2017-2018年江苏省苏州市高二上学期期末数学试卷与解析

2017-2018学年江苏省苏州市高二（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）命题p：∀x∈R，|sinx|≤1，则命题¬p：．2．（5分）两直线2x﹣y=0和2x﹣y+5=0之间的距离是．3．（5分）“m=9”是“m＞8”的条件（填：“充分不必要”，“必要不充分”，“充分必要”，“既不充分又不必要”）4．（5分）曲线在x=1处的切线斜率为．5．（5分）已知正四棱锥的底面边长为2，高为3，则正四棱锥的侧面积为．6．（5分）已知函数在（0，2）上有极值，则实数m的值为．7．（5分）将一个地面半径为2，高为9的圆柱形铁块熔化后重新铸造成一个半径为r的铁球（不及损耗），则r的值为．8．（5分）设直线x﹣y﹣a=0与圆x2+y2=4相交于A，B两点，O为坐标原点，若△AOB为等边三角形，则实数a的值为．9．（5分）一颗人造卫星的运行轨道是以地球的中心（简称地心）F为一个焦点的椭圆（如图），地球的半径约为6370km，卫星近地点（离地面最近的点）据地面630km，远地点（离地面最远的点）距地面2630，则卫星轨道的离心率为．10．（5分）已知m，n表示不同的直线α，β表示不同的平面，则下列命题中真命题的序号①若m⊥α，n⊥α，则m∥n②若m⊥n，n⊥α，则m∥α③若m⊥α，m⊥β，则α∥β11．（5分）已知椭圆外一点M关于椭圆的左、右焦点的对称点分别为A，B，点N满足线段MN的中点在椭圆上，则AN+BN的值为．12．（5分）已知函数的值域为R，则实数k的取值范围是．13．（5分）已知圆C：x2+（y﹣4）2=4和点Q（2，2），过点P（0，3）作直线l 交圆于A，B两点，则的取值范围是．14．（5分）已知函数，g（x）=﹣lnx，用min{m，n}表示m，n 中的最小值，设函数h（x）=min{f（x），g（x）}（x＞0），若h（x）恰有一个零点，则实数a的取值范围是．二、解答题15．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，且经过点A（2，1）（1）求抛物线的标准方程（2）设双曲线的右焦点为F（3，0），直线AF于双曲线的一条渐近线平行，求双曲线方程．16．（14分）如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1=A1C1，D，E分别是AA1，B1C1的中点，F是棱BC上的点，且FC=2BF（1）若A1E⊥C1F，求证：平面A1B1C1⊥平面BCC1B1（2）求证：BD∥平面AFC1．17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x﹣y﹣1=0和圆O：（x﹣3）2+y2=10，P是直线l上的一点，过点P可以作圆C的两条切线（1）求过点P的横坐标的取值范围（2）若点P在第一象限，过点P的两条切线互相垂直，求这两条切线的方程．18．（16分）为了响应十九大的号召，建设美丽家园，某市政府决定将城市中心的一块空地打造成“城市绿肺”，该空地由一个半圆和一个正方形组成（如图），正方形ABCD的边长为2（百米）．在空地中划出一块三角形区域EFG种植花卉，其余区域种植草坪，其中点F在线段BC上（不含端点），点E，G在半圆上，EF经过圆心P，GE∥CD，记∠CPB=θ0．（1）设∠DPE=θ，△EFG的面积为S，求S关于θ的函数关系式（2）试确定点F在线段BC上的位置，是的花卉种植区域的面积最大．19．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，P（﹣3，t）（t≠0）为椭圆左准线上一点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过左焦点F作PF的垂线，交椭圆于A，B两点，PO的延长线交椭圆于点Q．①证明：直线PQ平分线段AB；②当t为何值时，四边形APBQ为平行四边形？20．（16分）已知a∈R，函数，g（x）=alnx．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）设函数f（x），g（x）的导函数分别为f'（x）和g'（x）①当a=3时，对于∀x＞1，恒有f'（x）≤kg（x）成立，求实数k的取值范围②当a＞0时，若∃x 0＞0，使得，求实数a的最小值．2017-2018学年江苏省苏州市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）命题p：∀x∈R，|sinx|≤1，则命题¬p：∃x∈R，|sinx|＞1．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p：∀x∈R，|sinx|≤1，则命题¬p：∃x∈R，|sinx|＞1．故答案为：∃x∈R，|sinx|＞1．2．（5分）两直线2x﹣y=0和2x﹣y+5=0之间的距离是．【解答】解：两直线2x﹣y=0和2x﹣y+5=0之间的距离==．故答案为：．3．（5分）“m=9”是“m＞8”的充分不必要条件（填：“充分不必要”，“必要不充分”，“充分必要”，“既不充分又不必要”）【解答】解：当m=9时，满足m＞8，即充分性成立，当m=10时，满足m＞8，但m=9不成立，即必要性不成立，即“m=9”是“m＞8”的充分不必要条件，故答案为：充分不必要．4．（5分）曲线在x=1处的切线斜率为．【解答】解：根据题意，曲线=，其导数f′（x）==，则有f′（1）=，即曲线在x=1处的切线斜率为，故答案为：．5．（5分）已知正四棱锥的底面边长为2，高为3，则正四棱锥的侧面积为4．【解答】解：正四棱锥底面边长为2，高为3，则侧面的高h=，故此正四棱锥的侧面积S=4×=4．故答案为：4．6．（5分）已知函数在（0，2）上有极值，则实数m的值为2．【解答】解：f′（x）=3x2﹣3x，令f′（x）=0，得x=0，1，∵函数在（0，2）上有极值，∴，∴m=2，故答案为：2．7．（5分）将一个地面半径为2，高为9的圆柱形铁块熔化后重新铸造成一个半径为r的铁球（不及损耗），则r的值为3．【解答】解：圆柱的体积V1=π×22×9=36π，根据等体积可得，解得r=3，故答案为：3．8．（5分）设直线x﹣y﹣a=0与圆x2+y2=4相交于A，B两点，O为坐标原点，若△AOB为等边三角形，则实数a的值为．【解答】解：∵直线x﹣y﹣a=0与圆x2+y2=4相交于A，B两点，O为坐标原点，△AOB为等边三角形，∴OA=OB=AB=2，∴圆心（0，0）到直线x﹣y﹣a=0的距离为=，即d==，解得a=．故答案为：．9．（5分）一颗人造卫星的运行轨道是以地球的中心（简称地心）F为一个焦点的椭圆（如图），地球的半径约为6370km，卫星近地点（离地面最近的点）据地面630km，远地点（离地面最远的点）距地面2630，则卫星轨道的离心率为．【解答】解：设地心为卫星轨道椭圆的右焦点F，椭圆的左焦点为E，卫星轨道的近地点A距地球地面630公里，远地点B距地面地面2630公里，可得AB是该椭圆的长轴，地球半径R=6370公里，设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），半焦距为c，则c=．根据题意，可得，解得a=8000，c=1000．∴椭圆的离心率e===，即为卫星轨道的离心率为．故答案为：10．（5分）已知m，n表示不同的直线α，β表示不同的平面，则下列命题中真命题的序号①③①若m⊥α，n⊥α，则m∥n②若m⊥n，n⊥α，则m∥α③若m⊥α，m⊥β，则α∥β【解答】解：根据线面垂直的性质“垂直于同一个平面的两条直线平行”可知①正确；若m⊥n，n⊥α，则m∥α或m⊂α，故②错误；若m⊥α，m⊥β，则α∥β，故③正确．故答案为：①③．11．（5分）已知椭圆外一点M关于椭圆的左、右焦点的对称点分别为A，B，点N满足线段MN的中点在椭圆上，则AN+BN的值为8．【解答】解：设MN的中点为D，椭圆C的左右焦点分别为F1，F2，如图，连接DF1，DF2，∵F1是MA的中点，D是MN的中点，∴F1D是△MAN的中位线；∴|DF1|=|AN|，同理|DF2|=|BN|，∴|AN|+|BN|=2（|DF1|+|DF2|），∵D在椭圆上，∴根据椭圆的标准方程及椭圆的定义知：|DF1|+|DF2|=4，∴|AN|+|BN|=8．故答案为：812．（5分）已知函数的值域为R，则实数k的取值范围是．【解答】解：当x≤0时，f（x）=x+2≤2，要使函数的值域为R，则函数f（x）=（x＞0）的最小值小于等于2．由f（x）=（x＞0），得f′（x）=，若k≤0，函数f（x）在（0，+∞）上无最小值；∴k＞0．当x∈（0，1）时，f（x）为减函数，当x∈（1，+∞）时，f（x）为增函数，则f（x）min=f（1）=ke，由ke≤2，得k．∴0＜k．故答案为：．13．（5分）已知圆C：x2+（y﹣4）2=4和点Q（2，2），过点P（0，3）作直线l 交圆于A，B两点，则的取值范围是[4，6] ．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则=|（x1+x2﹣4，y1+y2﹣4）|，设直线l的方程为y=kx+3，代入圆x2+（y﹣4）2=4可得（1+k2）x2﹣2kx﹣3=0，△=4k2+12（1+k2）＞0恒成立，即有x1+x2=，y1+y2=k•+6=，则===，由t=，可得（12﹣t）k2﹣16k﹣t=0，t=12时，k=﹣；t≠12时，△≥0，即为162+4t（12﹣t）≥0，解得﹣4≤t≤16，则的取值范围是[4，6]．故答案为：[4，6]．14．（5分）已知函数，g（x）=﹣lnx，用min{m，n}表示m，n 中的最小值，设函数h（x）=min{f（x），g（x）}（x＞0），若h（x）恰有一个零点，则实数a的取值范围是{a|a＞﹣或a＜﹣}．．【解答】解：f′（x）=2x﹣=，∴当0时，f′（x）＜0，当x时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，∴f（x）的极小值为f（）=+3a，又g（x）在（0，+∞）上单调递减，且g（1）=0，∵h（x）=min{f（x），g（x）}只有一个零点，∴f（）＞0或f（1）＜0，即+3a＞0或+3a＜0，解得a＞﹣或a＜﹣．故答案为：{a|a＞﹣或a＜﹣}．二、解答题15．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，且经过点A（2，1）（1）求抛物线的标准方程（2）设双曲线的右焦点为F（3，0），直线AF于双曲线的一条渐近线平行，求双曲线方程．【解答】解：（1）由题意可知：抛物线的焦点在y轴的正半轴，设抛物线的方程x2=2py，（p＞0），将A（2，1）代入4=2p×1，则2p=4，∴x2=4y；（2）由c=3，直线AF的斜率k AF==﹣1，则双曲线的渐近线为y=﹣x，则双曲线为等轴双曲线，即a=b，则a2+b2=c2，则a2=b2=，∴双曲线的标准方程：．16．（14分）如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1=A1C1，D，E分别是AA1，B1C1的中点，F是棱BC上的点，且FC=2BF（1）若A1E⊥C1F，求证：平面A1B1C1⊥平面BCC1B1（2）求证：BD∥平面AFC1．【解答】证明：（1）∵A1B1=A1C1，且B1E=C1E，∴A1E⊥B1C1，又∵A1E⊥C1F，且B1C1∩C1F=C1，B1C1，C1F⊂面BCC1B1，∴A1E⊥面BCC1B1，又A1E⊂平面A1B1C1，∴平面A1B1C1⊥平面BCC1B1．（2）连结DC，交AC1于点G，连结FG，∵ABC﹣A1B1C1是斜三棱柱，∴AA1∥CC1，且AA1=CC1，∴==，又FC=2BF，∴=，∴BD∥FG，∵BD⊄面AFC1，FG⊂平面AFC1，∴BD∥平面AFC1．17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x﹣y﹣1=0和圆O：（x﹣3）2+y2=10，P是直线l上的一点，过点P可以作圆C的两条切线（1）求过点P的横坐标的取值范围（2）若点P在第一象限，过点P的两条切线互相垂直，求这两条切线的方程．【解答】解：（1）联立，解得：或，∴P是直线l上的一点，过点P可以作圆C的两条切线则P的横坐标的取值范围（﹣∞，0）∪（4，+∞）；（2）设P（x 0，x0﹣1），x0＞0，过点P可以作圆C的两条切线，切点分别为A，B，由两条切线互相垂直，则PAOB为正方形，且边长为，则|OP|=2，则=2，整理得：x02﹣4x0﹣5=0，x0=5，则P（5，4），设切线方程：y﹣4=k（x﹣5），（k≠0），则圆心O（3，0）到切线的距离d==，整理得：3k2+8k﹣3=0，解得：k=﹣3或k=，代入整理得：3y﹣x﹣7=0，y+3x﹣19=0，这两条切线的方程3y﹣x﹣7=0，y+3x﹣19=0．18．（16分）为了响应十九大的号召，建设美丽家园，某市政府决定将城市中心的一块空地打造成“城市绿肺”，该空地由一个半圆和一个正方形组成（如图），正方形ABCD的边长为2（百米）．在空地中划出一块三角形区域EFG种植花卉，其余区域种植草坪，其中点F在线段BC上（不含端点），点E，G在半圆上，EF经过圆心P，GE∥CD，记∠CPB=θ0．（1）设∠DPE=θ，△EFG的面积为S，求S关于θ的函数关系式（2）试确定点F在线段BC上的位置，是的花卉种植区域的面积最大．【解答】解：取EG的中点H，连结PH，则PH⊥EG．（1）由题可知PD=PE=PC=1，∠DPE=∠PEG=∠FPC=θ，则PH=PEsinθ=sinθ，EG=2EH=2cosθ，CF=CPtanθ=tanθ，所以S（θ）=•EG（PH+FC）=cosθ（sinθ+tanθ），其中0＜θ＜θ0；（2）由（1）可知S（θ）=cosθsinθ+sinθ=sin2θ+sinθ，则S′（θ）=2cos2θ+cosθ=（cosθ+1）（2cosθ﹣1），令S′（θ）=0可知cosθ=﹣1（舍）或cosθ=，所以θ=，由于S（θ）在（0，）上单调递增、在（，θ0）上单调递减，所以当θ=即CF=时，取得最大值．19．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，P（﹣3，t）（t≠0）为椭圆左准线上一点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过左焦点F作PF的垂线，交椭圆于A，B两点，PO的延长线交椭圆于点Q．①证明：直线PQ平分线段AB；②当t为何值时，四边形APBQ为平行四边形？【解答】解：（1）∵e==，﹣3=﹣，∴c=2，a2=6，∴b2=a2﹣c2=2，∴+=1；（2）证明①由（1）可得F（﹣2，0），P（﹣3，t），∴k PF==﹣t，∵AB⊥PF，∴k PF=，∴直线AB的方程为y=（x+2），直线PQ的方程为y=﹣x，设直线AB与PQ交于点D，由，解得x=﹣，y=，则D的坐标为（﹣，），设A（x1，y1），B（x2，y2）由，消x可得（t2+3）y2﹣4ty﹣2=0，∴y1+y2=，y1y2=∴x1+x2=t（y1+y2）﹣4=，∴x1+x2=2x D，y1+y2=2y D，∴点D是线段AB的中点，∴直线PQ平分线段AB；②设Q点的坐标为（x3，y3）由，消y可得3x2+t2x=18，解得x2=，∴x3=，∵P（﹣3，t），∴线段PQ的中点坐标的横坐标为x=（﹣3），∵四边形APBQ为平行四边形，∴对角线互相平分，∴点D也是PQ的中点，∴（﹣3）=﹣，令=m，m＞0，则（﹣3）=﹣，整理可得m2﹣m﹣4=0解得m=2，∴=2，解得t=±，故当t=±时，四边形APBQ为平行四边形20．（16分）已知a∈R，函数，g（x）=alnx．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）设函数f（x），g（x）的导函数分别为f'（x）和g'（x）①当a=3时，对于∀x＞1，恒有f'（x）≤kg（x）成立，求实数k的取值范围②当a＞0时，若∃x 0＞0，使得，求实数a的最小值．【解答】解：（1）f′（x）=﹣3x（x﹣），a＜0时，f（x）在（﹣∞，），（0，+∞）递减，在（，0）递增，a=0时，f（x）在R递减，a＞0时，f（x）在（﹣∞，0），（，+∞）递减，在（0，）递增；（2）①a=3时，f′（x）=﹣3x2+3x，g（x）=3lnx，当x＞1时，由f′（x）≤kg（x）恒成立，得x2﹣x+klnx≥0恒成立，令h（x）=x2﹣x+klnx，则h′（x）=，当x＞1时，2x2﹣x＞1，（i）当k≥﹣1时，h′（x）＞0恒成立，h（x）在（1，+∞）递增，故h（x）＞h（1）=0，满足题意，则k≥﹣1；（ii）k＜﹣1时，令h′（x）=0，解得：x1=＜0，x2=＞1，当x∈（1，x2）时，h′（x）＜0，h（x）在（1，x2）递减，故h（x）＜h（1）=0，不合题意，舍，综上，k的范围是[﹣1，+∞）；②∵a＞0，x＞0，又f′（x）=﹣3x2+ax≥0，故0＜x≤，∵∃x 0＞0，使得≥g′（x0），故不等式≥在（0，]上有解，即≥a在（0，]上有解，即3x4﹣ax3+a2≤0在（0，]上有解，令φ（x）=3x4﹣ax3+a2，则φ′（x）=3x2（4x﹣a），x∈（0，）时，φ′（x）＜0，φ（x）递减，x∈（，）时，φ′（x）＞0，φ（x）递增，故φ（x）的最小值是φ（）=﹣+a2≤0，故a2≥256，∵a＞0，∴a≥16，故a的最小值是16．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u=为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，yxo第21页（共21页）都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。