样本空间与概率空间
概率论 随机试验与样本空间

考试有技巧,学习无捷径。 平时的学习要注重知识点的掌握,踏踏实实,这 才是方法中的方法。 古人云:“梅花香自苦寒来” “书山有路勤为径”。 相信自己,你会成为河南理工大的传说!
概率论与数理统计
第1章 概率论基础
1.1 随机试验与样本空间 2.2 随机事件及其概率 3.3 古典概型与几何概型 3.4 条件概率与乘法公式 3.5 全概率世纪30年代,前苏联的数学家柯尔莫戈洛夫 以勒贝格的测度论为基础,给出了概率论的公理化体系, 影响颇大。 柯 尔 莫 戈 洛 夫
【概率论简史】
我国的概率论研究起步较晚,从1957年开始,先驱者 是许宝騄先生。1957年暑期许老师在北大举办了一个概率 统计的讲习班,从此,我国对概率统计的研究有了较大的 发展,现在概率与数理统计是数学系各专业的必修课之一 ,也是工科,经济类学科学生的公共课。
许宝騄先生
王梓坤 院士
陈木法 院士
彭 实 戈 院 士
严加安 院士 马 志 明 院 士
关于数理统计 统计学的英文词 statistics 源出于拉丁文,是由 status(状态、国家)和statista(政治家)衍化而来 的,可见起源很早并和国家事务的管理需求有关。
在中国,周朝就设有统计官员18名,5个层次,5个级 别,其官职叫“司书”,东北师范大学校长史宁中先生请该 校历史教授考证:司书就是做统计的官员。
贝叶斯
皮尔逊
现代数理统计作为一门独立学科的奠基人是英国的数 学家费希尔(R.A.Fisher) 1946年,瑞典数学家克拉默(H.Cramer)发表了《统计 学的数学方法》,系统总结了数理统计的发展,标志着现 代数理统计学的成熟。
费希尔
克拉默
图是10马克的德国纸币,纸币上的这个人就是高斯。 而纸币上印有一个函数表达式、还画一个曲线的,这个 函数曲线是正态随机变量的概率密度函数曲线,正态分 布又叫“高斯分布”。没有高斯和正态分布,统计就没 有今天的辉煌。
概率的公理化

概率的公理化是概率论的基础,它提供了一种严格的数学框架来描述不确定性和随机现象。
概率的公理化由俄国数学家安德雷·科尔莫哥洛夫在20世纪30年代首次提出,并被广泛接受和应用。
概率的公理化基于三条基本原则,它们构成了概率论的基础。
以下是对这三条原则的详细阐述。
1. 非负性:概率是非负的。
这意味着对于任何事件A,它的概率必须大于等于零。
即P(A) ≥0。
这个原则表明概率不能为负数,即任何事件都至少有一定的可能性发生。
2. 规范性:全样本空间的概率为1。
全样本空间是指所有可能结果的集合,通常用Ω表示。
规范性要求全样本空间的概率等于1,即P(Ω) = 1。
这个原则确保所有可能结果的总和为1,表示了一定会发生某个结果的确定性。
3. 可加性:对于互斥(互不相交)事件的概率,可以通过求和计算。
如果事件A和B是互斥事件(即A和B不可能同时发生),则它们的概率之和等于它们分别的概率之和。
即P(A∪B) = P(A) + P(B)。
这个原则允许我们通过计算各个可能事件的概率来得到复合事件的概率。
在这三条基本原则的基础上,可以推导出概率论中的其他重要定理和性质。
例如,可以通过可加性原理推导出条件概率和乘法规则,用于计算事件之间的依赖关系。
条件概率是指在已知某一事件发生的条件下,另一个事件发生的概率。
乘法规则则用于计算多个事件同时发生的概率。
概率的公理化还涉及到概率空间的定义。
概率空间由样本空间Ω和一个叫做事件域的集合F组成。
事件域是样本空间的子集合的集合,它包含了我们感兴趣的所有事件。
概率被定义为一个函数P,它将事件映射到实数,即P:F→[0,1]。
满足非负性、规范性和可加性的概率函数被称为概率测度。
概率的公理化使得概率论成为一门严密的数学理论,并被广泛应用于统计学、风险管理、金融学、物理学等领域。
它提供了一种计算和分析不确定性的工具,帮助我们做出决策、预测事件的发生概率,并评估风险。
总结起来,概率的公理化是概率论的基础,它建立了一套数学框架来描述不确定性和随机现象。
概率论基本概念:样本空间、事件、事件的运算

概率论基本概念:样本空间、事件、事件的运算概率论研究那些受到随机事件(random events)影响的现象,它们具有很⼤的不确定性。
基础定义讨论概率时,最重要的就是不确定性的思想,我们需要引⼊⼀个⾜够宽泛的、⽤于处理不确定性的概念。
偶然性试验(chance experiment)或随机试验(random experiment)是产⽣不确定结果的过程。
例如,扔硬币、测试机械使⽤寿命等都是随机实验。
定义:偶然性试验的样本空间(sample space)Ω是实施试验所可能产⽣结果的集合。
Ω⾥的元素称为该试验的样本点(sample point)。
Ω的⼦集称为事件(event)。
只包含⼀个样本点的事件称为基本事件(elementary event),包含多个样本点的事件称为复合事件(compound event)。
样本空间的划分翻硬币有 2 个样本点,摇骰⼦有 6 个样本点,像这种有限的样本空间,称为有限样本空间(finite sample space)。
翻⼀枚硬币,⼀直翻到背⾯为⽌。
这样的随机试验的样本空间是:Ω={T,HT,HHT,HHHT,…}。
这种样本空间是⽆限的,但是同时⼜是可以枚举的,因此称为可数⽆限样本空间(countably infinite sample space)。
检测灯泡的使⽤寿命,这样的随机试验的样本空间是:Ω={t:t≥0}=[0,∞),这种样本空间是不可数的集合,通常称为连续样本空间(continuous sample space)。
处理这种样本空间的技巧,与有限样本空间和可数⽆限样本空间的技巧,有很⼤的不同。
通常⼜把有限样本空间和可数⽆限样本空间,统称为离散样本空间(discrete sample space)。
事件的运算通过定义样本空间这样的集合,以及定义事件作为样本空间的⼦集。
因此,集合论⾥⾯的运算⾃然衍⽣到了事件的运算。
⾸先定义事件的发⽣(occured):对于事件 A∈Ω,当进⾏试验时,我们观察到的结果(output)ω∈Ω,同时也满⾜ω∈A 的条件,那么就称事件 A 发⽣了。
从样本空间出发解决概率问题

沿着上述得 到的解 题思路 ,本题需 要从样本空 间出发探寻解决方案.
20 题 理
.
一
同 它 主 要 研 究 的是 随 机 现 象 多 采 用 不 确 定 性 ( 可
,
考试 数 学 ( 文 科 ) 第
科 试 卷 本 题 增 加 第 (2 ) 问
,
.
能 性 ) 的 术 语 其 问题 的解 决 要 求 我 们必 须 脑 中时 刻
,
为 :f 表 示 依 方 案 乙 所 需 化 验 次 数 求 车的 期 望
,
.
上 涉 及 两 个 随 机 试 验 因 而 对 应着 两 个 随 机 变 量 ( 当
两 种化验 方 案 :
然 它们 之 间 是 独 立 的 ) 考 生 必 须 先 把 握 它 们 的 分
, ,
报考知识
.
答 考 生 填 写 <普 通 高 校 招 生 考 生 志 愿 表 ) 时 必 须 在 提 前 录 取 院校 栏 目 中把 空 军 航 空 大 学 作 为 第
验 次数 的概 率
其 中 依 方 案 甲所 需 化 验 次 数 不 少
”
一
“
要 通 过 化 验 血 液 来确 定 患 病 的 动物 血 液化验结果 呈
.
于 依方案 乙 所 需 化 验 次 数 是
,
个 复合事件 它 实 际
,
阳 性 的 即 为 患 病 动 物 呈 阴性 的 即 没 有 患 病 下 面 是
的标准统一 、 与题意相符。
因为 只有 方 案 乙所用 的化验 次 数情 况 比较 简
些情况 , 及各种情况对应 的事件 的概率 ; 依方案 乙所 需化验 次数 有哪些情况 ,及各种情 况对应的事件 的 概率 , 最后再对两种试验方案进行 比较 . 以 , 所 本题解
样本空间的表示方法

样本空间的表示方法样本空间是指一个随机试验所有可能的结果组成的集合。
在概率论和数理统计中,样本空间是一个非常重要的概念,它对于研究随机事件的概率分布和统计规律具有重要意义。
在本文中,我们将探讨样本空间的表示方法,希望能够为大家对这一概念有更清晰的认识。
首先,样本空间可以通过列举法来表示。
列举法是最直观的一种表示方法,通过将所有可能的结果一一列举出来,形成一个集合。
例如,对于一个抛硬币的随机试验,样本空间可以表示为{正面,反面}。
这种表示方法简单直观,容易理解,适用于样本空间的元素数量较少的情况。
其次,样本空间还可以通过描述法来表示。
描述法是通过文字或符号的方式来描述样本空间的元素。
例如,对于一个掷骰子的随机试验,样本空间可以表示为{1, 2, 3, 4, 5, 6}。
这种表示方法更加灵活,适用于样本空间的元素数量较多的情况,同时也便于进行数学运算和推导。
另外,样本空间还可以通过图形法来表示。
图形法是通过图形的方式来表示样本空间的元素。
例如,对于一个投篮命中的随机试验,样本空间可以表示为一个二维平面,其中命中表示为一个圆形区域,不命中表示为一个圆形区域的补集。
这种表示方法直观生动,便于理解和展示随机事件的规律。
除了以上几种表示方法,样本空间还可以通过数学公式和符号来表示。
数学公式和符号的表示方法通常用于描述样本空间的特定性质和规律,例如样本空间的元素个数、元素的排列组合等。
这种表示方法在理论推导和数学证明中经常会用到。
总的来说,样本空间的表示方法有多种多样,可以根据具体的随机试验和问题需求来选择合适的表示方法。
在实际应用中,我们可以根据样本空间的特点和随机事件的规律,灵活运用不同的表示方法,从而更好地理解和分析随机事件的概率分布和统计规律。
在实际问题中,我们常常需要对样本空间进行分析和划分,以便更好地研究随机事件的规律。
通过对样本空间的表示方法的了解和运用,我们可以更好地理解和应用概率论和数理统计的知识,为实际问题的分析和决策提供科学依据。
样本空间的表示方法

样本空间的表示方法在概率论中,样本空间是指一个随机试验所有可能结果的集合。
表示样本空间的方法有很多种,下面将介绍几种常用的表示方法。
1. 列举法。
列举法是最直观的表示样本空间的方法。
通过列举所有可能的结果,我们可以清晰地了解样本空间中包含哪些元素。
例如,对于一次抛硬币的随机试验,其样本空间可以表示为{正面,反面}。
对于两个骰子的随机试验,其样本空间可以表示为{(1,1), (1,2), …, (6,6)}。
列举法的优点是直观易懂,但对于复杂的随机试验,列举所有可能结果是不现实的。
2. 集合法。
集合法是一种更加抽象的表示样本空间的方法。
通过集合的方式,我们可以用数学符号简洁地表示样本空间。
例如,对于一个骰子的随机试验,我们可以用S={1,2,3,4,5,6}来表示其样本空间。
对于两个骰子的随机试验,我们可以用S={(i,j)|1≤i,j≤6}来表示其样本空间。
集合法的优点是简洁明了,适用于各种复杂的随机试验。
3. 树状图法。
树状图法是一种直观且易于理解的表示样本空间的方法。
通过绘制树状图,我们可以清晰地展示随机试验的所有可能结果。
例如,对于一次抛硬币的随机试验,我们可以绘制一个树状图,其中根节点表示抛硬币的过程,第一层节点表示正面和反面两种可能结果,第二层节点表示正面和反面的具体结果。
树状图法的优点是直观清晰,便于理解和分析。
4. 公式法。
公式法是一种抽象的表示样本空间的方法。
通过数学公式,我们可以简洁地表示随机试验的所有可能结果。
例如,对于一个骰子的随机试验,我们可以用S={1,2,3,4,5,6}来表示其样本空间。
对于两个骰子的随机试验,我们可以用S={(i,j)|1≤i,j≤6}来表示其样本空间。
公式法的优点是简洁明了,适用于各种复杂的随机试验。
总结起来,样本空间的表示方法有列举法、集合法、树状图法和公式法等多种。
不同的表示方法适用于不同的随机试验,我们可以根据具体情况选择合适的方法来表示样本空间。
样本空间的表示方法

样本空间的表示方法
在概率论中,样本空间是指一个随机试验中所有可能的结果组成的集合。
样本空间的表示方法有很多种,其中最常用的是列举法和描述法。
列举法是指直接把样本空间中的所有元素一一列举出来。
例如,掷一枚硬币的样本空间可以表示为{正面,反面},掷两枚硬币的样本空间可以表示为{正正,正反,反正,反反}。
描述法则是通过文字描述样本空间中所有元素的共同特征。
例如,掷两个骰子的样本空间可以表示为“每个骰子的点数都在1到6之间,总共有36种可能的点数组合”。
除了以上两种方法,还有其他方法来表示样本空间,例如使用树状图、矩阵、图形等方式。
无论使用哪种方法,样本空间的表示都应该清晰、准确、全面,以便于进行概率计算和统计推理。
在实际应用中,样本空间的表示方法还应该考虑到实际情况的复杂性和可行性。
有时候,样本空间的元素数量非常大,使用列举法很难实现;有时候,样本空间的元素是连续变量,无法通过列举法来表示。
因此,在选择样本空间的表示方法时,需要根据具体情况和实际需要进行综合考虑。
解读概率的随机事件与样本空间

解读概率的随机事件与样本空间概率是数学中一个重要的概念,它用来描述某个随机事件发生的可能性。
在概率论中,我们经常提到的随机事件和样本空间是两个基本概念。
本文将对概率的随机事件和样本空间进行解读,帮助读者更好地理解相关概念和应用。
一、随机事件的定义和特征随机事件是指无法准确预测其具体结果的事件,也就是不确定性事件。
在统计学和概率论中,随机事件通常用字母A、B、C等表示。
例如,掷一颗骰子得到的点数就是一个随机事件,用A表示。
随机事件具有以下特征:1. 随机性:随机事件的结果是不确定的,无法事先确定具体的结果。
2. 普适性:随机事件可以发生在任何时间和任何地点,具有广泛的应用范围。
3. 可观察性:随机事件的结果可以通过观察和实验获得。
二、样本空间的定义和表示样本空间是指一个随机试验的所有可能结果的集合。
在概率论中,样本空间通常用Ω表示。
例如,掷一颗骰子的样本空间为Ω={1,2,3,4,5,6}。
样本空间的性质:1. 确定性:样本空间中的每个元素都是一个确定的结果。
2. 完备性:样本空间包含了随机试验的所有可能结果。
3. 互斥性:样本空间中的每个元素都是互不相同的,没有重复的结果。
三、随机事件与样本空间的关系随机事件是样本空间的子集,也就是说,随机事件是样本空间的一部分。
一个随机事件可以包含一个或多个样本点,表示该事件发生的所有可能结果。
以掷一颗骰子为例:样本空间Ω={1,2,3,4,5,6}随机事件A:A={2,4,6},表示得到的点数为偶数的情况。
随机事件B:B={1,2,3},表示得到的点数小于等于3的情况。
四、概率的计算方法概率的计算方法有多种,常见的有频率法、古典概型法和几何概型法。
1. 频率法:通过大量重复实验,统计某个事件发生的频率来估计概率。
概率P(A) = n(A)/n,其中n(A)为随机事件A发生的次数,n为实验总次数。
2. 古典概型法:适用于所有可能结果等可能且有限的情况。
概率P(A) = n(A)/n(Ω),其中n(A)为随机事件A中样本点的个数,n(Ω)为样本空间Ω中样本点的个数。
概率论 样本空间、随机事件

S4 ={1,2,3,4,5,6}; S5 ={0,1,2…}; S6 ={t | t≥0} t为灯泡寿命; S7 ={(x,y)|T0≤x≤y≤T1},这里x表示最低温度,y 表示最高温度,并设这一地区的温度不会小 于T0,也不会大于T1。 S8 ={(x,y)|x2+y2≤100}, 注意:样本空间的元素是由试验的目的所确 定的。例如,在E2和E3种同是将一枚硬币连 抛三次,由于试验的目的不一样,其样本空 间也不一样。
反之,当且仅当“接点a未闭合”与“接点 b、c都未闭合”二事件中至少有一事件发 生时,指示灯不亮;所以有
.
这个等式也可以由等式 D= A(B∪C) 利用De Morgan对偶律得到.事实上,我 们有
例7 设A,B,C,D是四个事件,用A,B,C, D的运算关系表示下列事件。 (1)A1:“A,B,C,D中仅有A发生” (2)A2:“A,B,C,D中恰有一个发生” (3)A3:“A,B,C,D中至少有一个发生” (4)A4:“A,B,C,D中至少有两个发生” (5)A5:“A,B,C,D中至多有一个发生” (6)A6:“A,B,C,D中至多有两个发生” (7)A7:“A,B,C,D都不发生” (8)A8:“A,B,C,D不都发生” (9)A9:“A,B,C,D中至多一个发生,但D 不发生” (10)A10:“A,B,C,D中至多一个不发生”
7. 事件的对立
AB , A B
— A 与B 互相对立 A 每次试验 A、 B中 有且只有一个发生 称B 为A的对立事件 (or 逆事件), 记为 B A
注意:“A 与B 互相对立”与 “A 与B 互斥”是不同的概念
B A
运算律
事件 运算 对应 集合 运算
吸收律
概率1-2 样本空间 随机事件

互为对立事件 .事件 A 的对立事件记为 A .
概率论
对立事件与互斥事件的关系 :
对立一定互斥, 但互斥不一定对立.
两事件A、B互斥: AB
即A与B不可能同时发生. 两事件A、B互逆或互为对立事件 除要求A、B互斥( AB )外,还要求
A B S
概率论
6. 差事件 : 称事件 A 发生而事件 B 不发生所构 成的事件为事件 A 与事件 B 的差事件 , 记作 A B .
D A B 或 D AB .
概率论
练习1 设 A、B、C 为样本空间 S 中的三个随机
事件 , 试用 A、B、C 的运算表示下列随机事件 :
1 A 发生而 B 与 C 都不发生 ; 2 A、B、C 都不发生 ; 3 A、B、C 中恰好有一个发生 ; 4 A、B、C 中至少有两个发生 ; 5 A、B、C 中至少有一个发生 ; 6 A、B、C 中恰好有两个发生 .
E7 : 将一枚硬币抛掷三次,观察正面 H 出现的次数.
试验有一个需要观察的目的
概率论
我们注意到 试验是在一定条件下进行的
试验有一个需要观察的目的
根据这个目的, 试验被观察到多个不同的结果.
试验的全部可能结果,是在试验前就明确的; 或者虽不能确切知道试验的全部可能结果,但可 知道它不超过某个范围.
概率论
基本事件: 由一个样本点组成的单点集. (相对于观察目的不可再分解的事件) 如在掷骰子试验中,观察掷出的点数 .
事件 Ai ={掷出i点}, i =1,2,3,4,5,6 基本事件 事件 B={掷出奇数点}
概率论
当且仅当集合A中的一个样本点出现时,称 事件A发生. 如在掷骰子试验中,观察掷出的点数 .
名词解释样本空间

名词解释样本空间
简介
概率论术语。
我们将随机实验E的一切可能基本结果或实验过程如取法或分配法组成
的集合称为E的样本空间,记为S。
样本空间的元素,即E的每一个可能的结果,称为样
本点。
例如,如果抛掷一枚硬币,那么样本空间就是集合{正面,反面}。
如果投掷一个骰子,那么样本空间就是{1,2,3,4,5,6}。
样本空间的任何一个子集都被称为一个事件。
如果一
个子集只有一个元素,那这个子集被称为基本事件。
关系
每一个随机试验相应的有一个样本空间,样本空间的子集就是随机事件。
随机试验→样本空间→随机事件子集
例子
例如:设随机试验E为“抛一颗骰子,观察出现的点数”。
那么E的样本空间 S:{1,2,3,4,5,6,}。
有些实验有两个或多个可能的样本空间。
例如,从52张扑克牌中随机抽出一张,一
个可能的样本空间是数字A到K,另外一个可能的样本空间是花色黑桃,红桃,梅花,方块。
如果要完整地描述一张牌,就需要同时给出数字和花色,这时的样本空间可以通过构
建上述两个样本空间的笛卡儿乘积来得到。
感谢您的阅读,祝您生活愉快。
第一章01样本空间与概率

游戏1中,赢钱数只与10次抛掷中正面向上的次数有关,样本空 间可由11个实验结果组成:Ω={0,1,2,...,10} 游戏2中,赢钱数不仅与正面出现的次数有关,也与正面出现的 顺序有关,样本空间由所有长度为110 个样本点
1.2.3 事件间的关系和运算
黑 红 白 黑 红 白
根
白
黑
1.2.6 概率律的定义 假定我们已经确定了样本空间Ω以及与之联系的实验,为了刻画 每一个结果或结果的集合(事件)的似然程度,对每一个事件A, 确定一个数P(A)与之对应,称为事件A的概率,如果满足下面几 条公理:
概率公理: (1)(非负性)对一切事件A,满足 P ( A) 0 (2)(可加性)设A和B是两个互不相容的事件(互不 相交的集合),则他们的并满足 P ( A B) P ( A) P ( B)
2 1 (1)事件A包含两个基本事件,所以 P(A) 5 . A 5 60 3 A2 A 1 2 3 (2)事件B包含 A2 A3 个基本事件,所以 P(B) 2 5 3 . 10 A5
5 A 解 基本事件总数为 5
例3 有三个打字员为四个科室服务,如果四个科室各有一份 文件要打字,且各科室对打字员的选择是随机的,试求: (1)四个科室把任务交给同一个打字员的概率; (2)每个打字员都有任务的概率. 解:基本事件总数为 34
E3:在一批灯泡中任意抽取一个,测试它的寿命
Ω=[0,+∞) (无限多个结果)
注:在我们所讨论的概率模型的问题中,只涉及一个试验.
例如:连续抛掷两次硬币的实验,只能作为一次试验,样本空间为 Ω ={(正面,正面),(正面,反面),(反面,正面),(反面,反面)} 若事件A表示“第一次出现正面”,则 A={(正面,正面),(正面,反面)
概率论课件——样本空间、随机事件

互
斥
事件间的运算规律 设 A, B, C 为事件, 则有
(1) 交换律
A B B A, AB BA. (Exchange law)
( 2) 结合律 ( A B ) C A ( B C ),
( AB )C A( BC ).
(Combination law)
k 1
n
称 Ak 为可列个事件 A1 , A2 , 的积事件.
k 1
和事件与积事件的运算性质
A A A, A A A, A S S, A S A, A A,
A .
5. 事件 A 与 B 互不相容 (互斥) (Incompatible events) 若事件 A 的出现必然导致事件 B 不出现, B
直径是否合格所决定,因此 “产品不合格”是“长度 不合格”与“直径不合格”的并. 图示事件 A 与 B 的并.
B A B A
S
推广 称 Ak 为 n 个事件 A1 , A2 , , An 的和事件;
k 1
n
称 Ak 为可列个事件 A1 , A2 , 的和事件.
k 1
4. 事件 A 与 B 的交 (积事件) (Product of events)
例如 只包含两个样本点的样本空间
S {H , T }
它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现反面的
模型 , 也可以作为产品检验中合格与不合格的模 型 , 又能用于排队现象中有人排队与无人排队的 模型等.
所以在具体问题的研究
中 , 描述随机现象的第一步
就是建立样本空间.
二、随机事件(Random event ) 的概念
第二节 样本空间、随机事件 (Sampling space, Random event )
人教高中数学必修二B版《概率》统计与概率教学说课(样本空间与事件)

(2)必然现象(或确定性现象):一定条件下,发生的结果事先能够确
定的现象.
课前篇自主预习
一
二
三
3.随机现象有什么特点?
提示:在相同的条件下多次观察同一现象,每次观察到的结果不
一定相同,事先很难预料哪一种结果出现,但随机现象不是一种杂
乱无章的现象,是有一定规律可循的.
4.做一做:下列现象是随机现象的是(
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
列举法确定样本空间——数学方法
典例连续掷3枚硬币,观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面.
(1)写出这个试验的样本空间;
(2)求这个试验的样本点的总数;
(3)“恰有两枚正面向上”这一事件包含哪几个样本点?
解:(1)这个试验的样本空间Ω={(正,正,正),(正,正,反),(正,反,
养学生的逻辑推理能
力.
课前篇自主预习
一
二
三
一、现象的相关概念
1.今天早上,乌云密布,燕子低飞,可知今天一定下雨,你觉得这种
分析对吗?
提示:不对.今天下雨是一种随机现象,但考虑到乌云密布,燕子低
飞,只能说今天下雨的可能性很大而已.
2.填空.
(1)随机现象(或偶然现象):一定条件下,发生的结果事先不能确定
的,故A是必然事件.在没有空气和水的条件下,人是绝对不能生存
下去的,故B是不可能事件.抛掷一枚硬币时,在没得到结果之前,并
不知道会是正面向上还是反面向上,故C是随机事件.在标准大气压
下,只有温度达到100 ℃,水才会沸腾,当温度是60 ℃时,水是绝对不
会沸腾的,故D是不可能事件.故选C.
课堂篇探究学习
一定不发生的是不可能事件.
《概率》统计与概率PPT(样本空间与事件)(完美版)

人教版高中数学B版必修二
第五章 统计与概率
5.3 概率 5.3.1 样本空间与事件
《概率》统计与概率PPT(样本空间与 事件)( 完美版 )
-1-
《概率》统计与概率PPT(样本空间与 事件)
课标阐释
思维脉络
1.了解随机现象、样本 点和样本空间的概念.
《概率》统计与概率PPT(样本空间与 事件)
《概率》统计与概率PPT(样本空间与 事件)
一
二
三
课前篇自主预习
4.做一做:给出下列事件:
①如果a,b是实数,那么b+a=a+b; ②某地1月1日刮西北风; ③当x是实数时,x2≥0; ④一个电影院某天的上座率超过50%.
其中是随机事件的有( ) A.1个 B.2个 C.3个D.4个 答案:B
《概率》统计与概率PPT(样本空间与 事件)
一
二
三
课前篇自主预习
2.从集合的角度,你是如何理解随机事件的?举例说明. 提示:我们可以把随机事件理解为样本空间的子集. 如掷一枚骰子观察掷出点数的试验中,样本空间Ω={1,2,3,4,5,6}. 若设A={2,4,6},则A⊆Ω,A是Ω的一个子集,事件A表示“掷出偶数点” 这一结果.若设B={5,6},则B⊆Ω,B也是Ω的一个子集,事件B表示“掷 出点数大于4”. 3.事件的分类是确定的吗? 提示:事件的分类是相对于条件来讲的,在不同的条件下,必然事 件、随机事件、不可能事件可以相互转化.
机现象的定义知②③④是随机现象.
《概率》统计与概率PPT(样本空间与 事件)
《概率》统计与概率PPT(样本空间与 事件)
一
二
三
概率论教学中与样本空间有关的几个问题

05 概率论教学中的 其他问题
大数定律与中心极限定理
大数定律
在概率论中,大数定律描述了当样本数量足够大时,随机事件的频率将逐渐稳定于某一概率值。例如,在投掷一 枚公正的硬币时,随着投掷次数的增加,正面朝上的频率将逐渐接近0.5。
中心极限定理
中心极限定理是概率论中的一个重要定理,它指出,当一个随机变量的取值范围足够大时,无论这个随机变量是 由什么分布产生的,它的分布函数近似于高斯分布。这个定理在许多实际问题的统计分析中有着广泛的应用。
贝叶斯推断
贝叶斯定理
贝叶斯定理是贝叶斯推断的基础,它描述了给定某个未知 参数的条件下,样本数据的概率分布。
先验概率与后验概率
先验概率是指在进行样本观察之前对未知参数的概率评估 ,后验概率是指结合样本信息与先验信息对未知参数的概 率评估。
最大后验估计
最大后验估计是一种基于贝叶斯定理确定未知参数最优估 计的方法,其基本思想是在先验概率和样本信息的基础上 ,最大化后验概率分布。
试验:在一定条件下 ,可以重复进行,结 果具有随机性
样本空间的性质
样本空间的每一个元素都是试验 的一个可能结果
试验的所有可能结果都属于样本 空间
样本空间中的元素是互斥的,即 任意两个元素之间不可能同时发
生
样本空间的运算
01
02
03
并集
两个样本空间的并集是它 们所有元素组成的集合
交集
两个样本空间的交集是它 们共有的元素组成的集合
类型
常见的随机变量包括离散型和连续型。离散型随机变量可以取有限 个或可数无穷个值,而连续型随机变量可以取实数域上的任意值。
变换
对于一个随机变量X,可以通过对其进行数学变换得到新的随机变 量。常见的数学变换包括平方、开方、对数等。
三个样本空间的全概率

三个样本空间的全概率一、什么是样本空间?在概率论中,样本空间是指所有可能结果的集合。
在进行概率计算时,我们需要确定有多少种可能的结果,以及每种结果发生的概率。
样本空间可以是有限集合,也可以是无限集合。
样本空间通常用大写字母Ω表示。
假设掷一个骰子,那么样本空间可以表示为Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6},其中每个数字代表一个可能的结果。
二、什么是全概率?在概率论中,全概率是指根据一些相关信息,计算某个特定事件的概率。
全概率定理提供了一种计算这种概率的方法。
全概率定理表述如下:对于一组互不相容且构成一个完整集的事件,比如 A1,A2,…,An,它们的并集构成了样本空间Ω。
则对于任意一个事件 B,它的概率可以通过如下公式计算:P(B) = P(B | A1) * P(A1) + P(B | A2) * P(A2) + … + P(B | An) * P(An)其中,P(B | A1)表示在事件 A1 发生的条件下,事件 B 发生的概率;P(A1)表示事件 A1 本身的概率。
三、条件概率和全概率的关系全概率定理中的条件概率是关键。
条件概率是指在已知某一事件发生的条件下,另一事件发生的概率。
全概率定理的计算过程中需要使用条件概率。
对于任意事件 B,我们可以通过全概率定理将其转化为一系列条件概率的求和。
例如,假设有两个事件 A1 和 A2,并且 A1 和 A2 构成了样本空间Ω。
现在我们要计算事件 B 的概率。
根据全概率定理,可以得到:P(B) = P(B | A1) * P(A1) + P(B | A2) * P(A2)其中,P(B | A1) 表示在事件 A1 发生的条件下,事件 B 发生的概率;P(A1) 表示事件 A1 本身的概率。
四、示例案例:扑克牌游戏为了更好地理解全概率的概念,我们可以考虑一个简单的扑克牌游戏。
假设有一副标准扑克牌,共有52张牌。
我们想知道从中随机抽取一张牌,这张牌是红桃的概率是多少。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
样本空间、概率空间及概率的公理化定义
一、样本空间
在概率论中,随机试验是指在一定条件下出现的结果带有随机性的试验。
我们用E 表示随机试验。
随机试验E 的所有可能出现的结果构成一个集合,而把每一可能出现的试验结果称为一个基本事件(样本点)。
随机试验E 的所有基本事件构成所谓样本空间。
下面举几个实际例子。
例1 掷一枚分币。
出现“正面”、“反面”都是基本事件。
这两个基本事件构成一个样本空间。
例2 掷一颗骰子。
分别出现“1点”、“2点”、“3点”、“4点”、“5点”、“6点”都是基本事件。
这六个基本事件构成一个样本空间。
例3 向实数轴的(0,1)区间上随意地投掷一个点。
在(0,1)区间中的每一个点是一个基本事件,而所有点的集合(即(0,1)区间)构成一个样本空间。
抽象地说,样本空间是一个点的集合,此集合中每个点都称为样本点。
样本空间记为()ωΩ=,其中ω表示样本点。
这里小括号表示所有样本点构成的集合。
样本空间的某些子集称为事件。
从数学观点看,要求事件(样本点的集合)之间有一定的联系,亦即对事件需加一些约束。
定义 设样本空间()ωΩ=的某些子集构成的集合记为F ,如果F 满足下列性质:
(1)Ω∈F ;
(2)若A ∈F ,则A A =Ω-∈F ;
(3)若,1,2,k A k ∈= F ,则1k
k A ∞=∈ F
那么称F 是一个波雷尔(Borel 事件域),或σ事件域。
波雷尔事件域中每一个样本空间Ω的子集称为一个事件。
特别指出,样本空间Ω称为必然事件,而空集φ称为不可能事件。
在上面三个样本空间的例子中,每一个样本点都是基本事件。
但是,一般并不要求样本点必需是基本事件。
在例1中共有两个样本点:“正面”,“反面”。
作{=F 正面或反面,正面,反面,空集},它构成一个波雷尔事件域,其中每一个元素都是一个事件。
需要说明,F 表达式中的花括号。
是指事件的集合。
在例2中共有六个样本点,记i ω为出现“i 点”的样本点,1,2,3,4,5,6i =。
作{),,(,),,(),,,(),,(,),,(),,(,,,65442132165312161ωωωωωωωωωωωωωωωωω⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=F 123434561234523456(,,,),,(,,,),(,,,,),,(,,,,),ωωωωωωωωωωωωωωωωωω 123456(,,,,,)}ωωωωωω,它构成一个波雷尔事件域。
这里每一对小括号表示它所包含的样本点的集合。
123456(,,,,,)}ωωωωωω中一元素(即126(,,,ωωω )或每一对小括号表示的样本点集合)是一个事件。
在例3中,作1{(0,1)=F 区间中任意子集}。
1F 构成一个波雷尔事件域,其中每一个元
素是一个事件。
再构造另一个波雷尔事件域。
若取1{(,]:n k k k G a
b == 01k k a b <<<,
1,2,,k n = ,而1}n ≥,即G 是(0,1)区间中所有的左开右闭区间有限和集构成的集类。
集类是指以点集作为元素的集合。
显然G 不具有波雷尔事件域的第三条性质,这是因为G 中可列无限个元素之和,也可以是无限多个左开右闭区间之和,这种和不再是G 中的元素(例⎥⎦
⎤ ⎝⎛∞=n n n 21,311 ∉G )),因而G 不是波雷尔事件域。
记2F 是包含G 的最小的波雷尔事件域。
数学上可以证明2F 与1F 并不重合,而2F 中的元素比1F 少。
波雷尔事件域2F 中的每一个元素都是事件。
需要指出,在上面的三个例子中,四个F 有三个取为样本空间Ω中任意子集全体构成的波雷尔域,因而样本空间的1任意一个子集都是事件。
但是,F 还可以选Ω的一部分子集构成一个波雷尔事件域,如例3中的2F 。
又如在例1中取{,}φ=ΩF ,这种F 也构成波雷尔事件域(平凡的波雷尔事件域)。
此时只有两个事件,但这样取F 的实际意义不大。
二、概率的公理化定义
在概率论中曾提及概率的统计定义和古典概率定义。
古典概率定义要求样本空间由N 个等可能性的基本事件构成,具有一定的局限性。
概率的统计定义与大量重复试验相联系。
现在介绍一种概率的抽象的数学定义——公理化定义。
这种定义是从一些具体的概率定义(如概率的统计定义,古典概率定义等)抽象出来的,同时又保留了具体概率定义中的一些特征。
事件的概率是对应于波雷尔事件域F 中每一个Ω的子集的一个数,即可以看成集合函数。
概率的公理化定义 设()P A 是定义在样本空间Ω中波雷尔事件域F 上的集合函数。
如果()P A 满足
(1)对任一A ∈F ,有0()1P A ≤≤;
(2)()1,()0P P φΩ==;
(3)若12,A A ,两两不相交,即,k j A A k j φ=≠,且,1,2,k A k ∈= F ,则
1
1()k k k k P A P A ∞∞
==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑ 那么称P 是波雷尔事件域上的概率。
在例1中定义()2
k P A =,其中k 是事件A 包含的样本点数,0,1,2k =,那么P 是概率。
另外,如果定义P (正面)1120=,P (反面)9,20
P =(正面或反面)1,P =(空集)0=,这样定义的P 也是概率。
在例2中定义()/6P A k =,其中k 是事件A 包含的样本点数,0,1,2,3,4,5,6k =,那么P 是概率。
在例3中考虑波雷尔事件域2F ,数学上可以证明在2F 上存在一个集合函数P ,满足概率公理化定义中的三个条件,且对1(,]n k k
k A a b == ,有1()()n k k k P A b a ==-∑,
其中(,)k k a b 两
两不相交(显然A 是G 中元素),所以这个2F 上的集合函数P 是概率。
此概率表示(0,1)区间上的均匀分布。
特别指出,1F 是由(0,1)区间上任意子集构成的波雷尔事件域,数学上已经证明并不存在1F 上的集合函数P (!!!)。
而对上述事件A 有1()()n k k k P A b
a ==-∑,且满
足概率公理化定义中的三个条件。
对随机试验E 而言,样本空间Ω给出它的所有可能的试验结果,F 给出了由这些可能结果组成的各种各样事件,而P 给出每一事件发生的概率。
(,,)P ΩF 称为概率空间(三元有机体)。