高等数学同济版第一章PPT课件

下界: f(x)K2, 称 f(x) 在 X 上有下界. K 2 为一个下界.
有界: | f (x)| M. M为正数
无界: M 0,x0X, 使得 fx0 M.
例如 f (x) =sin x, sinx 1, 有界. f ( x) 1 在 (0, 1) 内有下界, 但没有上界, 所以无界. x
单调增加或单调减少的函数统称为单调函数 .
图象：y
y f(x)
y
f (x2 ) f ( x1 )
y f(x)
f ( x1 ) f (x2 )
o x1 x2
I
x o x1
x2
x
I
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3. 函数的奇偶性
设f (x)的定义域 D 关于原点对称 （即x D， x D），
若恒有 fxfx， 则称 f (x) 在 D 内为奇函数 ;
对映射 f:XY
若 f(X)Y, 则称 f 为满射;
X
f Y f (X)
若 x ,x X ,x x, 有
f
1
2
1
2
X
Y
f(x)f(x)
1
2
则称 f 为单射;
f (X)
若 f 既是满射又是单射, 则称 f 为双射 或一一映射.
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例如 xR yxsix nyR
y
yx
yxsix n
ysinx
高等数学
主讲人：张晓平教授
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1
一、什么是数学 ?
数学——研究数和空间图形及其相互关系的科学
数学 数学
不仅是一种工具, 而且是一种思维模式;
不仅是一种知识, 而且是一种素养;
数学 不仅是一种科学, 而且是一种文化;
能否运用数学观念定量思维是衡量民族科学文化素质的 一个重要标志.
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从 X 到 Y 的映射,记作 f :XY.
Xx
f
yY
元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的 像 , 记作 y f(x). 元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的 原像 . 集合 X 称为映射 f 的定义域 ;
Y 的子集 f(X) f(x)x X 称为 f 的 值域 .
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注意: 1)映射的三要素— 定义域 , 对应规则 , 值域 . 2)元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一 .
函数图形:
C (x ,y )yf(x), xDDf(D)
ax b x (D[a,b])
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说明：（1）单值函数 多值函数
例如 x2 y2 r2在 xr为单值函数,
在 (-r, r) 内为多值函数. 没有特别说明， 均指单值函数.
（2）函数相等
例如： y x 和 y x2是相同的函数.
X
f
f 称为X 上的变换 R
f 称为定义在 X 上的函数
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二、函数的概念
1. 函数的概念
设数集 DR,则称映射 f:DR为定义在 D 上的函数 ,
记为
yf(x),x D 定义域
因变量
自变量
y
W y y fx ,x D 称为函数的值域. y
y0fx0叫作函数在 x0 处的函数值.
y x 和 yx是不同的函数 （对应关系不同）
y2lgx和 y lg x2是不同的函数 （定义域不同）
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例1
已知函数
yf(x) 2 x, 1x,
0x1 x1
写出 f(x) 的定义域及值域, 并求
f
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 2
及
f
1 t
.
解 f(x)的定义域 D[0, ) y
y1x
值域 f(D )[0, ) y2 x
分析基础
函数 — 研究对象 极限 — 研究方法 连续 — 研究桥梁
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第一节
第一章
映射与函数
一、映射 二、函数的概念 三、函数的几种特性 四、反函数 五、复合函数 六、初等函数
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一、 映射
映射 设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应规则 f ,
使得 xX, 有唯一确定的 yY 与之对应 ,则称 f 为
若恒有 fxfx， 则称f (x) 在 D 内为偶函数 .
结论 f (x) 在X上有界 f (x) 在X上既有上界又有下界.
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2. 函数的单调性
设 f (x) 的定义域为 D，区间I D , 对于 I 上任意两点 x1 x2 ,
若恒有 f (x1) < f (x2) , 则称 f (x) 在 I 内单调增加 ;
若恒有 f (x1) > f (x2) , 则称 f (x) 在 I 内单调减少 .
2
二、什么是高等数学 ?
初等数学— 研究对象为常量, 以静止观点研究问题. 初等数学 —— 代数、几何、三角、解析几何
高等数学 — 研究对象为变量, 运动和辩证法进入了数学.
主要内容： 1. 分析基础: 函数 , 极限, 连续
2. 微积分学: 一元微积分 (上册) 多元微积分 (下册)
3. 向量代数与空间解析几何 4. 无穷级数 5. 常微分方程
Sign [sain]
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例5 取整函数：不超过x 的最大整数， 记做： yx
如 []3 , [ 3 .5 ] 4
2 2 , 0 .4 1
y
3
•
2
•
1 •
-3
-2
-1 •
•o-1 1 2
3
x
• -2
• -3
除例2外都是分段函数
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三、函数的几种特性
1. 函数的有界性 上界: f(x)K1, 称 f(x) 在 X 上有上界. K 1 为一个上界.
f
12
2
1 2
2
O
1
x
1 1 , 0t1
f
1 t
t 2,
t
t 1
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例2 函数 y 2
y
y2
o
x
y y x
例3
绝对值函数
x, y xx,
x0 x0
1, x0 例4 符号函数 y sgn x0, x 0
1, x 0
o
x
y
1
•o
x
1
定义域为 x , , 值域为 y1,0,1
显然： xsgnxx
o x1
x2 x
f 既是满射又是单射, 故 f 为双射 或一一映射.
又如 三角形(三角形集) 合
海伦公式
b
a
面积 S(0,) (满射)
c
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说明:
映射又称为算子. 在不同数学分支中有不同的惯用名称.
例如,
f
X (≠ )
f
X (≠ )
X (数集 或点集 )
Y (数集) f 称为X 上的泛函
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三、如何学习高等数学 ?
学数学最好的方式是做数学
预习 复习 作业 考勤
自我学习的能力
微信公众号: 山东建大高等数学
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4
学而优则用, 学而优则创 治学之道： 宽, 专, 漫 基础要宽 专业要专 要使自己的专业知识漫到其他领域
做好当下 厚积薄发
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第一章 函数与极限