高等数学同济版第一章PPT课件
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同济六版高数第一册第一单元.ppt
定理 映射 f : X Y 可逆 f 是 X 到Y 的一一映射.
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三. 函数
1.函数概念 定义 设 A , B 是两个实数集, 则称映射 f :AB 为 一 元自变函量数, 记 为因变量 函数值 f : x y f (x), x A .
A 称为函数 f 的定义域, 记作 D( f ).
则 A C.
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2 集合的基本运算
并集
由集合A与集合B的中所有元素构成的集合 称为A与B的并集，记为 A B
AB {x x A或 xB}
An { x n0 N , x An0 }
n1
A A BB
运算律
A A A, A A
B A AB A
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我们也称 f 为“一一映射”. 单位映射: x X , f ( x) x, 即 f : x x
称为X上的单位映射, 记为 I或X I.
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X
Y
f 满射
X f
Y f(X)
单射
X f
Y f(X)
内射
X
Y
f 单满射
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例1 设A表示信管学院所有大一学生的集合, 用一种确定方法 f 给每一个学生分配一 个学号, 将全体学生学号的集合记为B. 这是一个集合 A到集合 B 的映射.
o
U(a, ) { x 0 x a }. 开区间(a ,a) 称为a 的左 邻域, 开区间 (a, a ) 称为a 的右 邻域.
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例1、把-2的1/2邻域表示为开区间
解：U (2, 1) 2
(2 1 ,2 1) 22
( 5 , 3) 22
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三. 函数
1.函数概念 定义 设 A , B 是两个实数集, 则称映射 f :AB 为 一 元自变函量数, 记 为因变量 函数值 f : x y f (x), x A .
A 称为函数 f 的定义域, 记作 D( f ).
则 A C.
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2 集合的基本运算
并集
由集合A与集合B的中所有元素构成的集合 称为A与B的并集，记为 A B
AB {x x A或 xB}
An { x n0 N , x An0 }
n1
A A BB
运算律
A A A, A A
B A AB A
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我们也称 f 为“一一映射”. 单位映射: x X , f ( x) x, 即 f : x x
称为X上的单位映射, 记为 I或X I.
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X
Y
f 满射
X f
Y f(X)
单射
X f
Y f(X)
内射
X
Y
f 单满射
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例1 设A表示信管学院所有大一学生的集合, 用一种确定方法 f 给每一个学生分配一 个学号, 将全体学生学号的集合记为B. 这是一个集合 A到集合 B 的映射.
o
U(a, ) { x 0 x a }. 开区间(a ,a) 称为a 的左 邻域, 开区间 (a, a ) 称为a 的右 邻域.
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例1、把-2的1/2邻域表示为开区间
解：U (2, 1) 2
(2 1 ,2 1) 22
( 5 , 3) 22
高等数学-同济大学第六版--高等数学课件第一章函数与极限
函数与极限
x
4
{x a x b} 称为半开区间, 记作 [a,b)
{x a x b} 称为半开区间, 记作 (a,b]
有限区间
[a,) {x a x} (,b) {x x b}
无限区间
oa
x
ob
x
区间长度的定义:
两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
2024/7/17
函数与极限
一、基本概念
1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体.
组成这个集合的事物称为该集合的元素.
aM, aM, A {a1 , a2 ,, an }
有限集
M { x x所具有的特征} 无限集
若x A,则必x B,就说A是B的子集. 记作 A B.
2024/7/17
函数与极限
2
数集分类: N----自然数集 Z----整数集
2024/7/17
函数与极限
47
注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复 合函数的;
例如 y arcsin u, u 2 x2; y arcsin(2 x2 )
（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.
3l
l
2
2
l 2
3l 2
2024/7/17
函数与极限
25
四、反函数
y 反函数y ( x)
Q(b, a )
直接函数y f ( x)
o
P(a, b)
x
直接函数与反函数的图形关于直线 y x对称.
2024/7/17
函数与极限
26
五、小结
基本概念 集合, 区间, 邻域, 常量与变量, 绝对值. 函数的概念 函数的特性 有界性,单调性,奇偶性,周期性. 反函数
高等数学同济第七版第一章ppt课件
3. 闭区间上连续函数的性质
有界定理 ; 最值定理 ; 零点定理 ; 介值定理 .
a (1cos x2
x)
,
例2. 设函数 f (x)
1,
x0 x0
ln(b x2) , x 0
在 x = 0 连续 , 则 a = 2 , b = e .
提示:
f (0 ) lim a (1 cos x) a
函数与极限
一、 函数 二、 连续与间断 三、 极限
第一章
一、 函数
1. 概念
定义: 设 D R , 函数为特殊的映射:
f :D
定义域
f (D) R
值域
其中 f (D) y y f (x), x D
图形:
y
C (x , y) y f (x), x D
( 一般为曲线 )
y f (x)
x 13 x 1
(4)
f
(x)
1 1
x3 x3
, ,
x 0 1 x0
x6 ,
xR
以上各函数都是初等函数 .
(x 1)2 x 1 x 1
y1 ⑷
Ox
4. 设 f (x) ex2 , f [(x)] 1 x , 且(x) 0, 求 (x)
及其定义域 .
5.
已知
f
(x)
x f
3, [ f (x
5)],
x8 x8
, 求 f (5) .
6. 设 f (sin x 1 ) csc2 x cos2 x , 求 f (x). sin x
4.
解:
f
(
x
)
e
x
2
,
f [ (x)] e 2(x)
《高等数学》电子课件(同济第六版)01第一章第1节函数
复合函数的实际应用
复合函数在数学、物理、工程等领域有广 泛的应用。
反函数
反函数的定义
反函数是原函数关于y=x对称的函数。
反函数的性质
反函数具有原函数的性质，如连续性、可导性等。
反函数的求导法则
反函数的求导法则与原函数有关，可以通过交换x和y的导数来实现。
反函数的应用
反函数在数学、物理、工程等领域有广泛的应用，如解方程、优化问题等。
函数单调性的定义
如果对于函数的定义域内的任意两个数$x_1$和$x_2$，当$x_1 < x_2$时，都 有$f(x_1) leq f(x_2)$（或$f(x_1) geq f(x_2)$），则称函数在该区间内单调递 增（或单调递减）。
单调性的判定方法
通过比较函数在不同区间内的增减性，可以判断函数的单调性。此外，导数也 是判断函数单调性的重要工具，如果函数在某区间内的导数大于0，则函数在该 区间内单调递增；如果导数小于0，则函数单调递减。
04
函数的图像与性质
函数的图像
函数图像的概念
函数图像是表示函数值的点在平面上 的集合。通过函数图像，我们可以直 观地了解函数的形态和变化趋势。
函数图像的绘制方法
绘制函数图像通常需要确定函数的定 义域和值域，然后根据函数的解析式 ，在坐标系上标出对应的点，最后用 光滑的曲线将它们连接起来。
函数的单调性
答案与解析
$|x|$ 是偶函数。
$x^3$ 是奇函数。
判断下列函数是否为奇函 数或偶函数
01
03 02
答案与解析
$frac{1}{x}$ 是奇函数。
解析：奇函数的定义是对于定义域内的任意 $x$，都有 $f(-x) = -f(x)$；偶函数的定义是对 于定义域内的任意 $x$，都有 $f(-x) = f(x)$。 根据这些定义，可以判断出 $x^3$、$|x|$ 和 $frac{1}{x}$ 的奇偶性。
复合函数在数学、物理、工程等领域有广 泛的应用。
反函数
反函数的定义
反函数是原函数关于y=x对称的函数。
反函数的性质
反函数具有原函数的性质，如连续性、可导性等。
反函数的求导法则
反函数的求导法则与原函数有关，可以通过交换x和y的导数来实现。
反函数的应用
反函数在数学、物理、工程等领域有广泛的应用，如解方程、优化问题等。
函数单调性的定义
如果对于函数的定义域内的任意两个数$x_1$和$x_2$，当$x_1 < x_2$时，都 有$f(x_1) leq f(x_2)$（或$f(x_1) geq f(x_2)$），则称函数在该区间内单调递 增（或单调递减）。
单调性的判定方法
通过比较函数在不同区间内的增减性，可以判断函数的单调性。此外，导数也 是判断函数单调性的重要工具，如果函数在某区间内的导数大于0，则函数在该 区间内单调递增；如果导数小于0，则函数单调递减。
04
函数的图像与性质
函数的图像
函数图像的概念
函数图像是表示函数值的点在平面上 的集合。通过函数图像，我们可以直 观地了解函数的形态和变化趋势。
函数图像的绘制方法
绘制函数图像通常需要确定函数的定 义域和值域，然后根据函数的解析式 ，在坐标系上标出对应的点，最后用 光滑的曲线将它们连接起来。
函数的单调性
答案与解析
$|x|$ 是偶函数。
$x^3$ 是奇函数。
判断下列函数是否为奇函 数或偶函数
01
03 02
答案与解析
$frac{1}{x}$ 是奇函数。
解析：奇函数的定义是对于定义域内的任意 $x$，都有 $f(-x) = -f(x)$；偶函数的定义是对 于定义域内的任意 $x$，都有 $f(-x) = f(x)$。 根据这些定义，可以判断出 $x^3$、$|x|$ 和 $frac{1}{x}$ 的奇偶性。
《高等数学》电子课件(同济第六版)01第一章 第1节 函数
第一节 映射与函数
一、集合
二、函数概念 三、映射 四、函数的特性 五、反函数
六、基本初等函数 七、复合函数 初等函数
1
第一节 映射与函数
一.集合:
1、集合
M {x x具有特定性质}
有限集 如 M {0,1,2, ,9}
无限集 如 M2 {( x, y) x2 y2 1}
2、集合间的关系：
（1） 子 集 ；（2） 集 合 相 等 ；（3） 空 集 ；
2
故定义域为
D
[
0
,
1 2
)
12
3、几个特殊的函数举例
(1) 符号函数
1 当x 0
y
sgn
x
0
当x 0
1 当x 0
定义域 D (, ), 值域 W {1,0,1}
图形：
y
1
o
x
-1
x sgn x x 13
(2) 取整函数： y=[x] [x]表示不超过 x 的最大整数
如 [3] 0, [ 3] 1, [8] 8, [3.8] 4.
x, x 1
f
(x)
min{ x , x2}
x
2
,
1 x 1
三、映射（自学）x, x 1
19
四、函数的特性
1．函数的有界性:
若X D,M 0,x X,有 f (x) M 成立,
则称函数f ( x)在X上有界.否则称无界.
如 y cos x 在（ ， ）上有界， 2 x2
y
1 x2
作业
习题11 P21
4(1)(3)(5)(7)(9),5(2)(3),6,7(1),10,11, 12(1)(3)(5),14(1)(3)(5),16,17,18
一、集合
二、函数概念 三、映射 四、函数的特性 五、反函数
六、基本初等函数 七、复合函数 初等函数
1
第一节 映射与函数
一.集合:
1、集合
M {x x具有特定性质}
有限集 如 M {0,1,2, ,9}
无限集 如 M2 {( x, y) x2 y2 1}
2、集合间的关系：
（1） 子 集 ；（2） 集 合 相 等 ；（3） 空 集 ；
2
故定义域为
D
[
0
,
1 2
)
12
3、几个特殊的函数举例
(1) 符号函数
1 当x 0
y
sgn
x
0
当x 0
1 当x 0
定义域 D (, ), 值域 W {1,0,1}
图形：
y
1
o
x
-1
x sgn x x 13
(2) 取整函数： y=[x] [x]表示不超过 x 的最大整数
如 [3] 0, [ 3] 1, [8] 8, [3.8] 4.
x, x 1
f
(x)
min{ x , x2}
x
2
,
1 x 1
三、映射（自学）x, x 1
19
四、函数的特性
1．函数的有界性:
若X D,M 0,x X,有 f (x) M 成立,
则称函数f ( x)在X上有界.否则称无界.
如 y cos x 在（ ， ）上有界， 2 x2
y
1 x2
作业
习题11 P21
4(1)(3)(5)(7)(9),5(2)(3),6,7(1),10,11, 12(1)(3)(5),14(1)(3)(5),16,17,18
同济大学高等数学(第七版)上册第一章函数 PPT课件
16 x2 0
(1) (2)
y 2x ln x 16 x2
y log5 (x2 1)
ln x 0 x [1, 4) (4, )
x0
x2 1 0 x (, 1) (1, )
函数定义可简单地归结为构成函数的两个要素： • 定义域 D f ： 自变量的变化范围。 • 对应法则 f ：自变量与因变量的对应规则。
y y f (x)
f (x)
f (x)
-x o x
x
偶函数图形关于y轴对称,如：y=kx2
设D关于原点对称, 对于x D, 有 f ( x) f ( x) 称 f ( x)为奇函数;
y
y f (x)
-x f (x)
f (x)
o
xx
奇函数的图形关于原点对称，如：y=kx
奇、偶函数经四则运算后仍可在一定条件 下保持相应的奇、偶性。
解： D( 7) 1, 5
D(1 2) 0,
D(D( x)) 1,
(5) 取最值函数
y max{ f ( x), g( x)}
y
f (x)
g( x)
o
x
y min{ f ( x), g( x)}
y
f (x)
g( x)
o
x
例.
已知函数
y
f
(
x)
2 1
x, x,
y
y f (x)
f (x2 )
f (x1)
o
x
I
设函数 f ( x)的定义域为D, 区间I D, 如果对于区间 I 上任意两点x1及 x2 , 当 x1 x2时, 恒有 (2) f ( x1 ) f ( x2 ), 则称函数 f ( x)在区间I上是单调减少的;
同济大学 高等数学 第一册 函数 课件
证明: 证明: 任 x1， 2 ∈(0,+∞ 且 1 < x2， ) x 取 x 则
f ( x1 ) − f ( x 2 )
= x −x
2 1
2 2
= (x1 − x2 )( x1 + x2 )< 0
∴ f ( x1 ) < f ( x 2 )
∴ y = x 2在(0， ∞ )单调增加。 + 单调增加。
x 2 +1
2
y = 1 − x2
y = eu , u =
u
x2 + 1
2
y = e , u = v , v = x + 1.
注意：一个函数要作为复合函数， 注意：一个函数要作为复合函数，必须 仅仅依赖 选择合适的中间变量 中间变量u，使得y仅仅 选择合适的中间变量 ，使得 仅仅依赖 仅仅依赖于x. 于u，而u仅仅依赖于 ， 仅仅依赖于
用来描述某一点的附近。 用来描述某一点的附近。
数集 { x x − a < δ }称为点 a的 δ 邻域 ,
表示以点 a为中心 、以δ为半径的开区间 . δ δ
x a+δ 记作 U ( a , δ ) = { x a − δ < x < a + δ }. a
a−δ
点 a的去心的 δ 邻域 ,
记作 U (a , δ ) = { x 0 < x − a < δ }.
y
y = f ( x)
y
f ( x2 )
y = f ( x)
f ( x1 )
f ( x2 )
f ( x1 )
o
I
x
o
I
x
图形：单调增加函数的图形从左到右往上升. 图形：单调增加函数的图形从左到右往上升. 单调减少函数的图形从左到右往下降. 单调减少函数的图形从左到右往下降.
f ( x1 ) − f ( x 2 )
= x −x
2 1
2 2
= (x1 − x2 )( x1 + x2 )< 0
∴ f ( x1 ) < f ( x 2 )
∴ y = x 2在(0， ∞ )单调增加。 + 单调增加。
x 2 +1
2
y = 1 − x2
y = eu , u =
u
x2 + 1
2
y = e , u = v , v = x + 1.
注意：一个函数要作为复合函数， 注意：一个函数要作为复合函数，必须 仅仅依赖 选择合适的中间变量 中间变量u，使得y仅仅 选择合适的中间变量 ，使得 仅仅依赖 仅仅依赖于x. 于u，而u仅仅依赖于 ， 仅仅依赖于
用来描述某一点的附近。 用来描述某一点的附近。
数集 { x x − a < δ }称为点 a的 δ 邻域 ,
表示以点 a为中心 、以δ为半径的开区间 . δ δ
x a+δ 记作 U ( a , δ ) = { x a − δ < x < a + δ }. a
a−δ
点 a的去心的 δ 邻域 ,
记作 U (a , δ ) = { x 0 < x − a < δ }.
y
y = f ( x)
y
f ( x2 )
y = f ( x)
f ( x1 )
f ( x2 )
f ( x1 )
o
I
x
o
I
x
图形：单调增加函数的图形从左到右往上升. 图形：单调增加函数的图形从左到右往上升. 单调减少函数的图形从左到右往下降. 单调减少函数的图形从左到右往下降.
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(2) 初等函数 由常数及基本初等函数 经过有限次四则运算和复合步
骤所构成 , 并可用一个式子表示的函数 , 称为初等函数 .
否则称为非初等函数 .
例如 ,
y xx, ,
x0 x0
可表为 y
x2 , 故为初等函数.
又如 , 双曲函数与反双曲函数也是初等函数 .
( 自学, P17 – P20 )
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定义 3 . 给定两个集合 A, B, 定义下列运算:
并集 A B x 交集 A B x
或 且
A B
B A
差集 A \ B x
且 xB
A\B AB
余集 BAc A \ B (其中B A)
直积 A B (x, y) x A, y B
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(3) 奇偶性
x D, 且有 x D,
若
则称 f (x) 为偶函数;
y
若
则称 f (x) 为奇函数.
说明: 若 f (x) 在 x = 0 有定义 , 则当 x O x x
f (x) 为奇函数时, 必有 f (0) 0.
例如,
y f (x) ex ex 偶函数
例如 ,
O
x
指数函数 y ex , x (, )
对数函数
互为反函数 ,
它们都单调递增, 其图形关于直线
对称 .
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(2) 复合函数
设有函数链
y f (u), u Df
①
且 Rg D f
②
则
称为由①, ②确定的复合函数 , u 称为中间变量.
《高等数学》(同济六版)教学课件★第1章.函数与极限(2)
跳跃间断点
左右极限都存在
第二类间断点
无穷间断点
振荡间断点
左右极限至少有一个不存在
在点
间断的类型
在点
连续的等价形式
思考与练习
1. 讨论函数
x = 2 是第二类无穷间断点 .
间断点的类型.
2. 设
时
提示:
3. P65 题 3 , *8
为
连续函数.
答案: x = 1 是第一类可去间断点 ,
P65 题*8 提示:
显然
正根 .
二、 连续与间断
一、 函数
三、 极限
习题课
函数与极限
第一章
一、 函数
1. 概念
定义:
定义域
值域
图形:
( 一般为曲线 )
设
函数为特殊的映射:
其中
2. 特性
有界性 ,
单调性 ,
奇偶性 ,
周期性
3. 反函数
设函数
为单射,
反函数为其逆映射
4. 复合函数
给定函数链
则复合函数为
作业 P65 4 ; 5
备用题 确定函数
间断点的类型.
解: 间断点
为无穷间断点;
故
为跳跃间断点.
一、连续函数的运算法则
第九节
二、初等函数的连续性
连续函数的运算与
初等函数的连续性
第一章
定理2. 连续单调递增函数的反函数也连续单调递增.
在其定义域内连续
一、连续函数的运算法则
, 使
取
则
在
内连续,
存在, 则
必在
内有界.
上连续 , 且恒为正 ,
例5. 设
左右极限都存在
第二类间断点
无穷间断点
振荡间断点
左右极限至少有一个不存在
在点
间断的类型
在点
连续的等价形式
思考与练习
1. 讨论函数
x = 2 是第二类无穷间断点 .
间断点的类型.
2. 设
时
提示:
3. P65 题 3 , *8
为
连续函数.
答案: x = 1 是第一类可去间断点 ,
P65 题*8 提示:
显然
正根 .
二、 连续与间断
一、 函数
三、 极限
习题课
函数与极限
第一章
一、 函数
1. 概念
定义:
定义域
值域
图形:
( 一般为曲线 )
设
函数为特殊的映射:
其中
2. 特性
有界性 ,
单调性 ,
奇偶性 ,
周期性
3. 反函数
设函数
为单射,
反函数为其逆映射
4. 复合函数
给定函数链
则复合函数为
作业 P65 4 ; 5
备用题 确定函数
间断点的类型.
解: 间断点
为无穷间断点;
故
为跳跃间断点.
一、连续函数的运算法则
第九节
二、初等函数的连续性
连续函数的运算与
初等函数的连续性
第一章
定理2. 连续单调递增函数的反函数也连续单调递增.
在其定义域内连续
一、连续函数的运算法则
, 使
取
则
在
内连续,
存在, 则
必在
内有界.
上连续 , 且恒为正 ,
例5. 设
同济高等数学第六版上册第一章ppt.
第一章二、收敛数列的性质三、极限存在准则一、数列极限的定义第二节数列的极限∞第一章一、自变量趋于有限值时函数的极限第三节,)(x f y =对0)1(x x →+→0)2(x x -→0)3(x x ∞→x )4(+∞→x )5(-∞→x )6(自变量变化过程的六种形式:二、自变量趋于无穷大时函数的极限本节内容:函数的极限x 0定理2 .若在0x 的某去心邻域内0)(≥x f )0)((≤x f , 且,)(lim 0A x f x x =→则.0≥A )0(≤A 证:用反证法.则由定理1,0x 的某去心邻域,使在该邻域内,0)(<x f 与已知所以假设不真, .0≥A (同样可证0)(≤x f 的情形)思考:若定理2 中的条件改为,0)(>x f 是否必有?0>A 不能!lim 2=→x x 存在如假设A < 0, 条件矛盾,故时,当0)(≥x fyX-xX直线y= A为曲线的水平渐近线.第一章二、无穷大三、无穷小与无穷大的关系一、无穷小第四节无穷小与无穷大第一章二、极限的四则运算法则三、复合函数的极限运算法则一、无穷小运算法则第五节极限运算法则二、极限的四则运算法则,)(lim ,)(lim B x g A x f ==则有=±)]()(lim[x g x f )(lim )(lim x g x f ±证: 因,)(lim ,)(lim B x g A x f ==则有βα+=+=B x g A x f )(,)((其中βα,为无穷小)于是)()()()(βα+±+=±B A x g x f )()(βα±+±=B A 由定理1 可知βα±也是无穷小,再利用极限与无穷小BA ±=的关系定理, 知定理结论成立.定理3 .若推论:若,)(lim ,)(lim B x g A x f ==且),()(x g x f ≥则.B A ≥( P46 定理5 ))()()(x g x f x -=ϕ利用保号性定理证明.说明:定理3 可推广到有限个函数相加、减的情形.提示:令定理4. 若,)(lim ,)(lim B x g A x f ==则有=)]()(lim[x g x f )(lim )(lim x g x f 提示:利用极限与无穷小关系定理及本节定理2 证明.说明:定理4 可推广到有限个函数相乘的情形.推论1 .)(lim )](lim[x f C x f C =( C 为常数)推论2 .nnx f x f ])(lim [)](lim[=( n 为正整数)例2.设n 次多项式,)(10nn n x a x a a x P +++= 试证).()(lim 00x P x P n n x x =→证:=→)(lim 0x P n x x 0a x a x x 0lim 1→+++ nx x n xa 0lim →)(0x P n =BA =。
同济版 高等数学(上册) 第一章课件
第一章 函数、连续与极限
正弦函数
y sin x
y sin x
19
1. 基本初等函数
第一章 函数、连续与极限
余弦函数
y cos x
y cos x
20
1. 基本初等函数
第一章 函数、连续与极限
y tan x
的定义域是
上是奇函数（见图1-24）； y cot x 上是奇函数（见图1-25）；
a A 表示 a 不是集 A 的元素（读作 a 不属
于 A ）. 集合按照元素的个数分为有限集和无限集 ，不含任何元素的 集合称为空集，记为 .
3
集合之间的关系及运算
定义 . 设有集合
第一章 函数、连续与极限
A, B ,
记作
若
x A 必有
x B , 则称 A A B.
是 B 的子集 , 或称 B 包含 A , 若
注： 在本书中所讨论的数集除特别说明外均为实数集.
5
1. 集合及其运算 集合的基本运算有四种：并、交、差、补. 设 A, B 是两个集合.
第一章 函数、连续与极限
由同时包含于 A 与 B 的元素构成的集合（见图 1-2），称为 A 与 B 的交集（简称交），记作 A B ，即 A B {x | x A 且 x B} ； 由包含于
y
y x (α 是常数) Z y x 当 时， 的定义域是 R ； 当 Z 时，y x 的定义域是 R\{0}
(１) 幂函数: （见图1-17）；
1 1 当 时，y x 2 x 的定义域是 [0, ) ； 1 21 1 当 时，y x 2 的定义域是 (0, ) , 2 x
高等数学(同济第六版)课件第一章.绪论、第1节
◆
莱 布 尼 茨
莱布尼茨是一个博才多学的学者,1684 年，他发表了现在世界上认为是最早的微 积分文献，这篇文章有一个很长而且很古 怪的名字《一种求极大极小和切线的新方 法，它也适用于分式和无理量，以及这种 新方法的奇妙类型的计算》。就是这样一 片说理也颇含糊的文章，却有划时代的意 义。他以含有现代的微分符号和基本微分 法则。1686年，莱布尼茨发表了第一篇积 分学的文献。他是历史上最伟大的符号学 者之一，他所创设的微积分符号，远远优 于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大 的影响。现在我们使用的微积分通用符号 就是当时莱布尼茨精心选用的.
微分与积分是分析中的两种基本的极限过程。 这两种过程的一些特殊的情况，甚至在古代就已经
有人考虑过（在阿基米德工作中达到高峰），而在
十六世纪和十七世纪 ，更是越来越受到人们的重
视。然而，微积分的系统发展是在十七世纪才开始
的，通常认为是牛顿和莱布尼茨两位伟大的科学先 驱的创造。这一系统发展的关键在于认识到：过去 一直分别研究的微分和积分这两个过程，实际上是 彼此互逆的联系着。
第三类问题
求函数的最大最小值问题。 十七世纪初期，伽利略断定，在真空中以 45 角
发射炮弹时，射程最大。
研究行星运动也涉及最大最小值问题。
第三类问题
困难在于：原有的初等计算方法已不适于解决研 究中出现的问题。但新的方法尚无眉目。
第四类问题
求曲线的长度、曲线所围成的面积、曲面所围成 的体积、物体的重心。
高等数学 以微积分为主要内容的学科
微积分的发展历程
微积分的创立 ——变量的数学
初等数学时代（17世纪前） —— 常量的数学
• 算术
• 初等几何 • 初等代数
初等数学时代 —— 算术
莱 布 尼 茨
莱布尼茨是一个博才多学的学者,1684 年，他发表了现在世界上认为是最早的微 积分文献，这篇文章有一个很长而且很古 怪的名字《一种求极大极小和切线的新方 法，它也适用于分式和无理量，以及这种 新方法的奇妙类型的计算》。就是这样一 片说理也颇含糊的文章，却有划时代的意 义。他以含有现代的微分符号和基本微分 法则。1686年，莱布尼茨发表了第一篇积 分学的文献。他是历史上最伟大的符号学 者之一，他所创设的微积分符号，远远优 于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大 的影响。现在我们使用的微积分通用符号 就是当时莱布尼茨精心选用的.
微分与积分是分析中的两种基本的极限过程。 这两种过程的一些特殊的情况，甚至在古代就已经
有人考虑过（在阿基米德工作中达到高峰），而在
十六世纪和十七世纪 ，更是越来越受到人们的重
视。然而，微积分的系统发展是在十七世纪才开始
的，通常认为是牛顿和莱布尼茨两位伟大的科学先 驱的创造。这一系统发展的关键在于认识到：过去 一直分别研究的微分和积分这两个过程，实际上是 彼此互逆的联系着。
第三类问题
求函数的最大最小值问题。 十七世纪初期，伽利略断定，在真空中以 45 角
发射炮弹时，射程最大。
研究行星运动也涉及最大最小值问题。
第三类问题
困难在于：原有的初等计算方法已不适于解决研 究中出现的问题。但新的方法尚无眉目。
第四类问题
求曲线的长度、曲线所围成的面积、曲面所围成 的体积、物体的重心。
高等数学 以微积分为主要内容的学科
微积分的发展历程
微积分的创立 ——变量的数学
初等数学时代（17世纪前） —— 常量的数学
• 算术
• 初等几何 • 初等代数
初等数学时代 —— 算术
同济大学《高等数学》(第四版)第一章习题课ppt课件
(1) 单值性与多值性:
若 对 于 每 一 个 x D ,仅 有 一 个 值 yf(x )与 之 对 应 ,则 称 f(x )为 单 值 函 数 ,否 则 就 是 多 值 函 数 .
y
y
(x1)2y21
y ex
o
x
o
x
.
(2) 函数的奇偶性:
设 D 关于原 ,对 点 于 x 对 D ,有 称
f(x)f(x) 称 f(x)为偶 ; 函数
第二类 无振 穷荡 间间 断断 点点
连续函数 的性质
1、连续的定义
定义 1 设函数 f ( x )在点x 0 的某一邻域内有定义, 如果当自变量的增量x 趋向于零时,对应的函数
的增量y 也趋向于零,即
lim y 0
x 0
或
lim [
x 0
f (x0
x)
f ( x0 )]
0
那末就称函数 f ( x )在点x 0 连续,x 0 称为 f ( x ) 的连
x x 0
x
无穷大: 绝对值无限增大的变量称为无穷大.
记 lif ( 作 m x ) ( 或 li f ( x m ) ).
x x 0
x
无穷小与无穷大的关系
在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为 零的无穷小的倒数为无穷大.
.
无穷小的运算性质
定理1 在同一过程中,有限个无穷小的代数和 仍是无穷小. 定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的 乘积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
点
无穷型
y
0
x
振荡型
同济高等数学第一章第九节精品PPT课件
§1.9 连续函数的运算与初等函数的连续性
一、连续函数的和、积及商的连续性 二、反函数与复合函数的连续性 三、初等函数的连续性
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铃
一、连续函数的和、积及商的连续性
❖定理1 设函数f(x)和g(x)在点x0连续 则函数
在点x0也连续 >>> 例1 因为sin x和cos x都在区间(- +)内连续
铃
结束语
当你尽了自己的最大努力时，失败 也是伟大的，所以不要放弃，坚持 就是正确的。
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End
感谢聆听
不足之处请大家批评指导
Please Criticize And Guide The Shortcomings
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铃
三、初等函数的连续性
❖结论
基本初等函数在定义区间内连续 一切初等函数
连续函数经四则运算仍连续
在定义区间内
连续函数的复合函数连续
连续
例如,
y 1- x2 的连续区间为[-1, 1] (端点为单侧连续)
y ln sin x 的连续区间为 (2n , (2n +1) ) , n Z
么它的反函数xf -1(y)在区间Iy{y|yf(x) xIx}上也是单 调增加(或减少)且连续的
例2
所以它的反函数yarcsin x 在区间[-1 1]上也是连续的 反三角函数arcsin x、arccos x、arctan x、arccot x在
它们的定义域内都是连续的
一、连续函数的和、积及商的连续性 二、反函数与复合函数的连续性 三、初等函数的连续性
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一、连续函数的和、积及商的连续性
❖定理1 设函数f(x)和g(x)在点x0连续 则函数
在点x0也连续 >>> 例1 因为sin x和cos x都在区间(- +)内连续
铃
结束语
当你尽了自己的最大努力时，失败 也是伟大的，所以不要放弃，坚持 就是正确的。
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End
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铃
三、初等函数的连续性
❖结论
基本初等函数在定义区间内连续 一切初等函数
连续函数经四则运算仍连续
在定义区间内
连续函数的复合函数连续
连续
例如,
y 1- x2 的连续区间为[-1, 1] (端点为单侧连续)
y ln sin x 的连续区间为 (2n , (2n +1) ) , n Z
么它的反函数xf -1(y)在区间Iy{y|yf(x) xIx}上也是单 调增加(或减少)且连续的
例2
所以它的反函数yarcsin x 在区间[-1 1]上也是连续的 反三角函数arcsin x、arccos x、arctan x、arccot x在
它们的定义域内都是连续的
同济版高等数学PPT第一单元
t
3 3 t3 1 1 1 t 1 lim lim t 0 t t 0 t
3
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1 x
10 . 当 x 0时, 3 x 2 x 是 解: 设其为 x 的 k 阶无穷小, 则
的几阶无穷小?
x2 x lim C 0 k x 0 x
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1 2 1 cos x ~ x 2
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5. 设函数 及可去间断点 解:
有无穷间断点
试确定常数 a 及 b . 为无穷间断点, 所以
ex b lim x 0 ( x a )( x 1)
( x a)( x 1) a lim 0 x x 0 1 b e b a 0 , b 1
x 1 x x 1 x 2 sin cos 2 2 1 x 1 x 2 sin cos 2( x 1 x ) 2
无穷小 有界
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(2)
2 1 x lim x1 sin π x
令t x 1
lim t (t 2)
t 0
sin π (t 1) sin π t
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x = –1 为第一类可去间断点 lim f ( x)
x 1
x = 1 为第二类无穷间断点
x 0
lim f ( x) 1,
x 0
lim f ( x) 1
x = 0 为第一类跳跃间断点
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12. 求
(2000考研) 注意此项含绝对值
解:
3 4 2 e1 2 e x e x sin x x sin x lim 1 lim 4 4 x x x 0 x x 0 1 e x e 1
同济大学高等数学ppt第一章
同济大学高等数 学ppt第一章
contents
目录
• 第一章绪论 • 第一章极限论 • 第一章连续论 • 第一章导数论 • 第一章微分论 • 第一章不定积分论
01
CATALOGUE
第一章绪论
高等数学的研究对象
变量与函数
级数与广义积分 空间解析几何与向量代数
极限理论 微积分学
高等数学的发展历程
线性性质
不定积分具有线性性质，即对于 任意常数C1，C2，有 (C1+C2)*f(x)=C1*f1(x)+C2*f2( x)。
积分常数
不定积分的结果是一个函数，其 常数项为0。
区间可加性
如果在区间(a,b)上有f(x)=f(x)， 则在(a,b)上，f(x)的积分等于f(x) 在(a,b)上定积分的值。
不定积分的计算方法
直接积分法
利用不定积分的定义和性质，将 已知函数进行恒等变形，从而得 到其原函数。
换元积分法
通过引入新的变量，将已知函数 进行换元，从而将复杂函数分解 为简单函数的组合，以便于计算 。
分部积分法
通过将两个函数乘积的导数与其 中一个函数求导再与另一个函数 乘积进行交换，从而得到两个函 数的积的不定积分的一种方法。
利用微分的近似性，我们可以对一些复杂的 函数进行近似计算，从而简化计算过程。例 如，当我们需要计算一个复杂函数的值时， 我们可以先找到这个函数在某一点的微分， 然后用这个微分来近似计算函数的值。
微分在近似计算中的应用
在实际的科学研究和工程设计中，经常会遇 到一些复杂的数学问题，如求解方程、优化 问题等。在这些情况下，利用微分进行近似 计算可以提供一种有效的解决问题的方法。
02
微分的近似性
contents
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• 第一章绪论 • 第一章极限论 • 第一章连续论 • 第一章导数论 • 第一章微分论 • 第一章不定积分论
01
CATALOGUE
第一章绪论
高等数学的研究对象
变量与函数
级数与广义积分 空间解析几何与向量代数
极限理论 微积分学
高等数学的发展历程
线性性质
不定积分具有线性性质，即对于 任意常数C1，C2，有 (C1+C2)*f(x)=C1*f1(x)+C2*f2( x)。
积分常数
不定积分的结果是一个函数，其 常数项为0。
区间可加性
如果在区间(a,b)上有f(x)=f(x)， 则在(a,b)上，f(x)的积分等于f(x) 在(a,b)上定积分的值。
不定积分的计算方法
直接积分法
利用不定积分的定义和性质，将 已知函数进行恒等变形，从而得 到其原函数。
换元积分法
通过引入新的变量，将已知函数 进行换元，从而将复杂函数分解 为简单函数的组合，以便于计算 。
分部积分法
通过将两个函数乘积的导数与其 中一个函数求导再与另一个函数 乘积进行交换，从而得到两个函 数的积的不定积分的一种方法。
利用微分的近似性，我们可以对一些复杂的 函数进行近似计算，从而简化计算过程。例 如，当我们需要计算一个复杂函数的值时， 我们可以先找到这个函数在某一点的微分， 然后用这个微分来近似计算函数的值。
微分在近似计算中的应用
在实际的科学研究和工程设计中，经常会遇 到一些复杂的数学问题，如求解方程、优化 问题等。在这些情况下，利用微分进行近似 计算可以提供一种有效的解决问题的方法。
02
微分的近似性
相关主题
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对映射 f:XY
若 f(X)Y, 则称 f 为满射;
X
f Y f (X)
若 x ,x X ,x x, 有
f
1
2
1
2
X
Y
f(x)f(x)
1
2
则称 f 为单射;
f (X)
若 f 既是满射又是单射, 则称 f 为双射 或一一映射.
-
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9
例如 xR yxsix nyR
y
yx
yxsix n
ysinx
分析基础
函数 — 研究对象 极限 — 研究方法 连续 — 研究桥梁
-
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6
第一节
第一章
映射与函数
一、映射 二、函数的概念 三、函数的几种特性 四、反函数 五、复合函数 六、初等函数
-
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7
一、 映射
映射 设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应规则 f ,
使得 xX, 有唯一确定的 yY 与之对应 ,则称 f 为
f
12
2
1 2
2
O
1
x
1 1 , 0t1
f
1 t
t 2,
t
t 1
-
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14
例2 函数 y 2
y
y2
o
x
y y x
例3
绝对值函数
x, y xx,
x0 x0
1, x0 例4 符号函数 y sgn x0, x 0
1, x 0
o
x
y
1
•o
x
1
定义域为 x , , 值域为 y1,0,1
显然： xsgnxx
若恒有 fxfx， 则称f (x) 在 D 内为偶函数 .
-
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3
三、如何学习高等数学 ?
学数学最好的方式是做数学
预习 复习 作业 考勤
自我学习的能力
微信公众号: 山东建大高等数学
-
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4
学而优则用, 学而优则创 治学之道： 宽, 专, 漫 基础要宽 专业要专 要使自己的专业知识漫到其他领域
做好当下 厚积薄发
-
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5
第一章 函数与极限
下界: f(x)K2, 称 f(x) 在 X 上有下界. K 2 为一个下界.
有界: | f (x)| M. M为正数
无界: M 0,x0X, 使得 fx0 M.
例如 f (x) =sin x, sinx 1, 有界. f ( x) 1 在 (0, 1) 内有下界, 但没有上界, 所以无界. x
2
二、什么是高等数学 ?
初等数学— 研究对象为常量, 以静止观点研究问题. 初等数学 —— 代数、几何、三角、解析几何
高等数学 — 研究对象为变量, 运动和辩证法进入了数学.
主要内容： 1. 分析基础: 函数 , 极限, 连续
2. 微积分学: 一元微积分 (上册) 多元微积分 (下册)
3. 向量代数与空间解析几何 4. 无穷级数 5. 常微分方程
高等数学
主讲人：张晓平教授
-
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1
一、什么是数学 ?
数学——研究数和空间图形及其相互关系的科学
数学 数学
不仅是一种工具, 而且是一种思维模式;
不仅是一种知识, 而且是一种素养;
数学 不仅是一种科学, 而且是一种文化;
能否运用数学观念定量思维是衡量民族科学文化素质的 一个重要标志.
-
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从 X 到 Y 的映射,记作 f :XY.
Xx
f
yY
元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的 像 , 记作 y f(x). 元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的 原像 . 集合 X 称为映射 f 的定义域 ;
Y 的子集 f(X) f(x)x X 称为 f 的 值域 .
-
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8
注意: 1)映射的三要素— 定义域 , 对应规则 , 值域 . 2)元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一 .
X
f
f 称为X 上的变换 R
f 称为定义在 X 上的函数
-
目录 上页 下页
11
二、函数的概念
1. 函数的概念
设数集 DR,则称映射 f:DR为定义在 D 上的函数 ,
记为
yf(x),x D 定义域
因变量
自变量
y
W y y fx ,x D 称为函数的值域. y
y0fx0叫作函数在 x0 处的函数值.
y x 和 yx是不同的函数 （对应关系不同）
y2lgx和 y lg x2是不同的函数 （定义域不同）
-
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13
例1
已知函数
yf(x) 2 x, 1x,
0x1 x1
写出 f(x) 的定义域及值域, 并求
f
1 2
及
f
1 t
.
解 f(x)的定义域 D[0, ) y
y1x
值域 f(D )[0, ) y2 x
结论 f (x) 在X上有界 f (x) 在X上既有上界又有下界.
-
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17
2. 函数的单调性
设 f (x) 的定义域为 D，区间I D , 对于 I 上任意两点 x1 x2 ,
若恒有 f (x1) < f (x2) , 则称 f (x) 在 I 内单调增加 ;
若恒有 f (x1) > f (x2) , 则称 f (x) 在 I 内单调减少 .
函数图形:
C (x ,y )yf(x), xDDf(D)
ax b x (D[a,b])
-
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12
说明：（1）单值函数 多值函数
例如 x2 y2 r2在 xr为单值函数,
在 (-r, r) 内为多值函数. 没有特别说明， 均指单值函数.
（2）函数相等
例如： y x 和 y x2是相同的函数.
单调增加或单调减少的函数统称为单调函数 .
图象：y
y f(x)
y
f (x2 ) f ( x1 )
y f(x)
f ( x1 ) f (x2 )
o x1 x2
I
x o x1
x2
x
I
-
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18
3. 函数的奇偶性
设f (x)的定义域 D 关于原点对称 （即x D， x D），
若恒有 fxfx， 则称 f (x) 在 D 内为奇函数 ;
o x1
x2 x
f 既是满射又是单射, 故 f 为双射 或一一映射.
又如 三角形(三角形集) 合
海伦公式
b
a
面积 S(0,) (满射)
c
-
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10
说明:
映射又称为算子. 在不同数学分支中有不同的惯用名称.
例如,
f
X (≠ )
f
X (≠ )
X (数集 或点集 )
Y (数集) f 称为X 上的泛函
Sign [sain]
-
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15
例5 取整函数：不超过x 的最大整数， 记做： yx
如 []3 , [ 3 .5 ] 4
2 2 , 0 .4 1
y
3
•
2
•
1
3
x
• -2
• -3
除例2外都是分段函数
-
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16
三、函数的几种特性
1. 函数的有界性 上界: f(x)K1, 称 f(x) 在 X 上有上界. K 1 为一个上界.
若 f(X)Y, 则称 f 为满射;
X
f Y f (X)
若 x ,x X ,x x, 有
f
1
2
1
2
X
Y
f(x)f(x)
1
2
则称 f 为单射;
f (X)
若 f 既是满射又是单射, 则称 f 为双射 或一一映射.
-
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9
例如 xR yxsix nyR
y
yx
yxsix n
ysinx
分析基础
函数 — 研究对象 极限 — 研究方法 连续 — 研究桥梁
-
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6
第一节
第一章
映射与函数
一、映射 二、函数的概念 三、函数的几种特性 四、反函数 五、复合函数 六、初等函数
-
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7
一、 映射
映射 设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应规则 f ,
使得 xX, 有唯一确定的 yY 与之对应 ,则称 f 为
f
12
2
1 2
2
O
1
x
1 1 , 0t1
f
1 t
t 2,
t
t 1
-
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14
例2 函数 y 2
y
y2
o
x
y y x
例3
绝对值函数
x, y xx,
x0 x0
1, x0 例4 符号函数 y sgn x0, x 0
1, x 0
o
x
y
1
•o
x
1
定义域为 x , , 值域为 y1,0,1
显然： xsgnxx
若恒有 fxfx， 则称f (x) 在 D 内为偶函数 .
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三、如何学习高等数学 ?
学数学最好的方式是做数学
预习 复习 作业 考勤
自我学习的能力
微信公众号: 山东建大高等数学
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学而优则用, 学而优则创 治学之道： 宽, 专, 漫 基础要宽 专业要专 要使自己的专业知识漫到其他领域
做好当下 厚积薄发
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第一章 函数与极限
下界: f(x)K2, 称 f(x) 在 X 上有下界. K 2 为一个下界.
有界: | f (x)| M. M为正数
无界: M 0,x0X, 使得 fx0 M.
例如 f (x) =sin x, sinx 1, 有界. f ( x) 1 在 (0, 1) 内有下界, 但没有上界, 所以无界. x
2
二、什么是高等数学 ?
初等数学— 研究对象为常量, 以静止观点研究问题. 初等数学 —— 代数、几何、三角、解析几何
高等数学 — 研究对象为变量, 运动和辩证法进入了数学.
主要内容： 1. 分析基础: 函数 , 极限, 连续
2. 微积分学: 一元微积分 (上册) 多元微积分 (下册)
3. 向量代数与空间解析几何 4. 无穷级数 5. 常微分方程
高等数学
主讲人：张晓平教授
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1
一、什么是数学 ?
数学——研究数和空间图形及其相互关系的科学
数学 数学
不仅是一种工具, 而且是一种思维模式;
不仅是一种知识, 而且是一种素养;
数学 不仅是一种科学, 而且是一种文化;
能否运用数学观念定量思维是衡量民族科学文化素质的 一个重要标志.
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从 X 到 Y 的映射,记作 f :XY.
Xx
f
yY
元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的 像 , 记作 y f(x). 元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的 原像 . 集合 X 称为映射 f 的定义域 ;
Y 的子集 f(X) f(x)x X 称为 f 的 值域 .
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注意: 1)映射的三要素— 定义域 , 对应规则 , 值域 . 2)元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一 .
X
f
f 称为X 上的变换 R
f 称为定义在 X 上的函数
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二、函数的概念
1. 函数的概念
设数集 DR,则称映射 f:DR为定义在 D 上的函数 ,
记为
yf(x),x D 定义域
因变量
自变量
y
W y y fx ,x D 称为函数的值域. y
y0fx0叫作函数在 x0 处的函数值.
y x 和 yx是不同的函数 （对应关系不同）
y2lgx和 y lg x2是不同的函数 （定义域不同）
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例1
已知函数
yf(x) 2 x, 1x,
0x1 x1
写出 f(x) 的定义域及值域, 并求
f
1 2
及
f
1 t
.
解 f(x)的定义域 D[0, ) y
y1x
值域 f(D )[0, ) y2 x
结论 f (x) 在X上有界 f (x) 在X上既有上界又有下界.
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2. 函数的单调性
设 f (x) 的定义域为 D，区间I D , 对于 I 上任意两点 x1 x2 ,
若恒有 f (x1) < f (x2) , 则称 f (x) 在 I 内单调增加 ;
若恒有 f (x1) > f (x2) , 则称 f (x) 在 I 内单调减少 .
函数图形:
C (x ,y )yf(x), xDDf(D)
ax b x (D[a,b])
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说明：（1）单值函数 多值函数
例如 x2 y2 r2在 xr为单值函数,
在 (-r, r) 内为多值函数. 没有特别说明， 均指单值函数.
（2）函数相等
例如： y x 和 y x2是相同的函数.
单调增加或单调减少的函数统称为单调函数 .
图象：y
y f(x)
y
f (x2 ) f ( x1 )
y f(x)
f ( x1 ) f (x2 )
o x1 x2
I
x o x1
x2
x
I
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3. 函数的奇偶性
设f (x)的定义域 D 关于原点对称 （即x D， x D），
若恒有 fxfx， 则称 f (x) 在 D 内为奇函数 ;
o x1
x2 x
f 既是满射又是单射, 故 f 为双射 或一一映射.
又如 三角形(三角形集) 合
海伦公式
b
a
面积 S(0,) (满射)
c
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说明:
映射又称为算子. 在不同数学分支中有不同的惯用名称.
例如,
f
X (≠ )
f
X (≠ )
X (数集 或点集 )
Y (数集) f 称为X 上的泛函
Sign [sain]
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例5 取整函数：不超过x 的最大整数， 记做： yx
如 []3 , [ 3 .5 ] 4
2 2 , 0 .4 1
y
3
•
2
•
1
3
x
• -2
• -3
除例2外都是分段函数
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三、函数的几种特性
1. 函数的有界性 上界: f(x)K1, 称 f(x) 在 X 上有上界. K 1 为一个上界.