第4讲 子群的性质

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生成的子群
a生成的子群<a> = { ak | k∈Z } ， a∈G
注:e=a0,a的逆元为a-1
B生成的子群<B> = ∩{ H | H≤G, B⊆H },
B⊆G
B
{a1k1
ak2 2
.
.
.ankn
|nZ
且i 1,2,...,n, ai B, ki Z}
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<Z12,+12>
<3>={0,3,6,9}的右陪集分别是 <3>+1={1,4,7,10},<3>+2={2,5,8,11}, <3>
Klein 四元群G={e,a,b,c}
子群H={e,a}的右陪集分别是He=Ha=H, Hb=Hc={b,c}。
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陪集的性质
定理10.7-9: G 为群，H 是G 的子群，则 (1) He=H； (2) a∈Ha； (3) Ha≈H； (4) a∈Hb ⇔ ab−1∈H ⇔ Ha=Hb (5) 在G 上定义二元关系R, aRb⇔ab−1∈H，则R
写出下列群的所有子群
Klein 四元群 & <Z4,+4>
<Z6,+6> & <S3,•>
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子群的判定定理1
定理10.4：G是群，H是G的非空子集， 则HG a,bH, abH, b-1H.
证：只证充分性
1.封闭性 条件1
2.可结合性 显然
3.有单位元
由条件1，有aa-1属于H
<Z6,+6>
{0，1，2，3，4，5}
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思考：子集是否可以做成群？
Klein 四元群中{e,a},{a,b} <Z6,+6>中{0,1},{0,2},{0,3} <S3,•>中的{f1, f2}, {f1, f5}
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子群
定义10.5：设<G,*>是一个群，HG非空， 若<H,*>也构成群，则称<H,*>为<G,*> 的一个子群。 记作HG.
S3 ={f1, f2, f3, f4, f5, f6}
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子群判定定理应用实例1
群G的中心C G
证明：单位元e C，所以C非空。 a,b C, g G, 则ag=ga,bg=gb, 从而有b-1g=gb-1，
(ab-1) g = a(b-1g) = a(gb-1) = (ag)b-1=(ga) b-1=g (ab-1)
所以ab-1 C, C G
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子群证明举例2
设H,KG, 则 HKG
▪ 证：单位元e HK,所以HK非空! ▪ 任给a,bHK, 因为H,KG, 则ab-1HK
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子群证明举例3
设H,KG, 则HKG HKKH
证 :只证必要性 假若h(hH,hK), k(kK,kH)， 则hkH，否则k=h-1(hk)H,矛盾. 同理hkK, 从而hkHK。 但是h,kHK, 与HKG矛盾。
为等价关系，且[a]R=Ha
(6) a,b∈G, Ha∩Hb=∅ 或Ha=Hb，且∪Ha=G
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陪集的性质
定义左陪集 aH={ ah Baidu Nhomakorabea h∈H } 性质类似 a∈bH ⇔ aH=bH ⇔ a−1b∈H H 在G 中的指数[G:H] H 在G 中的右（或者左）陪集数
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作业
P218
20-24
如果子群H是G的真子集，则称为真子群， 记作H<G.
子群{e}及G称为G的平凡子群。
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子群中的元素
设<G,*>是一个群，<S,*>是<G,*>的一个 子群，那么<G,*>中的单位元e必定也是 <S,*>中的单位元。x在G 中的逆元也是 在S 中的逆元。
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子群举例
4.H中每一元都有逆元 条件2
∴H为G的子群.
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子群的判定定理2
定理10.5：设G为群，HG非空，若对H中的任 意元素a,b都有ab-1∈H，则H为G的子群.
证：1.G中单位元e也为H中的单位元
aHG，则aa-1 =eH，且ae=ea=a，∴e也为H中么元
2.H中每一元都有逆元 aH，∵eH，由题设得，ea-1H，即a-1H
<a,b>= G
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子群格
设G是一个群，S={H |HG}是G的所有子
群的集合，在S上定义关系如下：
A B当且仅当A是 B的子群
则<S, >构成偏序集，称为群G的子群 格。
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子群举例
写出下列群的所有子群
Klein 四元群
<a>
G <b>
<c>
<e>
<Z12,+12>
<3>
Z12 <2>
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3.H对乘法封闭 a,bH，由上可知b-1H,∴有a(b-1) -1=abH
4.可结合性显然
∴H为G的子群.
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有限子群的判定定理
定理10.6：G是一个群，BG非空，如果|B|有限，那 么只要*在B上封闭，<B,*>必定是<G,*>的子群。
证： b∈B，由*在B上封闭，则b2=b*b， b3=b2*b,...,∈B，由B有限，必存在i<j，s.t. bi=bj , 即bi*e=bi=bi*bj-i，从而可知bj-i为G中单位元，
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中心的性质与举例
某些非交换群G的中心C = {e}，非交换群 G的中心C < G.
(1) <Mn(R),>n阶实可逆矩阵乘法群； (2) 所有行列式为1的n阶实可逆矩阵关于矩
阵乘法； (3)集合A={1,2,3}上所有的双射函数构成集
合S3，则关于映射的复合作成的群.
<6>
<4>
<0>
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子群的阶整除群的阶？
元素的阶整除群的阶？
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陪集
定义10.6 : G 为群，H≤G, a∈G, 右陪 集 Ha = { ha | h∈H }
Ha 中的a 称为该陪集的代表元素 类似地，有左陪集aH = {ah | h∈H }
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陪集实例
群(Group)
定义10.1（3）：设<G,*>是一个代数系统， 其中G是非空集合，*是G上一个二元运算， 如果
(1).运算*封闭 (2).运算*可结合 (3).存在单位元e (4).对于每一个元素x∈G，存在着它的逆元x-1
则称<G,*>是一个群.
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Klein四元群和<Z4,+4>
Klein 四元群
*eabc eeabc aaecb bbcea ccbae
<Z4,+4> {0，1，2，3}
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六阶群<S3,•>和<Z6,+6>
<S3,•>
f1={<1,1>,<2,2>,<3,3>} f2={<1,2>,<2,1>,<3,3>} f3={<1,3>,<2,2>,<3,1>} f4={<1,1>,<2,3>,<3,2>} f5={<1,2>,<2,3>,<3,1>} f6={<1,3>,<3,2>,<2,1>}
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生成的子群举例
整数加群<Z,+>,
2生成的子群<2> = { 2k | k∈Z }
模6加群<Z6,+6>,
2生成的子群<2> = { 0，2，4 } =<4>
3生成的子群<3> = { 0,3 }
5生成的子群<5> = Z6 =<1>
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生成的子群举例2
<Z12,+12>
N(a) = { x | x∈G, xa=ax }, a∈G
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中心的性质与举例
交换群G的中心是群G本身，即C = G
(1) <Z,+>无限群， (2) <Z6,+6>模6整数加群 (3) <Z4,+4>模4整数加群 (4) Klein 四元群G={e,a,b,c} (5) <P(B),>群
且在B中。
若j-i>1，则由bj-i =b* bj-i-1可知bj-i-1为b的逆元，
若j-i=1，则由bi=bi*b可知b为单位元以自身为逆
总之b均在B中有逆元，因此，B为G的子群.
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特殊子群——中心与正规化子
中心
C = { a | a∈G, ∀x∈G(ax=xa) }
a 的正规化子
2生成的子群<2> = { 0,2,4,6,8,10 } 3生成的子群<3> = { 0,3,6,9 }
Klein 四元群
<e>={e},<a>={a,e}, <b>={b,e},<c>={c,e}
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生成的子群举例3
<Z12,+12>
B={2,3}生成的子群<B> = Z12
Klein 四元群G={e,a,b,c}