信号分析2-5 卷积的性质

X
第
例1
f (t )
1
已 f (t ), h(t )， g(t ) = f (t ) ∗h(t )。 知 求
h(t )
1 1 2 t
14 页
O −1
O
1
h′(t )
t
思路:求导可出现冲 思路 求导可出现冲 激信号,用微积分 激信号 用微积分 性和重现性
f (−1) (t )
1
O
∞
g(t ) = f (−1) (t ) ∗ h(1) (t )
X
第 20 页
例题7 例题 利用卷积积分的性质求卷积积分的逆运算
f 已知： 已知：1 (t) ∗tε (t) = (t + e −1)ε (t)
−t
f (t) ∗[e ε (t)] = (1− e
−t 2
−t
)ε (t) − (1− e
h(t) = δ ′(t) + ε (t) h(t) = ε (t) − ε (t − 2)
2 1 0 1 t 0 2 t t
X
第 18 页
例题4 例题
x1(t) 3 1 0 12 x2(t) 1 6 t -2 t
例题5 已知线性时不变系统对激励f (t)与响应波形 例题5 已知线性时不变系统对激励f1(t)与响应波形 y1(t)如图示 求该系统对激励 f (t) = sin πt[ε (t) − ε (t −1) 如图示,求该系统对激励 如图示 的零状态响应. 的零状态响应 f1(t) 1 0 2 t y1(t) 1 0 1 2 3 t
]
X
第 19 页
例题6 求两信号的卷积积分(与冲激序列的卷积 与冲激序列的卷积) 例题 求两信号的卷积积分 与冲激序列的卷积
1. f1 (t) = δ (t) + 2∑δ (t − nT)
n=1
∞
f 2 (t) = sin
π
T
tε (t)
2. f1 (t) = ∑δ (t − n)
n=0
∞
f 2 (t) = ε (sin πt)ε (t)
结论3： 结论 ：
f (t ) ∗δ ′(t ) = f '(t )
f (t) ∗ε (t) =
结论4： 结论 ：
结论5： 结论 ：
ε (t) ∗ε (t) = tε (t)
X
−∞
∫ f (τ )dτ
t
第 13 页
结论6： 结论 ： 利用卷积积分的重现性可表示一个周期信号 fT(t) 例: … …
意义:卷积后求导和先对其任一求导再卷积的结果相同 意义 卷积后求导和先对其任一求导再卷积的结果相同. 卷积后求导和先对其任一求导再卷积的结果相同
X
第
积分性
g
已知: g(t) = f (t) ∗ h(t)
( −1)
7 页
(t ) = f (t ) ∗ h
( −1)
(t ) = f
( −1)
(t ) ∗ h(t )
X
第 17 页
例题3 例题
1. 已知： (t) = sin tε (t) x 已知： 求： x(t) ∗ h(t) 2. 已知： (t) = et ε (t) x 已知： 求： x(t) ∗ h(t) 3. 已知： (t)与h(t)波形，求： x(t) ∗ h(t)波形 x 波形， 已知：
X(t) h(t)
例 sgn(t ) ∗δ (t ) ： 用微积分性质
sgn′(t )
∞
O
导数相同的原信 号唯一吗? 号唯一吗
δ (−1) (t )
1
2
被求导信号为 有始信号
sgn ′(t ) ∗ δ ( −1) (t )
(2)
t
O
t
O
t
直接
1
sgn(t )
∞
δ (t )
(1)
f (t) = δ (−1) (t) ∗sgn (1) (t) = ε (t) ∗ 2δ (t) = 2ε (t)
∫ f ′(τ )ε (t − τ )dτ
X
说明:信号还可分解一系列接入时间不同幅值不同的 说明 信号还可分解一系列接入时间不同幅值不同的 (t)线性组合 线性组合. ε(t)线性组合.
第
注意 f1 (t) ∗ f 2 (t) = f1′(t) ∗ f 2(−1) (t)成立条件
t
9 页
t df (t) df1 (t) d =f1 (t) − f1 (−∞),即只有当1 (−∞) = 0 有f1(t) = ∫−∞ 1 f 因为 时 ∫−∞ dt dt
(−1) ∞ t
(1)
1
f ( −1) (τ )
h′( t − τ ) ∞ (1) t −1 t O (− 1) ∞
2
t
1
O
g (t )
1
t = 3 − 2t t −3
3
t
0≤ t ≤1 1≤ t ≤ 2 2≤ t ≤ 3
1
2
τ
O
−1
1
2
X
例2
系统由三个子系统构成， 图(a)系统由三个子系统构成，已知各子系统的冲激 系统由三个子系统构成 如图(b)所示 所示。 响应 h1 (t ), h2 (t ) 如图 所示。求复合系统的冲激响 并画出它的波形。 应 h(t ) ，并画出它的波形。
∞
8 页
yzs (t) = f ′(t) ∗ s(t)
信号的分解: f (t) = f (t) ∗ δ (t) 信号的分解 f (t) = f ′(t) ∗ δ (−1) (t)
f (t) = f ′(t) ∗ ε (t) = yzs (t) =
−∞ ∞
∫ f ′(τ )ε (t − τ )dτ
−∞
yzs (t) = f (t) ∗ h(t) = 1 ∗ e−t ε (t)
∞
10 页
= ∫ e−(t−τ )ε (t − τ )dτ
−∞ t
= ∫ e−(t−τ ) dτ = e−t⋅eτ = 1正确
−∞
用卷积微积分性: 用卷积微积分性
′(t) ∗ h(−1) (t) = 0 yzs (t) = f (t) ∗ h(t) = f
系统并联运算
3．结合律 [ f (t)∗ f1(t)]∗ f2(t) = f (t)∗[ f1(t)∗ f2(t)]
系统级联运算
X
第 3 页
证明交换律
f1(t ) ∗ f2 (t ) =
+∞ −∞
∫
+∞
−∞
f1(τ ) ⋅ f2 (t −τ )dτ
−∞ +∞
λ 令t − τ = λ， 则τ : ∫ → : ∫
错误结果
X
第 11 页
三.与冲激函数的卷积(重现性)
f (t ) ∗δ (t ) = ∫ f (τ )δ (t −τ ) dτ = ∫ f (t −τ ) δ (τ ) dτ = f (t )
∞ ∞ −∞ −∞
结论1： 结论 ：
f(t)
δ(t)
f(t)
f (t) ∗δ (t) = f (t)
f(t)
+∞ −∞
d ，τ = −dλ
f1(t ) ∗ f2 (t ) = ∫ f2 (λ) ⋅ f1(t − λ)dλ = f2 (t ) ∗ f1(t )
•卷积结果与交换两函数的次序无关。因为倒置 f1 (τ ) 卷积结果与交换两函数的次序无关。因为倒置 卷积结果与交换两函数的次序无关 对乘积的积分面积不影响 积分面积不影响,即 无关 无关。 与倒置 f2 (τ ) 对乘积的积分面积不影响 即与t无关。 •一般选简单函数为移动函数。如矩形脉冲或δ(t)。 一般选简单函数为移动函数。 一般选简单函数为移动函数 。
g(t )
f (t ) ∗ h1(t ) ∗ h2 (t )
f (t )
h(t )
g(t )
h(t ) = h (t )∗ h2 (t ) 1
结论：时域中，子系统级联 级联时 结论：时域中，子系统级联时，总的冲激响应等 卷积。 于子系统冲激响应的卷积 于子系统冲激响应的卷积。
X
第 6 页
二．微分积分性质
X
第 4 页
系统并联(从系统的观点看卷积分配律)
f (t) ∗[h1 (t) + h2 (t)] = f (t) ∗ h1 (t) + f (t) ∗ h2 (t)
系统并联，框图表示： 系统并联，框图表示：
h(t ) f (t )
f (t ) f (t )
h1 (t )
f (t ) ∗ h (t ) 1
*
(1)
=
δ(t-t0)
f (t ) ∗δ (t − t 0) = f (t − t 0)
f(t-t1)
*
(1)
=
t0
f (t − t1) ∗δ (t − t 2) = f (t − t1 − t 2)
t1
*
t0 δ(t-t2)
=
t2 t1X 2 +t
第 12 页
结论2： 结论 ：
如果： f 如果： (t) = f1 (t) ∗ f 2 (t) 则： f1(t − t1) ∗ f2 (t − t2 ) = f1(t − t2 ) ∗ f2 (t − t1) = f (t − t1 − t2 )
已知 则：
g(t) = f (t) ∗ h(t)
g′(t ) = f (t ) ∗ h′(t ) = f ′(t ) ∗ h(t )
微分性
g(t) = f (t) ∗h(t) =
∫−∞ f (τ )h(t −τ ) dτ
∞
两端对t 两端对 求导
交换律
∞ ∞ d f (t −τ ) d g(t ) dh(t −τ ) dτ = ∫ h(τ )dτ = ∫ f (τ ) −∞ −∞ dt dt dt g′(t ) = f (t ) ∗ h′(t ) = f ′(t ) ∗ h(t ) 即
-2T -T τ/2 0 τ/2 T 2T t
f0(t)
δT(t)
*
τ/2 τ/2 t
…
-2T
+∞
…
-T 0
+∞
T
0
2T
fT (t) = f0 (t) ∗δT (t) = f0 (t) ∗
fT (t) = f0 (t) ∗δT (t)
m=−∞
∑δ (t − mT) = ∑ f
m=−∞
(t − mT)
g(t ) f (t ) ∗ h (t ) + f (t ) ∗ h2 (t ) 1
h2 (t )
= f (t ) ∗ h(t ) f (t ) ∗ h2 (t )
g(t )
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f (t )
h(t )
h(t ) = h1 (t ) + h2 (t )
X
结论：子系统并联时， 结论：子系统并联时，总系统的冲激响应等于 各子系统冲激响应之和 各子系统冲激响应之和。
意义:卷积后积分和先对其任一积分再卷积的结果相同 意义 卷积后积分和先对其任一积分再卷积的结果相同. 卷积后积分和先对其任一积分再卷积的结果相同 推广： 推广： g(n) (t ) = f (t ) ∗ h(n) (t ) = f (n) (t ) ∗ h(t ) 微分性质积分性质联合使用
g(n−m) (t ) = f (n) (t ) ∗ h(−m) (t ) = f (−m) (t ) ∗ h(n) (t )
f (t )
h1( t )
h1 (t )
+
∑
h2 (t) +
y(t )
h1 (t )
h2 (t )
1
1 t
(a)
解：
h(t ) = h1(t ) ∗[h1(t ) + h2 (t )]
O 1
h(t )
O 1 2 t
(b)
1
如图（ ） 如图（c）所示
O 1 2 3t
(c)
X
第 16 页
作业:
• 2-8 2-9(2,5,6) 2-10(3) 2-11(3,4,5) 2-12 2-13
错误原因： 错误原因： 无始信号 t d[sgn(t )] t t O O ∫−∞ dt dt ≠ sgn(t) −1 X f 正确 (t) = sgn( t) ∗δ (t) = sgn( t)
第
激励f(t)=1,系统的冲激响应为 系统的冲激响应为h(t)=e-tε(t), 例:激励 激励 系统的冲激响应为 求系统的零状态响应 实用计算法: 解:实用计算法 实用计算法
第 5 页
系统级(串)联(从系统的观点看卷积结合律)
f (t )∗ h1(t )∗ h2 (t ) = f (t ) ∗[h1(t )∗ h2 (t )] = f (t ) ∗ h(t )
系统级联，框图表示： 系统级联，框图表示：
f (t )
h1 (t )
f (t ) ∗ h1(t )
h2 (t )
第 1 页
第五节 卷积积分的性质
•运算规律 •微积分性质 •与冲激函数卷积(重现性)
X
第 2 页
一．运算规律(代数运算)
1．交换律
f1(t ) ∗ f2 (t ) = f2(t ) ∗ f1(t )
2．分配律
f1(t ) ∗[ f2 (t ) + f3 (t )] = f1(t ) ∗ f2 (t ) + f1(t ) ∗ f3 (t )
微分n次 微分 次， 积分m次 积分 次
g(t ) = f (n) (t ) ∗ h(−n) (t )
′(t) ∗ f2(−1) (t) f1(t) ∗ f2 (t) = f1
m=n, 微分次数＝ 微分次数＝ 积分次数
X
第
求系统零状态响应的另一方法
yzs (t) = f (t) ∗ h(t) yzs (t) = f ′(t) ∗ h(−1) (t) 结论: 是激励的导数与系统阶跃响应的卷积. 结论 yzs (t)是激励的导数与系统阶跃响应的卷积