矩阵论知识点

矩阵论知识点

第一章：矩阵的相似变换

1. 特征值，特征向量

特殊的：Hermite矩阵的特征值，特征向量

2. 相似对角化

充要条件：（1）（2）（3）（4）

3. Jordan标准形

计算：求相似矩阵P及Jordan标准形

求Jordan标准形的方法：

特征向量法，初等变换法，初等因子法

4. Hamilton-Cayley定理

应用：待定系数法求解矩阵函数值

计算：最小多项式

5. 向量的内积

6. 酉相似下的标准形

特殊的：A酉相似于对角阵当且仅当A为正规阵。

第二章：范数理论

1. 向量的范数

计算：1，2，∞范数

2. 矩阵的范数

计算：1，2，∞，∞m , F 范数，谱半径

3. 谱半径、条件数

第三章：矩阵分析

1. 矩阵序列

2. 矩阵级数

特别的：矩阵幂级数

计算：判别矩阵幂级数敛散性，计算收敛的幂级数的和

3. 矩阵函数

计算：矩阵函数值，At e

，Jordan 矩阵的函数值

4. 矩阵的微分和积分

计算：函数矩阵，数量函数对向量的导数 如，dt dA(t),dt

dA(t),⎪⎩

⎪⎨⎧==)()(X R AX X X X X f T T T αα等 5. 应用 计算：求解一阶常系数线性微分方程组

1. 矩阵的三角分解

计算：Crout 分解，Doolittle 分解，Choleskey 分解

2. 矩阵的QR 分解

计算：Householder 矩阵，Givens 矩阵，

矩阵的QR 分解或者把向量化为与1e 同方向

3. 矩阵的满秩分解

计算：满秩分解，奇异值分解

4. 矩阵的奇异值分解

第五章：特征值的估计与表示

1. 特征值界的估计

计算：模的上界，实部、虚部的上界

2. 特征值的包含区域

计算：Gerschgorin 定理隔离矩阵的特征值

3. Hermite 矩阵特征值的表示

计算：矩阵的Rayleigh 商的极值

4. 广义特征值问题

计算：B X AX λ=转化为一般特征值问题

1. 广义逆矩阵的概念

2. {1}逆及其应用

计算：）（1A ，

判别矩阵方程D A XB =，b Ax

=解的情况 3. Moore-Penrose 逆+A

计算：利用+A 判别方程组b Ax =解的情况， 并求极小范数解或极小范数最小二乘解

第七章：矩阵的直积

1. 矩阵的直积

计算：B A ⊗的特征值，行列式，迹

2. 矩阵的行拉直

计算：AXB 的行拉直，求解矩阵方程F XB A X =+

第八章：线性空间与线性变换

1. 线性空间的基、维数、坐标

计算：基、维数、坐标，值域和核空间

2. 线性变换

计算：线性变换的矩阵，线性变换的值域与核的基与维数

3. 欧氏空间

1. 求相似矩阵P 及Jordan 标准形

2. 求解一阶常系数线性微分方程组

3. Crout 分解，Doolittle 分解

4. 矩阵的QR 分解或者把向量化为与1e 同方向

5. 奇异值分解

6. Gerschgorin 定理隔离矩阵的特征值

7. 利用+A 判别方程组b Ax =解的情况， 并求极小范数解或极小范数最小二乘解

8. 求解矩阵方程F XB A X =+

1.向量1，2，∞范数，矩阵的1，2，∞，∞m , F 范数，谱半径

2.判别矩阵幂级数敛散性，计算收敛的幂级数的和

3.矩阵函数值，At e ，Jordan 矩阵的函数值

4.函数矩阵，数量函数对向量的导数 如，dt dA(t) ,dt dsinAt ，⎪⎩

⎪⎨⎧==)()(X R AX X X X X f T T T αα等 5.模的上界，实部、虚部的上界

6.矩阵的Rayleigh 商的极值

7.广义特征值B X AX λ=转化为一般特征值问题

8.）（1A ，B A ⊗的特征值，行列式，迹

9.基、维数、坐标，值域和核空间

10.线性变换的矩阵，线性变换的值域与核的基与维数