用脉冲响应不变法设计数字滤波器.

皖西学院《数字信号处理》课程设计报告题目用脉冲响应不变法设计数字滤波器学院信息工程学院专业通信工程专业班级（*** ）班学生姓名陈* 孙**指导教师吴**二0一二年十二月《数字信号处理》课程设计是在学生完成数字信号处理和MATLAB结合后的基本实验后开设的，本课程设计的目的是为了让学生综合数字信号处理和MATLAB并实现一个较为完整的小型滤波系统。

这一点与验证性的基本实验有本质性的区别。

开设课程设计环节的主要目的是通过系统设计、软件仿真、程序安排与调试、写实习报告等步骤，使学生初步掌握工程设计的具体步骤和方法，提高分析问题和解决问题的能力，提高实际应用水平。

IIR数字滤波器具有无限宽的冲激响应，与模拟滤波器相匹配，所以IIR滤波器的设计可以采用在模拟滤波器设计的基础上进一步变换的方法。

其设计方法主要有间接设计法、直接设计法和最大平滑滤波器设计方法。

间接法是借助于模拟滤波器的设计方法进行的。

其设计步骤是：先设计过度模拟滤波器得到系统函数，然后将其按某种方法转换成数字滤波器的系统函数。

这是因为模拟滤波器的设计方法已经成熟，不仅有完整的设计公式，还有完善的图表和曲线供查阅；另外还有一些优良的滤波器可供我们使用。

直接法直接在频域或者时域中设计数字滤波器，由于要解联立方程，设计时需要计算机辅助设计。

FIR数字滤波器的单位脉冲响应应是有限长序列。

它的设计问题实质上是确定能满足要求的转移序列或脉冲响应的常数问题，它不能采用间接法，设计方法主要有窗函数法、频率采样法和等波纹最佳逼近法等。

第1章绪论 (3)1.1课程设计的目的及意义 (3)1.2课程设计题目描述及要求 (3)1.3数字滤波器的概述 (3)1.4数字滤波器的分类 (3)1.5数字滤波器的技术指标 (4)1.6数字滤波器的设计原理 (5)第2章MATLAB介绍 (6)2.1 MATLAB的简介 (6)2.2 MATLAB的优势和特点 (6)第3章IIR数字滤波器的设计 (7)3.1 IIR数字滤波器的设计概述 (7)3.2 IIR数字滤波器的设计思想： (7)3.3脉冲响应不变法设计数字滤波器 (7)3.4 巴特沃斯滤波器的设计原理 (11)第4章利用脉冲响应不变法设计数字滤波器的过程 (16)4.1课程设计的解题思路及过程 (16)4.2 MATLAB程序及仿真 (17)第5章总结 (20)参考文献 (21)第1章绪论1.1课程设计的目的及意义电子信息工程专业的培养目标是具备电子技术的基本理论和应用技术，能从事电子、信息、通信、电信等领域的工作，具有高素质、宽口径、创新晋升的专业人才。

对本专业学生的培养要进行工程素质培养、拓宽专业口径、注重基础和发展潜力。

特别是培养学生的创新能力，以实现技术为主线多进行实验技能的培养。

学生通过数字信号处理课程设计这一重要环节，可以将本专业的主干课程-数字信号处理从理论学习到实践应用，对数字信号处理技术有较深的了解，进一步增强学生动手能力和适应实际工作的能力。

1.2课程设计题目描述及要求设计题目：脉冲响应不变法设计数字滤波器。

设计技术指标：ωp=0.2π，αp≤2dB；阻带截止频率ωs=0.6π，阻带最小衰减αs≥15dB。

设计要求：设计模拟巴特沃斯滤波器并脉冲响应不变法转化成数字滤波器。

1.3数字滤波器的概述数字滤波器一词出现在60年代中期。

由于电子计算机技术和大规模集成电路的发展，数字滤波器已可用计算机软件实现，也可用大规模集成数字硬件实时实现。

所谓数字滤波器，是指输入、输出均为数字信号，通过数值运算处理改变输入信号所含频率成分的相对比例，或者滤除某些频率成分的数字器件或程序。

因此，数字滤波器的概念和模拟滤波器相同，只是信号的形式和实现滤波方式不同。

应用数字滤波器处理模拟信号时，首先须对输入模拟信号进行限带、抽样和模数转换。

数字滤波器输入信号的抽样率应大于被处理信号带宽的两倍，其频率响应具有以抽样频率为间隔的周期重复特性，且以折叠频率即1/2抽样频率点呈镜像对称。

为得到模拟信号，数字滤波器处理的输出数字信号须经数模转换、平滑。

数字滤波器具有高精度、高可靠性、体积小、重量轻、不存在阻抗匹配问题、可程控改变特性或复用、便于集成等优点，可以实现模拟滤波器无法实现的特殊滤波功能。

数字滤波器在语言信号处理、图像信号处理、医学生物信号处理以及其他应用领域都得到了广泛应用。

1.4数字滤波器的分类按照不同的分类方法，数字滤波器有许多种类，按照不同的特性具有不同的分类，具体分类如下：1.5数字滤波器的技术指标常用的数字滤波器一般属于选频滤波器。

假设数字滤波器的频率响应函数H(ejω)用下式表示：()()()ϖθϖjϖj ejH||=Hee式中，|H(eϖj)|称为幅频特性函数; θ(ω)称为相频特性函数。

图1.2表示低通滤波器的幅频特性，ωp和ωs分别称为通带边界频率和阻带截止频率。

通带频率范围为0≤|ω|≤ωp，在通带中要求(1－δ1)<|H(e jω)|≤1，阻带频率范围为ωs≤|ω|≤π，在阻带中要求|H(e jω)|≤δ2。

从ωp到ωs称为过渡带，过渡带上的频响一般是单调下降的。

通常，通带内和阻带内允许的衰减一般用分贝数表示，通带内允许的最大衰减用αp表示，阻带内允许的最小衰减用αs表示。

αp 越小,通带波纹越小，通带逼近误差就越小；αs越大,阻带波纹越小，阻带逼近误差就越小；ωp与ωs间距越小, 过渡带就越窄。

所以低通滤波器的设计指标完全由通带边界频率Ωp、通带最大衰减αp阻带边界频率Ωs和阻带最小衰减αs确定。

1.6数字滤波器的设计原理数字滤波器根据其冲激响应函数的时域特性，可分为两种，即无限长冲激响应(IIR)滤波器和有限长冲激响应(FIR)滤波器。

IIR滤波器的特征是，具有无限持续时间冲激响应。

这种滤波器一般需要用递归模型来实现，因而有时也称之为递归滤波器。

FIR滤波器的冲激响应只能延续一定时间，在工程实际中可以采用递归的方式实现，也可以采用非递归的方式实现。

数字滤波器的设计方法有多种，如双线性变换法、窗函数设计法、插值逼近法等等。

随着MATLAB软件尤其是MATLAB的信号处理工作箱的不断完善，不仅数字滤波器的计算机辅助设计有了可能，而且还可以使设计达到最优化。

第2章MATLAB介绍2.1 MATLAB的简介MATLAB是由美国mathworks公司发布的主要面对科学计算、可视化以及交互式程序设计的高科技计算环境。

MATLAB的基本数据单位是矩阵，它的指令表达式与数学、工程中常用的形式十分相似，并且吸收了像Maple等软件的优点，使MATLAB成为一个强大的数学软件。

用户也可以将自己编写的实用程序导入到MATLAB函数库中方便自己以后调用，此外许多的MATLAB爱好者都编写了一些经典的程序，用户可以直接进行下载就可以用。

2.2 MATLAB的优势和特点（1）友好的工作平台和编程环境MATLAB由一系列工具组成。

（2）简单易用的程序语言。

（3）出色的图形处理功能（4）应用广泛的模块集合工具箱。

（5）应用软件开发（包括用户界面）在开发环境中，使用户更方便地控制多个文件和图形窗口。

第3章 IIR 数字滤波器的设计3.1 IIR 数字滤波器的设计概述IIR 滤波器系统函数的极点可以在单位圆内的任何位置，实现IIR 滤波器的阶次较低，所用的存储单元较少，效率高，又由于IIR 数字滤波器能够保留一些模拟滤波器的优良特性，因此应用很广。

设计IIR 数字滤波器的方法主要有基于脉冲响应不变法的IIR 数字滤波器设计，基于双线性Z 变换法的IIR 数字滤波器设计，数字高通、带通及带阻IIR 滤波器设计，基于MATLAB 函数直接设计IIR 数字滤波器。

3.2 IIR 数字滤波器的设计思想：目前，IIR 数字滤波器设计最通用的方法是借助于模拟滤波器的设计方法。

模拟滤波器设计已经有了一套相当成熟的方法，它不但有完整的设计公式，而且还有较为完整的图表供查询，因此，充分利用这些已有的资源将会给数字滤波器的设计带来很大方便，IIR 数字滤波器的设计步骤是：(1)按一定规则将给出的数字滤波器的技术指标转换为模拟滤波器的技术指标。

(2)根据转换后的技术指标设计模拟低通滤波器H(s)。

(3)在按一定规则将H(s)转换为H(z)。

若所设计的数字滤波器是低通的，那么上述设计工作可以结束。

若所设计的是高通、带通或者带阻滤波器，那么还有步骤(4)将高通、带通或者带阻数字滤波器的技术指标先转化为低通滤波器的技术指标，然后按上述步骤(2)设计出模拟低通滤波器H(s)，再由冲击响应不变法或双线性变换将H(s)转换为所需的H(z)设计的关键问题：找出从()s H a 到()z H a 的转换方法，主要有冲激响应不变法、阶跃响应不变法、双线性变换法等。

下面讨论脉冲响应不变法。

3.3脉冲响应不变法设计数字滤波器设模拟滤波器的系统函数为()s H a ，相应的单位冲激响应是()t h a ，()s H a =LT ［()t h a ］。

LT ［·］代表拉氏变换，对()t h a 进行等间隔采样，采样间隔为T ，得到()nt h a ，将()()nT h n h a =作为数字滤波器的单位脉冲响应，那么数字滤波器的系统函数H (z )便是h (n )的Z 变换。

因此脉冲响应不变法是一种时域逼近方法，它使h (n )在采样点上等于h a (t )。

但是，模拟滤波的设计结果是H a (s )，所以下面基于脉冲响应不变法的思想，导出直接从H a (s )到()z H 的转换公式。

设模拟滤波器H a (s )只有单阶极点，且分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次，将H a (s )用部分分式表示：(3.1)式中s i 为H a (s )的单阶极点。

将H a(s )进行逆拉氏变换, 得到:(3.2)式中, u (t )是单位阶跃函数。

对h a(t )进行等间隔采样，采样间隔为T ，得到：(3.3)对上式进行Z 变换，得到数字滤波器的系统函数H (z )，即(3.4)对比(3.1)和(3.4)式，H a (s )的极点i s 映射到z 平面的极点为T s i e ，系数A i 不变。

下面我们分析从模拟滤波器转换到数字滤波器，s 平面和z 平面之间的映射关系，从而找到这种转换方法的优缺点。

这里以理想采样信号作为桥梁，推导其映射关系。

设h ()t a 的理想采样信号用()t h aˆ表示，即 ()t h aˆ=()()nT t t h n a -∑∞-∞=δ 对()t h aˆ进行拉氏变换，得到：（3.5）上式表示采样信号的拉氏变换与相应的序列的Z 变换之间的映射关系可用下式表示： （3.6）我们知道模拟信号h a (t)的傅里叶变换Ha(jΩ)和其采样信号()t h aˆ的傅里叶变换H ˆ()Ωj a之间的关系满足：∑=-=N i i i s s A s H 1a )(∑==Ni t s i t u A t h i 1a )(e)(∑===Ni nT s i nT u A nT h n h i 1a )(e )()(∑=--=N i T s i z A z H i 11e 1)(snT n a st n a st a a e nT h dt e nT t t h dt e t h s H --∞+∞--∞+∞-∑⎰∑⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==)()()()(ˆ)(ˆδsT sT e z e z n n a z H z n h ==-==∑)()(sT e z =将s=j Ω代入上式，得设s=Ω+j σ,z=re ϖj （3.7）由此可得① r 与σ的关系σ=0 (s 平面虚轴) r=1 (z 平面单位圆)σ<0 (s 左半平面) r<1 (z 平面单位圆内部)σ>0 (s 右半平面) r>1 (z 平面单位圆外部)② ω与Ω的关系： ω= ΩTΩ=0 (s 平面实轴) ω=0 (z 平面正实轴)Ω= Ω0 (s 平面平行于实轴的直线) ω=Ω0T(z 平面始于原点，辐角为Ω0T 的辐射线) Ω：从-π/T ～π/T ω：从-π～π(s 平面为2π/T 的一个水平带) (z 平面辐角转了一周，覆盖整个z 平面)图3.1 脉冲响应不变法s 平面和z 平面之间的映射关系存在的问题：混叠失真（3.8）∑∞-∞=Ω-Ω=Ωk s a a jk j H T j H )(1)(ˆsT e z k s a a z H jk s H T s H =∞-∞==Ω-=∑)()(1)(ˆ⎩⎨⎧Ω==⇒T e r T ωσTj T j e e re Ω=σω得到：可得：＝由：∑∞-∞=Ω-k s a jk s H T z H )(1)(⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑∞-∞=T k j H T e H k a j πωω21)(数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓。