二面角的计算方法精讲

图1

二面角的计算方法精讲

二面角是高中数学的主要内容之一，是每年高考数学的一个必考内容，本文主要通过一些典型的例子说明二面角的三种基本计算方法，供同学们学习参考。

一 、直接法：即先作出二面角的平面角，再利用解三角形知识求解之。通常作二面角

的平面角的途径有：

⑴定义法：在二面角的棱上取一个特殊点，由此点出发

在二面角的两个面内分别作棱的垂线；

⑵三垂线法：如图1，C 是二面角βα--AB 的面β内

的一个点，CO ⊥平面α于O ，只需作OD ⊥AB 于D ，连接CD ，用三垂线定理可证明∠CDO 就是 所求二面角的平面角。

⑶垂面法：即在二面角的棱上取一点，过此点作平面γ，使γ垂直于二面角的棱，则γ 与二面角的两个面的交线所成的角就是该二面角的平面角。

例1 如图2，在四棱锥V-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面V AD 是正三角形, 平面V AD ⊥底面ABCD ． （1）证明AB ⊥平面V AD ；

（2）求面V AD 与面VDB 所成的二面角的大小． 解：（1）证明：

VAD ABCD

AB AD AB VAD

AB ABCD AD VAD ABCD ⊥⎫

⎪⊥⎪⇒⊥⎬⊂⎪⎪=⎭

平面平面平面平面平面平面 （2）解：取VD 的中点E ，连结AF ，BE ， ∵△V AD 是正三形，四边形ABCD 为正方形，

∴由勾股定理可知， 2222BD AB AD AB VA VB,=+=+=

∴AE ⊥VD ，BE ⊥VD ，

∴∠AEB 就是所求二面角的平面角. 又在Rt △ABE 中，∠BAE=90°，AE=

3AD=3

AB ，

因此，tan ∠AEB=

.3

3

2=AE AB 即得所求二面角的大小为.33

2arctan

例2 如图3，AB ⊥平面BCD ，DC ⊥CB ，AD 与平面

BCD 成30°的角，且AB=BC.

（1）求AD 与平面ABC 所成的角的大小； （2）求二面角C-AD-B 的大小；

（3）若AB=2，求点B 到平面ACD 的距离。 解：(1) ∵AB ⊥平面BCD ，

∴∠ADB 就是AD 与平面BCD 所成的角,即∠ADB=300,且CD ⊥AB ， 又∵DC ⊥BC ，AB

BC B =,

∴ CD ⊥平面ABC ，

∴ AD 与平面ABC 所成的角为∠DAC ，

设AB=BC=a,则AC=a 2， BD=acot300=a 3,AD=2a, a BC BD CD 222=-=, ∴ tan ∠DAC=122==a a CD AC , ∴ 045=∠DAC ,

即，AD 与平面ABC 所成的角为450. (2)作CE ⊥BD 于E ，取AD 的中点F ，连CF ， ∵ AB ⊥面BCD ，ABD AB ⊂面， ∴ 面ABD ⊥面BCD ， 又∵ 面ABD

面BCD=BD ，BCD CE ⊂面，CE ⊥BD ，

∴ CE ⊥面ABD ，

又∵AC=BC=a 2，AF=FD ，∴AD ⊥EF ，

有三垂线定理的逆定理可知，∠CFE 就是所求二面角的平面角.

计算可知, 6BC CD CE a BD ⋅==，222AD AC CD a,=+=1

2

CF AD a ==，

∴ 63CE sin CFE CF ∠=

=，∴∠CFE=arcsin 63

. 故，所求的二面角为arcsin

6

例3如图4，P 是边长为1的正六边形ABCDEF 所在平面外一点，1PA =，P 在平面ABC 内的射影为BF 的中点O.

（1）证明PA ⊥BF ；

（2）求面APB 与面DPB 所成二面角的大小。 解：（1）在正六边形ABCDEF 中，ABF ∆为等腰三角形，

∵ P 在平面ABC 内的射影为O ， ∴ PO ⊥平面A BF ，

∴ AO 为PA 在平面ABF 内的射影； 又∵ O 为BF 中点，ABF ∆为等腰三角形， ∴ AO ⊥BF ，

∴ 有三垂线定理可知,PA ⊥BF.

（2）∵O 为BF 中点，ABCDEF 是正六边形 ，

∴ A 、O 、D 共线，且直线AD ⊥BF ， ∵ PO ⊥平面A BF ，ABF BF ⊂面,

∴ 由三垂线定理可知, AD ⊥PB,

过O 在平面PBF 内作OH ⊥PB 于H ，连AH 、DH ， 则 PB ⊥平面A HD,所以AHD ∠为所求二面角平面角。

又∵正六边形ABCDEF 的边长为1，∴12AO =

，32

DO =，3

2BO =。

1

212AHO tan ,21221AO OH AHO OH

∆=

∠===在中，，， 3

212DHO tan 21DO

DHO OH ∆∠=

==在中，； 721

16212

221tan tan().

721

12221AHD AHO DHO +

∠=∠+∠==--⨯

从而，

故,所求的二面角为1621

-arctan

9

.π

如图5，二面角l αβ--为锐二面角, △ABC 在半 平面α内, △ABC 在平面β内的射影为△A 1B 1C 1，那么二面角l αβ--的大小111 cos A B C ABC

S S θθ∆∆=

应满足.

例4 如图6，矩形ABCD 中,AB=6,BC=32,沿对角线BD 将ABC ∆折起,使点

A 移至点P,且P 在平面BCD 内的射影为O,且O 在DC 上. （1）求证:PD ⊥PC ；

（2）求二面角P-DB-C 的平面角的余弦值；

（3）求CD 与平面PBD 所成的角的正弦值.

解: （1）证明: ∵ PC 在面BCD 内的射影为OC, 且OC ⊥BC ，

∴由三垂线定理可知，BC ⊥PC ，又∵PB=6，BC=32， ∴PC=,62而PD=32，DC=6

∴ =+2

2

PC PD 36=DC 2

，∴ PD ⊥PC.

（2）PBD 1

OBD S 623632

PBD ∆∆∆=⨯⨯=在面BCD 内的射影为，且，

OC 322

1

36S S S BOC CBD OBD ⨯⨯-

=-=∆∆∆. 设OC=x,则OD=6-x , ∵ 2222BD DO BC CO ,-=-

∴ ()2

2

61224x x --=- , ∴.4=x

∴

,323436=-=∆BOD S

设二面角P-DB-C 的大小为θ，则.31363

2cos ==

θ 1

arccos .3

故，所求二面角为