第4讲 子群的性质
第5节子群
近世代数
典型子群的实例:中心C
定义2.2 设G为群,令 C={a| a∈G∧x∈G(ax=xa)}， 则C是G的子群，称为G的中心. 证 e∈C. C是G的非空子集. 任取a,b∈C，只需证明 ab1与G中所有的元素都可交换. x∈G，有 (ab1)x = ab1x = ab1(x1)1 = a(x1b)1 = a(bx1)1 = a(xb1) = (ax1)b1 = (xa)b1 = x(ab1) 由判定定理二可知C≤G. 注：对于阿贝尔群G，因为G中所有的元素互相都可 交换，G的中心就等于G. 但是对某些非交换群G，它 9/14 的中心是{e}.
6/14
近世代数
子群判定定理2
定理2.2 （判定定理二） 设G为群，H是G的非空子集. H是G的子群当且仅当 a,b∈H有ab1∈H. 证 必要性显然. 只证充分性. 因为H非空，必存在a∈H. 根据给定条件得aa1∈H，即e∈H. 任取a∈H, 由e,a∈H 得 ea1∈H，即a1∈H. 任取a,b∈H，知b1∈H. 再利用给定条件得 a(b1) 1∈H，即ab∈H. 综合上述，可知H是G的子群.
近世代数
5.2 子群与生成子群
子群的定义 子群的性质 子群的判别 生成子群Байду номын сангаас
3/14
近世代数
子群
定义2.1 设G是群，H是G的非空子集， (1) 如果H关于G中的运算构成群，则称H是G的子 群, 记作H≤G. (2) 若H是G的子群，且HG，则称H是G的真子群， 记作H(G). 例如: nZ (n是自然数) 是整数加群(Z,+) 的子群.
则G关于矩阵乘法构成群. 找出G的所有子群.
解 令A, B, C, D分别为
1 0 i 0 0 1 0 i 0 1 ， 0 i , 1 0 , i 0
《子群的陪集》课件
• 子群与陪集的定义 • 子群的分类 • 陪集的分类 • 子群的性质 • 陪集的性质 • 子群与陪集的应用
目录
01
子群与陪集的定义
子群的定义
子群
一个群G的一个非空子集H，如果 对于G的每一个元素g，H中的元 素h满足$ghg^{-1}$也在H中， 则称H是G的一个子群。
陪集的性质
总结词
陪集的性质
详细描述
陪集具有传递性、对称性和可结合性，即如果H₁/G和H₂/G是群G的两个子群，那么H₁∩H₂/G=(H₁/G)∩(H₂/G)， 且(H₁∪H₂)/G=(H₁/G)∪(H₂/G)。
陪集的运算性质
总结词
陪集的运算性质
详细描述
如果H₁/G和H₂/G是群G的两个子群，那么(H₁∪H₂)/G=(H₁/G)∪(H₂/G)， (H₁∩H₂)/G=(H₁/G)∩(H₂/G)，且H₁/G⋅H₂/G=(H₁⋅H₂)/G。
正规子群。
举例
整数模n的乘法子群是模n的剩余 类环的正规子群。
性质
正规子群在陪集中保持元素共轭 。
幂零子群
定义
如果存在正整数n，使得 $a^n=e$对于所有$a in H$，则称H是幂零子群。
举例
整数模n的乘法子群是幂零 子群。
性质
幂零子群是可解的，且其 指数为素数。
幂小子群
定义
如果存在正整数n，使得$a^n=e$对于所有$a in H$，则称H是幂小子群。
子群与陪集的关系
子群的陪集
如果H是G的子群，那么H的左陪集和右陪集都是G的子群。特别地，如果H是G 的正规子群，那么H的左陪集和右陪集是相同的，称为H在G中的余类。
举例
在整数集合中，所有偶数的集合是整数集合的一个子群，偶数集合的左陪集和右 陪集都是整数集合的子群。特别地，如果取H为所有偶数，那么H是整数集合的 正规子群，其左陪集和右陪集都是整数集合的子群。
§3.2 不变子群和商群
1 , i , j , k . 而 1 G显然.又令 N i , x G , 则由于N {1,1, i,i, }, 故易知 {x , x , xi , xi } {x , x , ix ,ix }, 即xN Nx , 从而 i G. 同理可证 j 与 k 也是G的正规子群. 因此G是一个哈密尔顿群 .
G S {(1}, (12), (13), (23), (123), (132)} 3 例4 H {(1), (12)} N {(1), (123), (1 3 2)}
解： 因为 H (13) {(13), (123)}
(13) H {(13), (132)} ，所以 H 不是 G 的不变子群.
G.
r
r r
bN a N ( aN ) 所以 G / N {bN | b G} (aN ) 为循环群.）
b G , b a
练习：
1. 设G 为整数加群, N 5 g g G （1）证明 N
G ；（2）求 G / N .
2. G S3 , N {(1), (123), (132)}
性质3 群 G 的任何两个不变子群的交还是 G的不变子群.
四、不变子群的性质（续）
定理2 群 G 与 G 同态， 的同态满射，则
(1)
是G
G
到G
H
G H (H )
G H (H )
1
(2) H
G
四、不变子群的性质（续） 定理3 不变子群与子群的乘积是子群；
不变子群与不变子群的乘积是不变子群.
五、商群
G / N {aN | a G} N G 关于 aN bN ( ab) N 做成群.
子群名词解释
子群的概念和性质一、子群的定义子群是指一个群中的一部分元素构成的集合。
具体来说，设 G 是一个群，H 是 G 的一个子集，如果 H 中的所有元素都可以用 G 中元素的组合来表示，那么 H 就称为 G 的一个子群，记作 gH，其中 g 是 G 中的任意元素。
举个例子，设 G 是一个由三个元素{1,2,3}构成的群，H={1,2}。
那么 H 就是一个子群，因为 H 中的所有元素都可以用 G 中元素的组合来表示，即 H={1,2}={1,2,3}。
二、子群的性质子群有许多重要的性质。
下面我们来介绍一下子群的交叠、子群的补集、子群的子群等。
1. 子群的交叠设 G 是一个群，H 是 G 的一个子群，K 是 G 的另一个子群。
那么，H 和 K 的交叠 (即 H 和 K 的交集) 是一个子群，称为 H 和K 的交叠子群。
举个例子，设 G 是一个由三个元素{1,2,3}构成的群，H={1,2},K={1,3}。
那么，H 和 K 的交叠={1,2},是一个子群。
2. 子群的补集设 G 是一个群，H 是 G 的一个子群。
那么，H 的补集是指 G 中所有不等于 H 的子群的集合。
举个例子，设 G 是一个由三个元素{1,2,3}构成的群，H={1,2}。
那么，H 的补集包括 G 的所有其他子群，即 G={1,2,3}。
3. 子群的子群设 G 是一个群，H 是 G 的一个子群。
那么，H 的子群是指 H 中所有元素的集合，即 H 的补集。
举个例子，设 G 是一个由三个元素{1,2,3}构成的群，H={1,2}。
那么，H 的子群包括 G 的所有其他子群，即 G={1,2,3}。
三、子群的应用子群在群论中有着广泛的应用。
下面我们来介绍一下子群在群论中的三大应用。
1. 子群的交叠可以用于证明群的同构定理。
2. 子群的补集可以用于证明群的分解定理。
3. 子群的子群可以用于证明群的同态定理。
群的子结构与同态 高等代数知识点梳理
群的子结构与同态高等代数知识点梳理群的子结构与同态在高等代数中，群是一种重要的代数结构，它是一个集合，伴随着一种二元运算，满足一定的性质。
群的子结构和同态是群论中的重要概念，本文将对这两个知识点进行梳理和讨论。
一、群的子结构一个群G的子结构是指一个集合H，该集合是G的一个子集，并且在与G相同的二元运算下也构成一个群。
也就是说，H中的元素在乘法运算下封闭，并且存在单位元和逆元。
给定一个群G，如果H是G的一个子集，那么H被称为G的子群，记作H ≤ G。
子群的构成必须满足以下条件：1. H中的元素在G中也存在，即对于任意h∈H，有h∈G。
2. 子群H在G的乘法运算下封闭，即对于任意h1、h2∈H，有h1h2∈H。
3. 子群H含有单位元，即存在一个元素e∈H，满足对于任意h∈H，有he=eh=h。
4. 子群H中的元素存在逆元，即对于任意h∈H，存在一个元素h'∈H，使得hh'=h'h=e。
通过子群的构成，我们可以将群G分解为不同的子群，这种分解可以帮助我们更好地理解和研究群的性质和结构。
二、群的同态群同态是指两个群之间的映射，满足一定的性质。
给定两个群G和H，一个从G到H的映射f：G→H被称为一个群同态，如果它满足以下条件：1. 对于任意的g1、g2∈G，有f(g1g2) = f(g1)f(g2)。
即群的乘法运算在映射下保持不变。
2. 映射f保持单位元，即f(e_G) = e_H，其中e_G和e_H分别是G 和H的单位元。
3. 对于任意的g∈G，映射f(g)在H中存在逆元，即f(g)^-1存在于H中。
群的同态在群论中具有重要的应用，它能够帮助我们研究群之间的关系和结构。
三、群的子结构与同态的关系群的子结构和同态之间存在着紧密的联系。
对于一个群G和它的子群H，我们可以定义一个自然同态f：G→G/H，其中G/H是从G到H 的商群。
这个自然同态将群G映射到其子群H的陪集空间上。
同时，我们可以定义一个同态g：G→G/N，其中G/N是从G到H 的正规子群。
代数学基础课件群和子群的基本概念
a*b=b*a=e，其中e为单位元 。
群的例子
01
02
03
整数加法群
整数集合和加法运算，单 位元为0，逆元为-a。
矩阵乘法群
n阶矩阵集合和乘法运算 ，单位元为单位矩阵，逆 元为矩阵的逆。
置换群
n个元素的集合和所有可 能的置换，单位元为恒等 置换，逆元为元素的逆置 置换。
要点一
总结词
向量表示法是将群中的元素表示为向量，利用向量的加法 、数乘和向量的模等性质来描述群的结构和性质。
要点二
详细描述
向量表示法适用于连续群或无限群，通过将群中的元素表 示为向量，可以更好地描述群的连续性和无穷性。这种方 法在物理学、工程学等领域有广泛应用。
符号表示法
总结词
符号表示法是一种简洁的表示群和子群的方法，通过 符号的组合和运算规则来描述群的结构和性质。
群具有单位元和逆元，满足结合 律、交换律和幺半群的定义。
群的基本性质
01
02
03
04
封闭性
群中的任意两个元素通过二元 运算得到的仍然是群中的元素
。
结合律
群中的任意三个元素按照任意 顺序进行二元运算，结果都相
等。
单位元存在
存在一个元素e，使得对于群 中的任意元素a，都有 e*a=a*e=a。
逆元存在
单位元
群中存在一个单位元e，使 得对于群中任意元素a，都 有ea=a和ae=a。
逆元
群中任意元素a都存在一个 逆元a'，使得aa'=e和 a'a=e。
子群的运算规则
子群必须是封闭的
子群必须具有逆元
子群中的元素按照群中的运算规则进 行组合时，结果仍属于子群。
循环群子群讲解学习
例5 设G={0, 1, 2}是由x3=1的三个复根组成的集合，而
G中的代数运算“○”是通常的乘法，那么< G , ○ >必为一 个乘法群。习惯上记为G3，叫做3次单位根群。这里
01,11 23,21 23.
（∵r<n）； r=0m=ngn|m.
性质3 设aG且|a|=n,那么n|m a m=e. 证明 “”正是性质2.
“”nmmng a m a n ga ng e g e .
性质4 设群G中元素a的阶是m,则|ak|=m/(m,k),其中k为任 意整数．
证明 首先，设(k,m)=d，且m=dm1,k=dk1,(m1,k1)=1, 则由于|a|=m,就有
（2）阶的计算方法 按照定义寻找使成立的最小正整数。 例1 乘法群Z5*= {[1], [2], [3], [4]}中，[1]是单位元，显然
|[1]|=1，而[2]12=[2]8=[2]4=[1]，|[2]|=4,同理知 |[3]|=4,|[4]|=2。 例2 加法群<Z5 ,+ >= {[0], [1], [2], [3], [4]}中，[0]是单位元，
证明 由于a m=e ，这本身说明|a|<+∞，令|a|=k， 若k > m，则与元素的阶的定义矛盾，故知k m 。 性质2 设aG, 且若存在mZ+使a m=e |a|=n <+∞, 且
n|m(但不能保证n=m)。 证明 由整数的带余除法知,g,rZ使m=ng+r, r=0或者
0<r<n. 如果r≠0,那么e=a m=ang+r=angar=(an)gar=(e)gar=ar矛盾
第五章 3群与子群
5-4 群与子群(Groups & Subgroups)
所以b必定出现在对应于a的那一行中。 由定理5-3.2（独异点的运算表中没有两行或两列是相同的） 便可得出结论。
由定理5-4.7可知，当G分别为1、2、3阶群时， 运算都 只有一个定义方式(即不计元素记号的不同，只有一张定 义 运算的运算表，分别如表1、表2和表3所示)，于是可 以说，1、2、3阶的群都只有一个。
5-4 群与子群(Groups & Subgroups)
定义5-4.2 设〈G， 〉是群。 (1) 如 果 G 是 有 限 集 ， 则 称 〈G ， 〉 为 有 限 群 (Finite Group) ，G中元素的个数|G|通常称为该群的阶数(Order) ； (2) 如 果 G是 无 限 集， 则 称 〈G， 〉 为无 限 群 (Infinite Group) 。
5-4 群与子群(Groups & Subgroups)
(3) 对n进行归纳。(an)-1=(a-1)n n=1时命题显然真。设n=k时，(a-1)k是ak的逆元，即(ak)-1=(a1)k，那么
ak+1 (a-1)k+1=ak (a*a-1) (a-1)k =ak (a-1)k=e
(a-1)k+1 ak+1=(a-1)k (a-1 a) ak =(a-1)k ak=e
若 j-i =1，则 e=a，即a是幺元，而幺元的逆元是其自身。
可结合性在S上自然满足。
故 S, 是群，即就是G,
的子群。
5-4 群与子群(Groups & Subgroups) 的子群是：
5-4 群与子群(Groups & Subgroups)
定理5-4.10 设 G,
正规子群与商群
G/H={a | a∈G }。
2021/8/6
7
定理: 设H G，则G/H对子集乘法构成群，称为G关 于H的商群。
证明: 不难证明子集乘法:
aH，bH∈G/H， aH·bH ={ah1bh2|h1，h2∈H}
是G/H中的一个二元运算(封闭性，唯一性，结合律)。 且G/H中有单位元H:
aH ∈G/H，aH·H=H ·aH=aH。
⑴ 商群G/H的单位元是eH(=H )；
⑵ aH在G/H中的逆元是a-1H.
推论2 设G为交换群，H是G的子群，则商群G/H也是 交换群。
推2论0213/8/有6 限群G的商群G/H的阶是G的阶的因子。 End9
又任意aH∈G/H，有逆元a-1H。 故G/H关于子集乘法构成群。
2021/8/6
8
例: 在(Z，+)中， Hm=<m>是正规子群， Z/Hm=Z/(m)={ 0,1,2,,m1 }， 即整数模m的同余类群。
一般地，G/H也称为G模H的同余(剩余)类群。
根据正规子群和商群的定义及性质不难得到： 推论1 设H G，则
§2.2 正规子群与商群
( 2.2 Normal Subgroup and Quotient Group)
前面我们已经看到，一个群G的子群H的左陪集aH与 右陪集Ha不一定相等，当aH＝Ha时，具有此种特性 的子群H叫正规子群或不变子群。正规子群对刻画群 的性质有十分重要的作用，是非常重要的子群。
2.2.1 正规子群(不变子群)(Normal Subgroup)
(2) a ∈G， h ∈H，有aha-1 ∈H (3) a ∈G，有aHa-1 H
(4) a ∈G，有aHa-1= H
2021/8/6
群和循环群
24
(1) e是否属于 H， 如何找出H的单位元？ (2)如果aH，a1是a在G中的逆元， a在H中的 逆元是什么？
15
1.2 群的性质-子群
一个群G和它的一个子群H有： 1）G的单位元和H的单位元是同一元素； 2）如果aH，b是a在H中的逆元， a1是a在G 中的逆元，则b =a1．
定理1.9
能证明定理1.6、利用定理1.6结果来求元素的阶 能证明定理1.9、定理1.10，利用定理能判断(证明)子集 合是否为子群 能解释定理1.12，并利用定理1.12生成循环群的给定阶
数子群
11
1.2 群的性质-群的阶
定义1.4 如果一个群G中元素的个数是无限多 个，则称G是无限群；如果G中的元素个数是 有限多个，则称G是有限群，G中元素的个数 称为群的阶（Order），记为|G|。
注2：当
18
1.2 群的性质-循环群
定理1.12 设循环群 G {1,a,a 2 , , a n1} ，则 1）G的子群为循环群。
2）若(i, n)=k, 则ai 为G的n/k阶子群的生成元。
问题：n 阶循环群生成元是否唯一，如果不是的 话生成元个数为多少？
19
作业
习题. 设 G 是一个群,证明: G 是交换群的充要 条件是
群可分为：有限群与无限群
模n的剩余类加法群、乘法群，n次对称群等为有限 群；一般线性群，特殊线性群，整数加群等为无限 群。
12
1.2 群的性质-群的阶
定义1.5 设 G为一个群， a G ，如果存在正整 n n a 1 ，则称 a为有限阶元，否则称 数 ，使得 为无限阶元。当 a 为有限阶元时，称使得 a n 1 的最小正整数为元素 a 的阶，记为 | a | 。
证明子群的方法
证明子群的方法在抽象代数中，子群是一种非常重要的概念。
子群是原群G的一个子集，这个子集构成的群也叫做原群G的子群。
证明一个集合是一个子群，需要满足一定的条件，本文将会介绍几种证明子群的方法。
一、直接证明法最常见的证明子群的方法就是直接证明。
该方法是通过定义和基本性质直接证明该集合构成一个群。
首先，我们需要证明该集合是非空的且封闭的。
然后，证明该集合符合群的四个公理（封闭性、结合律、单位元存在性、逆元存在性）。
下面以一个例子来说明：设原群G = {1, -1, i, -i}，证明H = {1, -1}是G 的一个子群。
首先，H不为空，包含1和-1。
接下来，我们需要证明H对于乘法和求逆元都是封闭的。
对于乘法封闭，可以采用穷举法来证明，即对于H中任意两个元素a和b，都有ab在H中。
对于逆元的封闭，显然1和-1它们自身就是它们的逆元。
接着，我们需要证明H满足群的四个公理：1.封闭性：上文已经证明。
2.结合律：因为H只有两个元素，所以结合律显然满足。
3.单位元存在性：将H中任意一个数与1相乘，得到的结果显然是这个数本身，所以1是H的单位元。
4.逆元存在性：同理，1的逆元是1本身，-1的逆元是-1本身。
综上所述，H = {1, -1}确实是G的一个子群。
二、Lagrange定理Lagrange定理是证明子群的重要工具之一，它给出了原群G和它的子群H之间的一个非常重要的关系，即H的元素数是G的元素数的约数。
简而言之，这意味着H的元素数可以被平等地分配在每一个等价类中。
设原群G的元素数为n，H是G的子群，且H的元素数为m，则m一定是n的约数，即n = km。
下面以一个例子来说明：设原群G为{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}，H是G的一个子群，证明H的元素数只能是1、2、5、10。
首先，H不为空，因为原群G包含1，所以H也包含1。
还需要证明H对于乘法和求逆元都是封闭的，这里不再赘述。
然后，我们需要求出G和它的子集H的元素数。
《代数系统群》课件
群的基本操作
封闭性
结合性
有单位元
群是由一个集合和定义在这个 集合上的一个二元运算构成的 代数系统。这个二元运算就是 群的操作，它必须满足封闭性 、结合性和有单位元三个基本 性质。
群的操作必须满足封闭性，即 对于任意两个元素$a$和$b$ ，如果$a$和$b$在群中，那 么它们的运算结果也必须在群 中。
传递性
群中的元素满足传递性，即如果知道两个 元素之间存在某种关系，那么可以通过这
个关系推导出其他元素之间的关系。
反身性
群中的每一个元素都可以作为单位元，即 每一个元素与自己进行运算的结果都等于 自己本身。
封闭性
群中的元素对于二元运算满足封闭性，即 两个群元素的运算结果仍然属于这个集合 。
群的例子
01
展为一个更大的群。
目的
扩展群的运算规则和性质，以便更 好地描述复杂系统的行为。
方法
通过定义新的元素和运算规则，将 原群嵌入到新群中，使得原群的运 算规则在新群中得以保持或扩展。
同态定理
定义
同态定理是指两个代数系统之间 存在一种映射关系，使得一个系 统的运算规则可以通过这种映射
关系映射到另一个系统上。
《代数系统群》ppt 课件
目录
CONTENTS
• 群的定义与性质 • 群的操作与表示 • 子群与商群 • 群的扩张与同态定理 • 群在数学中的应用
01 群的定义与性质
群的定义
群的定义
元素的封闭性
群是由一个集合和这个集合上的一个二元 运算所组成，其中这个二元运算满足结合 律。
群中的元素对于这个二元运算满足封闭性 ，即两个群元素的运算结果仍然属于这个 集合。
两个群之间存在一个映射，使得对于这两个群中的任意元素，它们的运算结果在 映射下保持不变。如果两个群的元素之间可以建立一个一一对应关系，并且这个 一一对应关系保持群的二元运算，那么这两个群就称为同态的。
(完整word版)正规子群
§3.4 正规子群同态基本定理在本节中讨论群的同态基本定理。
首先考虑一种特殊的等价关系。
3.4.1 定理H是G的子群，在G上定义二元关系~如下：a ~ b当且仅当ab-1∈H，则~是G上等价关系。
证(1) 任给a∈G，都有aa-1 = e∈H，所以a ~ a；(2) 任给a, b∈G，如果a ~ b，则ab-1∈H，所以ba-1 = (b-1)-1a-1 = (ab-1)-1∈H，因此b ~ a；(3) 任给a, b, c∈G，如果a ~ b且b ~ c，则ab-1, bc-1∈H，所以ac-1 = aec-1 = a(b-1b)c-1 = (ab-1)(bc-1)∈H，因此a ~ c。
■这种等价关系记为~H，称为由H生成的等价关系。
由H生成的等价关系中的等价类有一个明显的表示。
3.4.2 定理H是G的子群，~H是由H生成的等价关系。
(1) 任给a∈G，都有a= Ha = {ha | h∈H}。
特别地，e= He = H。
(2) 任给a∈G，都有|a|= |H|。
证(1) 任给x∈a，都有x ~H a，由~H的定义得xa-1∈H，设xa-1 = h∈H，则x = xe = x(a-1a) =(xa-1)a = ha，因此y∈Ha。
任给x∈Ha，都存在h∈H，使得x = ha，所以xa-1 = (ha)a-1 = h(aa-1) = he = h∈H，由~H的定义得x ~H a，因此x∈|a|。
(2) 取H到a的映射F：H→a F(h) = ha。
显然F是满射。
任给x, y∈H，如果F(x) = F(y)，则xa = ya，由消去律得x = y，所以F是单射。
因为F是双射，所以|a| = |H|。
■因为e= H，所以a~H b当且仅当ab-1∈H=e当且仅当ab-1~H e。
1定理3.4.2的(2)告诉我们，商集G/~H中每个元素（作为G的子集）的基数都是|H|，这样的元素共有|G/~H|个，所以有：3.4.3 定理如果H是G的子群，则| G | = |H|⋅|G/~H|。
17代数学基础群和子群的基本概念
内容提要
群 环和域 有限域
群
一般来说，一个代数结构是指一个非空 集合S以及定义在S上的二元运算的总体， 要求二元运算满足一定的条件。
定义 群的定义
群的定义：设 G 是一个集合， “ ”是定义在 G 上的一个二元运算。如果
下面四个条件成立，就将代数系统 (G ,) 称为群 (Group)： 1． a, b G ，有 a b G （封闭性） （结合律）
封闭性 结合律（不必验证） 单位元 逆元素
子群的例子（1）
在加法运算下，Z Q R C.
注意，在这个例子中：
子群中的单位元和群中的单位元相同，都是0 子群中元素的逆元素和群中该元素的逆元素一致
子群的例子（2）
全体偶数的集合（包括0），在加法运算 下，是整数加法群的一个子群。因此也 是 （1）中所有群的子群。
群的例子（6）
集合B={0,1}，在异或运算下形成群。
群的例子（7）
x3 -1=0的根在乘法运算下构成一个有限 群。
x =1是方程的一个解，该方程有三个根。
用u和v表示其它两个根。由于 x3 -1=(x-1)(x2 + x + 1) 则u和v是 x2 + x + 1=0的两个根。 由二次方程根与系数的关系， u和v互逆。 封闭性: (x2)3 –1 =0 。
群的例子（4）
时钟上表示小时的数字在模12加法下构 成群Z12 , 将（ Z12 , +(mod 12))称为时钟 群。
群的例子（5）
Zn={0, 1, 2, …, (n-1)}
Zn中所有与 n 互素的的元素是Zn的一个子 集, 这个子集按照模 n 乘法运算构成一个群，用 Zn*表示。 例如， (Z15*, (mod15) ) = ({1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14}, (mod15) )
子群间的包含关系
子群间的包含关系子群间的包含关系是群论中一个重要的概念。
在群论中，群是一种代数结构，它由一组元素以及一个二元运算组成，满足一定的性质。
子群是指在一个给定的群中，选取其中的一部分元素，并对这些元素再进行相同的二元运算，得到的结果仍然属于原来的群。
子群的包含关系是指一个群中的某个子群是否包含于另一个子群中。
具体而言，如果一个群G中的子群H的所有元素都同时也是G的元素，那么我们就说H是G的子群，并且写作H≤G。
反之，如果存在一个群G中的子群H，使得H中的某个元素不属于G，那么我们就说H不是G的子群，记作H≰G。
子群的包含关系可以用集合的包含关系来进行描述。
如果一个群G 的子群H包含于另一个子群K中，那么我们可以将它们对应的集合表示为H⊆K。
反之，如果存在一个群G的子群H，使得H中的某个元素不属于K，那么我们可以写作H⊈K。
子群的包含关系有一些重要的性质。
首先，对于任何一个群G来说，它自身和整个群都是它的子群，即G≤G。
其次，对于任何一个群G 的子群H来说，它自身和空集都是它的子群，即H≤H和H≤∅。
此外，如果一个群G的子群H包含于另一个子群K中，而K又包含于G的子群L中，那么H也包含于L中，即如果H≤K且K≤L，则有H≤L。
子群的包含关系在群论中有着重要的应用。
通过研究不同群之间的子群关系，我们可以得到很多有关群的性质和结构的信息。
同时，子群的包含关系也可以帮助我们理解和解决一些实际问题，如密码学、编码理论等领域中的应用。
总结起来，子群间的包含关系是群论中一个重要的概念，它可以通过集合的包含关系来进行描述。
子群的包含关系有一些重要的性质，通过研究不同群之间的子群关系，我们可以得到很多有关群的性质和结构的信息。
离散数学-5-4 群与子群
本课小结
群 有限群、无限群 置换 等幂元 子群
作业
已知：R*是非零实数集，在R*中定义运算⊙，
对任意的a、b∈R*，a⊙b＝ab/2
证明： <R* ,⊙>是一个群。 已知：设S= R-{-1}，S上定义运算为：
a b=a+b+ab
证明：<S，>是群。
三、置换
为进一步讨论群性质，引入置换的概念。 定义5-4.3 设S为一个非空集合，从集合S到S的一个双射 称为S的一个置换。 例：集合S={a, b, c, d}置换为ab, bd, ca, dc 这是一个从S到S上的一对一映射，可表示为：
a b b d c a d c
定理5.4.4 群〈G，*〉的运算表中任一行（列）的元素都是G中元素 的一个置换。且不同行，不同列的置换都不同。 证明 首先，证明运算表中的任一行或任一列所含G中的一个元素不可能 多于一次。用反证法，如果对应于元素a∈G的那一行中有两个元素都 是c,即有 a*b1=a*b2=c 且b1≠b2 由可约性可得 b1=b2,这与b1≠b2矛盾。 其次，要证明G中的每一个元素都在运算表的每一行和每一列中出现。考 察对应于元素a∈G的那一行，设b是G中的任一元素，由于 b=a*(a1*b),所以b必定出现在对应于a的那一行中。 再由运算表中没有两行（或两列）相同的事实，便可得出：<G,*>的运算 表中每一行都是G的元素的一个置换，且每一行都是不相同的。同样 的结论对于列也是成立的。
定理5-4.3 设<G，>是一个群，对于任意a,b,cG，如果a b = a c 或者b a = c a，则必有 b = c (消去律)。 证明：设a b＝a c,且a的逆元a-1，则有 a-1 (a b )＝ a-1 (a c ) (a-1 a ) b ＝ (a-1 a ) c eb ＝e c b＝c 当b a = c a时，可同样证得b = c 。
课件2-3子群
例3 设 G ( Z , ), n Z , H {nk | k Z }
ab1 kn k ' n (k k ')n H
例4 G= {数域F上的全体n阶满秩阵}运算:普通矩阵乘法 H= 39; n H
b1 H , a, b H ,由(ⅱ)，得
ab 由(ⅰ)得，
1
1
H
aa 充分性： a H , 由(ⅲ)，
1
1
e H ，于是，
ea a H
a(b ) ab H
2013-8-14 17:20
又 a, b H,由刚证明得, b1 H,由(ⅲ)得 ，
中的所有子群.
{[0]} {[0],[1],[2], ...,[10]} {[0],[2],[4],[6],[8]} {[0],[5]}
2.证明任何群都不会是两个真子群的并. （反证法）
2013-8-14
17:20
充分性： Ⅰ.由(ⅰ)，H 是封闭的
Ⅱ. G 中有结合律成立,所以 H 中结合律也成立, Ⅳ.由(ⅱ)， a H ,有 a 1 H ,由(ⅰ)， a 1a H e Ⅴ. 由(ⅱ), 中每一个元素 都有逆元. H
2013-8-14 17:20
证明 必要性:
判定子群的充要条件 定理3 设 H是群 G 的非空子集, 则 H 是 G 的子群 (ⅲ) a , b H ，有 ab 1 H.
a
,则 aa 1 e aa ， 的逆元记为 a
由消去律
fe f ff ，由消去律， e f . a 1 ,在 H 中 (2)设 a 在 G 中的逆元记为
e是
G 的单位元，则
a
近世代数 子群
1第10讲§8 子群（Subgroups）对群的研究，可分为互相联系的两个方面：群的结构和群的表示。
与集合比较，群就是多了一个运算（正是这个运算才给群带来了生命力），所以群论研究的初步可以仿照集合论去讨论，只是关于群的一切讨论都要围绕这个运算展开.子群是非常重要的概念，了解子群是了解群的结构的一个重要渠道. 结合高等代数中生成子空间的理论，会使我们温故而知新。
一、子群的定义及判定条件定义2.8.1、设G是一个群，而,Φ≠⊆，如果H关于G中H G的运算也能作成群，则称H是G的一个子群。
GH<.例1设G为任意一个群，那么由G的单位元组成子集}{e，自然有与G是G的两个子群，统称它们为的G平凡子群。
如果G除了平凡子群外还有其他子群，那就称为G的真子群。
例2 Z是整数加群，而一切偶数构成的集合为}--2=Z，,4,2,0,2,4,{那么2Z是Z的真子群。
一般的，任取一个整数m，那么}∀⋅mZ∈=为一切m{Z|nnm的倍数构成的集合，可知m Z Z的真子群。
例3设}0表示一切可逆n阶方阵组成的集合，用矩RMLA=A∈|)||({≠n阵通常的乘法可知：∙L中方阵对乘法封闭（任二个n阶可逆阵之积仍可逆）∙ L 中方阵满足乘法结合律∙单位元为E∙A L A ⇒∈.的逆元为A A —1-的逆阵所以L 是个群。
若⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡= k k k kE 令为L 中的n 阶数乘阵，那么}0,|{≠∈∀=k R k kE K 是L 的非空子集，且必有LK<。
例4设)}132(),123(),23(),13(),12(),1{(3=S 为三次对称群，令)}12(),1{(=H 和)}132(),123(),1{(3=A 。
易知3H A ，是3S 的真子群。
例5设模6剩余类加群]}5[],4[],3[],2[],1[],0{[6=Z 。
令1{[0],[2],[4]}H =， 2{[0],[3]}H =。
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17
生成的子群举例
整数加群<Z,+>,
2生成的子群<2> = { 2k | k∈Z }
模6加群<Z6,+6>,
2生成的子群<2> = { 0，2，4 } =<4>
3生成的子群<3> = { 0,3 }
5生成的子群<5> = Z6 =<1>
2021/4/18
18
生成的子群举例2
<Z12,+12>
4.H中每一元都有逆元 条件2
∴H为G的子群.
2021/4/18
8
子群的判定定理2
定理10.5：设G为群，HG非空，若对H中的任 意元素a,b都有ab-1∈H，则H为G的子群.
证：1.G中单位元e也为H中的单位元
aHG，则aa-1 =eH，且ae=ea=a，∴e也为H中么元
2.H中每一元都有逆元 aH，∵eH，由题设得，ea-1H，即a-1H
<Z6,+6>
{0，1，2，3，4，5}
2021/4/18
3
思考：子集是否可以做成群？
Klein 四元群中{e,a},{a,b} <Z6,+6>中{0,1},{0,2},{0,3} <S3,•>中的{f1, f2}, {f1, f5}
2021/4/18
4
子群
定义10.5：设<G,*>是一个群，HG非空， 若<H,*>也构成群，则称<H,*>为<G,*> 的一个子群。 记作HG.
2021/4/18
28
3.H对乘法封闭 a,bH，由上可知b-1H,∴有a(b-1) -1=abH
4.可结合性显然
∴H为G的子群.
2021/4/18
9
有限子群的判定定理
定理10.6：G是一个群，BG非空，如果|B|有限，那 么只要*在B上封闭，<B,*>必定是<G,*>的子群。
证： b∈B，由*在B上封闭，则b2=b*b， b3=b2*b,...,∈B，由B有限，必存在i<j，s.t. bi=bj , 即bi*e=bi=bi*bj-i，从而可知bj-i为G中单位元，
Klein 四元群
*eabc eeabc aaecb bbcea ccbae
<Z4,+4> {0，1，2，3}
2021/4/18
2
六阶群<S3,•>和<Z6,+6>
<S3,•>
f1={<1,1>,<2,2>,<3,3>} f2={<1,2>,<2,1>,<3,3>} f3={<1,3>,<2,2>,<3,1>} f4={<1,1>,<2,3>,<3,2>} f5={<1,2>,<2,3>,<3,1>} f6={<1,3>,<3,2>,<2,1>}
S3 ={f1, f2, f3, f4, f5, f6}
2021/4/18
13
子群判定定理应用实例1
群G的中心C G
证明：单位元e C，所以C非空。 a,b C, g G, 则ag=ga,bg=gb, 从而有b-1g=gb-1，
(ab-1) g = a(b-1g) = a(gb-1) = (ag)b-1=(ga) b-1=g (ab-1)
且在B中。
若j-i>1，则由bj-i =b* bj-i-1可知bj-i-1为b的逆元，
若j-i=1，则由bi=bi*b可知b为单位元以自身为逆
总之b均在B中有逆元，因此，B为G的子群.
2021/4/18
10
特殊子群——中心与正规化子
中心
C = { a | a∈G, ∀x∈G(ax=xa) }
a 的正规化子
2021/4/18
16
生成的子群
a生成的子群<a> = { ak | k∈Z } ， a∈G
注:e=a0,a的逆元为a-1
B生成的子群<B> = ∩{ H | H≤G, B⊆H },
B⊆G
B
{a1k1
ak2 2
.
.
.ankn
|nZ
且i 1,2,...,n, ai B, ki Z}
2021/4/18
为等价关系，且[a]R=Ha
(6) a,b∈G, Ha∩Hb=∅ 或Ha=Hb，且∪Ha=G
26
陪集的性质
定义左陪集 aH={ ah | h∈H } 性质类似 a∈bH ⇔ aH=bH ⇔ a−1b∈H H 在G 中的指数[G:H] H 在G 中的右（或者左）陪集数
27
作业
P218
20-24
如果子群H是G的真子集，则称为真子群， 记作H<G.
子群{e}及G称为G的平凡子群。
2021/4/18
5
子群中的元素
设<G,*>是一个群，<S,*>是<G,*>的一个 子群，那么<G,*>中的单位元e必定也是 <S,*>中的单位元。x在G 中的逆元也是 在S 中的逆元。
2021/4/18
6
子群举例
所以ab-1 C, C G
14
子群证明举例2
设H,KG, 则 HKG
▪ 证：单位元e HK,所以HK非空! ▪ 任给a,bHK, 因为H,KG, 则ab-1HK
2021/4/18
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子群证明举例3
设H,KG, 则HKG HKKH
证 :只证必要性 假若h(hH,hK), k(kK,kH)， 则hkH，否则k=h-1(hk)H,矛盾. 同理hkK, 从而hkHK。 但是h,kHK, 与HKG矛盾。
<a,b>= G
20
子群格
设G是一个群，S={H |HG}是G的所有子
群的集合，在S上定义关系如下：
A B当且仅当A是 B的子群
则<S, >构成偏序集，称为群G的子群 格。
21
子群举例
写出下列群的所有子群
Klein 四元群
<a>
G <b>
<c>
<e>
<Z12,+12>
<3>
Z12 <2>
<Z12,+12>
<3>={0,3,6,9}的右陪集分别是 <3>+1={1,4,7,10},<3>+2={2,5,8,11}, <3>
Klein 四元群G={e,a,b,c}
子群H={e,a}的右陪集分别是He=Ha=H, Hb=Hc={b,c}。
25
陪集的性质
定理10.7-9: G 为群，H 是G 的子群，则 (1) He=H； (2) a∈Ha； (3) Ha≈H； (4) a∈Hb ⇔ ab−1∈H ⇔ Ha=Hb (5) 在G 上定义二元关系R, aRb⇔ab−1∈H，则R
群(Group)
定义10.1（3）：设<G,*>是一个代数系统， 其中G是非空集合，*是G上一个二元运算， 如果
(1).运算*封闭 (2).运算*可结合 (3).存在单位元e (4).对于每一个元素x∈G，存在着它的逆元x-1
则称<G,*>是一个群.
2021/4/18
1
Klein四元群和<Z4,+4>
2021/4/18
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中心的性质与举例
某些非交换群G的中心C = {e}，非交换群 G的中心C < G.
(1) <Mn(R),>n阶实可逆矩阵乘法群； (2) 所有行列式为1的n阶实可逆矩阵关于矩
阵乘法； (3)集合A={1,2,3}上所有的双射函数构成集
合S3，则关于映射的复合作成的群.
<6>
<4>
<0>
2021/4/18
22
子群的阶整除群的阶？
元素的阶整除群的阶？
2021/4/18
23
陪集
定义10.6 : G 为群，H≤G, a∈G, 右陪 集 Ha = { ha | h∈H }
Ha 中的a 称为该陪集的代表元素 类似地，有左陪集aH = {ah | h∈H }
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陪集实例ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
写出下列群的所有子群
Klein 四元群 & <Z4,+4>
<Z6,+6> & <S3,•>
2021/4/18
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子群的判定定理1
定理10.4：G是群，H是G的非空子集， 则HG a,bH, abH, b-1H.
证：只证充分性
1.封闭性 条件1
2.可结合性 显然
3.有单位元
由条件1，有aa-1属于H
N(a) = { x | x∈G, xa=ax }, a∈G
2021/4/18
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中心的性质与举例
交换群G的中心是群G本身，即C = G
(1) <Z,+>无限群， (2) <Z6,+6>模6整数加群 (3) <Z4,+4>模4整数加群 (4) Klein 四元群G={e,a,b,c} (5) <P(B),>群
2生成的子群<2> = { 0,2,4,6,8,10 } 3生成的子群<3> = { 0,3,6,9 }