运筹学导论第八版 8整数线性规划概要

6
但当x1=4，x2=1(这也是可行解)时，z=90。 本例还可以用图解法来说明
百度文库
图中(+) 表示可行整数解。 凑整的(5，0) 不在可行域内， 而C点又不合于条件⑤。
目标函数z的等值线必须向原点平行移动，直到首次遇到带“+” 号B点(x1=4，x2=1)为止。此时，z值就由z=96变到z=90，Δz=96-
最优的整数解是x1= x2= x3= x4=1， x5= 0，对应的最优值z=95.
11
若采用连续的线性规划问题求解，将xj=(0,1), 替换为0≤ xj
≤1，那么最优解为x1=0.5789, x2= x3= x4=1, x5= 0.7368.
有部分变量取小数，这不符合实际，若采用舍入方法，则 x1= x5=1，这意味着5个项目都要选择，显然是不可行解， 对于采用“是否”决策问题，舍入法不可行。
12
习题
某唱片公司与一位新的歌手签约录制8首歌曲，这8首歌曲 的时间长度分别为8,3,5,5,9,6,7,12分钟，公司希望将所有的 歌曲分配在磁带的两面，使得两面的歌曲时间长度尽量相 同。请建立整数规划模型，求出最优解。
13
2. 集合覆盖问题
在这一类问题中，会有许多的服务装置为一些设备提供 互相重叠的服务，目标就是要确定安装数目最少的装置 来覆盖每一个设备（满足服务需求）。例如，几个污水 处理工厂可以选择建造在几个不同的位置，在不同的位 置可以服务不同的几个城市，但一个城市可以得到几个
第6章 整数线性规划
1
整数线性规划问题的提出
对于某些具体问题，决策变量必须是整数的情形(称为整数
解)。例如，机器台数、人数、装货车数等，含小数的解不合 要求。 为满足整数解要求，能否把已得到的含有分数的解 “圆整”？
2
下例说明单纯形法求得的解不能保证是整数最优解。
例1 COSCO公司拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体积、 重量、可获利润以及托运所受限制如下表所示。问两种货物各 托运多少箱，可使获得利润为最大?
不同工厂服务的时候就是重叠服务。
14
例
为了提高城市校园的安全性，A大学的保安部门希望在校园
的每条主要街道上都至少有一部电话的情况下，使得安装的 电话总数最少，下图给出了校园的主要街道图 1 街道G
街道A
2 街道I
街道B
3 街道K 5 街道J 8
15
4
街道C
街道H
6
街道E
7
街道D
将电话安装在街道的交叉口处是比较合理的，因为这样可以 至少为两条街道提供服务。按照图中街道的设计可以看出， 最多需要8部电话。 定义
项目 1 2 3 每年支出 1 5 4 3 2 1 7 9 3 8 10 2 收益 20 40 20
4
5 可用资金
7
8 25
4
6 25
1
10 25
15
30
10
问题可以化为一个对于每个项目的选择为“是-否”的决 策，引入二元变量 xj
1, 如果选择项目j xj 0， 如果不选择项目j
那么整数线性规划模型是
2x1+5x2≤13
x1，x2≥0
③
④
x1，x2整数
⑤
4
它和线性规划问题的区别仅在于最后的条件⑤。现在我们 暂不考虑这一条件，即解①～④(以后我们称这样的问题为 与原问题相应的线性规划问题)， 很容易求得最优解为：x1=4.8，x2=0，max z=96
5
但x1是托运甲种货物的箱数，现在它不是整数，所以不合条件 ⑤的要求。 是否可以把所得的非整数的最优解经过“化整”就可得到合于 条件⑤的整数最优解呢?
90=6表示利润的降低，这是由于变量的不可分性(装箱)所引起的。
7
由上例看出， 将其相应的线性规划的最优解“化整”来解原整数线 性规划，虽是最容易想到的，但往往不可行。
化整后不见得是可行解；或虽是可行解，但不一定是
最优解。 因此有必要对整数线性规划的解法进行专门研究。
8
此类问题为整数线性规划(Integer Linear Programming ， ILP)，整数线性规划是最近几十年来发展起来的规划论 中的一个分支。
整数线性规划中如果所有的变量都限制为(非负)整数， 就称为纯整数线性规划(pure integer linear programming) 或称为全整数线性规划(all integer linear programming)； 如果仅一部分变量限制为整数，则称为混合整数规划 (mixed integer linear programming)。
货物 甲 乙 托运限制
体积(m3/箱) 5 4 3 24m
重量(100kg/箱) 2 5 1300kg
利润(100 元/箱) 20 10
3
现在我们解这个问题，设 x1 ， x2 分别为甲、乙两种
货物的托运箱数 ( 当然都是非负整数 ) 。这是一个
(纯)整数线性规划问题，用数学式可表示为： max z =20x1+10x2 5x1+4x2≤24 ① ②
整数线性规划的一种特殊情形是0-1规划，它的变量取值 仅限于0或1。指派问题就是一个0-1规划问题。
9
8.1 应用实例介绍
1. 资本预算
在个人项目中投资中，既要考虑这些在个人项目中投资的收益， 又要考虑有限的总预算。
例 在一个3年的规划周期内，有5个项目可供选择。下表给出
了每一项目可以带来的期望收益以及相应每年的支出(单位： 100万没有)，那么这个3年规划周期应该选择哪些项目？
如将 (x1=4.8 ， x2=0) 凑整为 (x1=5 ， x2=0) ，这样就破坏了条件② (关于体积的限制)，因而它不是可行解；
如将 (x1=4.8， x2=0) 舍去尾数 0.8 ，变为 (x1=4 ，x2=0) ，这当然满 足各约束条件，因而是可行解，但不是最优解，因为当x1=4， x2=0, 时z=80. 非整数的最优解在C(4.8，0)点达到。
max z 20 x1 40 x2 20 x3 15 x4 30 x5 s.t. 5 x1 4 x2 3 x3 7 x4 8 x5 25 x1 7 x2 9 x3 4 x4 6 x5 25 8 x1 10 x2 2 x3 x4 10 x5 25 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 (0,1)