2019全国各地中考数学压轴大题几何综合

2019全国各地中考数学压轴大题几何综合

一、圆中的计算和证明综合题

1.（2019•杭州）如图，已知锐角三角形ABC内接于圆O，OD⊥BC于点D，连接OA．

（1）若∠BAC＝60°，

①求证：OD＝OA．

②当OA＝1时，求△ABC面积的最大值．

（2）点E在线段OA上，OE＝OD，连接DE，设∠ABC＝m∠OED，∠ACB＝n∠OED （m，n是正数），若∠ABC＜∠ACB，求证：m﹣n+2＝0．

解：（1）①连接OB、OC，

则∠BOD＝BOC＝∠BAC＝60°，

∴∠OBC＝30°，∴OD＝OB＝OA；

②∵BC长度为定值，

∴△ABC面积的最大值，要求BC边上的高最大，

当AD过点O时，AD最大，即：AD＝AO+OD＝，

△ABC面积的最大值＝×BC×AD＝×2OB sin60°×＝；

（2）如图2，连接OC，

设：∠OED＝x，则∠ABC＝mx，∠ACB＝nx，

则∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣mx﹣nx＝∠BOC＝∠DOC，

∵∠AOC＝2∠ABC＝2mx，

∴∠AOD＝∠COD+∠AOC＝180°﹣mx﹣nx+2mx＝180°+mx﹣nx，

∵OE＝OD，∴∠AOD＝180°﹣2x，

即：180°+mx﹣nx＝180°﹣2x，化简得：m﹣n+2＝0．

2.（2019•宁波）如图1，⊙O经过等边△ABC的顶点A，C（圆心O在△ABC内），分别与

AB，CB的延长线交于点D，E，连结DE，BF⊥EC交AE于点F．

（1）求证：BD＝BE．

（2）当AF：EF＝3：2，AC＝6时，求AE的长．

（3）设＝x，tan∠DAE＝y．

①求y关于x的函数表达式；

②如图2，连结OF，OB，若△AEC的面积是△OFB面积的10倍，求y的值．

证明：（1）∵△ABC是等边三角形，

∴∠BAC＝∠C＝60°，

∵∠DEB＝∠BAC＝60°，∠D＝∠C＝60°，

∴∠DEB＝∠D，

∴BD＝BE；

（2）如图1，过点A作AG⊥BC于点G，

∵△ABC是等边三角形，AC＝6，

∴BG＝，

∴在Rt△ABG中，AG＝BG＝3，

∵BF⊥EC，

∴BF∥AG，

∴，

∵AF：EF＝3：2，

∴BE＝BG＝2，

∴EG＝BE+BG＝3+2＝5，

在Rt△AEG中，AE＝；（3）①如图1，过点E作EH⊥AD于点H，

∵∠EBD＝∠ABC＝60°，

∴在Rt△BEH中，，

∴EH＝，BH＝，

∵，

∴BG＝xBE，

∴AB＝BC＝2BG＝2xBE，

∴AH＝AB+BH＝2xBE+BE＝（2x+）BE，

∴在Rt△AHE中，tan∠EAD＝，

∴y＝；

②如图2，过点O作OM⊥BC于点M，

设BE＝a，

∵，

∴CG＝BG＝xBE＝ax，

∴EC＝CG+BG+BE＝a+2ax，

∴EM＝EC＝a+ax，

∴BM＝EM﹣BE＝ax﹣a，

∵BF∥AG，

∴△EBF∽△EGA，

∴，

∵AG＝，

∴BF＝，

∴△OFB的面积＝，

∴△AEC的面积＝，

∵△AEC的面积是△OFB的面积的10倍，

∴，

∴2x2﹣7x+6＝0，

解得：，

∴，

3.（2019•温州）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点E在BC边上，且CA＝CE，过A，C，

E三点的⊙O交AB于另一点F，作直径AD，连结DE并延长交AB于点G，连结CD，CF．

（1）求证：四边形DCFG是平行四边形．

（2）当BE＝4，CD＝AB时，求⊙O的直径长．

（1）证明：连接AE，

∵∠BAC＝90°，

∴CF是⊙O的直径，

∵AC＝EC，

∴CF⊥AE，

∵AD是⊙O的直径，

∴∠AED＝90°，

即GD⊥AE，

∴CF∥DG，

∵AD是⊙O的直径，

∴∠ACD＝90°，

∴∠ACD+∠BAC＝180°，

∴AB∥CD，

∴四边形DCFG是平行四边形；

（2）解：由CD＝AB，

设CD＝3x，AB＝8x，

∴CD＝FG＝3x，

∵∠AOF＝∠COD，

∴AF＝CD＝3x，

∴BG＝8x﹣3x﹣3x＝2x，

∵GE∥CF，

∴，

∵BE＝4，

∴AC＝CE＝6，

∴BC＝6+4＝10，

∴AB＝＝8＝8x，

∴x＝1，

在Rt△ACF中，AF＝10，AC＝6，

∴CF＝＝3，

即⊙O的直径长为3．

4.（2019•武汉）已知AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，DC与⊙O相切于点

E，分别交AM、BN于D、C两点．

（1）如图1，求证：AB2＝4AD•BC；

（2）如图2，连接OE并延长交AM于点F，连接CF．若∠ADE＝2∠OFC，AD＝1，求

图中阴影部分的面积．

（1）证明：连接OC、OD，如图1所示：∵AM和BN是它的两条切线，

∴AM⊥AB，BN⊥AB，

∴AM∥BN，

∴∠ADE+∠BCE＝180°

∵DC切⊙O于E，

∴∠ODE＝∠ADE，∠OCE＝∠BCE，∴∠ODE+∠OCE＝90°，

∴∠DOC＝90°，

∴∠AOD+∠COB＝90°，

∵∠AOD+∠ADO＝90°，

∴∠AOD＝∠OCB，

∵∠OAD＝∠OBC＝90°，

∴△AOD∽△BCO，

∴＝，

∴OA2＝AD•BC，

∴（AB）2＝AD•BC，

∴AB2＝4AD•BC；

（2）解：连接OD，OC，如图2所示：

∵∠ADE＝2∠OFC，

∴∠ADO＝∠OFC，

∵∠ADO＝∠BOC，∠BOC＝∠FOC，

∴∠OFC＝∠FOC，