数值计算典型例题与习题2
新浙教版七年级上册数学第二章有理数的运算知识点和典型例题

新浙教版七年级上册数学第二章有理数的运算学问点及典型例题将考点及相应习题联络起来考点一、有理数的加减乘除乘方运算1、 (-3)3÷214×(-23)2 – 4-23×〔- 232〕 2、 -32+(-2)3 –(0.1)2×(-10)33、 -0.5-〔-314〕+2.75+〔-712〕 4、〔-23〕-〔-5〕+〔-64〕-〔-12〕5、假如()()0132122=-+-++c b a ,求333c a abc -+的值.考点二、运用运算律进展简便运算1、-(-5.6)+10.2-8.6+(-4.2)2、(-12+16-34+512)×(-12) 3、(117512918--)×36-6××6 4、492425×(-5)考点三、及数轴相关的计算或推断1、有理数a,b,c 在数轴上的位置如下图,以下错误的选项是〔 〕 A 、b+c<0B 、-a+b+c<0C 、|a+b|<|a+c|D 、|a+b|>|a+c|2、a ,b 在数轴上的位置如下图,那么a ,b ,a +b ,a -b 中,负数的个数是〔 〕 A .1个 B .2个 C .3个 D .4个3、假设a .b .c 在数轴上位置如下图,那么必有〔 〕cb a -2-121A .abc >0B .ab -ac >0C .〔a +b 〕c >0D .〔a -c 〕b >04、有理数a ,b 在数轴上的位置如下图,那么在a +b ,a -b ,ab ,3a ,23a b s 这五个数中,正数的个数是〔 〕A .2B .3C .4D .55、有理数a 、b 在数轴上的对应的位置如下图,那么〔 〕 A .a + b <0 B .a + b >0 C .a -b = 0 D .a -b >06、a 、b 在数轴上的位置如图,化简a = ,b a += ,1+a = 。
数值分析复习资料

数值分析复习资料一、重点公式第一章 非线性方程和方程组的数值解法 1)二分法的基本原理,误差:~12k b ax α+--<2)迭代法收敛阶:1lim0i pi ic εε+→∞=≠,若1p =则要求01c <<3)单点迭代收敛定理:定理一:若当[],x a b ∈时,[](),x a b ϕ∈且'()1x l ϕ≤<,[],x a b ∀∈,则迭代格式收敛于唯一的根;定理二:设()x ϕ满足:①[],x a b ∈时,[](),x a b ϕ∈, ②[]121212,,, ()(),01x x a b x x l x x l ϕϕ∀∈-≤-<<有 则对任意初值[]0,x a b ∈迭代收敛,且:110111i i iii x x x llx x x lαα+-≤---≤-- 定理三:设()x ϕ在α的邻域内具有连续的一阶导数,且'()1ϕα<,则迭代格式具有局部收敛性;定理四:假设()x ϕ在根α的邻域内充分可导,则迭代格式1()i i x x ϕ+=是P 阶收敛的 ()()()0,1,,1,()0j P j P ϕαϕα==-≠ (Taylor 展开证明)4)Newton 迭代法:1'()()i i i i f x x x f x +=-,平方收敛 5)Newton 迭代法收敛定理:设()f x 在有根区间[],a b 上有二阶导数,且满足: ①:()()0f a f b <; ②:[]'()0,,f x x a b ≠∈;③:[]'',,f x a b ∈不变号④:初值[]0,x a b ∈使得''()()0f x f x <;则Newton 迭代法收敛于根α。
6)多点迭代法:1111111()()()()()()()()()i i i i i i i i i i i i i i i f x f x f x x x x x f x f x f x f x f x f x x x -+-----=-=+----收敛阶:P =7)Newton 迭代法求重根(收敛仍为线性收敛),对Newton 法进行修改 ①:已知根的重数r ,1'()()i i i i f x x x rf x +=-(平方收敛) ②:未知根的重数:1''()(),()()()i i i i u x f x x x u x u x f x +=-=,α为()f x 的重根,则α为()u x 的单根。
数值分析典型例题

1数值分析典型例题例1 对下列各数写出具有5位有效数字的近似值。
236.478, 0.00234711,9.000024, 9.000034310⨯.解:按照定义,以上各数具有5位有效数字的近似值分别为:236.478, 0.0023471, 9.0000, 9.0000310⨯。
注意: *x =9.000024的5位有效数字是9.0000而不是9,因为9是1位有效数字。
例2 指出下列各数具有几位有效数字。
2.0004, -0.00200, -9000, 9310⨯,2310-⨯。
解:按照定义,以上各数的有效数字位数分别为5, 3, 4,1,1 例3 已测得某物体行程*s 的近似值s=800m ,所需时间*s 的近似值为t=35s ,若已知m s s s t t 5.0||,05.0||**≤-≤-,试求平均速度v 的绝对误差和相对误差限。
解:因为t s v /=,所以)()(1)()()(2t e tss e t t e t v s e s v v e -=∂∂+∂∂≈ 从而05.00469.0358005.0351|)(||||)(|1|)(|22≤≈+⨯≤+≤t e t s s e t v e同样v v e v e r )()(≈)()()()(t e s e t e vtt v s e v s s v r r r -=∂∂+∂∂=所以00205.03505.08005.0|)(||)(||)(|≈+≤+≤t e s e v e r r r因此绝对误差限和相对误差限分别为0.05和0.00205。
例4试建立积分20,,1,05=+=n dx x x I nn 的递推关系,并研究它的误差传递。
解:151--=n n I nI ……………………………………………..…...(1) 5ln 6ln 0-=I ,计算出0I 后可通过(1)依次递推计算出1I ,…,20I 。
但是计算0I 时有误差0e ,由此计算出的1I ,…,20I 也有误差,由(1)可知近似值之间的递推关系为151--=n n I nI ……………………………………………….…..(2) (1)-(2)可得01)5(5e e e n n n -=-=-,由0I 计算n I 时误差被放大了n 5倍。
典型例题与习题

a
2
b f ( x)dx (b a) f ( a b ) f () (b a)3
a
2
24
9/16
Ex2.复合左矩形求积公式旳求积误差
b a
n1
f ( x)dx h
j0
f (a
h2 jh)
2
n j1
f ( j )
设被积函数在积分区间上旳一阶导数连续,由连续函数
介值定理
1
n
n j 1
N 1
[
n0
f
(
xn
)
4
f
(
xn1/
2
)
f ( xn1 )]
其中, h = (b – a )/N, xn= a + n h ( n = 0,1,2,···, N)
13/16
Ex8.将线性常系数非齐次高阶常微分方程初值问题:
y(n) + a1 y(n-1) + a2 y(n-2) +·······+ an y = f( x, y, ····, y(n-1))
Gm
(h)
4m
Gm
1
(
h 2
)
Gm
1
(h)
4m 1
f ( x) Gm (h) O(h2(m1) )
练习:二阶中心差商旳外推公式?
6/16
常微分方程初值问题 1. Euler措施
y f ( x, y) x x0
y(
x0
)
y0
y0 yn1
y( x0 ), yn
xn1 xn h hf ( xn , yn ),(n
16/16
N 1
试证明用Euler公式计算成果为 y(b) f (tn )h
(完整版)《幂的乘方与积的乘方》典型例题

《幂的乘方与积的乘方》典型例题例1 计算:(1)199********.08⨯;(2)3014225.01⨯-例2 计算题:(1)43)(b -; (2)n m 24)(; (3)5])[(m y x -; (4)3542)()(x x ⋅; (5)32)4(n m ⋅; (6)43)32(ab -.例3 计算题(1)33326)3()5(a a a ⋅-+-;(2)5335654)()2(a a a a a -+--⋅⋅;(3)1232332312)()(3)()(4--⋅+⋅-n n n n a b b a ;(4)))(2()3(24232xy y x xy --+-。
例4 计算题。
(1)20012001125.08⨯; (2)199910003)91(⨯-; (3)2010225.0⨯。
例5 比较5553,4444,3335的大小。
参考答案例1 解:(1)原式199********.088⨯⨯=8181997=⨯=;(2)原式15214)2(25.01⨯-= 1514425.01⨯-= 4425.011414⨯⨯-=4)425.0(114⨯⨯-=41114⨯-=41-= 说明:(1)逆用了积的乘方性质;n n n ab b a )(=;(2)先后逆用幂的乘方n m mn a a )(=和同底数幂的乘法n m n m a a a ⋅=+的运算性质。
例2 分析:运算中同底数幂相乘和幂的乘方要注意加以区分,同底数幂相乘指数相加 ,而幂的乘方是指数相乘。
在积的乘方运算中要注意以下的错误,如333)2()2(y a y a -=-。
解:(1)43)(b -;)()1(12434b b =⋅-=(2)n n n m m m 84242)(=⨯=;(3)m m y x y x 55)(])[(-=-;(4)231583542)()(x x x x x =⋅=⋅;(5)363264)4(n m n m =⋅;(6)1244344438116)()32()32(b a b a ab =⋅⋅-=-。
实数典型例题

(1) 4 ;(2) 4
;(3) 32
;(4)
1 10 2
.
解:(1)无意义; (2)有意义; (3)有意义; (4)有意义.
下列各式是否有意义,为什么?
(1)
√
3 (2)
×
3
(3)
√
(8)2 (4)
√
1 92
下列各式中,x为何值时有意义?
(1) x
(2) x2 1
解:∵-x≥0 ∴x≤0
解: ∵x2+1≥0恒成立 ∴x为任何数
120
∴ x 0.09 0.3(米). 答:每块地砖的边长是0.3米.
若 a2 a 则a的取值(范围)为 ( C )
A. 正数
B. 非负数
C. 1,0
D. 0
有一列数按如下规律排列:
- 2 ,- 3 ,1 ,- 5 ,- 6 , 7 ,...... 2 4 4 16 32 64
则第2016个数是 ( C )
实数典型例题
一.求一个数的算术平方根
求下列各数的算术平方根:
(1)100 ;
(2)49 ; 64
(3)0.0001.
解:(1)因为 102=100 ,
所以100的算术平方根是10 .
即
.
100 =10
(2) 49 ; 64
解:(2)因为 (7)2 49 , 8 64
所以 的算术平方根是 .
49
解:(1) 依次按键 显示:56.
3136 =
∴
.
3136 56
(2) 依次按键
2=
显示:1.414213562.
∴
.
2 1.414
小明房间的面积为10.8平方米,房间地面恰由120块相同的正 方形地砖铺成,问每块地砖的边长是多少?
小数的意义和性质典型例题讲解

小数的意义和性质典型例题讲解小数是数学中一种常见的数表示形式,它是指数的分数形式,可用来表示介于两个整数之间的实数。
小数的意义和性质对于学习数学非常重要,下面我们将通过典型例题的讲解来进一步说明这个问题。
例题1:将分数$\frac{3}{4}$转化为小数。
解:将分数$\frac{3}{4}$转化为小数,可以用除法的方法进行计算。
将3除以4得到0.75,所以$\frac{3}{4}$转化为小数为0.75。
例题2:将小数0.28转化为分数。
解:小数0.28可以表示为$\frac{28}{100}$。
为了化简分数,我们可以将分子分母同时除以最大公约数4,得到$\frac{7}{25}$。
所以0.28转化为分数为$\frac{7}{25}$。
从这两个例题可以看出,小数可以用分数的形式来表示,也可以通过除法的方法将分数转化为小数。
这是小数的一条重要性质。
小数除了可以表示实数,还可以表示百分数。
百分数是以100为基数的分数,用百分号表示。
例如将小数0.42表示为百分数可以写为42%。
如果要将百分数转化为小数,只需要把百分数后面的百分号去掉,然后除以100即可。
例题3:将百分数75%转化为小数。
解:去掉百分号后,75%转化为75。
然后将75除以100,得到0.75。
所以75%转化为小数为0.75。
小数还有一个重要的性质是可以进行加、减、乘、除等运算。
小数的加减乘除运算规则与整数相同,只需要保持小数点的正确位置即可。
例题4:计算小数0.75和1.25的和。
解:将小数竖排,小数点对齐,然后按照整数加法的规则进行计算,得到2。
最后将小数点放在2的右边,所以0.75和1.25的和为2。
例题5:计算小数0.6乘以2.5。
解:将小数按照正常的乘法规则进行计算,得到1.5。
最后将小数点放在1.5的右边,所以0.6乘以2.5等于1.5。
小数的性质还包括无线不循环小数和有限不循环小数。
无限不循环小数是指小数部分无限地进行下去,不会出现循环节。
数理统计典型例题分析

典型例题分析例1.分别从方差为20和35的正态总抽取容量为8和10的两个样本,求第一个样本方差是第二个样本方差两倍的概率的范围。
解 以21S 和22S 分别表示两个(修正)样本方差。
由222212σσy x S S F =知统计量2221222175.13520S S S S F ==服从F 分布,自由度为(7,9)。
1) 事件{}22212S S =的概率 {}{}05.320352352022222122212221===⎭⎬⎫⎩⎨⎧⨯==⎭⎬⎫⎩⎨⎧===F P S S P S S P S S P因为F 是连续型随机变量,而任何连续型随机变量取任一给定值的概率都等于0。
2) 现在我们求事件{}二样本方差两倍第一样本方差不小于第=A 的概率:{}{}5.322221≥=≥=F P S S P p 。
由附表可见,自由度9,721==f f 的F 分布水平α上侧分位数),(21f f F α有如下数值:)9,7(20.45.329.3)9,7(025.005.0F F =<<=。
由此可见,事件A 的概率p 介于0.025与0.05之间;05.0025.0<<p 。
例2.设n X X X ,,, 21是取自正态总体),(2σμN 的一个样本,2s 为样本方差,求满足不等式95.05.122≥⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤σS P 的最小n 值。
解 由随机变量2χ分布知,随机变量σ/12S n )(-服从2χ分布,自由度1-=n v ,于是,有{}{}95.0)1(5.1)1(5.1)1(2,05.02222=≤≥-≤=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-=v v v P n P n S n P χχχσ 其中2v χ表示自由度1-=n v 的2χ分布随机变量,2,05.0v χ是自由度为1-=n v 的水平05.0=α的2χ分布上侧分位数(见附表)。
我们欲求满足2,05.015.1v n χ≥-)(的最小1+=v n 值,由附表可见226,05.0885.3839)127(5.1χ=>=-, 22505.0652.375.401265.1,)(χ=<=-。
数值分析计算方法复习(典型例题)解析

6
626
复化 Simpson 公式
h
ba 2n
,
xj
a
jh
( j 0,1,,2n)
x2 j2
x2 j1
x2 j
I( f )
n j 1
h 3
[
f
(
x2
j2
)
4
f
(
x2
) j 1
f (x2 j )]
Sn( f )
n j 1
h 3
[
f
(
x2
j
2
)
4
f
(
x2
j 1
)
f ( x2 j )]
b a
则迭代格式为
xk 1
2
x3 k
1
取初值 x0 0
x1
2
x3 0
1
1
x2
2
x3 1
1
3
x3
2
x3 2
1
55
由此可见,这种迭代格式是发散的
(2) 如果将原方程化为等价方程 x 3 x 1 2
仍取初值
x0 0 x1 3
x0 1 3 2
1 0.7937 2
x2 3
x1 1 3 1.7937 0.9644
h(1 f (xn1, y(xn1)) f (xn , y(xn )) 1 f (xn1, y(xn1)))
y(xn1) ( y(xn ) y(xn1))
h(1 y(xn1) y(xn ) 1 y(xn1))
y(xn ) hy(xn )
h2 2
y(xn )
h3 6
y(xn )
计算方法复习
Final Exam Review
小数的意义和性质典型例题

小数的意义和性质典型例题小数是数学中一个重要的概念,它是整数和分数之间的一个数值表示形式。
在日常生活和各个学科领域中,小数都被广泛应用,具有重要的意义和性质。
本文将以小数的意义和性质为主题,通过典型例题来解析和说明其具体应用。
小数的意义可以从几个方面来理解,首先它是分数的一种特殊形式。
在数线上,任何一个有限小数或无限循环小数都可以表示成一个分数。
例如,0.5表示1/2,0.75表示3/4,0.333…表示1/3等等。
这种表示形式让我们更直观地理解小数与分数之间的关系,方便计算和比较大小。
其次,小数还可以表示实数中的一种严格的近似值。
在实际应用中,我们经常会遇到无法用分数或整数精确表示的数值。
例如,圆周率π、自然对数的底数e等都是无理数,无法被精确表示。
这时,我们可以使用小数作为这些实数的近似值。
例如,把π近似为3.14、e近似为2.718等。
虽然无法精确表示,但小数的近似值可以在实际操作中满足要求。
此外,小数还能表示分数和整数之间的关系。
在分数和整数之间,小数能够帮助我们更好地理解和衔接两者之间的数值。
比如,1.5表示1和2之间的一个数值,即1和2的平均值。
这种表示形式在数轴上也很直观,让我们更容易理解这个介于两个整数之间的数值。
接下来,我们通过一些典型例题来进一步阐述小数的性质和具体应用。
例题1:把分数转换为小数,然后作比较大小。
题目:把3/4、7/8、2/5、1/2这几个分数转换为小数,然后按从小到大的顺序排列。
解析:我们可以通过除法运算将分数转换为小数。
具体步骤如下:3/4 = 0.757/8 = 0.8752/5 = 0.41/2 = 0.5将得到的小数按从小到大的顺序排列,得到:0.4 < 0.5 < 0.75 < 0.875通过这个例题,我们可以看到小数在比较大小时非常直观和方便,可以直接按照大小关系进行排列。
这在实际应用中经常用到,特别是在金融、经济学等领域的比较和排序中。
算法与数据结构综合应用——典型竞赛试题分析78

writeln('Total weight:');
readln(w);
writeln;
if not knap(1, w) then writeln('NO ANSWER!!');
readln;
end.
2、[单源最短路径]一个有向图G,它的每条边都有一个非负的权值c[i,j],"路径长度"就是所经过的所有边的权值之和
穷举搜索法
穷举法也叫枚举法,它的基本思想是依题目的部分条件确定答案的大致范围,在此范围内对所有可能的情况逐一验证,直到全部情况验证完
若某个情况经验证符合题目的全部条件,则为本题的一个答案
若全部情况经验证后都不符合题目的全部条件,则本题无答案
用穷举法解题时,答案所在的范围总是要求是有限的,怎样才能使我们不重复的、一个不漏、一个不增的逐个列举答案所在范围的所有情况,就是本节所讲的"列举方法"
分析:
目标函数: ∑pi最大
约束条件是装入的物品总重量不超过背包容量:∑wi<=M( M=150)
(1)根据贪心的策略,每次挑选价值最大的物品装入背包,得到的结果是否最优?
(2)每次挑选所占空间最小的物品装入是否能得到最优解?
(3)每次选取单位容量价值最大的物品,成为解本题的策略
简单背包问题
分析:
1. 运用贪心思想:
在每一步前进的选择上,选取相对当前城市耗油量最小的航线;
2. 图解:若从1出发,有图:
总耗油量=14 1-2-5-3-4-1
但若路线改为:1-5-3-4-2-1,则总耗油量=13
所以,这样的贪心法并不能得出最佳解
极限四则运算典型例题

极限四则运算典型例题
在现代数学教学中,极限四则运算是一种重要而基础的技能,能够帮助学生们逐渐掌握并熟练运用四则运算的方法。
今天,我们将通过几个典型例题,深入探讨极限四则运算的基本原理,以及其应对此类问题的解决之道,以此来提升数学能力。
极限四则运算的基本原理
在进行极限四则运算时,我们首先要搞清楚四则运算的基本原理:极限运算是指在求解一定表达式时,原本比较复杂的算术,通过把每一步的运算结果都追溯到一个共同的数值,而把原本复杂的运算变得简单化,最终达到求出表达式的源头,从而得出我们想要的结果。
典型例题
1. 例题一:已知a+b=4,求 lim(a+b/2)。
解:由于a+b=4,即a+b/2=2,因此lim(a+b/2)=2,即极限值为2。
2. 例题二:已知a+b=8,求 lim(a/b)。
解:由于a+b=8,即(a-b)/b=2,因此lim(a/b)=3,即极限值为3。
3. 例题三:已知a+b=12,求 lim(a*b/2)。
解:由于a+b=12,即a*b/2=6,因此lim(a*b/2)=6,即极限值
为6。
4. 例题四:已知a+b=16,求 lim(a-b/2)。
解:由于a+b=16,即a-b/2=8,因此lim(a-b/2)=8,即极限值
为8。
总结
以上,就是几个极限四则运算的典型例题。
从以上我们可以得出,四则运算的极限求解方法是通过把原本复杂的运算转化为基本的数
学表达式来计算的,比如将a+b除以2,将a乘以b除以2等。
只有搞清楚极限四则运算的基本原理,才能正确处理各种问题,提高学生们对数学的敏感度,为进一步学习数学打下坚实的基础。
七年级下数学《幂的乘方与积的乘方》典型例题及习题

例 1 计算:(1) ; (2)
;(5)
;(6)
例 2 计算
; (3)
例 3 计算: (1) (2)
(用两种方法计算) ; (用两种方法计算) 。
例 4 用简便方法计算:
(1)
;(2)
;(3)
。
例 5 已知
,求
的值。
;(4) 。
参考答案 例 1 分析:看清题意,分清步骤,注意运用幂的运算性质。
)
A.1
B.-1
C.0
D.1 或-1
5,已知 P=(-ab ) ,那么-P 的正确结果是(
)
A.a b
B.-a b
C.-a b
D.- a b
6,计算(-4×10 ) ×(-2×10 ) 的正确结果是(
)
A.1.08×10
B.-1.28×10
C.4.8×10
D.-1.4×10
7,下列各式中计算正确的是(
解:(1)
=
;
(2)
;
(3)
。
例 5 分析:直接比较 , 和 无法实现,可设法把它们的指数变成
相同的数字,∵
,所以把原来三个幂变成
,
,
进而比较底数的大小。
解:∵
,
,
,
显然
∴
。
说明:当指数较大时,无法计算幂的数值时,可借助学过的幂的性质把原式 化简。
1.4 幂的乘方与积的乘方
1,下列各式中,填入 a 能使式子成立的是( )
5.
=__________.
6.
=_________,
=_____.
7.若
,则 =_______,
积分中值定理经典例题

积分中值定理经典例题积分中值定理是数学中一个重要的定理,它告诉我们在求积分时可以利用数值中值原理,节省时间和精力,并且求解结果比较准确。
下面我们就通过两个典型例题来认识一下积分中值定理。
例题1:计算int_{0}^{1}(1+x^2)dx解:我们可以用积分中值定理来计算这个积分,它规定明确地说:积分中值定理:若在区间[a,b]上有n个不相等的定点x1,x2,...,xn,且f(x)在[a,b]上可导,则int_{a}^{b}f(x)dx=frac{(b-a)}{2n}sum_{i=1}^{n}[f(x_{2i-1})+ f(x_{2i})]由此我们可以将题目中的积分变为:int_{0}^{1}(1+x^2)dx=frac{1}{2}sum_{i=1}^{2}[f(x_{2i-1})+f( x_{2i})]=(1+1/2^2)+(1+1^2)=3.25例题2:计算int_{1}^{2}cos2x ,dx解:我们同样也可以用积分中值定理来计算这个积分:int_{1}^{2}cos2x ,dx=frac{1}{2}sum_{i=1}^{2}[f(x_{2i-1})+f( x_{2i})]=(-0.416+1.309)=(1.309-0.416)=0.893从以上两个例题中,我们可以看出积分中值定理的强大之处,它可以节省大量时间和精力,使用简单粗暴的数值中值原理,也能准确求解出积分的结果。
其实,积分中值定理并不仅仅可以用于解决一般的积分问题,它也可以用于证明有关于数的全等性、连续性以及极限的问题,从而帮助我们更加深入地理解函数及其在数学中的重要性。
综上所述,可以看出,积分中值定理是一个非常有用的定理,它给我们提供了一种更加高效的求积分的方法,也可以用于证明有关函数的性质,是数学研究中一个非常重要的工具。
有关溶解度的计算典型例题

有关溶解度的计算典型例题[例1]已知15℃时碘化钾的溶解度为140g,计算在该温度下250g水中最多能溶解多少克碘化钾?[分析]:15℃时碘化钾的溶解度为140g,这表明在该温度下100g水最多能溶解140g碘化钾。
那么,250g水最多能溶解多少克碘化钾,可通过关系式法列比例求得,亦可用基本公式法求解。
解法1:关系式法设:15℃时,250g水里最多能溶解x克碘化钾。
关系式:m质+m剂=m液15℃时 140g 100g? x250g[解答]:15℃时,250g水最多能溶解350g碘化钾。
解法2:基本公式法已知: s=140g m剂=250g求: m质=?[解答]:解之,得:m质=350g[例2] 把20℃的282g硝酸钾饱和溶液加热,升温到60℃,需要加入多少克硝酸钾才能使溶液重新达到饱和?(已知20℃时硝酸钾的溶解度为31.6g,60℃时为110g)。
分析:溶剂量不变,当饱和溶液的温度升高时,由于溶解度的增大,使溶液由饱和变为不饱和。
如果要在高温时使溶液重新达到饱和,则需加入一定量的溶质。
所加溶质的量可用质量关系式通过比例进行计算,也可用公式法求得。
解答1 关系式法设:所需加的硝酸钾为x克。
关系式: m质+m剂=m液20℃→60℃添加量20℃ 31.6g 100g 131.6g 110g-31.6g=78.4g282gx每有131.6g硝酸钾饱和溶液从20℃升到60℃时,需要加入78.4g硝酸钾才能使溶液在60℃时亦达饱和,那么282g20℃的硝酸钾饱和溶液升温到60℃,应加入多少克硝酸钾才能使溶液重新达到饱和,可通过比例求得。
答:应加入168g硝酸钾。
解答2:公式法根据上述的比例式,可导出如下的计算公式。
设:应添加硝酸钾晶体为x克。
答:(略)[例3]已知30℃时硝酸钾的溶解度为45.8g。
有理数的混合运算习题精选

有理数的混合运算习题精选有理数混合运算的⽅法技巧⼀、理解运算顺序有理数混合运算的运算顺序:①从⾼级到低级:先算乘⽅,再算乘除,最后算加减;有理数的混合运算涉及多种运算,确定合理的运算顺序是正确解题的关键。
例1:计算:3+50÷22×(51-)-1 ②从内向外:如果有括号,就先算⼩括号⾥的,再算中括号⾥的,最后算⼤括号⾥的。
例2:计算:()[]232315.011--?--③从左向右:同级运算,按照从左⾄右的顺序进⾏。
例3:计算:-+ -÷ --388712787431 ⼆、应⽤四个原则:1、整体性原则:乘除混合运算统⼀化乘,统⼀进⾏约分;加减混合运算按正负数分类,分别统⼀计算,或把带分数的整数、分数部分拆开,分别统⼀计算。
2、简明性原则:计算时尽量使步骤简明,能够⼀步计算出来的就同时算出来;运算中尽量运⽤简便⽅法,如五个运算律的运⽤。
3、⼝算原则:在每⼀步的计算中,都尽量运⽤⼝算,⼝算是提⾼运算率的重要⽅法之⼀,习惯于⼝算,有助于培养反应能⼒和⾃信⼼。
4、分段同时性原则:对⼀个算式,⼀般可以将它分成若⼲⼩段,同时分别进⾏运算。
如何分段呢?主要有:(1)运算符号分段法。
有理数的基本运算有五种:加、减、乘、除和乘⽅,其中加减为第⼀级运算,乘除为第⼆级运算,乘⽅为第三级运算。
在运算中,低级运算把⾼级运算分成若⼲段。
⼀般以加号、减号把整个算式分成若⼲段,然后把每⼀段中的乘⽅、乘除的结果先计算出来,最后再算出这⼏个加数的和。
把算式进⾏分段,关键是在计算前要认真审题,妥⽤整体观察的办法,分清运算符号,确定整个式⼦中有⼏个加号、减号,再以加减号为界进⾏分段,这是进⾏有理数混合运算⾏之有效的⽅法。
(2)括号分段法,有括号的应先算括号⾥⾯的。
在实施时可同时分别对括号内外的算式进⾏运算。
(3)绝对值符号分段法。
绝对值符号除了本⾝的作⽤外,还具有括号的作⽤,从运算顺序的⾓度来说,先计算绝对值符号⾥⾯的,因此绝对值符号也可以把算式分成⼏段,同时进⾏计算。
数值分析典型例题与习题

10/20
例 4.设a 为正实数,试建立求1/a 的牛顿迭代公 式,要求在迭代公式中不含有除法运算,并考 虑迭代公式的收敛。
解:建立方程 f ( x) 1 a 0
x
利用牛顿迭代法,得
xn+1 = xn(2 – a xn),( n = 0,1,2 ……)
整理,得 1 – a xn+1 = (1 – a xn)2
(n = 0, 1, 2 , ·····)
3. 弦截法迭代格式:
xn1 xn
( xn xn1 ) f ( xn ) f ( xn1 )
f (xn )
3/20
设
lim
n
xn
x*
, 若存在 a>0 , r>0 使得
lim
n
| |
xn1 x* | xn x* |r
Bn Dn Dn2
yn1
yn
An Dn
C
2 n
BnCn Dn2
17/20
牛顿迭代法的收敛域问题:
用牛顿迭代法求解复数方程 z3 – 1 = 0,该方程在复 平面上三个根分别是
z1 = 1
13 z2 2 2 i
13 z3 2 2 i
选择中心位于坐标原点,边长
15/20
Ex10 在计算机上对调和级数逐项求和计算
n 1
Sn k1 k
当 n 很大时,Sn 将不随n 的增加而增加。试
分析原因。
Ex11 确定下列方程的全部隔根区间
(1) x sin x = 1;(2) sin x – e -x =0;
(3) x = tan x; (4) x2 – e-x =0
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
9/16
| a ii | | | | a ii | | | | a ij |
j 1 ji
n
| | | a
j 1 ji
n
ij
|
| a
j 1
i 1
ij
|
j i1
|a
n
ij
|
故C()也是严格主对角占优矩阵。由于严格主对角占 优矩阵的行列式不为零,故不是特征方程
1 a 11
1
证明:设
a 11 A 1
1T
A1
a 11 I n 1 1
T
I n1
1 A F1 A m1
1T
a 11 A1 0
T A1 m 1 1
1T
A 2 A1
设 || u || | u k | 考虑Au =0的第k个等式
a k 1 u1 a kk u k a kn u n 0
| a kk | | u k | | a kj u j |
j 1 jk n
kj
|a
j 1 jk
n
kj
uj |
|a
j 1 jk
Ex5. 设A=(aij)n×n 为可逆下三角矩阵,证明 A-1 仍为下三角矩阵。
证明: 设
a 11 a 21 A a n1 a 22 an2 a nn
当i > j 时, aij 的代数余子式 Aij = 0,故A 的伴随矩阵
A11 A * 12 A A1 n A21 A22 A2 n An 1 An 2 Ann
2/16
消元法使用的条件 定理3.1 约化主元ak+1,k+1(k) ≠ 0 (k=0,1,·,n-1)的 · · 充分必要条件是 矩阵A的各阶顺序主子式不为零.
定理4.2 :设x*为方程组 Ax=b 的解
若||B||<1,则对迭代格式 x(k+1) = B x(k) + f 有
|| x
(k )
x* ||
(k )
)
讨论使迭代序列收敛的 的取值范围.
14/16
Ex14 证明 n 阶矩阵
的特征值为
k 2 cos
k n1
0 1 S
1 0 1 1 0 1
1 0
( k = 1,2,·, n ) · ·
1 2h
2
Ex15 求n阶矩阵
(3)对矩阵序列{ Xk },有误差估计式 1 1 || X k A || || X k 1 X k || 1 q
16/16
13/16
Ex12 :求矩阵的 2-范数,
以及2-范数意义的条件数
1 1 Q 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
Ex13 .有方程组Ax = b,其中A为对称正定阵,且有
迭代公式
X
( k 1)
X
(k )
( b AX
的特征值
2 h2 1 A
1 1 2h 1
2
1 2 2h
15/16
ex16:设A是n阶可逆矩阵,有A的一个近似逆B,令 R=I –AB如果 || R ||≤ q <1 ,试证明 (1) A–1 = B ( I + R + R2 + …… ); (2)任意给定n阶矩阵X0,由迭代格式 Xk+1 = Xk R + B ( k = 0,1,2,…… ) 产生的矩阵序列{ Xk }收敛到矩阵A-1;
( I AX 0 ) 1
k
时
1
lim X k A
证明:由Xk+1=Xk(2I – A Xk ),得 I – AXk+1 = I – A Xk(2I – A Xk )= (I – A Xk )2 于是 I – AXk =(I – A Xk -1)2 =(I – A Xk -2)2×2 = ···· ··· ···
证明 || x ||A 是 R n 上的一种向量范数。
12/16
Ex 9. 统计三对角方程组法高斯消元法的工作量。
Ex10 .设 A=(aij)n×n为可逆上三角矩阵,证明
A-1 仍为上三角矩阵。
Ex11 . 求上三角矩阵的逆阵
1 A 2 5 1 3 3 2 2 5 3
《数值分析》典型例题 II 三、四章内容提要
典型例题分析
思考题与练习题
一、解线性方程组直接法
顺序消元法、列主元法、追赶法 矩阵的直接分解、对称矩阵 的LU分解 二、向量和矩阵的范数
=
向量范数、算子范数、三种 矩阵范数、矩阵的条件数
三、解线性方程组迭代法
=
Jacobi迭代、Seidel迭代、SOR迭代、迭代收敛性、 初等变分原理、最速下降法、共轭梯度法*
1 a 11
所以,
A2 = A2T
5/16
Ex3.设 n 阶矩阵 A 的各阶顺序主子式不为零,各
阶顺序主子式对应的矩阵为Ak,(k = 1,2,·,n)。设 · · Ak 1 Lk 1U k 1 (k > 1 ) L1=1,U1 = a11
T k [a k 1 a k 2 a k ,k 1 ]
k [ a 1 k a 2 k a k 1 , k ]T
求
Ak 1 Ak T k
a kk
k
的 LU 分解.
Ex4. 设 n 阶矩阵 A 是严格主对角占优矩阵。高斯消
元法一步后,A约化为
T a 11 1 A2 0 证明 A2 也是严格主对角占优矩阵。
的右上角元素均为零,所以A的逆矩阵仍是下三角阵
Ax = b, 将矩阵分裂: A = D – U – L
Jacobi 迭代法的迭代矩阵
特征多项式与特征方程:
BJ = D-1(U+L)
| I – D-1(U+L)| = |D-1|· D – (U+L) | | | D – (U+L) | = 0 Gauss-Seidel迭代法的矩阵: BG-S= (D – L)-1U
n
| | uk |
两边约去 |uk|,得
| a kk |
|a
j 1 jk
n
kj
|
这与主对角占优矛盾, 故det(A) ≠0。
4/16
Ex2.设A对称且a11≠ 0,高斯消元法一步后,A约化为
T a 11 1 A2 0 证明 A2 也是对称矩阵。
m1
1 F1 m1
|| B || 1 || B ||
|| x
(k )
x
( k 1 )
||
定理4.3 若 Ax = b 的系数矩阵 A 是严格对角占优矩 阵,则Jacobi迭代和Seidel迭代均收敛
3/16
Ex1.如果A是严格主对角占优矩阵, 则 det(A) ≠0.
证: 用反证法。设det(A) = 0, 则齐次方程组Ax=0有非 零解 u =[u1, u2, ·, un ]T. · ·
特征多项式与特征方程:
|I – (D – L)-1U| = |(D – L )-1|· (D– L ) – U | | |(D– L ) – U | = 0
8/16
Ex6. 若A是严格主对角占优矩阵,求证解方程组 AX=b的高斯-赛德尔迭代法收敛。
证:高斯-赛德尔迭代矩阵为(D – L )-1U,该矩阵的特 征方程为
C() = |(D– L ) – U | = 0
的根。所以当A是严格主对角占优矩阵时,(D – L )-1U 的特征值必然满足:| | < 1,从而高斯-赛德尔迭代矩 阵谱半径小于1,迭代法收敛。
10/16
Ex7.设A是一个可逆矩阵,矩阵序列满足
Xk+1=Xk(2I – A Xk ),(k =0,1,2,……) 证明:当
( I AX 0 )
2
k
11/16
X k A [ I ( I AX 0 )
( I AX 0 ) 1
1
2
k
]
2
k
1
lim ( I AX 0 )
k
2
k
0
1
lim X k lim A [ I ( I AX 0 ) ] A
k k
Ex8 设 A∈R n×n 为对称正定矩阵,定义 || x ||A = x T Ax
|(D– L ) – U | = 0
a 12
行列式对应的矩阵为
a 11 a 21 C ( ) a n1
a 22
a n2
a 1n a 2n a nn
当| | > 1时,利用A矩阵的主对角占优性质,得