第2章空间描述与坐标变换分析解析

（2-16）
可以采用齐次变换矩阵表示平移变换
{A} AP1
AP2 AP1
A P2 Trans( A Q) A P1
（2-17）
Trans( A Q) 称为平移算子，其表达式为
AQ O
一个点的位置矢量BP和旋转矩阵
A B
R
，求在坐
标系{A}下描述同一个点的位置矢量AP。
ZB
ZA AP(BP)
YB
A px

B
X
T A
BP
A py BYAT BP
A pz

B
Z
T A
BP
YA
（2-9）
XA XB
将（2-9）式写成矩阵形式得（参见（2-3）式） 图2-5旋转变换
A
P

B
X
T A
到旋转矩阵
B A
R
B
A
R

B XA
BYA
B Z A


X
T B
YBT
XA XA
X
T B
Y
A
Y
T B
Y
A
X
T B
Z
A
YBT Z A



A
X
T B
AYBT

（2-5）

Z
T B
X
A
Z
T B
Y
A
Z
T B
Z
A


A
Z
T B

对比（2-3）和（2-5）可知两个旋转矩阵互为转置，再根据正交矩阵 的性质可得以下关系
B A
R
BAR T

BAR
1
（2-6）
2
位姿描述
固连坐标系把刚体位姿描述问题转化为坐标系的描述问题。图2-3中 坐标系{B}可以在固定坐标系{A}中描述为
{B}
A B
R
A pBo
（2-7）
旋转矩阵
A B
R
描述坐标系{B}的姿态，矢量
A PBo
描述坐标系{B}的原点位置。
平移坐标变换
第二章 空间描述与坐标变换
2-1位置姿态表示与坐标系描述
ZA
AP
位置描述
矢量 Ap 表示箭头指向点的位置矢量，其中右 上角标“A”表示该点是用{A}坐标系描述的。
OA
YA
XA
px
A
p


py

pz
方位（姿态）描述
（2-1）
图2-1 位置表示
坐标系{B}与机械手末端工具固连，工具的姿态可以 由坐标系{B}的方向来描述。而坐标系{B}的方向可 以用沿三个坐标轴的单位矢量来表示
齐次坐标变换的主要作用是表达简洁，同时在表示多个坐标变 换的时候比较方便。
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矢量的点积与叉积 规定两矢量的点积为一标量
a b axbx ayby azbz
而两矢量的交积为另一个与此两相乘矢量所决定的平面垂直的矢量
a b (aybz azby )i (azbx axbz ) j (axby aybx )k
A PCo

A B
R
Bห้องสมุดไป่ตู้
P

A PBo
（ 2-12）
为了得到位置矢量BP和AP之间的变换关系，只需坐标系{B} 在坐标系 下{A}的描述。
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2-3齐次坐标变换
坐标变换（2-12）可以写成以下形式

AP
1



A B
R
0
A
PBo 1


BP 1

（2-13）
5
复合变换
如果两个坐标系之间即存在平移又存
在旋转关系，如何计算同一个空间点
在两个坐标系下描述的变换关系？
{A}
为了得到位置矢量BP和AP之间
的变换关系，我们建立一个中间
坐标系{C}。
OA
AP APBO
{C} {B}
BP OB
图2-7复合变换
C
P

C B
R
B
P

A B
R
B
P
（2-11）
AP

CP

sina r cos b cosa cos b sina sin b cos(a b )
cosa


r
sin
b


r
cosa
sin
b
sina
cos
b


r

sin(a

b
)

根据几何关系直接计算P在{A}下的表示显然与上式相同，印证了坐 标变换方法的正确性。
X X
B B
X
T A
YB
Y
T A
YB
X
T A
Z
B
Y
T A
Z
B



B
X
T A
BY
T A


Z
T A
X
B
Z TAYB
Z
T A
Z
B


B
Z
T A

（2-3）
旋转矩阵
A B
R
是用坐标系{A}来表示坐标系{B}沿坐标轴方向单位矢量组
成的矩阵，同样我们也可以用坐标系{B}来表示坐标系{A}的单位矢量得

AXB AYB

cosa X A sinaYA sina X A cosaYA
根据（2-3）式可知旋转变换矩阵为，
A B
R

cosa sin a
sina
cosa

YB
YA AP(BP)
b a
XB XA
图2-6平面旋转变换
AP

BAR
BP

cosa sina
将位置矢量用41矢量表示，增加1维的数值恒为1，我们仍然用原 来的符号表示4维位置矢量并采用以下符号表示坐标变换矩阵
ABT


A B
R
0
A
PBo 1

（2-14）
A P ABT BP
（2-15）
ABT 是44矩阵，称为齐次坐标变换矩阵。可以理解为坐标系{B} 在固定坐标系{A}中的描述。
{B}
BP为坐标系{B}描述的某一空间位置，
我们也可以用AP（坐标系{A}）描述同
BP
一空间位置。因为两个坐标系具有相同 {A}
AP
的姿态，同一个点在不同坐标系下的描
OB
述满足以下关系 APBO
AP B P APBo （2-8）
OA
图2-4平移变换
3
旋转坐标变换
旋转坐标变换的任务是已知坐标系{B}描述的
两矢量的交积记忆方法
i jk ab ax ay az
bx by bz
8
2.4齐次变换算子
在机器人学中还经常用到下面的变换，如图2-8，矢量AP1沿矢 量AQ平移至的AQ终点，得一矢量AP2。已知AP1和AQ求AP2的过程称 之为平移变换，与前面不同，这里只涉及单一坐标系。
A P2 A P1 AQ
B
Y
T A
B
P BAR BP

B
Z
T A

（2-10）
式（2-10）即为我们要求的旋转变换关系，该变换是通过两个 坐标系之间的旋转变换实现的。
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例2-1 图2.6 给出了两个平面坐标系的位置
关系
，计算旋转变换矩阵
A B
R
和同一矢量P
在两个坐标系下表示之间的关系，假设矢
量长度为 r。
r11 r12 r13
A
B
R

A XB
AYB
A Z B r21
r22
r23

r31 r32 r33
（2-2）
图2-3姿态表示
1
旋转矩阵的元素可以用坐标系{B}的单位矢量在坐标系{A}单位矢 量上的投影来表示
A
B
R

A XB
AYB
A Z B

YXATTA