，在直角三角形12F DF 中，1||3DF a =，2||32DF a a a =-=，12190F DF AF D ∠=∠=︒，12||2F F c =，所以222(3)(2)a a c +=，即为2c a =，即2c e a ==．故选：B ．3．点P 是双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>与圆22222:C x y a b +=+的一个交点，且12212PF F PF F ∠=∠，其中1F 、2F 分别为双曲线1C 的左右焦点，则双曲线1C 的离心率为()A 1+B ．12+C ．12D 1【解答】解：222a b c += ，∴圆2C 必过双曲线1C 的两个焦点，122F PF π∠=，122123PF F PF F π∠=∠=，则2||PF c =，1||PF =，1=．故选：A ．4．已知1F 、2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，圆2222x y a b +=+与该双曲线相交于点P ，若21122PF F PF F ∠=∠，则该双曲线的离心率为()AB1-CD1+【解答】解：圆2222x y a b +=+的半径为c =，圆的直径为12F F ，12PF PF ∴⊥，21122PF F PF F ∠=∠ ，02112260PF F PF F ∴∠=∠=，∴12,PF PF c ==，121)2PF PF c a -==，∴1c e a ===，故选：D ．5．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，点P 在椭圆上，且1230PF F ∠=︒，2160PF F ∠=︒，则椭圆的离心率等于()A1-B1-C．2+D【解答】解：1230PF F ∠=︒ ，2160PF F ∠=︒，12||2F F c =，∴△12PF F 是直角三角形，2||PF c =，1||PF =，由椭圆的定义可得，12||||2PF PF a +=，∴2c a +=，∴1c e a ===．故选：B ．6．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ．若椭圆C 上存在一点P ，使得2112sin sin PF F cPF F a∠=∠，则椭圆C 的离心率的取值范围为()A ．22B．1)-C．1,1)-D ．2(2【解答】解：在△12PF F 中，由正弦定理知211122sin ||sin ||PF F PF PF F PF ∠=∠，2112sin sin PF F cPF F a∠=∠，∴12||||PF ce PF a==，即12||||PF e PF =，①又P 在椭圆上，12||||2PF PF a ∴+=，②联立①②得22||(,)1aPF a c a c e =∈-++，即21aa c a c e -<<++，同除以a 得，2111e e e -<<++，得11e -<<．∴椭圆C的离心率的取值范围为1,1)-．故选：C ．7．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，点M 在椭圆C上，若c a=12||||MF MF ，则该椭圆的离心率不可能是()A ．14B ．12C ．35D．3【解答】解：设1||MF x =，因为点M 在椭圆C 上，所以12||||2MF MF a +=，所以2||2MF a x =-，因为12||||MF c a MF =，所以2c x a a x =-，解得2acx a c =+，由题意可知a c x a c -+ ，即2aca c a c a c-++ ，由2aca c a c++ 可得22()ac a c + ，即220a c + ，显然成立，由2aca c a c-+可得222a c ac - ，则212e e - ，又01e <<11e -< ，故选：A ．8．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，P 是椭圆上一点，212||||2PF F F c ==，若21(,)3PF F ππ∠∈，则该椭圆的离心率的取值范围是()A ．1(0,)2B ．1(0,3C ．1(,1)2D ．11(,)32【解答】解：212||||2PF F F c == ，∴△12PF F 是以1PF 为底的等腰三角形，1||22PF a c =-，过2F 作21F A PF ⊥交1PF 于A ，则有111212121||||2cos ||||2PF AF a cPF F F F F F c -∠===，21(,)3PF F ππ∠∈ ，12(0,3PF F π∴∠∈，121cos (22a c PF F c -∴∠=∈，1)，即1122a c c -<<，解得1132c a <<．∴该椭圆的离心率的取值范围是1(3，1)2．故选：D．9．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 做倾斜角为6π的直线与椭圆相交于A ，B 两点，若222AF F B =，则椭圆C 的离心率e 为()AB ．13C ．34D ．45【解答】解：由椭圆的方程可得右焦点2(,0)F c ，由题意设直线AB的方程为x c =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立22221x c x y ab ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，整理可得：22224(3)0a b y y b ++-=，则12412223y y b y y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪+⎩①，若222AF F B =，则122y y =-②，①②联立22223y a b =+，可得24222222()33b a b a b =++，整理可得：22427c a =，解得9c e a ==，故选：A ．10．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 作倾斜角为6π的直线与椭圆相交于A ，B 两点，若223BF F A =，则椭圆C 的离心率e 的值为()A．3B．2C．2D．3【解答】解：由题意，由点A ，B 向右准线作垂线，设垂足分别为1A ，1B ，设2||F A t = ， 223BF F A = ，2||3BF t ∴=．由椭圆的第二定义，可得：1||t AA e =，13||t BB e=．过点A 向直线1BB 作垂线，设垂足为Q ，则在Rt ABQ ∆中，1122cos BB AA BQ ABQ AB BF F A-∠==+．即31cos 2632t t e e t t eπ-===+，解得3e =．故选：A ．11．已知1F ，2F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，过左焦点1F 的直线与椭圆C交于A ，B 两点，且11||3||AF BF =，2||||AB BF =，则椭圆C 的离心率为()ABCD【解答】解：设1||BF x =，则1||3AF x =，2||||4AB BF x ==，而由椭圆的定义可知12||||25BF BF a x +==，所以25a x =，所以16||5a AF =，则24||5a AF =，在2ABF ∆中，2222222216||||||125cos 642||||425aAB AF BF A AB AF a +-===，所以在△12AF F 中，2222121212||4||||2||||cos F F c AF AF AF AF A ==+-，即2223616641422525554a a c a a =+-⨯⨯⨯，整理可得：2225c a =，所以c e a ==，故选：B ．二．填空题（共6小题）12．已知双曲线E ：的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1作直线与双曲线E 交于A ，B 两点，满足|AF 2|＝|F 1F 2|，且，则双曲线E 的离心率e为．【解答】解：因为|AF 2|＝|F 1F 2|，由双曲线的定义可得|AF 1|＝2c ﹣2a ，由，则|BF 1|＝4c ﹣4a ，所以|BF 2|＝|BF 1|+2a ＝4c ﹣2a ，在△AF 1F 2中，由余弦定理可得cos ∠AF 1F 2＝＝＝，在△BF 1F 2中，由余弦定理可得cos ∠BF 1F 2＝＝＝，又因为cos ∠AF 1F 2+cos ∠BF 1F 2＝0，即+＝0，整理可得3c 2+5a 2﹣8ac ＝0，即3e 2﹣8e +5＝0，解得：e ＝或e ＝1（舍），故答案为：．13．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点为1F ，2F ，M 为椭圆上一点，若1||MF ，123||F F ，2||MF 成等差数列，则椭圆C 的离心率为16．【解答】解：因为1||MF ，123||F F ，2||MF 成等差数列，所以1212||||6||MF MF F F +=，即262a c =⋅，所以16c e a ==．故答案为：16．14．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆上一点，且满足11()0(PF OF OP O ⋅+=为坐标原点）．若12|||PF PF =，则椭圆的离心率为-【解答】解：取1PF 的中点N ，连接ON ，所以可得12OF OP ON +=⋅，又因为11()0PF OF OP ⋅+= ，所以120PF ON ⋅=，即1ON PF ⊥，而O 为12F F 的中点，所以2//ON PF ，可得12PF PF ⊥，因为12|||PF PF =，而12||||2PF PF a +=，所以可得：2||PF =1||PF =，在Rt △12PF F 中，由勾股定理可得2221212||||||F F PF PF =+，即22224]c a =+⋅，可得229c a ===-，所以ca=--．15．点P 是双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>与圆22222:C x y a b +=+的一个交点，且12212PF F PF F ∠=∠，其中1F ，2F 分别为双曲线1C 的左右焦点，则双曲线1C 的离心率为1+．【解答】解：如图所示，12F F 圆22222:C x y a b +=+的直径，12F PF ∴∠是直角；∴在Rt △12PF F 中，12212PF F PF F ∠=∠，126PF F π∴∠=，2121||||2PF F F c ∴==，12|||PF PF ∴==，12||||2PF PF c a ∴-=-=，∴1c a ==．1+．16．已知椭圆221112211:1(0)x y C a b a b +=>>与双曲线222222222:1(0)x y C a b a b -=>>有相同的焦点1F 、2F ，椭圆1C 的离心率为1e ，双曲线2C 的离心率为2e ，点P 为椭圆1C 与双曲线2C 的第一象限的交点，且123F PF π∠=，则1211e e +取最大值时12e e +的值为3．【解答】解：设1||PF m =，2||PF n =，由椭圆的定义得12m n a +=①，由双曲线的定义得2||2m n a -=②，①2+②2得，2222122()m n a a +=+，①2-②2得，2212mn a a =-，由余弦定理可得22212(2)2cos c m n mn F PF =+-∠，所以2221234a a c +=③，设12cos a c θ=，2sin 3a θ=⋅，所以1212112cos )3a a e e c c πθθθ+=+=+=+，当2()32k k Z ππθπ+=+∈即26k πθπ=+时，1211e e +最大值为3，此时，1212112cos 2cos(2)6c c e e a a k πθπ+=+=+=++==．故答案为：3．17．已知双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 的直线l 交双曲线的渐近线于A 、B 两点，且直线l 的倾斜角是渐近线OA 倾斜角的2倍，若52AF FB = ，则该双曲线的离心率为7．【解答】解：双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =±，直线l 的倾斜角是渐近线OA 倾斜角的2倍，222l ab k a b∴=-，∴直线l 的方程为222()ab y x c a b =--，与b y x a =±联立，可得2223abc y a b =--或222abc y a b =+， 52AF FB = ，∴222225223abc abc a b a b =+- 22a b ∴=，7c e a ∴==．故答案为：7三．解答题（共1小题）18．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，若椭圆上存在点P 使2122211cos 21cos 2PF F a PF F c -∠=-∠，求该椭圆的离心率的取值范围．【解答】解：因为2122211cos 21cos 2PF F a PF F c -∠=-∠，即2212222211sin PF F a sin PF F c e ∠==∠，所以1221sin 1sin PF F PF F e∠=∠，由正弦定理可得21||1||PF PF e =，即12||||PF e PF =，而12||||2PF PF a +=，所以22||(,)1a PF a c a c e =∈-++，即21a a c a c e -<<++，可得2111e e e -<<++11e -<<，所以该椭圆的离心率的范围1-，1)．。

第二讲椭圆焦半径与焦点弦3(用焦半径的角参公式解题)(教案)【椭圆小题突破】高考数学二轮复习专题

椭圆的焦半径和焦点弦3――用焦半径的角参公式解题知识点：（1）若F 为椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0) 的右焦点，设∠AFx =θ,22||,||,1+cos 1-cos b b a a AF BF e e θθ== 222222||.1+cos 1-cos 1-cos b b b a a a AB e e e θθθ=+=（2）若F 为椭圆y 2a2+x 2b 2=1(a >b >0) 左焦点，22||,||,1-cos 1+cos b b a a AF BF e e θθ== 222222||.1+cos 1-cos 1-cos b b b a a a AB e e e θθθ=+= 3．（1）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，过左焦点F (-2,0)倾斜角为π3的直线交椭圆上半部分于点A ，以FA ，FO 为邻边作平行四边形OFAB ，若点B 在椭圆上，则b 2等于（） A ． B ．C ．D ．【答案】B 法一：坐标法以，为邻边作平行四边形，则且. 所以轴，所以两点关于轴对称，又设，则，由条件可得直线的方程为所以,即由点在椭圆上可得，，又代入得，整理得：解得法二：焦半径坐标形式,a+ex 0=2,a -e =2，a-2a＝2，222201323,a a a b --=⇒=+⇒=法三：焦半径角参形式3233343FA FO OFAB //AB OF AB OF =AB y ⊥A B ，y 2AB OF c ===()11,A x y 11x =-AF ()32y x =+13y =()1,3A -22221x y a b+=22131a b +=22224a b c b =+=+()()2222344b b b b ++=+412b =223b =()1,3A -2222,1cos b a b a c e θ=⇒=-- 2222242201323,c a b a a a b =⇒-=⇒--=⇒=+⇒=（2）已知椭圆C ：x 22+y 2=1的右焦点为F ，直线l ：x =2，点A ∈l ，线段AF 交椭圆C于点B ，若FA ⃑⃑⃑⃑⃑ ＝3FB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，则|FA ⃑⃑⃑⃑⃑ |＝( ) A ．2 B ．2 C ．3 D ．3【答案】A 法一：坐标法根据题意作图：设点()2,A n ，()00,B x y ．由椭圆C ：2212x y += ，知22a =，21b =，21c =，即1c =，所以右焦点F (1,0)．由3FA FB =，得()()001,31,n x y =-．所以()0131x =-，且03n y =.所以043x =，013y n =. 将x 0，y 0代入2212x y +=，得221411233n ⎛⎫⎛⎫⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.解得21n =，所以()2212112AF n =-+=+=.法二：焦半径角参形式11112||,3cos ||21cos cos 21cos 2FA FA θθθθ==⋅⇒=⇒=+法三：焦半径坐标形式 A (2,n ),B (x 0,y 0)，F (1,0), FA ⃑⃑⃑⃑⃑ ＝3FB⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，(1,n)=3(x 0-1,y 0)，1=3x 0,n=3y 0, |FA ⃑⃑⃑⃑⃑ | ＝3|FB⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |，√(3y0)2+1=3(√2−1√2x0)，9y02+1=9(2−2x0+12x02)9(1−12x02)+1=9(2−2x0+12x02)9x 02-18x 0+8=0 (3x 0-4)(3x 0-2)=0 x 0=43或23(舍去)|FA ⃑⃑⃑⃑⃑ | ＝3|FB⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=3(√2−1√2x0)=3(√2−1√2·43)=√2.（3）如图，椭圆x 2a2+y 2b2=1(a >b >0)的左焦点为F ，点P 在y 轴上，线段FP 交椭圆于点Q ．若OQ ⊥FP ，|FP |=3|FQ |，则椭圆的离心率是（）A ．13B ．12 C ．22D ．32【答案】D 法一：坐标法由题意得(,0)F c -，设00(,)Q x y ，因为3FP FQ =，所以023x OF=，得023x c =-，因为OQ FP ⊥，所以()22000222339y x OF x c c c c ⎛⎫=⋅-=-= ⎪⎝⎭，所以023y c =，因为00(,)Q x y 在椭圆上，所以222242199c ca b+=，化简得，222222429b c a c a b +=，因为222b a c =-，所以222222224()29()c a c a c a a c -+=-，422491540a a c a -+=，得2222(34)(3)0a c a c --=，解得32c a =或3c a =（舍去）法二：焦半径坐标形式 Q (x 0,y 0)，F (c ,0),|FQ |＝m ,由等面积法知c√(3m )2−c2=3m √c2−m2，m =1√3c ，a+ex 0=1√3c,a+e(-23c )=1√3c,1-23e 2=1√3e,2e 2+√3e −3=0, (2e −√3)(e +√3)=0, e =√32法三：焦半径角参形式设FQ ＝x ，则213,cos .33x cc x x c c cθ=⇒=== ()()22222333332032302313b ca b ac c a ac c a ca c e e =⇒=-⇒--=⇒-+=⇒=-（4）不经过椭圆E ：x 24+y 23=1的焦点的直线l:y=kx+m (km <0)与以坐标原点为圆心､√3为半径的圆相切，且与椭圆E 交于M,N 两点，试判断△MFN 的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由.法一：用弦长公式求弦长由题意，r =l=()2231m k ∴=+，设()()1122,,,M x y N x y ，由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()()222438430k x kmx m +++-=，由Δ0>，得()2121222438,4343m km x x x x k k -+=-=++，则12MN x =-=2443km k =-+又2122112,222MF x NF x =-=-()221221444243kmMF NF x x k +=-+=++ 2MNF 周长224MN MF NF =++=，2MNF ∴周长为定值4.法二：用圆的切线求弦长()()112212,,,,0,0,P x y Q x y x x >>12112,222PF x QF x =-=-设直线l 与圆的切点为M，1211,22,PM x QM x ====121,122PQ x x += 4Q PF F P Q ++=2MNF ∴周长为定值4.（5）（2018全国Ⅲ20）已知斜率为k 的直线l 与椭圆C:x 24+y 23=1交于A,B 两点，线段AB的中点为M (1,m )(m >0)．（Ⅲ）证明：k <-12；（Ⅲ）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点,且FP ⃑⃑⃑⃑⃑ ＋FA ⃑⃑⃑⃑⃑ ＋FB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ＝0⃑ ．证明：|FA ⃑⃑⃑⃑⃑ |,|FP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |,|FB|⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 成等差数列，并求该数列的公差．（Ⅲ）法一：设点A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，直线AB 的方程为y=kx+t.由{y =kx +t 3x2+4y2=12，得(3+4k2)x 2+8ktx +4t2−12=0， △＝64k2t2−4 (3+4k2)(4t2−12)=−48(t2−3−4k2)>0，（Ⅲ） x 1+x 2=−8tk 3+4k2，x 1x 2=4t2−123+4k2，−4tk3+4k2=1，得-t =34k +k , 代入（Ⅲ）得(34k+k )2-3-4k2<0,即316k2−12-k2<0, 即16k 4+8k 2-3>0, 即(4k 2-1)(4k 2+3)>0, 即4k 2-1>0,k<-12或k >12. 又M (1,m )(m >0)在直线AB ：y=kx+t 上，所以m =t+k >0. 而-t =34k +k ，所以k <0.所以k <-12. 法二：设，则.两式相减，并由得.由题设知，于是.①由题设得，故.（Ⅲ）设点A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，P (x 0,y 0).且x 1+x 2=2.由FP ⃑⃑⃑⃑⃑ ＋FA ⃑⃑⃑⃑⃑ ＋FB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ＝0⃑ ，得 x 1+x 2+x0=3,x0=1,P (1,± 32) 又y 1+y 2+y 0=0，y 1+y 2=2m ，所以m =-y02>0,P (1,- 32)|AF |=√(x 1−1)2+y 12=√(x 1−1)2+3(1−x 24)=√x 24−2x 1+4=|2- x12|= 2- x12, 同理|BF |=2-x22，|PF |= 2- x02＝ 32. 所以|FA ⃑⃑⃑⃑⃑ |+|FB|⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =4- x1+x22=3， 2|PF |=3.所以|FA⃑⃑⃑⃑⃑ |,|FP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |,|FB|⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 成等差数列. 设该数列的公差为d ，则.②将代入①得.所以l的方程为，代入C的方程，并整理得.故，代入②解得.所以该数列的公差为或。

运用焦半径公式速解焦点弦问题

求直线ｆ的方程；（２）试判断是否
。
在ＲｔＡＭＦ寺，
ＩＭＦＩ：：— ＿
４一ＣＯＳ
．
ＣＯＳＯｔ
为定值，并说明理由．
分析本题第（２）小题
图５
于是
＿４（定
评注
直线ＡＢ与轴夹角为的几何意义
是一个典型的解析几何定
更加明确，运算过程显得更简捷．运用这种解法，不难得到第（２）小题更一般的结论．
值问题，通常可运用函数的思想方法解之，其解题过程可归纳为：一选，二求，
三定值．具体操作程序如下：
（０＜＜詈），ＩＡＦＩ＞ＩＢＦＩ，则
ＩＡＦＩ＝
１
，ＩＢＦＩ
一
＝
ＣＯＳＯＬ
１ＣＯＳＯＬ．十
（对于抛物线＝２ｐｙ也有类似性质．）推论２如图３，设ＡＢ是椭圆＋Ｙ＝１（口＞ｂ＞０）过焦点Ｆ的弦，直线ＡＢ与的夹角为Ｏｌ
ｅ
（定值）．
值的量表示成关于上述参变量的函数．三定值：化简函数解析式得到定值．由题目的结论可知要证明为定值的量必与参变量的大小无
一
结论１过椭圆ｘ＋告＝１（ｏ＞ｂ＞ｏ）的焦点
Ｆ任作一条与坐标轴不垂直的直线１，与椭圆相交于点Ａ，Ｂ，线段ＡＢ的中垂线交轴于点Ｍ，则

有关抛物线焦半径与焦点弦公式的推导及其应用

则f ′()t =-8()4t 2-12t +1()4t 2-12，当t ∈()-12,3-222时，f ′()t <0，函数单调递减；当t ∈()3-222,12时，f ′()t >0，函数单调递增，所以f ()t min =f()3-222=6+42.虽然无法直接运用简单基本函数的性质解答二元函数最值问题，但是我们可以通过换元、构造新函数模型的方式，将问题转化为单变量函数最值问题，再利用简单基本函数的性质、导数的性质解题.解法2.设t =y x ∈()-12,12，则3x 2-2xy x 24-y 2=12-8⋅yx 1-4()y x2=84t 2-1t -32，可将y x 看作双曲线x 24-y 2=1上的点()x,y 与原点()0,0连线的斜率.当直线y -1=k ()x -32与曲线相切时，斜率k 有最大值，此时k =12-82，所以3x 2-2xy 的最小值为812-82=6+42.通过换元将已知关系式变形，并把已知关系式看作双曲线，将y x 看作双曲线x24-y 2=1上的点()x ,y 与原点()0,0连线的斜率，通过讨论直线与曲线的位置关系，确定直线斜率k 的最值，从而求得问题的答案.总之，解答二元函数最值问题，需根据不等式的结构特征构造不等关系，将问题进行合理的转化，才能顺利求得最值.从上述分析可以看出，从不同的角度思考问题，可以得到不同的解法，但无论采用何种方法，都需灵活利用转化思想、方程思想、数形结合思想来辅助解题.（作者单位：江苏省蒋垛中学）解题宝典若过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，则以这两个点为端点的线段称为抛物线的焦点弦，如图1中的线段AB .以抛物线上的一点及抛物线的焦点为端点的线段称为抛物线的焦半径，如图1中的线段AF 、BF .求焦点弦长和焦半径问题在抛物线试题中比较常见.本文主要谈一谈有关抛物线焦半径与焦点弦公式的推导及其应用.一、抛物线的焦半径公式如图1，已知直线AB 过抛物线y 2=2px (p >0)的焦点F ,交抛物线于A ,B 两点，且点A (x 1,y 1)在x 轴的上方，点B (x 2,y 2)在x 轴的下方，直线AB 的倾斜角为α，则||AF =x 1+p 2=p 1-cos α，||BF =x 2+p 2=p1+cos α.证明：作抛物线的准线l :x =-p2,交x 轴于点P ，过点A 作l 的垂线，垂足为N .由于点A 是抛物线上的点，则||AF =||AN .而点A ,N 的横坐标分别是x 1,-p 2,所以||AN =x 1-()-p 2=x 1+p2,故||AF =x 1+p 2，同理可证||BF =x 2+p2.再证||AF =p 1-cos α，||BF =p1+cos α.过点A 作AM ⊥x 轴于M,则四边形AMPN 是矩形，可知||AF =||AN =||PF +||FM ,因为点F ()p2,0,所以||PF =p .在ΔAFM 中，||FM =||AF cos α,所以||AF =p +||AF cos α,得||AF =p1-cos α.同理可得||BF =p1+cos α.当直线AB 的倾斜角为钝（直）角时，上述结论也成立.在运用抛物线的焦半径公式解题时需注意：（1）焦点弦的端点A 、B 分别在x 轴的上方和下方，且焦半径的端点在x 轴上方和下方时所用的公式不一样；（2）当不知道直线AB 的倾斜角时，通常用点A 、B 的横坐标及p 来表示抛物线的焦半径；（3）当已知直线的倾斜角时，可通过倾斜角α和p 来求出抛物线的焦半径.例1.若点F 是抛物线y 2=4x 的焦点，直线l 过点F ，交抛物线于A ,B 两点，且 AF =3FB ,则直线l 的倾斜角图143解题宝典为____.解：作出如图2所示的图形，由 AF =3FB 知||AF =3||FB ,由抛物线的方程知p =2,设直线l 的倾斜角为α,则||AF =21-cos α,||BF =21+cos α,可得21-cos α=3×21+cos α,解得cos α=12,因为α∈(0,π),所以α=π3，即直线l 的倾斜角为π3.由于直线l 过抛物线的焦点，所以要求直线l 的倾斜角，可直接利用抛物线的焦半径公式||AF =p1-cos α、||BF =p1+cos α，建立关于α的关系式，即可解题.二、抛物线的焦点弦公式已知直线l 过抛物线y 2=2px (p >0)的焦点，且和抛物线交于两点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),直线AB 的倾斜角为α,则弦AB 的长||AB =x 1+x 2+p =2psin 2α.证明：先证||AB =x 1+x 2+p .因为点A ,B 是抛物线上的点，所以根据抛物线的定义，可得||AF =x 1+p2，||BF =x 2+p2,所以||AB =||AF +||BF =x 1+x 2+p .再证||AB =2psin 2α.由于||AF =p 1-cos α,||BF =p1+cos α,所以||AB =||AF +||BF =p 1-cos α+p1+cos α=p (1+cos α)+p (1-cos α)(1-cos α)(1+cos α)=2psin 2α.综上所述，焦点弦AB 的长为||AB =x 1+x 2+p =2psin 2α.当不确定焦点弦所在直线的倾斜角时，通常可使用公式||AB =x 1+x 2+p 来求焦点弦长；若已知焦点弦所在直线的倾斜角，就要用公式||AB =2psin 2α来表示焦点弦长.例2.设F 为抛物线C :y 2=3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ,B 两点，设O 为坐标原点，则S ΔOAB =_____.解：由抛物线C 的方程知2p =3,而焦点弦所在直线的倾斜角α=30°,则||AB =3sin 230°=12,可知原点到直线AB 的距离d =||OF ⋅sin30°=34×12=38,故ΔOAB 的面积为S ΔOAB =12×12×38=94.由于已知过F 的直线的倾斜角，所以可直接根据抛物线的焦点弦公式||AB =2psin 2α来求抛物线的焦点弦长||AB .再根据三角形的面积公式进行求解即可.值得注意的是，抛物线的开口方向不同，参数p 的值和符号不同，所对应的抛物线的焦半径公式和焦点弦公式也会有所不同.上述两个公式都是针对开口向右的抛物线，即抛物线的方程为y 2=2px (p >0)而言的.开口向其他方向的抛物线的焦点弦、焦半径公式如下表所示.同学们在运用抛物线的焦半径公式和焦点弦公式时，要关注抛物线的开口方向和参数p 的值，再选用与之相应的公式进行求解.（作者单位：陕西省神木市职业技术教育中心）标准方程图形焦半径公式焦点弦公式y 2=2px (p >0)||AF =x 1+p 2=p1-cos α,||BF =x 2+p 2=p1+cos α.||AB =x 1+x 2+p y 2=2px (p <0)||AF =p 2-x 1=p 1+cos α,||BF =p 2-x 2=p 1-cos α.||AB =p -()x 1+x 2x 2=2yp (p >0)||AF =y 1+p 2=p 1-sin α,||BF =y 2+p 2=p 1+sin α.||AB =y 1+y 2+p x 2=2yp (p <0)||AF =p 2-y 1=p1+sin α,||BF =p 2-y 2=p 1-sin α.||AB =p -()y 1+y 2图244。

一道椭圆焦点弦问题的7种解法

由①③得： =

得 (+
,
即k2(4c2a2-b4)=b4，⑤

(
− )，
+
=

(
+ ),
+

−
− ) (+ + )＝ + ，
得− = ，④
22＝32 ，即 − , − = Βιβλιοθήκη − , ,由①④得： =
−
，
+
−

由③⑤得＝ − ，
=

2
2 2
2

，代入②得：a =(25c -a )m ,
+

··
得5b2=6am.②

−

=

(4a2- 5b2)( + ) =
4a2=5b2=5(a2-c2)
a2=5c2

.

=

①
.
引例

已知椭圆C：
+

= > > 的左、右焦点分别是F1、F2，过F2的直

− = ,
③
− ( + ) + =0
④
−

把①②代入④，得：· + -3c·+ +a2=0,
即c2(k2c2-b2)-6c2a2k2+a2(b2+a2k2)=0,
即k2(c4-6c2a2+a4)=-b4

圆锥曲线焦半径公式的进一步推导及应用

圆锥曲线焦半径公式的进一步推导及应用
金铁强
【期刊名称】《中学数学:高中版》
【年(卷),期】2022()9
【摘要】椭圆、双曲线的焦点弦或焦半径的问题是解析几何中的常规考点,很多老师在讲解的时候喜欢用“设而不求”来解决问题.但用此法来处理焦点弦问题也有
其弊端,一是步骤过多,二是有些问题不能直接用此法求解,必须再要用到“设而求之”才能解决.对于现在的多变题型,已经达不到通解通法的要求,因此有必要对圆锥曲线焦半径公式进行进一步的挖掘和整理,才能适应当前高考题型的发展趋势,让学生能
够更直观地解题.
【总页数】2页(P53-54)
【作者】金铁强
【作者单位】浙江省诸暨市草塔中学
【正文语种】中文
【中图分类】G63
【相关文献】
1.圆锥曲线中的焦半径公式的应用
2.圆锥曲线的焦半径公式及其应用
3.圆锥曲线的焦半径公式及其应用
4.圆锥曲线的焦半径三角公式及其应用
5.圆锥曲线焦半径公
式的解题应用
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高三数学二轮复习冲刺：抛物线的焦半径与焦点弦

抛物线的焦半径与焦点弦抛物线的焦点弦是抛物线中的高频考点，特别是对于考生而言，本节的结论既要注意把握推导过程，更应该注意对结论的熟悉程度，因为很多涉及到焦点弦的题目都会以选填的形式出现，如此，你便可以用相关结论快速做到，避免小题大做！一．重要结论抛物线的焦点弦具有丰富的性质，它是对抛物线定义的进一步考察，也是抛物线这节中最重要的考点之一，下面罗列出常见的抛物线焦点弦性质:假设抛物线方程为px y 22=.过抛物线焦点的直线l 与抛物线交于B A ,两点，其坐标分别为),(),,(2211y x B y x A .性质1.，2||p x AF A +=2||px BF B +=,p x x AB B A ++=||.证明：性质1的证明很简单，由抛物线的定义即可证得.如上图，过B A ,向准线引垂线，垂足分别为N M ,.由定义可知：||||||||BF BN AF AM ==，.代入坐标即可证得相关结论.性质2.抛物线px y 22=的焦点为F，),(),,(2211y x B y x A 是过F 的直线与抛物线的两个交点，求证：221221,4p y y p x x -==.证明：),2(),,2(222121y py B y p y A ，则AB 的方程为2(221211p y x y y p y y -+=-，整理可得：212112))((y px y y y y -=+-，即可得AB 的方程为：21212)(y y px y y y +=⋅+.最后，由于直线AB 过焦点，代入焦点坐标可得221p y y -=.再代入抛物线方程4221p x x =.一般地，如果直线l 恒过定点)0,(m M 与抛物线)0(22>=p px y 交于B A ,两点，那么pm y y m x x B A B A 2,2-==.于是，若AB OB OA ⇒⊥恒过定点)0,2(p .性质3.已知倾斜角为θ直线的l 经过抛物线px y 22=的焦点F ，且与抛物线交于B A ,两点，则（1）pFB F A P BF p AF 2||1||1cos 1||,cos 1||=++=-=，θθ.（2）)11(2||sin 2sin 2||222k p AB p S p AB OAB+===∆，，θθ.证明：设准线l 交x 轴于点P ，过点A 作x AM ⊥轴于M ，作l AN ⊥于N ，由抛物线定义可知：AN AF =．其中p PF =，θcos ⋅=AF MF .所以θcos AF p FM PF AN +=+=，θcos AF p AF +=，故θcos 1-=pAF ．同理θcos 1+=p BF ，所以θθ22sin 2cos 12pp BF AF AB =-=+=．性质4.抛物线的通径(1).通径长为p 2.(2).焦点弦中，通径最短.(3).通径越长，抛物线开口越大.由性质3易得，略.性质5.已知直线l 经过抛物线px y 22=的焦点F ，且与抛物线交于B A ,两点，若弦AB 中点的坐标为),(00y x ，则2(2||0p x AB +=.证明：设B A ,坐标为),(),,(2211y x y x ，由抛物线定义：p x x BF AF AB ++=+=21||||||，故)2(2||0p x AB +=.性质6.以焦点弦为直径的圆与准线相切.证明：设焦点弦的中点为),(:00y x M ，则M 到准线的距离为20px +，由性质5可证得.性质7.如图，过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线与抛物线相交于N M ,两点，自N M ,向准线l 作垂线，垂足分别为11,N M ，则（1）21FM FM ⊥；（2）记1111,,FNN N FM FMM ∆∆∆的面积分别为1S ,2S ,3S ，22134S S S =.注:此题为2009湖北卷文科试题，证明过程可参见该题解答.二．典例分析例1.（2017年全国1卷）.已知F 为抛物线x y C 4:2=的焦点，过F 作两条互相垂直的直线21,l l ，直线1l 与C 交于B A ,两点，直线2l 与C 交于E D ,两点，则||||DE AB +的最小值为()A．16B．14C．12D．10解析：法1:设1122(,),(,)A x y B x y ,3344(,),(,)D x y E x y ,直线1l 方程为1(1)y k x =-取方程214(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩,得2222111240k x k x x k --+=∴21122124k x x k --+=-212124k k +=同理直线2l 与抛物线的交点满足22342224k x x k ++=由抛物线定义可知1234||||2AB DE x x x x p+=++++22122222121224244448816k k k k k k ++=++=++≥+=当且仅当121k k =-=(或1-)时,取得等号．法2:设1l 的倾斜角为α,则直线2l 的倾斜角为π2α+，根据焦点弦长公式有:2244πsin sin 2AB DE αα+=+⎛⎫+ ⎪⎝⎭()22222224416sin cos sin cos αααα+=+≥=+．故选A．法4:设点()()1122,,,A x y B x y ,则()221212121224AB x x p x x y y =++=++=++()212121224y y y y ⎡⎤=+-+⎣⎦设直线1l 的方程为1x my =+()0m ≠联立直线1l 与抛物线2:4C y x =方程消去x 可得2440y my --=所以121244y y m y y +=⎧⎨=-⎩,所以()221212122444AB y y y y m ⎡⎤=+-+=+⎣⎦同理244DE m =+，所以2248416AB DE m m +=++≥(当且仅当1m =±时等号成立)法5：可设直线12111:,:b x ky l b kx y l +-=+=，由抛物线焦点弦的性质3可得：)1(4||),11(4||22k DE k AB +=+=，故16)1(411(4||||22≥+++=+k kDE AB ，当且仅当1±=k 时取到最小值，故选A.上述例2，在知晓背景的情况下解答是很容易的，这再次说明记住一些重要的二级结论可以优化运算，提升解题速度.下例中，我们将看到有关面积的定值问题，从而为前面的重要结论做一个补充.例2．（2022新高考2卷）已知O 为坐标原点，过抛物线)0(2:2>=p px y C 的焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，点A 在第一象限，点()0M p ，，若AF AM ＝，则直线AB的斜率为A．直线AB 的斜率为2B．OB OF ＝C．4AB OF＞D．180<∠+∠OBM OAM 解析：选项A：设FM 中点为N ，则32,24A N ppx x p +===所以()2233220,42A A A y px p p p y ==⋅=>所以,A y p =故2342AB p k p p ==-选项B：112112342p AF BF p BF p p +=⇒+=+5623B B p p BF p x x ⇒==+⇒=所以2222.33Bp p y p =⋅=所以22222227.9394B B p p p p OB x y =+=+=≠选项C：32524.4312pAB p p p p OF =++=>=选项D：由选项A,B知3,,,43pA p p B⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以22233,0,4344p pOA OB p p p⎛⎫⎛⎫⋅=⋅=-=-<⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以AOB∠为钝角；又22211,0,42331212p p pMA MB p p p p⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅--=-=-<⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以AMB∠为钝角；所以180OAM OBM∠+∠<︒.故选ACD.例3.抛物线24y x=的焦点为F，11(,)A x y，22(,)B x y 是抛物线上两动点，若123(2)2AB x x=++，则AFB∠的最大值为A．23πB．56πC．34πD．3π解析：)12122,2,()AF BF x x AB x x AB AF BF+=++++∴+.在AFB△中,由余弦定理得：()2222222222241331122AF BF ABcos AFBAF BFAF BF AF BF ABAF BFAB AB ABAF BF AF BF+-∠=⋅+-⋅-=⋅-=-=-⋅⋅，又213AF BF AB AF BF AB+∴⋅.所以221131,1223ABcos AFB AFBAB∠-=-∴∠⨯的最大值为23π.本题选择A选项.例4．（2022·广东·一模）已知抛物线2:4C y x=的焦点为F，抛物线C上存在n个点1P，2P，L，nP（2n≥且*Nn∈）满足1223112n n nPFP P FP P FP P FPnπ-∠=∠==∠=∠=，则下列结论中正确的是（）A．2n=时，12112P F P F+=B．3n =时，123PF P F P F ++的最小值为9C．4n =时，13241114PF P F P F P F +=++D．4n =时，1234PF P F P F P F +++的最小值为8解析：当2n =时，1212PFP P FP π∠=∠=，此时不妨取12PP 过焦点垂直于x 轴，不妨取12(12),(12)P P -，，，则121111=+122P FP F +=，故A 错误；当3n =时，12233123PFP P FP P FP π∠=∠=∠=，此时不妨设123,,P P P 在抛物线上逆时针排列，设1,(0,)2PFx παα∠=∈,2222||,||241cos()1cos()33P F P F ππαα==-+-+，123222241cos 1cos()1cos()33PF P F P F ππααα++=++--+-+214(1cos )2211cos (cos 2ααα+=+-+，令113cos ,(,222t t α=+∈，则123242332t PF P F P F t t +++=+-，令242332()t t t f t +=+-，则232382627(1)()(32)(32)t t f t t t t t +--'=-=--，当112t <<时，()0f t '>，()f t 递增，当312t <<时，()0f t '<，()f t 递减，故min ()(1)9f t f ==，故当1t =，即1cos ,23παα==时，123PF P F P F ++取到最小值9，故B 正确；当4n =时，122313442PFP P FP P FP P FP π∠=∠=∠=∠=，此时不妨设1234,,,P P P P 在抛物线上逆时针排列，设1,(0,2PFx πθθ∠=∈,12342222||,||,||,||31cos 1cos()1cos()1cos()22PF P F P F P F ππθθπθθ====--+-+-+，即234222||,||,||1sin 1cos 1sin P F P F P F θθθ===++-，故1322241cos 1cos sin PF P F θθθ+=-++=，2422241sin 1sin cos P F P F θθθ+=+-+=，所以132242sin cos 144141PF P F P F P F θθ=++=++，故C 正确；由C 的分析可知：23422122244416sin cos sin cos sin 2PF P F P F P F θθθθθ++===++，当2sin 21θ=时，216sin 2θ取到最小值16，即1234PF P F P F P F +++最小值为16，故D 错误；故选：BC例5.（2018年全国2卷）设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =．（1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．解析：（1）设直线l 的方程为)0)(1(>-=k x k y ，且B A ,坐标为),(),,(2211y x y x ，联立方程可得：()214y k x y x⎧=-⎨=⎩得()2222240k x k x k -++=．216160k ∆=+=，故212224k x x k ++=．所以()()21224411k AB AF BF x x k +=+=+++=．由题设知22448k k+=，解得：解得：1=k ，故l 的方程为1-=x y .（2）由（1）可得AB 中点坐标为)2,3(，所以AB 的垂直平分线方程为5+-=x y ，设所求圆的圆心坐标为),(00y x ，则()()002200051116.2y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩，解得0032x y =⎧⎨=⎩，或00116.x y =⎧⎨=-⎩，因此所求圆的方程为()()223216x y -+-=或()()22116144x y -++=．注：此题以焦点弦性质6为背景展开.例6．已知抛物线C ：()220,4y px p p =>≠，过点(2,0)A 且斜率为k 的直线与抛物线C 相交于P ，Q 两点.（1）设点B 在x 轴上，分别记直线PB ，QB 的斜率为12,k k .若120k k +=，求点B 的坐标；（2）过抛物线C 的焦点F 作直线PQ 的平行线与抛物线C 相交于M ，N 两点，求||||||MN AP AQ ⋅的值.解析：由题意，直线PQ 的方程为(2)y k x =-，其中0k ≠.设221212(,0),,,,22y y B m P y Q y p p ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，联立2(2)2y k x y px =-⎧⎨=⎩，消去x 得2240p y y p k --=.21212242160,,4p pp y y y y p k k∴∆=+>+==-.120k k += ，12221222y y y y m m pp∴+=--，即()()12121202y y y y m y y p +-+=.4202p p m p k⎛⎫-∴-⋅= ⎪⎝⎭，即2(2)0pm k +⋅=.0p > ，2m ∴=-，∴点B 的坐标为(2,0)-.（2）由题意，直线MN 的方程为2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其中tanθk =，θ为倾斜角，则sin θ=，2122224114sin 1y y p AP AQ p k k k θ-⎛⎫∴⋅===+⋅ ⎪⎝⎭+设322344,,,22y y M y N y p p ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.联立222p y k x y px⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，消去x 得2220p y y p k --=.222343424240,,p p p y y y y p k k∴∆=+>+==-.342112MN y p k ⎛⎫∴=-=+⋅ ⎪⎝⎭22112||11||||214p MN k AP AQ p k ⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭∴=⋅⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭.例7．已知抛物线2:(0)E y ax a =>的焦点为,F A 为E 上一点，||AF 的最小值为1.（1）求抛物线E 的标准方程；（）过焦点F 作互相垂直的两条直线121,,l l l 与抛物线E 相交于,P Q 两点，2l 与抛物线E 相交于,M N 两点.若,C D 分别是线段,PQ MN 的中点，求22||||FC FD +的最小值.解析：（1）抛物线E 的标准方程为24x y =.（2）由（1）得，点()0,1F ，显然直线1l ，2l 的斜率都存在且不为0，设直线1l 斜率为k ，则2l 的斜率为1k -，直线1l 的方程为1y kx =+，由214y kx x y=+⎧⎨=⎩消去y 并整理得2440x kx --=，216160k ∆=+>，设()11,P x y ，()22,Q x y ，则124x x k +=，所以线段PQ 中点()22,21C k k +，()2424k F k C =+，同理242114FD k k ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以242242114FC k F k k D k ⎛⎫=+++ ⎝+⎪⎭，令2212t k k =+≥=，当且仅当221k k =，即21k =时等号成立.所以24412t k k=++，且[)2,t ∈+∞，所以()()222221424249162t t t t t FC FD ⎛⎫=+-=+-=+-≥ ⎪⎝+⎭，当且仅当2t =时取等号，所以22FC FD +的最小值为16.例8．已知抛物线C ：()220x py p =>，F 为抛物线C 的焦点，()0,1M x 是抛物线C 上点，且2MF =；（1）求抛物线C 的方程；（2）过平面上一动点(),2P m m -作抛物线C 的两条切线PA ，PB （其中A ，B 为切点），求11AF BF+的最大值.解析：（1）抛物线2C 的方程为24x y =；（2）抛物线2C 的方程为24x y =，即2'xy =，设()11,A x y ，()22,B x y ，(),2P m m -则切线PA ，PB 的斜率分别为12x，22x .所以切线PA ：，)(2111x x x y y -=-∴211122x x y x y =-+，又2114x y = ，11220y x x y ∴-+=，同理可得切线PB 的方程为22220y x x y -+=，因为切线PA ，PB 均过点(),2P m m -，所以112240y mx m -+-=，222240y mx m -+-=，所以直线AB 的方程为2240y mx m -+-=.联立方程222404y mx m x y -+-=⎧⎨=⎩，消去x 整理得()()2222420y m m y m --++-=，∴()()()222222442480m m m m m m ∆=-+--=-+≥，∴m R ∈.∴21224y y m m +=-+，()2122y y m =-由抛物线定义可知11AF y =+，21BF y =+，所以11AF BF AF BF AF BF++=∵()()()121212111AF BF y y y y y y =++=+++2269m m =-+，∴2223+112612+2692269m AF BF m m AF BF AF BF m m m m +-+==+-+-+，令32m t R+=∈∴原式21111454522221221222t t t t t=+=+-++-≤。

圆锥曲线的极坐标方程焦半径公式焦点弦公式

圆锥曲线的极坐标方程极坐标处理二次曲线问题教案知识点精析椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e 的点的轨迹．以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F 作相应准线的垂线，垂足为K ，以FK 的反向延长线为极轴建立极坐标系．椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为： θρcos 1e ep-=.其中p 是定点F 到定直线的距离，p ＞0 ．当0＜e ＜1时，方程表示椭圆；当e ＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线；当e=1时，方程表示开口向右的抛物线.引论（1）若 1+cos epe ρθ=则0＜e ＜1当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆当e=1时时，方程表示开口向左的抛物线当e ＞1方程表示极点在左焦点上的双曲线（2 ）若1-sin epe ρθ=当 0＜e ＜1时，方程表示极点在下焦点的椭圆当e=1时，方程表示开口向上的抛物线当 e ＞1时!方程表示极点在上焦点的双曲线（3）1+sin epe ρθ=当 0＜e ＜1时，方程表示极点在上焦点的椭圆当e=1时，方程表示开口向下的抛物线当 e ＞1时!方程表示极点在下焦点的双曲线例题选编（1）二次曲线基本量之间的互求例1.确定方程1053cos ρθ=-表示曲线的离心率、焦距、长短轴长。

解法一：310253331cos 1cos 55ρθθ⨯==-- 31053e P ∴==，2332555851015103383c a c a a b a c c c ⎧⎧⎧===⎪⎪⎪⎪⎪⎪∴⇒⇒⎨⎨⎨⎪⎪⎪-===⎪⎪⎪⎩⎩⎩2225155()()882b ∴=-= 31554e ∴=方程表示椭圆的离心率，焦距，2554长轴长，短轴长解法二：根据极坐标的定义，对右顶点对应点的极角为0，因此只需令0θ=，右顶点的极径，同理可得左顶点的的极径。

高考高频考点(圆锥曲线)8、椭圆、双曲线的角版焦半径、焦点弦公式

第8讲椭圆、双曲线的角版焦半径、焦点弦公式知识与方法1．椭圆()222210x y a b a b +=>>的一个焦点为F ，P 为椭圆上任意一点，设PFO α∠=，则椭圆的焦半径2cos b PF a c α=−，若延长PF 交椭圆于另一点Q ，则椭圆的焦点弦22222cos ab PQ a c α=−. 2．双曲线()222210,0x y a b a b −=>>的一个焦点为F ，P 为双曲线上任意一点，设PFO α∠=，则双曲线的焦半径2cos b PF c aα=±，若直线PF 交双曲线于另一点Q ，则双曲线的焦点弦22222cos ab PQ a c α=−.（焦半径公式中取“+”还是取“－”由P 和F 是否位于y 轴同侧决定，同正异负）典型例题【例1】已知椭圆22:142x y C +=的左焦点为F ，过F 且倾斜角为45°的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，则AB =______；若AF BF >，则:AF BF =______. 【解析】如图，设AFO α∠=，则45α=︒由焦点弦公式，2222222228cos 42cos 453ab AB a c α︒⨯⨯===−−⨯，由焦半径公式，22cos b AF a c α===−，23BF ==，所以:3:1AF BF =.【答案】83，3:1变式1 已知椭圆22:142x y C +=的左焦点为F ，过F 且斜率为2的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，则AB =______【解析】设直线l 的倾斜角为α，则tan 2α=，所以cos α=，由焦点弦公式，22222222220cos 942ab AB a c α⨯⨯===−−⨯⎝⎭. 【答案】209变式2 已知椭圆22:142x y C +=的左焦点为F ，过F 的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，若3AF =，则AB =______.【解析】设AFO α∠=，则由焦半径公式，23cos b AF a c α===−，解得：cos 3α=，由焦点弦公式，2222218cos 5ab AB a c α==−. 【答案】185变式3 已知椭圆22:142x y C +=的左焦点为F ，过F 的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，若AF BF AF BF λ+=⋅，则λ=________.【解析】设AFO α∠=，则BFO πα∠=−，由焦半径公式，2cos b AF a c α==−，()2cos b BF a c πα==−−，所以112AF BF +==，从而2AF BF AF BF +=⋅，即2λ=.【反思】一般地，设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的一个焦点为F ，过F 的直线l 交椭圆C于A 、B 两点，则2112aAF BF b +=.变式4 已知椭圆222:14x y C b+=()02b <<的右焦点为F ，过F 且倾斜角为60°的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，若167AB =，则椭圆C 的离心率为________. 【解析】由焦点弦公式，()222222222216cos 744cos 60ab b AB a c b α⨯⨯===−−−⨯︒，解得：22b =，所以e =.变式5 已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 且斜率为1的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，若2AF 、AB 、2BF 成等差数列，则椭圆C 的离心率为______. 【解析】直线l 的斜率为1l ⇒的倾斜角45α=︒，由焦点弦公式，22222cos 45ab AB a c =−︒，2AF 、AB 、2BF 成等差数列222223AB AF BF AB AF BF AB ⇒=+⇒=++，如图，由椭圆定义可得224AF BF AB a ++=，所以34AB a =，故222264cos 45ab a a c =−︒，化简得：22232b a c =−，所以2222332a c a c −=−，从而224a c =，故椭圆C 的离心率12c e a ==.【答案】12【例2】过双曲线22:142x y C −=的右焦点且斜率为的直线截该双曲线所得的弦长为【解析】k =⇒直线的倾斜角60α=︒，由焦点弦公式，222222222165cos 46cos 60ab AB a c α⨯⨯===−−︒. 【答案】165变式1 过双曲线22:142x y C −=的右焦点F 的直线l 与双曲线C 交于A 、B 两点，若8AB =，则直线l 的方程为_______.【解析】由题意，2a =，b =，c =)F，设直线AFO α∠=，则由焦点弦公式，22222248cos 23cos ab AB a c αα===−−，解得：25cos 6α=或12，若25cos 6α=，则21sin 6α=，所以21tan 5α=，从而直线l 的斜率tan 5k α==，故直线l 的方程为y x =−；若21cos 2α=，则21sin 2α=，所以2tan 1α=，从而直线l 的斜率tan 1k α==±，故直线l 的方程为(y x =±；综上所述，直线l 的方程为5y x =或(y x =±【答案】5y x =±−或(y x =± 变式2 过双曲线22:142x y C −=的右焦点F 的直线l 与双曲线C 交于A 、B 两点，若23AF =，则BF =______.【解析】设AFO α∠=，因为23AF =，所以点A 必在双曲线右支上，由焦半径公式，22cos 3b AF c a α===+，解得：cos α=，所以sin α=，从而tan αC 的渐近线的斜率为2±，2>，所以点B 也在双曲线的右支上，如图，由图可知，BFO AFO ππα∠=−∠=− 所以()22cos b BF c a πα==−+.【答案】2强化训练1.（★★）已知椭圆22:143x y C +=的左焦点为F ，过F 且倾斜角为60°的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，则AB =_______.【解析】由焦点弦公式，22222222316cos 51412ab AB a c α⨯⨯===−⎛⎫−⨯ ⎪⎝⎭. 【答案】1652.（★★）已知椭圆22:193x y C +=的左焦点为F ，过F 的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，若3AB =，则直线l 的方程为________.【解析】设直线l 的倾斜角为α，由焦点弦公式，2222222333cos 96cos ab AB a c αα⨯⨯===−−⨯，从而cos 2α=，所以45α=︒或135°，从而直线l 的斜率为1±，显然()F ，故直线l的方程为y x =+或y x =−.【答案】y x =+或y x =−−3.（★★★）已知椭圆22:142x y C +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 且倾斜角为45°的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，则2ABF 的面积为________. 【解析】如图，由焦点弦公式，222228cos 3ab AB a c α==−，所以21218sin 4523ABF SF F AB =⋅⋅︒=.【答案】834.（★★★）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>一个焦点为F ，过F 且斜率为1的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，若34AB a =，则椭圆C 的离心率为________.【解析】由题意，直线l 的倾斜角为45°，由焦点弦公式，22222cos 45ab AB a c =−︒，因为34AB a =，所以222264cos 45ab a a c =−︒，结合222b a c =−化简得：222a c =，故离心率2c e a ==.【答案】25.（★★★）已知F 是椭圆22:142x y C +=的左焦点，过F 且不与x 轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，弦AB 的中垂线交x 轴于点M ，则AB FM=________.【解析】解法1：如图，由对称性，不妨设直线的倾斜角为锐角，A 在x 轴下方，则22222442cos 2cos AB αα⨯⨯==−−，AF ==，所以21222cos FN AN AF AB AF α=−=−==−，从而cos FN FM α==AB FM=解法2（特值法）：考虑AB y ⊥的情形，此时4AB =，M与原点重合，所以FM =AB FM=【答案】6.（★★★）如图，椭圆22:12x C y +=的左焦点为F ，过F 作两条互相垂直的直线分别与椭圆交于A 、B 和D 、E 四点，则四边形ADBE 的面积的取值范围是________.【解析】设AFO α=，不妨假设02πα≤≤，则2EFO πα∠=+，由焦点弦公式，AB =22cos 2DE α=−+ ⎪⎝⎭，所以四边形ADBE 的面积()()2222114222cos 2sin 2cos 2sin S AB DE αααα=⋅=⨯⨯=−−−− 2222241642sin 2cos sin cos 8sin 2ααααα==−−++，显然20sin 21α≤≤，所以1629S ≤≤，即四边形ADBE 的面积的取值范围是16,29⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【答案】16,29⎡⎤⎢⎥⎣⎦7.（★★★）双曲线22:1C x y −=的右焦点为F ，过F 的直线l 与双曲线C 交于A 、B 两点，若4AB =，则直线l 的方程为________. 【解析】由题意，1a b ==，c =)F，设直线AFO α∠=，则由焦点弦公式，22222224cos 12cos ab AB a c αα===−−，解得：23cos 4α=或14，若23cos 4α=，则21sin 4α=，所以21tan 3α=，从而直线l的斜率tan k α==，故直线l的方程为y x =；若21cos 4α=，则23sin 4α=，所以2tan 3α=，从而直线l的斜率tan k α==故直线l的方程为y x =，综上所述，直线l的方程为y x =或3y x =±【答案】y x =−或3y x = 8.（★★★）双曲线22:163x y C −=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线l 与双曲线C 交于A 、B 两点，若213AF AF =，则2BF =________.【解析】由题意，21213AF AF AF AF ⎧=⎪⎨−=⎪⎩，所以1AF =1AFO α∠=，则21cos b AF c a α==+，所以=，解得：cos α=，从而sin α==sin tan cos ααα==C的渐近线斜率为，因为<，所以点B 也在左支上，且1BFO πα∠=−，故()22cos b BF c aπα===−+【答案】39.（★★★）双曲线22:13y C x −=的左焦点为F ，点P 在双曲线C 的右支上，且5PF =，则PFO 的面积为________.【解析】解法1：由题意，1a =，b =2c =，设PFO α∠=，由焦半径公式，23cos 2cos 1b PFc a αα==−−，又5PF =，所以352cos 1α=−，解得：4cos 5α=，所以3sin 5α=，如图，显然113sin 523225PFOSPF OF α=⋅⋅=⨯⨯⨯=. 解法2：由题意，1a =，2c =，离心率2e =，设()00,P x y ，由焦半径公式，0125PF x =+=，又5PF =，所以0125x +=，解得：02x =或3−，因为P 在右支上，所以02x =，代入双曲线方程可求得03y =±，所以01123322PFOSOF y =⋅=⨯⨯±=. 解法3：如图，设双曲线C 的右焦点为1F ，由双曲线定义，12PF PF −=，又5PF =，所以13PF =，易求得14FF =，所以22211PF FF PF +=，故11PF FF ⊥，所以1111143622PFF SFF PF =⋅=⨯⨯=，显然O 是1FF 的中点，所以1132PFOPFF SS ==.【答案】3。

抛物线焦点弦的性质

抛物线焦点弦的性质1、焦点弦定义：过焦点的直线割抛物线所成的相交弦。

2、焦点弦公式：设两交点),(),(2211y x B y x A ，可以通过两次焦半径公式得到：当抛物线焦点在x 轴上时，焦点弦只和两焦点的横坐标有关：(0)p >若抛物线22y px =，)(21x x p AB ++=抛物线22y px =-，)(21x x p AB +-=当抛物线焦点在y 轴上时，焦点弦只和两焦点的纵坐标有关：(0)p >若抛物线22x py =，)(21y y p AB ++=抛物线22x py =-，)(21y y p AB +-=3、通径：过焦点且垂直于对称轴的相交弦直接应用抛物线定义，得到通径：p d 2=4、焦点弦常用结论：结论1：韦达定理⎪⎩⎪⎨⎧=-=pxy p x k y 2)2(20222=--⇒p y k p y 和04)2(22222=++-p k x p p k x k 221p y y -=⇒和421px x =结论2：p x x AB ++=21证：p x x px p x BF AF AB ++=+++=+=2121)2()2( 结论3：假设直线L 的倾斜角为θ，那么弦长θ2sin 2pAB = 证: (1)假设2πθ=时,直线L 的斜率不存在，此时AB 为抛物线的通径,结论得证∴=∴p AB 2(2)假设2πθ≠时, 那么⎪⎩⎪⎨⎧=-=px y p x k y 2)2(20222=--⇒p y k p y ⎪⎩⎪⎨⎧-==+⇒221212py y k p y y θsin 24422221p p kp y y =+=-⇒θθ221sin 2sin 1p y y AB =-=⇒ 结论4：过焦点的弦中通径长最小p p2sin 21sin 22≥∴≤θθ ∴AB 的最小值为p 2,即过焦点的弦长中通径长最短. 结论4： )(832为定值p AB S oAB =∆011sin sin 22OAB OBF AF S S S OF BF OF AF θϑ∆∆∆=+=⋅⋅+⋅⋅()21112sin sin sin 2222sin p p OF AF BF OF AB θθθθ=⋅+=⋅⋅=⋅⋅⋅22sin p θ=238OABS P AB ∆∴=结论5：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切证：设M 为AB 的中点，过A 点作准线的垂线AA 1，过B 点作准线的垂线BB 1，过M 点作准线的垂线MM 1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知 222111AB BFAF BB AA MM =+=+=故结论得证结论6：连接A 1F 、B 1 F 那么 A 1F ⊥B 1F FA A FO A FO A F AA OF AA AFA F AA AF AA 11111111//,∠=∠∴∠=∠∴∠=∠∴=同理︒=∠∴∠=∠901111FB A FB B FO B ∴A 1F ⊥B 1 F 结论7：〔1〕AM 1⊥BM 1 〔2〕M 1F ⊥AB 〔3〕BF AF F M ⋅=21〔4〕设AM 1 与A 1F 相交于H ，M 1B 与 FB 1相交于Q 那么M 1，Q ，F ，H 四点共圆〔5〕2121214M M B M AM =+证：由结论〔6〕知M 1 在以AB 为直径的圆上∴ AM 1⊥BM 1 11FB A ∆为直角三角形， M 1 是斜边A 1 B 1 的中点111111111AFA F AA F A M FA M F M M A ∠=∠∠=∠∴=∴ ︒=∠=∠+∠9011111M AA M FA F AA ︒=∠+∠∴90111FM A AFA ∴M 1F ⊥ABBF AF FM ⋅=∴21 AM 1⊥BM 1 F B F A 90111⊥︒=∠∴ 又B AM︒=∠∴90FB A 11 所以M 1，Q ，F,H 四点共圆，22121AB B M AM =+()()()2121211242MM MM BB AABFAF ==+=+=结论8：〔1〕、A O 、B 1 三点共线〔2〕B ，O ，A 1 三点共线〔3〕设直线AO 与抛物线的准线的交点为B 1，那么BB 1平行于X 轴〔4〕设直线BO 与抛物线的准线的交点为A 1，那么AA 1平行于X 轴证：因为p y p y k y p py y x y k oB oA 2212111122,221-=-====，而221p y y -=所以122222oB oA k p y y p pk =-=-=所以三点共线。

圆锥曲线系统班9、两套抛物线的焦半径与焦点弦公式

第9讲两套抛物线的焦半径与焦点弦公式知识与方法1.设点()00,P x y 在抛物线上，()11,A x y 、()22,B x y ，AB 是抛物线的焦点弦，则抛物线的坐标版焦半径、焦点弦公式如下表：标准方程22y px =()0p >22y px =()0p >()220x py p =>()220x py p =->图形焦半径公式02p PF x =+02p PF x =-02p PF y =+02p PF y =-焦点弦公式12AB x x p=++()12AB p x x =-+12AB y y p=++()12AB p y y =-+2．如图，设抛物线22y px=()0p >的焦点为F ，AB 为抛物线的一条焦点弦，AFO α∠=．则抛物线的“角版”焦半径、焦点弦、面积公式如下：①1cos p AF α=+；②22sin p AB α=；③22sin AOB p S α= .典型例题【例1】抛物线22y px =()0p >的焦点为F ，点()1,P m 在抛物线上，且3PF =，则p =______.【解析】由焦半径公式，1342pPF p =+=⇒=【答案】4变式1抛物线24x y =-的焦点为F ，点A 在抛物线上，且4AF =，则点A 的坐标为______.【解析】设()00,A x y ，则()200001431223AF y y x x P =-=⇒=-⇒=⇒=±±.【答案】()3±-变式2抛物线2:2C y x =的焦点为F ，过F 且倾斜角为60°的直线l 被抛物线C 截得的弦长为______.【解析】解法1：由题意，1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设1:2l y x ⎫=-⎪⎭，代入22y x =整理得：233504x x -+=，设两根为1x 和2x ，则1253x x +=，故直线l 被抛物线C 截得的弦长12813L x x =++=.解法2：直线l 被抛物线C 截得的弦长22228sin sin 603p L α===︒.【答案】83变式3抛物线2:2C y x =的焦点为F ，过F 且斜率为2的直线被抛物线C 截得的弦长为______.【解析】设直线的倾斜角为α，25tan 2sin 5αα=⇒=⇒弦长22225sin 2255p L α===⎛ ⎝⎭.【答案】52【例2】过抛物线2:4C y x =焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，若3AF =，则BF =_____.【解析】设AFO α∠=，则231cos AF α==+，所以1cos 3α=-，故()231cos 2BF πα==+-.【答案】32变式1过抛物线2:4C y x =的焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，若8AB =，且AF BF >，则AF BF=______.【解析】不妨设直线l 的倾斜角为锐角，如图，设AFO α∠=，则224128sin sin sin 22AB ααα==⇒=⇒=，所以135α=︒，45BFO ∠=︒，从而)211cos135AF ==+︒，)211cos 45BF ==+︒故3AF BF=+【答案】3+变式2过抛物线2:4C y x =焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，若2AF BF =，则AB =______.【解析】不妨设直线l 为如图所示的情形，设AFO α∠=，则21cos AF α=+，()221cos 1cos BF παα==+--，2222144922cos 1cos 1cos 3sin 1cos 2AF BF AB ααααα=⇒=⋅⇒=-⇒==+--.【答案】92变式3已知抛物线2:2C y px =()0p >的焦点为F ，准线为l ，过点F 作倾斜角为120°的直线与准线l 相交于点A ，线段AF 与抛物线C 相交于点B ，且43AB =，则抛物线C 的方程为______.【解析】如图，作BD l ⊥于D ，直线AF 的倾斜角为120°2601cos603p pBFO BF ⇒∠=︒⇒==+︒，由抛物线定义，BD BF =，所以23p BD =，易得60ABD ∠=︒，所以213cos 423p BD ABD AB ∠===，解得：1p =，故抛物线C 的方程为22y x =.【答案】22y x =变式4设F 为抛物线2:2C y px =()0p >的焦点，经过点F 且倾斜角为02παα⎛⎫<< ⎪⎝⎭的直线l 与抛物线相交于A 、B 两点，O 为原点且OAB 的面积为32sin α，若线段AB 的中垂线与x 轴相交于点M ，则FM =______.【解析】解法1：如图，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设直线():02p l x my m =+>，()11,A x y ，()22,B x y ，其中cos sin m αα=，联立222p x my y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩消去x 整理得：2220y pmy p --=，故122y y pm +=，()212122x x m y y p pm p +=++=+，所以AB 中点为2,2p G pm pm ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，AB 中垂线的方程为22p y pm m x pm ⎛⎫-=--- ⎪⎝⎭，令0y =得：232x p pm =+，所以23,02M p pm ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故22322p FM p pm p pm =+-=+，又21222AB x x p pm p =++=+，原点O 到直线l的距离d 所以()21122222OABp S AB d pm p =⋅=⋅+⋅ 由题意，32sin OABS α= ，所以312sin 2p α=，将cos sin m αα=代入整理得：22sin p α=，所以()22222cos 112sin sin pFM p pm p m p ααα⎛⎫=+=+=+== ⎪⎝⎭.解法2：如图，22sin pAB α=，则22sin AOB p S α= ，23322sin 2sin 2sin 2sin OAB p S p αααα=⇒=⇒= ①，设AB 中点为G ，则()22112cos 21cos 2sin sin p p p FG AF AG AF AB απααα=-=-=-⋅=+-，所以2cos sin FG p FM αα==，由①知22sin p α=，故2FM =.【答案】2变式5过抛物线2:4C y x =焦点F 作两条互相垂直的直线分别与抛物线C 交于A 、B 和D 、E 四点，则四边形ADBE 面积的最小值为______.【解析】解法1：由题意，()1,0F ，设直线AB 的方程为1x my =+()0m ≠，()11,A x y ，()22,B x y ，联立214x my y x=+⎧⎨=⎩消去x 整理得：2440y my --=，所以124y y m +=，()21212242x x m y y m +=++=+，故212244AB x x m =++=+，用1m -替换m 可得：244DE m=+，从而四边形ADBE 的面积()2222114144482823222S AB DE m m m m ⎛⎛⎫⎛⎫=⋅=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝当且仅当1m =±时等号成立，即四边形ADBE 面积的最小值为32.解法2：不妨设直线AB 为02παα⎛⎫<< ⎪⎝⎭，则直线DE 的倾斜角为2πα+，由焦点弦公式，24sin AB α=，2244cos sin 2DE παα==⎛⎫+ ⎪⎝⎭，四边形ADBE 的面积2222211448323222sin cos sin cos sin 2S AB CD ααααα=⋅=⋅⋅==≥，当且仅当4πα=时取等号，所以四边形ADBE 面积的最小值为32.【答案】32强化训练1.（★★）抛物线22y px =()0p >的焦点为F ，点()2,P m 在抛物线上，且4PF =，则p =______.【解析】由焦半径公式，2442pPF p =+=⇒=.【答案】42.（★★）抛物线22x y =的焦点为F ，点A 在抛物线上，且3AF =，则点A 的坐标为______.【解析】设()00,A x y ，则200000155325222AF y y x y x A ⎛⎫=+=⇒=⇒==⇒=± ⎪⎝⎭.【答案】52⎛⎫ ⎪⎝⎭3.（★★）抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 斜率为3的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，则AB =______.【解析】设直线l 的倾斜角为α，2310440tan 3sin 10sin 9AB ααα=⇒=⇒==.【答案】4094.（★★★）抛物线2:2C y x =的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，若4AB =，则AOB 的面积为______.【解析】设AOF α∠=，则224sin AB α==，所以2sin 2α=，故122sin 2AOB S α== .【答案】225.（★★★）过抛物线2:2C y x =焦点F 的直线l 与C 交于A 、B 两点，若4AF =，则BF =______.【解析】如图，设AFO α∠=，则()131144cos 1cos 41cos 1cos 7AF BF ααπαα==⇒=-⇒==++--.【答案】476.（★★★）过抛物线2:2C y x =的焦点F 的直线1与C 交于A 、B 两点，若8AB =，则AF BF ⋅=______【解析】设直线l 的倾斜角为α，则222211118sin 4sin 41cos 1cos sin AB AF BF ααααα==⇒=⇒⋅===-+.【答案】47.（★★★）过抛物线2:3C y x =的焦点F 的直线与C 交于A 、B 两点，若2AF BF =，则AB =______.【解析】设AFO α∠=，则1cos p AF α=+，()1cos 1cos p pBF παα==+--，22212232722cos 1cos 1cos 3sin 1cos 8113p p p pAF BF AB ααααα=⇒=⋅⇒=-⇒==+--⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】2788.（2012·重庆·★★★）过抛物线22y x =的焦点F 作直线交抛物线于A 、B 两点，若2512AB =，AF BF <，则AF =______.【解析】不妨设直线AB 的倾斜角为锐角，如图，设BFO α∠=，则2225sin 12AB α==，所以26sin 5α=，从而1cos 5α=-，故()1151cos 1cos 6AF παα===+--.【答案】569.（★★★）如下图所示，经过抛物线2:2C y px =()0p >的焦点F 的直线l 与抛物线C 及其准线相交于A 、B 、C 三点，若4BC BF =，且4AF =，则p =______.【解析】设AFO α∠=，则BFO πα∠=-，过B 作BD ⊥准线于D ，则BD BF =，144cos 4BD BC BF BC BD CBD BC=⇒=⇒∠==()11cos cos cos cos 44BFO πααα⇒∠=-=-=⇒=-，所以4431cos 3p AF p p α===⇒=+.【答案】310.（★★★★）过抛物线2:4C y x =的焦点F 的直线l 交抛物线C 于P 、Q 两点，交圆()2211x y -+=于M 、N 两点，其中P 、M 位于第一象限，则11PM QN+的最小值为______.【解析】如图，设()0PFO ααπ∠=<<，由题意，1FM FN ==，21cos 111cos 1cos PM PF FM PF ααα-=-=-=-=++，()21cos 111cos 1cos QN QF FN QF απαα+=-=-=-=+--，所以()()()()()222221cos 1cos 1cos 111cos 1cos 1cos 1cos 1cos 1cos sin PM QN αααααααααα+++-+-+=+==-++-()222222sin 2cos 2cos 212sin sin ααααα+⎛⎫==+≥ ⎪⎝⎭，当且仅当2πα=时取等号，故11PM QN+的最小值为2.【答案】211.（★★★）已知F 为抛物线()220y px p =>的焦点，经过F 且倾斜角为45°的直线与抛物线交于A 、B 两点，线段AB 的中垂线与x 轴相交于点M ，则4pFM=______.【解析】解法1：由题意，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，直线AB 的方程为2p x y =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立222p x y y px ⎧=+⎪⎨⎪=⎩消去x 整理得：2220y py p --=，所以122y y p +=，12123x x y y p p +=++=，从而AB 中点G 为3,2p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故AB 中垂线的方程为32y p x p ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭令0y =得：52x p =，所以5,02p M ⎛⎫⎪⎝⎭，故5222p FM p p =-=，所以42p FM =.解法2：如图，G 为AB 中点，由题意，MFG是等腰直角三角形，12 FG AF AG AF AB =-=-2121cos1352sin45p p=-⋅=+︒︒，所以422pFM pFM=⇒=.【答案】212.（★★★★）已知抛物线()2:20C y px p=>的焦点为F，准线为l，若位于x轴上方的动点A在准线l上，线段AF与抛物线C相交于点B，且1AFAFBF-=，则抛物线C的方程为______.【解析】解法1（特值法）：取,2pA p⎛⎫- ⎪⎝⎭，则1AFk=-，直线AF的方程为2px y=-+，由222px yy px⎧=-+⎪⎨⎪=⎩得：2220y py p+-=，解得：()1y p=，显然点B在x轴上方，所以)1By p=-，故(2322BBpyxp-==，从而点B的坐标为()3,12pp⎛⎫-⎪-⎪⎝⎭因为1AFAFBF-=，而AF=，((3222p pBF p-=+=-，1-=，解得：1p=，故抛物线C的方程为22y x=.解法2（特值法）：取直线AB的倾斜角为120°，如图，则60AFK ABD∠=∠=︒，此时22AF FK p==，而11213AF AB BF AB ABBF BF BF BD+==+=+=+=，所以233AF pBF==，将2AF p =、23p BF =代入1AF AF BF-=可得1p =，故抛物线C 的方程为22y x =.解法3（极限位置分析法）：让点A 无限接近点,02p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则点B 无限接近原点，此时1AFAF BF -=即为21p -=，解得：1p =，所以抛物线C 的方程为22y x=解法4：设()00,B x y ，则02p BF x =+，由~FBT FAK 可得AF KF BF TF =，即02AF p p BF x =-所以0022p p AF x p x ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭-，代入1AF AF BF -=知0001222p p p x p p x x ⎛⎫-+⋅= ⎪⎝⎭--，解得1p =，故抛物线C 的方程为22y x =.解法5：过B 作BD l ⊥于D ，因为1AFAF BF -=，所以AF AF BF BF -⋅=，故AF BF AF BF -=⋅，由图可知AF BF AB -=，所以AB AF BF =⋅，又BF BD =，所以AB AF BD =⋅，故1BDAB AF =，从图上来看，cos BD ABD AB =∠，而ABD AFK ∠=∠，所以1cos KFAFK AF AF∠==，故1KF =，即1p =，所以抛物线C 的方程为22y x =.解法6（用焦半径公式）：设BFO α∠=，则1cos p BF α=+，cos cos p AF KF p AF αα==⇒=，代入1AF AF BF -=得：cos 1cos 1cos p p p ααα-=+，解得：1p =，所以抛物线C 的方程为22y x=【答案】22y x=。

7.焦半径问题

焦半径的一组公式公式1：设AB 是过焦点F 的弦，则|AB|＝|cos 1|222θe p-．其中：e 是离心率，2p 是通径，θ是直线AB 与主轴的夹角（其证明要用下面的公式）．公式2：设F 1、F 2是曲线的左、右焦点，点P(x 0，y 0)在曲线上，记r 1＝|PF 1|、r 2＝|PF 2|为左、右焦半径．椭圆：r 1＝a ＋e x 0，r 2＝a －e x 0．双曲线：r 1＝e x 0＋e ，r 2＝e x 0－a ．抛物线：r ＝x 0＋p/2．公式3：设点P(x 0，y 0)在椭圆：12222=+by a x (a ＞b ＞0)上，F 2是椭圆的右焦点，直线PF 2与x 轴正向夹角为θ，①若点P(x 0，y 0)在x 轴的上方，则上r ＝|PF 2|＝θcos 1e p+；②若点P(x 0，y 0)在x 轴的下方，则下r ＝|PF 2|＝)cos(1θπ++e p ．其中：p ＝ab 2．（半通径）证明 ①在R t △Q PF2中，r 2＝θcos ||2Q F ＝θcos 0c x -．又r 2＝a －e x 0，∴θcos 0cx -＝a －e x 0．整理有：x 0－c ＝acos θ－x 0ecos θ⇒x 0＝θθcos 1cos e a c ++．代入有：r 2＝a －e x 0＝a －e ·θθcos 1cos e a c ++＝θcos 1e ec a +-＝θcos 2c a b +＝θcos 1e p +．公式4：设点P(x0，y 0)在抛物线y ²＝2px (p ＞0)上，F 是的抛物线焦点，直线PF 2与x 轴正向夹角为θ，①若点P(x 0，y 0)在x 轴的上方，则上r ＝|PF|＝θcos 1-p ；②若点P(x 0，y 0)在x 轴的下方，则下r ＝|PF|＝)cos(1θπ+-p．证明 ①在R t △PEF 中，r ＝θcos ||FQ ＝θcos 20px -，又r ＝x 0＋2p ⇒ θcos 20p x -＝x 0＋2p ⇒x 0＝2p ·θθcos 1cos 1-+．代入r ＝x 0＋2p 有：r ＝2p ·θθcos 1cos 1-+＋2p ＝θcos 1-p．公式5：设点P(x 0，y 0)在双曲线：12222=-by a x 上，F 2是双曲线的右焦点，直线PF 2与主轴正向夹角为θ，①若点P(x 0，y 0)在x 轴的上方，则上r ＝|PF 2|＝θcos 1e p-；②若点P(x 0，y 0)在x 轴的下方，则下r ＝|PF 2|＝)cos(1θπ+-e p ．其中：p ＝ab 2．例1．(07、重庆)过双曲线C ：422=-y x 的右焦点F 作倾斜角为0105的直线，与双曲线C 交于A 、B 两点，则 |AF |·|BF |＝__________________；解：由题设有：2==b a ，2=e ，22==ab p ⇒ |AF |＝0105cos 212cos 1-=-θe p ，|BF |＝0105cos 212+⇒ |AF |·|BF |＝02105cos 214-＝33830cos 4)210cos 1(1400==+-．例2．（08、安徽）设椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)其相应于焦点F(2，0)的准线方程为4x =．(1)求椭圆C 的方程；（2）已知过点1F (－2，0)倾斜角为θ的直线交椭圆C 于A 、B两点，求证：|AB|＝θ2cos 224-；(3)过点1F (－2，0)作两条互相垂直的直线分别交椭圆C 于点A 、B 和D 、E ，求|AB|＋|DE|的最小值．解：(1) 椭圆C 的方程为22184x y +=；(2) 1F (－2，0)是椭圆C 的左焦点，离心率e =设L 为椭圆的左准线，则L ：x ＝－4．作1AA ⊥L 于1A ，1BB ⊥L 于1B ，L 与x 轴交于点H ．∵点A 在椭圆上，11AF =∴11cos )HF AF θ=+1cos θ=1AF ⇒=1BF =11AB AF BF=+==∴．)过点1F(－2，0)作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于点A、B和D、E ，求|AB|＋|DE|的最小值．（3）设直线AB的倾斜角为θ，由于,DE AB⊥由（2）可得22cosABθ=-，22sinDEθ=-⇒22sin24AB DEθ+===+当344ππθθ==或时，AB DE+取得最小值3．例3．（05、全国2）P、Q、M、N四点都在椭圆1222=+yx上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点．已知与共线，与共线，且·＝0，求四边形PMNQ的面积的最大值和最小值．【方法一：基本模式的运算】解：设PQ与y轴正向夹角为θ（0≤θ≤2π）．22=a，b＝1，c＝1，22=e，p＝ab2＝22．由公式直接有：|PQ|＝|cos211|22·22θ-＝θ2cos222-，同理：|MN|＝θ2sin222-．∵P Q⊥MN，∴PMQNS＝21·|PQ|·|MN|⇒PMQNS＝21·θ2cos222-·θ2sin222-＝2)2(sin4124ϑ+．由0≤θ≤2π,所以0≤sin2θ≤1⇒916≤PMQNS≤2．例4．（07、安徽）已知抛物线G ：x ²＝4y 的焦点为F ．（1）过点P （0，－4）作抛物线的切线，求切线方程；（2）设A 、B 为抛物线G 上异于原点的两点，且满足·＝0．延长AF 、BF 分别与抛物线G 交于点C 、D ，求四边形ABCD的面积的最小值．解：(1)设切点为Q(0x ,420x )．由y ´＝2x，知在点Q 处的切线斜率k ＝20x ．故所求切线方程为：y －420x ＝20x (x －0x )．即y ＝20x x －42x ．因为点P （0，－4）在切线上，所以：－4＝20x ·0－420x ，求得0x ＝±4．所求切线方程为：y ＝±2x －4．（2）设AC 与y 轴的夹角为θ（0＜θ＜2π）．e ＝1,p ＝2，由公式有：|AC|＝|cos ·11|2·222θ－＝θ2sin 4，同理可得： |BD|＝θ2cos 4，∵·＝0，∴AC ⊥BD ，所以： ABCDS ＝21·|AC|·|BD|＝21·θ2sin 4·θ2cos 4＝θ2sin 322≥32．所以ABCD S 的最小值为32．。