【完整版】考研数学历年真题_数学二_真题答案解析_2017年考研数学二试题及答案解析

æ 4 1 -2 öæ1 ö æ1 ö æ1 ö æl ö ç ÷ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç 1 2 a ÷ç1 ÷ = l ç1 ÷ Þ ç 3 + 2a ÷ = ç l ÷ ç 3 1 -1 ÷ç 2 ÷ ç 2÷ ç 2 ÷ ç 2l ÷ è øè ø è ø è ø è ø
故 a = -1 .
( D) 当 lim( xn + sin xn ) = 0 时， lim xn = 0
n®¥
n®¥
【答案】D 【解析】特值法： （A）取 xn 取 xn
= p ，有 limsin xn = 0, lim xn = p ，A 错；
n®¥ n®¥
= -1，排除 B,C.所以选 D.
（4）微分方程的特解可设为
v(m / s )
）
10
20
0
5
10
15
20
25
30
t (s)
（ A ） t0
= 10
（B） 15 < t0
< 20
（ C） t0
= 25
（ D） t0
> 25
【答案】B
2
2
全国统一服务热线：400—668—2155
Born to win
【解析】从 0 到 t0 这段时间内甲乙的位移分别为
ò
t0
0
(11)
'
t =0
=-
1 8
ò
+¥
0
ln(1 + x) dx = _______ (1 + x) 2
【答案】1 【解析】
+¥
ò
0
ln(1 + x) 1 dx = - ò ln(1 + x)d 2 (1 + x) 1+ x 0 é ln(1 + x) = -ê ë 1+ x
+¥ +¥ 0 +¥
+¥
-
ò (1 + x)
（D） Axe2 x
【答案】A 【解析】特征方程为： l
2
- 4l + 8 = 0 Þ l1,2 = 2 ± 2i
* * ! f ( x) = e2 x (1 + cos 2 x) = e2 x + e2 x cos 2 x \ y1 = Ae2 x , y2 = xe2 x ( B cos 2 x + C sin 2 x),
（A） a1 + a 2 【答案】 B 【解析】 （ B） a 2
）
+ 2a 3 （C） a 2 + a3
（D） a1 + 2a 2
æ0 ö æ0 ö æ0 ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ -1 P AP = ç 1 ÷ Þ AP = P ç 1 ÷ Þ A(a1 , a 2 , a 3 ) = (a1 , a 2 , a 3 ) ç 1 ÷ = a 2 + 2a 3 , ç ç ç 2÷ 2÷ 2÷ è ø è ø è ø
d y '' 2 x '' x '' x '' = f11 e + f12 e (- sin x) + f 21 e (- sin x) + f 22 sin 2 x + f1'e x - f 2' cos x 2 dx d2y '' Þ 2 = f11 (1,1) + f1' (1,1) - f 2' (1,1) dx x =0
4
f x¢ = ye y , f y¢ = x(1 + y)e y , f ( x, y) = ò ye y dx =xye y + c( y), 故
全国统一服务热线：400—668—2155
4
Born to win
f y¢ = xe y + xye y + c¢( y) = xe y + xye y ，
因此 c¢( y ) = 0 ，即 c( y ) = C ，再由
f (0, 0) = 0 ，可得 f ( x, y) = xye y .
【答案】 【解析】 （13）
ò dy ò
0
1
tan x dx = ______ y x
1
【答案】 ln cos1 . 【解析】交换积分次序：
ò
1
0
dy ò
1 x tan x 1 tan x dx = ò dx ò dy = ò tan xdx = ln cos1 . y 0 0 0 x x 1
所以有 f (0,1) < f (1,1) < f (1, 0) ，故答案选 D.
（6）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方 10（单位：m）处，图中实线表示甲的速度曲线 v = v1 (t )（单 位： m / s ） ，虚线表示乙的速度曲线 v = v2 (t ) ，三块阴影部分面积的数值依次为 10,20,3，计时开始后乙追 上甲的时刻记为 t0 （单位：s） ，则（
全国统一服务热线：400—668—2155
(
1
精勤求学 自强不息
Born to win!
（A） Ae2 x （C） Ae2 x
+ e2 x ( B cos 2 x + C sin 2 x) + xe2 x ( B cos 2 x + C sin 2 x)
（B） Axe2 x
+ e2 x ( B cos 2 x + C sin 2 x) + e2 x ( B cos 2 x + C sin 2 x)
【答案】B 【解析】由
l E - A = 0 可知 A 的特征值为 2,2,1,
æ1 0 0ö ç ÷ 因为 3 - r (2 E - A) = 1，∴A 可相似对角化，即 A ~ 0 2 0 ç ÷ ç0 0 2÷ è ø
由
l E - B = 0 可知 B 特征值为 2,2,1.
因为 3 - r (2 E - B) = 2 ，∴B 不可相似对角化，显然 C 可相似对角化，∴ A ~ C ，但 B 不相似于 C.
x =0
d2y dx 2
'' = f11 (1,1), x =0
y = f (e x , cos x) Þ y (0) = f (1,1) Þ Þ dy dx
2 x =0
x =0
= ( f1'e x + f 2' ( - sin x ) )
x =0
= f1' (1,1) ×1 + f 2' (1,1) × 0 = f1' (1,1)
二、填空题：9-14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸 指定位置上. ．．．
全国统一服务热线：400—668—2155
(
3
精勤求学 自强不息
Born to win!
(9) 曲线 y = x ç1 + arcsin 【答案】 y = x + 2 【解析】
æ è
2ö ÷ 的斜渐近线方程为_______ xø
Born to win
2017 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 的，请将所选项前的字母填在答题纸 指定位置上. ．．．
ì1 - cos x ,x >0 ï （ 1） ）若函数 f ( x) = í 在 x = 0 处连续，则（ ax ïb, x £ 0 î
(A) ab =
）
1 2
(B) ab = -
1 2
(C) ab = 0
(D) ab = 2
【答案】A
1 x 1 - cos x 2 = 1 ,! f ( x) 在 x = 0 处连续\ 1 = b Þ ab = 1 . 选 A. 【解析】 lim = lim x ® 0+ x ®0+ ax ax 2a 2a 2
v1 (t)dt , ò v2 (t)dt , 则乙要追上甲，则
0
t0
ò
t0
0
v2 (t) - v1 (t)dt = 10 ，当 t0 = 25时满足，故选 C.
æ0 ö ç ÷ 则 -1 （ 7） 设 A 为三阶矩阵，P = (a1 , a 2 , a 3 ) 为可逆矩阵， 使得 P AP = （ A(a1 , a 2 , a3 ) = ç 1 ÷， ç ÷ 2ø è
é 4 1 -2 ù æ1ö ç ÷ （14）设矩阵 A = ê1 2 a ú 的一个特征向量为 1 ，则 a = _____ ç ÷ ê ú ç 2÷ ê ú ë 3 1 -1û è ø
【答案】-1
æ1 ö ç ÷ 【解析】设 a = 1 ，由题设知 Aa = la ，故 ç ÷ ç 2÷ è ø
1 8
dy dx dy cos t = cos t , = 1 + et Þ = dt dt dx 1 + et æ cos t ö ÷ t t d2y ç d2y 1 + et ø - sin t (1 + e ) - cos te Þ 2 =è = Þ 2 dx dx dx 2 (1 + et ) dt
（2）设二阶可导函数
f ( x) 满足 f (1) = f (-1) = 1, f (0) = -1且 f '' ( x) > 0 ，则（
）
( A) ò f ( x)dx > 0
-1 0
1
( B ) ò-1 f ( x)dx < 0 ( D ) ò-1 f ( x)dx < ò0 f ( x)dx
0 1
故特解为： y = y1 + y2 = Ae
* * *
2x
+ xe2 x ( B cos 2 x + C sin 2 x), 选 C.
（5）设
f ( x, y ) 具有一阶偏导数，且对任意的 ( x, y ) ，都有
¶f ( x, y) ¶f ( x, y) > 0, > 0 ，则 ¶x ¶y
（ A）
1
(C ) ò f ( x)dx > ò f ( x)dx
-1 0
1
【答案】B 【解析】
f ( x ) 为偶函数时满足题设条件，此时 ò f ( x)dx = ò f ( x)dx ，排除 C,D.
-1 0
0
1
取
1 1 2 2 f ( x) = 2 x 2 - 1满足条件，则 ò-1 f ( x)dx = ò-1 ( 2 x - 1) dx = - < 0 ，选 B. 3
x ®0
ò
0
ue du x
3 2
u
= lim
x ®0
xe x 3 x 2
1 2
=
2 3
dy （16） （本题满分 10 分）设函数 f (u, v) 具有 2 阶连续偏导数， y = f (e ,cos x) ，求 dx
x
d2y ， dx 2 x =0
x =0
【答案】 【解析】
dy dx
= f1' (1,1),
x
ò
x
0
x - tet dt = - ò
ue x +u du = ò
0
ue x +u du
全国统一服务热线：400—668—2155
(
5
精勤求学 自强不息
x x
Born to win!
ò 原式= lim
x ®0 x
0
ue x +u du x
3 2
= lim
x ®0
ex ò
0
ueu du x
3 2
= lim
（3）设数列
{xFra Baidu bibliotek } 收敛，则（
n®¥
）
( A) 当 limsin xn = 0 时， lim xn = 0
n®¥
( B ) 当 lim( xn + xn ) = 0 时， lim xn = 0
n®¥
n®¥
(C ) 当 lim( xn + xn 2 ) = 0 时， lim xn = 0
n ®¥
n®¥
f (0, 0) > f (1,1) （B） f (0, 0) < f (1,1) （C） f (0,1) > f (1, 0) （D） f (0,1) < f (1, 0)
【答案】C 【解析】
¶f ( x, y) ¶f ( x, y) > 0, < 0, Þ f ( x, y) 是关于 x 的单调递增函数，是关于 y 的单调递减函数， ¶x ¶y
0
1
2
ù dx ú û
=
(12) 设 函 数
ò (1 + x)
0
1
2
dx = 1.
f ( x, y ) 具 有 一 阶 连 续 偏 导 数 ， 且 df ( x, y) = ye y dx + x(1 + y)e y dy ， f (0, 0) = 0 ， 则
f ( x, y ) = ______
【答案】 xye y 【解析】
因此 B 正确。
é2 0 0ù é2 1 0ù é1 0 0 ù ê ú ê ú （8）设矩阵 A = 0 2 1 , B = 0 2 0 , C = ê0 2 0 ú ,则（ ） ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú 0 0 1 0 0 1 0 0 2 ë û ë û ë û
（A） A与C相似, B与C相似 （C） A与C不相似, B与C相似 （B） A与C相似, B与C不相似 （D） A与C不相似, B与C不相似
三、解答题：15—23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸 指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演 ．．． 算步骤.
ò （15） （本题满分 10 分）求极限 lim
x ® 0+
x
0
x - tet dt x3
【答案】
2 3
x 0
ò 【解析】 lim
x ®0
x - tet x
0 x
3
dt ，令 x - t = u ，则有
! lim
y 2 2 = lim(1 + arcsin ) = 1, lim ( y - x ) = lim x arcsin = 2, x ®¥ x ®¥ x ®¥ x x x \y = x+2
x ®¥
(10) 设函数 【答案】 【解析】
ì x = t + et d2y 确定，则 y = y ( x) 由参数方程 í = ______ 2 dx y = sin t î t =0