随机变量独立性的若干判别法

12 推论 2 概率密度为 f X 1( x 1 ) , 则 X 1, f ( x 1, 推论 3 , f X n ( x n) , 设 X 1,
雁
北
师
范
学 院
学
报
2006 年
, X n 是 n 个连续型随机变量 , , x n ) , 各自的边缘
定理 4 b i , i = 1, 条件是
设 X 1, , n, 则 X 1 ,
不方便的.
2
随机变量独立性的判别法则
对于 n 个随机变量独立性的判别, 许多著作都
[1 - 2]
1
随机变量独立性的定义
许多著作都有 n 个事件相互独立的定义 定义 1 设 A 1, l , A n 是 n( n
[ 1- 3]
给出如下类似的结论 . 2) 个事件, 若 k1 < K <
.
定理 1 设 X 1 , , X n 是 n 个随机变量, 它们的 联合分布函数为 F( x 1 , , X n ) , 各自的边缘分布函 数为 F X 1 ( x 1 ) , 则 X 1, 实数 x 1 , , FX n ( x n ) , , X n 相互独立的充分必要条件是对任意的 , x n, , 有 , x n ) = FX 1 ( x 1 ) FX n ( x n ) .
, X n- 1 相互独立, 因此由定理 1 知 , x n) = F X 1 ( x 1 ) F X n- 1 ( x n- 1 ) F X n ( x n ) = F X 1,
, X n- 1 (
x 1,
, x n- 1 ) F X n ( x n ) ,
所以( X 1 , X 1+
, X n- 1 ) 与 X n 相互独立, 再由定理 3 知
[ 4] 2
则 T 1 , T 2 独立 . 证明: 易证 T 1 = m in X i 为完全充分统计量 , 而
n n
T2 =
i= 1
X i - n min X i =
i= 1
X
i
(X
i
= Xi -
)
的分布与
无关, 则由定理 5 知 T 1 , T 2 相互独立 .
在一般情况下 , 随机变量独立可推出不相关 , 但 不相关推不出独立 . 不过对于 n 维正态分布而言, 由 不相关可推出独立 . 定理 6 X 1, 若( X 1 , , X n ) 服从 n 维正态分布 , 则 , X n 两两不相关
第 22 卷 第 5 期 2006 年 10 月
雁 北师 范 学院 学报 JO U RAL O F YA N BEI N O RM AL U N IV ERSIT Y
V ol. 22. N o. 5 Oct . 2006
随机变量独立性的若干判别法
尤 芳
1, 2
, 汪四水
1
( 1. 苏州大学数学科学学院 , 江苏苏州 215000; 2. 江南大学理学院 , 江苏无锡 214000)
, X n 是抽自分布族 ) dx : n
I(x >
<
<+
}
的独立同分布的样本, T 1 = minX i , T 2 =
i= 1
, 定理 4 中的结论仍
X i - n m in X i ,
例 2. 设 ( X , Y ) 的概率密度为 f (x,y) = 6 xy 2 , 0 < x < 1, 0 < y < 1, 0 , 其他 判断 X 与 Y 的独立性. 解: 取 h ( x ) = 6 x , 0 < x < 1, g ( y ) = y , 0 < y < 1, 则有 f ( x , y ) = h( x )g( y), 由定理 4 知 X 与 Y 相互独立 . 充分统计量是一个很重要的概念 , 它也可以用 于判断统计量的独立性 . 定理 5 设 T 是 X ~ ( P , 界完全的统计量 , 而 f ( x ) 的分布与 何
b
1=
bn a
n 1
1
an b1
n
a1
f ( x 1,
, x n ) dx 1 dx ndx n =
b
n
b
a1
h 1( x 1) d x 1
an
hn ( x n ) dx n =
M1 Mn, 所以 f X 1( x 1 ) f X n ( x n ) = h 1 ( x 1 ) h n ( x n ) ( M 1 M n ) n- 1 = f ( x 1, , x n) .
摘 要 : 从 n 个随机变量相互独立的定义出发介绍了若干个常用的判别随机变量独立性的法则 . 独立性 充分必要条件 文献标识码 : A 文章编号 : 1009- 1939( 2006) 05- 0011- 04
关键词 : 随机变量
中图分类号 : O211. 5
y
随机变量的独立性是概率论中最重要的概念 之一, 因此随机变量独立性的研究成为概率论的重 要课题.
2) 个随机变 k1 <
作都 把 定理 1 作为 n 个 随机 变量 相 互独 立 的定 义
[ 3]
n ) , 任意的一组 1 , x kl 都有
. 推论 1 设 X 1, , X n 是 n 个离散型随机变量,
, X kl < x k l ) =
P ( X k 1 < x k 1 ) P( X kl < x kl ) , 则称 X 1 , , X n 相互独立. 利用定义来判断 n 个随机变量是否相互独立是
y
则 X 1 , , X n 相互独立的充分必要条件是对任一组 可能值 x 1 i 1 , , x nin , 有 P ( X 1 = x 1 i1 , , X n = x ni n ) = P ( X 1 = x 1 i1 ) P ( X n = x nin ) .
收稿 日期 : 2006- 06- 15 作者简介 : 尤芳 ( 1978- ) , 女 , 江苏无锡人 , 在读硕士 , 助教 . 研究方向 : 应用统计 .
( 1 ) 存在非负连续函数 hi ( x i ) , i = 1,
n
f ( x 1,
, x n) =
i= 1
hi ( x i ) ; , n 均为与 x 1 , , x n 无关的
几乎处处成立. 互独立, 当且仅当给定 X 时, Y 的条件分布与 Y 的 边缘分布相同 ; 当且仅当给定 Y 时 , X 的条件分布 与 X 的边缘分布相同 . 列维定理告诉我们 , 分布函数与特征函数相互 唯一决定 , 因此 , 也可以用特征函数的来判断随机变 量的独立性. 定理 2 设 X 1 , , X n 是 n 个随 机变量, X = ( X 1 , , X n ) 的特征函数为 ( t 1 , , t n ) , X 1 , , X n 的特征函数分 别为 ( t 1, 定理 3 , t n) = 设 X 1,
详细证明过程见 [ 1] . , X n 是 n 个相互独立的随机 , n 是 n 个 Borel 可测函数, 若 变量 , f k ( x k ) , k = 1,
hn ( x n ) dx n =
h 1( x 1) M 2 M n , f X n ( x n ) = M 1 M n- 1 h n ( x n ) . 因为
t 1) , ( t 1)
,
X n ( t n)
, 则 X 1,
,
-
hi ( x i ) dx 2 dx n =
i= 1
X n 相互独立的充分必要条件是
X
1
+
X
n
( tn ) .
h 1( x 1) h 1( x 1)
b2 a
2
h 2( x 2) d x 2 h 2( x 2) d x 2
bn a
n
h n ( x n) d x n =
[ 1]
F( x 1 ,
证明: 必要性是定义 2 中 l = n 时的直接推论. 充分性 . 对任意的一组 1 k 1, k 1 < K < kl n ,k 及任意的实数 x k 1 , , X k 1 , 在上式中令 x k
, k l , 即得定义式 . 定理 1 其实就是定义 2 的简化形式 , 故许多著
, X n 是 n 个连续型随机变量, , x n ) , ai xi , X n 相互独立的充分必要 , n, 使
它们的联合概率密度为 f ( x 1 ,
它们的联合 概率密度 为 f ( x 1 ,
, X n 相互独立的充分必要条件是 , x n ) = f X 1( x 1 ) f X n( x n ) 设 X , Y 是两个随机变量 , 则 X 与 Y 相
X 1(
( 2 ) ai , bi , i = 1, 常数.
证明: 充分性 . 由( 2) 知
bi a
i
hi ( x i ) d x i , i = 1, , n, 故
n 是常数 , 记为 M i , i = 1 , f X 1( x 1 ) =
+ + + + +
f ( x 1,
n
, x n ) dx 2 dx n =
对任意的 l ( 2 kl n, 都有 则称 A 1 ,
n) , 任意的一组 1
P ( A k 1 A kl ) = P ( A k1 ) P ( A kl ) , , A n n 个事件相互独立. 由此可知, n 个事件的相互独立 , 需要有 2 n - n - 1 个式子来保证 . 设 X 1 , , X n 是 n( n 2) 个随机变量, 则对任 意的实数 X 1 , , X n , { X 1 < x 1 } , , { X n < x n } 是 n 个事件 , 故由 n 个事件相互独立的定义可引出 n 个 随机变量相互独立的定义 . 定义 2 设 X 1 , , X n 是 n( n 量, 若对任意的 l ( 2 K < kl P ( X k 1 < x k 1, l n 及任意的实数 x k 1 ,