天津市高二数学上学期期末联考试题 理 新人教A版
抛物线 期末复习拔高卷-2022-2023学年高二上学期数学人教A版2019选择性必修第一册含答案
3.3抛物线 期末复习拔高卷一、单选题 1．抛物线214x y =的焦点到准线的距离为 A ．18B ．12C ．2D ．82．抛物线22y x =的焦点坐标为（ ）．A ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,8⎛⎫- ⎪⎝⎭3．已知抛物线28y x =的焦点为,F P 为该抛物线上的一动点，()6,3A 为平面上的一定点，则PA PF +的最小值为（ ）A ．8B ．10C ．12D ．144．试在抛物线24y x =-上求一点P ，使其到焦点F 的距离与到()2,1A -的距离之和最小，则最小值为（ ）A ．3B ．4C ．1D ．5．点P 到点1,02A ⎛⎫⎪⎝⎭、(),2B a 及到直线12x =-的距离都相等，如果这样的点P 恰好只有一个，则实数a 的值为（ ） A ．1B ．1±C ．12D ．12±6．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，过F 且倾斜角为4π的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，||8AB =，过A ，B 两点分别作抛物线的切线，交于点Q ．下列说法正确的是( ) A ．QA QB ⊥B ．AOB (O 为坐标原点)的面积为C ．112||||AF BF += D ．若()1,1M ，P 是抛物线上一动点，则||||PM PF +的最小值为527．以下五个关于圆锥曲线的命题中：①平面内到定点A （1，0）和定直线l ：2x =的距离之比为12的点的轨迹方程是22143x y +=； ①点P 是抛物线22y x =上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 的坐标是()3,6A ，则PA PM +的最小值是6；①平面内到两定点距离之比等于常数λ（0λ>）的点的轨迹是圆；①若动点(),M x y 24x y =--，则动点M 的轨迹是双曲线；①若过点()1,1C 的直线l 交椭圆22143x y +=于不同的两点A ，B ，且C 是AB 的中点，则直线l 的方程是3470x y +-=．其中真命题个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线C :y 2=2px (0p >)的焦点为F ，直线x =3与抛物线C 交于A ，B 两点，｜AF |=4，圆E 为FAB 的外接圆，直线OM 与圆E 切于点M ，点N 在圆E 上，则OM ON ⋅的取值范围是（ ） A ．63,925⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[]3,21-C ．63,2125⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[]3,27二、多选题9．已知抛物线C ：214y x =的焦点为F ，P 为C 上一点，下列说法正确的是（ ） A ．C 的准线方程为116y =-B ．直线1y x =-与C 相切C ．若()0,4M ，则PM 的最小值为D ．若()3,5M ，则PMF △的周长的最小值为1110．与直线0x y +仅有一个公共点的曲线是 A ．221x y += B ．2212x y +=C ．221x y -=D ．2y x =11．（多选）已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线与抛物线交于点()11,P x y ，()22,Q x y ，点P ，Q 在l 上的射影为1P ，1Q ，则下列说法正确的是（ ）A ．若126x x +=，则8PQ =B ．以PQ 为直径的圆与准线l 相切C ．若()0,1M ，则12PM PP +≥D ．1190PFQ ∠=︒12．泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交会的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交会，却在转瞬间无处寻觅．已知点()10M ，，直线l ：2x =-，若某直线上存在点P ，使得点P 到点M 的距离比到直线l 的距离小1，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论正确的是（ ） A ．点P 的轨迹曲线是一条线段B ．点P 的轨迹与直线'l ：=1x -是没有交会的轨迹(即两个轨迹没有交点)C ．26y x =+不是“最远距离直线”D ．112y x =+是“最远距离直线” 三、填空题13．设抛物线C ：22y px =(0p >)的焦点为F ，准线为l ，点A 为抛物线C 上一点，以F 为圆心，FA 为半径的圆交l 于B 、D 两点，若120BFD ∠=，ABD ∆的面积为p =_______.14．抛物线具有以下光学性质：从焦点出发的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴．该性质在实际生产中应用非常广泛．如图所示，从抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 向y 轴正方向发出的两条光线a ，b 分别经抛物线上的A ，B 两点反射，已知两条入射光线与x 轴所成锐角均为60°，且323FA FB +=，则p =______．15．若过抛物线2y x =的焦点F 的直线l 交抛物线于A 、B 两点，且直线l 的倾斜角π4θ≥，点A 在x 轴上方，则FA 的取值范围是______．16．给定曲线族()()24sin 2cos 68sin cos 10x y θθθθ-+-++=，θ为参数，则这些曲线在直线2y x =上所截得的弦长的最大值是_____四、解答题17．求满足下列条件的曲线的标准方程：(1)长轴在x 轴上，长轴的长为12，离心率为23的椭圆的标准方程； (2)准线方程为=2y -的抛物线的标准方程；(3)焦点()12,0F -，()22,0F ，一个顶点为()1,0的双曲线的标准方程. 18．动圆P 与定圆A ：2221x y 外切，且与直线l ：1x =相切，求动圆圆心P 的轨迹方程．19．已知抛物线的顶点是坐标原点O ，焦点在x 轴上，且抛物线上的点(4)M m ，到焦点的距离是5.(1)求该抛物线的标准方程和m 的值；(2)若过点(20)，的直线l 与该抛物线交于A ，B 两点，求证：OA OB ⋅为定值. 20．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2． （1）求C 的方程;（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足9PQ QF =，求直线OQ 斜率的最大值.21．已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，点()4,4M 在C 上.(1)求以MF 为直径的圆E 的方程：(2)若直线l 交抛物线C 于异于M 的P ，Q 两点，且直线MP 和直线MQ 关于直线4x =对称，直线PQ 被圆E 所截得的弦长为PQ 的方程.22．已知抛物线()2:20C y px p =>上的任意一点到焦点的距离比到y 轴的距离大12.(1)求抛物线C 的方程；(2)过抛物线外一点(),P m n 作抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，若三角形ABP 的重心G 在定直线3:2l y x=上，求三角形ABP 面积的最大值。
人教版高二上学期期末数学试卷(理)(有答案)
黑龙江省大庆高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）向量，若，则x的值为（）A．﹣3 B．1 C．﹣1 D．32．（5分）已知函数f（x）=x+lnx，则f′（1）的值为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣23．（5分）某学校高一、高二、高三共有学生3500人，其中高三学生数是高一学生数的两倍，高二学生数比高一学生数多300人，现在按的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生数为（）A．8 B．11 C．16 D．104．（5分）某公司在2014年上半年的收入x（单位：万元）与月支出y（单位：万元）的统计资料如下表所示：月份1月份2月份3月份4月份5月份6月份收入x12.314.515.017.019.820.6支出Y 5.63 5.75 5.82 5.89 6.11 6.18根据统计资料，则（）A．月收入的中位数是15，x与y有正线性相关关系B．月收入的中位数是17，x与y有负线性相关关系C．月收入的中位数是16，x与y有正线性相关关系D．月收入的中位数是16，x与y有负线性相关关系5．（5分）齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛，则田忌获胜的概率为（）A ．B ．C ．D ．6．（5分）点集Ω={（x，y）|0≤x≤e，0≤y≤e}，A={（x，y）|y≥e x，（x，y）∈Ω}，在点集Ω中任取一个元素a，则a∈A的概率为（）A ．B ．C ．D ．7．（5分）下列说法错误的是（）A．“函数f（x）的奇函数”是“f（0）=0”的充分不必要条件．B．已知A，B，C不共线，若=，则P是△ABC的重心．C．命题“∃x0∈R，sinx0≥1”的否定是：“∀x∈R，sinx＜1”．D．命题“若α=，则cos”的逆否命题是：“若cos，则”．8．（5分）过双曲线的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B 两点，D为虚轴上的一个端点，且△ABD为直角三角形，则此双曲线离心率的值为（）A．B．C．或D．或9．（5分）若双曲线x2+my2=m（m∈R）的焦距4，则该双曲线的渐近线方程为（）A．B．C． D．10．（5分）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于（）A．B．C．D．11．（5分）设函数f（x）=x2﹣9lnx在区间[a﹣1，a+1]上单调递减，则实数a的取值范围是（）A．（1，2]B．[4，+∞）C．（﹣∞，2]D．（0，3]12．（5分）设函数f（x）=sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知命题“∃x∈R，x2﹣ax+1＜0”为假命题，则实数a的取值范围是．14．（5分）由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，若∠APB=120°，则动点P的轨迹方程为．15．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值是．16．（5分）已知函数f（x）=e x﹣e﹣x+1（e为自然对数的底数），若f（2x﹣1）+f（4﹣x2）＞2，则实数x的取值范围为．三、解答题（本大题共6个小题，17题10分，其余各题各12分，共70分）17．（10分）已知过抛物线y2=8x的焦点，斜率为的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）两点．（1）求线段AB的长度；（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求λ的值．18．（12分）已知关于x的二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1．（Ⅰ）设集合A={﹣1，1，2}和B={﹣2，﹣1，1}，分别从集合A，B中随机取一个数作为a 和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．（Ⅱ）设点（a，b）是区域内的随机点，求函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．19．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，E为AB的中点，PA⊥平面ABCD，且PA=2（1）在棱PD上求一点F，使AF∥平面PEC；（2）求二面角D﹣PE﹣A的余弦值．20．（12分）已知函数f（x）=e x（ax+b）﹣x2﹣4x，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y=4x+4．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值．21．（12分）已知椭圆的两个焦点分别为，，点M（1，0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点M（1，0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，设点N（3，2），记直线AN，BN 的斜率分别为k1，k2，求证：k1+k2为定值．22．（12分）设函数（1）当x∈（0，+∞），恒成立，求实数a的取值范围．（2）设g（x）=f（x）﹣x在[1，e2]上有两个极值点x1，x2．（A）求实数a的取值范围；（B）求证：．大庆高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）向量，若，则x的值为（）A．﹣3 B．1 C．﹣1 D．3【解答】解：∵向量，，∴=﹣4+4x﹣8=0，解得x=3．故选：D．2．（5分）已知函数f（x）=x+lnx，则f′（1）的值为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2【解答】解：∵f（x）=x+lnx，∴f′（x）=1+∴f′（1）=1+=2故选B3．（5分）某学校高一、高二、高三共有学生3500人，其中高三学生数是高一学生数的两倍，高二学生数比高一学生数多300人，现在按的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生数为（）A．8 B．11 C．16 D．10【解答】解：设高一学生有x人，则高三有2x，高二有x+300，∵高一、高二、高三共有学生3500人，∴x+2x+x+300=3500，∴x=800，∵按的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，∴应抽取高一学生数为=8故选A．4．（5分）某公司在2014年上半年的收入x（单位：万元）与月支出y（单位：万元）的统计资料如下表所示：月份1月份2月份3月份4月份5月份6月份收入x12.314.515.017.019.820.6支出Y 5.63 5.75 5.82 5.89 6.11 6.18根据统计资料，则（）A．月收入的中位数是15，x与y有正线性相关关系B．月收入的中位数是17，x与y有负线性相关关系C．月收入的中位数是16，x与y有正线性相关关系D．月收入的中位数是16，x与y有负线性相关关系【解答】解：月收入的中位数是=16，收入增加，支出增加，故x与y有正线性相关关系，故选：C．5．（5分）齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛，则田忌获胜的概率为（）A ．B ．C ．D ．【解答】解：设齐王的上，中，下三个等次的马分别为a，b，c，田忌的上，中，下三个等次的马分别为记为A，B，C，从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛的所有的可能为Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，根据题设其中Ab，Ac，Bc是胜局共三种可能，则田忌获胜的概率为=，故选：A6．（5分）点集Ω={（x，y）|0≤x≤e，0≤y≤e}，A={（x，y）|y≥e x，（x，y）∈Ω}，在点集Ω中任取一个元素a，则a∈A的概率为（）A．B．C． D．【解答】解：点集Ω表示的平面区域的面积为：，集合A所表示的平面区域如图所示，其面积为：，结合几何概型计算公式可得所求的概率值为：．故选：B．7．（5分）下列说法错误的是（）A．“函数f（x）的奇函数”是“f（0）=0”的充分不必要条件．B．已知A，B，C不共线，若=，则P是△ABC的重心．C．命题“∃x0∈R，sinx0≥1”的否定是：“∀x∈R，sinx＜1”．D．命题“若α=，则cos”的逆否命题是：“若cos，则”．【解答】解：对于A，函数f（x）为奇函数，若f（0）有意义，则f（0）=0，则“函数f（x）为奇函数”是“f（0）=0”的非充分非必要条件，故A错误；对于B，已知A，B，C不共线，若=，可得+==2，（D为AB的中点），即有P在AB的中线上，同理P也在BC的中线上，在CA的中线上，则P是△ABC的重心，故B正确；对于C，命题“∃x0∈R，sinx0≥1”的否定是：“∀x∈R，sinx＜1”，由命题的否定形式，可得C 正确；对于D，由逆否命题的形式可得，命题“若α=，则cosα=”的逆否命题为“若cosα≠，则α≠”，故D正确．故选：A．8．（5分）过双曲线的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B 两点，D为虚轴上的一个端点，且△ABD为直角三角形，则此双曲线离心率的值为（）A．B．C．或D．或【解答】解：设双曲线的右焦点F2（c，0），令x=﹣c，可得y=±，可得A（c，﹣），B（c，），又设D（0，b），△ABD为直角三角形，可得∠DBA=90°，即b=或∠BDA=90°，即=0，解：b=可得a=b，c=，所以e==；由=0，可得：（c，）（c，﹣）=0，可得c2+b2﹣=0，可得e4﹣4e2+2=0，e＞1，可得e=，综上，e=或．故选：D．9．（5分）若双曲线x2+my2=m（m∈R）的焦距4，则该双曲线的渐近线方程为（）A．B．C． D．【解答】解：根据题意，双曲线x2+my2=m（m∈R）的焦距4，可得=2c=4，解可得m=﹣3，则双曲线的方程为：，其渐近线方程为：y=±x；故选：D．10．（5分）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于（）A．B．C．D．【解答】解：取A1C1的中点D1，连接B1D1，AD1，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，B1D1⊥面ACC1A1，则∠B1AD1是AB1与侧面ACC1A1所成的角，∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，∴，故选A．11．（5分）设函数f（x）=x2﹣9lnx在区间[a﹣1，a+1]上单调递减，则实数a的取值范围是（）A．（1，2]B．[4，+∞）C．（﹣∞，2]D．（0，3]【解答】解：∵f（x）=x2﹣9lnx，∴函数f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=x﹣，∵x＞0，∴由f′（x）=x﹣＜0，得0＜x＜3．∵函数f（x）=x2﹣9lnx在区间[a﹣1，a+1]上单调递减，∴，解得1＜a≤2．故选A．12．（5分）设函数f（x）=sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【解答】解：由题意可得，f（x0）=±，即=kπ+，k∈z，即x0=m．再由x02+[f（x0）]2＜m2，即x02+3＜m2，可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，∴m2 ＞m2+3，∴m2＞4．求得m＞2，或m＜﹣2，故选：C．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知命题“∃x∈R，x2﹣ax+1＜0”为假命题，则实数a的取值范围是[﹣2，2] ．【解答】解：∵命题“存在实数x，使x2﹣ax+1＜0”的否定是任意实数x，使x2﹣ax+1≥0，命题否定是真命题，∴△=（﹣a）2﹣4≤0∴﹣2≤a≤2．实数a的取值范围是：[﹣2，2]．故答案为：[﹣2，2]．14．（5分）由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，若∠APB=120°，则动点P的轨迹方程为x2+y2=．【解答】解：连接OP，AB，OA，OB，∵PA，PB是单位圆O的切线，∴PA=PB，OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OPA=∠OPB=∠APB=60°，又OA=OB=1，∴OP=，∴P点轨迹为以O为圆心，以为半径的圆，∴P点轨迹方程为x2+y2=．故答案为：x2+y2=．15．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值是．【解答】解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出S=sin+sin+ (i)的值，由于sin，k∈Z的取值周期为6，且2017=336×6+1，所以S=sin+sin+…sin=336×（sin+sin+…+sin）+sin=．故答案为：．16．（5分）已知函数f（x）=e x﹣e﹣x+1（e为自然对数的底数），若f（2x﹣1）+f（4﹣x2）＞2，则实数x的取值范围为（﹣1，3）．【解答】解：根据题意，令g（x）=f（x）﹣1=e x﹣e﹣x，有g（﹣x）=f（﹣x）﹣1=e﹣x﹣e x=﹣g（x），则g（x）为奇函数，对于g（x）=e x﹣e﹣x，其导数g′（x）=e x+e﹣x＞0，则g（x）为增函数，且g（0）=e0﹣e0=0，f（2x﹣1）+f（4﹣x2）＞2⇒f（2x﹣1）﹣1＞﹣f（4﹣x2）+1⇒f（2x﹣1）＞﹣[f（4﹣x2）﹣1]⇒g（2x﹣1）＞g（x2﹣4），又由函数g（x）为增函数，则有2x﹣1＞x2﹣4，即x2﹣2x﹣3＜0解可得：﹣1＜x＜3，即实数x的取值范围为（﹣1，3）；故答案为：（﹣1，3）．三、解答题（本大题共6个小题，17题10分，其余各题各12分，共70分）17．（10分）已知过抛物线y2=8x的焦点，斜率为的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）两点．（1）求线段AB的长度；（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求λ的值．【解答】解：（1）直线AB的方程是y=2 （x﹣2），与y2=8x联立，消去y得x2﹣5x+4=0，由根与系数的关系得x1+x2=5．由抛物线定义得|AB|=x1+x2+p=9，（2）由x2﹣5x+4=0，得x1=1，x2=4，从而A（1，﹣2），B（4，4）．设=（x3，y3）=（1，﹣2）+λ（4，4）=（4λ+1，4λ﹣2），又y2=8x3，即[2（2λ﹣1）]2=8（4λ+1），即（2λ﹣1）2=4λ+1，解得λ=0或λ=2．18．（12分）已知关于x的二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1．（Ⅰ）设集合A={﹣1，1，2}和B={﹣2，﹣1，1}，分别从集合A，B中随机取一个数作为a 和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．（Ⅱ）设点（a，b）是区域内的随机点，求函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．【解答】解：要使函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，需a＞0且，即a＞0且2b≤a．（Ⅰ）所有（a，b）的取法总数为3×3=9个．满足条件的（a，b）有（1，﹣2），（1，﹣1），（2，﹣2），（2，﹣1），（2，1）共5个，所以所求概率．（Ⅱ）如图，求得区域的面积为．由，求得．所以区域内满足a＞0且2b≤a的面积为．所以所求概率．19．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，E为AB的中点，PA⊥平面ABCD，且PA=2（1）在棱PD上求一点F，使AF∥平面PEC；（2）求二面角D﹣PE﹣A的余弦值．【解答】解：（1）以BD为x轴，CA为y轴，AC与BD的交点为O，过O作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系．A（0，1，0），，C（0，﹣1，0），，P（0，1，2），设，，，则=（）．设平面PEC的法向量为=（x，y，z），，，则，∴，取y=﹣1，得=（﹣，﹣1，1）．∵AF∥平面PEC，∴=﹣3λ+λ+2﹣2λ=0，解得，∴F为PD中点．（2）=（，，0），=（，﹣，0），设平面PEA的法向量=（x，y，z），则，取x=，得平面PEA的法向量=（，﹣3，0），设平面PED的法向量=（x，y，z），则，取x=，得=（），cos＜＞===﹣，由二面角D﹣PE﹣A为锐二面角，因此，二面角D﹣PE﹣A的余弦值为．20．（12分）已知函数f（x）=e x（ax+b）﹣x2﹣4x，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y=4x+4．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=e x（ax+b）﹣x2﹣4x，∴f′（x）=e x（ax+a+b）﹣2x﹣4，∵曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y=4x+4∴f（0）=4，f′（0）=4∴b=4，a+b=8∴a=4，b=4；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=4e x（x+1）﹣x2﹣4x，f′（x）=4e x（x+2）﹣2x﹣4=4（x+2）（e x﹣），令f′（x）=0，得x=﹣ln2或x=﹣2∴x∈（﹣∞，﹣2）或（﹣ln2，+∞）时，f′（x）＞0；x∈（﹣2，﹣ln2）时，f′（x）＜0∴f（x）的单调增区间是（﹣∞，﹣2），（﹣ln2，+∞），单调减区间是（﹣2，﹣ln2）当x=﹣2时，函数f（x）取得极大值，极大值为f（﹣2）=4（1﹣e﹣2）．21．（12分）已知椭圆的两个焦点分别为，，点M（1，0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点M（1，0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，设点N（3，2），记直线AN，BN 的斜率分别为k1，k2，求证：k1+k2为定值．【解答】解：（Ⅰ）依题意，，a2﹣b2=2，∵点M（1，0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直，∴b=|OM|=1，∴．…（3分）∴椭圆的方程为．…（4分）（II）①当直线l的斜率不存在时，由解得．设，，则为定值．…（5分）②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y=k（x﹣1）．将y=k（x﹣1）代入整理化简，得（3k2+1）x2﹣6k2x+3k2﹣3=0．…（6分）依题意，直线l与椭圆C必相交于两点，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．…（7分）又y1=k（x1﹣1），y2=k（x2﹣1），所以=====．．…．…（13分）综上得k1+k2为常数2..…．…（14分）22．（12分）设函数（1）当x∈（0，+∞），恒成立，求实数a的取值范围．（2）设g（x）=f（x）﹣x在[1，e2]上有两个极值点x1，x2．（A）求实数a的取值范围；（B）求证：．【解答】解：（1）∵，且x＞0，∴．令，则．①当a≤0时，U'（x）＞0，U（x）在（1，+∞）上为单调递增函数，∴x＞1时，U（x）＞U（1）=0，不合题意．②当0＜a＜2时，时，U'（x）＞0，U（x）在上为单调递增函数，∴，U（x）＞U（1）=0，不合题意．③当a＞2时，，U'（x）＜0，U（x）在上为单调递减函数．∴时，U（x）＞U（1）=0，不合题意．④当a=2时，x∈（0，1），U'（x）＞0，U（x）在（0，1）上为单调递增函数．x∈（1，+∞），U'（x）＜0，U（x）在（1，+∞）上为单调递减函数．∴U（x）≤0，符合题意．综上，a=2．（2），x∈[1，e2]．g'（x）=lnx﹣ax．令h（x）=g'（x），则由已知h（x）=0在（1，e2）上有两个不等的实根．（A）①当时，h'（x）≥0，h（x）在（1，e2）上为单调递增函数，不合题意．②当a≥1时，h'（x）≤0，h（x）在（1，e2）上为单调递减函数，不合题意．③当时，，h'（x）＞0，，h'（x）＜0，所以，h（1）＜0，，h（e2）＜0，解得．（B）证明：由已知lnx1﹣ax1=0，lnx2﹣ax2=0，∴lnx1﹣lnx2=a（x1﹣x2）．不妨设x1＜x2，则，则=．令，（0＜x＜1）．则，∴G（x）在（0，1）上为单调递增函数，∴即，∴，∴，∴，由（A），∴ae＜1，2ae＜2，∴．。
高二数学高中数学新课标人教A版试题答案及解析
高二数学高中数学新课标人教A版试题答案及解析1.执行如图1所示的程序框图，如果输入的，则输出的属于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】当时,运行程序如下,,当时,,则,故选D.【考点】程序框图二次函数2.过点引直线分别交轴正半轴于两点，当面积最小时，直线的方程是__________．【答案】【解析】设直线方程为(当且仅当即时取等号 ) .【点晴】本题主要考查直线方程和重要不等式，属于中档题型.但是本题比较容易犯错，使用该公式时一定要牢牢抓住一正、二定、三相等这三个条件，如果不符合条件则：非正化正、非定构定、不等作图（单调性）.平时应熟练掌握双钩函数的图像，还应加强非定构定、不等作图这方面的训练，并注重表达的规范性，才能灵活应对这类题型.3.如图，输入时，则输出的________.【答案】【解析】由算法流程图提供的算法程序可知：当时，输出，应选答案C。
4.二项式的展开式中常数项是（）A．-28B．-7C．7D．28【答案】C【解析】常数项，故选B.【考点】二项式的展开式.5.设是复数，则下列命题中的假命题是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】D【解析】对于A中，若，则，所以是正确的；对于B中，若，则和互为共轭复数，所以是正确的；对于C中，设，若，则，，所以是正确的；对于D中，若，则，而，所以不正确，故选D.【考点】复数的概念与运算.6.设函数（1）若时，解不等式；（2）若不等式的对一切恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】（1）当时，||+||，利用零点分段法解不等式或者利用图象解不等式；（2）若不等式的对一切恒成立，则，因为时，，故恒成立，，．试题解析：（1）解：||+||，即或或或或所以原不等式的解集为[]（2）||+||对一切恒成立,,恒成立，即恒成立，当时，，【考点】1、绝对值不等式解法；2、函数的最值.7.已知函数，设为的导函数，根据以上结果，推断_____________.【答案】【解析】.8.用反证法证明命题“设为实数，则方程没有实数根”时，要做的假设是A．方程至多有一个实根B．方程至少有一个实根C．方程至多有两个实根D．方程恰好有两个实根【答案】A【解析】至少有一个实根的反面为没有实根 ,所以选A.9.若，则的值是（）A．6B．4C．3D．2【答案】D【解析】略10.某长方体的三视图如右图，长度为的体对角线在正视图中的投影长度为，在侧视图中的投影长度为，则该长方体的全面积为（）A．B．C．6D．10【答案】B【解析】由三视图设长方体中同一顶点出发的三条棱长为、、，则有，解方程组得到，所以该长方体的面积为，故选B.【考点】1、空间几何体的三视图；2、空间几何体的表面积.11.利用数学归纳法证明不等式的过程中，由变成时，左边增加了（）A．1项B．项C．项D．项【答案】D【解析】由题意得，当时，不等式的左侧为，当时，不等式的左侧为，所以变成时，左边增加了，共有项，故选D.【考点】数学归纳法.12.已知圆与圆的公共点的轨迹为曲线，且曲线与轴的正半轴相交于点．若曲线上相异两点满足直线的斜率之积为．（1）求的方程；（2）证明直线恒过定点，并求定点的坐标．【答案】（1）；（2）证明见解析，．【解析】（1）确定，可得曲线是长轴长，焦距的椭圆，即可求解椭圆的方程；（2）分类讨论，设出直线的方程，代入椭圆的方程，利用韦达定理，结合直线的斜率之积为，即可证直线恒过定点，并求出定点的坐标．试题解析：（1）设⊙，⊙的公共点为,由已知得，，故，因此曲线是长轴长，焦距的椭圆，所以曲线；（2）由曲线的方程得，上顶点，记，若直线的斜率不存在，则直线的方程为，故，且，因此，与已知不符，因此直线AB的斜率存在，设直线，代入椭圆：①因为直线与曲线有公共点，所以方程①有两个非零不等实根，故，又，，由，得即所以化简得：，故或，结合知，即直线恒过定点．【考点】椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置关系的应用．【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系的应用、判定直线过定点问题等知识点的综合考查，解答中设出直线的方程，代入椭圆的方程，利用判别式和根与系数的关系及韦达定理，结合直线的斜率之积为是解答本题的关键，注重考查了分析问题和解答问题的能力及转化与化归思想的应用，试题有一定的难度，属于中档试题．13.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos＝．（1）求cos B的值；（2）若，b＝2，求a和c的值．【答案】（1）（2）【解析】解：(1)∵cos＝，∴sin＝， 2分∴cos B＝1－2sin2＝. 5分(2)由可得a·c·cos B＝2，又cos B＝，故ac＝6， 6分由b2＝a2＋c2－2ac cos B可得a2＋c2＝12， 8分∴(a－c)2＝0，故a＝c，∴a＝c＝10分【考点】解三角形点评：解决的关键是根据诱导公式以及二倍角公式和向量的数量积结合余弦定理来求解，属于中档题。
高中数学 第一章 常用逻辑用语章末综合测评(含解析)新人教A版高二选修2-1数学试题
章末综合测评(一) 常用逻辑用语(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列语句中是命题的为()①x2－3＝0；②与一条直线相交的两直线平行吗？③3＋1＝5；④∀x∈R,5x－3>6．A．①③B．②③C．②④D．③④D[①不能判断真假，②是疑问句，都不是命题；③④是命题．]2．命题“若△ABC不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等”的逆否命题是() A．若△ABC是等腰三角形，则它的任何两个内角相等B．若△ABC中任何两个内角不相等，则它不是等腰三角形C．若△ABC中有两个内角相等，则它是等腰三角形D．若△ABC中任何两个内角相等，则它是等腰三角形C[将原命题的条件否定作为结论，为“△ABC是等腰三角形”，结论否定作为条件，为“有两个内角相等”，再调整语句，即可得到原命题的逆否命题，为“若△ABC中有两个内角相等，则它是等腰三角形”，故选C．]3．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是()A．任意一个有理数，它的平方是有理数B．任意一个无理数，它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数B[根据特称命题的否定是全称命题，先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，故该命题的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．故选B．]4．命题p：x＋y≠3，命题q：x≠1或y≠2，则命题p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[命题“若p，则q”的逆否命题为：“若x＝1且y＝2，则x＋y＝3”，是真命题，故原命题为真，反之不成立．]5．“关于x的不等式f(x)＞0有解”等价于()A．∃x0∈R，使得f(x0)＞0成立B ．∃x 0∈R ，使得f (x 0)≤0成立C ．∀x ∈R ，使得f (x )＞0成立D ．∀x ∈R ，f (x )≤0成立A [“关于x 的不等式f (x )＞0有解”等价于“存在实数x 0，使得f (x 0)＞0成立”．故选A ．]6．若命题(p ∨(q ))为真命题，则p ，q 的真假情况为( )A ．p 真，q 真B ．p 真，q 假C ．p 假，q 真D ．p 假，q 假C [由(p ∨(q ))为真命题知，p ∨(q )为假命题，从而p 与q 都是假命题，故p 假q 真．]7．已知命题p ：∀x >0，总有(x ＋1)e x >1，则p 为( )A ．∃x 0≤0，使得(x 0＋1)e x 0≤1B ．∃x 0>0，使得(x 0＋1)e x 0≤1C ．∀x >0，总有(x ＋1)e x ≤1D ．∀x ≤0，使得(x ＋1)e x ≤1B [因为全称命题∀x ∈M ，p (x )的否定为∃x 0∈M ，p (x )，故p ：∃x 0>0，使得(x 0＋1)e x 0≤1．]8．已知命题p ：若(x －1)(x －2)≠0，则x ≠1且x ≠2；命题q ：存在实数x 0，使2x 0＜0．下列选项中为真命题的是( )A ．pB ．p ∨qC ．q ∧pD ．qC [很明显命题p 为真命题，所以p 为假命题；由于函数y ＝2x ，x ∈R 的值域是(0，＋∞)，所以q 是假命题，所以q 是真命题．所以p ∨q 为假命题，q ∧p 为真命题，故选C ．]9．条件p ：x ≤1，且p 是q 的充分不必要条件，则q 可以是( )A ．x >1B ．x >0C ．x ≤2D ．－1<x <0B [∵p ：x ≤1，∴p ：x >1，又∵p 是q 的充分不必要条件，∴p ⇒q ，q 推不出p ，即p 是q 的真子集．]10．下列各组命题中，满足“p ∨q ”为真，且“p ”为真的是( )A ．p ：0＝∅；q ：0∈∅B ．p ：在△ABC 中，若cos 2A ＝cos 2B ，则A ＝B ；q ：函数y ＝sin x 在第一象限是增函数C ．p ：a ＋b ≥2ab (a ，b ∈R )；q ：不等式|x |>x 的解集为(－∞，0)D ．p ：圆(x －1)2＋(y －2)2＝1的面积被直线x ＝1平分；q ：过点M (0,1)且与圆(x －1)2＋(y －2)2＝1相切的直线有两条C [A 中，p 、q 均为假命题，故“p ∨q ”为假，排除A ；B 中，由在△ABC 中，cos 2A ＝cos 2B ，得1－2sin 2A ＝1－2sin 2B ，即(sin A ＋sin B )(sin A －sin B )＝0，所以A －B ＝0，故p 为真，从而“p ”为假，排除B ；C 中，p 为假，从而“p ”为真，q 为真，从而“p ∨q ”为真；D 中，p 为真，故“p ”为假，排除D ．故选C ．] 11．已知p ：∃x ∈R ，mx 2＋1≤0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0，若“p ∨q ”为假命题，则实数m 的取值X 围为( )A ．[2，＋∞)B ．(－∞，－2]C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．[－2,2]A [由题意知p ，q 均为假命题，则p ，q 为真命题．p ：∀x ∈R ，mx 2＋1>0，故m ≥0，q ：∃x ∈R ，x 2＋mx ＋1≤0，则Δ＝m 2－4≥0，即m ≤－2或m ≥2，由⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2得m ≥2．故选A ．] 12．设a ，b ∈R ，则“2a ＋2b ＝2a ＋b ”是“a ＋b ≥2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [利用基本不等式，知2a ＋b ＝2a ＋2b ≥22a ·2b ，化简得2a ＋b ≥22，所以a ＋b ≥2，故充分性成立；当a ＝0，b ＝2时，a ＋b ＝2,2a ＋2b ＝20＋22＝5,2a ＋b ＝22＝4，即2a ＋2b ≠2a ＋b ，故必要性不成立．故选A ．]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．命题“不等式x 2＋x －6>0的解为x <－3或x >2”的逆否命题是________．若－3≤x ≤2，则x 2＋x －6≤0[“不等式x 2＋x －6>0的解为x <－3或x >2”即为：“若x 2＋x －6>0，则x <－3或x >2”，根据逆否命题的定义可得：若－3≤x ≤2，则x 2＋x －6≤0．]14．写出命题“若x 2＝4，则x ＝2或x ＝－2”的否命题为________．若x 2≠4，则x ≠2且x ≠－2 [命题“若x 2＝4，则x ＝2或x ＝－2”的否命题为“若x 2≠4，则x ≠2且x ≠－2”．]15．若命题“∃t ∈R ，t 2－2t －a <0”是假命题，则实数a 的取值X 围是________． (－∞，－1][命题“∃t ∈R ，t 2－2t －a <0”是假命题．则∀t ∈R ，t 2－2t －a ≥0是真命题，∴Δ＝4＋4a ≤0，解得a ≤－1．∴实数a 的取值X 围是(－∞，－1]．]16．已知p ：－4<x －a <4，q ：(x －2)(3－x )>0，若p 是q 的充分条件，则实数a 的取值X 围是________．[－1,6][p ：－4<x －a <4⇔a －4<x <a ＋4，q ：(x －2)(3－x )>0⇔2<x <3．因为p 是q 的充分条件，即p ⇒q ，所以q 是p 的充分条件，即q ⇒p ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤2，a ＋4≥3，解得－1≤a ≤6．] 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)将命题“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”改写成“若p ，则q ”的形式，并写出它的逆命题、否命题和逆否命题，同时判断它们的真假．[解]“若p ，则q ”的形式：若一个四边形的一组对边平行且相等，则这个四边形是平行四边形．(真命题)逆命题：若一个四边形是平行四边形，则这个四边形的一组对边平行且相等．(真命题) 否命题：若一个四边形的一组对边不平行或不相等，则这个四边形不是平行四边形．(真命题)逆否命题：若一个四边形不是平行四边形，则这个四边形的一组对边不平行或不相等．(真命题)18．(本小题满分12分)写出下列命题的否定，并判断其真假，同时说明理由．(1)q ：所有的矩形都是正方形；(2)r ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2≤0；(3)s ：至少有一个实数x 0，使x 30＋3＝0．[解](1)q ：至少存在一个矩形不是正方形，真命题．这是由于原命题是假命题． (2)r ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0，真命题．这是由于∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2＝(x ＋1)2＋1≥1>0恒成立．(3)s ：∀x ∈R ，x 3＋3≠0，假命题．这是由于当x ＝－33时，x 3＋3＝0． 19．(本小题满分12分)(1)是否存在实数m ，使得2x ＋m <0是x 2－2x －3>0的充分条件？(2)是否存在实数m ，使得2x ＋m <0是x 2－2x －3>0的必要条件？[解](1)欲使得2x ＋m <0是x 2－2x －3>0的充分条件，则只要⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－m 2⊆{x |x <－1或x >3}， 则只要－m 2≤－1，即m ≥2， 故存在实数m ≥2，使2x ＋m <0是x 2－2x －3>0的充分条件．(2)欲使2x ＋m <0是x 2－2x －3>0的必要条件，则只要⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－m 2⊇{x |x <－1或x >3}， 则这是不可能的，故不存在实数m 使2x ＋m <0是x 2－2x －3>0的必要条件．20．(本小题满分12分)已知p ：x 2－8x －33>0，q ：x 2－2x ＋1－a 2>0(a >0)，若p 是q 的充分不必要条件，求正实数a 的取值X 围．[解]解不等式x 2－8x －33>0，得p ：A ＝{x |x >11或x <－3}；解不等式x 2－2x ＋1－a 2>0，得q ：B ＝{x |x >1＋a 或x <1－a ，a >0}．依题意p ⇒q 但q p ，说明A B ．于是有⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，1＋a ≤11，1－a >－3或⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，1＋a <11，1－a ≥－3，解得0<a ≤4，所以正实数a 的取值X 围是(0,4]．21．(本小题满分12分)证明：函数f (x )＝a ·2x ＋a －22x ＋1(x ∈R )是奇函数的充要条件是a ＝1． [证明](充分性)若a ＝1，则函数化为f (x )＝2x －12x ＋1(x ∈R )．因为f (－x )＝2－x －12－x ＋1＝12x－112x ＋1＝1－2x 1＋2x＝－2x －12x ＋1＝－f (x )，所以函数f (x )是奇函数． (必要性)若函数f (x )是奇函数，则f (－x )＝－f (x )，所以a ·2－x ＋a －22－x ＋1＝－a ·2x ＋a －22x ＋1， 所以a ＋(a －2)·2x 2x ＋1＝－a ·2x ＋a －22x ＋1， 所以a ＋(a －2)·2x ＝－a ·2x －a ＋2，所以2(a －1)(2x ＋1)＝0，解得a ＝1．综上所述，函数f (x )＝a ·2x ＋a －22x ＋1(x ∈R )是奇函数的充要条件是a ＝1． 22．(本小题满分12分)已知命题p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实根；q ：不等式4x 2＋4(m －2)x ＋1>0的解集为R ．若p ∨q 为真，q 为假，某某数m 的取值X 围．[解]由方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实根，得Δ＝m 2－4>0，解得m >2或m <－2． ∴命题p 为真时，m >2或m <－2；命题p 为假时，－2≤m ≤2．由不等式4x 2＋4(m －2)x ＋1>0的解集为R ，得方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0的根的判别式Δ′＝16(m －2)2－16<0，解得1<m <3．∴命题q 为真时，1<m <3；命题q 为假时，m ≤1或m ≥3．∵p ∨q 为真，q 为假，∴p 真q 假，∴⎩⎪⎨⎪⎧m >2或m <－2，m ≤1或m ≥3，解得m <－2或m ≥3． ∴实数m 的取值X 围为(－∞，－2)∪[3，＋∞)．。
第二章直线和圆的方程章末质量检测试卷 - 高二新教材数学上学期(人教A版2019选择性必修第一册)
第二章直线和圆的方程质量检测卷(时间:120分钟分值:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.1.过点A(3,-4),B(-2,m)的直线l的斜率为-2,则m的值为()A.6B.1C.2D.4解析:由题意知直线l的斜率为-2,则m+4=-2,解得m=6.-2-3答案:A2.过点(-1,2),且斜率为2的直线的方程是()A.2x-y+4=0B.2x+y=0C.2x-y+5=0D.x+2y-3=0解析:因为直线过点(-1,2),且斜率为2,所以该直线方程为y-2=2(x+1),即2x-y+4=0.答案:A3.圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是()A.(x-1)2+(y-1)2=1B.(x+1)2+(y+1)2=1C.(x+1)2+(y+1)2=2D.(x-1)2+(y-1)2=2解析:由题意,知圆的半径r=√12+12=√2,所以圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2.答案:D4.过点(2,0)且与直线2x-4y-1=0平行的直线的方程是()A.x-2y-1=0B.2x+y-4=0C.x-2y-2=0D.x+2y-2=0解析:由题意,知直线2x-4y-1=0的斜率k=1,故所求直线的方程为2(x-2),化简得x-2y-2=0.y-0=12答案:C5.过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2-4y=0所截得的弦长为()A.√3B.2C.√6D.2√3解析:由题意,知过原点且倾斜角为60°的直线方程为y=√3x.因为圆的方程可化为x2+(y-2)2=4,所以半径r=2,圆心为(0,2),且(0,2)到直线y=√3x的距离d=1,所以弦长为2√22-12=2√3.答案:D6.当点P在圆x2+y2=1上运动时,连接点P与定点Q(3,0),线段PQ 的中点M的轨迹方程是()A.(x+3)2+y2=1B.(x -3)2+y 2=1C.(2x -3)2+4y 2=1D.(2x +3)2+4y 2=1解析:设动点P 的坐标为(x 0,y 0),PQ 的中点M 的坐标为(x ,y ), 可得{x =x 0+32,y =y 02,解得{x 0=2x -3,y 0=2y . 因为点P (x 0,y 0)在圆x 2+y 2=1上, 所以(2x -3)2+(2y )2=1,即(2x -3)2+4y 2=1. 所以点M 的轨迹方程是(2x -3)2+4y 2=1. 答案:C7.已知圆C 的半径为2,圆心在x 轴的正半轴上,直线3x +4y +4=0与圆C 相切,则圆C 的方程为 ( )A.x 2+y 2-2x -3=0B.x 2+y 2+4x =0C.x 2+y 2+2x -3=0D.x 2+y 2-4x =0解析:由题意设圆心坐标为C (a ,0)(a >0).因为圆C 与直线3x +4y +4=0相切,圆C 的半径为2,所以√9+16=2,解得a =2,所以圆心为C (2,0),所以圆C 的方程为(x -2)2+y 2=4,即x 2+y 2-4x =0. 答案:D8.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回军营,怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中,设军营所在区域为x 2+y 2≤1,若将军从点A (3,0)处出发,河岸线所在直线方程为x +y =4,并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营,则“将军饮马”的最短总路程为 ( )A.√17-1B.√17-√2C.√17D.3-√2解析:如图所示,设点A 关于直线x +y =4的对称点为A'(a ,b ),军营所在区域的圆心为O ,连接A'O.根据题意,|A'O |-1为最短距离. 所以线段AA'的中点为(a+32,b 2),直线AA'的斜率为1, 所以直线AA'的方程为y =x -3. 根据题意,得{a+32+b2=4,b =a -3,解得{a =4,b =1,所以点A'的坐标为(4,1),所以|A'O |=√42+12=√17, 所以|A'O |-1=√17-1,即“将军饮马”的最短总路程为√17-1.答案:A二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知A(-2,-4),B(1,5)两点到直线l:ax+y+1=0的距离相等,则实数a 的值为()A.-3B.3C.-1D.1解析:因为A(-2,-4),B(1,5)两点到直线l:ax+y+1=0的距离相等,所以√a2+1=√a2+1,即|2a+3|=|a+6|,解得a=3或a=-3.故选AB.答案:AB10.已知直线l1:x+ay-a=0和直线l2:ax-(2a-3)y-1=0,下列说法正确的是()A.直线l2始终过定点(23,1 3 )B.若l1∥l2,则a=1或a=-3C.若l1⊥l2,则a=0或a=2D.当a>0时,l1始终不过第三象限解析:直线l2:a(x-2y)+3y-1=0始终过定点(23,13),A项正确;当a=1时,l1,l2重合,B项错误;由1×a +a ×(3-2a )=0,得a =0或a =2,C 项正确;直线l 1的方程可化为y =-1a x +1,可知其始终过点(0,1).当a >0时,直线l 1的斜率为负,不会过第三象限,D 项正确.故选ACD . 答案:ACD11.过点P (2,4)引圆(x -1)2+(y -1)2=1的切线,则切线的方程为 ( ) A.x =-2 B.x =2 C.4x -3y +4=0 D.4x +3y -4=0解析:根据题意,知圆(x -1)2+(y -1)2=1的圆心为(1,1),半径r =1. 过点P (2,4)引圆(x -1)2+(y -1)2=1的切线,若切线的斜率不存在,此时切线的方程为x =2,符合题意;若切线的斜率存在,设此时切线的斜率为k ,则其方程为y -4=k (x -2),即kx -y -2k +4=0,所以√k 2+1=1,解得k =43,则切线的方程为4x -3y +4=0.综上所述,切线的方程为x =2或4x -3y +4=0. 故选BC . 答案:BC12.若圆O 1:x 2+y 2-2x =0和圆O 2:x 2+y 2+2x -4y =0的交点为A ,B ,则有( )A.公共弦AB 所在直线的方程为x -y =0B.线段AB 的垂直平分线的方程为x +y -1=0C.公共弦AB 的长为√22D.P 为圆O 1上一动点,则点P 到直线AB 的距离的最大值为√22+1 解析:已知圆O 1:x 2+y 2-2x =0和圆O 2:x 2+y 2+2x -4y =0的交点为A ,B ,两圆的方程相减可得圆O 1与圆O 2的公共弦AB 所在直线的方程为 x -y =0,故A 项正确;由题意,知O 1(1,0),O 2(-1,2),线段O 1O 2所在直线斜率为-1,线段O 1O 2的中点为(0,1),所以线段AB 的垂直平分线的方程为y -1=-x ,即x +y -1=0,故B 项正确;由题意,知圆O 1:x 2+y 2-2x =0的圆心为O 1(1,0),半径r 1=1,圆心O 1(1,0)到直线x -y =0的距离d =√2=√22,所以点P 到直线AB 的距离的最大值为√22+1,圆O 1与圆O 2的公共弦AB 的长为2√1-12=√2,故C 项错误,D 项正确.故选ABD . 答案:ABD三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若直线l 1:ax +y +2a =0与直线l 2:x +ay +3=0互相平行,则实数a =±1.解析:由两直线平行的条件,得{a 2-1=0,3a -2a ≠0,解得a =±1.14.圆C :x 2+y 2-2x -4y +4=0的圆心到直线l :3x +4y +4=0的距离d =3. 解析:由题意,知圆心坐标为(1,2),所以圆心到直线l :3x +4y +4=0的距离d =√32+42=3.15.已知圆C 1:x 2+y 2=1和圆C 2:(x -4)2+(y -3)2=r 2(r >0)外切,则r 的值为4;若点A (x 0,y 0)在圆C 1上,则x 02+y 02-4x 0的最大值为5.(本题第一空2分,第二空3分)解析:由两个圆外切可得圆心距等于两个圆的半径之和, 所以√(4-0)2+(3-0)2=1+r ,解得r =4.因为点A (x 0,y 0)在圆C 1上,所以x 02+y 02=1,且x 0∈[-1,1], 所以x 02+y 02-4x 0=1-4x 0∈[-3,5], 所以x 02+y 02-4x 0的最大值为5.16.在△ABC 中,BC 边上的高所在直线的方程为x -2y +1=0,角A 的平分线所在直线的方程为y =0,顶点B 的坐标为(1,2),则△ABC 的面积为12.解析:由方程组{x -2y +1=0,y =0,求得点A 的坐标为(-1,0).因为边AB所在直线的斜率为k AB =1,且角A 的平分线所在直线的方程为y =0,所以边AC 所在直线的斜率为-1,其方程为y =-(x +1),即y =-x -1.因为BC 边上的高所在直线的方程为x -2y +1=0,所以边BC 所在直线的斜率为-2,所以边BC 所在直线的方程为y -2=-2(x -1),即y =-2x +4.联立方程,得{y =-2x +4,y =-x -1,解得{x =5,y =-6,即顶点C 的坐标为(5,-6),所以|BC |=4√5,点A 到直线BC 的距离d =√5=√5,所以△ABC 的面积为S =12|BC |·d =12×4√5×√5=12.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)在△ABC 中,点A 的坐标为(0,1),AB 边上的高CD 所在直线的方程为x +2y -4=0,AC 边上的中线BE 所在直线的方程为2x +y -3=0.(1)求直线AB 的方程; (2)求直线BC 的方程.解:(1)由已知,得直线AB 的斜率为2, 所以AB 边所在直线的方程为y -1=2(x -0), 即2x -y +1=0.(2)由{2x -y +1=0,2x +y -3=0,得{x =12,y =2, 即点B 的坐标为(12,2).设点C 的坐标为(m ,n ),则由已知条件得{m +2n -4=0,2×m 2+n+12-3=0, 解得{m =2,n =1,所以点C 的坐标为(2,1).所以BC 边所在直线的方程为y -12-1=x -212-2,即2x +3y -7=0.18.(12分)已知直线l 1:mx +8y +n =0和直线l 2:2x +my -1=0,试分别确定满足下列条件的m ,n 的值.(1)l 1与l 2相交于点(m ,-1); (2)l 1∥l 2;(3)l 1⊥l 2,且l 1在y 轴上的截距为-1. 解:(1)因为l 1与l 2相交于点(m ,-1), 所以点(m ,-1)在l 1,l 2上.将点(m ,-1)代入l 2的方程,得2m -m -1=0,解得m =1. 所以交点的坐标为(1,-1).把点(1,-1)的坐标代入l 1的方程,得n =7. 所以m =1,n =7.(2)要使l 1∥l 2,则有{m 2-16=0,m ×(-1)-2n ≠0,解得{m =4,n ≠-2或{m =-4,n ≠2.(3)要使l 1⊥l 2,则有2m +8m =0,解得m =0. 将m =0代入直线l 1的方程,得y =-n8.因为l 1在y 轴上的截距为-1, 所以-n8=-1,解得n =8.所以m =0,n =8.19.(12分)已知直线l :y =kx +3(k >0)与x 轴、y 轴围成的三角形面积为94,圆M 的圆心在直线l 上,与x 轴相切,且在y 轴上截得的弦长为4√6.(1)求直线l 的方程(结果用一般式表示); (2)求圆M 的标准方程.解:(1)在直线方程y =kx +3(k >0)中,令x =0,得y =3;令y =0,得x =-3k . 所以12×3×|-3k |=94. 因为k >0,所以k =2.所以直线l 的方程为2x -y +3=0.(2)设圆M 的标准方程为(x -a )2+(y -b )2=r 2(r >0).由题意可知{2a -b +3=0,|b |=r ,(2√6)2+|a |2=r 2,解得{a =-5,b =-7,r =7或{a =1,b =5,r =5.故圆M 的标准方程为(x +5)2+(y +7)2=49 或(x -1)2+(y -5)2=25.20.(12分)一座圆拱桥,当水面在如图所示的位置时,拱顶离水面2 m,水面宽12 m,当水面下降1 m 后,水面宽多少米?解:以圆拱顶点为原点,以过圆拱顶点的竖直直线为y 轴,建立如图所示的平面直角坐标系.设圆拱所在圆的圆心为C ,水面所在弦的端点为A ,B ,则由已知可得A (6,-2).设圆的半径为r ,则C (0,-r),即圆的方程为x 2+(y +r )2=r 2.将点A 的坐标代入可得r =10,所以圆的方程为x 2+(y +10)2=100.当水面下降1 m 后,可设A'(x 0,-3)(x 0>0)在圆上,代入x 2+(y +10)2=100,解得x 0=√51,即当水面下降1 m 后,水面宽为2x 0=2√51 m .21.(12分)在平面直角坐标系Oxy 中,曲线y =x 2-6x +1与坐标轴的交点都在圆C 上.(1)求圆C 的方程;(2)若圆C 与直线x -y +a =0交于A ,B 两点,且OA ⊥OB ,求a 的值. 解:(1)由题意,得曲线y =x 2-6x +1与y 轴的交点为(0,1),与x 轴的交点为(3+2√2,0), (3-2√2,0).故可设圆C 的圆心为(3,t ),则有32+(t -1)2=(2√2)2+t 2,解得t =1, 所以圆C 的半径为√32+(1-1)2=3,所以圆C 的方程为(x -3)2+(y -1)2=9.(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则两点的坐标满足方程组{x -y +a =0,(x -3)2+(y -1)2=9.消去y 整理,得2x 2+(2a -8)x +a 2-2a +1=0.由已知可得,判别式Δ=56-16a -4a 2>0,且x 1+x 2=4-a ,x 1x 2=a 2-2a+12.①由于OA ⊥OB ,可得x 1x 2+y 1y 2=0.因为y 1=x 1+a ,y 2=x 2+a ,所以2x 1x 2+a (x 1+x 2)+a 2=0. ②由①②,得a =-1,经检验a =-1满足Δ>0,所以a =-1.22.(12分)已知圆M 与直线x =2相切,圆心M 在直线x +y =0上,且直线x -y -2=0被圆M 截得的弦长为2√2.(1)求圆M 的方程,并判断圆M 与圆N :x 2+y 2-6x +8y +15=0的位置关系.(2)若在x 轴上的截距为-1且不与坐标轴垂直的直线l 与圆M 交于A ,B 两点,在x 轴上是否存在定点Q , 使得k AQ +k BQ =0?若存在,求出Q 点坐标;若不存在,说明理由.解:(1)设圆M 的圆心为M (a ,-a ),半径为r ,则{r =|a -2|,√2=√r 2-(2√22)2,解得{a =0,r =2,即圆心坐标为(0,0),r =2, 所以圆M 的方程为x 2+y 2=4.由题意知,圆N 的圆心为(3,-4),半径R =√10,r +R =2+√10,R -r =√10-2.因为|MN |=5,√10-2<5<√10+2,所以圆M 与圆N 相交.(2)存在.方法一:设l :x =my -1(m ≠0),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由{x =my -1,x 2+y 2=4,得(m 2+1)y 2-2my -3=0.由根与系数的关系,得{y 1+y 2=2mm 2+1,y 1y 2=-3m 2+1. 假设存在Q (t ,0)满足条件, 则k AQ =y 1x 1-t =y 1my 1-t -1,k BQ =y 2x 2-t =y 2my 2-t -1,由k AQ +k BQ =0,得y 1my 1-t -1+y 2my 2-t -1=0, 即y 1[my 2-(t+1)]+y 2[my 1-(t+1)](my 1-t -1)(my 2-t -1) =2my 1y 2-(t+1)(y 1+y 2)(my 1-t -1)(my 2-t -1) =-6m -2m (t+1)(m 2+1)(my 1-t -1)(my 2-t -1)=0, 即2m (t +4)=0且m ≠0,所以t =-4. 所以存在Q (-4,0)满足条件. 方法二:设l :y =k (x +1)(k ≠0),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2). 由{y =k (x +1),x 2+y 2=4,得(k 2+1)x 2+2k 2x +k 2-4=0, 则{x 1+x 2=-2k 2k 2+1,x 1x 2=k 2-4k 2+1. 假设存在Q (t ,0)满足条件, 则k AQ +k BQ =y 1x 1-t +y 2x 2-t =k (x 1+1)x 1-t +k (x 2+1)x 2-t =k [(x 1+1)(x 2-t )+(x 2+1)(x 1-t )](x 1-t )(x 2-t ) =k [2x 1x 2-t (x 1+x 2)-2t+x 1+x 2](x 1-t )(x 2-t ) =k [2k 2-8+2k 2t -2k 2t -2t -2k 2](k 2+1)(x 1-t )(x 2-t )=k(-8-2t)=0,(k2+1)(x1-t)(x2-t)解得t=-4.所以存在Q(-4,0)满足条件.。
高二数学高中数学新课标人教A版试题答案及解析
高二数学高中数学新课标人教A版试题答案及解析1.做变速直线运动的物体的速度满足，该物体在内经过的路程为9，则的值为( ) A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】将区间均分成个小区间，记第个区间为，此区间长为，用小矩形面积近似代替相应的小曲边梯形的面积，则近似地等于速度曲线与直线t＝0，t＝a，t轴围成的曲边梯形的面积．依题意得，∴解得a＝3.【考点】定积分的概念.2.甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面.不同的安排方法共有（）A．20种B．30种C．40种D．60种【答案】A【解析】根据题意，分析可得，甲可以被分配在星期一、二、三；据此分3种情况讨论，计算可得其情况数目，进而由加法原理，计算可得答案．解：根据题意，要求甲安排在另外两位前面，则甲有3种分配方法，即甲在星期一、二、三；分3种情况讨论可得，甲在星期一有A42=12种安排方法，甲在星期二有A32=6种安排方法，甲在星期三有A22=2种安排方法，总共有12+6+2=20种；故选A．3.设是复数，则下列命题中的假命题是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】D【解析】对于A中，若，则，所以是正确的；对于B中，若，则和互为共轭复数，所以是正确的；对于C中，设，若，则，，所以是正确的；对于D中，若，则，而，所以不正确，故选D.【考点】复数的概念与运算.4.已知复数，则（）A．B．z的实部为1C．z的虚部为﹣1D．z的共轭复数为1+i【答案】C【解析】由题意可得，所以A错；C,D均错。
所以选B5.设函数为奇函数，其图象在点处的切线与直线垂直，导函数的最小值为．（1）求的值；（2）求函数的单调递增区间，并求函数在上的最大值和最小值．【答案】(1) (2) 最大值是，最小值是．【解析】(1)利用函数为奇函数,建立恒等式⋯①,切线与已知直线垂直得⋯②导函数的最小值得⋯③.解得的值;(2)通过导函数求单调区间及最大值,最小值.试题解析：(1)因为为奇函数，所以即，所以， 2分因为的最小值为，所以， 4分又直线的斜率为，因此，，∴． 6分(2)单调递增区间是和． 9分在上的最大值是，最小值是． 12分【考点】奇函数的性质,求函数的导数,及通过导数研究函数的单调区间及最值.6.用反证法证明命题“如果，那么”时，假设的内容应是 ( )A．B．C．且D．或【答案】C【解析】略7.用反证法证明命题“设为实数，则方程没有实数根”时，要做的假设是A．方程至多有一个实根B．方程至少有一个实根C．方程至多有两个实根D．方程恰好有两个实根【答案】A【解析】至少有一个实根的反面为没有实根 ,所以选A.8.已知与之间的一组数据：则与的线性回归方程为必过点（）A．B．C．D．【答案】D【解析】回归直线必过点（），而，，所以回归直线过点，故选D.【考点】线性回归直线方程9.若不等式对任意的恒成立，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵，∴，∴，∴，而为减函数，∴当时，函数取得最小值，最小值为1，∴.【考点】1.恒成立问题；2.函数的单调性；3.对数式.10.已知,函数,若.(1)求的值并求曲线在点处的切线方程;(2)设,求在上的最大值与最小值.【答案】（1）（2）在上有最大值1,有最小值.【解析】解:(1) ,由得,所以;当时,, ,又,所以曲线在处的切线方程为,即; 6分(2)由(1)得,又, , ,∴在上有最大值1,有最小值.- 12分【考点】导数的运用点评：主要是根据导数的几何意义求解切线方程以及函数的最值，属于中档题。
高二数学第三次月考卷02(人教A版选修1~4章)-24-25学年高中上学期第三次月考(考试版A4)
2023-2024学年高二数学上学期第三次月考卷02（人教A 版2019）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教A 版2019选择性必修第一册全部内容+选择性必修第二册第四章数列（第一章 空间向量与立体几何21%+第二章 直线和圆的方程21%+第三章 圆锥曲线的方程26%+第四章 数列32%）。
5．难度系数：0.65。
第一部分（选择题 共58分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．等差数列{}()*n a n ÎN 中，274110,2a a a a =-=，则7a =（ ）A ．40B ．30C ．20D ．102．经过点()()3,2,4,4A B -的直线在y 轴上的截距是（ ）A ．207B ．207-C ．10D ．-23．已知抛物线C ：2y mx =过点(，则抛物线C 的准线方程为（ ）A ．58x =B ．58x =-C ．38y =D ．38y =-4．设,R x y Î，向量(,1,1)a x =-r ，(1,,1)b y =r ，(2,4,2)c =-r ，且a c ^r r ，//b c r r ，则×=r r a b （ ）A ．B ．0C ．1D ．25．已知点P 是圆 22:4210C x y x y +--+=上一点，点(1,5)Q -，则线段PQ 长度的最大值为（ ）A ．3B ．5C ．7D ．96．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若51012,48S S ==，则20S =（ ）A ．324B ．420C ．480D ．7687．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，若存在空间一点P ，满足1312433DP DA DC DD =+-u uuu r uuu r u uu r uuu r ，则点P 到直线BC 的距离为（ ）A ．56B C D 8．已知椭圆E ：22221x y a b +=（0a b >>）的左焦点为F ，过焦点F 作圆222x y b +=的一条切线l 交椭圆E 的一个交点为A ，切点为Q ，且2OA OF OQ +=uuu r uuu r uuu r （O 为坐标原点），则椭圆E 的离心率为（ ）A B C D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．设{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，且67789,a a S S S >=>，则下列结论正确的是（ ）A ．80a =B ．0d >C ．7S 与8S 均为n S 的最大值D ．8S 为n S 的最小值10．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,F F ，直线y kx =与双曲线交于,A B 两点（点A 在第一象限），且12F AF Ð=，若223BF AF =，则下列结论正确的是（ ）A B ．双曲线的渐近线方程为23y x =±C ．23a b=D ．若点P 是双曲线上异于,A B 的任意一点，则94PA PB k k ×=11．如图，已知正六棱柱ABCDEF A B C D E F ¢¢¢¢¢¢-的底面边长为2，所有顶点均在球O 的球面上，则下列说法错误的是（ ）A ．直线DE ¢与直线AF ¢异面B ．若M 是侧棱CC ¢上的动点，则AM MD ¢+C ．直线AF ¢与平面DFE ¢D ．球O 的表面积为18π第二部分（非选择题 共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中12题第一空2分，第二空3分。
人教版高二(理科)第一学期期末考试数学试题-含答案
2015～2016学年度第一学期期末考试试卷 高二（理） 数学 座位号第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、向量(1,2,2),(2,4,4)a b =-=--，则a b 与 （ ） A 、相交 B 、垂直 C 、平行 D 、以上都不对2、如果双曲线的半实轴长为2，焦距为6，那么该双曲线的离心率是 （ ）A 、32B 、62C 、32D 、23、已知命题:,sin 1,p x R x ∀∈≤则p ⌝是 （ ） A 、,sin 1x R x ∃∈≥ B 、,sin 1x R x ∀∈≥ C 、,sin 1x R x ∃∈> D 、,sin 1x R x ∀∈>4、若向量)0,2,1(=a ，)1,0,2(-=b ，则（ ）A 0120,cos >=<b aB b a ⊥C b a //D ||||b a =5、若原命题“0,0,0a b ab >>>若则”，则其逆命题、否命题、逆否命题中（ ） A 、都真 B 、都假 C 、否命题真 D 、逆否命题真6、 “2320x x -+≠”是“1x ≠” 的（ ）条件 （ ） A 、充分不必要 B 、必要不充分 C 、充要 D 、既不充分也不必要 7、若方程x 225－m ＋y 2m ＋9＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是( )A 、－9＜m ＜25B 、8＜m ＜25C 、16＜m ＜25D 、m ＞88、已知△ABC 的周长为20，且顶点B (0，－4)，C (0，4)，则顶点A 的轨迹方程是（ ）A ．1203622=+y x （x ≠0）B ．1362022=+y x （x ≠0）C ．120622=+y x （x ≠0）D ．162022=+y x （x ≠0）9、一位运动员投掷铅球的成绩是14m ，当铅球运行的水平距离是6m 时，达到最大高度4m .若铅球运行的路线是抛物线，则铅球出手时距地面的高度是（ ） A ． 1.75m B ． 1.85mC ． 2.15mD ． 2.25m 10、设a R ∈，则1a >是11a< 的（ ） A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 11.抛物线281x y -=的准线方程是 ( ) A ． 321=x B ． 2=y C ． 321=y D ． 2-=y12. 若A )1,2,1(-，B )3,2,4(，C )4,1,6(-，则△ABC 的形状是（ ） A ．不等边锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形第II 卷（非选择题共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13、经过点(1,3)A -，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程为 。
阿氏圆习题课+教学设计-2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
《阿氏圆习题课》课堂实录及教学启示摘要:以阿氏圆习题为例,带领学生回归教材,从教材中寻找解题方法,并进行深度思考,探讨如何运用教材进行有效的复习备考,从而更好地对接新高考,达到立德树人的育人目标. 关键词:阿氏圆;回归教材;复习备考一、引言新高考实施以来,如何更好地以新教材为载体进行复习备考,成为摆在一线教师面前的重大课题.近几年的高考试题,呈现一个显著特点,即从教材例题,习题进行深度的改编.因此,新教材的例题是高考复习备考的重要依据.以一道阿氏圆试题为例,阐述如何于课堂教学中引导学生应用新教材例题进行复习备考,探索使用新教材对接新高考的方式方法. 二、课堂实录1.试题呈现,初步求解湖北省鄂东南教改联盟2024高三期中联考第8题在ABC ∆中,2AB AC =,ABC ∆的面积为1,则BC 的最小值为 师：本题以三角形为载体考查学生是否掌握运用正弦定理,余弦定理等解决三角形问题.由于要求线段的最小值,常规解法是将线段BC 表示成某一个变量的函数关系,再借助函数求最值的方法求出最小值. 生:独立思考并给出解法设AC x =,2AB x =,BAC θ∠=,则12sin 12x x θ⋅⋅⋅=,即21sin x θ=. 在ABC ∆中,由余弦定理可得22254cos BC x x θ=-54cos sin θθ-=令54cos sin y θθ-=,则()2sin 16yθϕ+=+,25116y≤+,所以3y ≥,则3BC ≥从而BC 3【设计意图】抛出例题,学生独立思考,借助三角形的相关性质定理解决问题.此时学生虽然初步解决了问题,但是思维停留在静态,无法进一步提升思维,达不到深度课堂的要求. 2.引发认知冲突,回归课本师:在上述解法中,我们在ABC ∆中借助余弦定理和面积公式解决问题,将线段BC 表示成BAC θ∠=的函数,再运用三角函数的知识求出最小值.同学们可否换个角度思考问题：从运动变化的观点思考？ 生(众):思考….师:引导学生回顾湘教版数学选择性必修第一册第2.7节例2到两个定点A ,B 的距离之比为定值()0λλ>的所有的点组成什么形状的曲线？解:以B 为原点,建立平面直角坐标系.()0,0B ,(),0A a ,其中a AB =.设(),P x y 是平面上任意一点,由PAPBλ=,得()2222x a y x yλ-+=+,化简得()()222221120x yax a λλ-+--+=,当=1λ,曲线方程为220ax a -+=,即2ax =,这是线段AB 的垂直平分线 当1λ≠时,可化为2222211a a x y λλλ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭,这是圆的标准方程 可知当1λ≠时,曲线是圆.师:通过以上探究不难发现,当动点到两个定点的距离之比为定值且该定值不是1时,点的轨迹是圆,这样的圆在数学上叫做阿氏圆.显然圆心与两个定点共线,且两个定点一个在圆内,一个在圆外,明白了这些有助于我们画出图形辅助分析问题.同学们可否利用这个知识点来解决本道试题呢？生:由题目条件“2AB AC =”可知点如果将B ,C 两点固定,则点A 的轨迹是圆. 以B 为坐标原点,BC 所在直线为x 轴,建立平面直角坐标系,则()0,0B ,(),0C a ,设(),A x y ,由2AB AC =,得()22222x y x a y +=-+,化简得2224439a x a y ⎛⎫-+=⎪⎝⎭, 故点A 在以4,03a ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心,半径为23a 的圆上运动,则23y a ≤.又ABC ∆的面积为1,所以112a y ⋅⋅=,即2y a =又223aa ≤,所以3a ≥,即BC 的最小值为3. 师：显然,上述解法与原解法相比,不仅计算量小很多,更是在思维上技高一筹,凸显了深刻的数学思维,大道至简.同学们能够意识到本题实际上是动态问题,将思维由静态转化为动态,有一种豁然开朗的感觉.【设计意图】在环节1当中,虽然学生解决了问题,但是思维局限在静态,无法从动态的角度理解本道试题.此时教师引导学生回顾课本的例题,重温阿氏圆的探究过程,启发学生从动态的角度分析本道试题,从而给出基于深度思维的解答,提高了学生的数学思维能力. 3.强化训练,提升思维师:请同学们完成练习1 练习1:2023年皖东名校联盟高三9月第二次数学质检 已知,,又点在圆上且满足（）,则生（众）：设()11,P x y ,()()()()22222211x y x y -+-=-+-整理得22222222242482111k k kx y x yk k k---++++=---,与比较系数得2240k-=,故2k=师:同学们基本掌握了求阿氏圆方程的方法,并顺利解决问题.大家再开动脑筋想想,如果不设点,不求圆的方程,可以解决问题吗？生：观察题目条件,不难发现,不需要求出圆的方程,只需找两个特殊的点,列出两个等量关系求解.图(1)师:找哪两个点比较合适呢？生:找直线AB与圆的两个交点解:如图(1)所示,,,,,,则 (1),,因为,即,代入(1)得.【设计意图】在环节2当中,学生已经较好地掌握了阿氏圆的求解,在此基础上,给出练习1,学生由于受到先前思维的影响,会想到用设点求出圆方程的方法解决问题.此时教师不失时机地引导学生思考,一定要求出圆的方程吗？可否有更简便的方法？学生通过观察图形,发现只需在图形中寻找到两个特殊点即可解决问题,从而拓展了自己的思维,进一步提升了解题能力,收获到成功的喜悦.练习2:清华大学中学生标准学术能力诊断性测试2023年9月测试数学第7题已知中,,角的平分线交于,若,则面积的最大值为师:本题中,题目没有给出动点A与两个定点B,C的距离之比,如何得到这个距离之比？生:可以借助内角平分线定理和条件得到.图(2)解:如图(2)所示,,,,故点的轨迹是圆,且圆过点.由于,所以,故.则,,所以,故.所以,即圆的半径为2,所以面积的最大值为.【设计意图】在本题中,题目条件并没有给出ABACλ=这样的条件,而是隐含在内角平分线当中.学生必须结合三角形的内角平分线定理挖掘出来才能顺利求解.这就训练了学生分析问题,解决问题的能力.练习3：已知为坐标原点,,在直线上,,动点满足,则的最小值为图(3)解:如图(3)所示,由已知点的轨迹是一个圆,设半径为,,,则,,,解得,,.点到直线的距离,的最小值为.【设计意图】本题巧妙地将阿氏圆与圆外定点到圆上动点距离最值问题结合起来,体现了知识的交汇,这也是高考命题的一个重要原则.学生通过动脑思考,动手尝试,真正感受到试题的本质,提高了自己的数学思维,促进了深度学习.4.拓展思维,提升素养师:通过刚才大家的共同探究,同学们对阿氏圆的应用有了较为深刻的认识.阿氏圆是平面解析几何一个重要内容,事实上,在立体几何中,也有相关的考查.练习4:深圳实验学校2023--2024学年高二数学第16题已知正方体的棱长为2,点是正方体表面上上一个动点,且,则点形成的轨迹的长度为图(4)解:如图(4)所示,若面,设,则,所以,故所以点在以为圆心,为半径的圆弧上,所以弧长为若面,设圆心为,则,,设半径为,则,,由得,所以.设圆与交于点,易知为正三角形,所以弧的长度为同理,当面时,所得弧长的长度为故点形成的轨迹的长度为【设计意图】将学生的思维从二维的平面提升至三维的立体,极大地拓展了学生的知识面,让学生的思维插上想象的翅膀,闪耀出智慧的火花.真正达到了素养的培育和能力的提升.三、教学启示通过一道阿氏圆试题,引导学生回归课本,以教材例题为载体提炼出方法,进而解决陌生问题,引领学生的思维从低阶向高阶发展.在高中的数学教学中,要善于以课本例题为载体,进行小切口的深挖掘,使得学生会一题即会一类,从而较好地培养学生的数学思维能力,避免陷入题海战术.这也是新教材新高考的必然要求.数学课堂的首要任务是培养学生的数学思维，避免学生陷入题海.高考考查的是学生的思维,而不是硬背.从教材中的例题出发,提炼出解题方法,之后应用于复杂陌生的情境当中,让学生学会知识的正迁移,从而提升思维,提高学生解决问题的能力,从而更好地适应新高考要求.。
2022-2023学年人教版高二上学期数学精讲精练2-2 直线的方程(精练)(解析版)
2.2 直线的方程（精练）1 直线的点斜式1．（2022·贵州贵阳·高二期末（理））过点()2,1A 且与直线:2430l x y -+=平行的直线方程是（ ） A ．20x y -= B ．250x y +-=C ．230x y --=D ．240x y +-=【答案】A【解析】因为所求直线与直线l 平行，所以设所求直线方程为：()2403x y m m -+=≠，又所求直线过点()2,1A ，代入可得22410m ⨯-⨯+=，解得0m =， 所以所求直线为240x y -=，即20x y -=. 故选：A2．（2022·湖南岳阳·高二期末）过点()2,1A 且与直线:2430l x y -+=垂直的直线的方程是（ ） A ．20x y -= B ．250x y +-= C ．230x y --= D ．240x y +-=【答案】B【解析】由题意可知，设所求直线的方程为420x y m ++=，将点()2,1A 代入直线方程420x y m ++=中，得42210m ⨯+⨯+=，解得10m =-， 所以所求直线的方程为42100x y +-=，即250x y +-=. 故选：B.3．（2022·福建·厦门外国语学校高二期末）已知直线l 的倾斜角为60，且经过点()0,1，则直线l 的方程为（ ）A ．y =B ．2y =-C ．1y =+D ．3y =+【答案】C【解析】由题意知：直线l l 的方程为1y +.故选：C.4．（2022·江苏·海门中学高二期末）已知直线l 过点(2,3)且与直线:250m x y -+=平行，则直线l 的方程为（ ） A ．270x y +-=B ．210x y --=C ．240x y -+=D ．210x y -+=【答案】C【解析】因为直线l 与直线:250m x y -+=平行，所以直线l 的斜率为12，又直线l 过点(2,3)， 所以直线l 的方程为()1322y x -=-，即240x y -+=，故选：C. 5．（2021·广东·江门市第二中学高二期中）直线l 经过点()2,3-，且倾斜角45α=，则直线l 的方程为（ ） A ．10x y +-= B ．50x y -+=C ．10x y ++=D ．50x y --=【答案】B【解析】因为直线l 的倾斜角45α=，所以直线l 的斜率为1， 又直线l 经过点()2,3-，所以直线l 的方程为32yx ，即50x y -+=，故选：B6．（2022·江苏·高二课时练习）过点(P -且与直线20x +=的夹角为3π的直线方程是（ ）A ．)2y x =+B ．2x =-C ．)2=+y xD ．)2=+y x 或2x =- 【答案】D【解析】根据一般方程20x +=可得y =，所以斜率为k =6πθ=，和该直线夹角为3π的直线的倾斜角为2π或56π，根据直线过点(P -，所以该直线方程为2x =-或2)y x =+.故选：D 7．（2022·江苏·高二）经过点A (0，－3)且斜率为2的直线方程为（ ） A ．230x y --= B ．230x y ++=C ．260x y --=D ．260x y ++=【答案】A【解析】因为直线经过点(0,3)A -且斜率为2，所以直线的方程为32(0)y x +=-， 即230x y --=，故选：A ．8．（2022·江苏·高二）已知直线20ax y a +-+=在两坐标轴上的截距相等，则实数=a （ ） A ．1 B ．1-C ．2-或1D ．2或1【答案】D【解析】当0a =时，直线2y =，此时不符合题意，应舍去；当2a =时，直线:20l x y +=，在x 轴与y 轴上的截距均为0，符合题意； 当0a ≠且2a ≠，由直线:20l ax y a +-+=可得：横截距为2aa-，纵截距为2a -. 由22aa a-=-，解得：1a =.故a 的值是2或1.故选：D 9．（2021·广东·佛山一中高二阶段练习）已知直线l 过点()2,1，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则满足条件的直线l 有（ ）条 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C【解析】设直线l 过原点，则l 的方程为y kx = ，将点（2,1）坐标代入， 得12k =，即l 的方程为12y x = ；若直线l 不过原点，设其为1x ya b+= ，将点（2,1）坐标代入，得2b a ab +=……① ，由于,a b a b ==± ，分别代入①， 解得3,1a b a b ===-= ，即直线l 的方程为3x y += ，1x y -= ； 共有3条；故选：C.10．（2022·江苏·高二课时练习）已知三角形的三个顶点(2,1),(3,3),(0,4)A B C --. (1)求BC 边所在直线的方程； (2)求BC 边上的高所在直线方程； (3)求BC 边的中垂线所在直线方程.【答案】(1)3120x y -+=；(2)350x y ++=；(3)310x y ++=. 【解析】(1)利用点斜式可得BC 直线方程为403430y x --=---，整理可得3120x y -+=； (2)由341303BC k -==--，所以BC 边上的高所在直线的斜率3-， 所以BC 边上的高所在直线方程为3(2)1y x =-++，整理可得350x y ++=； (3)由,B C 中点为37(,)22-，由（2）知BC 边的垂直平分线的斜率3-，所以BC 边的垂直平分线为31y x =--，整理可得310x y ++=.11．（2022·江苏·高二课时练习）分别求满足下列条件的直线的方程：(1)过点()3,2A ，且与直线420x y +-=平行； (2)过点()3,0B ，且与直线250x y +-=垂直； (3)过点()5,4，且与x 轴垂直；(4)过点()2,3C -，且平行于过两点()1,2M 和()1,5N --的直线． 【答案】(1)4140x y +-=(2)230x y --=(3)50x -=(4)72200x y --= 【解析】(1)由题意设直线方程为40x y m ++=，因为直线过点()3,2A ， 所以4320m ⨯++=，得14m =-，所以所求直线方程为4140x y +-=(2)由题意设直线方程为20x y n -+=，因为直线过点()3,0B ，所以300n -+=，得3n =-， 所以所求直线方程为230x y --=(3)因为直线过点()5,4，且与x 轴垂直，所以所求直线方程为50x -= (4)由题意可知所求直线的斜率为527112k --==--， 所以直线方程为()7322y x +=-，即72200x y --= 2 直线过定点1．（2021·重庆市石柱中学校高二阶段练习）直线l ：()240a x y a ++--=恒过的定点坐标为____________. 【答案】()1,2【解析】由()240a x y a ++--=可得(1)240a x x y -++-=，由10240x x y -=⎧⎨+-=⎩可得12x y =⎧⎨=⎩，所以该直线恒过的定点(1,2).故答案为：(1,2).2．（2022·四川）直线(1)y k x =-过定点 _________________. 【答案】()1,0【解析】直线(1)y k x =-，令10x -=，得1,0x y ==，所以直线(1)y k x =-过定点()1,0，故答案为：()1,0. 3．（2022·全国·高二课时练习）设直线()23260x k y k +--+=过定点P ，则点P 的坐标为________. 【答案】(0,2)【解析】由直线方程()23260x k y k +--+=，可化简为(236)(2)0x y k y -++-=，又由236020x y y -+=⎧⎨-=⎩，解得0,2x y ==，即直线恒经过定点(0,2)P .故答案为：(0,2).4．（2022·安徽·高二开学考试）直线()()():21132R l m x m y m m +++=+∈经过的定点坐标是___________. 【答案】()1,1【解析】把直线l 的方程改写成：()()2230x y m x y +-++-=，令20230x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得：11x y =⎧⎨=⎩，所以直线l 总过定点()1,1.故答案为：（1,1）.5．（2021·重庆·铜梁中学校）直线()()():211107l m x m y m m R +++=+∈经过的定点坐标是______． 【答案】(3,4)【解析】把直线l 的方程改写成：(7)(210)0x y m x y +-++-=，由方程组702100x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得：34x y =⎧⎨=⎩，所以直线l 总过定点(3,4)，故答案为：(3,4)6．（2021·全国·高二专题练习）已知直线:(31)(1)660(l x y λλλλ++-+-=为实数）过定点P ，则点P 的坐标为____． 【答案】(0,6)-【解析】直线:(31)(1)660(l x y λλλλ++-+-=为实数），即(36)(6)0x y x y λ--+++=，则36060x y x y --=⎧⎨++=⎩，解得6x y =⎧⎨=-⎩，所以直线恒过定点(0,6)P -，故答案为：(0,6)-． 3 直线所过象限1．（2022·陕西渭南）如果0AB >且0BC <，那么直线0Ax By C ++=不经过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】由0AB >且0BC <，可得,A B 同号，,B C 异号，所以,A C 也是异号； 令0x =，得0C y B=->；令0y =，得0Cx A =->；所以直线0Ax By C ++=不经过第三象限. 故选：C.2．（2021·贵州黔东南）在平面直角坐标系中，过点(2,0)-且倾斜角为135︒的直线不经过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A【解析】∵直线的倾斜角为135︒，则直线的斜率1k =-∵直线的方程：()2y x =-+即2y x =--直线不经过第一象限．故选：A ． 3．（2022·江苏·高二课时练习）设k 为实数，若直线:13l y k x不经过第四象限，则k 的取值范围为______．【答案】⎡⎢⎣⎦【解析】直线:13l y kx 经过定点)，当0k =时，此时直线:1l y =，符合要求；当0k ≠时，直线:13l y kxk ，要想不经过第四象限，则满足010k >⎧⎪⎨≥⎪⎩，解得：0k <≤，综上：0k ≤≤故答案为：⎡⎢⎣⎦4．（2022·全国·高二课时练习）已知直线2(2)68a y x a a -=+-+不经过第二象限，求实数a 的取值范围 ． 【答案】[]2,4【解析】当2a =时，直线方程为0x =，不过第二象限，满足题意； 当20a -≠即2a ≠时，直线方程可化为()142y x a a =+--． 由题意得2010240a a a -≠⎧⎪⎪>⎨-⎪-≤⎪⎩，解得24a <≤． 综上可得，实数a 的取值范围是24a ≤≤，即[]2,4a ∈．4 直线与坐标轴围成的三角形面积1（2022·江苏·高二）过点(1,1)P 作直线l ，与两坐标轴相交所得三角形面积为4，则直线l 有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条【答案】D【解析】由题意设直线l 的方程为1x y a b +=，直线过(1,1)P ，则111a b+=，直线与坐标轴的交点为()(),0,0,a b , 又142S ab ==，8ab =±， 111a b a abb ++==，a b ab +=，8ab =时，8a b +=，由88a b ab +=⎧⎨=⎩， 得44a b ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩44a b ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩8ab =-时，8a b +=-，由88a b ab +=-⎧⎨=-⎩， 得44a b ⎧=-+⎪⎨=--⎪⎩或44a b ⎧=--⎪⎨=-+⎪⎩，所以直线l 共有4条． 故选：D ．2．（2021·湖南·长郡中学高二阶段练习）过点()1,3的直线分别交x 轴正半轴和y 轴正半轴于点A 、B ，则AOB （O 为原点）面积的最小值为________.【答案】6【解析】设点(),0A a 、()0,B b ，其中0a >且0b >，则直线AB 的方程为1x ya b+=，由已知可得131a b +=，由基本不等式可得131a b +=≥12ab ≥， 当且仅当2a =，6b =时，等号成立，故162AOB S ab =≥△. 故答案为：6.3．（2022·全国·高二专题练习）已知直线l 的方程为：()()()212430m x m y m ++-+-=． (1)求证：不论m 为何值，直线必过定点M ；(2)过点M 引直线1l ，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求1l 的方程． 【答案】(1)证明见解析 (2)240x y ++=【解析】(1)证明：原方程整理得：()23240x y m x y --+++=．由230240x y x y --=⎧⎨++=⎩，可得12x y =-⎧⎨=-⎩，∴不论m 为何值，直线必过定点()1,2M --(2)解：设直线1l 的方程为()12(0)y k x k =+-<． 令20k y x k-==-，，令02x y k ==-，．()121412444222k S k k k k ⎛⎫-⎡⎤∴=-=-++≥= ⎪⎢⎥ ⎪--⎣⎦⎝⎭． 当且仅当4k k-=-，即2k =-时，三角形面积最小． 则1l 的方程为240x y ++=．4．（2022·江苏·高二）已知直线l 过点(1,3)，且与x 轴、y 轴都交于正半轴，求： (1)直线l 与坐标轴围成面积的最小值及此时直线l 的方程； (2)直线l 与两坐标轴截距之和的最小值及此时直线l 的方程． 【答案】(1)6；360x y +-=.(2)4+1=. 【解析】(1)设直线:1x yl a b +=(0,0)a b >>，则131a b+=，所以131a b =+≥12ab ≥，当且仅当2,6a b ==时，等号成立， 所以直线l 与坐标轴围成的三角形的面积1112622ab ≥⨯=，所以直线l 与坐标轴围成面积的最小值为6，此时直线:126x yl +=，即360x y +-=.(2)设直线:1x yl a b +=(0,0)a b >>，则131a b+=，所以13()()a b a b a b +=++=3444b a a b ++≥+=+当且仅当1a =33b 时，等号成立.此时直线l 1=. 5 直线的综合运用1．（2022·江苏·高二课时练习）不论实数m 为怎样的实数，直线()1(21)5m x m y m -+-=-（ ） A ．互相平行B ．都经过一个定点C ．其中某一条直线与另两条直线垂直D ．其中不可能存在两条直线互相垂直 【答案】B【解析】直线方程整理为：(21)50m x y x y +---+=，由21050x y x y +-=⎧⎨--+=⎩，得94x y =⎧⎨=-⎩，所以直线过定点(9,4)-，不可能有平行的两条直线，存在两条相互垂直的直线，但不可能有一条直线与其中两条垂直．故选：B ．2．（2021·江苏·常州市第一中学高二期中）（多选）已知直线1:10l x y --=，动直线2:(1)0()l k x ky k k R +++=∈，则下列结论正确的是（ ）A ．不存在k ，使得2l 的倾斜角为90°B ．对任意的k ，直线2l 恒过定点C ．对任意的k ，1l 与2l 都不．重合D ．对任意的k ，1l 与2l 都有公共点【答案】BD【解析】对A ，当0k =时，2:0l x =，符合倾斜角为90°，故A 错误；对B ，2:(1)(1)0l k x ky k k x y x +++=+++=，解100x y x ++=⎧⎨=⎩可得01x y =⎧⎨=-⎩，故2l 过定点(0,1)-，故B 正确；对C ，当12k =-时，21111:(1)02222l x y x y --=--=，显然与1:10l x y --=重合，故C 错误；对D ，2l 过定点(0,1)-，而(0,1)-也在1:10l x y --=上，故对任意的k ，1l 与2l 都有公共点，故D 正确； 故选：BD3．（2022·江苏·高二课时练习）（多选）已知直线l 过点(P ，且与x 轴和y 轴围成一个内角为6π的直角三角形，则满足条件的直线l 的方程可以是（ ）A ．)1y x -B ．)1y x -=-C ．)1y x -D ．)1y x -【答案】ABC【解析】由题意，直线l 的倾斜角可以是6π或3π或56π或23π，所以直线l 的斜率6tanπk ==或tan 3k π=5tan 6k π==2tan 3k π==所以直线l 的方程可以为1)y x -或1)y x -或 1)y x -或1)y x -，由1)y x -，整理得y =，此时直线过原点，无法与x 轴和y 轴围成直角三角形. 故选：ABC.。
高中数学 学期综合测评(一)(含解析)新人教A版高二选修1-1数学试题
学期综合测评(一)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．若函数f (x )的导数为－2x 2＋1，则f (x )可以等于( ) A ．－2x 3＋1 B ．x ＋1 C ．－4x D ．－23x 3＋x答案 D解析 选项A 中函数的导数为f ′(x )＝－6x 2；选项B 中函数的导数为f ′(x )＝1；选项C 中函数的导数为f ′(x )＝－4；选项D 中函数的导数为f ′(x )＝－2x 2＋1.故选D.2．给出下列三个命题：①“全等三角形的面积相等”的否命题； ②“若lg x 2＝0，则x ＝－1”的逆命题；③“若x ≠y 或x ≠－y ，则|x |≠|y |”的逆否命题． 其中真命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 B解析 对于①，否命题是“不全等的三角形的面积不相等”，它是假命题；对于②，逆命题是“若x ＝－1，则lg x 2＝0”，它是真命题；对于③，逆否命题是“若|x |＝| y |，则x ＝y 且x ＝－y ”，它是假命题，故选B.3．若集合P ＝{1,2,3,4}，Q ＝{x |x ≤0或x ≥5，x ∈R }，则P 是綈Q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 ∵Q ＝{x |x ≤0或x ≥5，x ∈R }， ∴綈Q ＝{x |0<x <5，x ∈R }， ∴P ⇒綈Q ，但綈Q ⇒/P ，∴P 是綈Q 的充分不必要条件，选A.4．已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≥0，则綈p 是( ) A ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0 B ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0 C ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0 D ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0 答案 C解析 因为全称命题p ：∀x ∈M ，p (x )的否定綈p 是特称命题：∃x 0∈M ，綈p (x 0)，所以綈p ：∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0，故选C.5．已知命题p ：∃x 0∈R ，x 0－2>lg x 0，命题q ：∀x ∈R ，sin x <x ，则( )A ．命题p ∨q 是假命题B ．命题p ∧q 是真命题C ．命题p ∧(綈q )是真命题D ．命题p ∨(綈q )是假命题 答案 C解析 对于命题p ：取x ＝10，则有10－2>lg 10， 即8>1，故命题p 为真命题； 对于命题q ，取x ＝－π2，则sin x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝－1， 此时sin x >x ，故命题q 为假命题，因此命题p ∨q 是真命题，命题p ∧q 是假命题， 命题p ∧(綈q )是真命题，命题p ∨(綈q )是真命题， 故选C.6．我们把离心率之差的绝对值小于12的两条双曲线称为“相近双曲线”．已知双曲线C ：x 24－y 212＝1，则下列双曲线中与C 是“相近双曲线”的为( ) A ．x 2－y 2＝1 B ．x 2－y 22＝1C ．y 2－2x 2＝1 D.y 29－x 272＝1 答案 B解析 双曲线C 的离心率为2，对于A ，其离心率为2，不符合题意；对于B ，其离心率为3，符合题意；对于C ，其离心率为62，不符合题意；对于D ，其离心率为3，不符合题意．故选B.7．从双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 1引圆x 2＋y 2＝a 2的切线，切点为T .延长F 1T交双曲线右支于P 点，若M 为线段F 1P 的中点，O 为坐标原点，则|MO |－|MT |与b －a 的大小关系为( )A ．|MO |－|MT |>b －aB ．|MO |－|MT |＝b －aC ．|MO |－|MT |<b －aD ．不确定 答案 B解析 ∵F 1T 是圆的切线， ∴OT ⊥TF 1，∵|OF 1|＝c ，|OT |＝a ，∴|F 1T |＝|OF 1|2－|OT |2＝c 2－a 2＝b . 设接双曲线的右焦点为F 2， 连接PF 2，则|OM |＝12|PF 2|，又∵|F 1M |＝|MP |，|PF 1|－|PF 2|＝2a ， ∴12|PF 1|－12|PF 2|＝a ， ∴|PM |－|OM |＝a ， ∴b ＋|TM |－|OM |＝a ， ∴|OM |－|TM |＝b －a ，故选B.8．函数y ＝x 2e x的单调递减区间是( ) A ．(－1,2)B ．(－∞，－1)与(1，＋∞)C ．(－∞，－2)与(0，＋∞)D ．(－2,0) 答案 D解析 y ′＝(x 2e x )′＝2x e x ＋x 2e x ＝x e x (x ＋2)．∵e x >0，∴x e x(x ＋2)<0，即－2<x <0，故函数y ＝x 2e x的单调递减区间是(－2,0)．故选D.9．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图象可能是( )答案 C解析 因为f (x )在x ＝－2处取得极小值，所以在x ＝－2附近的左侧f ′(x )<0，当x <－2时，xf ′(x )>0；在x ＝－2附近的右侧f ′(x )>0，当－2<x <0时，xf ′(x )<0，故选C.10．把一个周长为12 cm 的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱底面周长与高的比为( )A ．1∶2B ．1∶πC ．2∶1D ．2∶π答案 C解析 设圆柱的高为x ，底面半径为r ，则r ＝6－x 2π，圆柱体积V ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫6－x 2π2x ＝14π(x 3－12x 2＋36x )(0<x <6)，V ′＝34π(x －2)(x －6)．当x ＝2时，V 最大．此时底面周长为6－x ＝4,4∶2＝2∶1，故选C.11．如图，F 1、F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点，P 是椭圆上任一点，过一焦点引∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，则垂足Q 的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线答案 A解析 延长垂线F 1Q 交F 2P 的延长线于点A ，在等腰三角形APF 1中，|PF 1|＝|AP |，从而|AF 2|＝|AP |＋|PF 2|＝|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以|OQ |＝12|AF 2|＝a .12．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且|AK |＝2|AF |，则△AFK 的面积为( )A ．4B ．8C ．16D ．32答案 B解析 ∵抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F (2,0)，准线为x ＝－2，∴K (－2,0)．设A (x 0，y 0)，如右图所示，过点A 向准线作垂线，垂足为B ，则B (－2，y 0)．∵|AK |＝2|AF |， 又|AF |＝|AB |＝x 0－(－2)＝x 0＋2， ∴由|BK |2＝|AK |2－|AB |2，得y 20＝(x 0＋2)2， 即8x 0＝(x 0＋2)2，解得x 0＝2，y 0＝±4.∴△AFK 的面积为12|KF |·|y 0|＝12×4×4＝8，故选B.第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．命题“∃x ∈{正实数}，使x <x ”的否定为________，是________(填“真”或“假”)命题．答案 ∀x ∈{正实数}，使x ≥x 假解析 原命题的否定为“∀x ∈{正实数}，使x ≥x ”，是假命题．14．如图，椭圆的中心在坐标原点，当FB →⊥A B →时，此类椭圆称为“黄金椭圆”，可推算出“黄金椭圆”的离心率e ＝________.答案5－12解析 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由题意得⎩⎨⎧|AB |2＝a 2＋b 2，|BF |＝b 2＋c 2＝a ，|AF |＝a ＋c ，∵B F →⊥B A →，∴|AB |2＋|BF |2＝|AF |2，∴(a ＋c )2＝a 2＋b 2＋a 2， ∴c 2＋ac －a 2＝0.∴e 2＋e －1＝0，又0<e <1， ∴e ＝5－12. 15．已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax ⎝ ⎛⎭⎪⎫a >12，当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值为1，则a 的值等于________．答案 1解析 ∵f (x )是奇函数，∴f (x )在(0,2)上的最大值为－1. 当x ∈(0,2)时，f ′(x )＝1x －a ，令f ′(x )＝0得x ＝1a.又a >12，∴0<1a<2.当f ′(x )>0时，x <1a ，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上递增；当f ′(x )<0时，x >1a，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2上递减．∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln 1a －a ·1a＝－1，∴ln 1a＝0，得a ＝1.16．已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为抛物线C 的焦点．若|FA |＝2|FB |，则k 等于________．答案223解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋2，y 2＝8x ，得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0.∴x 1＋x 2＝42－k2k 2，x 1x 2＝4.由抛物线定义得|AF |＝x 1＋2，|BF |＝x 2＋2， 又∵|AF |＝2|BF |，∴x 1＋2＝2x 2＋4，∴x 1＝2x 2＋2，代入x 1x 2＝4，得x 22＋x 2－2＝0， ∴x 2＝1或－2(舍去)，∴x 1＝4， ∴42－k2k 2＝5，∴k 2＝89，经检验Δ>0，又∵k >0，∴k ＝223.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，集合B ＝{y |y ＝x 2－2x ＋a }，集合C ＝{x |x 2－ax －4≤0}，命题p ：A ∩B ＝∅，命题q ：A ⊆C .(1)若命题p 为假命题，某某数a 的取值X 围； (2)若命题p ∧q 为假命题，某某数a 的取值X 围． 解 ∵y ＝x 2－2x ＋a ＝(x －1)2＋a －1≥a －1，∴B ＝{y |y ≥a －1}，A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}＝{x |1≤x ≤2}，C ＝{x |x 2－ax －4≤0}． (1)由命题p 是假命题，可得A ∩B ≠∅，即得a －1≤2，∴a ≤3.(2)∵“p ∧q 为假命题”，则其反面为“p ∧q 为真命题”， ∴p ，q 都为真命题，即A ∩B ＝∅且A ⊆C ，∴有⎩⎪⎨⎪⎧a －1>2，1－a －4≤0，4－2a －4≤0，解得a >3.∴实数a 的取值X 围为a ≤3.18．(本小题满分12分)已知命题p ：∃x 0∈[－1,1]，满足x 20＋x 0－a ＋1＞0，命题q ：∀t ∈(0,1)，方程x 2＋y 2t 2－2a ＋2t ＋a 2＋2a ＋1＝1都表示焦点在y 轴上的椭圆，若命题p∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，某某数a 的取值X 围．解 因为∃x 0∈ [－1,1]，满足x 20＋x 0－a ＋1＞0，所以只需(x 20＋x 0－a ＋1)max ＞0，即3－a ＞0，所以命题p 真时，a ＜3.因为∀t ∈(0,1)，方程x 2＋y 2t 2－2a ＋2t ＋a 2＋2a ＋1＝1都表示焦点在y 轴上的椭圆，所以t 2－(2a ＋2)t ＋a 2＋2a ＋1＞1，t 2－(2a ＋2)t ＋a 2＋2a ＞0，即(t －a )[t －(a ＋2)]＞0，对t ∈(0,1)恒成立，只需a ＋2≤0或a ≥1，得a ≤－2或a ≥1， 所以命题q 为真时，a ≤－2或a ≥1.因为p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，所以p ，q 两个命题一真一假． 若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＜3，－2＜a ＜1，所以－2＜a ＜1.若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≥3，a ≤－2或a ≥1，所以a ≥3.综上所述：a 的取值X 围是(－2,1)∪[3，＋∞)． 19．(本小题满分12分)设函数f (x )＝x 3－kx 2＋x (k ∈R )． (1)当k ＝1时，求函数f (x )的单调区间；(2)当k <0时，求函数f (x )在[k ，－k ]上的最小值m 和最大值M . 解 f ′(x )＝3x 2－2kx ＋1. (1)当k ＝1时，f ′(x )＝3x 2－2x ＋1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －132＋23>0， ∴f (x )在R 上单调递增．(2)当k <0时，f ′(x )＝3x 2－2kx ＋1，其开口向上，对称轴x ＝k3，且过点(0,1)．①当Δ＝4k 2－12＝4(k ＋3)(k －3)≤0， 即－3≤k <0时，f ′(x )≥0，f (x )在[k ，－k ]上单调递增．∴m ＝f (x )min ＝f (k )＝k ，M ＝f (x )max ＝f (－k )＝－2k 3－k .②当Δ＝4k 2－12>0，即k <－3时，令f ′(x )＝0 得x 1＝k ＋k 2－33，x 2＝k －k 2－33，且k <x 2<x 1<0.∴m ＝min{f (k )，f (x 1)}，M ＝max{f (－k )，f (x 2)}．又f (x 1)－f (k )＝x 31－kx 21＋x 1－k ＝(x 1－k )(x 21＋1)>0， ∴m ＝f (k )＝k ，又f (x 2)－f (－k )＝x 32－kx 22＋x 2－(－k 3－k ·k 2－k )＝(x 2＋k )[(x 2－k )2＋k 2＋1]<0， ∴M ＝f (－k )＝－2k 3－k .综上，当k <0时，f (x )的最小值m ＝k ， 最大值M ＝－2k 3－k .20．(本小题满分12分)设椭圆C 1与抛物线C 2的焦点均在x 轴上，C 1的中心及C 2的顶点均为原点，从每条曲线上各取两点，将其坐标记录于下表：(1)求曲线C 1，C 2(2)设直线l 过抛物线C 2的焦点F ，l 与椭圆交于不同的两点M ，N ，当OM →·ON →＝0时，求直线l 的方程．解 (1)由题意，可知点(－2,0)是椭圆的左顶点，再根据椭圆上点的横、纵坐标的取值X 围，知点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，22在椭圆上． 设椭圆C 1的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由此可得a ＝2，24＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222b 2＝1，∴b 2＝1，∴椭圆C 1的标准方程为x 24＋y 2＝1.由点(3，－23)，(4，－4)在抛物线C 2上，知抛物线开口向右． 设其方程为y 2＝2px (p >0)，∴12＝6p ，∴p ＝2， ∴抛物线C 2的标准方程为y 2＝4x .(2)由(1)，知F (1,0)．当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x 24＋y 2＝1，得l 与椭圆C 1的两个交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，∴OM →·ON →＝14≠0，∴直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，x 24＋y 2＝1，消去y ，得(1＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－4＝0，Δ＝64k 4－4(1＋4k 2)(4k 2－4)＝48k 2＋16>0，x 1＋x 2＝8k 21＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－41＋4k 2.∵OM →·ON →＝0，∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋k (x 1－1)·k (x 2－1)＝(1＋k 2)·x 1x 2－k 2(x 1＋x 2)＋k 2＝(1＋k 2)·4k 2－41＋4k 2－k 2·8k 21＋4k2＋k 2＝0，解得k ＝±2，∴直线l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋y －2＝0.21．(本小题满分12分)设函数f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d (a >0)，且方程f ′(x )－9x ＝0的两个根分别为1,4.若f (x )在(－∞，＋∞)内无极值点，求a 的取值X 围．解 由f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d ，得f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c .因为f ′(x )－9x ＝0，即ax 2＋2bx ＋c －9x ＝0的两个根分别为1,4，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋c －9＝0，16a ＋8b ＋c －36＝0.(*)由于a >0，所以“f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d 在(－∞，＋∞)内无极值点”等价于“f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c ≥0在(－∞，＋∞)内恒成立”．由(*)式得2b ＝9－5a ，c ＝4a . 又Δ＝(2b )2－4ac ＝9(a －1)(a －9)．由⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝9a －1a －9≤0，得1≤a ≤9，即a 的取值X 围是[1,9]．22．(本小题满分12分)如图，抛物线E ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A .点C 在抛物线E 上，以C 为圆心，|CO |为半径作圆，设圆C 与准线l 交于不同的两点M ，N .(1)若点C 的纵坐标为2，求|MN |； (2)若|AF |2＝|AM |·|AN |，求圆C 的半径． 解 (1)抛物线y 2＝4x 的准线l 的方程为x ＝－1. 由点C 的纵坐标为2，得点C 的坐标为(1,2)， 所以点C 到准线l 的距离d ＝2，又|CO |＝5， 所以|MN |＝2|CO |2－d 2＝25－4＝2.(2)设C ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0，则圆C 的方程为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 2042＋(y －y 0)2＝y 4016＋y 20，即x 2－y 202x ＋y 2－2y 0y ＝0.由x ＝－1，得y 2－2y 0y ＋1＋y 202＝0，设M (－1，y 1)，N (－1，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4y 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋y 202＝2y 20－4>0，y 1y 2＝y 22＋1.由|AF |2＝|AM |·|AN |，得|y 1y 2|＝4， 所以y 202＋1＝4，解得y 0＝±6，此时Δ>0.所以圆心C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6或⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－6，从而|CO |2＝334，|CO |＝332，即圆C 的半径为332.word - 11 - / 11。
青铜鸣联考2024-2025学年高二上学期开学数学试题(解析版)
2026届普通高等学校招生全国统一考试青桐鸣大联考（高二）数学（人教版）全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级､考场号､座位号､考生号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}{1235},1,1,2,3,4,5M x x N =−<−<=−∣，则M N = （ ）A. {}1,1,2−B. {}1,2,3C. {}2,3D. {}2,3,4【答案】C 【解析】【分析】先解不等式得M ，根据交集的概念计算即可. 【详解】解不等式1235x −<−<得14x <<，即{}14M x x =<<，所以{}2,3M N = . 故选：C2. 已知i 为虚数单位，12ii z−=−，则z 的共轭复数z =（ ） A. 2i − B. 2i +C. 2i −−D. 2i −+【答案】A 【解析】【分析】根据除法运算可得2i z =−，再根据共轭复数概念分析判断. 【详解】因为12ii z −=−，则12i 2i iz −==+−， 所以z 的共轭复数z =2i −. 故选：A.3. 已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点()2,3，则()sin3πα+=的AB.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据三角函数的定义可先得sinα，再根据诱导公式计算即可.【详解】由正弦函数的定义可知sinα=，再利用诱导公式知()sin3πsinαα+=−.故选：B4. 已知向量()()0,2,21a ab b−−⋅，则a b−=（）A. 1B.C. D. 2【答案】C【解析】【分析】根据题意可得2a=，221a b b−⋅+=−，结合模长关系运算求解即可.【详解】因为()0,2a=−，又因为()2221a b b a b b−⋅⋅−，即221a b b−⋅+=−，所以2222413a b a a b b−=−⋅+=−=，即a b−=.故选：C.5. 已知,αβ是两个不重合的平面，,m n是两条不重合的直线，且,m nαβ⊂⊂，则下列结论正确的是（）A. 若αβ⊥，则m n⊥B. 若α∥β，则m∥nC. 若m∥,nβ∥α，则α∥βD. 若mβ⊥，则αβ⊥【答案】D.【分析】根据线面，面面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定即可. 【详解】对于A ，若αβ⊥，则直线,m n 可能平行，异面，相交，故A 错误； 对于B ，若//αβ，则直线,m n 可能平行，异面，故B 错误； 对于C ，若//m β，//n α，则α与β可能平行或相交，故C 错误； 对于D ，若m β⊥，又m α⊂，则αβ⊥，故D 正确. 故选：D.6. 已知长为a ､宽为b 的矩形的面积为()2a b +，则该矩形周长的最小值为（ ） A. 4 B. 8C. 12D. 16【答案】D 【解析】【分析】根据题意可得()2ab a b =+，结合基本不等式运算求解. 【详解】由题意可知：()2,0,0ab a b a b =+>>，又因为()24a b ab +≤，即()()224a b a b ++≤，可得8a b +≥，即()216a b +≥， 当且仅当4a b ==时，等号成立， 所以该矩形周长()2a b +的最小值为16. 故选：D. 7. 已知函数()22cos 4f x x x a =−+−在R 上有且仅有1个零点，则实数a =（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】A 【解析】【分析】分析可知()f x 为偶函数，由对称性可知()f x 的唯一零点为0，解得2a =，并代入检验. 【详解】因为()f x 定义域为RR ，且()()()()222cos 42cos 4f x x x a x x a f x −=−−−+−=−+−=，可知()f x 为偶函数，的若函数()f x 在RR 上有且仅有1个零点，由对称性可知()f x 的唯一零点为0，则()020f a =−=，解得2a =；若2a =，则()()222cos 22cos 1f x x x x x =−−=−−， 因为cos 1≤x ，即cos 10x −≤，当且仅当2π,x k k ∈Z 时，等号成立，且20x ≥，即20x −≤，当且仅当0x =时，等号成立，可知()()22cos 10f x x x =−−≤，当且仅当0x =时，等号成立，所以()f x 有且仅有一个零点0，符合题意； 综上所述：2a =. 故选：A.8. 记ABC 的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若135,,32AB BCAC c a b µµ+=∈，则cos B 的取值范围为（ ） A. 1,12B.15,68C. 15,28D. 1,16【答案】B 【解析】【分析】根据向量的线性运算可得3,a c b c µ==，结合余弦定理运算求解. 【详解】因为AB BC AC += ，且13AB BC AC c a bµ+=， 则13c a bµ==，即3,a c b c µ==， 可得22222222910cos 2236a cbc c c B =ac c c µµ+−+−−==××， 因为5,32µ∈ ，则225,94µ∈，即215101,4µ−∈ ，可得21015cos ,668B =µ− ∈， 所以cos B 的取值范围为15,68. 故选：B.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知函数()()πsin ,sin 24f x x g x x==+，则下列结论正确的是（ ）A. ()f x 与()g x 的最小正周期相同B. ()f x 与()g x 有相同的最大值C. ()f x 与()g x 的图象有相同的对称轴D. 曲线()f x 与()g x 在[]0,2π上有4个交点 【答案】ABD 【解析】【分析】对A ，由sin y x =的周期可得()f x 的周期，根据周期公式求出()g x 的周期，并判断；对B ，求出()f x 与()g x 的最大值判断；对C ，根据图象求出()f x 与()g x 的对称轴判断；对D ，根据图象可判断.【详解】对于A ，因为sin y x =的周期为2π，所以()sin f x x =的最小正周期为π，又函数()πsin 24g x x=+ 的最小正周期为2ππ2=，故A 正确；对于B ，()sin f x x =的最大值为1，()πsin 24g x x=+的最大值为1，故B 正确； 对于C ，()sin f x x =的对称轴为π2k x =，Z k ∈， 令ππ2π42x k +=+，解得ππ82k x =+，Z k ∈，所以()πsin 24g x x=+的对称轴为ππ82k x =+，Z k ∈，所以()f x 与()g x 的对称轴不同，故C 错误；对于D ，如图作出()f x 与()g x 的图象，()f x 与()g x 在[]0,2π上有4个交点，故D 正确. 故选：ABD.10. 已知,A B 是一个随机试验中的两个事件，且()()0.6,0.3P A P B ==，则下列结论一定正确的是（ ）A. ()0.18P AB = B. ,A B 不可能为互斥事件C. 若()0.42P AB =，则事件,A B 相互独立D. 若,A B 相互独立，则()0.7P A B += 【答案】BC 【解析】【分析】根据相互独立事件性质可判断A ；根据互斥事件的概率加法公式进行判断B ；根据相互独立事件性质可判断C ；根据相互独立事件性质及概率的加法公式可判断D.【详解】对于A ，若()()()0.18P ABP A P B ==⋅，则事件,A B 相互独立，无法确定，故A 错误； 对于B ，若,A B 为互斥事件，则()0P AB =，所以()()()0.610.3 1.31P A B P A P B +=+=+−=>，故,A B 不可能为互斥事件，故B 正确；对于C ，若()()()0.42P AB P A P B ==⋅，所以事件,A B 相互独立，故C 正确； 对于D ，若A ，B 互相独立，则,A B 相互独立，所以()()()()0.40.30.40.30.58P A B P A P B P AB +=+−=+−×=.故D 错误. 故选：BC.11. 已知圆台12O O 的上､下底面圆的直径分别为2和6，母线长为4，则下列结论正确的是（ ）A. 该圆台的高为B. C. 该圆台的外接球的表面积为112π3D. 挖去以该圆台的上底面为底面､高为2的圆柱，剩余的几何体的表面积为30π 【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ：根据圆台的结构特征求高；对于B ：根据圆台的体积公式运算求解；对于C ：根据台体的结构特征求外接球的半径，即可得表面积；对于D ：根据题意分析剩余几何体的表面构成，进而求表面积. 【详解】如图所示，ABCD 为轴截面，点,C D 在下底面的投影分别为,F E ，由题意可知：6,2,4AB CD AD ===，则22AB CDAE−==， 对于选项A：该圆台的高为DE =，故A 错误；对于选项B：圆台的体积为(19ππ3×++×B 正确； 对于选项C ：由题意可知：外接球的球心12O O O ∈，设外接球的半径为R ，因为2221122222O D O O OD O A O O OA += +=，即()22122119O O R O O R += +=，解得1O O R = =所以该圆台的外接球的表面积为21124ππ3R =，故C 正确； 对于选项D ：由题意可知：剩余的几何体的表面有：上、下底面圆面，圆台、圆柱的侧面，所以剩余的几何体的表面积为()9ππ314ππ2230π+++×+××=，故D 正确； 故选：BCD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 第33届夏季奥林匹克运动会女子10米跳台跳水决赛中，全红禅以425.60分的高分拿下冠军.下面统计某社团一位运动员10次跳台跳水的训练成绩：68，80，74，63，66，84，78，66，70，76，则这组数据的60%分位数为__________. 【答案】75 【解析】【分析】先进行排序，后按照百分位数概念计算可得.【详解】先将成绩进行排序：63，66，66，68，70，74，76，78， 80， 84. 由于100.66×=，60%分位数为第6和第7个数据的平均值.即7476752+=. 故答案为：75.13. 设ABC 的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，已知1,60a c b B −=== ，则a c=__________. 【答案】32【解析】【分析】利用余弦定理结合条件建立方程解方程即可.【详解】由余弦定理知()22222731cos 1222a c ac a c b B ac acac −+−+−===−=，所以()613,2ac a a a c ==−⇒==，所以32a c =. 故答案为：3214. 已知[,][,]max{()},min{()}x a b xa b f x f x ∈∈分别表示函数()f x 在区间[],a b 上的最大值与最小值，则[][]31,23,11max min 23∈∈− ++= y x y x __________. 【答案】30 【解析】【分析】根据幂函数性质可得[]31,211min 2333y yx x ∈++=+，再结合对数函数性质分析求解.【详解】因为[][]1,2,3,1x y ∈∈−，则310,03yx >> ，可得31203yx ++>，即33112233yyx x ++=++ ， 若[]1,2x ∈，则31x ≥，当且仅当1x =时，等号成立，即3123y x ++ 在[]1,2x ∈内的最小值为1112333y y++=+，所以[]31,211min 2333y yx x ∈++=+；若[]3,1y ∈−，则3112733y − ≤= ，当且仅当=3y −时，等号成立，即133y+在[]3,1y ∈−内的最大值为27330+=， 所以[][]31,23,11max min 2303y x y x ∈∈− ++=. 故答案为：30.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 已知3π1tan 42θ−=−.（1）求tan θ的值；（2）求πcos cos 4cos2θθθ+的值. 【答案】（1）13− （2【解析】【分析】（1）由3π3π44θθ=−−，利用两角差的正切公式求解可得； （2）利用两角和的余弦公式与二倍角公式展开化简，可得有关正余弦的齐次比式cos cos sin θθθ+的形式，再上下同除cos θ化弦为切代入tan 3θ=−可求. 【小问1详解】3π1tan 42θ−=−，且3πtan 14=−，()3π3π1tan tan 13π3π1442tan tan 3π3π14431tan tan 11442θθθθ−−−−−∴=−−===− +−+−×−.tan θ∴的值为13−.【小问2详解】πcos cos 4cos2θθθ+=1111tan 13θ+−故πcos cos 4cos2θθθ+16. 某农业研究所为调研新品种玉米的亩产量分布情况，从甲镇种植的旧品种玉米中随机抽取100亩的产量，并得到亩产量的平均数730x =甲，中位数700y =甲；从乙镇种植的新品种玉米中随机抽取100亩的产量，按亩产量进行分组（每组为左闭右开区间），得到亩产量的频率分布直方图如下：（1）每组数据以组中值为代表，估计乙镇种植的新品种玉米亩产量的平均数x 乙，中位数y 乙；并根据“同一品种玉米亩产量的平均数与中位数差的绝对值越小，玉米亩产量越稳定”，比较甲､乙两镇种植的不同品种玉米亩产量的稳定情况.（2）现按亩产量用分层随机抽样的方法，从乙镇亩产量在[500,600)和[900,1000]内的样本中共抽取6亩，再从这6亩中随机抽取2亩深入调研分析，求抽取的2亩的产量位于不同亩产量区间的概率. 【答案】（1）735x =乙，750y =乙；乙镇种植的新品种玉米更稳定； （2）815【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图估算平均数，中位数，再根据定义运算判断两镇玉米品种谁更稳定； （2）根据分层随机抽样确定抽取的6亩构成，利用古典概型概率公式计算.【小问1详解】 根据题意，5500.16500.257500.48500.29500.05735x =×+×+×+×+×=乙，750y =乙， 因为73070030x y −=−=甲甲，73575015x y −=−=乙乙，所以乙镇种植新品种玉米谁更稳定.【小问2详解】由频率分布直方图，亩产量在[)500,600的有10亩，亩产量在[]900,1000的有5亩，所以样本中共抽取的6亩有610415×=亩在[)500,600，有2亩在[]900,1000， 设在[)500,600的4亩为A ，B ，C ，D ，在[]900,1000的2亩为,m n ，则从这6亩中随机抽取2亩的情况有：,,,,AB AC AD Am An,,,BC BD Bm Bn,,CD Cm Cn,Dm Dnmn所以抽取的2亩的产量位于不同亩产量区间的概率为815P =. 17. 如图，在四棱锥P ABCD −中，1,3,2,AD BC CD AC ====，,BC PC PC PD ⊥=，侧面PCD ⊥平面ABCD .（1）证明：//BC 平面PAD ；的（2）若直线BP 与平面ABCD P ABC −的体积. 【答案】（1）证明见解析（2）2【解析】 【分析】（1）利用勾股定理逆定理先证AD CD ⊥，取CD 中点E ，由面面垂直得PE BC ⊥，结合线面垂直的判定得⊥BC 平面PCD ，从而证明BC CD ⊥得出//BC AD ，最后利用线面平行的判定证明即可；（2）利用线面角的定义得出PE ，再根据锥体的体积公式计算即可.【小问1详解】因为1,2,AD CD AC ===，即222AC AD CD =+，所以AD CD ⊥， 如图所示，取CD 中点E ，连接,PE BE ，因为PC PD =，所以PE CD ⊥，又侧面PCD ⊥平面ABCD ，侧面PCD 平面ABCD CD =，所以PE ⊥底面ABCD ，而⊂BC 底面ABCD ，所以PE BC ⊥，因为BC PC ⊥，PC PE P ∩=，PC PE ⊂、平面PCD ，所以⊥BC 平面PCD ,因为CD ⊂平面PCD ，所以BC CD ⊥，所以//BC AD ，因为BC ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以//BC 平面PAD ；【小问2详解】由上知PE ⊥底面ABCD ，且//BE AD BC ，则直线BP 与平面ABCD 所成角为PBE ∠，即tan 2PE PBE PE BE ∠==⇒=， 132ABC S BC CD =⋅= ， 故三棱锥P ABC −的体积为123ABC V PE S =⋅= .18. 已知函数()()2log 0a x f x a x−=>的图象的对称中心为()2,0. （1）求a 的值；（2）用函数单调性的定义证明()f x 在其定义域上单调递减； （3）若方程()142x x f x m +=−+在(]0,2x ∈上有解，求实数m 的取值范围.【答案】（1）4（2）证明见解析 （3）[)8,−+∞【解析】【分析】（1）利用对称性的性质有()()40f x f x +−=，待定系数计算即可； （2）利用（1）的结论结合函数单调性的定义作差证明即可；（3）利用换元法结合复合函数的单调性、二次函数的性质及（2）的结论得出()(]()1420,2x x yf x x +=−+∈单调递减，计算其值域即可.【小问1详解】 根据题意有()()224log lo 0g 44f x f a x a x x x x −−+=+−=+−， 整理得()()241444a x a x a x a x x x xx −−+⋅=⇒−−+=−−， 即()22444a a x x x x −+−=−，所以()()4004a a a a −=>⇒=， 经检验，4a =符合题意；【小问2详解】由上知()24log x f x x−=，令()400,4x x x −>⇒∈， 不妨设令()1212,0,4x x x x <∈、，则()()()()1212122221221444log log log 4x x x x f x f x x x x x −−−−=−=−， 易知1211221244,44x x x x x x x x <∴−<−，又()120,4x x ∈、，所以112212044x x x x x x <−<−， 则()()1221414x x x x −>−，即()()()()12122214log 04x x f x f x x x −−=>−， 则()f x 在定义域()0,4上单调递减，证毕；【小问3详解】方程()142x x f x m +=−+在(]0,2x ∈上有解，即两个函数()(]()1420,2x x y f x x +=−+∈与y m =有交点，令142x x y +=−+，设2x t =，则(]0,2x ∈时，(]1,4t ∈，则()22211y t t t =−+=−−+，显然(]1,4t ∈时，该函数单调递减， 而2x t =单调递增，根据复合函数的单调性知142x x y +=−+在(]0,2x ∈时单调递减， 结合（2）的结论有()(]()1420,2x x y f x x +=−+∈单调递减，所以()288y f ≥−=−，而x 接近0时，y 接近正无穷， 所以8m ≥−，即实数m 的取值范围为[)8,−+∞.19. 已知ABC 的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且22(cos 1)sin a b C C b+++=. （1）证明：sin sin3A B =； （2）若3cos ,64B c ==，求ABC 的面积； （3）若ABC 为锐角三角形，当228a b b c+取得最小值时，求cos B 的值. 【答案】（1）证明见解析（2（3【解析】【分析】（1）利用同角三角函数的平方关系、三角形内角和及正弦定理化简条件等式为()sin 2sin cos sin sin B B C A B C +==+，根据正弦的和差公式化简得2C B =即可；（2）先根据角的关系求出cos C ，作三角形的高，利用锐角三角函数解三角形即可求面积；（3）利用正弦和角公式及正弦定理化简2222823sin cos a b B b c B+=−+，利用基本不等式计算即可. 【小问1详解】 易知22sin (cos 1)sin 22cos 1sin a b A C C C b B+++=+==+， 整理得()sin 2sin cos sin sin B B C A B C +==+， 即sin 2sin cos sin cos cos sin B B C B C B C +=+，所以()sin sin B C B =−， 因为()π,0,πA B C A B C ++=∈、、， 所以B C B =−，即2,π3C B A B ==−,所以sin sin3A B =，证毕；【小问2详解】由（1）知21cos 2cos 18C B =−=，则π,0,2B C ∈， 如图所示作AD BC ⊥，垂足为D ， 由题意知139,842CD BD BD AC AB ==⇒=，根据勾股定理有AD，且AD =， 所以12CD =，故()12ABC S AD CD BD ⋅+的【小问3详解】由（1）知23sin sin 3sin 2cos cos 2sin 2sin cos sin 2sin A B B B B B B B B B ++− 33sin 4sin ,sin sin 22sin cos B B C B B B =−==，根据正弦定理知：22222228sin sin 22834sin 4cos 1sin sin cos cos a b A B B B b c B C B B +=+=−+=+− 又ABC 为锐角三角形，即π0π3ππ2π64022A B B C B <=−< ⇒<< <=<，则213cos cos ,24B B ∈⇒∈ ,所以22124cos 1co s B B ≥+−，当且仅当2cos B =即cos B =.。
人教A版高中数学选修一高二试题(理科)参考答案及评分标准
东山一中2008-2009学年上学期高中教学质量监控暨期中考试高二数学试题（理科）参考答案及评分标准第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题(每小题5分, 共60分) 题号 1 2 3 4 56 7 8 9 10 11 12 答案 B C C C ABDBBDCC第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题(每小题4分, 共20分) 13、 4 ； 14、 20 。
15、215+ ；16、 31 ；17、 3,3⎡⎤-⎣⎦。
三、解答题（共70分） 18、（本题10分）解：命题P 为真的条件是：1< k < 4 ，（3分）。
命题Q 为真的条件是：- 1 < k < 2 ，（6分）又∵命题“P ∨Q ”为真，命题“P ∧Q ”为假。
∴命题P 、Q 有且仅有一个是真命题，[)(]1,14,2-∈∴ k ……………………10分19、（本题10分）解：设椭圆的方程为1212212=+b ya x ，双曲线得方程为1222222=-b y a x ，半焦距c ＝13 （4分）由已知得：a 1－a 2＝4， 7:3:21=a ca c ， 解得：a 1＝7，a 2＝3 （8分）所以：b 12＝36，b 22＝4，所以两条曲线的方程分别为：1364922=+y x ，14922=-y x （10分） 20（本题12分）解：（Ⅰ）证明：连A 1B 交AB 1于点E ， 四边形A 1ABB 1为矩形，∴ E 为AB 1的中点….1分 又D 为线段A 1C 1中点，∴ BC 1 // DE …………………..3分BC 1 ⊄平面AB 1D,DE ⊂平面AB 1D.∴BC 1//平面AB 1D ……………………..6分 （Ⅱ）法一、在正三角形A 1B 1C 1中，D 为A 1C 1中点，∴B 1D ⊥A 1C 1，又平面A 1B 1C 1⊥平面A 1ACC 1，∴B 1D ⊥平面A 1ACC 1，又AD ⊂平面A 1ACC 1，∴B 1D ⊥AD ，DA A 1∠∴即为二面角A －B 1D －A 1的平面角， DA A 1∠∴＝060.……………….9分 在直角三角形AA 1D 中，AA 1＝3，22,133360cot 11111===∴=∙==D A C A AB A A D A 12分. 法二、以点A 为原点，AB 为X 轴正半轴，平面ABC 内过A 垂直于AB 的直线为Y 轴，AA 1为Z 轴，建立空间直角坐标系，设AB ＝a ，则A （0,0，0），A 1（0,0，3），B 1（a ，0，3），D （)3,43,4a a ，==∴AD a AB ),3,0,(1)3,23,4a ， 设⊥=),,(z y x n 平面AB 1D ，则,1AB n ⊥AD n ⊥，故,01=∙AB n ，,0=∙AD n则03434,030=++=++z ay x a z ax ，得,33,3ax z x y -==D C 1 B 1BCAA 1。
高二数学下学期期末考试试题 理(含解析)新人教A版 (2)
高二下学期期末考试数学理试题一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．若i 为虚数单位，则关于 1i，下列说法不正确的是A ．1i 为纯虚数B ．1i 的虚部为i -C ．|1i |=lD ．1i在复平面上对应的点在虚轴上2．下列式子不．正确的是 A.()23cos 6cos sin x x xx x x x '+=+- B. ()sin 22cos2x x '=C ．2sin cos sin x x x x x x -='⎪⎭⎫ ⎝⎛ D ．23112ln x x x x '⎛⎫-=- ⎪⎝⎭3．已知复数),,,(,,21R d c b a di c z bi a z ∈+=+=，下列命题中：①21,z z 不能比较大小；②若1||1≤z ，则111≤≤-z ；③⎩⎨⎧==⇔=d b ca z z 21；④若021=+z z ，则021==z z .其中正确的命题是A ．②③B ．①③C ．③④D ．②④4．用数学归纳法证明等式(3)(4)123(3)()2n n n n *+++++++=∈N 时，第一步验证1n =时，左边应取的项是A ．1B ．12+C ．123++D ．1234+++5．(A 题）直线t ty t x (32⎩⎨⎧-=+=为参数)的倾斜角等于A ．43π B ．3π C ． 4π D ．6π（B 题）如图，空间四边形ABCD 中，G M ,分别是BC 、CD的中点，则 BD BC AB 2121++ 等于A ．B ．C ．D ．6．已知二项式n 的展开式中第四项为常数项，则n 等于A ．9B ．6C ．5D ．37．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A 只能出现在第一或最后一步，程序B 和C 在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有 A ．96种 B ．48种 C ．34种 D ．144种故选答案A8. 甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两 局才能得冠军．若两队每局获胜的概率相同，则甲队获得冠军的概率为 A ．12 B ．35 C ．34 D ．23故选答案C9.已知随机变量ξ和η，其中210+=ξη，且365)(=ηE ，若ξ的分布列如右表，则m 的值为A ．4760B ．3760C ．2760D ．1810. 已知函数()f x 的定义域为[]15,-，部分对应值如下表，()f x 的导函数()y f x '=的图象如图所示． 下列关于()f x 的命题：①函数()f x 的极大值点为0，4； ②函数()f x 在[]02,上是减函数；③如果当[]1x ,t ∈-时，()f x 的最大值是2， 那么t 的最大值为4；④当12a <<时，函数()y f x a =-有4个零点；⑤函数()y f x a =-的零点个数可能为0、1、2、3、4个．其中正确命题的个数是 A ．4B ．3C ．2D ．1二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11．已知f (x )＝x 3的所有切线中，满足斜率等于1的切线有 条.12．已知61512++++=x x x x C C C ，则=+42x x C .13．复数i ii z +-+=1)1(2，则=||z ．14．俗话说：“三个臭皮匠，顶个诸葛亮”，某校三位学生参加数学省举行的数学团体竞赛， 对于其中一题，他们各自解出的概率分别是41,31,51，由于发扬团队精神，此题能解出的概率是 ．15．（A 题）在极坐标系中，曲线1:2cos C ρθ=，曲线2:4C πθ=，若曲线1C 与2C 交于,A B两点，则线段AB 的长度为 ．（B 题）已知α//l ，且l 的方向向量为()1,,2m ，平面α的法向量为⎪⎭⎫⎝⎛2,21,1，则=m ．16．（A 题）已知函数|32||12|)(-++=x x x f ．若关于x 的不等 式|1|)(-<a x f 的解集非空，则实数a 的取值范围是________．（B 题）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，AC ＝2，90=∠ABC ，D 、E 分别是AC 1和BB 1的中点，则直线DE 与平面BB 1C 1C 所成的角为______.17．已知函数322()(0)f x x ax a x m a =+-+>若对任意的]6,3[∈a ，不等式()1f x ≤在]2,2[-∈x 上恒成立，则m 的取值范围是____________.三、解答题（本大题共5小题，共69分） 18．（本题满分13分）已知甲、乙、丙等6人 .（1）这6人同时参加一项活动，必须有人去，去几人自行决定，共有多少种不同的去法？ （2）这6人同时参加6项不同的活动，每项活动限1人参加，其中甲不参加第一项活动，乙不参加第三项活动，共有多少种不同的安排方法？（3）这6人同时参加4项不同的活动，求每项活动至少有1人参加的概率.19．（本题满分13分）（A 题）以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线2:s i n 2c o s (0)C a a ρθθ=>，过点)4,2(--P 的直线L 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=t y t x 224222，设直线L 与曲线C 分别交于N M ,； （1）写出曲线C 和直线L 的普通方程；（2）若|||,||,|PN MN PM 成等比数列,求a 的值．（B 题）如图，在棱长为1的正方体1AC 中，E 、F 分别为11D A 和11B A 的中点．(1)求平面1ACC 与平面1BFC 所成的锐二面角；(2)若点P 在正方形ABCD 内部或其边界上，且//EP 平面1BFC ，求EP 的取值范围．（B 题）解: （1）以D 为原点，DA ，DC ，DD 1建立如图所示的直角坐标系，则)0,0,1(A ，1(,0,1)2E ，)0,1,1(B ，)1,21,1(F .……………………………………2平面1ACC 的一个法向量为)0,1,1(=，设平 面1BFC 的法向量为),,(z y x =，⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-⋅=⋅=+-=⋅,0)1,0,1(),,(,0211z x z y x BC z y BF n ∴,2.x z y z =⎧⎨=⎩取1z =得平面1BFC 的一个法向量)1,2,1(=n ……………………………………………5分 236221,cos =⋅+==〉〈n DB ，因为〉〈,为锐角， ∴所求的锐二面角为6π． …………………………………………………7分20．（本题满分14分）某单位为了参加上级组织的普及消防知识竞赛，需要从两名选手中选出一人参加．为此，设计了一个挑选方案：选手从6道备选题中一次性随机抽取3题．通过考察得知：6道备选题中选手甲有4道题能够答对，2道题答错；选手乙答对每题的概率都是23，且各题答对与否互不影响．设选手甲、选手乙答对的题数分别为ξ，η. (1)写出ξ的概率分布列，并求出E(ξ)，E(η)；(2)求D(ξ)，D(η)．请你根据得到的数据，建议该单位派哪个选手参加竞赛？21．（本小题满分14分）（A 题）已知+∈R z y x ,,，且1=++z y x ． (1)求证：27111222≥++zy x ； (2)若333222)(z y x z y x ++≤++λ恒成立，求实数λ的最大值．（A 题）解：证明（1） +∈R z y x ,,，且3103133≤<⇒≥++=xyz xyz z y x ， 27)31(3)(331112233222222=≥=≥++∴xyz z y x z y x 故27111222≥++z y x 当31===z y x 时等号成立……………………………6分 （2） +∈R z y x ,,， 1=++z y x 且333222)(z y x z y x ++≤++λ恒成立，222333z y x z y x ++++≤∴λ恒成立， 2222333333)())((z y x z y x z y x z y x ++≥++++=++又 311)()111)((2222222222≥++⇒=++≥++++z y x z y x z y x 31)(31222333222333≥++++⇒++≥++∴zy x z y x z y x z y x 当31===z y x 时等号成立 31≤∴λ，故实数λ的最大值为31…………………………………………………14分 （B 题）设函数),,,(,)(23R d c b a d cx bx ax x f ∈+++=． （1）若3)21()(x x f -=，求d c b a -++23的值；（2）若0,31<=b a ，()y f x =在0x =处取得极值1-，且过点(0,0)可作曲线()y f x =的三条切线，求b 的取值范围.（B 题）解：（1）d cx bx ax x x f +++=-=233)21()( ，对此等式两边同时求导数得： c bx ax x ++=--23)2()21(322，令1=x 得：623-=++c b a ，又由二项式定理知1=d 故71623-=--=-++d c b a ………………………………………………6分 此题还可直接利用二项式定理求出d c b a ,,,的值，然后再求d c b a -++23的值. （2）c bx x x f ++='2)(2，由题意可得'(0)0f =，(0)1f =-，解得1,0-==d c经检验，()f x 在0x =处取得极大值.∴131)(3-+=bx x x f ………………………8分 设切点为00(,)x y ，则切线方程为0'00()()y y f x x x -=-即为132)2(2030020---+=bx x x bx x y ……………………………………………………9分 因为切线方程为132)2(2030020---+=bx x x bx x y ，把(0,0)代入可得01322030=++bx x ，因为有三条切线，故方程01322030=++bx x 有三个不同的实根.………………………11分设)0(0132)(23<=++=b bx x x gbx x x g 22)(2+='，令022)(2=+='bx x x g ，可得0x =和b x -=因为方程有三个根，故极小值小于零，01313<+b ，所以33-<b ………………14分22．（本题满分15分）已知函数()()2ln f x x a x a R =+∈．(1)讨论函数)(x f 的单调性；(2)若函数)(x f 的最小值为()a ϕ，求()a ϕ的最大值； (3)若函数)(x f 的最小值为()a ϕ，,m n 为()a ϕ定义域A 内的任意两个值，试比较 ()()2m n ϕϕ+与2m n ϕ+⎛⎫ ⎪⎝⎭的大小． 解： (1)显然0x >，且x a x f +='2)(……………………………………………1分 ① 当0a ≥时，()0f x '>，函数()f x 在定义域内单调递增；② 当0a <时，若0,2a x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()0f x '<，函数单调递减； 若,2a x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，()0f x '>函数单调递增…………………………4分 (2)由(1)知，当0a ≥时，函数()f x 在定义域内单调递增，所以)(x f 无最小值. 当0a <时，2a x =-时，)(x f 最小，即()ln 22a a a f a a ϕ⎛⎫⎛⎫=-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()ln 2a a ϕ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭因此，当2a <-时，()0a ϕ'>，函数()a ϕ单调递增；当20a -<<时，()0a ϕ'<，函数()a ϕ单调递减；故()a ϕ的最大值是()22ϕ-=…………………………………………………………8分(3) 由(1)知{}|0A a a =<,极小值即最小值2a f ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 故()ln 922a a a f a a ϕ⎛⎫⎛⎫=-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭分 对于任意的,m n A ⊂且m n ≠有，()()ln ln 22ln 222224m n m m n n m n m n m n m n M n ϕϕϕ⎛⎫⎛⎫-+--+- ⎪ ⎪++⎡+++⎤⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭-=--+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦22ln ln ln ln ln 1122222422m m n n m n m n m m n n m n m n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+--=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭分 不妨设0m n <<，则1m n >，令()1m t t n=>则 ()()2222ln ln ln ln 22221111m m n m n n m n t n t m m n t t n n ϕϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥ ⎪ ⎪++⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦设()()()22ln ln ln 2ln 1ln 2ln 111t u t t t t t t t t t ⎛⎫⎛⎫=+=-++-+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()ln2ln21ln(1)t t t t =+-++所以2()ln 2ln(1)ln()1t u t t t t '=-+=+，因为221110111t t t t t t t ----==>+++ 即211t t >+，所以()0u t '>，即函数()u t 在()1,t ∈+∞上单调递增. 从而()(1)0u t u >=，但是02n <，所以()()022m n m n ϕϕϕ++⎛⎫-< ⎪⎝⎭即)2(2)()(n m n m +<+ϕϕϕ……………………………………………………………14分。
高二数学上学期期末质量检测试题 理 新人教A版
陕西省咸阳市2011~2012学年度第一学期期末质量检测高二数学（理科）试题第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 不等式2210x x-+≤的解集是（）A．{}1 B.∅ C.(,)-∞+∞ D. (,1)(1,)-∞+∞2. 抛物线28y mx=（0m>），F是焦点，则m表示（）A．F到准线的距离 B.F到准线的距离的1 4C．F到准线的距离的18D.F到y轴的距离3. 双曲线221169x y-=的焦点坐标是（）A．(7,0)-、(7,0) B.(0,7)-、(0,7)C．(4,0)-、(4,0) D.(5,0)-、(5,0)4. 在数列1, 1，2，3，5, 8，x，21, 34, 55中，x等于（）A．11 B. 12 C. 13 D. 145. 不等式1xx->成立的充分不必要的条件是（）A．1x> B. 1x>- C. 1x<-或01x<< D. 10x-<<或1x>6. (21)(4)0x y x y++-+≤表示的平面区域为（）7. 在200m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30,60，则塔高为（）A．4003m B.2003m C.4003m D.2003m8. 如图，已知直线AC、BD是异面直线，AC CD⊥，BD CD⊥，且2AB=，1CD=，则直线AB与CD的夹角大小为（）A．30 B.45 C. 60 D. 759．在正项等比数列{}n a中，若569a a⋅=，则313233310log log log log a a a a ++++等于（ ）A ． 8 B. 10 C.12 D.2log 5a +10.已知12,F F 是椭圆的两焦点，满足120MF MF ⋅=的点M 总在椭圆的内部，则该椭圆的离心率的取值范围为（ ）A ．(0,1) B. 1(0,)2 C. 2(0,) D. 2(,1) 第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填在题中的横线上）11. 命题“存在20,10x R x ∈+<”的否命题是 .12．已知(2,1,2)=-a ，(4,2,)=-b x ，且∥a b ，则x = .13. 已知F 是抛物线24y x =的焦点， ,A B 是抛物线上两点，AFB ∆是正三角形，则该正三角形的边长为 .14. 设,x y 满足约束条件36020,0,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩若目标函数z ax by=+（0,0a b >>）的最大值为1，则23a b+的最小值为 . 15.如图，已知矩形ABCD 中，3AB =，BC a =，若PA ⊥平面AC ，在BC 边上取点E ，使PE DE ⊥，则满足条件的E 点有两个时，a 的取值范围是 .三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16.（本小题满分12分） 设命题p ：实数x 满足22430x ax a -+<，其中0a <；命题q ：实数x 满足204x x +≥+，且p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求a 的取值范围.17. （本小题满分12分）设a ，b 均为正数，（Ⅰ）求证：211ab a b +≥；（Ⅱ）如果依次称2a b +、ab 、211a b+分别为,a b 两数的算术平均数、几何平均数、调和平均数. 如右图，C 为线段AB 上的点，令AC a =，CB b =，O 为AB 的垂线交半圆于D . 连结OD ，AD ，BD . 过点C 作OD 的垂线，垂足为E . 图中线段OD 的长度是,a b 的算术平均数，请分别用图中线段的长度来表示,a b 两数的几何平均数和调和平均数，并说明理由.18. （本小题满分12分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知34a =，39S =（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）令11n nn b a a +=⋅，求数列{}n b 的前10项和.19. （本小题满分12分）如图，B 、A 是某海面上位于东西方向相距302海里的两个观测点.现位于B 点正北方向、A 点北偏东45方向的C 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点北偏西60、A点北偏西15的D 点的救援船立即前往营救，其航行速度为203海里∕小时，问该救援船到达C 点需要多少时间？20.（本小题满分13分）已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，AB DC ∥，90DAB ∠=，PA ⊥底面ABCD ，且1PA AD DC ===，2AB =，M 是PB 的中点.（Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ；（Ⅱ）求平面AMC 与平面ABC 夹角的余弦值.21.（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>过点3(1,)2，且离心率12e=.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线:(0)l y kx m k=+≠与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过定点1(,0)8G，求k的取值范围.。
期末模拟题(二)-2021-2022学年高二上学期数学(人教A版(2019)选择性必修第一册)
高二上册数学期末模拟题（二）-人教A 版（2019）新高考一、单选题1．在数列{}n a 中，11a =，()1112n n a n a -=+≥，则4a =（ ） A ．32B ．53C ．74D ．852．双曲线2214y x -=的渐近线方程是（ ）A ．12y x =± B ．2y x =±C ．4x y =±D ．14x y =±3．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，1AA a =，11A B b =，11A D c =，O 为底面ABCD 的中心，G 为11D C O 的重心，则AG =（ ）A ．215326a b c ++B ．2536a b c ++C ．121336a b c ++D ．1526a b c ++4．圆22(1)(2)2x y -++=关于直线:10l x y -+=对称的圆的方程为（ ） A ．22(1)(3)2x y ++-= B ．22(1)(3)2x y -++= C ．22(3)(2)2x y ++-= D ．22(3)(2)2x y -++=5．已知4ln 4a a -=，3ln 3-=b b ，22ln -=cc ，其中4a ≠，3b ≠，2c ≠，则（ ）A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．a c b <<6．已知数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n +++-=，则数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项和是（ ） A ．1021B ．1123C ．2021D ．22237．已知12F F ，为双曲线222:1(0)16x y C a a -=>的左､右焦点，点A 在双曲线的右支上，点(72)P ，是平面内一定点.若对任意实数m ，直线430x y m ++=与双曲线C 的渐近线平行，则2AP AF +的最小值为（ ） A．6B．10-C．8D．28．若曲线12,C C 存在到直线l 距离相等的点，则称12,C C 相对直线l “互关”.已知曲线22212:,:(4)2C y x a C x y =+-+=相对直线:0l x y -=“互关”，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,4]∞- B ．25(,]4∞- C ．25(2,]4D ．25()4∞+，二、多选题9．空间直角坐标系O xyz -中，已知()()1,2,2,0,1,1A B -，下列结论正确的有（ ） A ．(1,1,3)AB =--B ．若()2,1,1m =，则⊥m ABC ．点A 关于xOy 平面对称的点的坐标为()1,2,2- D．||AB =10．已知曲线C ：()224y m x =-，其中m 为非零常数，则下列结论中正确的是（ ）A ．当1m =-时，则曲线C 是一个圆B ．当0m >时，则曲线C 是一个双曲线C ．若3m =-时，则曲线是焦点为(0,±的椭圆 D ．若曲线C2m =- 11．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且214S a =，2a 是11a +与312a 的等差中项，数列{}nb 满足1nn n n a b S S +=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则下列命题正确的是（ ）A ．数列{}n a 的通项公式123n n a -=⨯B ．31nn s =-C ．数列{}n b 的通项公式为()()1233131nn nn b +⨯=-- D ．n T 的取值范围是11,86⎡⎫⎪⎢⎣⎭12．函数()1,11ln ,1x e m x f x x x x -+⎧+<=⎨+-≥⎩的值域为[)2,+∞，则下列选项中一定正确的是（ ）A ．1m ≥B ．()()21f f m -<--C ．()()()ln 21f m f m +<+D ．ln 212e f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭三、填空题13．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱B 1C 1，CC 1的中点，则异面直线A 1E 与BF 所成角的余弦值为___________.14．在平面直角坐标系中，以点(0,1)为圆心且与直线20mx y m --+=相切的圆中，半径最大的圆的标准方程为______15．已知椭圆C ：2214x y +=的左､右焦点分别是1F ，2F ，过点1F 的直线交椭圆于A ，B两点，则2ABF 的内切圆面积的最大值为___________.16．定义在R 上的函数()f x 满足()()13f x f x +=+，当[)0,1x ∈时，()24342x f x x +=+.设()f x 在[)()*,1n n n +∈N 上最小值为n a ，则6a =___________.四、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，()*12,2n n n a S n N n -=+∈≥．（1）求证：数列2n n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）求数列{}n a 的通项公式；18．已知E ，F 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱BC 和CD 的中点．（1）求1A D 与EF 所成角的大小； （2）求1A E 与平面1B FB 所成角的余弦值．19．在平面直角坐标系xOy 中，已知两定点A (－2，2)，B (0，2)，动点P 满足2PA PB=（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点(0，1)的直线l 与轨迹C 相交于M 、N 两点，且||4MN =，求直线l 的方程． 20．已知E 是曲线221:143x y C +=上任一点，过点E 作x 轴的垂线，垂足为H ，动点D 满足32HE HD =（1）求点D 的轨迹2C 的方程;（2）若点P 是直线:250l x y --=上一点，过点P 作曲线2C 的切线，切点分别为M ，N ，求使四边形OMPN 面积最小时MN 的值.21．已知数列{}n a 满足a 1＝1，a n ＋1＝2,3,n na n a n ⎧⎨+⎩为奇数为偶数（1）从下面两个条件中选一个，写出b 1，b 2，并求数列{}n b 的通项公式； ①b n ＝a 2n －1＋3；②b n ＝a 2n ＋1－a 2n －1． （2）求数列{}n a 的前n 项和为S n ．22．已知函数()()2ln f x x x ax x a R =-+∈.（1）当0a =时，求()f x 的单调区间；（2）若()f x 有两个零点12,x x ，且122x x >，证明1228x x e >.参考答案1．B 【分析】分别将2n =，3，4代入递推关系式求出2a ，3a ，4a 的值即可求解. 【详解】数列{}n a 中，11a =，()1112n n a n a -=+≥， 令2n =，可得21111121a a =+=+=， 令3n =，可得321131122a a =+=+=， 令4n =，可得431251133a a =+=+=， 故选：B. 2．B 【分析】求出a 、b 的值，即可得出双曲线的渐近线方程. 【详解】在双曲线2214y x -=中，1a =，2b =，所以，该双曲线的渐近线方程为2b y x x a =±=±. 故选：B. 3．A 【分析】结合空间线段的关系以及空间向量的线性运算即可求出结果. 【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，1AA a =，11A B b =，11A D c =，O 为底面ABCD 的中心，G 为11D C O 的重心，连接OG ，则()1111()23AG AO OG AB AD OD OC =+=+++111111()()()2322b c BA BC DD AB AD CC ⎡⎤=+++++++⎢⎥⎣⎦11111()()()26363b c b c a b c a =++-+++++ 215326a b c ++=．故选：A ． 4．C 【分析】圆关于直线的对称圆问题，第一步求圆心关于直线的对称点，半径不变，第二步直接写出圆的方程. 【详解】圆22(1)(2)2x y -++=的圆心(1,2)-，由:10l x y -+=得1l k =设对称点的坐标为(,)m n ，利用两圆心的连线与直线垂直，两圆心的中点在直线上列方程求解， 211{121022l n k m m n +⋅=--+--+=，化简得1050m n m n ++=⎧⎨-+=⎩，解得32m n =-⎧⎨=⎩所以对称圆的方程为22(3)(2)2x y ++-=.故选:C. 5．C 【分析】先令函数()ln f x x x =-，求导判断函数()f x 的单调性，并作出函数()f x 的图像，由函数()f x 的单调性判断()()()f c f b f a >>，再由对称性可得a b c <<.【详解】 由4ln4aa -=，则ln 4ln 4a a -=-，同理ln 3ln3b b -=-，ln 2ln 2c c -=-， 令()ln f x x x =-，则()111x f x x x-'=-=，当()0,01f x x '<<<；当()0,1>>'f x x ，∴()f x 在()0,1上单调递减，()1,+∞单调递增，所以()()()432f f f >>，即可得()()()f a f b f c >>，又4a ≠，3b ≠，2c ≠由图的对称性可知，a b c <<.故选：C 6．C 【分析】用1n -替换已知式中的n ，然后两式相减求得n a ，然后由裂项相消法求和． 【详解】 因为123(21)2n a a n a n +++-=，所以2n ≥时，1213(23)2(1)n a a n a n -+++-=-，两式相减得(21)2n n a -=，221n a n =-， 又12a =，满足此式，所以221n a n =-， 21121(21)(21)2121n a n n n n n ==-+-+-+， 所以数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项和为111111201133519212121⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选：C ． 7．A 【分析】根据双曲线的性质可得直线430x y m ++=与双曲线的渐近线方程为4y x a=±，重合或平行，即可求出a ，再利用双曲线的定义转化可求最小值. 【详解】∵双曲线C ：()2221016x y a a -=>，∴双曲线的渐近线方程为4y x a =±，∵对任意实数m ，直线430x y m ++=与双曲线C 的渐近线平行， ∴直线430x y m ++=与双曲线的渐近线方程为4y x a=±平行， ∴3a =，∴5c =，∴1F 为()5,0-，∵()7,2P ，∴1PF =∴211666AP AF AP AF PF +=+-≥-=， ∴2APAF +的最小值为6. 故选：A. 8．B 【分析】由点到直线的距离公式求出圆心2(40)C ，到直线l 的距离，进而得出圆上点到直线l 的最大距离max d ，当0a ≤时满足题意；当0a >时，利用导数的几何意义求出曲线1C 的切点坐标，根据点到直线的距离公式求出切点到直线l 的距离2d ，结合2max d d ≤计算即可. 【详解】 由题意知，圆2C 的圆心坐标为2(40)C ，，半径为r = 圆心2(40)C ，到直线l的距离为1d ==所以圆上的点到直线l 的最大距离为max 1d d r =+=当0a ≤时，21C y x a =+：为开口向上的抛物线，1C 、2C 存在到直线l 距离相等的点，符合题意；当0a >时，由21C y x a =+：，得2y x '=，设点00()P x y ，为曲线1C 上的一点，则曲线上过点P 的切线方程的斜率为02x ，又过点P 且与直线l 平行的切线方程的斜率为1，所以02x =1，012x =，所以切点11()24P a +，，此时切点11()24P a +，到直线l的距离为2d =， 由2max d d ≤≤164a -≤，解得232544a -≤≤，所以2504a <≤综上所述，254 a≤故选：B9．AB【分析】利用向量的坐标公式，模的计算公式，对称点的坐标，及数量积公式依次计算即可得出结果. 【详解】()()1,2,2,0,1,1A B-，∴(1,1,3)AB=--,1AB=+A正确,D 错误.若()2,1,1m=，则()()=211113=0m AB⋅⨯-+⨯-+⨯,则⊥m AB,B正确，点A关于xOy平面对称的点的坐标为()1,2,2，故C错误，故选：AB.10．ABC【分析】根据曲线方程，结合各选项给定的参数值，将方程转为为22221x ya b±=的形式判断曲线的性质即知A、B、C的正误，由椭圆的离心率求参数m判断D.【详解】A：1m=-时，曲线可整理为224x y+=，即曲线C是一个圆，正确；B：0m>时，曲线可整理为22144x ym-=，即曲线C是一个双曲线，正确；C：3m=-时，曲线可整理为221124y x+=，即曲线是焦点为(0,±的椭圆，正确；D：由上分析知：若曲线C的椭圆，则m<⎧⎪=2m<⎧=，可得12m=-或2m=-，错误.故选：ABC.11．ABD【分析】根据已知条件求出等比数列{}n a 的公比和首项，进而可以求得n a 和n S ；利用裂项相消法可得111133131n n n b +⎛⎫=- ⎪--⎝⎭和n T ，讨论数列{}n T 的单调性，即可得出n T 的范围. 【详解】A ：由214S a =可得213a a =，所以等比数列{}n a 的公比3q =，所以113n n a a -=⨯.由2a 是11a +与312a 的等差中项，可得2131212a a a =++，即()2111123132a a a ⨯=++⨯，解得12a =，所以123n n a -=⨯，所以A 正确；B ：()()1121331113nnnn a q S q-⨯-===---，所以B 正确；C ：()()111123111331313131n n n n n n n n n a b S S -+++⨯⎛⎫===- ⎪⋅----⎝⎭，所以C 不正确；D ：12n nT b b b =++⋅⋅⋅+1223111111111111113333231313131313131n n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以数列{}n T 是递增数列，得11110326n T T ⎛⎫≤<⨯-= ⎪⎝⎭，所以1186n T ≤<，所以D 正确.故选：ABD. 12．ACD 【分析】判断函数在(),1-∞上的单调性，再根据函数的值域即可求出m 的范围，即可判断A ；根据函数在(),1-∞上的单调性即可判断B ；利用导数判断函数()f x 在[)1,+∞上的单调性，令()()()1ln 2,1h x x x x =+-+≥，求出函数()h x 在[)1,+∞上的单调性，即可判断1m +与()ln 2m +的大小，从而可判断C ；令()ln xg x x=，求出函数()g x 在(]0,e 上的单调性，再根据函数在(),1-∞上的单调性即可判断D. 【详解】解：当1x ≤时，()1ln f x x x =+-，则()1110x f x x x-'=-=≥， 所以函数()f x 在[)1,+∞上递增，()()12f x f ≥=，当1x <时，()1x f x em -+=+在(),1-∞上递减， 则()()112f x f m >=+≥，解得m 1≥，故A 正确； 则12m --≤-，所以()()21f f m -≤--，故B 错误； 则23m +≥，故()ln 21m +>， 令()()()1ln 2,1h x x x x =+-+≥， 则()111022x h x x x +'=-=>++，所以函数()h x 在[)1,+∞上递增， 所以()()12ln30h x h ≥=->，所以()ln 12x x +>+，即()1ln 2m m +>+， 所以()()()ln 21f m f m +<+，故C 正确； 令()ln xg x x=，则()21ln x g x x -'=，当0x e <≤时，()0g x '≤，所以函数()g x 在(]0,e 上递增， 所以()()2g g e <，即ln 2112e<<， 所以ln 212e f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确. 故选：ACD. 13．25【分析】建立如图所示空间直角坐标系，利用数量积可求夹角的余弦值. 【详解】如图，建立空间直角坐标系，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则1(0,0,2),(2,0,0),(2,1,2),(2,2,1)A B E F ， 则1(2,1,0),(0,2,1)A E BF ==，故1112,cos ,55||A E BF A E BF A E BF ⋅===.故答案为：2514．22(1)2x y +-= 【分析】把直线方程化为点斜式，根据题意知，当切点为P 点时，半径最大且为CP ，结合两点间的距离公式即可求解. 【详解】根据题意，直线20mx y m --+=，即()21y m x -=-，恒过定点()1,2，记P 为()1,2 设要求圆的半径为r ，其圆心C 的坐标为(0,1)， 其与直线20mx y m --+=相切的所有圆中，当切点为P 点时，半径最大且为CP ， 所以，()()22221021r CP ==-+-=2， 则所求圆的方程为22(1)2x y +-= 故答案为：22(1)2x y +-=． 15．4π 【分析】设直线AB 的方程为3x ty =，()11,A x y ，()22,B x y ，直线方程代入椭圆方程应用韦达定理得1212,y y y y +，由2121212ABF S F F y y =-△示面积，并变形后应用基本不等式得最大值，从而可得内切圆半径最大值，即得面积最大值． 【详解】解：直线AB 的斜率不能为0，但可不存在.设直线AB的方程为x ty =，()11,A x y ，()22,B x y ，由2214x ty x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，得()22410t y +--=，12y y +=12214y y t =-+， 则2121212ABF SF F y y =⋅-12=⋅====≤2=（当且仅当t =时等号成立）.设2ABF 的内切圆半径为r ，2248AF BF AB a ++==， 则()22122AF BF AB r ++⋅≤， 12r ≤，则2ABF 的内切圆面积的最大值为2124ππ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭.故答案为：4π． 16．19 【分析】根据基本不等式可知[)0,1x ∈时()min 1f x =，又()()13f x f x +=+，可得()()13f x f x =-+，进而可求出[)1,2x ∈时()1min 4f x a ==，由此可知[)()*1,2x n n n N ∈++∈时，可得13n n a a +=+，由此可证数列{}n a 是以4为首项，3为公差的等差数列，再根据等差数列的的通项公式，即可求出结果. 【详解】当[)0,1x ∈时，()22411414413122=11422422x x x f x x x x x ⎛⎫+++⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭+- ⎪⎛⎫⎝ ⎪+⎝⎭==++⎛⎫++ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭⎭ 因为32121,2x ∈+⎡⎫⎪⎢⎣⎭，所以()11121121f x x x ⎛⎫+-≥= ⎪⎛⎫⎝⎭ ⎪+⎝+⎭= 当且仅当11122x x +=+，即12x =时，取等号；所以当[)0,1x ∈时，()min 1f x =； 又()()13f x f x +=+ 所以()()13f x f x =-+； 当[)1,2x ∈时，则[)10,1x -∈， 所以()()min min 134f x f x =-+=；又()f x 在[)()*,1n n n +∈N 上最小值为n a ，所以14a =当[)()*1,2x n n n N∈++∈时，则[)()*1,1x n n n N -∈+∈所以()()min min 13f x f x =-+ 即13n n a a +=+，所以13n n a a +-=所以数列{}n a 是以4为首项，3为公差的等差数列，即()43131n a n n =+-=+ 所以619a =. 故答案为：19.17．（1）证明见解析；（2）1(1)2n n a n -=+⋅，*n N ∈.【分析】 （1）由题设可得11221n n n n S S ---=，即可证明结论； （2）由（1）可知2nn S n =⋅，再根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩计算可得；（1）由12a =，()*12,2n n n a S n N n -=+∈≥，∴112nn n n S S S ---=+，整理得：11221n n n n S S ---=，而11221S a ==， ∴2n n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭以1为首项，1为公差的等差数列，得证. （2）由（1）得：2nn S n =⋅，①当1n =时，112a S ==；②当2n ≥时，111(1)(1)222n n n n n n a S S n n n ---=-=--⋅=+⋅⋅，综上，1n =时1(1)2n n a n -=+⋅成立，∴1(1)2n n a n -=+⋅，*n N ∈. 18． （1）60°； （2）23.【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角的坐标公式即可求出异面直线所成角的余弦值，进而结合异面直线成角的范围即可求出结果；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角的坐标公式即可求出求出线面角的正弦值，进而结合线面角的范围即可求出结果； （1）以AB ，AD ，1AA 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2a ，则1(0,0,2)A a ，(0,2,0)D a ，()2,,0E a a ，(),2,0F a a ， 所以1(0,2,2)A D a a =-，(,,0)EF a a =-，设1A D 与EF 所成角的大小为α， 则211222211cos cos ,244A D EF A D EF A D EFa a a a ⋅====⋅+⋅+α， 因为异面直线成角的范围是(0,90⎤⎦，所以1A D 与EF 所成角的大小为60°． （2）设平面1B FB 的法向量为()0000,,n x y z =，1A E 与平面1B FB 所成角为β，0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦πβ．因为(2,0,0)B a ，1(2,0,2)B a a ，所以(,2,0)BF a a =-，1(0,0,2)BB a =，所以0000102020n BF ax ay n BB az ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩，令02x =，得0(2,1,0)n =为平面1B FB 的一个法向量，又因为1(2,,2)A E a a a =-，所以10102221045sin cos ,4414A E n a a A E n A E n a a a ⋅+====⋅++⋅+β 所以22cos 1sin 3=-ββ． 19．（1）22(2)(2)8x y -+-=； （2）x ＝0或3x ＋4y －4＝0﹒ 【分析】(1)设动点P 的坐标，直接利用已知的等式2PA PB=(2)分直线l 斜率存在和不存在两种情况进行分析，利用圆心到直线的距离列出方程求解即可． （1）设动点P 的坐标为(,)x y ，则PA PB==，整理得22(2)(2)8x y -+-=，故动点P 的轨迹是圆，方程为22(2)(2)8x y -+-=； （2）由(1)知动点P 的轨迹是圆心为(2,2)C，半径R = 设F 为MN 中点，则CF l ⊥，得||||2FM FN ==， 圆心C 到直线l 的距离||2d CF ==， 当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为0x =， 此时||2CF =，符合题意； 当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为1y kx =+，即10kx y -+=，由题意得2d ==，解得34k =-；故直线l 的方程为3440x y +-=，综上直线l 的方程为0x =或3440x y +-=． 20．（1）224x y +=； （2【分析】（1）设(),D x y ，()00,E x y ，则()0,0H x ，由32HE HD =可得00x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩，再代入2200143x y +=化简即可求解；（2）由圆的切线的性质可得PM PN =，OM PM ⊥，S OM PM =⋅=圆心O 到直线l 的距离即为OP 的最小值，进而可得面积S 的最小值，再由min min 12S OP MN =⋅即可得MN 的值. （1）设(),D x y ，()00,E x y ，则()0,0H x ， 由32HE HD =可得())000,,y x x y =-，所以)000x x y y -==，所以00x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩，因为点()00,E x y 在椭圆221:143x y C +=上，所以2200143x y +=，所以22143yx ⎫⎪⎝⎭+=，整理可得：224x y +=，所以点D 的轨迹方程为224x y +=. （2）由圆的切线性质知，切线长PM PN =，OM PM ⊥，所以四边形面积2S OM PM PM =⋅===所以当OP 最小时，面积最小，而OP 的最小值即为点O 到直线:250l x y --=的距离d ==此时min 2S ==，又因为min min 11222S OP MN MN =⋅==，可得MN =， 所以四边形OMPN面积最小时MN21．（1）所选条件见解析，124,8b b ==；12n n b +=；（2）7246229212,2292212,2n n n n n n S n n +++⎧--⎪⎪=⎨⎪+--⎪⎩为奇数为偶数. 【分析】（1）分n 为奇数和n 为偶数进行讨论，分别构造数列即可求出结果.（2）分n 为奇数和n 为偶数进行讨论，然后结合等比数列的求和公式以及分组求和即可求出结果. （1）当n 为奇数时，21323n n n a a a ++=+=+，则()2323n n a a ++=+，且134a +=，则12342n n a ++=⋅，即3223n n a +=-，当n 为偶数时，()2122326n n n n a a a a ++==+=+，则()2626n n a a ++=+，且2122a a ==，268a +=，则12682n na ++=⋅，即4226n n a +=-，若选①，则213122132332n n n n b a -++-=+=-+=，则124,8b b ==；若选②，则2132132112221212323222n n n n n n n n b a a ++-+++++-⎛⎫=-=---=-= ⎪⎝⎭，则124,8b b ==，（2）当n 为偶数时，12n n S a a a =+++()()13124n n a a a a a a -=+++++++24233422232323262626n n ++⎛⎫⎛⎫=-+-++-+-+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭232221221236122122n nn n ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-⋅+-⋅-- 4622922122n n n ++=+--当n 为奇数时，12n n S a a a =+++()()13241n n a a a a a a -=+++++++33233422232323262626n n ++⎛⎫⎛⎫=-+-++-+-+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1123222122121136122122n n n n +-⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭=-⋅+-⋅-- 72921222n n +=--7246229212,2292212,2n n n n n n S n n +++⎧--⎪⎪=⎨⎪+--⎪⎩为奇数为偶数. 22．（1）单调增区间是21,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，单调减区间是210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）证明见解析 【分析】（1）当0a =时，()ln 2f x x '=+，结合导数正负判断函数单调区间即可；（2）因12,x x 是函数零点，得2211112222ln 0,ln 0x x ax x x x ax x -+=-+=，分离得121122ln ln 11x x a x x x x =+=+，令21(2)x tx t =>，构造()12ln x x ⋅，代换成关于t 的函数表达式()h t ，通过()h t '求出()h t 最值，进而得证. （1）答案第17页，共17页当0a =时，()()ln ,ln 2f x x x x f x x =+∴=+',令()0f x '>得21x e >，令()0f x '<得210x e <<， ()f x ∴的单调增区间是21,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，单调减区间是210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭； （2）若()f x 有两个零点12,x x ，则2211112222ln 0,ln 0x x ax x x x ax x -+=-+=， 得121122ln ln 11x x a x x x x =+=+. 2120x x >>，令21(2)x tx t =>，则()111111ln ln 11tx x x x tx tx +=+， 得1ln ln 11t x t =--， 则()211ln ln ln ln ln 11t t x tx t x t ==+=--， ()()12121ln ln ln ln ln ln 11 2.111t t t t t x x x x t t t +∴=+=-+-=---- 令()()1ln 2(2)1t t h t t t +=->-，则212ln ()(1)t t t h t t -+-'=-， 令()12ln (2)t t t t t ϕ=-+->，则()22221(1)10t t t t t ϕ-=-++=>'， ()t ϕ∴在()2,+∞上单调递增，()()3t 22ln202ϕϕ∴>=->. ()()20(1)t h t t ϕ∴=>-'，则()h t 在()2,+∞上单调递增， ()()2823ln 22ln h t h e∴>=-=，即()1228ln ln x x e >， 1228x x e ∴>.答案第18页，共1页。
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一．选择题:本大题共10个小题,每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 直线310x y --=的倾斜角为（ ）.30A .60B .120C .150D2. 椭圆1422=+y m x 的焦距等于2，则m 的值为（ ） A. 5或3 B. 8 C. 5 D. 163.下列说法中，正确的是( )A ．命题“若22bm am <，则b a <”的逆命题是真命题B ．命题“0,2>-∈∃x x R x ”的否定是“0,2≤-∈∀x x R x ”C ．命题“p V q ”为真命题，则命题“P ”和命题“q ”均为真命题D ．已知R x ∈，则“x >1”是“x >2”的充分不必要条件4. 已知双曲线22221x y a b-=（a>0,b>0）的两条渐近线均和圆C ：x 2+y 2-6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为（ ）A ．22154x y -= B.22145x y -=C.221x y 36-= D.221x y 63-= 5.正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为（ ） A ．15B ．25C ．35D ．456. 设m ,n 是两条不同的直线, α,β,γ是三个不同的平面．有下列四个命题： ①若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n ；②若m α⊥，//m β，则αβ⊥；③ 若n α⊥，n β⊥， m α⊥，则m β⊥；④ 若αγ⊥，βγ⊥，m α⊥，则m β⊥． 其中错误．．命题的序号是（ ）A ．①④B ．①③C ．②③④D ．②③7.设抛物线y 2=8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线与抛物线有公共点，则直线的斜率的取值范围是（ ）A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21 B.[]2,2-C.[]1,1-D. []4,4-8. 已知抛物线24y x =的准线与双曲线2221x y a-=交于A 、B 两点，点F 为抛物线的焦点，若FAB ∆为直角三角形，则双曲线的离心率是（ ）A 36 C ．2 D ．3 9. 如图，在正四棱柱1111ABCD ABCD -中，EF ，分别是1AB ，1BC 的中点，则以下结论中不成立．．．的是（ ） A ．EF 与1BB 垂直 B ．EF 与BD 垂直 C ．EF 与CD 异面D ．EF 与11A C 异面10. 设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为1e 2=，右焦点为(0)F c ，，方程20ax bx c +-=的两个实根分别为1x 和2x ，则点12()P x x ，（ ）A.必在圆222x y +=内B.必在圆222x y +=上C.必在圆222x y +=外D.以上三种情形都有可能二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分，将答案填写在答题卡中相应题号的横线上.11. 设m 为常数，若点(0,5)F 是双曲线2219y x m -=的一个焦点， 则m = 。
12. 一个几何体的三视图如右图所示（单位长度：cm ）， 则此几何体的体积是 3cm2013年塘沽一中、汉沽一中、大港一中第一学期期末联合考试高二（理） 数学试卷13. 已知圆422=+y x 和圆044422=+-++y x y x 关于直线l 对称，则直线l 的方程为_____________。
14. 已知条件“21≤+x ”；条件“a x ≤”，p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是_____________.15. 过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，点O 是原点，若3AF =, 则AOB ∆的面积为ABC1A 1C 1D 1B DE FPABCDFGE 16. 双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的焦距为2c ，直线l 过点(0)a ，和(0)b ，，点(1,0)到直线l的距离与点(10)-，到直线l 的距离之和为45s c ≥，求双曲线的离心率e 的取值范围 ．请将填空题答案填写在下列横线上：11． 12． 13． 14． 15． 16． 三、解答题：本大题共4小题，共40分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分8分）已知圆01264:22=+--+y x y x C ，点()3,4A ，求：(1)过点A 的圆的切线方程；(2)O 点是坐标原点，连结OA ，OC ，求△AOC 的面积S .18.（本小题满分10分）如图，在底面是正方形的四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥面ABCD ， BD 交AC 于点E ，F 是PC 中点，G 为AC 上一点． （1）求证：BD ⊥FG ；（2）已知CA CG 41=，求证：FG//平面PBD ，（3）已知AB PA =，求PC 与平面PBD 所成角的正弦值19．(本小题满分10分)三棱柱111ABC A B C -，90BCA ∠=，2AC BC ==，1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D ，又知11BA AC ⊥.（1）求证：1AC ⊥平面1A BC ； （2）求二面角1A A B C --的余弦值.20. （本小题满分12分）已知圆O ：122=+y x ，点O 为坐标原点,一条直线l ：)0(>+=b b kx y 与圆O 相切并与椭圆1222=+y x 交于不同的两点A 、B （1）设)(k f b =,求)(k f 的表达式；D1B1A1CBA(2）若32=⋅OB OA ，求直线l 的方程；（3）若)4332(≤≤=⋅m m OB OA ，求三角形OAB 面积的取值范围.三、解答：18.（1）⊥PA 面ABCD ，四边形ABCD 是正方形， 其对角线BD ，AC 交于点E ，∴PA ⊥BD ，AC ⊥BD∴BD ⊥平面APC ，⊂FG 平面PAC ，∴BD ⊥FG-----------------------------3分（2）连接PE ，由F 为PC 中点，G 为EC 中点，知FG//PE ， 而FG ⊄平面PBD ，PB ⊂平面PBD ， 故FG//平面PBD ．-----------------------------6分(3)以A 为原点，AB ，AD ，PA 所在的直线分别 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系如图所示， 设正方形ABCD 的边长为1，则A （0，0，0），B （1，0，0），C （1，1，0）C(1, 1， 0) D （0，1，0），P （0，0，1） 设平面PBD 的一个法向量为),,,(z y x u =则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0，而)0,1,1(),1,0,1(-=-=⎩⎨⎧=+-=-∴00y x z x ，取z=1，得)1,1,1(=， 又),1,1,1(-= 设PC 与平面PBD 所成角为θ则,31sin =θ ∴PC 与底面PBD 所成角的正弦值是31-------------------10分19. 解（I ）如图，设1(0)A D t =>，取AB 的中点E ， 则//DE BC ，因为BC AC ⊥， 所以DE AC ⊥，又1A D ⊥平面ABC ， 以1,,DE DC DA 为,,x y z 轴建立空间坐标系，则()0,1,0A -，()0,1,0C ，()2,1,0B ，()10,0,A t ，()10,2,C t ，()10,3,AC t =，()12,1,BA t =--，()2,0,0CB =，由10AC CB ⋅=，知1A C CB ⊥，又11BA AC ⊥，1BA CB B =从而1AC ⊥平面1A BC ； -------------------5分（II ）由1AC ⋅2130BA t =-+=，得3t =. -------------------6分 设平面1A AB 的法向量为(),,n x y z =，(13AA =，()2,2,0AB =，所以130220n AA y z n AB x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，设1z =，则()3,3,1n =- ------------------7分再设平面1A BC 的法向量为(),,m u v w =，(10,3CA =-，()2,0,0CB =，所以13020m CAv w m CB u ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩，设1w =，则()0,3,1m =，------------------8分故cos ,m n m n m n⋅<>==⋅77-， 因为二面角1A A B C --为锐角， 所以可知二面角1A A B C --的余弦值为77-------------------10分（3）由（2）知： 22123.,2134k m m k +=≤≤+所以22213,3214k k +≤≤+ 211,2k ∴≤≤……10分 由弦长公式得2222||1k AB k =+所以222(1)1||2k k S AB +==解得62.3S ≤≤……12分。