由斯图尔特定理推导的几则长度公式—以勾股定理为范式建立任意三角形三边度量关系式

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斯特瓦尔特定理及应用

第四章特瓦尔特定理及应用【基础知识】斯特瓦尔特定理设P 为ABC △的BC 边上任一点（P B ≠，P C ≠），则有 222AB PC AC BP AP BC BP PC BC ⋅+⋅=⋅+⋅⋅①或 2222P C B P B P P C A P A B A C B C B C B C B C B C=⋅+⋅-⋅⋅．② 证明如图4-1，不失一般性，不妨设90APC <︒∠，则由余弦定理，有 2222cos AC AP PC AP PC APC =+-⋅⋅∠， 222cos AP BP AP BP APC =++⋅⋅∠．对上述两式分别乘以BP ，PC 后相加整理，得①式或②式．斯特瓦尔特定理的逆定理设B ，P ，C 依次分别为从A 点引出的三条射线AB ，AP ，AC 上的点，若22AB PC AC BP AP BC BP PC BC ⋅+⋅=⋅+⋅⋅，或 2222P C B P B P P C A P A B A C B C B C B C B C B C=⋅+⋅-⋅⋅，则B ，P ，C 三点共线．证明令1BPA θ=∠，2APC θ=∠，对△ABP 和△APC 分别应用余弦定理，有 22212cos AB AP PB AP PB θ=+-⋅⋅，22222cos AC AP PC AP PC θ=+-⋅⋅．将上述两式分别乘以PC ，BP 后相加，再与已知条件式相比较得 ()122cos cos 0AP BP PC θθ-⋅⋅⋅+=，由此推出12180θθ=︒-，即证．斯特瓦尔特定理的推广（1）设P 为ABC △的BC 边延长线上任一点，则2222PC BP PC BPAP AB AC BC BC BC BC BC=-⋅+⋅+⋅⋅． ③ （2）设P 为ABC △的BC 边反向延长线上任一点，则 2222PC BP PC BPAP AB AC BC BC BC BC BC=⋅-⋅+⋅⋅． ④ 注若用有向线段表示，则②，③，④式是一致的．推论1 设P 为等腰ABC △的底边BC 上任一点，则22AP AB BP PC =-⋅．注此推论也可视为以A 为圆心，AB 为半径的圆中的圆幂定理．推论2 设AP 为ABC △的BC 边上的中线，则2222111224AP AB AC BC =+-．推论3 设AP 为ABC △的A 的内角平分线，则2AP AB AC BP PC =⋅-⋅．推论4 设AP 为ABC △的A 的外角平分线，则2AP AB AC BP PC =-⋅+⋅．推论5 在ABC △中，若P 分线段BC 满足BPBCλ=，则2222(1)(1)AP BC AB AC λλλλ=-+-+⋅．注若BP k PC =，则()222221111k k AP AB AC BC k k k =⋅+-⋅+++．【典型例题与基本方法】1．选择恰当的三角形及一边上的一点，是应用斯特瓦尔特定理的关键．例1 如图4-2，凸四边形ABCD 中，60ABC =︒∠，90BAD BCD ==︒∠∠，2AB =，1CD =，对角线AC ，BD 交于点O ．求sin AOB ∠．（1996年北京中学生竞赛题）解延长BA ，CD 相交于P ，设BC x =，则2PB x =，PC ，对△PBC 及PB 边上的点A ，应用斯特瓦尔特定理，有 224x x =-+．由Rt Rt ADP CBP △∽△，有P D P C P A P B ⋅=⋅，即)()1222x x-⋅-⋅，求得 4BC x ==于是，2153CA =-．又在Rt BCD △中，22120BD x =+=-，从而B D A C⋅=12=．而()(1242ABCD ABD BCD S S S =+=+△△故()1112s i n 2AOB ⋅∠，即sin AOB =∠为所求．例2 如图4-3，在ABC △中，60A =︒∠，AB AC >，点O 是外心，两条高BE ，CF 交于H 点，点M ，N 分别在线段BH ，HF 上，且满足BM CN =，求MH NHOH+的值．（2002年全国高中联赛题）解延长BE 交O 于L ，由三角形垂心性质，知L 为H 关于AC 的对称点，则LC CH =．设O 的半径为R ，OH d =，CH x =，BH y =，由60CLB A =︒∠=∠，知LH LC CH x ===．延长OH 两端交O 于T ，S ，如图4-3，由相交弦寇理有TH HS BH HL ⋅=⋅，即()()R d R d x y +-=⋅，即22R d xy =+．在△BCL 及边BL 上的点H ，应用斯特瓦尔特定理，并注意到2sin BC R A =⋅=∠ ，可得 222BC LH LC BH LH BH BL CH BL ⋅+⋅=⋅⋅+⋅，即)()()222x x y x y x y x x y ⋅+⋅=⋅⋅++⋅+，亦即 ()22213R x x y y =++．于是，有()22213x xy y d xy ++=+．亦即()223x y d -=，即x y d-=而当AB AC >时，MH NH BH BM CN CH BH CH y x x y +=-+-=-=-=-，故x yMH NH OH d-+=2．注意斯特瓦尔特定理的推论的应用例3 如图4-4，自O 外一点引圆的两条切线PE ，PF ，E ，F 为切点，过P 点任意引圆的割线交O于A ，B ，交EF 于C ．证明：211PC PA PB=+．（2001年湖南中学生夏令营试题）证明由相交弦定理，有EC CF AC CB ⋅=⋅．由于PE PF =，对等腰△PEF 及底边EF 上的点C ，应用斯特瓦尔特定理的推论1，有22PC PE =- EC CF ⋅，即有PA PC PB PC PA PB =⋅+⋅-⋅．而2PE PA PB =⋅，从而2PA PB PA PC PB PC ⋅=⋅+⋅．故211P C P A P B=+．注此例结论表示线段PC 是线段PA ，PB 的调和平均．这个结论亦即为点P 、C 调和分割弦AB ．例 4 如图4-5，设在ABC △中，AB AC >，AE 平分A ∠，且交BC 于E ，在BC 上有一点S ，使BS EC =．求证：()222AS AE AB AC -=-．（1979年江苏省竞赛题）证明对ABC △及边BC 上的点S ，应用斯特瓦尔特定理，有222SC BSAS AB AC BS SC BC BC=⋅+⋅-⋅．由AE 平分A ∠，对ABC △及边BC 上的点F ，应用斯特瓦尔特定理的推论3，有2AE AB AC =⋅- BE EC ⋅，从而2222SC BSAS AE AB AC AB AC BE EC BS SC BC BC-=⋅+⋅-⋅+⋅-⋅． ①因BS EC =，有BE SC =，即BE EC BS SC ⋅=⋅．由角平分线的性质，有 ,B E A B E C A CB C A B A C B C A B A C==++，即,S C B EA B B S E C A CB C B C A B A C B C B C A B A C====++．从而，由①式，有()222AS AE AB AC -=-．例5 凸多边形ABCD 外切于O ，两组对边所在的直线分别交于点E 、F ，对角线交于点G ．求证：DG EF ⊥．（《中等数学》奥林匹克题高中251题）证明如图4-6，设O 与边AB 、BC 、CD 、DA 分别切于点M 、N 、R 、S ，则由牛顿定理知，AC 、BD 、MR 、NS 四线共点于G ．由切线长定理，知EM ER =．由推论1，有22EG FS MG GR =-⋅． ① 同理，22FG FS SG GN =-⋅．②联结MO 、EO 、SO ，令O 的半径为r ，则 22222EM OE r FS OF r =-=-，．③又由相交弦定理，有MG GR SG GN ⋅=⋅． ④于是，由①、②、③、④有2222EG ED FG FO -=-．由定差幂线定理，知OG EF ⊥．注（1）牛顿定理圆外切四边形的两条对角线、两对边切点的连线，这4条直线共点．（2）定差幂线定理设MN 、PQ 是两条线段，则MN PQ ⊥的充要条件为2222PM PN QM QN -=-．此定理可用勾股定理及逆定理证明．这个定理放到空间也是成立的．运用向量法可给出平面、空间的统一证明如下：由22222222PM QN PN QM PM QN PN QM +--=+--()2222PM PQ PN PQ PM PN PQ NM PQ =⋅-⋅=-⋅=⋅．知 0N M P QN M P Q ⇔⋅=⊥．故 2222M N P Q P M P N O M Q N⇔-=-⊥．例6 已知E 、F 分剔是ABC △的边AB 、AC 的中点，CM 、BN 是边AB 、AC 上的高，联结EF 、MN 交于点P ．又设Q 、H 分别是ABC △的外心、垂心，联结AP 、OH ．求证：AP OH ⊥．（2005年国家队集训题）证明如图4-7，联结AO 、AH ．设1O 、1H 分别为AO 、AH 的中点，则112H N AH =，112H M AM =，即知点1H 在线段MN 的中重线上，应用推论1，有 2211H P H M MP PN =-⋅．注意到EF 为ABC △中位线，O 在BC 的中垂线上，由此知1O 也在EF 的中垂线上，应用推论1，有 2211O P O E EP PF =-⋅．再注意到ANM ABC AEF ==∠∠∠，知M 、E 、N 、F 四点共圆，并由直角三角形性质，有MP PF EP PF ⋅=⋅． ③ 及11O E O A =、11H M H A =．④由①、②、③、④得22221111H A H P O A O P -=-．由定差幂线定理，11O H AP ⊥．而1O H OH ∥，故AP OH ⊥．注此例的其他证法可参见第九章例16、第十章例15．例7 设D 是ABC △的边BC 上一点，满足CDA CAB △∽△，O 经过B 、D 两点，并分别与AB 、AD 交于E 、F 两点，BF 、DE 交于点G ，联结AO 、AG ，取AG 的中点M ．求证：CM AO ⊥．证明如图4-8，在AG 的延长线上取点P ，使得AG AP AF AD ⋅=⋅（即G 、P 、D 、F 四点共圆），则由AE AB AF AD ⋅=⋅知E 、B 、P 、G 也四点共圆．于是180180BPA BED BFD =︒-=︒-=∠∠∠BFA ∠，知B 、P 、F 、A 四点共圆，即有2FG GB AG GP AF AD AG ⋅=⋅=⋅-．联结OD 、OF 、OE ，并令O 半径为R ，则对ODE △、ODF △分别应用推论1，有222OG OD EG GD R FG GB =-⋅=-⋅． ① 2222OA OD AF AD R FG GB AG =+⋅=+⋅+．②联结OM ，由三角形中线长公式，并注意①、②，有222222211(22)44MO MA OA OG AG AG R -=+--=．③联结OB 、OC ，对OBD △应用推论1，有222CO OB CD CB R CD CB =+⋅=+⋅．又由CDA CAB △∽△，有2CA CD CB =⋅，即有222CO CA R -=．④注 P 即为完全四边形的密克尔点，由③、④有2222MO MA CO CA -=-．由定差幂线定理，知CM ⊥AO ．3．注意斯特瓦尔特定理等价于托勒密定理斯特瓦尔特定理可推导出托勒密定理．证明如图4-9，在ABC △中，点P 在BC 上，由斯特瓦尔特定理，有 222AP BC AB PC AC BP BP PC BC ⋅=⋅+⋅-⋅⋅．延长AP 交ABC △的外接圆于E ，连BE ，EC ，由ABP CEP △∽△和ACP BEP △∽△，有AB AP ⋅= CE AP ⋅，AC BP AP BE ⋅=⋅．又由相交弦定理，有BP PC AP PE ⋅=⋅．于是，得2AP BC AB CE AP AC AP BE AP PE BC ⋅=⋅⋅+⋅⋅-⋅⋅，即 ()B C A PP EA B C EA CB E+=⋅+⋅，亦即 A B C E A C B E B C ⋅+⋅=⋅．即为托勒密定理．由托勒密定理也可推导斯特瓦尔特定理．证明如图4-10，设圆内接四边形ABEC 的对角线AE ，BC 交于P ．由托勒密定理，有 AB EC AC BE BC AE ⋅+⋅=⋅．即 ()A B E CA CB EB P PC A E⋅+⋅=+⋅．由△ABP ∽△CEP 和△ACP ∽△BEP ，有AB PC EC AP ⋅=，AC BPBE AP⋅=．由相交弦定理，有BP PCPE AP⋅=．将这些式子代入前述式子即得斯特瓦尔特定理．因此，在应用中，两个定理的应用范围相同，所显示的功能也一样，即凡能用托勒密定理处理的问题也能用斯特瓦尔特定理处理．反之亦然．例8 若ABC △的三边为连续整数，且最大角B ∠是最小角A ∠的两倍，求三角形的三边长．（IMO -10试题）解法1 作ABC ∠的平分线BD （图略），则BD AD =，令AD y =，AB x =，则 1AC x =+，1BC x =-，1CD x y =+-．由斯特瓦尔特定理的推论3，有()()211y x x y x y =--+-，即()11x x y x -=+，又AB AD BC CD =，即1xx =-1yx y +-，有()121x x y x +=-．故由22121x x x x x x -+=+-，求得5x =（舍去0x =），即5AB =，4BC =，6AC =．解法2 作ABC △的外接圆O ，取AC 的中点D ，连AD ，BD ，CD ，则ABCD 为梯形，其中CD BA ∥．令AB x =，则1AC x =+，1BC x =-，且1CD BC x ==-，1BD AC x ==+．对四边形ABCD 应用托勒密定理，有()()()22111x x x x +=-+-，求得5x =．（下略）【解题思维策略分析】1．获得线段倍分关系的一条途径例9 如图4-11，已知ABC △的外接圆k 的圆心为O ，半径为R ，内切圆的圆心为I ，半径为r ，另一个圆0k 与边CA ，CB 分别切于点D ，E ，且与圆k 内切．求证：内心I 是线段DE 的中点．（IMO -34预选题）证明设圆0k 的圆心为1O ，半径为ρ，于是1O ，I ，C 三点共线，且1sin 2r CI C =∠，11sin 2CO C ρ=∠，则11sin 2rIO C ρ-=∠，且1O E ρ=．于是，111IO r rCO ρρρ-==-．连OC ，OI ，1O O ，对△1COO ，及边1O C 上的点I ，应用斯特瓦尔特定理，有 22211111OO CI OC IO OI CO CI IO CO ⋅+⋅=⋅+⋅⋅①注意到欧拉公式，222OI R Rr =-，及1OO R ρ=-，OC R =，并将其代入①式，得到 ()221111sin sin sin sin 2222r r R Rr C C C C ρρρ-=-⋅+⋅⋅∠∠∠∠，化简得 21s i n 12r r C ρρρ-==-∠．从而 221111sin 2IO C CO CO ρ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭∠，即 22111IO CO O E ρ⋅==．②因为1O E CE ⊥，1CO DE ⊥且平分DE ，令DE 的中点为I '，由射影定理，有 2111I O CO O E '⋅=．③比较③式和②式，知I '与I 重合，即得I 为DE 的中点．例10 如图4-12，两个大圆A ，B 相等且相交；两个小圆C ，D 不相等但相交，且交点为P ，Q ．若C ，D 既同时与A 内切，又同时与B 外切．试证：直线PQ 平分线段AB ．（《中等数学》奥林匹克问题高中58题）证明由于C ，D 半径不相等，此两圆交点所在直线PQ 必与线段AB 相交，设交点为M ．连AC ，MC ，BC ，AD ，MD ，BD ，PC ，PD ，CD ，显然PQ CD ⊥，设垂足为N ，又设A ，B 的半径均是ρ，C ，D 的半径分别为R ，()r R r ≠，则易得AC R ρ=-，BC R ρ=+，AD r ρ=-，BD r ρ=+，因为PQ CD ⊥，或MP CD ⊥，垂足为N ，则2222PC PD R r =-=-．设AM x =，MB y =，对△CAB 及边AB 上的点M ，应用斯特瓦尔特定理，有 ()222x y MC x MB y AM =+⋅+⋅+⋅．①对△DAB 及边AB 上的点M ，应用斯特瓦尔特定理，有 ()22222x BD y AD x y MD x MB y AM ⋅+⋅=+⋅+⋅+⋅．②①-②，得()()()()()()22222222x BC BD y AC AD x y MC MD x y R r ⋅-+-=+-=+-，即 ()()()()()()222222[][]x R r y R r x y R r ρρρρ⋅+-++⋅---=+-，亦即 ()()20x y R r ρ⋅-⋅-=．因0ρ≠，R r ≠，从而0x y -=，即x y =．故AM MB =，即直线PQ 平分线段AB ．2．求解三角形问题的一种工具斯特瓦尔特定理在求解三角形中有关线段的问题有着重要作用，这可从习题A 中的第6题，习题B 中的第7题等可以看出．在求解三角形的其他问题中，它也有着重要作用．例11 设ABC △的三边为a ，b ，c ，其面积为S ，则222a b c ++≥，当且仅当ABC △为正三角形时，等式成立．（IMO -3试题）证明取BC 的中点D ，对ABC △及BC 边上的点D ，应用斯特瓦尔特定理的推论2，有 2222222111111224224A D A C AB BC b c a =+-=+-．从而有22222322a b c AD a AD a ++=+=⋅≥．设ABC △的BC 边上的高为h ，则AD h ≥，于是122AD a a h ⋅⋅⋅=≥．故222a b c ++≥，其中等号当且仅当22322AD a =且AD h =时成立，也即AD BC ⊥且AD =，此时ABC △恰为正三角形．例12 如图4-13，在ABC △中，D ，E 分别为AC 和AB 同方向延长线上的点，BD 与CE 相交于P ，且BD CE =．当P 在BC 边的中线上时，则AB AC =．证明设AP 交BC 于Q ．分别对△BPQ 及点A 和△CPQ 及点A 应用斯特瓦尔特定理的推广结论，有222AQ APBA BP BQ AP AQ PQ PQ =-⋅+⋅+⋅， 222AQ APCA CP CQ AP AQ PQ PQ=-⋅+⋅+⋅．于是()()222222AQ APBA CA CP BP BQ CQ PQ PQ-=-⋅+-⋅．由于BD CE =，对△PBC 及点A 应用塞瓦定理，有1QB EC DP QC EP DB ⋅⋅=，即PD QCPE QB=．当P 点在BC 边上的中线上时，有BQ QC =．从而PD PE =，由此知PC PB =，故AB AC =．例13 如图4-14，若D 是ABC △的边BC 延长线上一点，则AD 平分A ∠的外角的充分必要条件是2AD BD CD AB AC =⋅-⋅．证明必要性：若AD 平分A ∠的外角，则由推论4即有 2AD BD CD AB AC =⋅-⋅．或者按证明斯特瓦尔特定理的方法来推导．充分性：设直线AD 交ABC △的外接圆于E ，连BE 、CE ．由割线定理有BD CD AD ED ⋅=⋅，并将其代入条件式2AD BD CD AB AC =⋅-⋅可得 ()AD ED AD AB AC -=⋅．由此可知E 必在DA 的延长线上（因0ED AD ->）．于是AD AE AB AC ⋅=⋅． ① 由△ACD ∽△BCD ，有AC BD AD BE ⋅=⋅． ② 由①⨯②得 A E B D A B B E⋅=⋅． ③ 又由△ECD ∽△BAD ，有EC AD CD AB ⋅=⋅． ④ 由①÷④得，AE CD AC CE ⋅=⋅． ⑤由③-⑤得，AE BC AB BE AC CE ⋅=⋅-⋅．对四边形EBCA 应用托勒密定理，有 AE BC AB CE AC BE ⋅=⋅-⋅．于是AB CE AC BE AB BE AC CE ⋅-⋅=⋅-⋅．即()()0AB AC CE BE +-=，从而CE BE =．因此CAD EBC ECB EAB ===∠∠∠∠．故AD 平分A ∠的外角．例14 如图4-15，设正ABC △的内切圆圆心为I ，半径为r ，在I 内任取一点P ，设点P 到BC ，CA ，AB 的距离分别为1d ，2d ，3d（《数学通报》问题1356题）证明设正三角形ABC 的边长为1，则123d d d ++2IA IB IC r ====．连AP 并延长交BC 于D ，则由题设知 32APB APC S d BD DC S d ==△△，()1123131BPC BAC BPC S d d DP PA S S d d d d d d ===-+++-△△△．由于BI IC =，BA AC =，对△BIC 及边BC 上的点D ，对ABC △及边BC 上的点D ，均应用斯特瓦尔特定理的推论1，有2222ID IB BD DC AD AB BD DC =-⋅=-⋅，．又由32d BD DC d =，知332323d d BD BC d d d d =⋅=++，223d DC d d =+．于是()22322313d d ID d d =-+，()2232231d d AD d d =-+． ①又对△AID 及边AD 上的点P 应用斯特瓦尔特定理，有 222PA DPIP ID IA DP PA AD AD=⋅+⋅-⋅．由123d DP PA d d =+，知23123d d PA AD d d d +=++，1123d DPAD d d d =++．将上述各式及①式代入②式，并注意IA，123d d d ++=123444d d d -=+，有()1213231433d d d d d d =-++．即 ()21213231143IP d d d d d d ⎡⎤=-++⎣⎦．于是，()2221231213232d d d d d d d d d ---+++ ()()22231334IP r IP =-+-=-．此式可写成为=()223r IP -． ③由于P 点在I 内部，则220r IP ->，从而，必有0>0>．如若不然，0+，0，则0+<，即0<与已知矛盾，则知>>>．可见，以，，为边可以构成三角形，且由海伦—秦九韶公式及③式知其面积为【模拟实战】习题A1．在ABC △中，2AB AC ==，BC 边有100个不同的点1P ，2P ，…，100P ，记22i i im A P B P P C =+⋅（i =1，2，…，100），求12100m m m +++…的值．2．在ABC △中，C ∠的平分线交AB 于D ．证明：CD <．（匈牙利中学生数学竞赛题） 3．在ABC △中，D 是BC 边上的点，已知13AB =，12AD =，15AC =，5BD =，求DC ．4．在ABC △中，AB =AC =2BC =，设P 为BC 边上任一点，则（） A ．2PA PB PC <⋅ B ．2PA PB PC =⋅C ．2PA PB PC >⋅D ．2PA 与PB PC ⋅的大小关系不确定5．D 是ABC △的边AC 上的一点，且21AD DC =∶∶，45C =︒∠，60ADB =︒∠，求证：AB 是△BCD 的外接圆的切线．6．设ABC △的三边BC a =，CA b =，AB c =，()12p a b c =++．设a m ，a h 分别为BC 边上的中线长和高线长；a t ，at '分别为BC 边所对的角的内、外角平分线长．求证下列各式：（Ⅰ）a m（Ⅱ）a t =（Ⅲ）a t '=（Ⅳ）a h 7．在ABC △中，2AB BC =，2B A =∠∠，求证：ABC △是直角三角形． 8．证明：到三角形三顶点的距离的平方和最小的点是重心．习题B1．设，，分别是共线的三点A ，B ，C 对于O 所作切线的长．求证：a BC ⋅+c AB b AC BC AC AB ⋅-⋅=⋅⋅．2．锐角ABC △的外接圆过B ，C 的切线相交于N ，点M 是BC 的中点．求证：BAM =∠ CAN ∠．（IMO -26预选题） 3．1PT 和2PT 是O 的割线，分别交O 于1S ，2S ，且12PT PT =，过P 的直线交O 于Q ，R （Q 在R 与P 之间），交12TT ，12S S 于T ，S ．求证1111PQ PR PS PT+=+． 4．A ，B ，C ，D 四点在同一圆周上，且4BC DC ==，6AE =，线段BE 和DE 的长都是整数，求BD 的长．5．在正方形ABCD 中，E 在BC 上，2BE =，1CE =，P 点在BD 上，则PE 和PC 的长度之和最小可达到多少？6．设凸四边形的边长是a ，b ，c ，d ，对角线长是e 和f ．求证：2min{,,,}a b c d 当且仅当这个凸四边形是菱形时等号成立．7．设I ，O ，G ，H 分别为ABC △的内心，外心，重心，垂心，令BC a =，CA b =，AB c =，()12p a b c =++，R ，r 分别为外接圆和内切圆的半径．求证下列各式：（Ⅰ）222a IA b IB c IC abc ⋅+⋅+⋅=；（Ⅱ）2222abc IO R R Rr a b c =-=-++；（Ⅲ）()()()()22222222221222918IG a b c b c a c a b a b c abc p ⎡⎤=+++++-++-⎣⎦ ()2222254318p a b c Rr =-++-；（Ⅳ）()22222142IH R a b c abc p =-+++． 8．已知ABC △满足2ACB ABC =∠∠，设D 是BC 边上一点，且2CD BD =．延长线段AD 至E ，使AD DE =．证明：1802ECB EBC +︒=∠∠．（IMO -39预选题）。

由斯图尔特定理推导的几则长度公式——以勾股定理为范式建立任意三角形三边度量关系式

㊀㊀㊀㊀㊀１３４数学学习与研究㊀２０１９４由斯图尔特定理推导的几则长度公式由斯图尔特定理推导的几则长度公式㊀㊀㊀㊀以勾股定理为范式建立任意三角形三边度量关系式Һ张恭潜１㊀张海贝２㊀(１.湖南铁道职业技术学院ꎬ湖南㊀株洲㊀４１２００１ꎻ２.深圳长城开发公司ꎬ广东㊀深圳㊀５１８０３５)㊀㊀ʌ摘要ɔ对斯图尔特定理中的切氏线进行特定设置ꎬ用面积系数建立起以勾股定理为范式适用于任意三角形三边的度量关系式ꎻ丰富了三角形的长度公式ꎬ感悟数学美.ʌ关键词ɔ切氏线ꎻ中线ꎻ内等腰线ꎻ面积系数ꎻ勾股定理悠久的勾股定理奠定了几何学基石.译著«几何原本»[１]第Ⅰ卷４７命题中ꎬ欧几里得用面积法证明了勾股定理(毕达哥拉斯定理)谱写了直角三角形三边度量的精美关系式(图１左):ａ２＋ｂ２＝ｃ２.(１)在第Ⅱ卷１２ꎬ１３命题中ꎬ又证明了现行余弦定理之原型.余弦定理之原型是四条线段的度量关系式ꎬ其数学表达式为(参见图１右ꎬ中):ａꎬｂ两边夹角Ｃ为钝角时:ｃ２＝ａ２＋ｂ２＋２ａＣＤ.(２)ａꎬｂ两边夹角Ｃ为锐角时:ｃ２＝ａ２＋ｂ２－２ａＣＤ.(３)㊀㊀图１余弦定理原型(２)(３)两式的出现ꎬ证明一切三角形均具有三边间的度量关系式ꎬ揭示了同类事物存在共性和个性的哲学原理.余弦定理原型用矩形面积修正项 [２]添加在勾股定理等式的一边ꎬ建立了非直角三角形的三边度量关系.尽管(２)和(３)式均内含了直角三角形(ＣＤ＝０)的特例ꎬ但 ʃ 运算的差异使两式不能统一.千余年后有了三角函数ꎬ才使(２)和(３)式统一.但现行的余弦定理超越了长度定理范畴[３].回到长度定理范畴来思考ꎬ从数学美的视角来看ꎬ余弦定理原型由于存在面积修正项 ꎬ使(２)(３)两式的美感度与二次三项等式的勾股定理之简洁美对称美相比存在明显的差距ꎬ尤其是两式不能合一的问题对数学追求统一美而言是个遗憾.联想到一个圆锥曲线方程能融合三种相异的圆锥曲线[４]ꎬ故从类比思维来考量以上遗憾时ꎬ就会让人萌发出去寻找一个能融合(１)(２)(３)式的尝试.具体思路是以勾股定理为范式ꎬ选择合适的第四长度参数ꎬ用面积修正系数替代面积修正项 ꎬ建立适于任意三角形三边间的度量关系式.所幸的是斯图尔特定理为此提供了现成的平台.１７４５年苏格兰人斯图尔特(Ｍ.Ｓｔｅｗａｒｔ)推出了斯图尔特定理[４]:图２中由三角形顶点Ｃ任意引一条切氏线(Ｃｅｖｉａｎ)ＣＤ交对边ＡＢ于Ｄ点ꎬ则有下列等式成立:ＡＤＢＣ２＋ＢＤＡＣ２＝ＡＢＣＤ２＋ＡＢＢＤＡＤ.(４)此公式可用余弦定理原型推出.它将原三角形线间二维关系升格为三维关系等式ꎬ蕴含丰富内容ꎬ成为导出多个几何公式的公用平台[５].㊀图２如图２中切氏线ＣＤ是ＡＢ边的中线ꎬ其长记为ｍｃꎬ用ＡＤ＝ＢＤ＝ｃ２ꎬ代入(４)式ꎬ整理后就是中线公式:ａ２＋ｂ２＝ｃ２２＋２ｍ２ｃ.(５)现改写为如下系数式 :ａ２＋ｂ２＝１２＋２ｍｃＣ()２[] ｃ２.(６)令β＝１２＋２ｍｃＣ()２ꎬβ是线段商ｍｃＣ的函数ꎬ是无因次系数ꎬ代入(６)即为:ａ２＋ｂ２＝βｃ２.(Ⅰ)这是个以勾股定理为范式的表达式.对照余弦定理原型(２)(３)两式ꎬ(Ⅰ)式取消了面积修正项 ʃ２ａＣＤ ꎬ而用面积修正系数 β来建立一个二次三项等式.式(Ⅰ)的几何意义是:三角形的任两条边的平方和等于第三条边的平方乘面积修正系数 βꎬβ＝１２＋２ｍｃＣ()２ꎬ其中Ｃ是第三边边长ꎬｍｃ为第三边之中线长.㊀图３现对面积修正系数 β做进一步的分析.见图３ꎬＡＢ为三个三角形的公共底边ꎬ以ＡＢ为直径(ＡＢ＝Ｃ＝２ｒ)作圆Ｏꎬ从各三角形顶点作底边之中线ｍ１ꎬｍ２ꎬｍ３.１.顶点Ｃ１在圆外ꎬ所以øＣ１是锐角ꎬәＡＣ１Ｂ中Ｃ边上中线大于圆半径ｒꎬ即ｍ１>Ｃ２ꎬ故β１＝１２＋２ｍ１Ｃ()２>１.因此ꎬ当ＡＣ１和ＢＣ１两边夹角为锐角时ꎬ对边的面积修正系数β１的值域为:(１ꎬ＋ɕ)ꎬ即ＡＣ２１＋ＢＣ２１>ＡＢ２.２.顶点Ｃ２在圆上ꎬ所以øＣ２是直角ꎬәＡＣ２Ｂ中Ｃ边上中线等于圆半径ｒꎬ即ｍ２＝Ｃ２ꎬ故β２＝１２＋２ｍ２Ｃ()２＝１.因此ꎬ当ＡＣ２和ＢＣ２两边夹角为直角时ꎬ对边的面积修正系数β２ʉ１ꎬ即ＡＣ２２＋ＢＣ２２＝ＡＢ２.３.顶点Ｃ３在圆内ꎬ所以øＣ３是钝角ꎬәＡＣ３Ｂ中Ｃ边上中线小于圆半径ｒꎬ即ｍ３<Ｃ２ꎬ故β３＝１２＋２ｍ３Ｃ()２<１.因㊀㊀㊀１３５㊀数学学习与研究㊀２０１９４此ꎬ当ＡＣ３和ＢＣ３两边夹角为钝角时ꎬ对边的面积修正系数β３的值域为:１２ꎬ１()ꎬ即ＡＣ２３＋ＢＣ２３<ＡＢ２.综合以上三种情况可知ꎬ式(Ⅰ)包容了三种三角形的情况ꎬ因此ꎬ它是适于任意三角形三边间度量关系的统一表达式ꎬ其面积修正系数β的值域为１２ꎬ＋ɕ().式(Ⅰ)具有简洁美ꎬ对称美ꎬ并将(１)(２)(３)式融成一式而具有了统一美 .三角形有三条中线ꎬ由式(５)可写出三个等式ꎬ进而可得到下式:３(ａ２＋ｂ２＋ｃ２)＝４(ｍ２ａ＋ｍ２ｂ＋ｍ２ｃ).(７)这是三角形三边与三中线间的度量关系式ꎬ也是个美而有趣的长度公式.有了(Ⅰ)式之后ꎬ就会诱使人们去寻找下面的表达式ꎬ如ꎬａ２＋ｂ２＝ｃ２(Ⅱ)和ａ２＋δｂ２＝ｃ２ꎬ(Ⅲ)(ｃȡａꎬｂ)以上两式也是以勾股定理为范式的二次三项式.γ和δ均是面积修正系数ꎬ与式(Ⅰ)不同的是在等号左边仅对某边面积进行修正ꎬ这样从等式结构上看ꎬｃ边不应该比ａꎬｂ短ꎬ故设条件ｃȡａꎬｂꎬ这与勾股定理中三边长度关系是相近的.现关键是要寻找合适的第四长度参数ꎬ才能得到γ和δ系数.现再次让斯图尔特定理中的切氏线担当此任.见图２ꎬ设切氏线的Ｄ点是ＢＣ边之垂直平分线与ＡＢ边的交点.这样әＢＣＤ是个等腰三角形ꎬ切氏线ＣＤ是等腰三角形的一条等腰ꎬ它位于三角形内ꎬ故命其内等腰 .将ＣＤ＝ＢＤ＝ｄꎬＡＤ＝ｃ－ｄ代入斯图尔特公式(４)ꎬ整理后有ｃ－ｄｄ()ａ２＋ｂ２＝ｃ２.(８)令γ＝ｃ－ｄｄ()ꎬγ是个线段商㊁无因次系数ꎬ其中ｄ＝ｃａ２ｃ２＋ａ２－ｂ２.所以上式就可写成:γａ２＋ｂ２＝ｃ２.(Ⅱ)该式的几何意义是:三角形一短边ａ的平方乘面积修正系数γ后与另一短边的平方之和等于长边的平方ꎻ面积修正系数γ＝ｃ－ｄｄ()ꎬ其中ｃ是长边ꎬｄ是以ａ边为底的等腰三角形的内等腰.现对面积修正系数γ做进一步分析ꎬ参见图２:１.当内等腰ｄ<ｃ２时ꎬγ>１ꎬ由(Ⅱ)式可知此时三角形三边有不等式ａ２＋ｂ２<ｃ２成立ꎬ所以此时ａꎬｂ两边所夹的角为钝角ꎬ对应γ的值域为(１ꎬ＋ɕ).２.当内等腰ｄ＝ｃ２时ꎬγ＝１ꎬ由(Ⅱ)式可知此时三角形三边有等式ａ２＋ｂ２＝ｃ２ꎬ所以此时ａꎬｂ两边所夹的角为直角ꎬγʉ１.３.当内等腰ｄ>ｃ２时ꎬγ<１ꎬ由(Ⅱ)式可知此时三角形三边有不等式ａ２＋ｂ２>ｃ２成立ꎬ所以此时ａꎬｂ两边所夹的角为锐角ꎬ对应γ的值域为[０ꎬ１).其中γ＝０是当ｄ＝ｃ＝ｂ时的特例ꎬ此时Ｄ点与Ａ点重合ꎬәＡＢＣ是以ＢＣ为底的等腰三角形.通过对面积修正系数γ的分析可知ꎬ(Ⅱ)式与(Ⅰ)式一样均适用于各种三角形.㊀图４同理按(Ⅱ)式可推导(Ⅲ)式.见图４ꎬ让切氏线ＣＥ成为以ＡＣ为底的等腰三角形的内等腰ꎬ以ＣＥ＝ＡＥ＝ｅꎬＢＥ＝ｃ－ｅ代入(４)式就得:ａ２＋ｃ－ｅｅ()ｂ２＝ｃ２.(９)令δ＝ｃ－ｅｅ()ꎬ其中ｅ＝ｃｂ２ｃ２－ａ２＋ｂ２.于是就有ａ２＋δｂ２＝ｃ２.(Ⅲ)从图４可见ꎬ在一个三角形中可同时作两条内等腰线ｄ和ｅꎬ故(Ⅱ)(Ⅲ)式同时成立ꎬ再两式两边相加ꎬ就得γ＋１２()ａ２＋δ＋１２()ｂ２＝ｃ２.(Ⅳ)此式也是以勾股定理为范式的ꎬ其意义是分别对两短边的面积进行修正ꎬ其和与长边的面积相等.其表达式具和谐美 .从图４还可见当ｃ>ｄ＋ｅ时ꎬｃ边的对角为钝角ꎻ当ｄ＝ｅ＝ｃ２ꎬｃ＝ｄ＋ｅ时ꎬｃ边的对角为直角ꎻ当ｃ<ｄ＋ｅ时ꎬｃ边的对角为锐角.当ｃ＝ｄ＝ｅ时ꎬ三角形为等边三角形.当用(８)(９)两式两边相加并简化为一次式后可得下式ꎻａａ２ｄ()＋ｂｂ２ｅ()＝ｃ.(１０)它就是三角形射影定理(图４):ａｃｏｓＢ＋ｂｃｏｓＡ＝ｃ的纯长度表达式.由(１０)式还可得到一个由两内等腰线和三边共五元素组成的三维等式:ｅａ２＋ｄｂ２＝２ｃｄｅ.(１１)此式显然带有斯图尔特定理的三维等式基因ꎬ它具有神奇美 .至此ꎬ本文在长度定理范畴内ꎬ用斯图尔特定理为平台以勾股定理为范式ꎬ找到了几则适于任意三角形的三边度量关系式ꎬ为丰富三角形长度定理作了尝试ꎬ感悟数学美.ʌ参考文献ɔ[１]欧几里得.几何原本[Ｊ].兰纪正ꎬ朱恩宽ꎬ译.梁宗巨ꎬ等ꎬ校订.南京:译林出版社ꎬ２０１１.[２]马奥尔.勾股定理:悠悠４０００年的故事[Ｍ].冯速ꎬ译.北京:人民邮电出版社ꎬ２００６.[３]李海东.陈省生先生访谈录[Ｊ].数学通报ꎬ２００５(３):１－３.[４]吴振奎ꎬ吴旻.数学中的美[Ｍ].上海:上海教育出版社ꎬ２００２.[５]吴振奎ꎬ吴旻.数学的创造[Ｊ].哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社ꎬ２０１１.。

勾股定理教学文档

2. 如图,池塘边有两点A、B,点C是
与BA方向成直角的AC方向上一点,测得CB=60m, AC =20m.你能求出A、B 两点间的距离吗(结果保留整数)?
A B
C
小结
内容总结：探索直角三角形两直角边
的平方和等于斜边的平方；利用勾股定理解决实际问题。
方法总结：用直角三角形三边表示三
个正方形面积——观察归纳发现勾股定理——任意画一个直角三角形，再验证自己的发现。
勾股定理（gou-gu theorem)
如果直角三角形的两直角边长分别为a、b, 股b 弦斜边长为c,那么:
c
a2 b2 c2
勾a
刚才证明勾股定理的方法，
是我国数学家赵爽早在公元3世纪使用的，证明这个定理的图形叫做 “ 弦图 ” 。 2002 年，世界数学家大会在北京召开，大
在西方，希腊数学家欧几里德（Euclid，公元前三百年左右）在编著《几何原本》时，认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的，所以他就把这个定理称为“毕达哥拉斯定理”，以后就流传开了。
毕达哥拉斯（Pythagoras）是古希腊数学家，他是公元前五世纪的人，比商高晚出生五百多年。
相传，毕达哥拉斯学派找到了勾股定理的证明后，欣喜若狂，杀了一百头牛祭神，由此，又有“百牛定理”之称。
以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和,等于以斜边为边长的正方形的面积.
即
在等腰直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方.
一起探究
等腰直角三角形三边之间有上述性质,那么其他的直角三角形三边是否也具有上述性质呢?
请用网格纸动手画一画,量一量,和同桌交流想法.
做一做
你是怎样得

斯特瓦尔特公式

斯特瓦尔特公式斯特瓦尔特（Stewart）公式是一个在平面几何中用于求解三角形边长和角度关系的重要公式。

这公式可能对于很多同学来说，初接触时会觉得有些头疼，但其实它就像一个藏着宝藏的神秘盒子，只要掌握了打开的方法，就能收获满满的知识惊喜。

我还记得当年我在学习这个公式的时候，发生了一件特别有趣的事儿。

那时候，我们的数学老师在课堂上讲这个公式，大家都是一脸懵的状态。

我当时就在心里犯嘀咕：“这都是啥呀，怎么这么复杂！”下课后，我和几个同学凑在一起讨论，试图弄明白这个公式。

我们在草稿纸上不停地画图、推导，可还是感觉像是在迷雾中摸索。

其中有个同学叫小李，他特别较真儿，非要把这个公式搞明白不可。

我们其他人都有点想放弃了，他还在那儿埋头苦算。

后来，经过我们一下午的努力，终于好像有点眉目了。

就在那个瞬间，突然有一种豁然开朗的感觉，就好像在黑暗的房间里突然打开了一盏明灯。

那咱们先来说说斯特瓦尔特公式到底是啥。

它的表达式为：若在△ABC 中，D 是 BC 边上一点，且 BD=p，DC=q，AD=m，∠BDA=α，∠ADC=β（α+β=π），则 m^2 = p^2×q^2 + pq - p×AB^2 - q×AC^2 。

看起来是不是有点复杂？别担心，咱们来一步步拆解。

这个公式在解决一些特定的三角形问题时，有着意想不到的妙处。

比如说，当我们已知三角形的一些边长和角度，要求另外的边长或者角度时，它就能派上大用场。

举个例子，如果在一个三角形中，我们知道 BC 边上一点 D 将 BC分成了两段，长度分别是 p 和 q，同时知道 AD 的长度 m，以及∠BDA 和∠ADC 的大小，那么通过斯特瓦尔特公式，就能轻松算出三角形另外两边 AB 和 AC 的长度。

再深入想想，斯特瓦尔特公式其实也是我们之前学过的三角形余弦定理的一种拓展和延伸。

它把三角形中边与边之间的关系更加细化和精确化了。

在实际应用中，斯特瓦尔特公式可以帮助我们解决很多生活中的问题呢。

勾股定理定理

勾股定理定理
勾股定理，又称毕达哥拉斯定理，是数学中的一条重要定理，它表明在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。

这个定理由古希腊数学家毕达哥拉斯发现，被认为是古希腊数学中最重要的发现之一，对于后来的数学和科学发展产生了深远的影响。

在中国，勾股定理的发现也有着悠久的历史。

早在商周时期，古人就已经掌握了勾股定理的方法，但直到宋代，才由数学家李冶正式写成《海岛算经》中的一章，将勾股定理的证明方法系统化、完善化。

此后，勾股定理在中国数学中得到了广泛的应用，成为了数学教育中必不可少的一部分。

勾股定理的证明方法有很多种，其中最著名的是欧几里得证明法。

欧几里得证明法是将直角三角形的三边平方之和表示为两个完全平方数之差的形式，然后利用数学归纳法证明，从而得出勾股定理的结论。

这种证明方法简洁明了，易于理解，成为了勾股定理证明的经典方法之一。

除了数学中的应用，勾股定理在物理学、工程学、计算机科学等领域中也有着广泛的应用。

例如在物理学中，勾股定理被用来计算物体的速度、加速度等物理量；在工程学中，勾股定理被用来计算建筑物的结构稳定性等问题；在计算机科学中，勾股定理被用来计算图形的距离和角度等等。

总之，勾股定理是数学中的一条重要定理，不仅有着悠久的历史和丰富的证明方法，而且在各个领域中都有着广泛的应用。

它的
发现和研究不仅是古代数学家的杰作，也是现代数学和科学发展的重要里程碑。

新人教版八年级数学下册《十七章勾股定理 17.2 勾股定理的逆定理勾股定理及其逆定理的综合应用》课件_4

虽然两者尚不可同日而语但探索和发现——终有价值
也许就在身边也许就在眼前还隐藏着无穷的“万有引力定律”和“勾股定理”…… 祝愿同学们—— 修得一个用数学思维思考世界的头脑练就一双用数学视角观察世界的眼睛开启新的探索—— 发现平凡中的不平凡之谜……
13
你是怎样得到表中的结果的？与同伴交流交流．
C A
B
图1-2
C A
B
图1-3
活动三：猜想命题
直角三角形三边之间的数量关系?
如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么
a2 b2 c2
A
bc
请大家画一个任意的直角三角形，量一量，算一算。
Ca B
1、拿出准备好的四个全等的直角三角形（设直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边c）； 2、你能用这四个直角三角形拼成一个正方形吗？拼一拼试试看
图1-2
C A
B
图1-3
做一做
观察右边两个图并填写下表：
A的面积 B的面积 C的面积
图1-2 16
9
25
图1-3 4
9
13
你是怎样得到表中的结果的？与同伴交流交流．
C A
B
图1-2
C A
B
图1-3
做一做
观察右边两个图并填写下表：
A的面积 B的面积 C的面积
图1-2 16
9
25
图1-3
4
9
解：由勾股定理知
B
AB²=BC²+AC², 即 AB²=6²+2.5²，
AB=6.5
所以消防队员能进入三楼灭火。
A
C
1
1
美丽的勾股树

勾股定理相关内容

勾股定理相关内容
勾股定理，又称毕达哥拉斯定理，是指在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。

勾股定理的数学表达式为：a² +
b² = c²，其中a和b为直角边的长度，c为斜边的长度。

勾股定理是古希腊数学家毕达哥拉斯提出的，他最初是利用勾股定理来解决土地测量问题的。

勾股定理在数学和几何学中有着广泛的应用。

勾股定理可以解决以下类型的问题：
1. 已知两条直角边的长度，求斜边的长度；
2. 已知一条直角边和斜边的长度，求另一条直角边的长度；
3. 给定一个直角三角形，求它的内角的度数。

勾股定理的应用不仅限于直角三角形，还可以推广到非直角三角形、多边形等图形中。

在解决问题时，可以利用勾股定理或其推广形式来求解边长、角度、面积等相关数值。

另外，勾股定理还与平方数有着关联。

根据勾股定理的数学表达式，如果a、b、c都是整数，并且满足a²+ b²= c²，那么a、b、c构成一个勾股数。

例如，3、4、5就是一个勾股数，因为
3² + 4² = 5²。

总之，勾股定理是解决直角三角形问题的重要工具，它在数学和实际生活中都有着广泛的应用。

勾股定理解决测量问题的数学法则

勾股定理解决测量问题的数学法则勾股定理，即勾三股四弦五，在众多的数学法则中具有重要意义。

勾股定理的应用范围广泛，其中之一就是解决测量问题。

在测量过程中，我们常常需要确定角度、边长等参数，而勾股定理正是帮助我们完成这些计算的有力工具。

一、勾股定理的基本原理勾股定理源于古希腊数学家毕达哥拉斯的研究成果，其基本原理如下：在直角三角形中，直角边的平方等于另外两个边平方之和。

即对于任意直角三角形ABC，若角C为直角，则AB² = AC² + BC²。

利用勾股定理可以解决测量问题，例如在三角形中已知两条边的长度，可以通过勾股定理计算出第三条边的长度，从而实现测量目的。

二、测量角度问题的解决除了测量边长外，勾股定理也可用于测量角度。

在几何测量中，角度的准确测量对于建筑、地理、物理等领域都至关重要。

例如，在地理测量中，我们常常需要测量两地之间的夹角。

通过勾股定理，我们可以利用已知的边长计算出两条边之间的角度。

首先，确定两地之间的直角三角形，然后根据已知的边长代入勾股定理，求解出角度。

同样地，在建筑设计中，测量室内墙壁之间的角度也是一项常见任务。

我们可以使用勾股定理计算出墙壁之间的夹角，从而确保设计的精准性。

三、测量距离问题的解决勾股定理还可以用于解决测量距离的问题。

例如，在现实生活中，我们经常需要测量不可直接测量的距离，如高楼之间的距离、河流的宽度等。

通过勾股定理，我们可以利用已知的边长计算出无法直接测量的距离。

以测量高楼之间的距离为例，我们可以选择一个平坦的区域，测量出两座高楼之间的直角三角形的两条边长，然后代入勾股定理求解出距离。

四、测量问题实例分析为了更好地理解勾股定理解决测量问题的数学法则，我们以一个实际问题为例进行分析。

假设我们想测量一座高楼的高度，但无法直接量取。

我们选择一个平坦区域，并在该区域上标出一个已知长度的基线AB，并建立垂直于基线的直角坐标系。

接下来，我们观察高楼顶部和基线AB构成的直角三角形。

勾股定理与几何中的其他定理的关系

勾股定理与几何中的其他定理的关系勾股定理是数学中的一项重要定理，它描述了直角三角形之间的关系。

然而，这个定理与几何学中的其他定理之间也存在着一些有趣的关联。

本文将探讨勾股定理与几何中的其他定理之间的联系，并分析它们在解决实际问题中的应用。

勾股定理，也称为毕达哥拉斯定理，由古希腊数学家毕达哥拉斯提出。

它表述为：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

即在一个直角三角形中，设直角边分别为a和b，斜边为c，则有a^2 + b^2 = c^2。

首先，勾股定理与勾股数的概念相关联。

勾股数是指满足a、b、c 为正整数，并且a^2 + b^2 = c^2的三元组(a, b, c)。

例如，常见的勾股数有(3, 4, 5)和(5, 12, 13)。

勾股定理揭示了勾股数的存在，并且可以用来构造新的勾股数。

其次，勾股定理与正弦定理和余弦定理之间存在着联系。

正弦定理用于解决任意三角形中的边与角之间的关系，它表述为：在一个三角形ABC中，设三边的长度分别为a、b、c，对应的内角为A、B、C，则有a/sin A = b/sin B = c/sin C。

在直角三角形中，可以通过勾股定理与正弦定理相结合，来求解未知边长和角度。

此外，余弦定理也与勾股定理密切相关。

余弦定理用于计算三角形中两边和夹角之间的关系，它表述为：在一个三角形ABC中，设三边的长度分别为a、b、c，对应的夹角为A、B、C，则有c^2 = a^2 + b^2- 2abcos C。

在直角三角形中，夹角C为90度，cos C等于0，所以余弦定理可以简化为勾股定理。

勾股定理在几何中有着广泛的应用。

例如，在测量地理距离时，可以利用勾股定理来计算两地之间的直线距离。

在建筑设计中，利用勾股定理可以确定两栋建筑物之间的最短路径。

而在三维几何中，勾股定理的推广形式被应用于计算空间中的距离和角度。

综上所述，勾股定理与几何中的其他定理之间存在着紧密的联系。

它们相辅相成，共同构成了几何学的基础。

勾股定律的故事

勾股定律是一个数学定理，它描述了直角三角形中三条边之间的关系。

具体来说，如果一个直角三角形的两条直角边分别为a和b,斜边的长度为c,那么有a2+b2=c2。

勾股定律的故事可以追溯到公元前6世纪的古希腊。

据说，有一个叫做毕达哥拉斯的哲学家，他发现了勾股定律，并用它来解释自然现象。

毕达哥拉斯学派认为，宇宙受数学规律所控制的，因此勾股定律被认为是宇宙中最基本的数学原理之一。

勾股定律在数学、物理、工程等领域中有着广泛的应用。

例如，在建筑设计中，勾股定律可以用来计算建筑物的稳定性;在物理学中，勾股定律可以用来描述质点的运动规律。

人教版八年级数学下册第十七章《勾股定理》公开课课件 (2)

两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派也发现了勾股定理，因此在国外称该定理为毕达哥拉斯定理. 1955年，希腊曾经发行了一枚邮票以示纪念.
探究——交流——类比
任务2.如图所示邮票中的图案是分别以直角
三角形的各边为一边向三角形外部作正方形而构成的.通过对各个正方形小方格数（面积)之间数量关系的探究,请和同学们交流,说说是否满足勾股定理?(每一个小方格的面积均看作1)
拼图——验证——抽象
任务1：先思考，再计算填表：
操作: 小组合作，
用四张全等的直角三角
形纸片围拼成一个以斜
边为边的正方形.（不能
重叠，允许有空隙）
5
25
弦
图
a2+b2
观察——发现——归纳
伟大的发现源于深入的思考！
勾股定理:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
阅读——熏陶——励志
我国古代把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为 “股”，斜边称为“弦”. 据《周髀算经》记载,三千多年前就发现了“勾三股四弦五”的结论.
整理——反思——提升
1.本课研究对象是什么？我们是如何来研究的？你觉得还可以进一步研究勾股定理哪些方面zxxkw 的内容？
2.本课中,你感受到或给你印象比较深的有哪些数学思想与方法？
回顾——概括——收获
学习路线图
编唱——寓乐——情操
勾股之歌
词：郦兴江曲、唱：多才多艺的同学们
学习勾股大定理，寻觅追踪直角形；面积分割又巧补，探究三边导关系；构建弦图巧得证，方法思路人叹绝；联想类比和转化，数形结合显威力；方程建模细分类，数学思想来引领；究竟勾股多少事，快乐学习无止境！快乐学习呀无呀无止境～～无止境!嗨！

17.1勾股定理教案人教版八年级数学下册

17.1勾股定理教案人教版八年级数学下册一、教学目标（1）理解并掌握勾股定理，能运用勾股定理根据直角三角形的两边求第三边，并能解决简单的实际问题。

（2）让学生通过“观察——猜想——归纳——验证”一系列过程掌握勾股定理，体会数形结合和从特殊到一般的思想（3）通过对勾股定理历史的了解，让学生感受数学文化，激发学习兴趣，在探究活动中培养学生探索能力和归纳总结能力二、教学重、难点教学重点：探索勾股定理，在直角三角形中能利用两边求第三边。

教学难点：利用勾股定理求直角三角形的边长三、教学过程从特殊到一般活动一：（1）观察图并让学生尝试将观察的结果用文字和式子总结出来。

（2）再让同学们观察图完成填空弦勾 a 股b c归纳结论通过上面的观察和探究同学们可以发现：如果直角三角形两直角边分别是a 、b ，斜边是c ，那么就一定有a 2+b 2=c 2（由于中国在公元前1120年的商高就提出了“勾广三，股修四，径隅五”所以这三边关系又叫勾股定理,让学生感受到中国数学文化的博大精深和民族自豪感）勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。

（同时介绍一下，在外国普遍认为是毕达哥拉斯学派首先发现，所以又叫毕达哥拉斯定理）（让学生对照图形熟记勾股定理）从勾股定理中可以发现在直角三角形中已知任意两条边的长度，就能计算出第三边的长度因此我们的勾股定理又可以变形出以下式子：a 2+b 2=c 2 a 2=c 2－b 2b 2 =c 2-a 2正方形Q 中含有个小方格，即Q 的面积是个单位面积。

正方形P 的面积是个单位面积。

正方形R 的面积是个单位面积注：大正方形R 的面积是如何求得的？勾股定理的应用练习：如图，在RtABC 三角形中， ∠C = 90°（1）已知a =5， b =12，求c（2）已知a=6,c=10, 求b（2）已知a = 7，c = 25，求b(设计意图：让学生通过这个练习题加深学生对勾股定理的理解) 当堂练习1.勾股定理的内容是：2.一个正方形的面积是25，则它的对角线长为3.一个直角三角形的三边长分别是6、8、x,则x=4.求未知边x 的长度：5.一个矩形的周长是14，长为4，则它的对角线的长为。

§2 广勾股定理及斯特瓦尔特定理及海伦公式证明

§2 广勾股定理及斯特瓦尔特定理一、广勾股定理勾股定理反映了直角三角形三边之间的度量关系，即“斜边的平方等于两直角边的平方之和”．如果不是直角三角形，而是锐角或钝角三角形，那么它们的三边之间存在怎样的度量关系呢？这就涉及到广勾股定理了．广勾股定理：在任一三角形中，(1)锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍．(2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍．证明(1)设△ABC中，AC是锐角B的对边(图2－4)．作BH⊥AC于H，因为AB2=BH2+AH2，BC 2=BH 2＋CH 2，所以，BC 2-AB 2=CH 2-AH 2．∴BC 2=AB 2+CH 2-AH 2． (1)但是CH 2=(AC －AH)2=AC 2-2AC ·AH+AH 2． (2)将(2)代入(1)就得到BC 2=AB 2＋AC 2-2AC ·AH ．(当H 在AC 边的延长线上时，结论是一样的．)(2)设在△ABC 中，BC 是钝角A 的对边(图2－5)．作BH ⊥CA 于H ， A B C H图2-4则 BC2＝CH2+BH2．AB2=AH2+BH2．∴BC2＝AB2+CH2-AH2． (1)但是CH2=(AC+AH)2=AC2＋2AC·AH＋AH2．(2)将(2)代入(1)就得到BC2=AB2＋AC2＋2AC·AH．由勾股定理和广勾股定理可以得到如下结论：三角形的一角是锐角、直角或钝角时，它的对边的平方比其他两边的平方和较小、相等或较大，并且其逆命题也成立．二、斯特瓦尔特(stewart)定理设已知△ABC及其底边上B、C两点间的一点D，则有AB2·DC+AC2·BD-AD2·BC＝BC·DC·BD．证明在图2－6中，作AH⊥BC于H．为了明确起见，设H和C在点D的同侧，那么由广勾股定理有AC2=AD2＋DC2-2DC·DH，(1)AB2=AD2+BD2+2BD·DH． (2)用BD乘(1)式两边得AC2·BD=AD2·BD+DC2·BD-2DC·DH·BD，(1)′用DC乘(2)式两边得AD2·DC=AD2·DC＋BD2·DC＋2BD·DH·DC．(2)′由(1)′+(2)′得到AC2·BD+AB2·DC=AD2(BD＋DC)+DC2·BD＋BD2·DC而AD2(BD＋DC)+DC2·BD＋BD2·DC=AD2·BC+BD·DC·BC．∴AB2·DC＋AC2·BD-AD2·BC=BC·DC·BD．三、三角形中几条重要线段的计算(一)已知△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB=c，ma，mb，mc分别表示BC、AC、AB边上的中线，求m a，m b，m c．解在图2－7中，设D是BC边的中点，AD＝ma，代入斯特瓦尔特定理之关系式则有(二)设AD=ta为△ABC中角A的平分线(图2－8)．AB＝c，AC＝b，BC=a，求ta．解∵AD是∠A的平分线，将BD、CD之值代入斯特瓦尔特定理之关系式，则有(t b、t c分别是△ABC中∠B、∠C的角平分线之长．)(三)设△ABC中，h a是BC边上的高线，求h a 和△ABC的面积．解：设图2－9中，AD⊥BC于D，AD=ha．由广勾股定理得b2=c2＋a2-2a·BD．消去BD，得同理：(h b、h c分别为AC、AB边上的高．)∴三角形ABC的面积：这个三角形的面积公式在我国叫三斜求积公式，国外叫做海伦公式．。

斯台沃特定理

斯台沃特定理1内容斯图尔特定理（或译作史都华定理、斯特瓦尔特定理、斯氏定理、斯坦沃特定理），又称为阿波罗尼奥斯定理：任意三角形ABC中，D是边BC上一点,连接AD，则设BC=a,AC=b,AB=c，BD=u,CD=v，AD=w，则另一种表达形式：即2证明过点A作AE⊥BC于E, 设DE = x（假设底边四点从左到右顺序为B、D、E、C）则 AE^2 = b^2 - (v-x)^2 = c^2 — (u+x）^2 = AD^2 - x^2若E在BC的延长线上，则v—x换成x—v所以有 AD^2 = b^2 — v^2 + 2vxAD^2 = c^2 - u^2 — 2ux1＊u式+2*v式得AD^2(u+v) = b^2u + c^2v — uv（u + v）故 AD^2 = (b^2u + c^2v)/a — uv1）当AD是△ABC中线时, u = v = 1/2a AD^2 = （b^2+c^2-(a^2)/2）/22)当AD是△ABC内角平分线时，由三角形内角平分线的性质, 得u = ac/(b+c），v =ab/（b+c）设s = （a+b+c）/2得 AD^2 = 4/(b+c)^2 *(bcs（s—a）)3)当AD是△ABC高时， AD^2 = b^2 — u^2 = c^2 — v^2再由 u+v = a得AD^2 = 1/4a^2（2a^2b^2 + 2b^2c^2 + 2c^2a^2 — a^4 — b^4 — c^4）证明方法2：不妨设角ADB=θ。

AD=t由余弦定理可得：c^2=t^2+u^2-2tu·cosθ ①b^2=t^2+v^2+2tv·cosθ ②①×v+②×u得：b^2u+c^2v=at^2+auv整理即可得：t^2=(b^2×u+c^2×v)/a—uv证毕3推广角平分线长定理已知AD为三角形ABC的角分线，则AD^2=AB·AC-DB·DC中线定理（pappus定理),又称阿波罗尼奥斯定理，是欧氏几何的定理，表述三角形三边和中线长度关系。

人教版八年级数学下册课件-17.1勾股定理

朱实 (1)已知, a=5 , b=12 .
（图中每个小方格代表一个单位面积）靠在一竖直的墙AO上,
bC
朱实朱实 a 两54千厘多米年,利前用，你古所希学腊的有知个识黄毕算达实一哥下拉电斯视学机派是，多他少们英首寸先的发?”现了勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定理。
那么 a=_____.
靠在一竖直的墙AO上,
求下列直角三角形中未知边的长:
斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此设：直角三角形的三边长分别是a、b、c
直角三角形三边有什么关系？
可用勾股定理建立方程.
年希腊曾经发行了一枚纪念票。
仔细观察
(1)已知, a=5 , b=12 . BC=__________
S正方形c
早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、
它们的面积和 : a2 b2
两千多年前，古希腊有个哥拉
猜想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
54厘米,利用你所学的知识算一下电视机是多少英寸的?”
年希腊曾经发行了一枚纪念票。
猜想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
AB=__________
直角三角形三边有什么关系？
(1)已知, a=5 , b=12 .
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 求下列图中表示边的未知数x、y、z的值.
2
B 图1-1称为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作法时给出的.
两千多年前，古希腊有个哥拉
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
C
两千多年前，古希腊有个哥拉
图2-1 P的面积 =______________

勾股定理培优题之欧阳道创编之欧阳道创编

勾股定理一、知识要点1、勾股定理勾股定理在西方又被称为毕达哥拉斯定理，它有着悠久的历史，蕴含着丰富的文化价值，勾股定理是数学史上的一个伟大的定理，在现实生活中有着广泛的应用，被人誉为“千古第一定理” .勾股定理反映了直角三角形（三边分别为a、b、c，其中c为斜边）的三边关系，即a2+b2=c2，它的变形式为c2-a2=b2或c2-b2=a2.勾股定理是平面几何中最重要的几何定理之一，在几何图形的计算和论证方面，有着重要的应用，它沟通了形与数，将几何论证转化为代数计算，是一种重要的数学方法.2、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，则这个三角形是以c为斜边的直角三角形.勾股定理的逆定理给出了判定一个三角形是直角三角形的方法，这种方法与前面学过的一些判定方法不同，它是通过代数运算“算”出来的，实际上利用计算证明几何问题在几何里也是很重要的，这是里体现了数学中的重要思想——数形结合思想，突破了利用角与角之间的转化计算直角的方法，建立了通过求边与边的关系来判断直角的新方法，它将数形之间的联系体现得淋漓尽致.因此也有人称勾股定理的逆定理为“数形结合的第一定理”.二、基本知识过关测试1.如果直角三角形的两边为3，4，则第三边a的值是.2.如图，图形A是以直角三角形直角边a为直径的半圆，阴影SA=.3.如图，有一个圆柱的高等于12cm，底面半径3cm，一只蚂蚁要从下底面上B点处爬至上底与B点相对的A点处，所需爬行的最短路程是.4.如图.在△ABC中，CD⊥AB于D，AB=5，CD=∠BCD=30°，则AC= .的线段.5.6.在下列各组数中①5，12，13 ；②7，24，25；③32，42，52；④3a，4a，5a；⑤a2+1，a2-1，2a(a＞1)；⑥m2-n2，2mn，m2+n2(m＞n＞0)可作直角三角形三边长的有组.7.如图，四边形ABCD中，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，AB⊥BC，则四边形ABCD的面积是 .第2题图第3题图第4题图第7题图8.如图，在正方形ABCD中，F为DC中点，E为BC上BC，试判断△ AEF的形状.一点，且EC=14三、综合.提高.创新【例1】（1）在三角形纸片ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=3，折叠该纸片，使点A与点B重合，折痕与AB、AC分别相交于点D和点E（如图），折痕DE的长是多少？（2）如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=10，按如图所示折叠，使点D落在BC上的点E处，求折痕AF的长.（3）如图，正三角形ABC的边长为2，M是AB边上的中点，P是BC边上任意一点，PA+PM的最大值和最小值分别记作S和T，求S2-T2的值.【练】如图，四边形ABCD是长方形，把△ACD沿AC 折叠到△ACD′，AD′与BC交于E，若AD=4，DC=3，求BE.【例2】（1）如图，△ABC中，∠C=60°，AB=70，AC=30，求BC的长.（2）如图，在四边形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=60°，∠B=∠D=90°，求四边形ABCD的面积.，求【练】如图，△ABC中，A=150°，AB=2，AC的长.【例3】（1）如图，△ABC中，AB=AC=20，BC=32，D 为BC上一点，AD⊥AB，求CD.（2）如图，在Rt △ABC中，∠C=90°，D、E分别是BC、AC中点，AD=5，BE=AB.【例4】如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，设AC=b，BC=a，AB=c，CD=h，求证：（1）222111a b h ；（2）a+b ＜c+h ；（3）以a+b ，h 和c+h 为边的三角形是直角三角形.【例5】（1）如图，ABCD 为矩形，P 为矩形ABCD 所在平面上一点，求证：PA2-PB2=PD2 -PC2.（2）锐角△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，若∠B=2∠C ，求证：AC 2=AB 2+AB·BC.变式：如图，AM 是△ABC 的BC 边上的中线，求证：AB 2+AC 2=2(AM 2+BM 2).（3）如图，△ABC 中，AB=AC ，P 为线段BC 上一动点，试猜想AB 2，AP2， PB ，PC 有何关系，并加以证明. 变式：若点P 在BC 的延长线上，如图，（3）中结论是否仍然成立？并证明.（4）在等腰Rt △ABC 的斜边AB 所在的直线上取点P 并设s =AP2+BP2，试探求P 点位置变化时，s 与2CP2的大小关系，并证明.变式：若点P 在BA 的延长线上，如图中，（4）中结论是否仍然成立？并证明.【例6】（1）如图，△ABC中，D为BC边上的中点，以D为顶点作∠EDF=90°，DE、DF分别交AB、AC于E、F，且BE2+FC2=EF2，求证：∠BAC=90°.（2）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，E，F分别是BC上两点，若∠EAF=45°，试推断BE，CF，EF之间的关系，并证明.变式一:将（2）中△AEF旋转至如图所示，上述结论是否仍然成立？试证明.变式二：如图，△AEF中∠EAF=45°，AG⊥EF于G，且GF=2，GE=3，求S△AEF.【例7】（1）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P为△ABC内一点，且PA=3，PB=1，PC=2，求∠BPC的度数.（2）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=CD，求证BD2=AB2+BC2.【例8】在等腰△ABC中，AB=AC，边AB绕点A逆时针旋转角度m，得到线段AD.（1）如图1，若∠BAC=30°，30°＜m＜80°，连接BD，请用含m的式子表示∠DBC;（2）如图2，若∠BAC=90°，0°＜m ＜360°，射线AD 与直线BC 相交于点E ，是否存在旋转角度m ，使2AEBE ，若存在，求出所有符合条件的m 的值；若不存在，请说明理由.【例9】（1）已知点P 在一、三象限的角平分线上，且点P 到点A （3，6）的距离为PA=15，求点P 的坐标；（2）已知直角坐标平面内的△ABC 三个顶点的坐标分别为A （-1，4），B （-4，-2），C （2，-2），试判断△ABC 的形状；（3221(3)4x 的最小值；（4）已知a ＞0，b ＞0，为三边长的三角形的面积.自我归纳：四、课后练习 1.如图，一艘货轮向正北方向航行，在点A 处测得灯塔M 在北偏西30°，货轮以每小时20海里的速度航行，1小时后到达B 处，测得灯塔M 在北偏西45°，问该货轮到达灯塔正东方向D 处时，货轮与灯塔M 的距离是多少？2.在△ABC中，A=30°，B=45°，BC=10cm，求AB，AC 及△ABC的面积.3.（1）如图，把长方形沿ABCD对角线折叠，重合部分为△EBD.1）求证和：△EBD为等腰三角形；2）若AB=2，BC=8，求AE.（2）如图，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边上，已知AB=8cm，CE=4cm，求AD.4．如图，△ABC是等腰三角形，∠BAC=90°，AB=AC，D.E.是BC上的两点，且∠DAE=45°，若BD=6，EC=8，求DE的长.5．如图，在等腰三角形中，AB=AC，D是斜边BC的中点，E 、F分别为AB，AC边上的点，且DE⊥DF.（1）求证：BE2+CF2=EF2；（2）若BE=12，CF=5，试求△DEF的面积.6．如图，等腰Rt△ABC中，∠A=90°，P为△ABC内一点，PA=1，PB=3，，求∠CPA.7．（1）如图1，已知点P是矩形ABCD内一点，求证：PA2+PC2=PB2+PD2.（2）①如果点P移动到矩形的一边或顶点时，如图2，（1）中结论仍成立；②如果点P移动到矩形ABCD的外部时，如图3，（1）中结论仍成立.请在以上两个结论中任选一个并给出证明.归纳结论：8．如图，△ABC中，AD是BC边的中点，AE是BC边上的高，求证：AB2-AC2=2BC·DE.922194x（）的最小值.10．试判断，三边长分别为2n2+2n，2n+1，2n2+2n+1（n>0）的三角形是否为直角三角形？11．已知a，b，x，y都为正数，2222()()b y a x y12．如图，Rt△ABC的两直角边AB=4，AC=3，△ABC 内有一点P，PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，且ABPF +ACPE+BCPD=12，求PD、PE、PF的长.。