线面垂直的判定定理(公开课)
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立几9.4 线面垂直的判定定理ppt课件
例 1、过一点和已知平面垂直的直线只 有一条。
实例
m n
:
2、线面垂直的判定定理:
如果一条直线垂直于平面内的 两条相交直线，那么这条直线就垂 直于这个平面。
:
2、线面垂直的判定定理:
如果一条直线垂直于平面内的 两条相交直线，那么这条直线就垂 直于这个平面。
:
B
m
n
⑴
m
B
n
⑵
m Bn
⑶
:
B
m
n
⑷
2、 线面垂直的判定定理: 如果一条直 线垂直于平面内的两条相交直线，那么 这条直线就垂直于这个平面。
:
线线垂直 判定定理 线面垂直 定义
过一点和已知平面垂直的直线 只有一条。 如果两条直线同垂直于一个平面， 那么这两条直系平行。
:
B
m
n
g
⑴
B
mn g
m
⑵
⑶
⑷
:
例1 如果两条平行直线中的一条垂 直于一个平面，那么，另一条 也垂直于同一个平面。
知：如图a∥b，a⊥。 求证：b ⊥。
ab
m
n
:
例2 知: ∩=CD ，EA⊥ 于A， EB⊥ 于B，如下图。
求证：CD⊥AB。
E
BC
A
D
:
判断下列命题是否正确？
mB n
g
⑴
B
mn g
m Bn g
B
m
n
g
⑵
⑶
⑷
:
A
使AB=A’B
B
m gn
C
E
D
A’
:
因为 ⊥m且
A
AB=A’B
线面垂直的判定定理公开课9.15ppt课件
整理版课件
28
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线面垂直
整理版课件
23
例题示范,巩固新知
例1.在下图的长方体中，请列举与平面ABCD垂直的直线。并 说明这些直线有怎样的位置关系？
D′ A′
C′ B′
D
C
A
B
整理版课件
24
典型例题
例2 如图，已知 a//b,a，求证 b.
证明：在平面 内作
两条相交直线m，n．
a
因为直线 a，
根据直线与平面垂直的定义知 m am,an.
V
求 V证 B AC
练习2.如图,PA垂直于圆O所在面,AB
A
DC
P
是圆O的直径,C是圆周上一点,那么图
中有几个直角三角形?
B
答案：４个
O
B
A
C
课堂小结．
1．直线与平面垂直的定义 2．直线与平面垂直的判定定理
线线垂直
线面垂直
3．数学思想方法：转化的思想
空间问题
平面问题
“平面化”是解决立体几何问题的一般思路。
又因为 b//a
所以 bm,bn.
又 m ,n ,m ,n 是两条相交直线，
所以 b.
整理版课件
b
n
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例3.如图, M是菱形ABCD所在平面外一点,
满足MA=MC,求证:AC平面 BDM M
整理版课件
D
C
O
A
B
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巩固运用．
练习2 1.如 ,在 图三 V A 棱 中 B ,V C 锥 A V,A C B B
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直线与平面垂直的判定公开课课件
(1) 平面有两条直线 (2) 这两条直线要相交 (3) 平面外的直线要与这两条直线都垂直 你能根据刚才的分析归纳出直线与平面垂 直判定定理吗
二、 直线与平面垂直的判定定理： 一条直线与一个平面内的两条相交直线都 垂直，则该直线与此平面垂直。 一相交两垂直
m n m n lm ln
A
D
B
C
1.直线与平面垂直的定义，垂线、垂面、垂足的概念。
2.直线与平面垂直的判定：（三种方法）
（1）用定义：如果直线 l 与平面α内的任意一条直线都垂直，
就说直线 l 与平面α互相垂直。
（2）用直线与平面垂直的判定定理：
一条直线与一个平面内的两相交直线都垂直，则该 直线与此平面垂直。
（3）利用例5的结论：
（是）
15
探索新知： 利用定义，我们得到了判定线面垂直的最基 本方法，同时也得到了线面垂直的最基本的性质.
l l m, 任意 m .
但是，直接考察直线与平面内所有直线都 垂直是不可能的，这就有必要去寻找比定义法 更简捷、更可行的直线与平面垂直的方法!
探索新知：
顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将 翻折后的纸片竖起放置在桌面上（ BD、DC与桌面接触） 1.折痕AD与桌面垂直吗？ 2.如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？
A
C
做一 请同学们拿出一块三角形纸片， 做 想一 我们一起做一个试验：过三角形的 想
A
D
B
D
C
B
探索新知： 2.如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？
A
C
A
D
B
D
C
B
当且仅当折痕 AD 是 BC 边上的高时，AD 所在直线与桌面所在平面 垂直．
高中数学立体几何之线线垂直、线面垂直、面面垂直(公开课)(共16张PPT)
∵ OM是Rt△AOC斜边AC上的中线,∴ OM=
2 ∴ 由余弦定理可得：cos∠OEM= 4
1 AC=1， 2
【例2】四面体ABCD中,点O,E分别是BD,BC的中
A
点,CA=CB=CD=BD=2,AB=AD= 2 .
(3)求点E到平面ACD的距离.
（3）设点E到平面ACD的距离为h.∵ VE-ACD=VA-CDE
D1
A1
1 1
B1
C1
D
2
C
E B
A
例题讲解
实战演练
作业布置
【例1】如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,
点E是AB的中点. (1)求三棱锥D1-DCE的体积. 1 解：V= 3 · h·S△ECD
D1
A1
1
B1 D
2
C1
1 1 = 3· D1D · 2 S△ECD
∴ AE⊥A1D,
又∵ AD1∩AE=A,
D1 A1 D A
B1
C1
∴ A1D⊥平面AD1E,
D1E⊂平面AD1E,
C
E
B
∴ D1E⊥A1D.
例题讲解
实战演练
作业布置
【例2】如图,四面体ABCD中,点O,E分别
是BD,BC的中点,CA=CB=CD=BD=2,
AB=AD= 2 (1)求证:AO⊥平面BCD. (2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值. (3)求点E到平面ACD的距离.
A M O
(2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值. 解： (2)取AC的中点M，连接OM，ME，OE，
∵点O，E分别是BD，BC的中点
∴ OE
D E
直线与平面垂直的判定(优秀公开课)精品PPT课件
探究活动：请同学们拿出一块
三角形的纸片，做如图所示的
试验：
过△ABC的顶点A翻折纸片，
D
得到折痕AD，将翻折后的纸片
A
竖起放置在桌面上（BA D、DC
与桌面接触）.
(1)折痕AD与桌面垂直吗？
B
(2)如何翻折才能保证折痕AD
D
与桌面所在平面肯定垂直？
B
D
C
C
A
B
D
C
C
l
m
α
O
n
直线与平面垂直的判定定理：
例2.如图，已知a∥b、a⊥α.
ab
求证：b⊥α.
分析：垂直的定义可知，
直线a与这两条相交直线是垂直的，
又由b平行a，可证b与这两条相交
直线也垂直，从而可证直线与平面
垂直。
a
例2.如图，已知a∥b、a⊥α. 求证：b⊥α.
b n
m
证明: 在平面内作两条相交直线m,n.
⇔ l⊥PQ ⇔l⊥平面PAQ
练习：
1.如图,在三棱锥V-ABC中 ,VA＝VC,
AB＝BC,K是AC的中点. 求证：AC⊥平面VKB．
A
变式：
V
K
C B V
在练习1.中若E、F分别为AB、 BC 的中点，试判断EF与平面
A
VKB的位置关系．
K
E
C F
B
知识小结
1. 2. 3
作业
书本P67练习1， 书本P74 B组 第2题.
2.3.1直线与平面垂直的判定
1、教学目的
通过联系生活，使学生理解直线与平面垂直的定义， 通过折纸试验，使学生归纳和确认直线与平面垂直 的判定定理，并能简单应用定义和判定定理；
线面垂直的性质(公开课) - 副本
作业
必做题: 1)教材71页练习1，2. 2)创新方案41页通一类1. 选做题： 创新方案40页研一题.
B
E
A
C
F
D α
例题讲解
l1 a, 例2.如图， b 是两条相交直线， , l2 是 与 a, b 都垂直的两条直线，且直线 l3与l1 , l2 都相交，求证： 1 2.
l1 1 2 l3 a A b l2
分析法： 1 2
证明： a b A, 故设a与b确定的平面为 .
l1 a, l1 b; l2 a, l2 b
l1与l2垂直同一平面（ a与b构成的面 ）
l1 // l2
a ,b
l1 // l2 1 2.(两直线平行 ,同位角相等 )
l1 a, l1 b l1 .同理l2 .
各展其能
a b
图像语言：
α
合作探究
文字语言： 符号语言： a , b a // b.
2.运用这个性质关 键是要找到什么？
找到与 a, b都垂直的平面
a α
性质定理： 垂直于同一个平面的两条直线平行.
b
图像语言：
小试牛刀
例1.线段AB在平面α 的同侧，A、B到平 面α 的距离分别为3和5，则AB的中点到平 4 面α 的距离是
已知平面 交于l , CA 于点 A，CB 于点 B，a在平面 内，且 a AB. 求证： a // l.
C β B l A a α
分析法：a // l
a 面ABC ，l 面ABC
证明： AC , BC , l
a AC
a AC , a AB l AC , l BC AC AC , BC
线面垂直的判定定理(公开课)课件
习题
01
02
03
04
B. 若直线a在平面α外，且直 线a与平面α内的两条相交直
线都垂直，则线面垂直。
C. 若直线a在平面α外，且直 线a与平面α内的无数条直线
都垂直，则线面垂直。
D. 若直线a在平面α外，且直 线a与平面α内的两条平行直
线都垂直，则线面垂直。
填空题：若直线a与平面β内 的两条直线分别平行和垂直，
情况二
如果一条直线与平面内的 两条平行直线都垂直，那 么这条直线与这个平面垂 直。
情况三
如果一条直线与平面内的 无数条直线都垂直，那么 这条直线与这个平面垂直 。
线面垂直在几何问题中的应用
应用一
在几何问题中，线面垂直可以用来证明某些几何图形的性质，例如三角形的高线、矩形的对角线等。
应用二
线面垂直可以用来解决一些几何问题，例如求点到平面的距离、求两平面之间的夹角等。
本节课的难点解析
如何理解线面垂直的概念及其几何意 义
运用判定定理解决复杂问题的策略和 方法
判定定理证明中的逻辑推理和数学表 达
下节课预告
线面平行的判定定理及其应用 平行线的性质和判定方法总结
几何问题中线面平行与垂直的综合应用
THANK YOU
判定定理的证明实例
实例一
假设有一个正方体，我们知道它的一个顶点A所在的直线a与顶点B、C所在的平 面β都垂直，那么我们可以应用线面垂直的判定定理证明直线a与平面β垂直。
实例二
假设有一个长方体，我们知道它的一个顶点A所在的直线a与顶点B、C、D所在的 平面β都垂直，那么我们同样可以应用线面垂直的判定定理证明直线a与平面β垂 直。
线面垂直的判定定理(公开课)课件
人教版高中数学必修二2.3.3-2.3.4线面垂直、面面垂直的性质定理公开课教学课件
β
a
l
α
A
问题4：面面垂直性质定理用途? 面面垂直线面垂直 问题5：什么情况下用?
符号语言：
a
l
a
a l
已知面面垂直时.
平面与平面垂直的性质定理： 问题6：体现了什么数学思想? 转化
三、例题讲解 例1：PA⊥平面ABC，面PAB⊥面PBC，求证：BC⊥AB
P 问题7：要证BC垂直于AB，要会选择，选择BC垂直于AB，还是AB垂直于
已知：
, A ,C B D ,C A D .求B 证： CD
发展条件 α
转化结论
C
B
D
E
β
A
证明：
在平面β内过D作直线 DE ⊥AB
则 CD 是 E二面 -A B 角 的平面角
由 ⊥β 得CD ⊥ DE
又CD ⊥ AB, 且DE ∩ AB =D 所以直线CD⊥平面β
平面与平面垂直的性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
线面垂直的性质定理：
垂直于同一个平面的两条直线平行
符号语言?
a ,b a//b
简述： 如何证明？
线面垂直
线线平行
知识探究： 问题2:面α与面β垂直，线L在面α内，线L与面β的关系有哪几种？（讨论一下）
α L
β 平行
问题3：怎样才能垂直？
α L
β 相交
α
L β
线在面内
思考3: 如何找地面的垂线？
注:若l ,b
则l b.
l
A
αb
2.直线与平面垂直的判定定理？ 直线与面内的两条相交直线都垂直，则该线与面垂直
图形表示
a
m
线面垂直的判定公开课教案
教学过程设计猜想：是不是一条直线垂直于平面内的两条相交直线，此直线就垂直于该平面呢？2.动手操作——确认定理（学生实验）请同学们拿出一块三角形纸片，我们一起做一个试验：过三角形的顶点A翻折纸片，得到折痕AD（如图1），将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触）问题1：（1）折痕AD与桌面垂直吗？（2）如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？问题2：在你翻折纸片的过程中，纸片的形状发生了变化，这是变的一面，那么不变的一面是什么呢？（可从线与线的关系考虑）如果我们把折痕抽象为直线，把BD、CD抽象为直线，把桌面抽象为平面(如图3)，那么你认为保证直线与平面垂直的条件是什么？问题3：根据上面的试验，结合两条相交直线确定一个平面的事实，你能给出直线与平面垂直的方法吗？（学生总结归纳）定理：（1）文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直（2）图形语言：（3）符号语言：,,,a b a b Oll a l bααα⊂⊂=⎫⇒⊥⎬⊥⊥⎭3.质疑反思——深化定理辨一辨：如果一条直线①与三角形的两边垂直；②与梯形两边垂直；那么直线是否与上述图形所在平面垂直？通过试验，引导学生独立发现直线与平面垂直的条件，培养学生的动手操作能力和几何直观能力，让学生在观察、对比和反思中，较快地对数学定理有一个感性认识。
引导学生根据直观感知及已有知识经验，进行合情推理，获得线面垂直判定定理。
通过辨析，强化定理中“两条相交直线”的条件。
教学过程设计（四）初步应用线面垂直的判定例1如图5，在长方体ABCD-A1B1C1D1中(1)请列举与平面ABCD垂直的直线；(2)请列举与直线A1A垂直的平面；(3)你还能找出一条与平面D1DBB1垂直的直线吗?思考：如图6，已知，则吗？请说明理由．师生活动：学生思考讨论，教师适时引导（五）练习巩固与升华1、下列命题正确的是（）①如果直线l与平面α内的无数条直线垂直,则l⊥α ;②如果直线l 与平面α内的一条直线垂直,则l⊥α;③如果直线不垂直于α,则α内没有直线与l垂直;④如果平面α内有一条直线与l 不垂直,则直线l 不垂直于平面α;⑤如果直线l 不垂直于α ,则α内也可以有无数条直线与l 垂直。
《线面垂直的判断》课件
学习目标
掌握定义
学生应能准确理解线面垂直的定 义。
理解判定定理
学生应能掌握并运用线面垂直的判 定定理。
应用能力
通过实例分析，培养学生运用线面 垂直知识解决实际问题的能力。
02
线面垂直的定义
线面垂直的概念
线面垂直是指一条直线与一个 平面垂直，即这条直线与平面 内的任意一条直线都垂直。
在几何学中，线面垂直是描述 直线与平面之间关系的一种重 要概念。
判定定理
如果一条直线与平面内两条相交直线 都垂直，那么这条直线与这个平面垂 直。
符号表示
若直线m与平面α内的两条相交直线l 和n都垂直，则m⊥α。
判定定理的证明
• 证明过程：假设直线m与平面α内的两条相交直线l和n都垂直，那么m与l的夹角为0°，m与n的夹角也为0°。由于l和n相交 ，所以它们的夹角为180°，因此直线m与平面α的夹角为90°，即m⊥α。
判定方法三：利用其他性质
总结词：间接证明
详细描述：除了直接验证和利用判定定理外，还可以通过其他性质来证明线面垂直关系。例如，如果一条直线与平面内的两 条平行直线都垂直，则这条直线与该平面垂直。此外，还可以利用平面的性质和直线的性质来证明线面垂直关系。
05
练习与巩固
基础练习题
判断题
如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直 线与该平面垂直。
《线面垂直的判断 》ppt课件
contents
目录
• 引言 • 线面垂直的定义 • 线面垂直的判定定理 • 线面垂直的判定方法 • 练习与巩固 • 总结与回顾
01
引言
课程背景
知识关联
理解线面垂直的判断是空间几何 的重要概念，是解决实际问题的 基础。
直线与平面垂直的判定 公开课课件
2.3.1 直线与平面垂直 的判定
生活中线面垂直的例子
学习目标：
（1）理解直线与平面垂直的定义;
（2）掌握直线与平面垂直的判定定理及其简单应 用 （3）由大量线面垂直的例子，体现数学和生活的 紧密联系，同时深深地感到数学的美。
导学案反馈：
优秀小组：第2小组 第4小组
优秀个人：刘金科 佳雅姗 吴硕硕
D C
A
B
训练二： 三棱锥V-ABC中，VA=VC,AB=BC,K是AC的中点。
求证：VB ⊥AC
V
A
K
C
B
归纳总结，分享收获
判断直线与平面垂直的方法： (1)定义法; (2)直接法：线面垂直的判定定理; (3)间接法：如果两条平行直线中 的一条直线垂直于一个平面，那 么另一条直线也垂直于这个平面
否
3、如果一条直线垂直于一个平面，那么这条 直线是否垂直于平面内的所有直线？
是
怎样判断一条直线与一个平面垂直呢？
问题一：直线垂直于平面内一条直线
×
问题二：直线垂直于平面内两条平行直线
×
问题三：直线垂直于平面内的两条相交直线
如图，准备一块三角形的纸片，做一个实验：
A
A
CDΒιβλιοθήκη BDCB
过顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将 翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD,DC与桌面 接触）
问题三：直线垂直于平面内的两条相交直线
A
A
C
D
B
D
C
B
当且仅当折痕 AD 是 BC 边上的高时，AD
所在直线与桌面所在平面 垂直．
线面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线 都垂直，则该直线与此平面垂直。
生活中线面垂直的例子
学习目标：
（1）理解直线与平面垂直的定义;
（2）掌握直线与平面垂直的判定定理及其简单应 用 （3）由大量线面垂直的例子，体现数学和生活的 紧密联系，同时深深地感到数学的美。
导学案反馈：
优秀小组：第2小组 第4小组
优秀个人：刘金科 佳雅姗 吴硕硕
D C
A
B
训练二： 三棱锥V-ABC中，VA=VC,AB=BC,K是AC的中点。
求证：VB ⊥AC
V
A
K
C
B
归纳总结，分享收获
判断直线与平面垂直的方法： (1)定义法; (2)直接法：线面垂直的判定定理; (3)间接法：如果两条平行直线中 的一条直线垂直于一个平面，那 么另一条直线也垂直于这个平面
否
3、如果一条直线垂直于一个平面，那么这条 直线是否垂直于平面内的所有直线？
是
怎样判断一条直线与一个平面垂直呢？
问题一：直线垂直于平面内一条直线
×
问题二：直线垂直于平面内两条平行直线
×
问题三：直线垂直于平面内的两条相交直线
如图，准备一块三角形的纸片，做一个实验：
A
A
CDΒιβλιοθήκη BDCB
过顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将 翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD,DC与桌面 接触）
问题三：直线垂直于平面内的两条相交直线
A
A
C
D
B
D
C
B
当且仅当折痕 AD 是 BC 边上的高时，AD
所在直线与桌面所在平面 垂直．
线面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线 都垂直，则该直线与此平面垂直。
直线和平面垂直的性质定理公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件
第1页
知识回顾
1、直线和平面垂直定义
假如一条直线和一个平面内任意一条直 线都垂直,则称这条直线和这个平面垂直.
第2页
2、直线与平面垂直鉴定定理 一条直线与一个平面内两条相交直线都
垂直，则该直线与此平面垂直。
符号表示
m ,n
a
m
On
m nO
a
a m, a n
线线垂直 线面垂直
关键：线不在多，相交则行
P
A
M B
E
N
D
C 第14页
例2、如图,已知PA⊥矩形ABCD所在平面,M,N 分别是AB,PC中点. (1)求证:MN⊥CD; (2)若∠PDA=45°,求证:MN⊥平面PCD.
P
A
M B
N
D
Q C
第15页
例2、如图,已知PA⊥矩形ABCD所在平面,M,N 分别是AB,PC中点. (1)求证:MN⊥CD; (2)若∠PDA=45°,求证:MN⊥平面PCD.
第3页
3、如何鉴定线面垂直？
1、定义
2、鉴定定理
3、例１结论：假如两条平行线中一 条垂直于一个平面，那么另一条也垂 直于这个一平面
第4页
• 在辽阔西北平原上，耸立着一排排白杨树，它们像哨
兵同样守卫着祖国疆土．一排排白杨树都与地面垂直， 假如把这些白杨树当作直线，地面当作平面，则这些直 线之间存在什么位置关系呢？
:设l为直线，α，β为平面， 若l⊥α，α//β，则l与β位置关系 如何？
l
α
β
第11页
练习2:设l为直线，α、β为平面， 若l⊥α，l⊥β，则平面α、β位置 关系如何？
l α
β
第12页
例1 如图，已知 l,C于A点A，, 于
知识回顾
1、直线和平面垂直定义
假如一条直线和一个平面内任意一条直 线都垂直,则称这条直线和这个平面垂直.
第2页
2、直线与平面垂直鉴定定理 一条直线与一个平面内两条相交直线都
垂直，则该直线与此平面垂直。
符号表示
m ,n
a
m
On
m nO
a
a m, a n
线线垂直 线面垂直
关键：线不在多，相交则行
P
A
M B
E
N
D
C 第14页
例2、如图,已知PA⊥矩形ABCD所在平面,M,N 分别是AB,PC中点. (1)求证:MN⊥CD; (2)若∠PDA=45°,求证:MN⊥平面PCD.
P
A
M B
N
D
Q C
第15页
例2、如图,已知PA⊥矩形ABCD所在平面,M,N 分别是AB,PC中点. (1)求证:MN⊥CD; (2)若∠PDA=45°,求证:MN⊥平面PCD.
第3页
3、如何鉴定线面垂直？
1、定义
2、鉴定定理
3、例１结论：假如两条平行线中一 条垂直于一个平面，那么另一条也垂 直于这个一平面
第4页
• 在辽阔西北平原上，耸立着一排排白杨树，它们像哨
兵同样守卫着祖国疆土．一排排白杨树都与地面垂直， 假如把这些白杨树当作直线，地面当作平面，则这些直 线之间存在什么位置关系呢？
:设l为直线，α，β为平面， 若l⊥α，α//β，则l与β位置关系 如何？
l
α
β
第11页
练习2:设l为直线，α、β为平面， 若l⊥α，l⊥β，则平面α、β位置 关系如何？
l α
β
第12页
例1 如图，已知 l,C于A点A，, 于
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2.b是平面α内任一直线,a⊥α，则a⊥b （√）
探究:
（1）如果平面外的一条直线和平面内的一条直线 垂直，能不能保证该直线垂直于此平面？ 即：
l
l b,b × l
b
不能
探究:
（2）和一个平面内的两条直线垂直呢？
b , c , b c P l l b, l c
结论
• 直线与平面垂直的判定定理：
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直， 则该直线与平面垂直。
• 关键点： • (1)两条
• • (2)相交 (3)都垂直
简记法：线线垂直 线面垂直
剖析
图形语言：
符号语言：
强化练习
1、在空间，下列命题 （1）平行于同一直线的两条直线互相平行； （2）垂直于同一直线的两条直线互相平行； （3）平行于同一平面的两条直线互相平行； （4）垂直于同一平面的两条直线互相平行。 正确的是（ ） A.(1)(3)(4) B.(1)(4) D.四个命题都正确。 C.(1)
2、斜线和平面所成的角： 斜线和它在平面上的射影所成的锐 角． 3、当直线垂直平面时：900
当直线在平面内或与平 面平行时： 00 α A P
O
想一想 斜线和平面所成角(即∠PAO) 的范围是多少呢？ （00，900） 直线和平面所成角(即∠PAO) 的范围是多少呢？ A [00，900] α
P
O
§2.3.1 直线与平面 垂直的判定
生活实例
定义
直线与平面垂直
如果直线l 与平面 内的任意一条直线都垂直， 我们说直线 l与平面 互相垂直， 记作 l ．
平面 的垂线 垂足
l
直线l 的垂面
直线与平面的 一条边垂直
P
思考：
1.如果一条直线 l 和一个平面内的无数条直线都垂 直，则直线 l和平面 α互相垂直（ × ）
A
）
A. l m B. l可能和m平行 C. l和m相交 D. l和m不相交
线面关系
新课学习：
a 平面的垂线：
与平面但不垂直 斜足： 斜线与平面的交点
α
b
A
α
B
1、过斜线PA上斜足A以外一点向平面作垂线 PO,过垂足O与斜足A的直线AO叫做斜线PA在平 面内的射影．
牛刀小试
在如图正方体中
(1)分别求出直线A1B和面ABCD、BCC1B1、 CC1D1D所成的角 (2)求直线A1B和平面 A1B1CD所成的角
D1 C1 A1 D B1
O
C
B
A
小结
1、知识点： （1）线面垂直的定义（注意：任意） （2）线面垂直的判定定理（注意：两条、相交） 2、理解定理的关键： 要证线面垂直，只需证线线垂直！ 3、数学思想： 转化思想 空间→平面（线面垂直→ 线线垂直） 无限→有限（任意→ 两条相交）
D
）
A. l B. l和 相交 C. l D. l和的关系不确定
A
）
a / /b a / /b A. a B. a / / b b a b ab C. a D. b b / / a 4、若l ，m ，则（
B
定理应用
（1）尝试练习： 求证：与三角形的两条边同时垂直的直 线必与第三条边垂直。
提示：
转化为几何命题 ： a⊥AC，a ⊥BC，求证：a ⊥AB。
A C B a
1.如图,已知点M是菱形ABCD所在平面外一点，且MA=MC M 求证：AC⊥平面BDM
D
O A B
C
小 测 试：
1、若l m, m , 则（ D ） A. l B. l和 不垂直 C. l / / D. 以上都不对 2、如果l和内的无数条直线垂直，那么（ 3、下列命题中正确的是（